Classement en présence de critères multiples : SPARTE-II

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Classement en présence de critères multiples :

SPARTE-II

Bernard Fustier

To cite this version:

Bernard Fustier. Classement en présence de critères multiples : SPARTE-II. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques ( IME). 1986, 30 p., figures, tableaux, bibliographie. �hal-01544101�

DOCUMENT DE TRAVAIL

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

UNIVERSITE DE DIJON

FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION 4, BOULEVARD GABRIEL - 21000 DIJON

N° 87

Classement en présence de critères

multiples :

SPARTE-II

Bernard FUSTIER

AVRÎl iqflç

*

' v

Cette technique d ’analyse multicritère a été discutée

lors d'une réunion du groupe "espace" de DIJON. A cet effet,

l'auteur remercie Monsieur Jean-Marie HURIOT, professeur à

l'Université de Bourgogne, et Monsieur Henri ZOLLER, profes­

seur à l'Université de Louvain pour leurs remarques et sugges­

tions. La rédaction du présent document en a largement profité.

Sous cette forme, il a fait l'objet d'une communication

à la table ronde :

"Approche pluridisciplinaire de l'espace

géographique soft" organisé par le Laboratoire de Géographie

Théorique et Quantitative., Metz, 24-25 avril 1986.

location interrelationships : theory and models. (November 1985)

N° 83 PH. VINCKE : La modélisation des préférences (Décembre 1985)

N° 84 Elie SADIGH : La dépense du profit et le disfonctionnement du système économique (Janvier 1986)

N° 85 Elie SADIGH : Réalisation de la rente et généralisation du surplus dans le système de Walras (Février 1986)

N° 86 J.C. GARLANDIER, B. ROUGET : Influence économique et concurrence au sein d'une agglomération. Essai de mesure, (février 1986).

La liste récapitulative des Documents de Travail publiés depuis 1974 (numéros 1 à 80), mentionnant les références des "reprints" dans des revues, peut-être communiquée sur demande adressée à l'I.M.E.

The list of Working Papers published since 1974 (N° 1 to 80), and mentioning the reprints in their original or revised version is

1

-INTRODUCTION

A l'instar d'autres modèles fondés sur les relations

de surclassement, SPARTE-II est une technique d'aide à la

décision [ROY, 1975].

La première version de SPARTE [FUSTIER, 1981] a fait

l'objet d'applications diverses. Dans certains cas, le test de

la solution théorique s'est avéré possible. En ce qui concerne,

par exemple, l'analyse de la prescription médicale [FUSTIER,

1983] , la sélection des médicaments les plus "performants"

a été confirmée par une enquête réalisée auprès d'un échantil­

lon de praticiens. Un autre exemple concerne la localisation

d'un laboratoire d 'analysesmédicalesen zone urbaine [BINZACK,

1983]

la solution fournie a permis de prévoir avec une grande

certitude le chiffre d'affaires réalisé par l'établissement

l'année suivante.

Cependant, l'obtention de résultats acceptables ne

saurait justifier l'attribution d'un label de qualité au modèle

les ayant produit. Nous reconnaissons volontiers que cette

permière version fait, dans certains cas, usage de la propriété

d'additivité alors que les concepts concernés par le calcul

ne sont pas mesurables (au sens de la théorie de la mesure).

En tout état de cause, cette "cuisine mathématique" n'est pas

conforme à l'esprit de l'analyse multicritère [ANTOINE et ROY,

1969, BERTIER et de MONTGOLFIER 1971]. C'est pour pallier cet

inconvénient théorique que SPARTE-II a été conçue.

x

x

x

Dans une première partie, on précise le type d'informa­

tion que se propose d'appréhender la présente technique

(classements d 'objets établis par des critères de natures diffé­

rentes) .

La seconde partie de l'exposé pose la question suivante :

comment assurer la synthèse des classements individuels en

évitant le recours à l'agrégation des critères ? Les fondements

de la relation de surclassement sont progressivement établis

à partir d'exemples simples.

La définition et les propriétés de la relation de sur­

classement font l'objet de la troisième partie.

La quatrième partie propose une procédure de classement

à partir des graphes correspondant à la relation précédemment

définie.

La cinquième partie, propose un exemple d'application.

Les données sont empruntées à l'ouvrage de B. ROY [1969] ,

qui expose les résultats du modèle ELECTRE-I,[ BENAYOUN et alii,

1966. ROY, 1968 a et b],les lecteurs intéressés par la comparai­

son des résultats issus des deux approches pourront se reporter

à l'ouvrage pré-cité. Il n'était pas possible d'exposer

SPARTE-II sans faire référence à ELECTRE-I qui fut l'une des

premières méthodes d'analyse multicritère fondées sur les rela­

tions de surclassement et qui, à l'heure actuelle, reste l'une

des meilleures méthodes.

1 .

Notations, données.

K = |l...k...nj :

ensemble des objets (ou alternatives)

C = |1...c...mj :

ensemble des critères (ou points de vue)

P = £p.j .

.

.p^ .

.

.pm 1 :

vecteur des pondérations associé à C

tel que :

S Pc - 1

1

Chaque critère établit un préordre sur K. La procédure

d'affectation des rangs dépend de la relation de préférence

sous-jacente à chacun des critères. Désignons par :

- 3

-la re-lation de p r éf é r e n c e au sens -large associée à c (relation définie par le décideur d'après les termes d'une fonction implicite).

y<?kc Ie rang de k dans le préordre défini par c

a l o r s :

k ^ k '

" / ’ kc < A c ' c

SPARTE considère e ss en t i e l l e m e n t des données ordinales, m a i s pour déterminer plus f a c i lement l'écart séparant deux

éléments quelconques dans chaque classement individuel, on c o n ­ v ie n t de remplacer les rangs / ^ c P ar ^es équivalents numériques notés r ^ c et choisis dans la suite des nombres entiers 1,2,...,n où n = card K. La t ransformation des rangs en équivalents n u m é ­ riques s'effectue de la façon suivante pour chaque préordre :

- l'élément classé pemier reçoit l ' é quivalent numérique le plus élevé :

V c G C :f kc - 1 - r kc = n

- l'élement classé dernier est affecté de l'équivalent n u m é r i q u e le plus faible :

V c G

: / kc - n « r kc = 1

- en dehors de ces cas extrêmes, les éléments sont rangés inversement en fonction des rangs initiaux (tout en

tenant compte des ex-aequo. Par exemple, l'équivalent numérique ven a n t immédiatement après l ’équivalent attribué à deux objets ex-ae q u o n'est pas affecté à l'objet suivant).

Les équivalents numériques ainsi définis sont appelés rangs inversés :

D'après ce qui précède, chaque c r i t è r e est muni d'une structure d 'échelle [ROY, 1969]. Dans le cas p a r t i c ul ie r de SPARTE, toutes les échelles comprennent n échel o n s rangés dans l'ordre c r oissant des équivalents n um é r i q u e s (l'échelon le plus bas c o r respond à 1, 1 ' échelon le plus élevé à nj : la hauteur commune des échelles est n - 1 ,

Dans la suite de l'exposé, l'échelle a ss o c i é e au critère c seia notée E c et représentée de la façon suivante :

▲ n n-1 i i f 2 1

La d é fi n i t i o n d'une relation de s u rc la ss e m e n t est une étape p r éalable à l'obtention de la synthèse des c l as s e m e n t s révélés par chaque échelle. Cette r e l a t i o n pe r m e t de comparer deux éléments quelconques de K selon les m u l t i c r i t è r e s pondé r é s ; le graphe qui lui est associé reproduit les s u r c l a s s e m e n t s

éventuels qui s'établissent entre chaque co u p l e d'objets ( d i s t i n c t s ) .

Dans une seconde étape, une p r o c é du re de c la s s e m e n t des éléments de K est proposée à partir de l ' ex pl oi t a t i o n du graphe de surclassement.

2. Les fondements de la relation de s u r c l a s s e m e n t .

2.1. G é n é r a l i t é s .

V(k,k') S K x K, k f k' , on note ^S^., le surclas s e m e n t éventuel de k' par k.

S désigne la relation de surclassement.

L ' h y p othèse possède la s ig ni fi c a t i o n suivante : p e u t - o n admettre que, globalement, l'objet k est au moins

- 5

-aussi bon que l'objet k' ?

Pour juger de la v al i d i t é de cette hypothèse, les c r i ­ tères sont rangés en deux s ous-ensembles complém e n t a i r e s :

- le sous-ensemble de concordance, noté A kk'> est c o m p o s é des critères favorables à l'hypothèse, soit :

A kk' ■ { c e C / r kc > r k ’c ]

dans la suite de l'exposé, l'importance numé r i q u e des critères c o n c o rd an ts est mesurée par le co e f f i c i e n t a * ^ t a p p e l é ,

indicateur de c o n c o r d a n c e , et tel que :

a*kk' = c G A k k , P c avec : donc : Akk* = 0 ^ a kfc» = 0 par c o n v e n t io n 1k A^^, = C => a = 1 par d éf in it io n a*kk' G [ 0 ’ 11

-• le sous-ensemble de discordance, noté , les c ri t è r e s qui s'opposent au s u r c l assement postulé, dire :

À k k , - £ c e C/rkc < rk ,c j

Lorsque le sous-ensemble de c o nc o r d a n c e regroupe de n o m b r e u x critères, fortement pondérés, c ' e s t - à - d i r e lorsque

*

la v a l eu r de a dépasse n ettement 0,50 l'hypothèse

a une forte chance d'être acceptée. Mais pour qu'elle le soit définiti v e m e n t , il faudra, en outre, s'assurer que les critères d i s co rd an ts ne manifestent pas u n e t r o p grande opp o s i t i o n à

l'opt i o n "k est au moins aussi bon que k"'. En tout cas, le degré d ' o p p o si ti on de la "minorité" ne devra pas, en principe, d é p a s s e r le degré d'adhésion de l a " m a j o r i t é " .

regroupe c

'est-à-La nature d'un degré d ' a dhésion ou d ’u n degré d ' o p p o ­ sition est d i f férente de celle de l ' indicateur de c o n c o r da n ce ou de son c o m plément à 1 , ^ P c = 1 “ a *kk' ’

me s u r e l'impo r t a n c e numérique de la m i n o rité.

- le degré d ' a dhésion d'un critère c o n c or da nt c à l 'hypothèse est évalué par l'écart r e la ti f tel que :

c _ r kc ” r k'c r* a \ a kk' " ’ c kk' n-i par d é f i ni ti on : a k k'6 [ 0 ’1] en p ar ti c u l i e r :

Lkk ,= 0 : degré m i n i m u m d ' a d hé s io n (k et k'sont situés sur un même échelon de E ).

c

r

a k k ' = 1 " ^ e8 rè m a x im u m d ' a dh és io n (.k est situé au sommet de E , k' à l'autre extrémité),

c

- le degré d'oppo s i t i o n d'un c r i t è r e d i sc o r d a n t c à est évalué par l'écart relati tel que :

à c = r k l c r kc c £ Â kk' , » c kk' n-1 par d é f i ni ti on :

i£k ,e[l/n-l, l]

>

situé juste a u -dessus de k)

ak k ' = 1 : m a x iu m d ' o p p os it io n (.k' est situé au sommet de Ec , k est situé â l'autre extrémité)

Si les degrés d ’a d h é s i o n sont, dans l'ensemble, c o m ­ pa r a bl es aux degrés d'opposition, il n'y a aucune raison de r e j e t e r une hypothèse de s u r c lassement soutenue par une forte m a j o r i t é des critères (chaque c r itère intervenant avec l ' i m p o r ­

tance que lui confère son p o i d s ) . Le surclassement proposé sera c o n s i dé ré comme fiable et d é f i n i t i ve me nt accepté dans le cadre de la règle de major i t é fixée par la va l e u r de l'indicateur de c o n c o rd an ce (étant entendu que cette valeur doit être au m o i n s égale à 0.50).

Pour illustrer cette idée, c onsidérons un ensemble de 8 critè r e s équi-pondérés (p = 0.125, c = 1...8) et un ensemble de 5 objets ; on s'intéresse u ni qu e m e n t aux profils de k et k ' . Sur les échelles E c , l'objet k est repéré par le symbole •, k' est r e pr é s e n t é par le symbole O.

Cas 1

On peut admettre que k surclasse k' dans le cadre d'une m a j o r i t é fixée à 75$.

M a j or it é et minorité m o y e n n ement d é t e r m i n é e s

5

4

3

Il semble naturel d'admettre que k surc l a s s e k ' ; la fiabilité du s u r c lassement augmenterait si, toutes choses

égales par ailleurs, la majorité se m o n t r ai t encore plus d é t e r ­ minée (cas 1).

En revanche, lorsque les degrés d ' a d h é s i o n sont, dans 1'e n se m bl e , b e a u c o u p plus faibles que les degrés d'oppos i t i o n , il apparait normal de refuser une p r o p o s i t i o n de su r c l a s s e m e n t m a j or i t a i r e aussi faiblement défendue (cas 3) .

Cas 3 :

M a j o r i t é faiblement agissante m i n or it é déterminée .

K>

y

-de 75$ n'est plus assurée : en principe, k ne surclasse pas k ' .

En résumé, l'acceptation de 1 ’h ypothèse dépend de la v é ri f i c a t i o n simultanée de deux c o n ditions :

- C o ndition de c o ncordance

Une certaine majorité est favorable à l'option : "k est au m o i n s aussi bon que k , M .

" C ondition de fiabilité

La majorité impose son option avec une "vigueur" au moins aussi importante que celle m a n if e s t é e par la m i n o r i t é à l'option "k' est m e i ll e ur que k " . Toutefois, une vive o p p o sition manifës - tée par une très faible m i n o ri té ne doit pas systématiquement r e m e t t r e en cause l'opinion - même m o ye n n e m e n t exprimée - de la m a j o r it é (cas 4).

Cas 4 :

M aj o r i t é moyennement agissante, mais fortement représentée / minor i t é déterminée.

4

3

2

L

Une formulation plus pr é c i s e de la c o n d i t i o n de f ia bi li ­ té n é c e s s it e le recours â une proc é d u r e de synthèse des degrés d ' a d h é s i o n d'une part, et des degrés d ' o p po si ti on d'autre part.

2.2. A m p l i t u d e de concordance.

degrés d'adhésion, bile est définie par la m é d i a n e des adhésions p a r t i e l l e s .

Désignons par l'opérateur m é d i an e et par 1' p l itude de discordance. Par d é f i ni ti on : am-kk, .

A

si Akk,

t 0

Le calcul de la médiane tient compte, évidemment, de l'importance relative des critères c o n co rd an t s ; le degré d ' ad h é s i o n d'un critère concordant intervient p r o p o r t i o n n e l l e ­ ment à son c o e f f icient de pondération.

Exemple : soit trois critères c o n co rd an ts c , c^ tels que p P,~ = 0.1, p = 0.3. On o b serve que :

2 3

5

4

3

Dans le cas particulier d'une é q u i - p o n d é r a t i o n , la valeur de l'amplitude de discordance r é s u l t e d 'un simple d é n o m ­ brement des adhésions partielles :

11 -cas 1 : a kk' = 1

,

D'après ce qui précède :

0 : plus de la moi t i é pondérée des critères concordants situent k et k' sur le même é c h e l o n .

1 : plus de la mo i t i é pondé r é e des critères c o n ­ cordants situent k au sommet des échelles considérées et k' à l'autre extrémité.

2.3. A mp l i t u d e de d i s c o r d a n c e .

La synthèse des degrés d ' op po s i t i o n conduisant à la d é f i n i t i o n de l'amplitude de di s c o r d a n c e ne doit pas c o m p r o m e t ­ tre la fiabilité d'un surclassement p r oposé à une très forte m a j o r i t é (cas 4).

C onsidérant la m é d i a n e comme o pérateur de synthèse, le calcul de l'amplitude de di s c o r d a n c e tient compte, en premier lieu, de tous les degrés d ' o p p os it io n partielle. Ensuite, les plus forts degrés sont p ro gr e s s i v e m e n t éliminés de la procédure de synthèse.

a k k 1

a kk' “

2 . 3 . T. E v a l u a t i o n .

- Les critères discordants sont rangés dans le sens d éc r o i s s a n t des degrés d ' o p po si ti on ; on note c(a ) le o(*ème

c r i tè re le plus discordant de . La liste suivante est ob t e n u e :

* degrés d ' o p po si t io n : a° ... > â c > ... ^ a 0 ^

kk' kk' kk'

Par d é f in it io n : a = card A k k ,

- D ésignons par  ^ , (.<* ) le s o u s -e ns em bl e de  k k , , obtenu en éliminant lesflipremiers critè r e s les plus d is c o r d a n t s soit : > 1 * * _** ( «) =[c( a+ 1),

• • •

-C (a+1) -c( a*) m ! 9 • • • ) °1 • V. 1 ) . par d é fi ni ti o n : a k k ,(;o:) = c <e A ( a ) a kk' kk* . par c o n v e n t io n â^k'C«) = 0 si  k k ,(a ) = 0 (a f or t i o r i si  k k , = 0) . donc : ik k ' O J G jo] U [ 1/n-1 ,1] avec, en p articulier : a kk' ^ = 0 : au seuil «, a u c u n c r i t è re ne s'oppose à l'option "k est au m oi n s aussi bon que k1".

(1) Bien entçndu, le calcul de la m é d i an e tient co m p t e des pondérations des criteres.

- 13

-a kk'^°^ =n-^1 ' au s e u -*-l a > plus de la moitié pondérée des critères de  k k , («) situent k' juste au dessus de k.

a k k ' ^ ~ ^ ' au s e u ü a > plus de la moi t i é pondérée des critères de  k k ,(ci ) situent k' sur

l ’é c helon le plus élevé et k sur l'échelon le plus bas des échelles correspondantes.

- Les propriétés suivantes sont immédiates :

5kk,C0) - 3

ï=k,

j

^

a= 0 = jcritère 8,critère ₇J _c a k k » = (0.50, 0.25) a kk* — ® ^ ^ tt =1 :ÂV V , (1) = 5 critère 7 k k l - L â ^ k ,= (0.25) a kk' = ®*250 * =2 :Âk k ’ (2;) = 0 a k k ' ^ = 0 cas 3 : et = ° : â k k , (0) = 0.875

ci —

« = 1 : âkk. 11)

= 0

15

-3. La r e l a t i o n de surclassement

3.1. D éf in i t i o n

D'après ce qui précède, l 'hypothèse k Sk , est vérifiée si et seulement si, simultanément :

- l'indicateur de c o nc or d a n c e est au moins égal à une v a l e ur p (proche de 1) : c o n d i ti on de concordance.

- l'amplitude de c o nc or d a n c e est au moins égale à l ' am ­ p l i tu de de discordance au seuil o( (proche de 0) : condition de fiabilité.

En d ' a u t r e s termes :

k surc l a s s e k' a * k , > p et a k k , > à k k , (ce )

A la relation S cor r e s p o n d le graphe de surclassement noté G = (K, U ), où :

P;tx Pjoc

- les éléments de K d é f i n issent les sommets du graphe - les arcs, notés (k,k'), sont définis de la façon

suivante :

k S k , vérifiée =* (k,k ' ) e U : ^ ^ ---- *

Oi

V S,, non vérifiée =► (k,k') .

Exemple : X akk' a kk' I d .« | c on s é q u e n c e « = 0 a- 1 oî=Z Cas 1 0.75 1 1 1 ₀ k ... ). k ' p ^ 0.7 5, a ₌₀ Cas 2 0.75 0.375 0.375 0.250 ₀ k.--- >-*k' p < 0 . 7 5 , « =0 Cas 3 0.75 0.125 0.875 0.750 ₀ k. .k' p < 0.7 5,« =0 ; 1 k tk' p ^ 0 . 7 5 , « =2 Cas 4 0.875 0.5 _{1 0} ° k. .k' p ^ 0. 8 7 5 « =0 ’ k r_.^.,.< k ’ p < 0. ₈ 7 5 , a= 1

Remarque : Compte tenu du nombre relati v e m e n t rest r e i n t de c r i ­ tères retenus pour illustrer les cas p r é c é dents, le choix d'un seuil de fiabilité dépassant 1 ne semble pas justi f i é (cas 3) .

3.2. Principales c a r a c t é r i s t i q u e s .

3.2.1. Structure de préférence.

La relat i o n S définit une structure de p r é fé re nc e sur K [VINCKE, 1985] . En effet, en co n s i d é r a n t l'hy p o t h è s e

et l'hypothèse alternative ^tS^, on a une et une seule des possib i l i t é s suivantes :

k S k' k ' S k d é c i s i o n

vérif iée non vérifiée k. — #k ' : k surclasse k'

(k est p r é f é r é à k') non vérifiée vérifiée k#— — «k ' : k *s ur c l a s s e k

(k' est p r é f é r é à k) non v é rifiée non vérifiée k. .k' : k et k' sont

incompa r a b l e s v é rifiée vérifiée

k<

> k ' : le choix entre k et k' est indifférent |

- Les cas d ' incomparabilité se p r o d ui se nt lorsque les conditions de surclassement sont très strictes, c ' e s t -à -d ir e

- 17

-l o r s q u' on impose un seui-l de c o n c o rdance très proche de ₁ et/ou un seuil de fiabilité ne d épassant pas 1 par exemple. Dans

tous les cas examinés plus haut, k et k' sont incomparables pour p > 0.75. Bien entendu, les i ncomparabilités surviennent

le plus fréquemment aux seuils p = ₁ et a = ₀ (ce couple de seuils c or re s p o n d à des surclassements obtenus selon la règle de ₁ 'u n a n i m i t é ) .

D'une façon générale :

le graphe Gp.a egt non complet

. si p J< p ou/et </>«*, alors G t r admet, en principe, P , ®

G ^ comme graphe p a r t i e l .

- ₁ 'indifférence apparait dans deux situations p a r t i ­ c u l i è r e s illustrées par les cas suivants :

Cas 5

Seuil de c oncordance proche de 1 seuil de fiabilité non nul.

Dans le graphe Gq _{3 7 5}. on v é rifie que : k ^ k' Le choix, entre deux objets est donc indifférent, si pour u n nombre relativement élevé de critères, ces objets

sont con s i d é r é s comme é q u i v a l e n t s . Bien entendu, lorsque le décid e u r se montre extrêmement sévère sur les conditions de surclassement, l'incomparabilité se substitue à l'indifférence. Par exemple, dans Gq g75*0 ^ et sont incomparables (au seuil

rt = 0, les surclassements réciproques ne sont pas f i a b l e s ) .

Remarque : deux objets possédant exactement le m ê m e profil (.ex-aequo selon tous les points de vue) se s ur cl a s s e n t m u t u e l ­ lement dans .q (unanimité). L'in d i f f é r e n c e du cho i x est j u s t i ­ fiée par la rigoureuse équivalence des objets.

Cas 6

Seuil de concordance p r o c he de 0.50

Le surclassement réciproque est ob t e n u dans Gq 5 0 - 0 On constate que les profils sont n e t t em en t d i f f é r e n t s . L'in d i f f é r e n c e du choix n'est plus fondée sur la s i m i l a ­ rité des profils, mais sur leur opposition. Dans la m e s u re où un choix doit être effectué, le décideur c o n s t at e que deux groupes distincts de critères s'opposent avec u n e " force” c o m p a ­ rable sur les perfor m a n c e s relatives des deux objets ; g l o b a l e ­ ment:, le choix entre k et k' peut être c on s i d é r é comme i n d i f f é ­ rent .

L'indiff é r e n c e du choix sans l ' éq ui v a l e n c e des objets parait quelque peu troublante. Aussi v a u t - i l m i e ux se m on tr er un peu plus strict sur les conditions de s u r c l a s s e m e n t pour se ramener à une situation d ' i n c o m p arabilité (k et k' sont i n c o m ­ parables si, dans le cas présentement examiné, on pose p y 0.50).

3 . 2 . 2 N o n - t r a n s i t a v i té (1)

La no n - t r a n s i t i v i t é de la r el a t i o n de s u r c l a s se me nt est la preuve que la synthèse des c la s se m e n t s individuels n'est pas la c o n s é quence d'une procédure d ' a g r é g a t i o n des c ritères (1) Exception faite des surclassements obtenus à l'unanimité.

- 19

-(comme, par exemple, la somme pondérée effectuée sur les rangs inversés) .

Cas 7

Un exemple d'intrans i t i v i t é

- Parmi 5 objets,ori considère : k*

k' o k " +

- Les 4 critères sont pondérés de la façon suivante :

0.7, 0.1, 0.1, 0.1

. Dans le graphe Gq yg.Q on obtient :

k k'

*--->---?

+ k "

la r e l a t i o n de surclassement n'étant pas nécessairement transi­ tive, le graphe de surclassement peut, outre les surclassements réciproques, comporter d'autres c i r c u i t s .

. par exemple, dans Gq _30*0 on vérifie que :

le seuil de concordance étant inférieur à 0.50, le graphe comporte de n o m b r e u s e s situations d'indifférence. Pour des conditions de

surclassement aussi lâches, un tel graphe sera écarté de la p r o ­ cédure visant à établir le classement final des éléments de K.

4. E x ploitation des graphes de surclassement.

La procédure de classement p r o p os ée ci-ap r è s (.4.2)

suppose l'absence de circuits. Comme nous ve n o n s de le r e m a rquer la présence de circuits à des seuils de s ur cl a s s e m e n t réalistes est assez rare sauf, peut-être, en ce qui c o n c e rn e les s u r c l a s ­ sements réciproques (cas 5 ).Il convient, tout d'abord, d ' é l i m i ­ ner les éventuels circuits des graphes de s ur cl a ss e m e n t (4.1).

4.1 Rétrécissement des c i r c u i t s .

Soit Gp (K, Up ^) un graphe c o m po rt a nt u n circuit. Désignons par A l'ensemble des sommets reliés par ce circuit

(A CK) .

Les éléments de A sont supposés éq u i v a l e n t s (.hypothèse fondée dans la mesure où les seuils de s ur cl as s e m e n t sont r é a ­ listes) et remplacés par un sommet fictif, noté a, appelé le condensé de A [ROY, 1969] .

Le nouveau graphe obtenu (par c o n d e n s a t i o n du sous- ensemble A) est noté :

G = (K,

Û

avec K = (K - A) U £aj

et U „ défini de la façon suivante :

P j a

*

- (k, k'je U , k ^ A , k ' ^ A => (k,k') eÏÏ

P>

Pi «

- (k, k ’)e U , ksÉA, k ’ Ê A => (k,a) g ü

p; <* p / a

- (k, k ’)€ u , k € A, k ' Î A ** (.a,k')G û

p;a r ’ ₇ pja

Remarque : si le graphe comporte p lusieurs circuits, l'ordre dans lequel on procède est indifférent.

21

-Exem p l e

l 1 :ce

4.2.1. Influence exercée par u n s o m m e t . 0U10

- _{1 1 influence indirecte au i} degré exercée par le sommet k est m e surée par le nombre total, noté e^, de chemins de longueur i ayant k comme sommet initial - cas particulier : pour i = 1 , e^ mesure l'influence

directe exercée par k (.nombre de sommets surclassés directement par k ) .

- l'influence globale exercée par k, notée e(k), est définie par la somme pondérée :

e (k) = S l ej i_{= 1 1 K}

où r désigne la longueur du chemin le plus long. On considère que l'influence diminue en intensité au fur et à mesure qu'augmente le nombre de sommets

intermédiaires entre le sommet initial k et le so m ­ met terminal d'un chemin.

4.2.2. Influence subie par un s o m m e t .

Symétriquement au cas précédent, l'influence subie par k, et notée s ( k ) , est définie par la somme pondérée :

s(k) = 2 i*1

i sj i k

4.2.3. Coefficient de s u r c l a s s e m e n t .

Par définition, le coefficient de s u rc la ss e m e n t du sommet k, noté v(k), est donné par la d i f f é r e n c e :

v(k) = e(k) - s(k)

On obtient un préordre sur K en r an g e a n t les sommets du graphe selon les valeurs décroissantes de v(k).

5. Exemple d'a p p l i c a t i o n

Les données sont empruntées à l'ou v r a g e de B. ROY (1969 p. 185 et s.) où ellesfont l'objet d 'un tra i t e m e n t par le modèle ELECTRE-I.

Le lecteur intéressé par la c o m p a r a i s o n des résultats issus des deux approches pourra se reporter à l'ou v r a g e pré- c i

5.1. D o n n é e s .

(les rangs inversés sont reproduits en face des appré d a t i o n s correspondantes.)

- 23

-p 0.3 _{0 . 2} 0.3 _{0 . 1 0 . 1}

V c

k\ _{C 1} C 2 C 3 C 4 C S

k 1 neutre 3 très bon 6 passable 3 neutre 1 très bon 6

k₂ m a u v ai s ₁ passable ₁ passable 3 très bon ₆ neutre 3

k 3 m a u va is 1 neutre 5 mauvais 1 très bon 6 passable 1

k 4 très bon 6 passable 1 neutre 4 neutre 1 neutre 3

k 5 très bon 6 neutre 5 bon 5 neutre 1 bon 5

k 6 très bon 6 neutre 5 très bon 6 bon 4 bon 5

5.2. Indicateurs de concordance, amplitude de concordance.

/ k i h k 3 k 4 k 5 _{k 6} k i -0 . 9 -0 / ^ ^ > . 4 0 0 . 9 0 ^ / 0 . 4 0 : ' 0 . 4 0 ^ ^ 0 . 8 0 0.40 y O . l O 0 . 3 0 / ^ k₂ 0 . 4 0 / " ° : 0 . 8 0 / > ₀ . ₂₀ 0. _{1 0} ^ o A o y ^ ^ 0 . 4 0 k 3 0.1 0/ ^ 1 0 . 6 0 /

y S O

/ 0 ..0

/

r * 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 1 1 0.40 0. 5 0 0.60 k i - 0 0 0 . 2 0 _0.40 0.60 0 0 0 0 !₁ 0.60 0.50 0.40 _{0 . 6 0 0 . 8 0} 0.80 k 2 0.40 - 0 0 . 20 0. 4 0 0.60 0.40 _{0 0} 0 . 4 0 0.60 0.40 0.40 _{0 . 6 0 1} ; 1 k 3 0.40 0.40 - 0.60 1 ! 1 0.40 0 0.40 _{0 . 20} 0.80 1 . 1 0.80 0.30 0.40 k4 0 . 60 0 0.80 - 0 . 2 0 0.40 0 0 0 0 . 2 0 0.40 0 . 2 0 1 1 0 0 . 2 0 k 5 0 . 2 0 0 0 0 " 0 . 2 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0.40 0.40 _{0 0} k 6 0 . 2 0 0 0 0 0 -0 0 0 0 0 ! légende 5.4. Graphes de s u r c l a s s e m e n t , G1 ;0 .k

25 -G0 . 90 ; 1 o O C 5 G0 .70 ; ₂ 1 e k 4 e(.k) 4 4 s(kj v(k) k 1 0 0 0

0

0

0

Le préordre suivant est obtenu : G0.90;0 : e k 9 ek eCk) Sk s (.k) v(k) k 1 0 0 0 0 0 0 0 k 2 0 0 0 1 0 1 - 1 k 3 0 0 0 1 0 1 - 1 k 4 0 0 0 2 1 2.5 - 2.5 k S 1 0 1 1 0 1 0 k 6 4 1 4.5 0 0 0 4,5 d'où le classement :

- 27 -G0 .90 ; ₁ 1 e k 2 ek

_{• Ì}

_<

i

le cla s s e m e n t est le suivant :

R em a r q u o n s que et arrivent en première position sur l'éc h e l l e associée au critère qui possède, par conséquent, un droit de véto sur le surclassement de ces deux objets par des objets situés au bas de l'échelle (k ^ , k ^ , k,-).

La s u p p r ession du droit de véto est acquise au seuil ci. = ₁

(elle est légitime puisque le poids de c^ est faible) et relègue kj et k₂ aux derniers rangs du classement synthétique.

Des ordres sensiblement différents sont obtenus en atté n u a n t la sévérité des seuils :

k 6 0.70;2 . k 6 LO r * k 5 k , k 4 k 4 _{k 1} k 2 k 2 k 3 k 3 5.6. Hiérarchies de c e n t r a l i t ë .

Une a p p l i cation possible de l 'a n a l y s e m u l t i c r i t è r e à l'espace économique concerne l'étude de la centralité.

Chaque point d'un espace de r é fé r e n c e peut, en effet, être plus ou moins central selon la na t u r e et l'i m p o r t a n c e relative des critères retenus (dans l'espace urbain, par

exemple, les fonctions commerciales, fina n c i è r e s . . . sont a s s i ­ milés à des critères de classement des quartiers) .

Dans le classement synthétique u n indice de centralité, noté C(k) est affecté à tout lieu k comme suit :

v(k) - min v(k) C(k) = ---

£---max v(k) - min v(k)

k k

de telle sorte que le lieu le plus central k^ p o s sè d e un indice égal à l'unité et le lieu le moins central k^ u n indice égal à zéro (k^ et k^ ne sont pas nécessai r e m e n t des êntités spatiales uniques saufsi le classement synthétique retenu est u n ordre).

A la distance physique séparant chaque lieu de l'espace de son centre, on substitue l'indicateur d(k) tel que :

d(k) = 1 - C(k)

- 29

-Cette distance q ualifiée d'"a b s t r a i t e " (par opposition a la d is t a n c e physique) est u ti l i s é e comme varia b l e explicative dans un mo d è l e stochastique :

y = f(d)

où y d é signe toute grandeur économique contenue dans l'espace de r é f é re nc e (prix fonciers, densité de population, taux de c h ô m a g e , etc .. . )

Bien entendu, le test du m o d è le ne se trouve aucunement af f e c t é - comme c'est le cas dans les modèles traditionnels - si l'espace possède des centres multiples.

Des résultats très encourageants ont été obtenus selon cette m é t h o d e par les chercheurs dijonnais du groupe "Espace".

A N T O I N E BERT I E R B ENAYOUN B I N ZA CK FUSTIER FUSTIER ROY B ., ROY B . , ROY B., ROY B.,

J. - ROY B. 1969 : "Les techniques p r ép ar a t o i r e s de la décision, intérêt et limites", Revue Projet.

P. - de M O N TG OL FI ER J. 1971 : "Comment c h oisir en tenant compte de points de vue non c o m m e n s ur a bl es " -

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R .,ROY B.,SUS S M A N N B., 1966 : "Une m é t h o d e pour guider le choix en présence de poi n t s de vue mult i p l e s " . Note de travail de la S E M A , n" 49, Paris.

P., 1983 : A p p l ic at io n de la m é t h o d e SPARTE à la l o c a ­ lisation d ’un laboratoire d ' an a l y s e s m é d ic al es

dans l'agglom é r a t i o n d i j o n n a i s e . M é mo i re de Maîtrise, Faculté de Science E c o nomique et de Gestion, Dijon. B., 1981 : "Une méthode d 'analyse m u l t i c r i t è r e - SPARTE",

Document de Travail de l'i n s t i t u t de M a t h é m at iq ue s Economiques, n u 49, Dijon.

B., 1983 : "Nouvelle théorie de la d e m a n d e et p r e s c r i p ­ tion médicale. Le cas des n o r m o l i p e m i a n t s " .

C o mm un i c a t i o n présentée à la Table Ronde de M é d i c o - m é t r i e régionale - Les D i a b l er et s - Suisse.

1968 a : "Classement et choix en p r é se n ce de points de vue mult i p l e s (la m é thode E L E C T RE )" - Revue F r a n - çaise d'inform a t i q u e et de R e c h er ch e O p é r a t i o n n e l l e . n° 8.

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(série v e r t e ) .

1969 : "A l g è b r e moderne et t h éorie des g r a p h e s , Tome 1, Dunod, Paris.

1975 : "Vers une m o d é l i s a t i o n g é n é ra le d'aide à la