Groupe de Galois

Groupe de Galois

Samuel Rochetin

Jeudi 1

_{juin 2017}

Problème. On considère le polynôme suivant : P (X) = X4_{+ 1.}

1. Démontrer que P est irréductible dans Q[X].

2. Démontrer que les racines de P sont de la formeα, α3_{, α}5_{, α}7 _{, où α est}

un nombre complexe bien choisi.

3. En déduire que l’extension de corps Q → Q(α) est finie, normale et sépa-rable, et donner [Q(α) : Q] et |Gal (Q(α) : Q)|.

4. Démontrer que tout σ ∈ Gal (Q(α) : Q) est déterminé par l’image σ(α) de α.

5. Indiquer les valeurs prises par les σ(α) et décrire les automorphismes du corps Q(α).

6. Démontrer que Gal (Q(α) : Q) est isomorphe à (Z/2Z × Z/2Z, +). Corrigé. 1. Le critère d’Eisenstein appliqué à P (X + 1) = X4_{+ 4X}3_{+ 6X}2₊

4X + 2 montre que P est irréductible dans Q[X]. 2. Les racines de P sont exp iπ

4  , exp 3iπ 4  , exp 5iπ 4  , exp 7iπ 4  donc

en posant α := exp iπ 4



, les racines de P sont de la forme {α, α3, α5, α7}. 3. Q → Q(α) est normale comme corps de décomposition de P , finie, de degré [Q(α) : Q] = 4 = deg P , et séparable car de caractéristique nulle. Le groupe de Galois est d’ordre 4.

4. Soit σ ∈ Gal (Q(α) : Q). Pour tout k ∈ Z, σ αk
= σ(α)k, donc σ est déterminé par σ(α).

5. σ(α) peut prendre pour valeurs α, α3, α5, α7. Un automorphisme σk du

corps Q(α), où k = 1, 3, 5 ou 7, est déterminé par σk(α) = αk.

6. Un groupe d’ordre 4 est isomorphe à (Z/4Z, +) s’il existe un élément d’ordre 4 ou à (Z/2Z×Z/2Z, +) sinon. Or, σ3(α)2= σ3◦σ3(α) = σ3 α3
=

α3
3

= α donc σ2

3 = Id, de même pour σ5et σ7. Donc les automorphismes