Anisotropy preserving interpolation of diffusion tensors

Diffusion  Tensor  Images  

Anne  Collard

1

_{,  Silvère  Bonnabel}

2

_{,  Christophe  Phillips}

3

_{,  Rodolphe  Sepulchre}

1  

1

 

_{Department  of  Electrical  Engineering  and  Computer  Science,  University  Of  Liège,  Belgium}

 

2

 

_{RoboEcs  Center,  Mines  ParisTech,  Paris,  France}  

3

 _{Cyclotron  Research  Centre,  University  Of  Liège,  Belgium}

 

In  this  work  we  propose  to  use  the  spectral  decomposi7on  of  diffusion  tensors  in  order  to  preserve  all  the  diffusion  informaEon.  Let  S1  and  S2  be  two  diffusion  tensors,  whose  spectral   decomposiEons  are                                                    ,  the  proposed  similarity  measure  is  

   

Proposed  similarity  measure:  based  on  the  spectral  decomposi7on

 

Interpola7on  of  diffusion  tensors  

[1]  Le  Bihan,  D.  (2001),  ‘Diffusion  tensor  imaging:  Concepts  and  applicaEons’,  Journal  of  MagneEc  Resonance  Imaging,  vol.  13,  no.  4,  pp.  534-­‐546   [2]  Arsigny  V.  (2006),  ‘Log-­‐Euclidean  metrics  for  fast  and  simple  calculus  on  diffusion  tensors’,  MagneEc  Resonance  in  Medicine,  vol.  56,  no.  2,  pp.  411-­‐421   [3]  André,  E.  ,  ‘IteraEve  method  for  moEon  correcEon  of  diffusion  weighted  images’,  OHBM  2012,  Poster  #615  MT.  

 

This  paper  presents  research  results  of  the  Belgian  Network  DYSCO  (Dynamical  Systems,  Control,  and  OpEmizaEon),  funded  by  the  Interuniversity  AcracEon  Poles  Programme,  iniEated  by  the   Belgian  State,  Science  Policy  Office.  The  scienEfic  responsibility  rests  with  its  authors.  

 

   

ANISOTROPY  PRESERVING  INTERPOLATION  OF  DIFFUSION  TENSORS  

C

YCLOTRON

 R

ESEARCH

 C

ENTRE

   |  

hcp://www.cyclotron.ulg.ac.be    

|  Anne  Collard|  

anne.collard@ulg.ac.be

 

Each  voxel  of  the  image  contains  a  symmetric  posiEve  definite  matrix.  The  principal  characterisEcs  of  tensors   are  [1]  

       -­‐  mean  diffusivity  (characterizes  the  overall  mean  squared  displacement  of  molecules)          -­‐  main  direc7on  of  diffusiviEes  (orientaEon  in  space  of  the  structures  of  the  brain)          -­‐  degree  of  anisotropy  (describes  the  degree  to  which  molecular  displacements  vary  in  space)    

The  processing  of  diffusion  tensor  images  requires  the  development  of  methods  adapted  to  ‘matrix-­‐valued’   images.  One  of  the  most  used  method  is  the  Log-­‐Euclidean  framework  [2],  for  which  

d

LE

(S

1

,S

2

)

=|| log(S

1

)

! log(S

2

) ||

Fig:  Zoom  on  a  slice  of  a  Diffusion  Tensor  Image  

Si= Ui!iUi T

d

SD 2

(S

1

,S

2

)

= k(!

1

,

!

2

) d

SO(3) 2

(U

1

,U

2

)

+ d

D+(3) 2

_(!

1

,!

2

)

Spherical  or  isotropic  tensors  have  low   orientaEonal  informaEon,  so  their  orientaEon   contribuEon  to  the  metric  should  be  minimal.    

 

k  is  constructed  to  be  small  (around  zero)  when  

any  of  the  tensor  is  isotropic  and  close  to  1   when  both  are  highly  anisotropic.  

k

![0,1]

Distance  between  orientaEons  is  computed  through  the  use  of  unit   quaternions.  This  parametrizaEon  of  the  rotaEons  enables  to   speed  up  the  computaEons.  

Because  of  the  non-­‐uniqueness  of  the  spectral  decomposiEon,  4   different  rotaEon  matrices  represent  a  single  tensor.  This  implies  8   quaternions  for  a  tensor.  The  distance  between  them  is  computed   through  

d(Q1,Q2)= minq2!Q2|| q1

r_{" q}

2||

This  is  called  the  realignment  of  quaternions.  

Eigenvalues  of  tensors  are  manipulated  as  geometric   en77es  (i.e.  the  logarithms  of  eigenvalues  are  used  for   computaEons).  

The  distance  between  the  intensiEes  of  diffusion  is  thus   given  by   d(!1,!2)= log 2 i

"

#1,i #2,i $ % & '₍)

The  mean  of  a  group  of  N  tensors  is  given  by      

Mean  of  a  group  of  N  tensors

 

S

µ

= U

µ

!

µ

U

Tµ

!

_µ

The  eigenvalues  of  the  mean  are  given  by  the   geometric  mean  of  the  eigenvalues.  

!µ= exp( wi

i=1

N

"

log(!i)) Knowing  the  mean  eigenvalues,  the  factor  k   can  be  computed  for  each  tensor.  

ki= k(!µ,!i)

U

µ

The  orientaEon  of  the  mean  is  given  by  the  mean  quaternion.    

The  most  informa7ve  tensor  will  be  chosen  as  a  reference  for  the  computaEon  of  the  mean.  Each  quaternion  has  to  be   realigned  with  the  reference,  because  of  the  non  uniqueness  of  the  spectral  decomposiEon.  

 

Most  informa7ve  tensor:  the  one  for  which  the  product  wiki  is  the  maximum.  

qm= wi i=1 N

!

kiqi,r ki i

!

q

µ

=

q

m

|| q

m

||

This  method  ensures  the  commuta7vity  and  the  uniqueness  of  the  mean.  

0 0,25 0,5 0,75 1 0 40 80 120 160 0 0 5 0.5 0.75 0 0.6 1.2 0 0 5 0.5 0.75 1 0.76 0.88 0.94 0 0.25 0.5 0 5 1 2.2 3 3.8 0,75 0,5 0,25 0 1 . .7 0,75 0,5 0,25 0 1 0.9 0 0,25 0,5 0,75 1 det(S) Φ FA HA 0 0,25 0,5 0,75 1 0 40 80 120 160 0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.6 1.2 0 0.25 0.5 0.75 1 0.76 0.88 0.9 0.94 0 0.25 0.5 0.75 1 2.2 3 3.8 0,75 0,5 0,25 0 0 0 0,25 0,5 0,75 1 0.9 0 0,25 0,5 0,75 1 Log-­‐Euclidean   interpolaEon   Proposed   method  

Fig:  Geodesic  interpolaEons  between  two  tensors  and  variaEon  of  several  characterisEcs   (determinant,  angle  between  the  principal  direcEons  of  diffusion,  and  fracEonal  anisotropy)   of  tensors  through  these  interpolaEons.  

Clear  differences  can  be  seen  between  the  two  methods,  namely  the  main  tensor   orientaEon  and  the  degrees  of  anisotropy.  These  characterisEcs  are  well  preserved  by   the  developed  framework,  which  is  advantageous  for  any  imaging  or  tractographic   applicaEons.