Correction devoir de contrôle n°1 4ème Mathématiques Mr Mr Adam K 28 10 16

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 1}

UNE CORRECTION POSSIBLE du devoir de contrôle n°1 de Mr Mr Adam K du 28 /10 / 16 Proposée par Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.kooli.me/ Exercice 1 −1 , 1 = −1 , 1 −∞ , 1 = −1 , 0 = 0 , 1 lim → = 0 lim→ = 0 Exercice 2 1) = 1 donc 0 ≤ ≤ 3

Soit ∈ ℕ∗ supposons que 0 ≤ ≤ 3 , montrons que 0 ≤ ≤ 3 0 ≤ ≤ 3 ⇒ 0 ≤ 3 ≤ 9 ⇒ 0 ≤ #3 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ ≤ 3 Conclusion ∀ ∈ ℕ∗ 0 ≤ ≤ 3 % − = #3 − =&#3 − '&#3 + ' #3 + = 3 − ) #3 + = 3 − #3 + Or 0 ≤ ≤ 3 ⇒ −3 ≤ 3 − ≤ 0 ⇒ 3 − < 0 > 0 et #3 + > 0 alors 3 − #3 + < 0 donc − < 0 Par suite la suite est décroissante

3) La suite est décroissante et minorée par 0 alors la suite est convergente et converge vers un réel 5

Soit la fonction définie par = √3 est continue sur 0 , 3 lim_{→ ∞} = 5 ; 5 ∈ 0 , 3 alors est continue en 5

alors 5 = 5 ⇔ √35 = 5 ⇔ 35 = 5) ⇔ 5)− 35 = 0 ⇔ 5 5 − 3 = 0 alors 5 = 0 ou 5 = 3 or la suite est décroissante donc 5 = 0

alors lim_{→ ∞} = 0

Exercice 3

: − = 1 +1_{2 +}1_{3 + ⋯ +}1+ _{+ 1 − =1 +}1 1_{2 +}1_{3 + ⋯ +}1> = _{+ 1 > 0}1 Donc la suite est croissante

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% Pour = 1 @ )− = 1 +1_{2 − 1 =}1_{2 ≥}1_{2 alors la propriet}é et vraie pour = 1 Soit ∈ ℕ∗ _{supposons que}

) − ≥ ₎ et montrons que ) ) − ≥ ₎ ) )− = 1 +1_{2 + ⋯ +}1+ _{+ 1 + ⋯ +}1 _{2 +}1 _{2 + 1 +}1 _{2 + 2 − =1 +}1 1_{2 + ⋯ +}1+ _{+ 1>}1 = 1 +1_{2 + ⋯ +}1+ _{+ 1 + ⋯ +}1 _{2 − =1 +}1 1_{2 + ⋯ +}1> +_{2 + 1 +}1 _{2 + 2 −}1 _{+ 1}1 = ₂ − +_{2 + 1 +}1 _{2 + 2 −}1 _{+ 1}1 = 2 − + _{2 + 1 2 + 2}2 + 2 + 1 _{+ 1} + _{2 + 1 2 + 2}2 + 1 + 1 _{+ 1} − _{2 + 1 2 + 2}2 + 1 2 + 2_{+ 1} = ₂ − +2 )+ 4 + 2 + 2_{2 + 1 2 + 2})+ 3 + 1 − 4_{+ 1} )− 6 − 2 = ₂ − + _{2 + 1 2 + 2}+ 1 _{+ 1} or ) − ≥1_{2 et 2 + 1 2 + 2}+ 1 _{+ 1 > 0 alors} 2 +2− +1 ≥ 1₂ HIJHKLMNIJ ∀ ∈ ℕ∗ ) − ≥ 1₂

O Supposons que la suite est majorée par un réel 5 on a alors lim_→∞ = 5 QR lim_{→∞ )} = 5

ce qui donne lim_{→ ∞ )} − = 0 ce qui est absurde car ∀ ∈ ℕ∗

) − ≥1₂

donc la suite n’est pas majorée

T La suite est croissante et n′est pas majorée alors lim

→ ∞ = +∞ Exercice 4 : V W = W′ ⇔ X Y′ = XY + 1 XY − 2Z = Z + 1 Z − 2Z =1 + Z−Z = 1 + Z Z−Z) = −1 + Z X\\\\\]_[Y = XY − X[ = Z + 1 = 1 + Z X\\\\\\\]_Y^_{_} = X_− X_Y^ = 2Z + 1 − Z = 1 + Z On a alors X_[Y\\\\\] = X_{\\\\\\\]Y^_} ⇔ `W\\\\\] = W\\\\\\\] ⇔ bW`Wab a est un parallélogramme e Soit f un antécédent de W par donc W = f ⇔ XY = _XXg + 1

g − 2Z ⇔ XY Xg − 2Z = Xg + 1 ⇔ Xg XY − 1 = 2ZXY + 1 ⇔ Xg =2ZX_X Y + 1

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 3} ⇔ Xg =_{−1 + Z ⇔ X}−1 g = 1 + Z_{2 alors le point W admet un unique ant}écédent W′′ tel que X_Yaa ₌1 + Z

2

% V f ∈ h ⇔ _{X − 2Z est un imaginaire non nul} X + 1 ⇔ iXXgg− X− X[_ est un imaginaire non nul

f ≠ b QR f ≠ ` k ⇔ lmfb

\\\\\\] ,f`n o ≡ q\\\\\\] 2 q f ≠ b QR f ≠ ` k ⇔ f apparient au cercle de diamètre b` \sb , `t

b)f ∈ u ⇔ f′ apparient au cercle de centre v et de rayon 1 ⇔ vfa = 1 ⇔ |Xa_{| = 1 ⇔ x}X + 1 X − 2Zx = 1 ⇔ i x Xg − X[ Xg − X_x = 1 f ≠ b QR f ≠ `k ⇔ i f` fb = 1 f ≠ b QR f ≠ `k ⇔ y<sub>f ≠ b QR f ≠ `</sub>f` = fb k ⇔ f appartient à la médiatrice du segment b`

Exercice 5 A/ 1) X)− 2Qz{X + 2Qz){ = 0 5 ∈ 0 , q @ = 1 ; | = −2Qz{ _{; } = 2Q}z){ ∆= |)_{− 4@} = 4Q}z){ _{− 8Q}z){ _{= −4Q}z){ _{= &2ZQ}z{_') _{donc € = 2ZQ}z{ Xa ₌ −| − € 2@ = 2Q z{ _{− 2ZQ}z{ 2 = Qz{ − ZQz{ = 1 − Z Qz{ Xaa ₌−| + € 2@ = 2Q z{ _{+ 2ZQ}z{ 2 = Qz{ + ZQz{ = 1 + Z Qz{ •Y = ‚ 1 − Z Qz{ ; 1 + Z Qz{ƒ % X′ = 1 − Z Qz{ = √2Q z„…Qz{ = √2Qzm{ „…o X′′ = 1 + Z Qz{ = √2Qz„…Qz{ = √2Qzm{ „…o B/ X = 1 − Z Qz{ _X ) = 1 + Z Qz{ : V X_{X =}) 1 − Z Q_{1 + Z Q}z{_z{ =√2Qzm{ „…o √2Qzm{ „…o = Q zm{ „… { „…o = Q z„) = −Z

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 4} e X_X†_\\\\\\] †[ \\\\\\] = X_ X[ = X) X = −Z ∈ Zℝ ⇔ vb \\\\\\] ⊥ v`\\\\\] : ‰X<sub>X</sub>†_\\\\\\] †[ \\\\\\]‰ = ŠX<sub>†_</sub>\\\\\\]Š ŠX<sub>†[</sub>\\\\\\]Š= |X<sub>_</sub> − X†| |X<sub>[</sub> − X‹| = vb v` or ‰XX†_\\\\\\]_†[\\\\\\]‰ = |−Z| = 1 alors vb = v` %

de : et % le triangle vb` est rectangle isocèle en v

2) &Œ\] , b`\\\\\]' ≡ @• &X_{_[\\\\\]}' 2q ≡ @• X_[ − X_{_} 2q ≡ @• m 1 + Z Qz{ − 1 − Z Qz{o 2q ≡ @• &2ZQz{_{' 2q ≡ @• m2Qz„)Q}z{_{o 2q ≡ @• =2Q}zm{ „)o_{> 2q ≡ 5 +}q

2 2q 3) X_{_[\\\\\]} = X_[ − X_{_} = 1 + Z Qz{ − 1 − Z Qz{ = 2ZQz{ = 2Z cos 5 + Z sin 5 = 2Z cos 5 − 2 sin 5 = −2 sin 5 + 2Z cos 5

Donc b`\\\\\]&<sub>) ‘’Ž {</sub>) Ž•• {' est un vecteur directeur de la droite b` et Œ\]& ' est un vecteur de la droite d’équation “ =

Pour que la droite b` soit parallèle à la droite d’équation “ = il faut que les vecteurs b`\\\\\] et Œ\] soient colinéaires ⇔ det&b`\\\\\] ,Œ\]' = 0 ⇔ ”−2sin5 1

2 cos 5 1 ” = 0 ⇔ −2 sin 5 − 2 cos 5 = 0 ⇔ sin 5 + cos 5 = 0 ⇔ sin 5 = − cos 5 ⇔ •Z 5 = } • q − 5 ⇔ } • mq_{2 − 5o = } • q − 5}

⇔ q_{2 − 5 ≡ q − 5 2q Œ} q_{2 − 5 ≡ −q + 5 2q}

⇔q_{2 ≡ 0 2q ce qui est impossible ou 25 ≡} 3q_{2 2q alors 5 ≡} 3q_{4 2q} • 5 ∈ 0 , q donc 5 = 3q₄