Prédiction fiable de l'endommagement ductile par la méthode des éléments finis mixtes : endommagement non local et adaptation de maillage

(1)

HAL Id: pastel-00566805

https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00566805

Submitted on 17 Feb 2011

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

non local et adaptation de maillage

Rachid El Khaoulani

To cite this version:

Rachid El Khaoulani. Prédiction fiable de l’endommagement ductile par la méthode des éléments finis mixtes : endommagement non local et adaptation de maillage. Mécanique des matériaux [physics.class-ph]. École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 2010. Français. �NNT : 2010ENMP0001�. �pastel-00566805�

(2)

École doctorale n

O

364 : Sciences Fondamentales et Appliquées

Doctorat ParisTech

THÈSE

pour obtenir le grade de docteur délivré par

l’École nationale supérieure des mines de Paris

Spécialité « mécanique numérique »

présentée et soutenue publiquement par

Rachid El khaoulani El idrissi

le 20 Janvier 2010

Prédiction fiable de l’endommagement ductile par la méthode

des éléments finis mixtes : endommagement non local

et adaptation de maillage

Directeur de thèse : Pierre-Olivier Bouchard Co-encadrement de la thèse : François Bay

Jury

M. F.X. Roux,Professeur, ONERA & U.P.M.C. Président

M. K. Saanouni,Professeur, U.T.T. Rapporteur

M. N. Moës,Professeur, Centrale Nantes Rapporteur

M. M. Thonnerieux,Ingénieur, CETIM Examinateur

M. F. Bay,Professeur, CEMEF, Mines ParisTech Directeur de thèse

M. P.O. Bouchard,Maitre de conférence, CEMEF, Mines ParisTech Directeur de thèse

MINES ParisTech CEMEF - UMR CNRS 7635

(3)

(4)

(5)

!"#$ %&"' ()* "*$+),#-%#(" ." /.,# &-0 "$ ." /.,# #-*'12" 3," 4" &),52%-# "6/2-("2 (% /2)0)*5" 72%$-$,5"8 ("# 2"("2'-"("*$# '+%.",2",6 "$ (% 2"')**%-##%*'" 9

:,6 ("(;2"# 5, 4,2< "$ /2)0"##",2# /),2 .!-*$=2>$ 3,!-.# )*$ /)2$= ? ("# $2%&%,6 5" $+1#" 9 ! "##$%&$' "$ (! )%*+ 5!%&)-2 %''"/$= .% .),25" $@'+" 5" 2%//)2$",2 "$ ,!-! .%&/ 3,- (!% 0%-$ .!+)**",2 5" /2=#-5"2 ()* 4,2<8 4" ." 2"("2'-" ;"%,'),/A

: ()* 5-2"'$",2 5" $+1#" 0!1! 2%&34#568 3,- % =$= $),4),2# /2=#"*$ %, '),2# 5" .% 2=%.-#%B $-)* 5" '"$$" $+1#"8 /%2 #"# ')**%-##%*'"# 5, #,4"$8 #"# ')*#"-.# $21# /2='-",6 "$ #% 5-#/)*-;-.-$=A C% 3,%.-$= D*%." 5" ()* $2%&%-. 5)-$ ;"%,'),/ ? *)# ='+%*7"# #'-"*$-D3,"# "$ +,(%-*# /"*5%*$ '"# $2)-# %**="#A

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

!"#$ % &'() *'()

(6)

!"!#$%!"!&'( )

*&'#+,-$'%+& ./&/#01! 2

310& ,! 10 '45(! 67

6 8+,/1%(0'%+& ,!( 9#+$/,/( %&,-%(0&' ,!( .#0&,!( ,/:+#"0'%+&( 910('%;-!( 6) ! "#$%&'()$*&# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + !, -.(/$*&#0 '( 1&'234 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + !,! -.(/$*&# '4 356.(*3*7%4 '8#/1*.(4 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 9 !: ;&* '4 )&1<&%$414#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = !:! ;&* '4 )&1<&%$414#$ 63/0$*.(4 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = !:!, ;&* '4 )&1<&%$414#$ 63/0$&<3/0$*.(4 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! > !:!: -?&3($*&# '4 3/ 0(%@/)4 )A/%B4 C 6)%&(*00/B4 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! , !D E#'&11/B414#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ,, !D! FA80*.(4 '4 354#'&11/B414#$ '()$*34 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ,, !D!, G&'234 '54#'&11/B414#$ '4 HA/7&)A4I;41/*$%4 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ,D !+ E#%*)A*00414#$ '( 1&'234 '54#'&11/B414#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ,J !+! EK4$ '4 @4%14$(%4 '4 L00(%40 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ,J !+!, ;*1*$4 '4 $%*/M*/3*$6 4# )&1<%400*&# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! :N !9 H&#)3(0*&# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! :, 7 *&'/.#0'%+& &-"/#%;-! ,<-&! 1+% /10('+910('%;-! !&,+""0.!0=1! ,0&( -&!

:+#"-10'%+& "%>'! ?%'!((!@9#!((%+& AA ,! "#$%&'()$*&# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! :D ,!, "#$6B%/$*&# '( <%&73214 16)/#*.(4 B3&7/3 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! :D ,!,! O/<<43 '40 6.(/$*&#0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! :D ,!,!, P&%1(3/$*&# @/*734 ?*$4004 <%400*&# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! :+ ,!,!: Q*0)%6$*0/$*&# 63614#$0 L#*0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! :+ ,!: "#$6B%/$*&# '4 3/ 3&* '4 )&1<&%$414#$ 63/0$&<3/0$*.(4 4#'&11/B4/734 ! ! ! ! DN ,!:! R)A61/ #(16%*.(4 4$ *#$6B%/$*&# '4 3/ 3&* )&#0$*$($*?4 ! ! ! ! ! ! ! ! ! DN ,!:!, S<6%/$4(% $/#B4#$ )&A6%4#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! D: ,!:!: T3B&%*$A14 '5*#$6B%/$*&# 3&)/34 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! D+ ,!D U/3*'/$*&#0 #(16%*.(40 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! D9 ,!D! -3/0$*)*$6 3*#6/*%4 C )/0 $40$ '4 3/ <3/.(4 $%&(64 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! D9 ,!D!, -3/0$&<3/0$*)*$6 C )83*#'%4 0&(0 <%400*&# *#$4%#4 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! +N

(7)

!"#$%& #'&(#"))*+&)&(, ("( %"-*% ./ #!5 6%,7'&1/,3'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 89 #! :;<%'(=%+ &>)&'1/322+(+%, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 85 #!# :;<%'(=%+ &+ 0'/)032),3'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 85 #!" ?'&=0+2 &+ 7<*10)732),3'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 8# #!- ?'&=0+ &>+%&'(()*+(+%, %'% 0'/)0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 8# #!-!5 @'7(10),3'% 3%,<*7)0+ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 8-#!-! @'7(10),3'% A *7)&3+%, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 88 #!-!# BCC7'D3(),3'% <0<(+%,2 E%32 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 8F #!8 .'1C0)*+ &+ 0>+%&'(()*+(+%, %'% 0'/)0 )G+/ 0) 0'3 &+ /'(C'7,+(+%, ! ! ! ! 8H #!F ?'&<032),3'% &+ 0) 71C,17+ &1/,30+ I <03(3%),3'% &+2 <0<(+%,2 /'(C0=,+(+%,

+%&'(()*<2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! F9 #!4 $D+(C0+2 %1(<73J1+2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! F# #!H .'%/0123'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! F4 0 1#*2,*,3"( *(34",5"2& #& )*3%%*+& *6 278(")$(& #'&(#"))*+&)&(, 9/ "!5 6%,7'&1/,3'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 49 "! ?<,73J1+ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 45 "! !5 K<E%3,3'%2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 45 "! ! ?)300)*+ 1%3,< ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4 "! !# 6%,+72+/,3'% &+ (<,73J1+2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4# "!# ?',3G),3'%2 &+ 0>)&)C,),3'% )%32',7'C+ &+ ()300)*+ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4" "!" $2,3(),+17 &>+77+17 ) C'2,+73'73 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4" "!- ?)L'7),3'% 0'/)0+ &+ 0>+77+17 &>3%,+7C'0),3'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4-"!8 @'7(10),3'% )%32',7'C+ &+ 0>+77+17 0'/)0+ &>3%,+7C'0),3'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4F "!F .'%2,71/,3'% &+ 0) (<,73J1+ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 44 "!4 .'%2,71/,3'% &+ 0) (),73/+ ;+223+%%+ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 44 "!H B&)C,),3'% &+ ()300)*+ C30',<+ C)7 1%+ (<,73J1+ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! H9 "!59 M/;<() &>)&)C,),3'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! H# "!55 N)03&),3'%2 %1(<73J1+2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! H# "!55!5 O7)/,3'% 23(C0+ &>1%+ <C7'1G+,,+ +% K ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! H# "!55! O7)/,3'% 1%3P)D3)0+ &>1%+ <C7'1G+,,+ /Q03%&73J1+ +%,)300<+ ! ! ! ! ! ! ! 59 "!55!# R/7)2+(+%, &>1% 0'C3% +% ,'%%+)1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 55 "!5 .'%/0123'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 55F . !8,7"#&4 )6%,3+53%%&4 ::; -!5 6%,7'&1/,3'% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 55H -! ?',3G),3'%2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 9 -!# ?<,;'&+2 (10,3*7300+2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 9 -!#!5 ?<,;'&+2 (10,3*7300+2 )0*<S73J1+2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 5 -!#! ?<,;'&+2 (10,3*7300+2 *<'(<,73J1+2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 -!" B0*'73,;(+ (10,3*7300+ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 H -!"!5 B0*'73,;(+ S3*7300+ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 H 8

(8)

!"#"$ %&'()*+,-. -/&+*')*&&. " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 012 !"#"1 345&. -/&+*')*&&. " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 010 !"! 6)75(89*+*(88.-.8+ :; " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 01$ !"< =>&*9>+*(8? 8/-7)*@/.? " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 011 !" 3(85&/?*(8 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 01A !"#$%&'!"& () *(+&*(#)',(& -./ 0'1$'!2+3*4'( -5-67&%87 -59 :1&)+3#) -5;

(9)

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

(10)

!"# ! " #$$%&'()*% +% ,-(%$ .)/ .012,$ +% 3(1234)*% $5/ () .0/,16/% +752% 801,5/%9 :) &);,/1$% +% 3%$ ./03<+<$ %$, 2<3%$$)1/% +752% .)/, .05/ 3401$1/ () ,%3421=5% +7)$$%&'()*% () .(5$ )../0./1<% $%(02 (75,1(1$),102 +5 ./0+51, )$$%&'(<> %, +7)5,/% .)/, .05/ 12208%/ %, ./0.0$%/ +%$ 2058%((%$ 302?*5/),102$ &1%5@ )+).,<%$9

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

A)2$ 3%,,% .%/$.%3,18%> (% !"#$ %2 .)/,%2)/1), )8%3 (% !$!%!_{%, "&'()*'+,&}"

+<8%(0..%2, 52% $</1% +% (0*131%($ &<,1%/$ +<+1<$ D () &0+<(1$),102 +% 3%$ ,%3421=5%$ +7)$$%&C '()*% +)2$ (% 3)+/% +5 ./0B%, JKL# :MN# OJ0+<(1$),102 %, K.,1&1$),102 L5&</1=5% +%$ #$$%&'()*%$C:0*131%( M2,<*/< +% N1&5(),102 +%$ #$$%&'()*%$P9

:) (1'/)1/1% -.+-/> +<8%(0..<% )5 !$!%> ) <,< 3401$1% 30&&% ')$% 121,1)(% .05/ (% +<8%(0..%&%2, +% 3%$ (0*131%($9 Q%,,% (1'/)1/1%> +<8%(0..<% %2 QRR> 302,1%2, 52 %2$%&'(% +% 30&.0$)2,$ %, +% $0(8%5/$ 25&</1=5%$ =51 $7)..51%2, $5/ +%$ &<,40+%$ +% ,F.% <(<&%2,$ ?21$ %, 52% $,/53,5/% .)/)((6(%9 A% .(5$> %((% %$, %2 302$,)2,% <80(5,102 */S3% )5@ &5(,1.(%$ 302,/1'5,102$ +%$ +1I</%2,$ 34%/34%5/$ %, 12*<21%5/$ )5 !$!%9

:% &0+6(% +% $1&5(),102 25&</1=5% +%$,12< D 3%$ ./03<+<$ +01, &0+<(1$%/ (%$ */)2+%$ +<E0/C &),102$ .()$,1=5%$ D ,%&.</),5/% )&'1)2,% )12$1 =5% (%$ )5,/%$ .4<20&62%$ 12,%/8%2)2,$ (0/$ +% (7)$$%&'()*% +% ,-(%$9 T)/ %@%&.(%> () +<*/)+),102 +%$ ./0./1<,<$ &),</1)5 =51 $% +<3(%234% (0/$=5% () $,/53,5/% %$, $05&1$% D 3%$ */)2+%$ +<E0/&),102$9 Q% ./03%$$5$ +% +<*/)+),102 %$, 30&&52<&%2, )..%(< %2+0&&)*%&%2, +53,1(%9

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

!"#$! #!%&"'()! *!+ '"*)+#$'!+ ,-%."'()!+

!_{!"#$! *! /'+! !" 01$,! *!+ /.#-$'.)2}

(11)

"#$%&'( '( )(* +,-)$'$* '#.**(/01.2( +., '$3-,/.%4-5 +1.*%46&( *#(7()%&( +., 1. *4/&1.%4-5 '& +,-)(**&* '( +-*( (% '( 1. %(5&( /$).546&( '& +,-'&4% .**(/01$8 9(1. +(,/(% '#$:4%(, 1(* '$3.&%* '( 3.0,4).%4-5 (% '#-0%(54, &5 +,-'&4% 6&4 ,$+-5' .&; '47$,(5%(* (;42(5)(* (5 *(,:4)( '( 3.<-5 -+%4/.1(8

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

• +,$'4,( 1(* $:(5%&(1* '$3.&%* '( 3.0,4).%4-5 .45*4 6&( 1(* +,-+,4$%$* /$).546&(* '(* +,-@ '&4%* .**(/01$* -& 4**&* '(* -+$,.%4-5* '( 3-,/.2( J

• 14/4%(, 1#(5'-//.2(/(5%> +., (;(/+1( 1-,* '#-+$,.%4-5* '#.**(/01.2( +., '$3-,/.%4-5 +1.*%46&(> -& '#&5( /.54C,( +1&* 2$5$,.1(> '(* +,-'&4%* 4**&* '(* -+$,.%4-5* '( 3-,/.2( K(/0-&%4**.2(> 3-,2(> DB',-3-,/.2(> 8 8 8 L J

•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

• ./$14-,(, 1. ,$*4*%.5)( .&; *-114)4%.%4-5* .++146&$(* (5 *(,:4)( (5 /-'4E.5% 1. +D.*( '( )-5)(+%4-5 J

• ,(+-&**(, 1(* 14/4%(* '#&%414*.%4-5 '( )(* *%,&)%&,(* *.)D.5% 6&#&5 54:(.& 3.401( '#(5'-/@ /.2(/(5% 5#.7()%( +.* 0(.&)-&+ 1. ,$*4*%.5)( 21-0.1( '( 1. *%,&)%&,(8

9( %B+( '( *4/&1.%4-5* 5&/$,46&(* . 45%$,(**$ +1&*4(&,* )D(,)D(&,* )(* '(,54C,(* .55$(* O > R> S> TP8 "( %&%' (*% ,()-55& *&, 1( +1.5 45%(,5.%4-5.1 A %,.:(,* *(* '47$,(5%* %,.:.&; '( ,()D(,)D( *&, )(%%( +,-01$/.%46&(> 5-%.//(5% 2,U)( .&; '$:(1-++(/(5%* ,$.14*$* '.5* 1( 1-24)4(1 V-,2(8

(12)

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

</"22-,%>& 2>(#,0(#,.,156)&+ %,#$'-)5'& ") #59&") 0"%-,$%,256)& 2"- ./5#'-,*)%'5,# *& 9"-5":.&$ 5#'&-#&$ 2,)- -&2-($&#'&- .&$ 2>(#,0A#&$ 05%-,$'-)%')-")7+ %,#*)5' 3 ." *('&-05#"4 '5,# *& 0,*A.&$ 2.)$ $502.&$ &' 05&)7 "*"2'($ ")7 %"$ 5#*)$'-5&.$; !/,D ./)'5.5$"'5,#+ *"#$ %&''& (')*&+ */)#& .,5 *& %,02,-'&0&#' (."$',2."$'56)& &#*,00"1&":.& :"$(& $)- %&''& "22-,%>&; E.)$ 2-(%5$(0&#'+ )#& .,5 %,#$'5')'59& ,D ." *(8,-0"'5,# 2."$'56)& &' ./&#*,00"1&0&#' $,#' %,)2.($ &$' &02.,=(&;

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

<" 2-(*5%'5,# C":.& *& ./&#*,00"1&0&#' 2"- )#& "22-,%>& (.(0&#'$ C#5$ #(%&$$5'& )# 0"5.."1& C# $)-',)' *"#$ .&$ J,#&$ *& .,%".5$"'5,# *& ./&#*,00"1&0&#'; <& -&0"5.."1& "*"24 '"'58+ :"$( $)- )#& &$'50"'5,# *& ./&--&)- */5#'&-2,."'5,#+ &$' )#& 0"#5A-& &K%"%& */"0(.5,-&-." 2-(%5$5,# *&$ %".%).$ *"#$ .&$ J,#&$ &#*,00"1(&$+ ',)' &# (95'"#' *&$ -"K#&0&#' 5#)'5.&$ *"#$ */")'-&$ J,#&$ 6)5 #& 2-($&#'&#' 2"$ *& 1-"*5&#'$ 0(%"#56)&$ 502,-'"#'$;

L# ")'-& 2,5#' ":,-*( *"#$ %&''& (')*& %,#%&-#& ." -(*)%'5,# *) '&02$ *& %".%).; M# $/&$'+ *,#%+ 5#'(-&$$( 3 ./5#9&-$5,# *&$ $=$'A0&$ .5#("5-&$ 5$$)$ */)#& "22-,750"'5,# (.(0&#'$ C#5$ 6)5 -&2-($&#'& )#& 2"-'5& 502,-'"#'& *) '&02$ %2) *& ." $50)."'5,#; E,)- %&."+ #,)$ #,)$ $,00&$ 2.)$ 2"-'5%).5A-&0&#' 5#'(-&$$($ ")7 0('>,*&$ 0).'51-5..&$;

N,$ %,#'-5:)'5,#$ &' "22,-'$ 2,)- -(2,#*-& 3 %&$ 2-,:.(0"'56)&$ $,#' *(%-5'&$ *"#$ .& 2."# *& '>A$& $)59"#';

(13)

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

!% '(-,"% %(," &.()*5% *&,% +! 151(-)! *&,% 04()*)! %/-2&," 3

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

B, %4-,"5)!%%! *&,% 0! 6/&")-$1! +#&'-")! A 04&*&'"&"-(, &,-%(")('! *! 1&-00&7! &/ '#5,(8 1$,! *! 04!,*(11&7!1!,"; B, +(11!,+! '&) )&''!0!) 0& "#5()-! %(/%8G&+!,"!; C, '&)"-+/0-!)@ 0& 15"#(*! *4!%"-1&"-(, *! 04!))!/) *4&'')(:-1&"-(, /"-0-%5! !" %& ")&,%+)-'"-(, !, -,9()1&8 "-(, )!0&"-2! A 0& "&-00! *! 1&-00! *!%"-,5! A '-0("!) 0& 75,5)&"-(, *4/, 1&-00&7! 1-!/: &*&'"5 A 0& %(0/"-(,; C,%/-"!@ (, %4-,"5)!%%! A 04&/")! '(-," -1'()"&,"@ *&,% 04&*&'"&"-(, &,-%(")('!

(14)

"# $%&''%(#) * +%,-&. '% (/0/.%1&-0 "2 $%&''%(# %"%31/ 4-05-.$# * 20# $/1.&62# 3.#+4.&1#7 809 :0) 20# +1.%1/(&# ";%"%31%1&-0 %0&+-1.-3# "2 $%&''%(# #+1 "-00/# #1 #+1 ,%'&"/# #0 <= #1 #0 !=7 =%0+ '# 4>%3&1.# 4&06) -0 "/,#'-33# 20 3./4-0"&1&-00#2. $2'1&(.&''# (/-$/1.&62#7 ?0 #@9 3-+#) #0 3%.1&42'&#.) '#+ %+3#41+ 1#4>0&62#+ '&/+ %2 "/.%A0#$#01 "2 $%&''%(# 0-0 +1.2412./) * '% 4-0+1.241&-0 "#+ -3/.%1#2.+ "# 1.%0+5#.1+ &01#.(.&''#+ #1 * '% $&+# #0 B2,.# %'(-.&1>$&62#7

C'2+&#2.+ 4%+ "# ,%'&"%1&-0+ 02$/.&62#+ +-01 3./+#01/+ %2 4-2.+ "# 4# $%02+4.&17 D#+ ,%'&9 "%1&-0+ +2&,#01 '% 3.-(.#++&-0 "#+ "/,#'-33#$#01+ ./%'&+/#+ "%0+ '% '&E.%&.&# !"#!$ %2 4-2.+ "# '% 1>F+#7 G'+ ,&+#01 * $-01.#. 62# 4#+ "/,#'-33#$#01+ 3#.$#11#01 20# 3./"&41&-0 :%E'# #1 3./4&+# "# ';#0"-$$%(#$#01 H2+62;* '% .2312.#7

(15)

!"#$%&'(%!) "*& +,!-#"#& %)".%&')(

"& /,')"& "#0!,1'(%!)& +$'&(%2.*&

!""#$%&

! "#$%&'()$*&# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + !, -.(/$*&#0 '( 1&'234 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + !"! #$%&'()* +, -./$%(-(01, +2*&3($%, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4 !5 6&* '4 )&17&%$414#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 8 !5! 6)( +, 7)38)1',3,*' /-&9'($%, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! : !5!" 6)( +, 7)38)1',3,*' /-&9')8-&9'($%, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ; !5!5 #<)-%'()* +, -& 9%1=&7, 7>&1?, @ /71)%(99&?, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " !9 :#'&11/;414#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ,, !A! B>29($%, +, -.,*+)33&?,3,*' +%7'(-, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "" !A!" C)+D-, +.,*+)33&?,3,*' +, E>&0)7>,F6,3&('1, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "A !+ :#%*)<*00414#$ '( 1&'234 '=4#'&11/;414#$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ,> !G! HI,' +, =,13,'%1, +, J99%1,9 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "K !G!" 6(3(', +, '1(&L(&-('/ ,* 7)381,99()* ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5M !? @&#)3(0*&# ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5,

(16)

! "#$%&'()$*&#

7"0/ 1' 1!"#$%&'8 +0 '9#+/' .' 5+,:.' 5"%!-5"%$62' 2%$.$/- #+2& ." /$52."%$+0 ,'/ #&+1-; ,-/ $0,2$/"0% ,'/ 3&"0,'/ ,-4+&5"%$+0/ #."/%$62'/ $&&-<'&/$=.'/ > %'5#'&"%2&' "5=$"0%') ?"& '9'5#.'8 .'/ #&+1-,-/ ,@"//'5=."3' ,' %A.'/ #"& ,-4+&5"%$+0 #."/%$62' B+2 .@-%2,' ,' .'2& %'; 02' 5-1"0$62' '0 .'/ /+25'%%"0% > ,'/ /+..$1$%"%$+0/ <"&$-'/C8 .'/ #&+1-,-/ ,' 5$/' '0 4+&5' > 4&+$, ,'/ 1+&#/ /+.$,'/ B'5=+2%$//"3'8 4+&3'"3'8 !D,&+4+&5"3'8 /'5$ ,-1+2#' +2 ,-1+2#' ,'/ %A.'/ ) ) ) C)

E0' /$52."%$+0 025-&$62' 'F1"1' ,' 1'/ #&+1-,-/ 0-1'//$%' .@2%$.$/"%$+0 ,' .+$/ ,' 1+5; #+&%'5'0% 1"#"=.'/ ,' 5+,-.$/'& .'/ ,$G-&'0%/ #!-0+5:0'/ ,$//$#"%$4/ $&&-<'&/$=.'/ 62$ "1; 1+5#"30'0% 1'/ ,-4+&5"%$+0/) H'/ ,-3&","%$+0/ ,'/ #&+#&$-%-/ 5-1"0$62'/ ,'/ 5"%-&$"298 '03'0,&-'/ #"& ,'/ /+..$1$%"%$+0/ /-<:&'/8 ,+$<'0% I%&' "2//$ #&$/'/ '0 1+5#%' ,"0/ ." 5+,-.$; /"%$+0)

H" 5+,-.$/"%$+0 ,'/ #!-0+5:0'/ ,$//$#"%$4/ '/% "=+&,-' /+2/ 20 "/#'1% 5"1&+/1+#$62'8 '% .'/ <"&$"=.'/ $0%'&0'/ /+0% 2%$.$/-'/ #+2& &'#&-/'0%'& .'/ #!-0+5:0'/ 5$1&+/1+#$62'/)

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

!+ ,-(.$*&#/ '( 0&'123

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

?"& "$..'2&/8 0+2/ 'G'1%2+0/ 20' &-/+.2%$+0 $01&-5'0%".' ="/-' /2& 20' ,'/1&$#%$+0 H"; 3&"03$'00' &-"1%2".$/-') J..' 1+0/$/%' > &-/+2,&' /211'//$<'5'0% .' #&+=.:5' #+/- /2& 20' /-&$' ,@$0%'&<"..'/ [t, t + ∆t] +P ∆t '/% .' #"/ ,' %'5#/ 1+0/$,-&-) H" 0+2<'..' 1+0L32&"%$+0 > .@$0/%"0% /2$<"0% t + ∆t '/% 1".12.-' > #"&%$& ,' ." 1+0L32&"%$+0 #&-1-,'0%' "2 %'5#/ t) H' #"/ ,' %'5#/ '/% 1!+$/$ /2F/"55'0% #'%$% ,' /+&%' 62' .@+0 #2$//' ",+#%'& .@!D#+%!:/' ,' #'%$%'/ ,-4+&5"%$+0/)

(17)

!"! #$%&'()* +, -./$%(-(01, +2*&3($%,

70 1+0/$,8&' 20' /%&21%2&' +112#"0% 20 ,+5"$0' Ω ⊂ Rd_{9 d '/% ." ,$5'0/$+0 /#"%$".' :/$}

,;<9 +0 4"$% .=!>#+%!8/' ,' ,-4+&5"%$+0/ #."0'/?) @" /%&21%2&' '/% 1!"&3-' #"& ,'/ ,$/%&$A2%$+0/ ,+00-'/ ,' 4+&1'/ B+.25$62'/ f9 ,='C+&%/ $5#+/-/ T /2& /+0 A+&, ∂TΩ ⊂ ∂Ω '% ,' B$%'//'/

$5#+/-'/ v0 /2& ." #"&%$' ∂vΩ ⊂ ∂Ω) D0 0-3.$3'"0% .'/ %'&5'/ ,=$0'&%$'9 .=-62$.$A&' ,' ."

/%&21%2&' '/% ,-1&$% #"& ,'/ 1!"5#/ ,' B$%'//'/ v9 ,' 1+0%&"$0%'/ σ '% ,' %"2E ,' ,-4+&5"%$+0/ ˙ε(v)3+2B'&0-/ #"& .'/ -62"%$+0/ F

˙ε(v) = 1

2(∇v + (∇v)

T₎ _:()("?

div(σ) + f = 0 /2& Ω :()(A? G @+$ ,' 1+5#+&%'5'0% :()(1? G +0,$%$+0/ "2E .$5$%'/ :()(,?

4)+('()5 &%6 -(3(',5

H+2& 62' .' #&+A.85' 5-1"0$62' /+$% A$'0 #+/-9 +0 .2$ "I+2%' ,'/ 1+0,$%$+0/ "2E .$5$%'/ /2& /" 4&+0%$8&' ∂Ω) '%%' ,'&0$8&' /' ,-1+5#+/' '0 62"%&'/ #"&%$'/ ,$/I+$0%'/ F

∂Ω = ∂lΩ ˙∪∂TΩ ˙∪∂vΩ ˙∪∂cΩ

• /2& ." /2&4"1' .$A&' ∂lΩ9 .' B'1%'2& 1+0%&"$0%' '/% 02. F σn = σ.n = −→0 J

• /2& ." 4&+0%$8&' ∂TΩ .' 1!"&3'5'0% '/% $5#+/-' F σn = TJ

• /2& ." 4&+0%$8&' ∂vΩ ." B$%'//' '/% -3".' K ." B$%'//' $5#+/-' F v = v0) ' 1"/ ,' L32&'

#'2% 5+,-.$/'& #"& 'E'5#.' 20 1+0%"1% A$."%-&". 1+.."0% '0%&' 20 1+&#/ &$3$,' :B$%'//' 1+002'? '% 20 1+&#/ ,-4+&5"A.' J

• '0L0 .' 5"%-&$"2 '/% '0 1+0%"1% "B'1 .'/ +2%$./ :"##2$9 />/%85' ,' A&$,"3'? "2 0$B'"2 ,' ." /2&4"1' ∂cΩ) 70 ,-L0$% ,'/ 1+0,$%$+0/ ,' 1+0%"1% '% ,' 4&+%%'5'0%9 +0 #'2% ,$/%$032'&

,'2E %>#'/ ,' 1+0,$%$+0/ F

M 20' 1+0,$%$+0 ,' 4&+%%'5'0% "L0 ,' 5+,-.$/'& ." 4+&1' /='E'&N"0% '0%&' .'/ ,'2E 1+&#/ '0 1+0%"1%9 '% 62$ /=+##+/' "2 5+2B'5'0% %"03'0%$'. &'."%$4 '0%&' '2E) O. 'E$/%' ,$C-P &'0%'/ .+$/ ,' 4&+%%'5'0% 5'%%"0% '0 &'."%$+0 ,$B'&/'/ 3&"0,'2&/ #!>/$62'/ :1+0%&"$0%' %"03'0%$'..'9 B$%'//' ,' 3.$//'5'0%9 &23+/$%- ,' ." /2&4"1' ,' 1+0%"1% ) ) ) ? 62$ $0P Q2'01'0% ." 4+&1' ,' 4&+%%'5'0% : !"#$%9&'()'*+9) ) ) ?) H+2& #.2/ ,=$04+&5"%$+0/9 .' .'1%'2& #+2&&" /' &-4-&'& K RS9 TU)

M 20' 1+0,$%$+0 ,' 1+0%"1%9 +V .=+0 ,$/%$032' 3-0-&".'5'0% 62"%&' 1+0L32&"%$+0/ F !"#$%# &'($#)*$( +(',,$"# - ,"0/ 1' 1"/9 +0 '5#W1!' .'/ 0X2,/ '0 1+0%"1% ,' /'

,-1+..'&) 70 $5#+/' ".+&/ F

(v − voutil).n = 0 :()<?

(18)

+7 voutil '/% ." 8$%'//' ,' .9+2%$.: n '/% .' 8'1%'2& 0+&5". /+&%"0% ,' ∂Ω)

!"#$%# &'($#)*$( %!(($"# + +0 '5#;1!' .' ,-1+..'5'0% '% .' 3.$//'5'0% ,'/ 0<2,/ '0 1+0%"1% =

v − voutil = 0 >()?@

!"#$%# ,"'($#)*$( -('..$"# + .'/ 0<2,/ '0 1+0%"1% #'28'0% /' ,-1+..'& '% +0 $5A #+/' = 20' 1+0,$%$+0 ,' 0+0 #-0-%&"%$+0: ." 1+0%&"$0%' 0+&5".' ,' 1+0%"1% ,+$% ;%&' 4+&1'5'0% 1+5#&'//$8': '% 20' 1+0,$%$+0 ,' 1+5#.-5'0%"&$%-) '/ 1+0,$%$+0/ /+0% 4+&52.-'/ #"& ." 1+0,$%$+0 ,' !"#$%!#! =    (v − voutil).n ≥ 0 σn ≤ 0 ((v − voutil).n)σn= 0 >()B@ +7 σn = σ.n.n'/% ." 1+0%&"$0%' 0+&5".' ,' 1+0%"1%)

C" ,'&0$D&' -62"%$+0 ,' >()B@ '/% ." 1+0,$%$+0 ,' 1+5#.-5'0%"&$%-) E..' /$30$F' 62' /9$. G " ,-1+..'5'0% ((v − voutil).n < 0)".+&/ ." 1+0%&"$0%' 0+&5".' '/% 02..':

'% /$ ." 1+0%&"$0%' 0+&5".' '/% 0+0 02..' ".+&/ +0 09"2%+&$/' #"/ .' ,-1+..'5'0% ,'/ 0<2,/ '0 1+0%"1% (v − voutil).n = 0)

!"#$%# ,"'($#)*$( %!(($"# + #"& &"##+&% "2 1+0%"1% 20$."%'&". 3.$//"0%: "0 "H+2%' 20' 1+0,$%$+0 /2& ." 8$%'//' &'."%$8' %"03'0%$'..' =        (v − voutil).n ≥ 0 σn≤ 0 ((v − voutil).n)σn = 0 ∆vt= (v − voutil) − (v − voutil).n = 0/$ σn < 0 >()I@ +7 ∆vt'/% ." 1+5#+/"0%' %"03'0%$'..' ,' ." ,$J-&'01' ,' 8$%'//' /2& .'/ ,'2K 1+&#/)

E0 #&"%$62': .'/ 1+0,$%$+0/ "2K .$5$%'/ ,' 1+0%"1% '% ,' 4&+%%'5'0% 0-1'//$%'0% 20 %&"8"$. 025-&$62' 1+0/-62'0%: L %$%&' ,9'K'5#.': +0 &'08+$' .' .'1%'2& "2K ,+125'0%/ MN: O: PQ #+2& .'/ "/#'1%/ %'1!0$62'/ ,' ." 3'/%$+0 ,' 1+0%"1%)

!" #$% &' ($)*$+,')'-,

R"0/ .' 1",&' ,' 1'%%' -%2,': +0 /9$0%-&'//' L ." /$52."%$+0 ,'/ #&+1-,-/ '03'0,&"0% ,'/ 3&"0,'/ ,-4+&5"%$+0/ ,'/ /+.$,'/ L %'5#-&"%2&' "5S$"0%') C'/ .+$/ 1+0/%$%2%$8'/ ,' %G#' -."/A %$62': -."/%+#."/%$62' +2 -."/%+#."/%$62' '0,+55"3'"S.' /+0% 1+0/$,-&-'/)

!"! #$% &' ($)*$+,')'-, ./01,%23'

C9'K#-&$'01' 5+0%&' 62920 3&"0, 0+5S&' ,' 5"%-&$"2K /+.$,'/ #&-/'0%'0% 20 1+5#+&%'A 5'0% -."/%$62' &-8'&/$S.': %"0% 62' .'/ /+..$1$%"%$+0/ 629$./ /2S$//'0% /+0% /2T/"55'0% 4"$S.'/) R"0/ 1' 1"/: ." .+$ ,' 1+5#+&%'5'0% ,9-."/%$1$%- $/+%&+#' '/% 2%$.$/-' #+2& .' 1".12. ,' /%&21%2&') '%%' .+$ &'.$' .' %'0/'2& ,2 %"2K ,' ,-4+&5"%$+0/ 3-0-&".$/-'/ ˙ε(v) '% ˙σ #"& ." .+$ ,' &$$'( =

(19)

˙σ = C : ˙ε(v) = λtr( ˙ε(v))δ + 2µ ˙ε(v) 7()89 +: C '/% .' %'0/'2& ,;-."/%$1$%- ,;+&,&' 4< δ '/% .' %'0/'2& $,'0%$%- ,2 /'1+0, +&,&')

='/ 1+'>1$'0%/ ,' !"# µ '% λ #'2?'0% /;'@#&$5'& '0 4+01%$+0 ,2 5+,2.' ,' $%&'( E '% ,2 1+'>1$'0% ,' )%*++%' ν 1+55' /2$% A µ = E 2(1 + ν) ; λ = Eν (1 − 2ν)(1 + ν) 7()B9 =" 4+&5' $0?'&/' ,' ." .+$ ,' ,%%-. /;-1&$% A

˙ε(v) = C−1. ˙σ = 1 + ν E ˙σ −

ν

Etr( ˙σ)δ 7()C9 D0 $0%&+,2$% .' 1+'>1$'0% ,;$01+5#&'//$E$.$%- χ< 62$ 0+2/ /'&?$&" #"& ." /2$%'< #"& ." &'."F %$+0 A χ = (2µ + dλ) d = E((d − 2)ν + 1) d(1 − 2ν)(1 + ν) 7()G9 +: d '/% ." ,$5'0/$+0 /#"%$".' 7,-4+&5"%$+0/ #."0'/ /$ d = 29) =" ,-1+5#+/$%$+0 ,2 %'0/'2& ,'/ 1+0%&"$0%'/ ,' "21!H A σ = −pδ + s "?'1 p = −1 d tr(σ)

'/% ." #"&%$' /#!-&$62' ,2 %'0/'2& ,' 1+0%&"$0%'/ 7#&'//$+0 !H,&+/%"%$62'9< '% s '/% ." #"&%$' ,-?$"%+&$62' 7tr(s) = 09 ,2 %'0/'2& ,' 1+0%&"$0%'/) I #"&%$& ,' ." .+$ ,' ,%%-.< +0 #'2% 4"1$.'5'0% ,-,2$&' A

div(v) + ˙p

χ = 0 7()(J9

K"0/ .' 1"/ ,'/ ,-1+5#+/$%$+0/ ,'/ %'0/'2&/ '0 #"&%$' /#!-&$62' '% '0 #"&%$' ,-?$"%+&$62'< =" .+$ ,' ,%%-. 0+2/ ,+00' A

˙s = 2µ( ˙ε −tr( ˙ε)

d δ) = 2µ ˙e 7()((9 +: ˙e '/% ." #"&%$' ,-?$"%+&$62' ,' ˙ε

K' ." 5L5' 5"0$M&'< "?'1 1'%%' ,-1+5#+/$%$+0< .;-62"%$+0 ,;-62$.$E&' /;-1&$% A

div(s) − ∇p + f = 0 7()(N9

!"#$%&! 1

=;-62"%$+0 7()(J9 #'2% &'#&-/'0%'& .;-62"%$+0 ,' 1+0/'&?"%$+0 ,' ." 5"//') O0 'P'%< /$ ν %'0, ?'&/ 0.5 ".+&/ .' 1+'>1$'0% ,;$01+5#&'//$E$.$%- χ %'0, ?'&/ .;$0Q0$< '% .;-62"%$+0 7()(J9 ,'?$'0% ".+&/ div(v) = 0)

IQ0 ,;"?+$& 20 1+,' "//'R &+E2/%'< 62$ #'&5'% ,'/ /$52."%$+0/ "?'1 20 1+5#+&%'5'0% -."/%$62'< /"0/ /' /+21$'& ,'/ ?".'2&/ ,' ν< 1'%%' -62"%$+0 ,+$% L%&' $0%-3&-' /$52.%"0-5'0% "?'1 .;-62"%$+0 ,;-62$.$E&') S. '0 &-/2.%' ." 0-1'//$%- ,;$0%-3&'& 20 /H/%M5' ,' ,'2@ -62"%$+0/ '% #"& 1+0/-62'0% .;2%$.$/"%$+0 ,;20' 4+&52."%$+0 ?"&$"%$+00'..' 5$@%' ?$%'//'F#&'//$+0 7-?'0%2'.F .'5'0% ,-#."1'5'0%F#&'//$+09) /%01*' '% 2!0%' T(JU +0% 5+0%&- .;"##"&$%$+0 ,'/ $0/%"E$.$%-/

(20)

025-&$62'/ /2& .' 1"/ %'/% ,720' #."62' %&+2-' '0 -.+03"%$+0 '0 $0%-3&"0% 20$62'5'0% .7-62"8 %$+0 ,7-62$.$9&' '% '0 1+0/$,-&"0% 20 5"%-&$"2 ":'1 20 1+';1$'0% ,' <+$//+0 ν %&=/ #&+1!' ,' 0.5) >./ +0% 5+0%&- -3".'5'0%? 62' .7$0%-3&"%$+0 ,' .7-62"%$+0 @()(AB /$52.%"0-5'0% ":'1 .7-62"8 %$+0 ,7-62$.$9&' '% '0 2%$.$/"0% 20' 4+&52."%$+0 5$C%' ,-#."1'5'0%8#&'//$+0 #'&5'% ,7-:$%'& 1'/ $0/%"9$.$%-/ .$-'/ D .7$01+5#&'//$9$.$%- ,2 5"%-&$"2)

!"!# $%& '( )%+%,-((.- /012-%+012-&34(

E" .+$ ,' 1+5#+&%'5'0% -."/%+#."/%$62' 5+,-.$/' ." &!-+.+3$' ,720 5"%-&$"2 /29$//"0% ,'/ 3&"0,'/ ,-4+&5"%$+0/ D 4&+$,) '%%' .+$ ,' 1+5#+&%'5'0% 5'% '0 &'."%$+0 .'/ :"&$"9.'/ $0%'&0'/ #+2& ,'/ ,-4+&5"%$+0/ #'&5"0'0%'/ $&&-:'&/$9.'/ 62720 1'&%"$0 /+.$,' #'2% /29$& /"0/ &2#%2&') F'.+0 .7-%"% ,'/ 1+0%&"$0%'/ 1'%%' .+$ #'2% G%&' 1+0/$,-&-' H

• -."/%$62' %"0% 62' ." 1+0%&"$0%' σ '/% $04-&$'2&' D 20' 1+0%&"$0%' ,+00-' σ0 @1+0%&"$0%'

,7-1+2.'5'0%B) I"0/ 1' 1"/? .' 5"%-&$"2 '/% 1+0/$,-&- #2&'5'0% -."/%$62' '% .'/ -62"8 %$+0/ ,' 1'%%' .+$ 1+0/%$%2%$:' /+0% 1'..'/ ,-1&$%'/ #&-1-,'55'0% J

• -."/%+#."/%$62' ":'1 ,'/ ,-4+&5"%$+0/ #."/%$62'/ $&&-:'&/$9.'/) I"0/ 1' 1"/? '% /+2/ .7!K8 #+%!=/' ,' #'%$%'/ ,-4+&5"%$+0/? +0 1+0/$,=&' .' %'0/'2& ,2 %"2C ,' ,-4+&5"%$+0/ 3-8 0-&".$/-'/ ˙ε "$0/$ 62' /" ,-1+5#+/$%$+0 ",,$%$:' '0 20' #"&%$' -."/%$62' &-:'&/$9.' ˙εe_'%

20' #"&%$' #."/%$62' $&&-:'&/$9.' ˙εp_{) L0 +9%$'0% ".+&/ H}

˙ε = ˙εe+ ˙εp @()(MB E'/ ,-4+&5"%$+0/ #."/%$62'/ -%"0% $01+5#&'//$9.'/? ." ,-1+5#+/$%$+0 ,2 %'0/'2& ,2 %"2C ,' ,-4+&5"%$+0 '0 20' #"&%$' /#!-&$62' '% 20' #"&%$' ,-:$"%+&$62' /7-1&$% H

˙e = ˙ee+ ˙ep

tr( ˙ε) = tr( ˙εe₎ @()(NB

E" :$%'//' ,' ,-4+&5"%$+0 #."/%$62' -62$:".'0%' '/% ,-O0$' #"& H ˙ε =

r 2

3˙ep: ˙ep @()(PB E" ,-4+&5"%$+0 #."/%$62' -62$:".'0%' /7'0 ,-,2$% #"& $0%-3&"%$+0 "2 1+2&/ ,2 %'5#/ H

ε = Z t

0

˙ε(ξ)dξ @()(QB

!"#$!% #!"&"'%()"*((%+ &% ,+-)#"."#/

I"0/ .' 1",&' 3-0-&". ,' ." #."/%$1$%-? +0 $0%&+,2$% 20' /2&4"1' 1+0:'C' ,-O0$' ,"0/ .7'/#"1' ,'/ 1+0%&"$0%'/ D #"&%$& ,' ."62'..' .7-1+2.'5'0% #."/%$62' #'2% /' #&+,2$&') <+2& ,'/ -%"%/ ,' 1+0%&"$0%'/ 1+0%'02/ D .7$0%-&$'2& ,' 1'%%' /2&4"1'? .' 1+5#+&%'5'0% '/% '0%$=&'5'0% -."/%$62') '%%' /2&4"1' '/% "##'.-' /2&4"1' ,' 1!"&3') F+0 -62"%$+0 #'2% /7-1&$&' ,' ." 4"R+0 /2$:"0%' H

f (σ, X, R) = (σ, X)eq− σ0(r, ˙r) = (σ, X)eq− R(r, ˙r) − σy @()(SB

(21)

+7 X '/% .' %'0/'2& ,8-1&+2$//"3' 1$0-5"%$62'9 R '/% ." 4+01%$+0 ,8-1&+2$//"3' $/+%&+#' 62$ ,-#'0, ,' ." :"&$";.' ,8-1&+2$//"3' $/+%&+#' r '% ,' /" ,-&$:-' %'5#+&'..' ˙r <1"/ -."/%+= :$/1+#."/%$62'>) ?"0/ .' 1"/ -."/%+=#."/%$62'9 r = ε '% ." 4+01%$+0 ,8-1&+2$//"3' $/+%&+#' '/% $0/'0/$;.' @ ." :$%'//' ,' ,-4+&5"%$+0 R = R(ε))

σy '/% ." .$5$%' -."/%$62'9 (σ, X)eq '/% ." 1+0%&"$0%' -62$:".'0%')

!"#$%$!" #& "!'()*$%+

A" 1+0,$%$+0 ,' 0+&5".$%- ,820 -1+2.'5'0% #."/%$62' $5#+/' 62' .' %'0/'2& ,'/ :$%'//'/ ,' ,-4+&5"%$+0/ #."/%$62'/ /+$% 1+.$0-"$&' @ ." ,$&'1%$+0 ,' ." 0+&5".' 'B%-&$'2&' @ ." /2&4"1' ,' 1!"&3'9 1'%%' 1+0,$%$+0 /8-1&$% ,"0/ .' 1",&' ,' ." #."/%$1$%- "//+1$-' 1+55' /2$% C

˙epl= λpl∂f

∂σ <()(D>

+7 λpl_{≥ 0 '/% .' 52.%$#.$1"%'2& #."/%$62')}

!"#$%$!", #-+.!/*&(&"% 0*),%$1/& %'$#$(&",$!""&*

A8'B#&'//$+0 ,' ." /2&4"1' ,' 1!"&3' 0+2/ #'&5'% ,' ,-E0$& 20 1&$%F&' ,8-1+2.'5'0% #."/= %$62') A+&/62' ." ,-4+&5"%$+0 '/% #2&'5'0% -."/%$62'9 ." 1+0%&"$0%' -62$:".'0%' &'/%' $04-&$'2&' @ ." .$5$%' ,8-1+2.'5'0% '% 1'%%' 1+0,$%$+0 /' %&",2$% 5"%!-5"%$62'5'0% #"& f < 0) ?F/ 62' ." 1+0%&"$0%' -62$:".'0%' '/% -3".' @ ." 1+0%&"$0%' .$5$%' ,8-1+2.'5'0% #."/%$62' <4G H>9 .' /'2$. '/% "%%'$0% '% .' 5"%-&$"2 1+55'01' @ /8-1+2.'& #."/%$62'5'0% λpl_{> 0}_{@ 1+0,$%$+0 62' ˙f = 0}

<1+0,$%$+0 ,' 1+0/$/%"01'>) A' 1"/ f = 0 '% ˙f < 0 1+&&'/#+0, @ 20' ,-1!"&3' -."/%$62' @ #"&%$& ,820 -%"% #."/%$62' $0$%$".) '/ 1+0,$%$+0/ /' &'3&+2#'0% ,"0/ ." 1+0,$%$+0 ,' !"#$%!&'() C

λpl ≥ 0, f ≤ 0, λplf = 0 <()(I> J. 'B$/%' ,' 0+5;&'2B 1&$%F&'/ ,' #."/%$1$%- 62$ :$/'0% @ 5+,-.$/'& .' 1+5#+&%'5'0% #."/= %$62' ,'/ 5"%-&$"2B) ?"0/ 1'%%' -%2,'9 0+2/ 2%$.$/+0/ .' 1&$%F&' ,' #."/%$1$%- $/+%&+#' ,' *+# ,-.(.) J. /8'B#&$5' '0 4+01%$+0 ,2 ,'2B$F5' $0:"&$"0% ,2 %'0/'2& ,' 1+0%&"$0%'/ J2(σ) +2

'01+&' '0 4+01%$+0 ,' ." 1+0%&"$0%' -62$:".'0%' ,' *+# ,-.(. σeq ,' ." 5"0$F&' /2$:"0%' C

f = J2(σ) − σ0= r 3 2s : s − σ0 = σeq− σ0 <()KH> A" 1+0,$%$+0 ,' 0+&5".$%- <(D> ,':$'0% C ˙epl= 3λ pl 2σ0s <()K(>

L0 +;%$'0% "2//$ 20' &'."%$+0 /$5#.' '0%&' .' 52.%$#.$1"%'2& #."/%$62' '% ." :$%'//' ,'/ ,-4+&5"%$+0/ -62$:".'0%'/ C

˙ε = λpl _<()KK>

M0 &-/25- .'/ -62"%$+0/ ,820' .+$ 1+0/%$%2%$:' -."/%+#."/%$62' #+2& 20 5"%-&$"2 !+5+3F0'9 ":'1 20 -1&+2$//"3' $/+%&+#'9 '% 20 1&$%F&' ,' *+# ,-.(. /8-1&$:'0% C

(22)

• ." ,-1+5#+/$%$+0 '0 #"&%$' -."/%$62' '% '0 #"&%$' #."/%$62' ,2 ,-7$"%'2& ,2 %"28 ,' ,-4+&5"%$+0 9 ˙e = ˙ee_{+ ˙e}pl

• 1+5#+&%'5'0% -."/%$62' 9 ˙s = 2µ ˙ee

• .' 1&$%:&' ,' !" #$%&% 9 f(s, ε) =q3₂s : s − σ0(ε)

• -62"%$+0/ ,;-7+.2%$+0 ,' ." ,-4+&5"%$+0 #."/%$62' 9 ˙epl= _2σ3λ₀pl_(ε)s , λpl= ˙ε • 1+0,$%$+0/ ,' 1!"&3'5'0% 9 f ≤ 0 λpl≥ 0 , f λpl= 0

σ0(ε) &'#&-/'0%' ." .+$ ,;-1&+2$//"3' $/+%&+#' ,2 5"%-&$"2 <$1$ #"/ ,' ,-#'0,"01' = ."

%'5#-&"%2&' '% #"/ ,' ,-#'0,"01' = ˙ε >)

!"!" #$%&'()%* +, &- .'/0-1, 12-/3, 4 51/%')..-3,

?" ,-4+&5"%$+0 #."/%$62' ,;20 5"%-&$"2 #&+7+62' ,'/ '@'%/ ,;-1&+2$//"3' 62$ /' %&",2$/'0% 3-+5-%&$62'5'0% #"& ,'/ 7"&$"%$+0/ ,' ." /2&4"1' ,' 1!"&3') ?;-7+.2%$+0 ,' 1'%%' /2&4"1' '/% .$-' "2 %A#' ,;-1&+2$//"3' 1+0/$,-&- 9

• '()!*$%%+,& $%!-)!.& 9 ." /2&4"1' ,' 1!"&3' /2B$% 20' ,$."%"%$+0 $/+%&+#' ,"0/ .;'/#"1' ,'/ 1+0%&"$0%'/ "2 1+2&/ ,2 %'5#/) '%%' ,$."%"%$+0 /;+B%$'0% = #"&%$& ,' .;-7+.2%$+0 ,' ." 1+0%&"$0%' ,;-1+2.'5'0% σ0(ε)C

• '()!*$%%+,& ($"'/+-$0*& 9 ." /2&4"1' ,' 1!"&3' -7+.2' #"& %&"0/."%$+0 /"0/ 1!"03'5'0% ,' %"$..'D .' 1'0%&' ,' ." /2&4"1' ,' 1!"&3' /' ,-#."1' ,"0/ .;'/#"1' ,'/ 1+0%&"$0%'/) ' ,-#."1'5'0% /;+B%$'0% = #"&%$& ,' .;-7+.2%$+0 ,2 %'0/'2& ,;-1&+2$//"3' 1$0-5"%$62' X) E"0/ ." .$%%-&"%2&'D $. '8$/%' #.2/$'2&/ 5+,:.'/ ,;-1&+2$//"3' 1$0-5"%$62' F((G 9 .'/ ,'28 #&$01$#"28 /+0% .' 5+,:.' .$0-"$&' ,' H&"3'& '% .' 5+,:.' 0+0 .$0-"$&' ,' ?'5"$%&' '% !"B+1!' C

•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

σ0(r) = K(r + r0)n <()JK>

K'/% ." 1+0/$/%"01' ,2 5"%-&$"2 '% '/% "//$5$.-' = 20' 1+0%&"$0%') n '/% .;'8#+/"0% ,;-1&+2$/I /"3' $/+%&+#') r0 20' ,-4+&5"%$+0 /'2$. 62$ #'&5'% ,' #&'0,&' '0 1+5#%' +2 #"/ ." .$5$%'

,;-."/%$1$%- σy ,"0/ ." .+$ ,;-1&+2$//"3')

?;-1+2.'5'0% #."/%$62' 4"$% "##"&"P%&' ,'/ 5$1&+1"7$%-/ "2%+2& ,'/ ,-4"2%/ #&-/'0%/ ,"0/ ." 5"%$:&') '/ 1"7$%-/ #'27'0% "##"&"P%&'D #"& '8'5#.'D #"& ,-1+!-/$+0 ,;20' $01.2/$+0 "7'1

(23)

." 5"%&$1' +2 #"& &2#%2&' 4&"3$.' ,' 1'%%' $01.2/$+0) 7" 1&+$//"01' ,'/ ,-4+&5"%$+0/ 1+0,2$% 8 .9"235'0%"%$+0 '0 0+5:&' '% '0 %"$..' ,' 1'/ 5$1&+1";$%-/) < #"&%$& ,920' 1'&%"$0 /'2$.= '..'/ ;+0% >%&' /2?/"55'0% $5#+&%"0%'/ #+2& 5+,$@'& .' 1+5#+&%'5'0% .+1". ,' ." 5"%$A&') '." ;" 3-0-&'& 20 ",+21$//'5'0% ,2 5"%-&$"2 62$ ;" >%&' '0 1+5#-%$%$+0 ";'1 .' ,2&1$//'5'0% .$-8 .9-1&+2$//"3') B"0/ ." /'1%$+0 /2$;"0%'= +0 #&-/'0%' 20' .+$ ,' 1+5#+&%'5'0% -."/%+#."/%$62' '0,+55"3'":.' 62$ %$'0% 1+5#%' ,' 1'/ ",+21$//'5'0%/)

!" #$%&''()'$+

79'0,+55"3'5'0% '/% 3-0-&".'5'0% 1."//-= /'.+0 .'/ 5"%-&$"2C '% .'/ 1"/ ,' 1!"&3'5'0%= '0 62"%&' 1"%-3+&$'/ ,$D-&'0%'/ E(F= (GH I

• .9'0,+55"3'5'0% #."/%$62' ,21%$.' I $. "11+5#"30' .'/ 3&"0,'/ ,-4+&5"%$+0/ #."/%$62'/ ,'/ 5-%"2C 8 %'5#-&"%2&' "5:$"0%' '% 1+55' ." #."/%$1$%-= $. '/% $0,-#'0,"0% ,' ." ;$%'//' ,' 1!"&3'5'0%) J+2/ &';'0+0/ /2& .'/ 5-1"0$/5'/ ,' 1' %K#' ,9'0,+55"3'5'0% #.2/ .+$0 ,"0/ .' ,+125'0% L

• .9'0,+55"3'5'0% 4&"3$.' I $. '/% 1"&"1%-&$/- #"& ,'/ &2#%2&'/ ,' .$"$/+0/ $0%'&"%+5$62'/= .'/ 5$1&+,-4"2%/ /' #&+#"3'"0% /"0/ ,-4+&5"%$+0 #."/%$62' &'5"&62":.') 9'/% .' 1"/ #"& 'C'5#.' ,' ." 1-&"5$62' '% ,2 :-%+0 L

• .9'0,+55"3'5'0% ;$/1+#."/%$62' ,' M2"3' I $. '/% 4+01%$+0 ,2 %'5#/ '% 1+&&'/#+0,= ,"0/ .' 1"/ ,'/ 5-%"2C "2C %'5#-&"%2&'/ 5+K'00'/ '% -.';-'/= "2C ,-1+!-/$+0/ $0%'&3&"02N ."$&'/ "11+5#"30"0% .'/ ,-4+&5"%$+0/ ;$/1+#."/%$62'/ L

• .9'0,+55"3'5'0% ,' 4"%$32' I $. '/% ,O "2C 1K1.'/ ,' 1!"&3'5'0% &-#-%-/ '% +0 .' &'#A&' '0 4+01%$+0 ,2 0+5:&' ,' 1K1.'/ "##.$62-/ "2 5"%-&$"2)

B"0/ .' #&-/'0% %&";"$.= +0 /9$0%'&'//' 8 ." #&'5$A&' 1"%-3+&$'= 1'..' ,' .9'0,+55"3'5'0% #."/%$62' ,21%$.')

!"! #$%&'()* +* ,-.+/00120.3 +)43',

<2 1+2&/ ,' 3&"0,'/ ,-4+&5"%$+0/ #."/%$62'/= .' #&+1'//2/ ,' ,-3&","%$+0 #&+3&'//$;' ,920 5"%-&$"2 ,920 -%"% /"$0 P2/6298 ." &2#%2&' 5"1&+/1+#$62' #'2% >%&' ,$;$/- '0 %&+$/ #!-0+5A0'/ ,$/%$01%/ I ." 3'&5$0"%$+0 ,' 5$1&+1";$%-/= #2$/ ." 1&+$//"01' '% ." 1+".'/1'01' ,' 1'..'/N1$) '/ #!-0+5A0'/ #'2;'0% >%&' ,-1&$%/ 1+55' /2$% I

• Q'&5$0"%$+0 R@32&' ()(S I +0 %&+2;' ,"0/ ." #.2#"&% ,'/ 5"%-&$"2C 5-%"..$62'/ 20' 62"0%$%- $5#+&%"0%' ,' ,-4"2%/ 5$1&+N/%&21%2&"2C= %'..'/ 62' .'/ $01.2/$+0/) T+25$/ 8 20 -%"% ,' 1+0%&"$0%'/= 1'/ ,-4"2%/ '03'0,&'0% 20' 1+01'0%&"%$+0 .+1".' ,' 1+0%&"$0%'/) '%%' 1+01'0%&"%$+0 ,' 1+0%&"$0%'/ #'2% #&+;+62'& 8 /+0 %+2& /+$% ." ,-1+!-/$+0 ,'/ $0N 1.2/$+0/ ,' ." 5"%&$1' R@32&' ()( R:SS /+$% ." &2#%2&' ,'/ $01.2/$+0/ R@32&' ()( R"SS) '1$ 5A0' 8 ." 1&-"%$+0 ,'/ 5$1&+N1";$%-/ '0%&' ." 5"%&$1' '% .'/ $01.2/$+0/= +2 '0%&' .'/ ,'2C #"&%$'/ ,' .9$01.2/$+0 &+5#2') ' 5-1"0$/5' ,9+2;'&%2&' ,' 5$1&+N1";$%-/ '/% "##'.- ." #!"/' ,' 3'&5$0"%$+0 62$ '/% 8 .9+&$3$0' ,' .9'0,+55"3'5'0% ,21%$.' ,' ." /%&21%2&')

(24)

!"# ()( 7 81!-5"%$/"%$+0 ,'/ 5-1"0$/5'/ ,' 3'&5$0"%$+0 9(:;)

• &+$//"01' <=32&' ()>? @ 1'/ 5$1&+A1"B$%-/ B+$'0% .'2& %"$..' 1&+C%&' /+2/ .D'E'% ,' ." %'0/$+0 !F,&+/%"%$62' '% ,'/ 5+2B'5'0%/ ,' ,$/.+1"%$+0/ &'/#+0/"G.'/ ,' .D-1+2.'5'0% #."/%$62') H #"&%$& ,D20' 1'&%"$0' %"$..'I '..'/ B+0% J%&' /2K/"55'0% 0+5G&'2/'/ #+2& 5+,$='& .' 1+5#+&%'5'0% .+1". ,2 /+.$,')

!"# ()> 7 81!-5"%$/"%$+0 ,' .D-B+.2%$+0 ,'/ 1"B$%-/ 9(:;)

• +".'/1'01' <=32&' ()L? @ .+&/62' ." #+&+/$%- "%%'$0% 20 /'2$. 1&$%$62'I +0 B+$% "##"&"C%&' 20 #!-0+5M0' ,D$0%'&"1%$+0 '0%&' .'/ 5$1&+A1"B$%-/ 62$ 1+55'01'0% N /' &-20$&) '." 1+0,2$% N ." 4+&5"%$+0 ,'/ 5"1&+A=//2&'/ 62$ '0%&"C0'0% ." &2#%2&' ,2 5"%-&$"2)

(25)

!"# ()7 8 91!-5"%$/"%$+0 ,' ." 1+".'/1'01' ,'/ 1":$%-/ ;(<=)

>"0/ 1'%%' -%2,'? +0 4"$% .@!A#+%!B/' ,@20 '0,+55"3'5'0% $/+%&+#') +0 /' 1+0%'0%' ,+01 ,@20' :"&$"C.' /1"."$&' w #+2& &'#&-/'0%'& .@'0,+55"3'5'0%)

D+2/ #&$:$.-3$+0/ ,' #.2/ 20' "##&+1!' 5"1&+/1+#$62' #!-0+5-0+.+3$62' E5+,B.' ,@'0F ,+55"3'5'0% ,' !"C+1!'FG'5"$%&'H 1"& 1'..'F1$ 0+2/ /'5C.' ." #.2/ ","#%-' "2 1",&' $0F ,2/%&$'. ,' 0+%&' -%2,')

!"!# $%&'() &*)+&%,,-.),)+/ &) 01-2%31)45),-6/7)

G" /%&21%2&' '0,+55"3-' '/% /2##+/-' "I'1%-' #"& 20' ,'0/$%- !+5+3B0' ,' 5$1&+1":$%-/ +2 ,' 5$1&+J//2&'/) K+2& &'0,&' 1+5#%' ,' .@$0L2'01' ,' 1'/ 5$1&+,-4"2%/ /2& .' 1+5#+&%'5'0% &!-+.+3$62' ,2 5"%-&$"2? +0 $0%&+,2$% $1$ .' 5+,B.' ,' !"C+1!'FG'5"$%&' ;(M=) ' 5+,B.' '/% C"/- /2& .'/ 0+%$+0/ ,' 1+0%&"$0%' 'I'1%$:' '% ,@-62$:".'01' '0 ,-4+&5"%$+0 N .' 5"%-&$"2 '0,+55"3- /+25$/ O 20' 1'&%"$0' 1+0%&"$0%' σ /' 1+5#+&%' 1+55' .' 5"%-&$"2 /"$0 E1@'/% O ,$&' 0+0 '0,+55"3-? -:'0%2'..'5'0% #."/%$J-H /+25$/ O ." 1+0%&"$0%' 'I'1%$:' eσ) G" :"&$"C.' ,@'0,+55"3'5'0% #'&5'% ,' #"//'& ,' ." 1+0%&"$0%' 2/2'..' E:&"$'H O ." 1+0%&"$0%' 'I'1%$:' N

e σ = σ

1 − w E()PQH

!"#$ %&$#'(")*!'+,-$

G@+CR'% ,' 1'%%' #"&%$' '/% ,' ,-J0$& .' 1",&' %!'&5+,A0"5$62' 0-1'//"$&' O ." ,'/1&$#%$+0 ,'/ #!-0+5B0'/ $&&-:'&/$C.'/ "2 /'$0 ,'/ 5"%-&$"2S) >"0/ 1'%%' -%2,'? %+2%'/ .'/ 5+,-.$/"%$+0/ '% .'/ ,-:'.+##'5'0%/ /+0% "C+&,-/ O .@-1!'..' 5"1&+/1+#$62')

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

(26)

7"0/ .' 1"/ ,'/ #!-0+580'/ ,$//$#"%$4/9 1'/ :"&$";.'/ $0%'&0'/ /+0% &'#&-/'0%"%$:'/ ,' .<!$/= %+$&' ,2 />/%85') ?' 5+,8.' ,' 1+5#+&%'5'0% 62' 0+2/ ,-:'.+##+0/ '/% 1+0/%$%2- ,' %&+$/ :"&$";.'/ $0%'&0'/ #&-/'0%-'/ ,"0/ .' %";.'"2 /2$:"0% @%";.'"2 ()(A B

*-1"0$/5'/ C"&$";.'/ $0%'&0'/ C"&$";.'/ "//+1$-'/ D."/%$1$%- εe= ε − εp σ

D1&+2$//"3' $/+%&+#' r R E0,+55"3'5'0% $/+%&+#' w Y

!"# ()( F .'/ :"&$";.'/ ,<-%"% '% .'2&/ :"&$";.'/ '% 5-1"0$/5'/ "//+1$-/)

'/ :"&$";.'/ /2G/'0% H ,-I0$& .<-%"% ,<20 />/%85'9 '% 1' H %&":'&/ ." 1+00"$//"01' ,<20 #+%'0%$'. %!'&5+,>0"5$62') J"&5$ .'/ 1!+$K #+//$;.'/9 0+2/ +#%'&+0/ #+2& .' #+%'0%$'. %!'&= 5+,>0"5$62' -0'&3$' .$;&' ψ = ψ(εe_{, r, w)}_{) ' #+%'0%$'. '/% 20' 4+01%$+0 1+0:'K' ,' %+2%'/}

.'/ :"&$";.'/ ,<-%"%9 '% #'&5'% ,' ,-I0$& ,'/ 4+&1'/ %!'&5+,>0"5$62'/ "//+1$-'/ H 1!"120' ,'/ :"&$";.'/ ,<-%"%)

L0 #'2% 4"$&' @?'5"$%&' '% !";+1!' M(NOA .<!>#+%!8/' ,<20' #"&%$%$+0 ,' .<-0'&3$' .$;&' '0 20' #"&%$' -."/%$62' '% 20' #"&%$' #."/%$62' @1' 62$ $5#.$62' #"& 'K'5#.' 62' .'/ #&+#&$-%-/ -."/%$62'/ 0' /+0% #"/ $0P2'01-'/ #"& .<-1+2.'5'0% #."/%$62'A B ρψ(εe, r, w) = ρψe(εe, w) + ρψp(r, w) @()QNA ?<!>#+%!8/' ,' ,-1+2#."3' '0%&' .'/ 'R'%/ ,<-1&+2$//"3' '% .'/ 'R'%/ ,<-."/%$1$%- "//+1$-/ H .<'0,+55"3'5'0% #'&5'% ,<-1&$&' B ρψ = ρψe(εe, w) + ρψp(r) @()QSA +T ψe '% ψp /+0% &'/#'1%$:'5'0% .' #+%'0%$'. -."/%$62' '% .' #+%'0%$'. #."/%$62')

?' #+%'0%$'. -."/%$62' '0,+55"3'";.' #'2% U%&' +;%'02 H #"&%$& ,' .<-62"%$+0 @()QVA '% ,2 #+%'0%$'. -."/%$62' ,2 5"%-&$"2 :$'&3') ?' #+%'0%$'. %'0"0% 1+5#%' ,' .<'0,+55"3'5'0% /<'K#&$5' ".+&/ 1+55' /2$% B ρψe(εe, w) = 1 2(1 − w)ε e_{: C : ε}e _@()QWA ?" .+$ ,<-."/%$1$%- '0,+55"3'";.' /<'0 ,-,2$% B σ = ρ∂ψe(r) ∂εe = (1 − w)C : ε e _@()QXA

?" :"&$";.' %!'&5+,>0"5$62' R9 "//+1$-' H ." :"&$";.' /1"."$&' ,<-1&+2$//"3' $/+%&+#' r9 '/% ,+00-' #"& B

R = ρ∂ψp(r)

∂r @()QYA

(27)

7" 4+&1' %!'&5+,80"5$62' "//+1$-' 9 .:'0,+55"3'5'0% /:+;%$'0% #"& < Y = ρ∂ψe ∂w = − 1 2ε e_{: C : ε}e = − 1 2(1 − w)2σ : C−1: σ = − 1 2E(1 − w)2 (1 + ν)σ : σ − ν(trσ)2 = −s : s 4µ(1 − w)2 + −p2 2χ(1 − w)2 =()>?@

7:$0-3".$%- ,' !"#$%#$&'#()*A 62$ 'B#&$5' .' /'1+0, #&$01$#' ,' ." %!'&5+,80"5$62' $5#+/' 62' ." ,$//$#"%$+0 5-1"0$62' /+$% #+/$%$C' <

σ : ˙εp− R ˙r − Y ˙w ≥ 0 =()>(@ 7'/ ,-4+&5"%$+0/ #."/%$62'/ #'2C'0% /' #&+,2$&' /"0/ '0,+55"3'5'0%A ,' 5D5' .:'0E ,+55"3'5'0% #'2% /' ,-C'.+##'& /"0/ -1+2.'5'0% #."/%$62' 5"1&+/1+#$62' "##&-1$";.'A '." $5#.$62' .'/ ,'2B &'."%$+0/ /-#"&-'/ /2$C"0%'/ <

σ : ˙εp− R ˙r ≥ 0 '% − Y ˙w ≥ 0 =()>F@ −Y -%"0% 20' 4+&5' 62",&"%$62' ,-G0$' #+/$%$C'A .' /'1+0, #&$01$#' $5#+/' ,+01 ˙w ≥ 0)

!"# $%&'!()*"!+ $,# '-."-/(,# "+*,.+,#

7'/ .+$/ ,:-C+.2%$+0 ,'/ C"&$";.'/ $0%'&0'/ /+0% +;%'02'/ #"& ,-&$C"%$+0 ,2 #+%'0%$'. ,' ,$//$#"%$+0) 7'5"$%&' '% !";+1!' H(IJ +0% #&+#+/- 20 #+%'0%$'. ,' ,$//$#"%$+0 62$ ,-1+2#.' .'/ #!-0+5K0'/ ,$//$#"%$4/ .$-/ 9 ." #."/%$1$%- '% 1'2B .$-/ 9 .:'0,+55"3'5'0%)

F (s, r, w, Y ) = f (s, r, w) + fw(Y, w) =()>>@

+L 4=/A&AM@ /:'B#&$5'A 9 #"&%$& ,' ." ,-G0$%$+0 ,' ." C"&$";.' ,:'0,+55"3'5'0%A #"& < f (˜s, r) = J2(˜σ) − σ0(r)

= _1−w1 J2(σ) − σ0(r)

= _1−w1 q3₂s : s − σ0(r)

= f (s, r, w)

=()>N@ 7:'B#&'//$+0 ,' fw(Y, w) '/% #+/%2.-' #"& 7'5"$%&' '% !";+1!' H(IJ <

fw= 1 1 − w s0 b + 1 −Y s0 b+1 =()>I@ +L s0 '% b /+0% ,'/ #"&"5K%&'/ 5"%-&$"2) FO

(28)

70/2$%'8 .'/ .+$/ ,9-:+.2%$+0/ ,'/ :"&$";.'/ $0%'&0'/ #'2:'0% <%&' +;%'02'/ 4"1$.'5'0% = ˙epl= −λpl ∂f ∂(−σ) = 3λpl 2(1 − w)2_σ 0 s, ˙ε = λ pl (1 − w) >()?@A ˙r = −λpl∂f ∂R = λ pl_, r = (1 − w)ε >()?BA ˙ w = −λpl∂fw ∂Y = λpl 1 − w −Y s0 b = −Y s0 b ˙ε !"#$% !"#$ %&!'%())*+!)!', &'() *'+,-./0) -1 2.345/5'4 20 -1 61)517-0 28042'++190+04/: 4'(; 54/)'2(5;'4; 20(< ;*1= -15)0;" >0 ,)0+50) 0;/ -1 61-0() 20 2.?')+1/5'4 ,-1;/5@(0 .@(561-04/0 A ,1)/5) 20 -1@(0--0 -804= 2'++190+04/ *'++04*0 A 1,,1)1B/)0 εd" C4 0D0/: 04 20;;'(; 28(4 *0)/154 ;0(5-: 5- 48E 1 ,1; 2854F(04*0 20 -1 90)+541/5'4 20; +5*)'*165/.; ;() -0; ,)',)5./.; +.*145@(0;" >854/)'2(*/5'4 20 εd,0)+0/ 20 /045) *'+,/0 20 *0//0 '7;0)61/5'4" >0 20(<5G+0 ;*1-15)0 0;/ -8042'++190+04/ *)5/5@(0 A )(,/()0 wc @(5 *'))0;,'42 A -1 61-0() 28042'++190+04/ A ,1)/5) 20 -1@(0--0 5- E 1 )(,/()0 20 -8.-.+04/ 6'-(+5@(0 )0,).;04/1/5? CHI%" JG; @(0 -8042'++190+04/ 1//054/ *0//0 61-0() *)5/5@(0: -8CHI ,0(/ K/)0 *'4;52.). *'++0 )'+,(: *80;/=A=25)0 w = 1 !"# !"L M I0,).;04/1/5'4 20 -1 -'5 28.6'-(/5'4 *'4;52.).0 20 -8042'++190+04/" NO