Apport de la modélisation multiphasique à l’analyse du comportement macroscopique de matériaux renforcés par fibres

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comportement macroscopique de matériaux renforcés

par fibres

van Tuan Nguyen

To cite this version:

van Tuan Nguyen. Apport de la modélisation multiphasique à l’analyse du comportement

macro-scopique de matériaux renforcés par fibres. Autre. Université Paris-Est, 2013. Français. �NNT :

2013PEST1034�. �pastel-00977358�

ÉCOLE DOCTORALE MODES

T H È S E

présentée pour l'obtention du diplme de

Do teur

de l'Université Paris-Est

Spé ialité : Stru tures et Matériaux

Présentée et soutenue par

Van Tuan NGUYEN

Apport de la modélisation multiphasique à l'analyse du

omportement ma ros opique des matériaux renfor és

par bres

soutenue à Champs sur Marne le 26 novembre 2013

devant le jury omposé de :

Djimédo KONDO, univ. Paris 6, Président/Rapporteur

Issam DOGHRI, univ.Catholique deLouvain, Rapporteur

Ghazi HASSEN, univ. Paris-Est, Examinateur

Emmanuel BOURGEOIS, IFSTTAR, Invité

Jevoudraistoutd'abordexprimermesremer iementsàmondire teurdethèsePatri k de

BUHANpour m'avoira ueilliausein de son équipe.Je luisuis égalementre onnaissant

pour le temps onséquent qu'il m'a a ordé, ses qualité pédagogiques et s ientiques.

J'exprime de sin ères remer iements à Ghazi HASSEN pour son en adrement, ses

onseils avisés et sa disponibilité du début à la n de e long travail de re her he. Sa

onan eet son soutienontété des élémentsmoteurspourmoi. J'aipris un grandplaisir

àtravaillerave lui.

Je souhaite remer ier les rapporteurs de ette thèse M. Dijimédo KONDO,

Profes-seur à l'Université Paris 6, et M. Issam DOGHRI, Professeur à l'Université Catholique

de Louvain, pour l'intérêt qu'ils ont porté à mon travail.Leurs remarques et suggestions

lorsde la le turede mon rapport m'ont permis d'apporter des améliorationsà la qualité

de e dernier.

Mer i également à M. Emmanuel BOURGEOIS pour avoir faire partie de mon

jury de thèse ainsi que pour ses ommentaires etses orre tions de e mémoire.

Je remer ie enn tous mes ollègues dans l'équipe Multi-é helle du laboratoire

Na-vier, ma familleet mes amis qui m'ont beau oup aidé pendant mathèse et ave qui j'ai

Une modélisation ré ente, qualiée de multiphasique, permettant de dé rire le

om-portement des ouvrages en sols renfor és par in lusions a été développée et intégrée

dans un ode de al ul par éléments nis. Le hamp d'appli ation de ette appro he a

été étendu pour rendre ompte du omportement ma ros opique de matériaux à bres

tels que le plâtre, le béton de bres, les ouvrages en sol renfor és par des bres et

les tissus osseux qui présentent une mi rostru ture onstituée d'une matri e et d'une

distributiondebresplusoumoinslonguesorientéesdanstouteslesdire tionsdel'espa e.

Cette appro he est d'abord mise en ÷uvre pour déterminer le omportement

élas-tique du omposite à bre, les résultats obtenus sont omparés à eux fournis par les

s hémasd'estimationdilué etde MoriTanaka,basés sur lasolutiond'Eshelby, lasuite de

e travail est onsa rée au développement du modèle dans le adre d'un omportement

anélastique des onstituants. Des solutions analytiques ont été développées permettant

de retrouver le omportement ma ros opique des matériaux à bres sous ertaines

solli- itations simples dans le adre d'un omportement élasto-plastique ou élastique-fragile

des diérents onstituants.Lemodèle est par la suitemis en ÷uvre numériquement dans

le adrede laméthode des éléments nispermettant d'a éder àlaréponse de stru tures

en matériaux àbres.

A multiphase model has been re ently developed and integrated into a nite element

based ode for the analysis and designof soilstru tures reinfor edwith linear in lusions.

This approa h is extended to a ount for the ma ros opi behavior of ber reinfor ed

materials su h as plaster, on rete ber, soil reinfor ed by short bers and bone tissues,

whi h are onstituted of a matrix and a distributionof ontinuously oriented bers.

The proposed model is performed to evaluate the elasti ma ros opi stiness of

the omposite material, the obtained results are ompared to those deriving from

the dilute and Mori-Tanaka estimations. The model is then extended to take into

a ount a nonelasti behavior of the onstituents. Starting from the derivation of some

analyti al solutions to boundary value problems involving ber reinfor ed materials

in the ontext of elasto-plasti and brittle behavior of the matrix and bers, a

f.e.m.-based odeisdeveloped andappliedtosimulatingthebehaviorofsometypi alstru tures.

1 Introdu tion générale 1

1.1 Introdu tion . . . 1

1.2 Généralitéssur lesmatériaux àbres . . . 2

1.3 Unebrève revue des méthodes de al ul. . . 4

1.3.1 Méthodes d'homogénéisation. . . 4

1.3.2 Formules simpliées. . . 6

1.4 Modélisationmultiphasique des matériaux renfor és par bres . . . 7

2 Modèle multiphasique des matériaux à bres 11 2.1 Introdu tion . . . 13

2.2 Constru tiondu modèle multiphasique de matériauà bres . . . 13

2.2.1 Méthode des puissan es virtuelles . . . 13

2.2.2 Des ription inématique du milieu multiphasique . . . 14

2.2.3 Expressions des puissan es virtuelles . . . 15

2.2.4 Miseen ÷uvre du prin ipedes puissan es virtuelles . . . 19

2.3 Elasti itédu milieu multiphasique . . . 22

2.3.1 Déformationsdu milieumultiphasique . . . 22

2.3.2 Thermodynamiquedu milieumultiphasique . . . 23

2.3.3 Comportement élastique . . . 25

2.3.4 Comportementélastiquelinéairesousl'hypothèsed'adhéren eparfaite 27 2.3.5 Lien ave l'é helle mi ros opique. Détermination des ara téris-tiques mé aniques élastiques des diérentes phases. . . 29

2.4 Evaluationdu omportementglobal du matériaurenfor épar bres . . . . 31

2.4.1 Cas d'une distributiontridimensionnelle de bres . . . 31

2.4.2 Cas d'une distributionbidimensionnelle de bres . . . 33

2.5 Con lusions . . . 34

3 Appro he par homogénéisation 37 3.1 Introdu tion . . . 39

3.2 Notationsde base . . . 39

3.2.1 Moyenne d'un hamp . . . 40

3.2.2 Conditions auxlimites homogènes . . . 40

3.2.3 Lemmede Hill . . . 41

3.3 Problèmede l'in lusiond'Eshelby . . . 43

3.3.1 S héma dilué . . . 44

3.3.2 S héma de Mori-Tanaka . . . 45

3.4 Appli ationauxmatériaux àbres . . . 46

3.4.1 Cas d'un renfor ement unidire tionnel . . . 46

3.4.2 Cas d'une distribution ontinue de bres dans un plan

Oxy

. . . 48

3.4.3 Cas d'une distributiontridimensionnelle de bres . . . 50

3.5 Con lusions . . . 51

4 Comportement anélastique des matériaux à bres 53 4.1 Introdu tion . . . 55

4.2 Extensiondu modèle multiphasique . . . 55

4.2.1 Comportement élastiqueendommageable des bres . . . 55

4.2.2 Cas d'une déformationuniaxialehomogène imposée . . . 57

4.2.3 Cas d'une solli itationde tra tionen déformationplane . . . 61

4.2.4 Cas parti ulier des bres ne résistantqu'à latra tion . . . 66

4.2.5 Poutrerenfor éesoumiseàun hargementdeexionendéformation plane . . . 70

4.2.6 Compressionsimpled'uneéprouvetterenfor éeparunedistribution isotrope de bres élastiques fragiles . . . 75

4.3 Comportementélasto-plastique d'un matériauà bres . . . 80

4.3.1 Comportement élasto-plastique . . . 80

4.3.2 Unexemple d'appli ation . . . 82

4.4 Con lusion . . . 88

5 Mise en ÷uvre numérique du modèle 91 5.1 Introdu tion . . . 93

5.2 Dis rétisation de la distributionde bres . . . 93

5.3 Miseen ÷uvre numérique du modèle en élasti ité . . . 94

5.3.1 Energiepotentielle d'un milieu multiphasique . . . 94

5.3.2 Prin ipe du minimumde énergiepotentielle . . . 96

5.3.3 Formulationvariationnelle . . . 99

5.3.4 Appli ationdelaméthodedesélémentsnisausystèmemultiphasique 99 5.4 Prise en ompte d'un omportement élastiquefragile des bres . . . 105

5.4.1 Simulationnumérique du problème de tra tionen déformationplane108 5.4.2 Cal ul d'une poutre renfor ée soumise à un hargement de exion en déformationplane . . . 110

5.5.1 Position d'un problème d'évolution d'élasto-plastique d'un milieu

multiphasique . . . 113

5.5.2 Dis rétisation temporelle de l'évolutionet algorithme itératif . . . . 115

5.5.3 Formulationpar la méthode des élément nis . . . 117

5.5.4 Miseen ÷uvre numérique du modèle multiphasique en plasti ité . . 121

5.5.5 Poinçonnement d'un demi-espa erenfor é . . . 123

5.6 Appli ationdu ode de al ul multiphasique . . . 125

5.7 Con lusions . . . 126

6 Cal ul à la rupture et ritère de résistan e ma ros opique 129 6.1 Introdu tion . . . 131

6.2 Cal ulà larupture pour les systèmes en milieuxmultiphasiques . . . 131

6.2.1 DomaineK des hargementspotentiellement supportablespour un système multiphasique . . . 131

6.2.2 Appro he statique par l'intérieur de

K

. . . 132

6.2.3 Appro he inématique par l'extérieur de

K

. . . 132

6.2.4 Unexemple de mise en ÷uvre . . . 135

6.3 Critèrede résistan e ma ros opique . . . 140

6.3.1 Dénitiondu domainede résistan e ma ros opique . . . 140

6.3.2 Représentation géométrique du domaine

G

hom

dans l'espa e des ontraintes . . . 142

6.3.3 Unexemple de mise en ÷uvre . . . 147

6.4 Con lusion . . . 149

7 Con lusions et perspe tives 151

A Notation de Voigt pour les tenseurs symétriques 155

B Conditions aux limites homogènes et Lemme de Hill 157

C Composantes de tenseur d'Eshelby dans un milieu isotrope 159

D La ondition de ompatibilité 161

1.1 Exemplesdes matériaux à bres . . . 2

1.2 Etapes demodélisationpar éléments nis . . . 5

2.1 Des riptiondu matériau renfor é aux é helles mi ros opique et ma ros opique . 15 2.2 Angle solide d'unesurfa e innitésimale . . . 16

2.3 Fa ette

dS

denormale n . . . 29

2.4 Distribution ontinue de bres dans le plan

(Oxy)

. . . 31

3.1 Des riptionmulti-é helles . . . 39

3.2 Conditionsaux limites homogènes . . . 40

3.3 Problème del'in lusiond'Eshelby . . . 44

3.4 Coordonnées polaires . . . 48

3.5 Coordonnées sphériques . . . 50

4.1 Courbe ontrainte-déformation des phasesrenfor ements . . . 56

4.2 Déformation homogène uniaxiale imposée . . . 57

4.3 Déformation ma ros opique uniaxiale :zones endommagées . . . 58

4.4 Déformation ma ros opique uniaxiale : ourbe ontrainte-déformation . . . 59

4.5 Déformation ma ros opique uniaxiale : évolution du paramètre d'endommage-ment

β

. . . 60

4.6 Déformation ma ros opique uniaxiale : ourbes ontrainte-déformation en fon -tionde

α

r

T . . . 60

4.7 Solli itation detra tionen déformation plane . . . 61

4.8 Essaidetra tionen déformation plane : zones endommagées . . . 63

4.9 Essaidetra tionen déformation plane : ourbe ontrainte-déformation . . . 64

4.10 Essaidetra tionendéformation plane :évolutiondes paramètres d'endommage-ment

β

et

γ

. . . 65

4.11 Essaidetra tionendéformation plane: ourbes ontrainte-déformation en fon -tionde

α

r

T . . . 65

4.12 Essaidetra tionen déformation plane : zone"ina tive" des bres . . . 66

4.13 Essaide tra tion en déformation plane : zone "ina tive" et zones endommagées des bres . . . 67

4.14 Essaidetra tionendéformation plane :évolutiondes paramètres d'endommage-ment

β

et

ϑ

. . . 69

4.17 Flexiond'une poutre : distribution des ontraintes dans l'épaisseur dela poutre . 73

4.18 Flexiond'une poutre : ourbe moment é hissant - ourbure . . . 74

4.19 Flexiond'une poutre : ourbes moment- ourbure en fon tionde

α

r

T . . . 75

4.20 Compression simple d'une éprouvette renfor ée par une répartition isotrope de bres . . . 76

4.21 Essaide ompression simple :zone endommagée . . . 77

4.22 Essaide ompression simple :zones endommagées . . . 79

4.23 Courbe ontrainte-déformation :essai de ompression simple . . . 80

4.24 Critèredeplasti itéetrègled'é oulementplastique dansle asasso iédelaphase matri e . . . 81

4.25 Déformation homogène

∈

xx

imposée . . . 83

4.26 Comportement élasto-plastique dela phase renfor ement . . . 83

4.27 Déformation ma ros opique uniaxiale :zones plastiées . . . 85

4.28 Déformation ma ros opique uniaxiale : ourbe ontrainte-déformation - plasti- ation des phases renfor ements en premier . . . 86

4.29 Déformation ma ros opique uniaxiale : ourbe ontrainte-déformation - plasti- ation simultanée des phases . . . 87

4.30 Déformationma ros opique uniaxiale: ourbe ontrainte-déformation- plasti a-tionde la phase matri e enpremier . . . 88

5.1 Distribution dis rète des bres . . . 93

5.2 Passagede l'élément de référen e à l'élément réel . . . 101

5.3 Algorithme pour le milieu multiphasique prenant en ompte des bres élastiques fragiles . . . 107

5.4 Courbe ontrainte-déformation :solli itation de tra tionen déformation plane . 108 5.5 Courbe ontrainte-déformation :solli itation de tra tionen déformation plane . 109 5.6 Maillage dela stru ture . . . 110

5.7 Résultatnumérique : relation moment- ourbure . . . 111

5.8 Exemplede distribution de la fon tionde pondération

ψ

([40℄). . . 112

5.9 Illustration dela zone d'intera tion . . . 112

5.10 Courbe moment- ourbure utilisantle al ul nonlo al . . . 113

5.11 Algorithme de plasti ité pour lemilieu multiphasique . . . 121

5.12 Courbe ontrainte -déformation : déformation ma ros opique uniaxiale . . . 122

5.13 Courbe ontrainte -déformation : essai detra tionen déformation plane . . . 123

5.14 Poinçonnement d'undemi-espa e renfor é . . . 123

5.15 Poinçonnement d'un demi espa e : zoom sur le maillage au voisinage de la semelle . . . 124

5.17 Poinçonnement d'un demi espa e - Courbe de hargement as les bres sont élastiques fragiles . . . 125

5.18 Flexion d'une poutre renfor ée (matri e élastique fragile et bres élasto-plastiques)- ourbe moment- ourbure . . . 126

6.1 Constru tiond'une appro he statique par l'intérieurdu domaine

K

. . . 132

6.2 Interprétation géométriquede (6.11) dans l'espa e des paramètres de hargement 134

6.3 Essaide ompression endéformation plane . . . 136

6.4 Distribution des ontraintes dans les phases renfor ement . . . 136

6.5 Interprétationgéométriquedu domaine

G

hom

etdesa fon tiond'appui dans l'es-pa e des ontraintes . . . 141

6.6 Ve teur unitaire radial . . . 142

6.7 Distribution bidimensionnelle debres : représentation géométrique du domaine

G

hom

dans leplan des ontraintesprin ipales . . . 144

6.8 Distribution tridimensionnelle: représentation géométrique du domaine

G

hom

1.1 Cara téristiques et propriétés spé iques dequelques familles debres . . . 3

3.1 S hémadilué ets héma deMori-Tanaka - Modules élastiques à l'ordre

1

en

f

r

Introdu tion générale

Sommaire

1.1 Introdu tion . . . 1

1.2 Généralités sur les matériaux à bres . . . 2

1.3 Une brève revue des méthodes de al ul. . . 4

1.3.1 Méthodesd'homogénéisation . . . 4

1.3.2 Formules simpliées . . . 6

1.4 Modélisation multiphasique des matériaux renfor és par bres . 7

1.1 Introdu tion

T

andisquel'emploideste hniquesderenfor ementdestru turess'est largement

géné-raliséetdiversié,lesméthodesde al uletdesimulationdu omportementde telles

stru tures, par nature omposites, exigenten ore de nombreux développements, tant sur

le plan théorique (re ours aux te hniques d'homogénéisation), que numérique (méthode

des éléments nis). Ainsi, dans le domaine du génie ivil, une modélisation qualiée de

multiphasiqueaétéré emmentproposéepourlesouvragesen solsrenfor ésparin lusions

linéaires ontinues souples (terre armée, géotextiles, et .) ou raides (in lusions "rigides",

pieux, et .).Ledéveloppementde e modèle s'estee tué enplusieursétapessu essives,

ave notammentlathèsede B.Sudret(1999)[50℄,suiviede ellesde M.Bennis(2002)[2℄,

G.Hassen(2006)[28℄etenndeQ.ThaiSon(2009)[49℄.Cesdiérentstravauxontabouti

à l'élaboration d'un ode par éléments nis fondé sur ette modélisation, qui a permis

de répondre aux exigen es d'industriels ou de bureaux d'études onfrontés au

dimen-sionnementde etyped'ouvrage(ANDRA,EdF-SEPTEN,GDS,ProjetNationalASIRi).

Dans un ontexte diérent, et à une bien plus petite é helle, d'autres matériaux

omposites industriels (béton ou plâtres de bres, sols renfor és par bres ourtes, et .),

et ertains biomatériaux (tissus osseux), présentent par bien des aspe ts, des

du travailproposé dans le adre de ette thèse est d'explorerles possibilitésd'étendre le

hamp d'appli ationdu modèlemultiphasique,etde situer laméthode de al ulélaborée

sur la base de e modèle par rapport à d'autres te hniques d'homogénéisation, tels que

les s hémas d'estimation déjà utilisés pour e type de matériaux (thèse de J. Sanahuja

(2008)[47℄ etA. Frits h(2009) [25℄).

Ce hapitre introdu tif débute par une présentation rapide des matériaux renfor és

par bres, suivie de elle de leurs avantages par rapport aux matériaux traditionnels.

La deuxième partie est ensuite onsa rée à la présentation des méthodes de al ul

ouramment utilisées par les ingénieurs ou faisant l'objet de re her hes a tuelles. On

distingue deux grandes familles, à savoir les méthodes analytiques basées sur des

te hniques d'homogénéisation et les appro hes numériques de type al ul par éléments

nis. La des ription de es diérentes méthodes de al ul et la di ulté à les mettre en

÷uvresontégalementprésentées. Enn, etteétudebibliographiques'a hèveparl'exposé

de l'obje tifde e mémoiredont ondé rit le plangénéral.

1.2 Généralités sur les matériaux à bres

Les matériaux renfor és par bres sont aujourd'hui prin ipalement utilisés

industriel-lement dans de nombreux domaines (aéronautique, génie ivil, automobile, o-shore

pétrolier ...) (gure 1.1). Ils sont généralement fabriqués à partir de bres disjointes orientées aléatoirementou non ausein d'une matri e homogène quien assure laliaison.

a) Béton de fibres

b) Plâtre de fibres

c) Tissus osseux

Figure 1.1 Exemplesdes matériaux à bres

Lesmatri es peuvent être dé omposées en des atégories suivantes :

⋄

Les matri es thermodur issables, onstituées généralement de résines polyesters de ondensation ouépoxydes.

⋄

Les matri es thermostables qui sont des résines apables de garder leurs propriétés mé aniques àdes températures élevées.

⋄

Lesmatri esmétalliques.

⋄

Lesmatri esminéralestel que lapâte de iment oula éramique. On peut distinguer en généraltrois grandesfamillesde bres :

⋄

Lesbres métalliques: a ier, inox, fonte, et .

⋄

Lesbres organiques: polyamide,polypropylène, a rylique, aramide, arbone, et .

⋄

Lesbres minérales: verre, wollastonite, basalte,mi a, et .

Masse volumique (en

g/cm

3

) Diamètre moyen (en

µm

) Résistan e à latra tion (en

N/mm

2

) Module d'élasti ité (en GPa) Allongement àla rupture (en %) Fibres métalliques 7,85 50-1000 1000-2500 150-200 3-4 Fibres de verre 2,6 9-15 2000-3000 80 2-3,5 Fibres polypropylène 0,9 >4 500-750 5-10 10-20

TABLEAU 1.1Cara téristiques etpropriétés spé iquesde quelques famillesde bres

Chaque bre présente des ara téristiqueset des propriétés qui luisont propres (tableau

1.1). Grâ e à leurs propriétés mé aniques bien supérieurs à elle de la matri e, les bres ont généralement pour rle d'améliorer les performan es mé aniques globales des

matériaux omposites. Selon les bres utilisées et les stru tures auxquelles elles sont

in orporées, e rle se traduit par des améliorations relatives à :

⋄

larésistan e mé anique;

⋄

ladu tilitéet larésistan e postssuration;

⋄

ladéformabilitéavant rupture;

⋄

larésistan e à l'usure;

⋄

latenue au feu.

Les propriétés des matériaux omposites résultent des propriétés des matériaux

onsti-tutifs, de la distribution et de l'orientation des in lusions, du taux volumique des

renfor ement, de la naturedes interfa es in lusions/matri e, du pro édé de fabri ation...

Bien que leur oût soit plus élevé que elui des matériaux traditionnels, ils peuvent

apporterà leurs utilisateurs des avantages importants:

⋄

La on eption de matériaux au "juste" besoin, 'est-à-dire présentant des propriétés élevées uniquement dans les axes de solli itationpour obtenir des gains de masse

sup-plémentaires.

⋄

Le dimensionnement de stru tures ayant des propriétés parti ulières (par exemple : matériaux à très faibles ÷ ients de dilatation thermique) ou à mémoire de forme

(tels queéléments onduléspour la onstru tion des plan hers).

⋄

L'utilisationdematériauxmultifon tionnelsayantdesfon tionsstru turales,maisaussi d'autres telles quede bonnes propriétés a oustiques, bonne résistan e au feu.

⋄

La sensibilité nettement moindre à la fatigue, en omparaison à des matériaux métalliques.

1.3 Une brève revue des méthodes de al ul

1.3.1 Méthodes d'homogénéisation

La détermination des propriétés mé aniques des matériaux renfor és par bres à partir

des ara téristiques mé aniques de l'é helle mi ros opique (matri e et bre) est

histori-quementlapremièrevoieretenue. Laméthoded'homogénéisation onsisteàsubstituerun

milieufortementhétérogènepar un milieu tifhomogène,quel'onsouhaite"équivalent"

dans une gammede hargements la plus largepossible.Ce milieuhomogène se omporte

alors "en moyenne" omme le milieu hétérogène à ondition de mesurer les propriétés

mé aniquessur uneé hellegrandedevantlatailledeshétérogénéités.Plusieursappro hes

analytiques basées sur des te hniques d'homogénéisation notamment sur le modèle

d'Eshelby, ont été développées dans la littérature (Hashin et Strikmann (1963) [19℄;

Hill(1965)[31℄; Halpin etTsai(1969)[20℄;Mori-Tanaka(1973) [17℄;Hashin (1983)[27℄;

Torquato (1991) [53℄; Tsai(1992) [54℄...).

Dans le as d'un omposite périodique, les propriétés ee tives du matériau

om-posite peuvent être déterminées en utilisant la méthode d'homogénéisation périodique.

La base théorique de ette méthode peut être trouvée dans Bensoussan et al. (1978) [1℄,

San hez-Palen ia (1980) [48℄ et Kalamkarov (1992) [35℄. La méthode d'homogénéisation

périodique est mathématiquement rigoureuse. D'autres méthodes d'homogénéisation

basées sur la solution d'Eshelby sont utilisées pour l'estimation des propriétés des

Bornes

Enélasti itélinéaire,l'appli ationdesdeux prin ipesdu minimumde l'énergiepotentielle

et de l'énergie omplémentaire permet l'obtention de bornes des modules d'élasti ité. La

mise en ÷uvre de es deux prin ipes variationnels utilisant un hamp de déformation

homogène etun hamp de ontraintehomogène onduit par exempleaux bornes dites de

Voigtetde Reuss respe tivement ([46℄).

Utilisation des méthodes d'homogénéisation numériques

La méthode des éléments nis onstitue l'une des méthodes numériques utilisées pour

l'évaluation du omportement ma ros opique des omposites à bres. Les diérentes

étapesd'une telle appro he sont s hématisées sur la gure 1.2:

Modèle

géométrique

Maillage

Solution par

éléments finis

Milieu

effectif

Figure 1.2 Etapes demodélisation par éléments nis

Le volume élémentaire représentatif (v.e.r) du matériau hétérogène est tout d'abord

identié et modélisé à l'aide d'un ode de al ul par éléments nis, le hoix du v.e.r

devant respe ter les positions et les orientations des bres. La deuxième étape du

pro essus numérique onsiste à mailler le v.e.r. Les bres de renfor ement doivent être

dis rétiséesenélémentsnistridimensionnels.Les onditionsauxlimitesetle hargement

sont ensuite introduits. Ces onditions sont en général asso iées à une déformation

ma ros opique ou une ontrainte ma ros opique homogène (voir hapitre 3 pour plus d'expli ations), ou bien en a ord ave des onditions de périodi ité dans le as d'un

matériau omposite périodique. Par un al ul de moyenne des hamps mi ros opiques,

les tenseurs de déformationet de ontrainte ma ros opiques sont évalués, e qui permet

de al uler, pour haque simulation, une ou plusieurs propriétés élastiques ee tives du

aléatoirement dispersées en utilisant la méthode des éléments nis. Lusti [13℄ a réalisé

uneétude similaire,mais pour des breslongsen al ulantlesrésultatsdes élémentsnis

pour les bres alignées, eten moyennant ensuite le tenseur d'élasti ité obtenu sur toutes

lesorientations possibles.

Ré emment, Liu et al (2005) [55℄ ont développé la méthode des éléments de

fron-tière a élérée (BEM) pour les matériaux renfor és par des in lusions "rigides". Cette

méthode peutêtre appliquéepourlesmodèlesàgrandeé helle. L'intera tiondesbres,le

mé anisme de transfert de hargement etles propriétés ee tives du matériau omposite

peuvent être étudiés en utilisantle ode BEM en faisantvarier diérents paramètres tels

que la fra tion volumique, le rapport d'aspe t des bres, la distribution et l'orientation

des bres.

La mise en ÷uvre d'une te hnique de résolution par élément nis exige de traiter

les in lusionsde renfor ement tout omme des éléments tridimensionnels, les prin ipales

di ultés dans e genred'études tiennent:

⋄

àlatailledesin lusionsvis-à-visde latailledev.e.r,né essitantunmaillagelo alement très n en dis rétisant séparément lesin lusions etla matri e;

⋄

au nombre important d'in lusions utilisées onduisant à des systèmes linéaires à ré-soudre de taillerédhibitoire;

⋄

àla modélisationde l'interfa e matri e/in lusions;

⋄

au ontraste des propriétésmé aniques des matériaux onstituantlamatri eet l'in lu-sion;

⋄

au ara tère anélastique du omportement de la matri e et des in lusions qui doit for émentêtre pris en ompte pour des al uls réalistes.

1.3.2 Formules simpliées

L'utilisation des méthodes d'homogénéisation a donné naissan e à des formules

simpli-ées, permettant d'identier les modules du matériau omposite à partir de eux des

diérents onstituants etde leurs fra tions volumiques. Ces expressions qui seprésentent

en général omme des moyennes arithmétiques ou géométriques des propriétés de la

matri e et des bres peuvent être identiées à la borne supérieure ou inférieure prédite

par la mise en ÷uvre de l'un des deux prin ipesénergétiques dé rits en 1.3.1.

Pour les matériaux à bres unidire tionnels, Halpin et Tsai ([20℄) proposent les

ex-pressions suivantes pour le module longitudinal

E

L

et le ÷ ient de Poisson

ν

LT

en

Poisson

(E

m

, ν

m

)

de lamatri e et

(E

f

, ν

f

)

de la bre :

E

L

= E

f

η

f

+ E

m

(1 − η

f

)

(1.1)

ν

LT

= ν

f

η

f

+ ν

m

(1 − η

f

)

(1.2)

Tandis qu'ils proposent des expressions plus élaborées pour le module transversal

E

T

, le ÷ ientde Poisson

ν

T T

et lemodule de isaillement

G

L

:

M =

1 + ξ

M

α η

f

1 − α η

f

ave

α =

M

f

− M

m

M

f

+ ξ

M

M

m

(1.3) où

M

désigne

E

T

,

ν

TT

ou

G

L

tandis que

M

m

(resp.

M

f

) est le module ou le ÷ ient orrespondant de la matri e (resp. bre).

ξ

E

T

,

ξ

νTT

et

ξ

G

L

sont des paramètres

adimen-sionnelsqui rendent omptede laformedes bres etde leurs distributionsspatialesdont

l'identi ationest expérimentale.

1.4 Vers une modélisation multiphasique des matériaux

renfor és par bres

Le modèle multiphasique a été initialement développé pour le al ul et le

dimensionne-mentdes ouvragesen solrenfor éparin lusions.Cemodèlepermetde généraliserlepoint

de vuedel'homogénéisationetses avantages onsidérablesentermesde gain entemps de

al ul,àlaprise en omptede l'intera tionentre lamatri eetlesin lusionsainsique des

eets de exion, de isaillement des renfor ements dans le as des in lusions raides. Le

pointde départde ettemodélisation onsisteàrempla erleréseaud'in lusions réparties

de façon dis rèteau sein de lamatri epar une distribution ontinue interagissantave le

sol.

Le développementde e modèle s'est ee tué en plusieursétapessu essives :

⋄

Lathèsede Sudret(1999)[50℄ afondélesbases théoriquesgénérales de lamodélisation multiphasique. Lamise en ÷uvre du modèledans le adre de la méthode des éléments

nis en élasto-plasti itéaété développée, e qui apermisde débou her sur un outil de

al ul permettant de résoudre les problèmes plans (déformations planes ou onditions

axisymétriques), sous l'hypothèse d'adhéren e parfaite et dans le as où ne sont pris

en ompte que les eorts de tra tion- ompression dans les renfor ement (in lusions

"souples").

la matri eet lesrenforts supposés "souples".

⋄

La thèse de Hassen (2006) [28℄ a onsisté à étendre le modèle au as des stru tures renfor ées par des in lusions "raides" ou "rigides" (des radiers des fondations sur

pieux par exemple), pour lesquelles les omposantes de exion et de isaillement

jouent un rle prépondérant dans le omportement de la stru ture, et doivent de

e fait être pris en ompte. L'implémentation numérique du modèle, sous

l'hypo-thèse d'adhéren e parfaite, a donné lieu à la mise au point d'un outil de al ul pour

lesproblèmesplansprenanten omptele omportementélasto-plastiquedesmatériaux.

⋄

Enn, la thèse de Thai Son (2009) [49℄ dont l'obje tif est l'extension du modèle multiphasique à la prise en ompte de l'intera tion entre les renfor ements et le sol

environnant. On distingue deux types d'intera tion : une intera tion volumique qui

onstitue l'a tion volumique mutuelle entre la matri e et la phase renfor ement et

une intera tion surfa ique qui régit les mé anisme de transfert de harge à la phase

renfor ement.

Leprésent travailviseàformulerunemodélisationmultiphasiqueadaptée àlades ription

du omportement ma ros opique de matériaux dont la mi rostru ture est formée de

bres orientées de façon ontinue au sein d'une matri e, ainsi que le développement

d'unoutilde al uldédiéàlasimulationdu omportementanélastiquedetellesstru tures.

Plus pré isément,le présent mémoireest organisé ommesuit :

Le hapitre 2 présente la onstru tion du modèle multiphasique pour la modélisa-tion des matériaux à bres par la méthode des puissan es virtuelles. Une démar he

analogue à elle présentée par Sudret ([50℄) onduit à la dénition des eorts intérieurs

par phaseainsi qu'aux variablesde déformationasso iées.Lesloisde omportementsont

onstruites en utilisantle adre lassique de lathermodynamique.

Le hapitre 3 présente des appro hes d'homogénéisation lassiques qui sont par la suite mises en ÷uvres pour identier le omportement ma ros opique des omposites à

bres. La omparaison des diérents résultats montre que les modules ee tifs estimés

par le s héma dilué et elui de Mori-Tanaka oïn ident ave eux obtenus par le modèle

multiphasique dans le as limite d'une très faible valeur de la fra tion volumique de

et la matri e. Le as d'un omposite à matri e élasto-plastique renfor ée par des

bres élastiques fragiles, tels que les sols renfor és par des bres ainsi que le as d'un

omposite à matri e élastique fragile renfor ée par des bres élasto-plastiques ( as du

béton de bres) sont étudiés. Diérentes solutions analytiques sont développées et

uti-liséesau hapitre5 ommesolutionsderéféren epourlavalidationdesoutilsnumériques.

On s'intéresse au hapitre 5 à la mise en ÷uvre numérique du modèle multipha-sique dans le adre de la méthode des éléments nis. Un ode de al ul a été ainsi

développéet validé,permettant de prendre en ompteun omportementélastique fragile

ouélasto-plastique des bres etde lamatri e.

Le dernier hapitre est enn onsa ré à l'estimation du ritère de résistan e des

omposites à matri e et bres du tiles. Les appro hes statique et inématique du al ul

à la rupture sont mises en ÷uvre pour appro her respe tivement par l'intérieur et

l'extérieurle ritèrede résistan e ma ros opiquedu omposite.

* *

Modèle multiphasique des matériaux à

bres en élasti ité linéaire

Sommaire

2.1 Introdu tion . . . 13

2.2 Constru tion du modèle multiphasique de matériau à bres . . . 13

2.2.1 Méthode despuissan es virtuelles . . . 13

2.2.2 Des ription inématique dumilieu multiphasique . . . 14

2.2.3 Expressions despuissan es virtuelles . . . 15

2.2.4 Mise en÷uvre duprin ipe despuissan es virtuelles . . . 19

2.3 Elasti ité du milieu multiphasique . . . 22

2.3.1 Déformations dumilieu multiphasique . . . 22

2.3.2 Thermodynamique dumilieu multiphasique . . . 23

2.3.3 Comportement élastique . . . 25

2.3.4 Comportement élastiquelinéaire sousl'hypothèse d'adhéren e parfaite 27

2.3.5 Lienave l'é hellemi ros opique.Déterminationdes ara téristiques mé aniques élastiquesdes diérentesphases . . . 29

2.4 Evaluation du omportement global du matériau renfor é par bres . . . 31

2.4.1 Cas d'unedistribution tridimensionnelle debres . . . 31

2.4.2 Cas d'unedistribution bidimensionnelle de bres . . . 33

2.1 Introdu tion

C

e hapitre a pour obje tif de présenter la onstru tion du modèle multiphasique

destiné à appréhender le omportement des matériaux à bres dans le adre d'un

omportement élastique linéaire de tous les onstituants. D'une manière tout à fait

analogue aux travaux de Sudret et de Buhan([18℄) et Sudret ([50℄), la méthode des

puissan es virtuelles a été adoptée pour la onstru tion du modèle. Elle aboutit à la

représentation des eorts intérieurs par phase, ainsi qu'aux équations d'équilibre et

onditions auxlimites.

Le omportement élastique est ensuite formulé, aboutissant à une relation linéaire

entre ontrainte et déformation ma ros opiques. Par ailleurs, l'hypothèse d'adhéren e

parfaite entre phases a été adoptée aboutissant à de simples relations de lo alisationdes

ontraintes etdéformations.

La dernière partie de e hapitre est onsa rée à l'évaluation du omportement

ma ros opique et plus pré isément les tenseurs des modules élastiques

C

et de souplesse

S

de matériaux onstitués d'une matri e et d'une distribution ontinue de bres. Deux ongurationsontété étudiées: elled'unedistributionisotropetridimensionnelleet elle

d'une distribution isotrope plane dont les omportements ma ros opiques sont isotrope

etisotropetransverse respe tivement.

2.2 Constru tion du modèle multiphasique de matériau

renfor é par bres

2.2.1 Méthode des puissan es virtuelles

Le prin ipe des puissan es virtuelles est un prin ipe fondamental en mé anique, qui

exprime sous forme dualisée l'équilibre d'un système. L'appli ation de e prin ipe qui

faitappelà l'intuitionauniveaude la inématique du système étudié,va nous permettre

de onstruire le modèle mé anique pour le matériau renfor é par bres. La méthode

des puissan es virtuelles omprend plusieurs étapes su essives que l'on va présenter

brièvement(voir[46℄).

⋄

Onpro ède tout d'abord àladénition géométriquedu système mé anique

S

etde ses sous-systèmes

S

′

.

⋄

On hoisit l'espa e ve toriel

U

des mouvements virtuels (m.v) notés

U

b

. Cet espa e ve toriel que l'on va onsidérer pour la modélisation mé anique du système doit

ontenir lesmouvementsvirtuelsrigidiant(m.v.r)lesystème etses mouvementsréels.

⋄

Sur et espa e ve toriel, on postule les expressions des formes linéaires ontinues de la puissan e virtuelle des eorts intérieurs

P

′

(int)

(b

U)

et extérieurs

P

′

(ext)

(b

U)

, ainsi que elle des quantités d'a élération

A

′

(b

U)

pour un sous-système quel onque

S

′

.

On é rit le prin ipedes puissan es virtuelles :

•

La puissan e virtuelle des eorts intérieurs asso iée à tout mouvement rigidiant est nulle:

∀S

′

⊂ S,

∀ b

U

m.v.r

,

P

′

(int)

(b

U) = 0

(2.1)

•

Lapuissan e virtuelledes quantités d'a élération est égale àlapuissan e virtuelle des eorts intérieurset extérieurspout tout mouvement virtuel :

en référentiel galiléen

R, ∀ b

U

m.v.

,

A

′

(b

U

_{) = P}

′

(int)

(b

U

) + P

′

(ext)

(b

U)

(2.2) En utilisant les deux énon és de e prin ipe on peut exprimer la forme des eorts

inté-rieurs et trouver les équationsdu mouvement ainsi queles onditions aux limites. On va

maintenant appliquer ette méthode àla modélisationdu matériaurenfor é par bres.

2.2.2 Des ription inématique du milieu multiphasique

On onsidère un volume

Ω

d'unmatériau omposite onstituéd'unmilieu ontinuausein duquel on vient disposer des bres de renfor ement linéaires orientées de façon ontinue

dans toutes les dire tions de l'espa e. Chaque dire tion de renfor ement est repérée par

le ve teur unitaire

e

r

et l'abs isse urviligne le long de ette dire tion est représenté par

s

r

. La des ription d'un tel milieu omposite, à l'é helle mi ros opique, est donnée sur la

gure 2.1a.

La modélisation multiphasique d'un tel milieu onsiste à homogénéiser séparément

la matri e et les familles de bres de façon à avoir un milieu multiphasique où en tout

pointgéométriqueune phasematri eetune innité ontinue de phasesrenfor ementsont

en intera tions mutuelles. Ces phases renfor ement dé rivent les familles d'in lusions de

renfor ement regroupant ha une l'ensemble des bres ayant les même propriétés et la

même orientation.

L'expression milieu multiphasique orrespond au modèle de milieu équivalent

de-vant reproduire le omportement mé anique du matériau réel. Un sous-système

S

′

ditmultiphasique s'ilest onstitué de toutesles parti ules de toutes lesphases ontenues

dans un volume

Ω

′

et un sous-système

S

′

j

est dit monophasique s'il est onstitué des

seules parti ules de la phase

j

(matri eouune phase renfor ement quel onque).

x

Ω

matrice

inclusions

r

e

Echelle microscopique

a)

(Echelle macroscopique)

Modèle multiphasique

b)

r

e

U

m

U

r

Figure 2.1 Des riptiondu matériau renfor é aux é helles mi ros opique et ma ros opique

A l'é helle ma ros opique, on dénit un mouvement virtuel du milieu multiphasique par

ladonnée des hampsde vitesserelatifsàlaphase matri e

U

b

m

etàl'ensembledes phases

renfor ement

{ b

U

r

}

(gure 2.1b). Ces hamps sont supposés indépendants, ontinus et ontinûment dierentiables sur

Ω

. L'ensemble de es mouvements virtuels noté

U

b

forme un espa e ve toriel

U

qui ontient notammentles mouvements réels du système :

b

U(x) =

n

U

b

m

_{(x); {b}

U

r

_(x)}

o

(2.3)

2.2.3 Expressions des puissan es virtuelles

Le modèle se onstruit par la méthode des puissan es virtuelles en hoisissant les

diérentes quantités intervenant dans l'expression du prin ipe des puissan es virtuelles.

Ces hoix sont guidés par les ara téristiques mé aniques dont on souhaite rendre

ompte. Comme on l'avu dans le hapitre introdu tif, la distribution des dire tions des

bres de renfor ement est ontinue et isotrope dans l'espa e. On fait l'hypothèse que la

valeur d'unequantité mé anique

Q

r

aupoint

x

,relative àtoutes lesphases renfor ement s'obtient par intégration sur une demi-sphère unité

ω

de son homologue

q

r

, au même

point

x

, orrespondant àla phase renfor ement :

Q

r

(x) =

Z

ω

q

r

(x) dω

(2.4)

déterminé par :

dω =

dS

r

2

= sinθ dθ dϕ

(2.5)

x

r

e

e

_r

e

_q

q

φ

φ

dS

du

z

y

Figure2.2 Angle solide d'unesurfa e innitésimale

2.2.3.1 Puissan e virtuelle des quantités d'a élération

On exprime lapuissan e virtuelle des quantités d'a élération sur tout sous-système par

l'intégralesuivante :

A

′

(b

U) =

Z

Ω

′



ρ

m

(x)γ

m

_{(x) · b}

U

m

(x) +

Z

ω

ρ

r

(x)γ

r

_{(x) · b}

U

r

(x) dω



dΩ

′

(2.6) où

γ

j

_(x)

désigne l'a élérationde laparti ulede laphase

j

au point

x

2.2.3.2 Puissan e virtuelle des eorts intérieurs

Lapuissan evirtuelledeseortsintérieursestdéterminéeparintégrationd'unedensité

vo-lumiquesur tout sous-systèmeo upant un volume

Ω

′

. Cettequantité ontientlestermes

asso iés à ha une des phases et les termes d'intera tion entre les phases renfor ement

etlaphasematri e.Onsupposequ'iln'yapasd'intera tionentrelesphasesrenfor ement.

⋄

Phase matri e : Etant donné que les matériaux onsidérés présentent une fra tion volumique de renfor ement très faible, on peut onsidérer que la matri e du matériau

puissan e virtuelle des eortsintérieursdépend linéairementdu hamp de vitesseet de

ses dérivées premières en

x

:

p

′

_(int)

m

(b

U

_{(x)) = −}



A

m

_{(x) · b}

U

m

(x) + σ

m

(x) :

grad

U

b

m

(x)



(2.7)

⋄

Phase renfor ement:Lesbresde renfor ementétantlinéaires,élan ées etde faible se tion, les eorts de tra tion- ompression sont prépondérants et on peut négliger les

eets de exion et de isaillement.

Les eorts de tra tion- ompression ne travaillant que dans la déformation axiale,

on postule pour la densité de puissan e virtuelle des eorts intérieurs de la phase

renfor ement représentant la famille de bre de dire tion

e

r

, une forme linéaire du hampde vitesse et de sa dérivée le long de ladire tion de renfor ement

e

r

:

p

′

r

(int)

(b

U

(x)) = −

A

r

(x) · b

U

r

(x) + σ

r

_{(x) ·}

d b

U

r

(x)

ds

r

!

= −



A

r

_{(x) · b}

U

r

(x) + (e

r

_⊗σ

r

(x)) :

grad

U

b

r

(x)



(2.8)

⋄

Intera tion :Supposant ennquel'intera tion entre haque phasede renfor ementet la matri esoit pon tuelle, onpostule l'expression :

p

′

I

(int)

(b

U

(x)) = −



I

m

(x)

_{· b}

U

m

(x) +

Z

ω

I

r

(x)

_{· b}

U

r

(x) dω



(2.9)

L'expression de la puissan e virtuelle des eorts intérieurs d'un sous-système

S

′

dépend

deson ara tèremono-oumultiphasique.Pourunsous-système

S

′

j

quio upeunvolume

géométrique

Ω

′

,on intègre simplementla densitéde puissan e virtuelle orrespondante :

P

(int)

′

j

(b

U) =

Z

Ω

′

p

′

_(int)

j

(b

U)dΩ

′

(2.10)

En e qui on erneun sous-système

S

′

multiphasiqueo upantlevolume

Ω

′

etles termesd'intera tion entre phases:

P

′

(int)

(b

U

) = −

Z

Ω

′

n

A

m

_{(x) · b}

U

m

(x) + σ

m

(x) :

grad

U

b

m

(x)

o

dΩ

′

−

Z

Ω

′

Z

ω



A

r

(x)

_{· b}

U

r

(x) + (e

r

_⊗σ

r

(x) :

grad

U

b

m

(x))



dω



dΩ

′

−

Z

Ω

′



I

m

_{(x) · b}

U

m

(x) +

Z

ω

I

r

_{(x) · b}

U

r

(x) dω



dΩ

′

(2.11)

2.2.3.3 Puissan e virtuelle des eorts extérieurs

Les eorts extérieurs s'exerçant sur un sous-système monophasique

S

′

j

peuvent être de

trois types:

⋄

Desfor es de volume orrespondantàdes a tionsàdistan e exer éespar l'extérieurdu système multiphasique omplet

S

, ara tériséespar une densitévolumique

ρ

j

_(x)F

j

_(x)

.

⋄

Des eorts de onta t dénis sur le pourtour

∂Ω

′

par une densité surfa ique

T

j

Ω

′

(x)

, exer és sur

S

′

j

par les parti ules de la même phase, mais extérieurs au sous-système

onsidéré.

⋄

Des eorts d'intera tion ave les autres phases dénis par une densité volumique

I

m

(resp.

I

r

)dans le as oùlesous-système monophasique onstituéde parti ules laphase

matri e (resp. une phase renfor ement).

L'expression de lapuissan evirtuelle des eortsextérieursàtout sous-système

monopha-sique

S

′

j

, s'é rit alors:

P

(ext)

′

j

(b

U

) =

Z

Ω

′

ρ

j

(x)F

j

_{(x) · b}

U

j

(x)dΩ

′

+

Z

∂Ω

′

T

j

_Ω

′

(x) · b

U

j

(x)dS

′

+

Z

Ω

′

I

j

_{· b}

U

j

(x)dΩ

′

(2.12)

puissan evirtuelle deseorts extérieursàtoutsous-système multiphasique seréduitdon à:

P

′

(ext)

(b

U) =

Z

Ω

′



ρ

m

(x)F

m

(x)

_{· b}

U

m

(x) +

Z

ω

ρ

r

(x)F

r

(x)

_{· b}

U

r

(x) dω



dΩ

′

+

Z

∂Ω

′



T

m

_Ω

′

(x)

· b

U

m

(x) +

Z

ω

T

r

_Ω

′

(x)

· b

U

r

(x) dω



dS

′

(2.13)

2.2.4 Mise en ÷uvre du prin ipe des puissan es virtuelles

Onapplique lepremierénon é du prin ipedes puissan es virtuellesquiexprimelanullité

de lapuissan e des eorts intérieurs dans tout mouvement virtuel rigidiant un système

ou sous-système quel onque. Pour un mouvement de translation d'un sous-système

monophasique

S

′

j

:

b

U(x) =

n

0, ..., b

U

j

(x) = b

U

₀

, 0, ...

o

(2.14) onobtient ompte-tenude (2.7)et (2.8) :

∀Ω

′

∈ Ω, ∀b

U

₀

Z

Ω

′

A

m

_{(x) · b}

U

₀

dΩ

′

=

Z

Ω

′

A

r

_{(x) · b}

U

₀

dΩ

′

= 0

(2.15) onen déduit:

A

m

(x) = A

r

(x) = 0

(2.16)

On s'intéresse maintenant àun mouvement virtuel de rotation,déni par :

b

U(x) =

n

0, ..., b

U

j

(x) = b

Ω

0

∧ x, 0, ...

o

(2.17)

Dans e as grad

U = b

b

Ω

0

est un tenseur antisymétrique du se ond ordre et on obtient ompte-tenu de (2.7)et (2.8) :

∀Ω

′

∈ Ω, ∀b

Ω

₀

Z

Ω

′

σ

m

(x) : b

Ω

₀

dΩ

′

=

Z

Ω

′

(e

r

_⊗σ

r

(x)) : b

Ω

₀

dΩ

′

= 0

(2.18)

Il en résulte la symétrie du tenseur

σ

m

_(x)

ainsi que elle de

(e

r

_⊗σ

r

_(x))

, la se onde

ondition signiantque :

σ

r

= σ

r

(x)e

_r

(2.19)

On onsidère nalement pour un sous-système multiphasique

S

′

quel onque un

mouve-mentvirtuel de translation :

U(x) =

b

n

b

U

₀

, ... b

U

₀

o

.Il résulte de (2.11):

∀Ω

′

∈ Ω, ∀b

U

₀

Z

Ω

′



I

m

(x) +

Z

ω

I

r

(x)dω



· b

U

₀

dΩ

′

= 0

(2.20) d'où

I

m

(x) +

R

_ω

I

r

(x)dω = 0

,de sorte quel'on peut réé rire(2.9)sous laforme:

p

′

I

(int)

(b

U

(x)) = −

Z

ω

I

r

(x)

_·



U

b

r

(x)

_{− b}

U

m

(x)



dω

(2.21)

Cette expression fait don intervenir les vitesses relatives des phases renfor ement par

rapport àla phase matri e.L'expression (2.11)devient nalement :

P

′

(int)

(b

U

) = −

Z

Ω

′



σ

m

(x) :

grad

U

b

m

(x) +

Z

ω



σ

r

(x)e

_r

_⊗e

_r

:

grad

U

b

r

(x)



dω



dΩ

′

−

Z

Ω

′

Z

ω

I

r

_{(x) ·}



U

b

r

_{(x) − b}

U

m

(x)



dω



dΩ

′

(2.22)

On applique maintenant le se ond énon é du prin ipe des puissan es virtuelles à des

mouvements virtuels quel onques. On reporte (2.6), (2.13) et (2.22) dans (2.2) et on regroupe lestermes asso iés à haque hamp de vitesse virtuelle

U

b

j

(x)

, il vient :

Z

Ω

′



−σ

m

_{(x) :}

grad

U

b

m

(x) +



ρ

m

_(x)(F

m

(x) − γ

m

_{(x)) +}

Z

ω

I

r

(x) dω



· b

U

m

(x)



dΩ

′

+

Z

ω

Z

Ω

′

h

(−σ

r

_(x)e

r

⊗e

r

) :

grad

U

b

r

(x)) + [ρ

r

_(x)(F

r

_(x)

− γ

r

_{(x) − I}

r

_(x))]

· b

U

r

(x)

i

dΩ

′



dω

+

Z

∂Ω

′

T

m

_Ω

′

(x)

· b

U

m

(x)dS

′

+

Z

ω

Z

∂Ω

′

T

r

_Ω

′

(x)

· b

U

r

(x)dS

′



dω = 0

(2.23)

phase, onobtient alors :

∀S

′

⊂ S, ∀ b

U

_{∈ U,}

Z

Ω

′



div

σ

m

_{(x) + ρ}

m

_(x)(F

m

(x)

_{− γ}

m

(x)) +

Z

ω

I

r

(x) dω



· b

U

m

(x)dΩ

′

+

Z

ω

Z

Ω

′

[

div

(σ

r

_(x)e

r

⊗e

r

) + ρ

r

(x)(F

r

(x) − γ

r

(x)) − I

r

(x)] · b

U

r

(x)dΩ

′



dω

+

Z

∂Ω

′

[T

m

_Ω

′

(x) − n(x) · σ

m

(x)] · b

U

m

(x)dS

′

+

Z

ω

Z

∂Ω

′

[T

r

_Ω

′

(x) − σ

r

(x)(n(x) · e

r

)e

r

] b

U

r

(x)dS

′



dω = 0

(2.24)

Les hamps de vitesse de haque phase onstituant un mouvement virtuel

U

b

étant indépendants, onpeut don annuler séparément lestermes asso iés à haque phase.Pour

haque phase, on onsidère tout d'abord des hamps de vitesse nuls sur la frontière

∂Ω

′

,

lanullitéen toutpointde l'intégrandeasso iéàl'intégralevolumiquedonneleséquations

d'équilibre par phase et la nullité de l'intégralede surfa e pour des hamps quel onques

onduit aux onditions aux limites qui s'é rivent pour la phase matri e et les phases

renfor ement séparément: div

σ

m

_{(x) + ρ}

m

_(x)(F

m

(x) − γ

m

(x)) +

Z

ω

I

r

(x)dω = 0

(2.25)

∀Ω

′

⊂ Ω, ∀x ∈ Ω

′

:

div

(σ

r

_{(x) e}

r

⊗e

r

) + ρ

r

(x)(F

r

(x) − γ

r

(x)) − I

r

(x) = 0

(2.26) etles onditions auxlimites par phase :

T

m

_Ω

′

(x) = σ

m

(x) · n(x)

(2.27)

T

r

Ω

′

(x) = σ

r

(x)(n(x) · e

_r

)e

_r

(2.28) Les eorts intérieurssont dé rits par le hamp de ontraintes

σ

m

dans laphase matri e,

un hamp de ontraintes uniaxiales

σ

r

_e

r

⊗e

r

pour ha une des phases de renfor ement. On dénit su essivement pout tout point

x

, lesquantités suivantes :

ρF = ρ

m

F

m

+

Z

ω

ρ

r

F

r

dω

,

T = T

m

+

Z

ω

T

r

dω

,

ργ = ρ

m

γ

m

+

Z

ω

ρ

r

γ

r

dω

(2.29)

et

Σ = σ

m

+

Z

ω

σ

r

e

_r

_⊗e

_r

dω

(2.30)

Par sommation des équations (2.25), (2.26), (2.27) et (2.28), on obtient un système d'équations globales :

∀Ω

′

⊂ Ω,











div

Σ(x) + ρ(x)(F (x) − γ(x)) = 0 ∀x ∈ Ω

′

T

_{(x) = Σ(x) · n(x) ∀x ∈ ∂Ω}

′

(2.31)

On re onnaît dans (2.31) l'équation d'équilibre et les onditions aux limites obtenues pour un milieu ontinu de

Cauchy

lassique. Dans e ontexte, le tenseur

Σ

représente le tenseur des ontraintes totales, tandis que

σ

m

et

σ

r

désignent les ontraintes partielles

respe tivementdans lamatri eetdans haque phase derenfor ement.Leseorts

d'inter-a tion, qui sont des eorts intérieurs au système multiphasique, n'apparaissent pas dans

es équations.

2.3 Elasti ité du milieu multiphasique

2.3.1 Déformations du milieu multiphasique

On introduit un hamp de dépla ement pour ha une des phases :

ξ

m

pour la phase

matri e et

ξ

r

i

en e qui on erne la phase renfor ement

i

. Sous l'hypothèse des petites perturbations (HPP), les variables de déformations sont elles qui apparaissent en

dualité des variables dé rivant les eorts intérieurs dans l'expression du travail de

déformationdu système

W

′

d´

ef

(ξ

m

, {ξ

r

})

.Ensubstituantdansl'expression delapuissan e virtuelle des eorts intérieurs (2.22) les dépla ements

ξ

j

_(x)

aux vitesses virtuelles

U

b

j

,

onobtientausigneprèsl'expression dutravaildedéformationdusystèmemultiphasique:

W

′

d´

ef

(ξ

m

, {ξ

r

}) =

Z

Ω

′



σ

m

(x) :

grad

ξ

m

+

Z

ω

σ

r

(x)e

_r

_⊗e

_r

:

grad

ξ

r



dω



dΩ

′

+

Z

Ω

′

Z

ω

I

r

_{(x) · ξ}

r

_{− ξ}

m

dω



dΩ

′

(2.32)

On dénit :

ε

m

=

1

2



grad

ξ

m

₊

t

grad

ξ

m



(2.33)

ε

r

= (e

r

⊗e

r

) :

grad

ξ

r

=

∂(ξ

r

· e

r

)

∂s

r

(2.34)

et ompte tenu de lasymétrie de

σ

m

,l'expression du travailde déformationpeut s'é rire

sous la forme:

W

′

d´

ef

(ξ

m

, {ξ

r

}) =

Z

Ω

′

σ

m

_{: ε}

m

_dΩ

′

+

Z

Ω

′

Z

ω

σ

r

_ε

r

_dω



dΩ

′

+

Z

Ω

′

Z

ω

I

r

_{· (ξ}

r

_{− ξ}

m

) dω



dΩ

′

(2.35)

oùladépendan e des hampsde ontrainteetde déformationdu ve teur position

x

a été omisevolontairementpour allégerl'é riture. On onstate quelesvariablesde déformation

du modèle sont le tenseur des déformations linéarisées

ε

m

pour la phase matri e, la

dé-formationaxiale

ε

r

i

pour haque phase renfor ement

i

et ledépla ement relatif

(ξ

r

i

− ξ

m

₎

pour l'intera tion de haque phase renfor ement

i

ave lamatri e.

2.3.2 Thermodynamique du milieu multiphasique

On se pla e en régime isotherme et dans le adre de la thermodynamique des milieux

ontinusan d'obtenir le omportement élastique du milieu multiphasique.

Par dénition, l'énergie totale

W

t

d'un système matériel est la somme de son énergie

inétique

K

etde son énergieinterne

E

:

W

t

= K + E

(2.36)

Le premier prin ipe de la thermodynamique est en ore appelé loi de onservation de

l'énergie.Il stipulequelavariationde l'énergietotale d'unsystème matérielest égaleàla

somme de la puissan e des eorts extérieurs développés sur le système dans son

mouve-mentréel

P

′

(ext)

(U)

etdelaquantitéde haleurreçueparlesystème

Q

parunitédetemps:

˙

W

t

= ˙

E + ˙

_{K = P}

′

(ext)

(U) + ˙

Q

(2.37)

oùla notation

(˙)

désigne la dérivation par rapportautemps.

L'énergie inétique totale d'un sous-système multiphasique

Ω

′

somme des énergies inétiques de haque phase :

K =

Z

Ω

′

1

2

ρ

m

_(x)(U

m

(x))

2

dΩ

′

+

Z

ω

Z

Ω

′

1

2

ρ

r

_(x)(U

r

(x))

2

dΩ

′



dω

(2.38)

etsa dérivée temporelle vaut don :

˙

K =

Z

Ω

′

ρ

m

_(x)U

m

(x) · γ

m

_(x)dΩ

′

+

Z

ω

Z

Ω

′

ρ

r

_(x)U

r

(x) · γ

r

_(x)dΩ

′



dω

(2.39)

qui est égale à lapuissan e des quantités d'a élération dans le mouvement réel

A

′

(U)

.

On introduit maintenant la puissan e de déformation

P

′

d´

ef

qui est liée à la puis-san e des eorts intérieursdans le mouvement réel par :

P

′

d´

ef

(U) = −P

′

(int)

(U)

(2.40)

En appliquant le prin ipe des puissan es virtuelles (2.2) pour un mouvement réel on obtient :

P

′

d´

ef

= P

′

(ext)

(U) − A

′

(U) = P

′

(ext)

(U) − ˙

K

(2.41)

et en ombinant les équations (2.37) et (2.41), on peut identier le taux de variation d'énergie interne du système est égale à la somme de la puissan e de déformation et le

tauxde haleur reçuedu système :

˙

E = P

′

(ext)

(U) − ˙

K + ˙

Q = P

′

d´

ef

+ ˙

Q

(2.42)

Le se ond prin ipe dénit une grandeur intensive positive appelée température absolue

et notée

T

, et postule l'existen e d'une fon tion thermodynamique extensive

S

appelée entropie ettelle que l'on aittoujours l'inégalité:

˙

S ≥

Q

˙

T

(2.43)

L'égalité n'est obtenue que dans le as parti ulier des transformations réversibles. On