TRAINS D'ENGRENAGES ÉPICYCLOïDAUX.
Il est arrivé à certains d'entre nous, démontant une perceuse électrique, plus communément appelée
"chignole", pour y observer le mécanisme qui transmet le mouvement du moteur au mandrin, d'y découvrir un train planétaire, train d'engrenages d'un type différent de celui que nous faisons étudier à nos élèves de troi-sième. La loi de transmission d'un tel di~positif n'est pas évidente pour une personne non prévenue. Notre in-tention est d'apporter quelques notions très simples à tous ceux qui s'intéressent à ce sujet qui touche aussi à l'automobile et en particulier à la transmission par boite automatique par exemple.
l - DEFINITIONS
Les roues dentées des engrenages que nous obser-vons habituellement dans une montre par exemple ou une boite de vitesse à commande manuelle, tournent autour d'axes dont la position est fixe par rapport au bâti qui les porte.
ft)
PlAî\ETAIRI
SOLAIRE
Dans le mécanismeschématisé sur la figure
1 au contraire la roue
SATEllITE
dentée (S) est portée parun bras coudé (3) qui peut tourner comme une manivelle autour de l'axe X'X, autour duquel tournent déjà les roues dentées (1) et (2).
Un tel mécanisme dans lequel certaines roues dentées, comme S, tournent en roulant sur d'autres roues est appe-lé train épicycloïdal, on dit aussi train plané-taire.
Adoptons la ter-minologie en usage bien que celle-ci manque de précision :
o
BAT!TRAIN elEMENTAIRE
-5 est un satellite et le bras (3) le porte-satellite ou bras.
- (1) et (2) sont les planétaires, (1) le pla-nétaire central qu'on appelle aussi solaire et (2) le planétaire extérieur qu'on appelle aussi couronne.
La figure 1 représente un train planétaire à 3 roues: c'est le plus simple, nous l'appallerons train élémentaire.
Dans ~a pratique, pour plus de robustesse le bras (3) porte plusieurs satellites identiques à 5 qui engrènent identiquement sur les planétaires (1) et (2) comme le montrent les figures 2 et 3 où chaque satellite joue un rôle identique.
Mais i l existe aussi des dispositifs plus com-plexes comportant des satellites à plusieurs dentures
(fig. 7) ou plus de deux planétaires (fig. 4) ou des associations de trains entre eux ... Nous les laissons provisoirement de côté. II - FORMULE FONDAMENTALE
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---1
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HUlINELLMENTAII~E
s-'"
Nous cherchons une relation entre les vites-ses de rotation des plané-taires Cl) et (2) et du porte satellite (3)
celle du satellite, pignon fou sur son axe, ne nous intérèsse pas. Pour
pouvoir appliquer à un tel système des lois de transmission du mouvement, bien connues pour les engrenages à axes fixes, i l faudrait que le bras porte-satellite (3) soit immobilisé. c'est ce que nous pourrons faire, au moins par la pensée, en prenant le bras porte-satellite comme référentiel du mouvement des planétaires,{Mouve-ment relatif). En
prenant le bâti 0 (zéro) comme référentiel, nous
définirons leur mouvement absolu, le mouvement du bras par rapport au bâti constituant le mouvement d'entraî-nement.
Prenons un sens positif pour les rotations autour de l'axe X'X et notons N i/j la vitesse algébri-que de rotation de l'organe i par rapport à l'organe j pris comme référentiel. Je prends la lettre N plutôt que la lettre oméga pour des raisons purement typogra-phiques (n'est pas sur notre machine à écrire). L'unité peut aussi bien être le tour par minute que le radian par seconde.
La loi bien connue de composition des vitesses nous permet d'écrire par analogie pour les rotations:
vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d'entraine-ment Nl / 0 Nl / 3 + N3/ 0
(a) N2/ 0 N2/ 3 + N3/ 0
Tirons de là les vitesses relatives des plané-taires ( 1 ) et (2 ) par rapport au porte-satellites (3) •
(b)
Nous savons calculer le rapport des vitesses du 1er memtre dans (b) en appliquant la loi de transmission du mouvement des engrenages traditionnels. En effet, toutes les roues du système tournent autour d'axes fixes par rapport au bras (3) On peut donc leur appli-quer la relation bien connue: NZ N'Z'
Dans le cas de la figure l, repris figure 3, nous avons une transmission par 2 roues avec roue intermédiaire et nous savons que le nombre de dents de cette dernière n'intervient pas dans le
dans le résultat.
(c)
ZI et Z2 sont les nombres de dents des roues (1) et (2) le Bigne (-) traduit l'inversion du sens de rota-tion. Ce rapport est appelé
rapport de transmission dans le sens l''' 2 et noté ki ...2
En revenant à (b), nous obtenons
Ecrivons cette relation connue sous le nom de formule de Willis avec les notations plus simples suivantes.
NI et N2 vitesses algébriques des planétaires.
N vitesse algébrique du. porte-satellite,
r rapport algébrique de transmission bras bloqué on dit aussi raison .
.Ecrivons-la aussi sous une forme plus familière en utilisant la lettre oméga qui représente tradition-nellement les vitesses angulaires :
- w
- w
III - LES POSSIBILITES D'UN TRAIN PLANETAIRE ELEMENTAIRE
Considérons toujours le mécanisme de la figure l et donnons pour plus de simplicité une valeur numérique quelconque à Zl et Z2'
Par exemple Zl 40 dents, Z2 80 dents Alors Zl l k 1 -+ 2 Z2 2
Les trois éléments du train, planétaire cen-tral, planétaire externe et porte satellite ou des vi-tesses angulaires liées par la relation de Willis, c'est-à-dire
l 2
Si l'on impose à l'un des éléments de tourner avec une vitesse donnée qui sera la vitesse d'entrée, la vitesse de chacun des deux autres éléments peut pren-dre une infinité de valeurs compatibles avec la rela-tion précédente. Elle est donc indéterminée.
Mais si de plus on impose à l'un de ces deux éléments une liaison supplémentaire (qui l'immobilise par exemple) alors le 3ème élément prend une vitesse déterminée qui constitue la vitesse de sortie.
Voyons les différents cas simples possibles et calculons dans chaque cas le rapport de transmission :
N sortie N entrée
r
N
2 = O. La relation de WIllis donne :
o -
Nl
2
=>
2 N
- Si le mouvement entre par le planétaire cen-tral et sort par le bras
- S'il entre par le bras et sort par le central r
:1
=ŒJ
3.2 - ~~_E~~~~!~~E~_S~~!E~~_~~!_e~2g~~ NI O. La relation devient : N 2 - No -
N 2 N=
N~ 3 N=
2 N 2- Si le mouvement entre par le planétaire ex-terne et sort par le bras
r
=:, =
rn
- S'il entre par le bras et sort par le plané-taire externe : N = 0 N 2
-
0 NI-
0-
Si le = N 2 r NI-
Si le NI r N2mouvement entre au central
=0]
mouvement entre au planétaire externe
3.4 - Deux éléments sont rendus solidaires, par exemple le planétaire central et le porte satel-lite. On a alors NI
=
N et la relation de Willis devient1 2
qui ne peut être vérifiée que pour N
Soit r =
0
Le dispositif réalise quelque soit l'élément d'entrée une prise directe.
IV - LES BOITES DE VITESSES AUTOMATIQUES
En automobile, l'usage des boites de vitesses automatiques se répand de plus en plus depuis une tren-taine d'années. Certains constructeurs utilisent des boites traditionnelles à commande automatique
(Citroën, Simca), d'autres font appel à des trains épicycloïdaux (Renault, Peugeot, Wilson ... ). On com-prend l'intérêt de cette seconde solution quand on voit le nombre de combinaisons qu'offre le train élémentaire que nous venons d'étudier. De plus, en multipliant le nombre des satellites on répartit le charge sur un plus grand nombre de dents ce qui diminue la pression et le bruit et permet d'utiliser des dentures plus fines et des roues plus petites.
Le changement de rapport qui se fait par blo-cage ou solidarisation de certains éléments est obtenu par l'action d'embrayages ou de freins sur des disques solidaires des éléments concernés, la commande étant, suivant le cas, hydraulique ou magnétique.
Je ne décrirai pas ces boites qui sont tout de même assez complexes et surtout difficiles à schémati-ser. On pourra trouver une description sur des revues spécialisées.
Le célèbre FORD T. (1908-1927) fa~riquée à 15 millions d'exemplaires (ce qui pour l'époque est un chiffre colossal) avait un train épicycloïdal du type précédent commandée par une pédale avec deux vitesses en marche avant et une marche arrière. Les boites automatiques de Peugeot (Z.F.) et de Renault ont un train plus complexe avec 2 planétaires d'entrée, une couronne de sortie et deux satellites, les boites Wilson et CotaI comportent plusieurs trains épicycloï-daux.
La figure 4 (page ci-après) donne le principe
d~une boite automatique Renault (R 12, R 16, R 15, R 17, R 30) qui comporte:
- 2 planétaires centraux ou solaires Pl et P 2 - l planétaire externe ou couronne C - l satellite 8 1 qui engrène sur Pl et 8 2 - l satellite 8 2 qui engrène sur P 2 81 et C Il
Y
a en réalité 3 couples de satellites identi-ques aux précédents pour répartir la charge. Ils sont portés par le même bras B représenté par le triangle du schéma.La boite offre 3 rapports en marche avant et une marche arrière. Voici la chaîne cinématique pour chacun, la sortie du mouvement se faisant toujours par la couronne C.
1ère. B. bloqué, Pl embrayé, P 2 fou : Pl~81-.s2-'C 2ème. P 2 bloqué, Pl embrayé, B fou: Pl~81~82 roule
sur P
2 et entraîne la couronne C 3ème. Pl et P
2 embrayés : leurs nombres de dents étant différents ils ne peuvent pas tourner à la même vitesse par rapport au bras si ce n'est à la vitesse 0, le bras est entraîné à leur vitesse ainsi que C. C'est la prise directe.
Marche arrière: B bloqué, P
2 embrayé, Pl fou
P2-.82~C
La commande du changement nécessite 2 embraya-ges El sur Pl et E
2 sur P2 et 2 freins F2 sur P2 et F
B sur le bras B.
La botte montée par Peugeot sur la 404 ou la 504 diffère peu de la précédente dans son principe.
v -
DIFFERENTIEL D'AUTOMOBILEPlus simple à étudier est le différentiel d'une voiture dont le fonctionnement n'est pas toujours bien connu.
5.1 - Sa fonction
---Dans un virage, la roue placée à l'extérieur parcourt un trajet plus long que l'autre, elle tourne donc avec une vitesse angulaire plus grande, pour ne pas patiner sur le sol. Le différentiel est l'organe qui permet, sur une voiture, aux roues motrices d'être entraînées par le moteur chacune à sa vitesse propre.
5.2 - §~_e!~ç:~
Sur la voiture traditionnelle à moteur avant et propulsion arrière, i l se situe dans le pont arriè-re qui contient aussi le arriè-renvoi d'angle. C'est le cas que nous décrivons figure 5. Dans les voitures moteur arrière ou traction avant, i l est placé dans l'ensem-ble boite et pont. Dans les voitures à moteur transver-sal, i l n'y a évidemment pas de renvoi d'angle, inu-tile, maïs le différentiel est toujours présent.
sur deux roues coniques (1)et(2) ARflRE ÜE
TRAr~5f\~l S ;) l[i~:
5.3 - Q~2ç:E!e~!2~
Le schéma de la figure 5 représente l'ensemble des organes de transmission pla-cés à l'arrière de la voiture dont l'essen-tiel est contenu dans
le pont. Le mouvement entre dans celui-ci par l'arbre de trans-mission issu de la boite de vitesses et en sort par les deux arbres de roues.
Le E!gnon de renvoi d'angle lié à l'arbre de transmission en-traîne une couronne solidaire du boitier du différentiel (3). Ce boitier porte les axes de 2 ou 3 sa-tellites coniques identiques qui roulent
'IRBRE l;E 'itJUE
l
'.~Dun Ct·;f'J E
identiques aussi liées chacune à un arbre de roue
(ZI ~ Z2)'
L'ensemble constitue donc un train épicycloï-dal dans lequel on reconnaît
- les planétaires (1) et (2)
- le porte-satellite (3), boitier de différentiel.
La raison de ce train (bras bloqué) a pour valeur
k - 1
+ Z2
et l'application de la formule de Willis donne
- 1
=t>IN
I ---5.4 - Fonctionnement---L'étude précédente montre que la couronne
étant entraînée à la vitesse N, le différentiel n'impo-se pas à chaque roue de tourner à cette vitesse. Il impose seulement à la moyenne arithmétique de leur vi-tesse de conserver la valeur N, chacune pouvant prendre la vitesse adaptée au trajet qu'elle parcourt. C'est bien le but recherché.
Cependant, la présence d'un différentiel n'a pas que des avantages; c'est le cas quand l'une des roues perd l'adhérence avec le sol sur la glace ou la neige ou le sable par exemple. Il suffit que l'autre roue conserve un peu d'adhérence pour que le sol jou-ant le rôle de frein l'immobilise (NI = 0). L'autre roue patine alors, tournant à la vitesse N
2 ~ 2 N, creusant la neige ou le sol, ce qui aggrave la situa-tion. La voiture est immobilisée.
Pour éviter cet inconvénient, certains
véhi-cule~ tout terrain sont munis d'un dispositif (crabo-tage) qui permet de solidariser le boitier de diffé-rentiel avec l'un des arbres de roues (Land et Range Rover, Jeep ... ). Le crabotage impose alors N
=
N2 et par conséquent N = NI ~ N? Les deux roues sont entraî-nées à la même vitesse, par blocage du différentiel.
VI - REDUCTEURS EPICYCLOIDAUX
De faible encombrement et conservant la coaxia-lité, les réducteurs épicycloïdaux sont souvent utilisés surtout si l'on recherche une grande démultiplication.
6.1 - ~~~~~~~~E_§~~E!~ fig. 6
C'est un train épicycloïdal dans la situation du paragraphe 3.1, c'est-à-dire planétaire extérieur bloqué. Le réducteur pour bloc moteur Peugeot par exemple est de ce type. La charge est répartie sur 3
satellites identiques; l'entrés se fait par le solaire, la sortie par le bras.
(bras bloqué) 12 - Sa raison 2 36 a pour valeur 1 2
- La formule de Willis donne
1
~3
N = NI - N~
4 N 3 D'où la réduction r=
N 1 NI 4 16 c!pnt:-. 12 r.p.nts ' - . 12 dp.nts ',ortie-(]j
JlIAn~tf:i:::I~ fixe ..i ,:".o-,ti:-1.-lï.tr"""''';---6.2 - ~~~~~~~~E_~Y~~_~~~~!!~~~~_~_9~~e!~
9~!:!!O~E~
fig.
7Ces réducteurs permettent de plus fortes réductions tou-jours sous un faible encombrement.
Calculons la raison de celui que décrit la figure 7. k l _ 2 20 x 20 1 =
-80 x 120 24 Applications de la formule de Willis :