Contribution à la modélisation numérique en électromagnétisme statique stochastique

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Submitted on 23 Jun 2009

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électromagnétisme statique stochastique

Roman Gaignaire

To cite this version:

Roman Gaignaire. Contribution à la modélisation numérique en électromagnétisme statique stochas-tique. Sciences de l’ingénieur [physics]. Arts et Métiers ParisTech, 2008. Français. �NNT : 2008ENAM0005�. �pastel-00005115�

Ecole doctorale n° 432 : Sciences des Métiers de l’Ingénieur

T H È S E

pour obtenir le grade de

Docteur

de

l’École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers

Spécialité “Génie Electrique”

Jury :

M. Francis PIRIOU, Professeur des Universités, USTL ...Président

M. Patrick DULAR, Maître de recherches FNRS, Université de Liège (Belgique)...Rapporteur

M. Gérard VINSARD, Maître de Conférences - HDR, ENSEM... Rapporteur M. Stéphane CLENET, Professeur des Universités, ENSAM...Examinateur

M. Nathan IDA, Professeur, Université de Akron (Ohio, USA) ... Examinateur M. Olivier MOREAU, Ingénieur Chercheur, EdF R&D...Examinateur

M. Bruno SUDRET, Ingénieur Chercheur - HDR, EdF R&D ...Examinateur

Laboratoire d’Électrotechnique et d’Électronique de Puissance ENSAM, CER de Lille

L’ENSAM est un Grand Etablissement dépendant du Ministère de l’Education Nationale, composé de huit centres : AIX-EN-PROVENCE ANGERS BORDEAUX CHÂLONS-EN-CHAMPAGNE CLUNY LILLE METZ PARIS

présentée et soutenue publiquement par

Roman GAIGNAIRE

CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN

ÉLECTROMAGNÉTISME STATIQUE STOCHASTIQUE

Directeur de thèse : Stéphane CLENET Co-encadrement de la thèse : Olivier MOREAU

Ecole doctorale n° 432 : Sciences des Métiers de l’Ingénieur

T H È S E

pour obtenir le grade de

Docteur

de

l’École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers

Spécialité “Génie Electrique”

Jury :

M. Francis PIRIOU, Professeur des Universités, USTL ...Président

M. Patrick DULAR, Maître de recherches FNRS, Université de Liège (Belgique)...Rapporteur

M. Gérard VINSARD, Maître de Conférences - HDR, ENSEM... Rapporteur M. Stéphane CLENET, Professeur des Universités, ENSAM...Examinateur

M. Nathan IDA, Professeur, Université de Akron (Ohio, USA) ... Examinateur M. Olivier MOREAU, Ingénieur Chercheur, EdF R&D...Examinateur

M. Bruno SUDRET, Ingénieur Chercheur - HDR, EdF R&D ...Examinateur

Laboratoire d’Électrotechnique et d’Électronique de Puissance ENSAM, CER de Lille

L’ENSAM est un Grand Etablissement dépendant du Ministère de l’Education Nationale, composé de huit centres : AIX-EN-PROVENCE ANGERS BORDEAUX CHÂLONS-EN-CHAMPAGNE CLUNY LILLE METZ PARIS

présentée et soutenue publiquement par

Roman GAIGNAIRE

CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN

ÉLECTROMAGNÉTISME STATIQUE STOCHASTIQUE

Directeur de thèse : Stéphane CLENET Co-encadrement de la thèse : Olivier MOREAU

Mon sens de l’organisation me pousse `a remercier en premier ceux que j’ai forc´ement oubli´es. Je tiens ensuite `a remercier l’ensemble des gens avec qui j’ai pu travailler au sein du L2EP ainsi qu’`a EdF pour les nombreuses discussions scientifiques (ou non) que nous avons pu avoir. Je remercie mon directeur de th`ese St´ephane Cl´enet pour ce qu’il m’aura appris scientifiquement et socialement ; Bruno Sudret pour son aide ; Olivier Moreau pour nos multiples discussions (scientifiques ou politiques) et sa finesse. Je tiens aussi `a remercier chaleureusement Fr´ed´eric Guyomarc’h pour les int´eressants moments que nous avons pass´es `a red´ecouvrir la forme en somme de produit tensoriel de la matrice de raideur. A Bernard, sans qui je serai mort d’administration. A Toinou, qui a support´e que je rˆale dans notre bureau pendant deux ans et `a Thomate pour sa recette d’Irish coffee. Une th`ese est un travail en soi, mais particulier en cela que ceux qui nous entourent la subissent aussi, il me faut donc rapporter toute ma gratitude `a ceux qui pour une raison ou une autre ont dˆu m’h´eberger pendant ces trois ans. Que ce soit `a Lille, merci `a Michel et Bernadette (pour la libert´e contrainte et le gratin aux aubergines et `a la mozzarella ainsi que pour le frigo que j’ai vid´e un nombre certain de fois), `a Fifou (et `a ton appart qui m’a permis de continuer ma th`ese), aux parents de Vivi (pour la gentillesse de votre accueuil, baume que je n’oublierai pas). Ou que ce soit `a Paris : merci `a toi Thom, qui pour toujours est mon fr`ere de coeur et `a toi David, qui grandit en homme bon.

Je remercie l’ensemble de ma famille pour son aide pr´ecieuse en des moments difficiles (je ne vais pas citer tout le monde, il me faudrait trois volumes suppl´ementaires). Et j’en profite pour souhaiter bonne chance `a mes trois plus petits fr`eres : Kilian, Hugo et Marcus. Il y a ensuite ceux qui ont du me supporter encore plus longtemps, qui ont du me subir au jour le jour pendant les longues p´eriodes qui ont compos´e ces trois ans. Je me dois donc (et je le fais sans d´eplaisir) de remercier mes diff´erents collocs qui ont eu `a (sur)vivre (`a) ces instants : Vivi (je ne brˆulerai plus de cuisine), Ambre et Julie (que la vie continue `a vous apporter des d´esirs). Tous trois, je vous aime `a ma mani`ere.

Merci `a Mange-pˆate qui m’a plus qu’aid´e pour la correction orthographique de cette th`ese, pour le temps que tu y as pass´e, nuits blanches et autres temporalit´es.

Il faut quelques mots suppl´ementaires pour mes vieux amis qui, bien que loin des yeux, ne sont pas loin du coeur. A mes deux amis imaginaires, qui ont accompagn´e le d´ebut de ma th`ese. A Seb, et ses discussions t´el´ephoniques sous forme de monologues. A Damien, qui, sans doute devait arrˆeter. A Karim, et `a nos discussions illumin´ees de son soleil. A Slim pour la philosophie et les maths. A Yoann, `a notre chaˆıne de Markov, `a cet article de Skorokhod si contraire `a l’intuition, `a la percolation de premier passage, aux probas invariantes uniques et `a nos fous rires . A Xavier, ami de d´ebauche. A Alex, el companero de Salamanca. A Magneto guerrier (de gauche mˆeme s’il l’ignore) venu du fond des ˆages, sans qui, je me serai globalement ennuy´e au labo durant les deux derni`eres ann´ees, mon foi lui n’a pas la mˆeme position que moi et du coup merci `a La Pirogue, rhumerie o`u notre compr´ehension des ´el´ements finis s’est affin´ee. A Skorki Corkoran Deux Flingues, mon fr`ere (le reste est superflu). Et enfin `a mon b´eb´e ph´enyx, qui est mon amie et `a qui je ne dois rien : nous ne sommes ni comptable, ni gens d’honneur, pourtant te dire merci me ravit.

Le dernier remerciement est adress´e `a mon soleil noir, fantˆome rencontr´ee trop tˆot et qui m’a poursuivi si longtemps : merci de m’avoir fait grandir.

Introduction 1

1 Formalisation du Probl`eme et ´etat de l’art 5

1.1 Cadre Math´ematique d´eterministe du probl`eme . . . 5

1.1.1 Equations de Maxwell . . . 5

1.1.1.a Probl`eme de l’´electrocin´etique . . . 6

1.1.1.b Probl`eme de magn´etostatique . . . 6

1.1.1.c Probl`eme d’´electrostatique . . . 7

1.1.2 Lois de comportement . . . 7

1.1.3 Conditions aux limites . . . 7

1.1.4 Formulation en potentiel scalaire . . . 8

1.2 Incertitudes et ´ecritures math´ematiques . . . 8

1.2.1 Quelques bases de probabilit´es . . . 9

1.2.2 Formalisation des incertitudes sur les lois de comportement . . . 12

1.2.2.a Champs al´eatoires . . . 12

1.2.2.b Discr´etisation de Karhunen-Loeve . . . 13

1.2.3 Probl`eme d’´electromagn´etisme avec incertitudes . . . 15

1.2.3.a Formulation forte . . . 16

1.2.3.b Formulation faible . . . 17

1.3 Etat de l’art . . . .´ 19

1.3.1 La m´ethode des perturbations . . . 19

1.3.2 M´ethode de d´eveloppement en s´erie de Neumann . . . 20

1.3.3 M´ethode de Monte-Carlo . . . 20

1.3.3.a Cadre math´ematique . . . 21

1.3.3.b Rappels de probabilit´es et Monte-Carlo . . . 21

1.3.3.c Monte-Carlo appliqu´e au calcul des moments du potentiel scalaire . . . 23

1.3.4 M´ethodes de chaos polynomiaux . . . 24

2 M´ethodes de chaos polynomial non-intrusives 27 2.1 Rappels sur la m´ethode des ´el´ements finis dans le cadre d´eterministe . . . . 28

2.2 Polynˆomes chaos . . . 29

2.2.1 Polynˆomes de Hermite uni-dimensionnels . . . 29

2.2.1.a D´efinition . . . 29

2.2.1.b Une base hilbertienne . . . 31

2.2.2 Polynˆomes de Hermite multi-dimensionnels . . . 39

2.2.2.a D´efinition et construction . . . 39

2.2.2.b Polynˆomes de Hermite et calcul de probabilit´e . . . 41

2.3 M´ethodes de projection . . . 43

2.3.1 Introduction aux m´ethodes non-intrusives . . . 43

2.3.2 G´en´eralit´es sur les m´ethodes de projection . . . 44

2.3.3 M´ethode de projection de type Monte Carlo : NIMC . . . 46

2.3.4 M´ethode de projection de type sch´emas de quadratures de Hermite Gauss : NIHG . . . 48

2.3.4.a M´ethode de Gauss . . . 49

2.3.4.b Application `a la m´ethode de projection sur le chaos poly-nomial . . . 51

2.4 Validation . . . 53

2.4.1 M´ethodologie . . . 53

2.4.2 Cas d’une forme en L . . . 56

2.4.2.a Cas 1 . . . 56

2.4.2.a.1 MCSPC et MCS . . . 56

2.4.2.a.2 NIMC . . . 57

2.4.2.a.3 NIHG . . . 60

2.4.2.a.4 Consid´erations Num´eriques . . . 62

2.4.2.b Cas 2 . . . 63

2.4.2.b.1 MCSPC et MCS . . . 64

2.4.2.b.2 NIMC . . . 64

2.4.2.b.3 NIHG . . . 67

2.4.2.b.4 Consid´erations num´eriques . . . 67

2.5 Conclusion Pr´eliminaire . . . 68

3 La SSFEM 71 3.1 Calculs pr´eliminaires . . . 71

3.2 Pr´esentation de la SSFEM . . . 75

3.2.1 Formulation faible . . . 75

3.2.2 Base de discr´etisation . . . 76

3.2.3 Syst`eme lin´eaire `a r´esoudre . . . 77

3.2.4 Assemblage du syst`eme lin´eaire et validation . . . 82

3.2.4.a Construction . . . 82

3.2.4.b Validation . . . 83

3.2.4.b.1 Cas d’une forme en L, jeu de conductivit´e 1 . . . 83

3.2.4.b.2 Cas 2 . . . 84

3.2.5 Influence de l’ordre du d´eveloppement des lois de comportement . . 85

3.2.5.a Potentiel d´evelopp´e au degr´e 3, cas du L : cas 2 . . . 86

3.2.5.b Potentiel de degr´e 4, cas du L : cas 2 . . . 87

3.2.5.c Potentiel de degr´e 5, cas du L : cas 2 . . . 87

3.2.5.d Potentiel de degr´e 6, cas du L : cas 2 . . . 88

3.2.5.e Maillage tridimensionnel . . . 89 3.2.6 Mise en oeuvre d’une ´ecriture tensorielle de la matrice de raideur . 91

3.2.6.a Probl´ematique . . . 91

3.2.6.b Etude en 1D spatiale . . . 95

3.2.6.b.1 Pr´esentation des cas trait´es et limitation m´emoire de l’approche s´equentielle . . . 95

3.2.6.b.2 M´emoire occup´ee et temps d’assemblage . . . 97

3.2.6.b.3 Produit Matrice Vecteur . . . 100

3.2.6.b.4 Tests des algorithmes . . . 103

3.2.7 Produit tensoriel de matrices : application au code 3D . . . 104

3.2.7.a Gradient conjugu´e et pr´econditionnement . . . 104

3.2.7.b Cas du L, cas 1 . . . 106

3.2.7.b.1 Sans pr´econditionneur . . . 106

3.2.7.b.2 Avec pr´econditionneur de Jacobi . . . 107

3.2.7.b.3 Consid´erations Num´eriques . . . 108

3.2.7.c Cas du L, cas 2 . . . 109

3.3 Conclusions Pr´eliminaires . . . 110

4 Grandeurs globales 113 4.1 Grandeur globale et SSFEM . . . 113

4.1.1 Intensit´e dans le cas d´eterministe . . . 113

4.1.1.a Expression de l’intensit´e avec la conservation de la puissance114 4.1.1.b Influence du choix de la fonction α . . . 115

4.1.1.c Influence de la surface de calcul . . . 115

4.1.2 Calcul de l’intensit´e avec la SSFEM . . . 115

4.1.2.a Propri´et´e sur la densit´e de courant . . . 116

4.1.2.b G´en´eralisation des calculs d´eterministes . . . 118

4.1.2.b.1 Expression de l’intensit´e avec la conservation de la puissance . . . 118

4.1.2.b.2 Influence du choix de la fonction α . . . 118

4.1.2.b.3 Influence de la surface de calcul . . . 119

4.2 M´ethode non-intrusive de projection Hermite Gauss et grandeurs globales . 119 4.3 Validations . . . 120

4.3.1 Cas du L . . . 120

4.3.1.a Cas 1 . . . 122

4.3.1.b Cas 2 . . . 124

4.3.2 Pi`ece 3D . . . 125

4.4 Cas test industriel, manchon de cˆable ´electrique . . . 127

4.4.1 Cas avec deux conductivit´es al´eatoires . . . 129

4.4.1.a Approximation des lois d’entr´ees . . . 130

4.4.1.b SSFEM . . . 130

4.4.1.c M´ethode non-intrusive : NIHG . . . 134

4.4.1.d Comparaison entre les deux m´ethodes . . . 135

4.4.1.d.1 Comparaisons des param`etres de dispersion . . . 135

4.4.1.d.2 Comparaison des temps de calcul . . . 138

4.4.2 Cas avec trois conductivit´es al´eatoires . . . 139

4.4.2.b M´ethode non-intrusive : NIHG . . . 143

4.4.2.c Comparaison entre les deux m´ethodes . . . 146

4.5 Conclusion Pr´eliminaire . . . 148

Conclusion et perspective 149 A Introduction aux Probabilit´es 159 A.1 Cadre th´eorique : probabilit´es et mesures . . . 160

A.2 Th´eor`emes de base . . . 167

A.3 Variables Al´eatoires . . . 170

A.3.1 Lois, densit´es, et fonctions de r´epartition . . . 171

A.3.2 Moments de variables al´eatoires . . . 172

A.3.3 Ind´ependances d’´ev´enements, de variables al´eatoires . . . 174

A.3.4 Notion de convergences, loi des grands nombres et th´eor`eme central limite . . . 175

B Quelques th´eor`emes d’analyse fonctionnelle 179 B.1 Th´eor`eme de Lax-Milgram . . . 179

B.2 Formules de Green . . . 179

C Produit tensoriel et algorithme SSFEM 181 C.1 Produit tensoriel . . . 181

C.2 Algorithmes . . . 183

C.2.1 Algorithme du gradient conjugu´e . . . 183

C.2.2 Produit matrice (non assembl´ee) vecteur . . . 183

C.2.2.a Algorithme 1 : compression des lignes et des colonnes et utilisation des produits matriciels . . . 183

2.1 Polynˆomes chaos uni-dimensionnels . . . 30

2.2 Polynˆomes de Hermite bi-dimensionnels . . . 40

2.3 Nombre de polynˆomes chaos en fonction du nombre de variable M et du degr´e p en chaque dimension . . . 41

2.4 M´ethode de Gauss . . . 50

2.5 Points pour les polynˆomes de Hermite . . . 51

2.6 Moyenne et ´ecart-type des conductivit´es consid´er´ees dans le cas 1 . . . 56

2.7 Comparaison entre MCSPC et MCS . . . 57

2.8 Erreur en % entre NIMC et MCS, cas 1 . . . 57

2.9 Erreur en % entre NIMC et MCSPC . . . 60

2.10 Erreur entre NIHG et MCS en % . . . 62

2.11 Temps de r´esolution pour MCS, MCSPC, NIMC et NIHG en secondes . . 63

2.12 Moyenne et ´ecart-type des conductivit´es consid´er´ees dans le cas 2 . . . 63

2.13 Erreur commise en % entre MCSPC et MCS . . . 64

2.14 Erreur maximale commise en % entre NIMC et MCS . . . 64

2.15 Erreur en % commise par NIMC avec MCSPC (200 000 r´ealisations) . . . 65

2.16 Erreur en % entre NIHG et MCS . . . 67

2.17 Temps de r´esolution pour MCS, NIMC et NIHG en secondes . . . 68

3.1 Nombres de termes non nuls et de lignes nulles pour certaines Dijk _{. . . . . 74}

3.2 Erreur maximum entre la SSFEM et MCS en % . . . 83

3.3 Consid´erations num´eriques . . . 84

3.4 Erreur maximale en % entre la SSFEM et MCS . . . 84

3.5 Consid´erations num´eriques . . . 85

3.6 Erreur maximale sur le maillage entre la SSFEM avec p = 3 et MCS . . . 86

3.7 Temps en s en fixant p = 3 et en faisant varier pin . . . 86

3.8 Erreur maximale sur le maillage entre la SSFEM avec p = 4 et MCS . . . 87

3.9 Temps en s en fixant p = 4 et en faisant varier pin . . . 87

3.10 Erreur maximale sur le maillage entre la SSFEM avec p = 5 et MCS . . . 88

3.11 Temps en s en fixant p = 5 et en faisant varier pin . . . 88

3.12 Erreur maximale sur le maillage entre la SSFEM avec p = 6 et MCS . . . 88

3.13 Temps en s en fixant p = 3 et en faisant varier pin . . . 89

3.14 Moyenne et ´ecart-type des conductivit´es pour l’exemple 1. . . 89

3.15 Moyenne et ´ecart-type des conductivit´es pour l’exemple 2. . . 90

3.16 Erreur sur le Trigone, Exemple 1 . . . 91

3.17 Erreur sur le Trigone, Exemple 2 . . . 91

3.18 R´ecapitulatifs du nombre d’´el´ements stock´es dans le cas classique et dans

l’approche tensorielle . . . 94

3.19 Description des cas trait´es avec M = 4 et P = 70. . . 96

3.20 Description des cas trait´es avec M = 4 et P = 210. . . 97

3.21 Temps CPU en secondes pour assembler les matrices P = 70. . . 98

3.22 Temps CPU en secondes pour assembler les matrices P = 210. . . 99

3.23 M´emoire occup´ee en bytes par les matrices P = 70. . . 99

3.24 M´emoire occup´ee en bytes par les matrices P = 210. . . 100

3.25 Erreur entre le r´esultat attendu et le produit matrice vecteur obtenu P = 70.103 3.26 Erreur entre le r´esultat attendu et le produit matrice vecteur obtenu P = 210. . . 104

3.27 Erreur maximale sur le maillage en % entre les coefficients du potentiel obtenus par la SSFEM tensorielle sans pr´econditionneur et l’approche s´ e-quentielle, en fonction de p . . . 107

3.28 Erreur maximale sur le maillage en % entre les coefficients du potentiel obtenus par la SSFEM tensorielle avec pr´econditionneur de Jacobi et l’ap-proche s´equentielle, en fonction de p . . . 107

3.29 Consid´erations num´eriques selon les approches algorithmiques de la SS-FEM sur le cas du L, premier jeu de conductivit´e. . . 109

3.30 Erreur maximale sur le maillage en % entre les coefficients du potentiel obtenus par la SSFEM tensorielle avec pr´econditionneur de Jacobi et l’ap-proche s´equentielle, en fonction de p avec le second jeu de conductivit´e. . . 109

3.31 Consid´erations num´eriques selon les approches algorithmiques de la SS-FEM sur le cas du L, second jeu de conductivit´e. . . 110

4.1 Intervalle de confiance en % pour les moments d’ordre 1 `a 5 calcul´es par la MCS . . . 122

4.2 Erreur en % sur l’intensit´e entre la m´ethode SSFEM s´equentielle et la m´ethode de Monte Carlo . . . 122

4.3 Erreur en % sur l’intensit´e entre la m´ethode SSFEM tensorielle et l’ap-proche s´equentielle . . . 123

4.4 Erreur en % entre NIHG et la m´ethode de Monte Carlo . . . 124

4.5 Intervalle de confiance en % pour les moments d’ordre 1 `a 5 calcul´es par la MCS cas 2. . . 124

4.6 Erreur en % sur l’intensit´e calcul´ee par la SSFEM s´equentielle et la m´ethode de Monte Carlo . . . 125

4.7 Erreur commise entre NIHG et Monte Carlo pour le second jeu de conduc-tivit´e . . . 125

4.8 Lois de probabilit´e de la conductivit´e . . . 126

4.9 Intervalle de confiance en % pour les moments d’ordre 1 `a 5 calcul´es par la MCS cas 2. . . 126

4.10 Erreur en % entre les moments de l’intensit´e calcul´e par la SSFEM et NI, r´ef´erence : MCSM (%) . . . 126

4.11 Loi de probabilit´e des conductivit´es . . . 130

4.12 Caract´eristique du probl`eme num´erique pour le manchon `a deux milieux avec l’approche tensorielle . . . 132

4.13 Moment centr´e obtenu avec la SSFEM pour diff´erents P . . . 132 4.14 Asym´etrie et aplatissement par la SSFEM . . . 132 4.15 Moments centr´es normalis´es obtenus par NIHG sur le manchon `a deux

conductivit´es al´eatoires . . . 134 4.16 Ecarts en % sur les moments non centr´es de l’intensit´e entre SSFEM et

NIHG . . . 136 4.17 Ecarts en % sur les moments centr´es de l’intensit´e entre SSFEM et NIHG 136 4.18 Ecarts en % sur les moments centr´es standardis´es de l’intensit´e entre

SS-FEM et NIHG . . . 136 4.19 Diff´erents quartiles et quantiles par la SSFEM et NIHG . . . 138 4.20 Temps de calcul pour la NIHG, dans le cas du manchon `a deux milieux. . . 138 4.21 Temps de calcul en fonction de p pour la SSFEM dans le cas du manchon

`

a deux milieux . . . 139 4.22 Loi de probabilit´e des conductivit´es . . . 140 4.23 Caract´eristiques du probl`eme num´erique pour le manchon `a trois milieux

avec la SSFEM tensorielle . . . 141 4.24 Moments centr´es obtenus par la SSFEM pour le manchon `a trois milieux . 141 4.25 Moments centr´es normalis´es obtenus par la SSFEM pour le manchon `a

trois milieux . . . 142 4.26 Moments centr´es obtenu par NIHG avec p = 6 selon le nombre de points

d’int´egrations . . . 143 4.27 Moments centr´es normalis´es obtenus par NIHG avec p = 6 selon le nombre

de points d’int´egration . . . 143 4.28 Ecarts en % sur les moments centr´es de l’intensit´e entre SSFEM et NIHG 146 4.29 Ecarts en % sur les moments centr´es normalis´es de l’intensit´e entre

SS-FEM et NIHG . . . 146 4.30 Temps de calcul pour la m´ethode NIHG dans le cas du manchon `a 3 milieux

pour diff´erentes valeurs de d . . . 146 4.31 Temps de calcul en fonction de p pour la SSFEM dans le cas du manchon

`

a trois milieux . . . 148 A.1 Equivalence entre vision ensembliste et probabiliste . . . 166 A.2 Lois classiques `a densit´es `a valeurs dans IR . . . 173

1.1 Conditions limites . . . 8

1.2 Domaine spatial consid´er´e . . . 16

1.3 Algorithme de Monte-Carlo . . . 24

2.1 Polynˆome de Hermite de degr´e 3 . . . 31

2.2 Polynˆome de Hermite de degr´e 4 . . . 31

2.3 Polynˆome de Hermite de degr´e 5 . . . 31

2.4 Polynˆome de Hermite de degr´e 6 . . . 31

2.5 Effet de la troncature de la s´erie sur la distribution d’une loi lognormale de moyenne 200 et d’´ecart-type 50 . . . 35

2.6 Effet de la troncature de la s´erie sur la distribution d’une loi lognormale de moyenne 200 et d’´ecart-type 100 . . . 37

2.7 Effet de la troncature de la s´erie sur la distribution d’une loi uniforme sur le segment [200,300] . . . 38

2.8 Algorithme de projection `a l’aide de Monte-Carlo . . . 47

2.9 Algorithme non-intrusif de projection de type Hermite Gauss . . . 52

2.10 M´ethodologie de validation . . . 55

2.11 Forme L : deux milieux . . . 56

2.12 Erreur en % sur la moyenne entre NIMC et MCS . . . 59

2.13 Erreur en % sur le moment d’ordre 2 entre NIMC et MCS . . . 59

2.14 Erreur en % sur le moment d’ordre 3 entre NIMC et MCS . . . 59

2.15 Erreur en % sur le moment d’ordre 4 entre NIMC et MCS . . . 59

2.16 Erreur en % sur le moment d’ordre 5 entre NIMC et MCS . . . 59

2.17 Erreur en % sur les moment d’ordre 1 `a 4 entre NIMC et MCS . . . 59

2.18 Erreur en % sur la moyenne entre NIMC et MCSPC . . . 61

2.19 Erreur en % sur le moment d’ordre 2 entre NIMC et MCSPC . . . 61

2.20 Erreur en % sur le moment d’ordre 3 entre NIMC et MCSPC . . . 61

2.21 Erreur en % sur le moment d’ordre 4 entre NIMC et MCSPC . . . 61

2.22 Erreur en % sur le moment d’ordre 5 entre NIMC et MCSPC . . . 61

2.23 Erreur en % sur les moment d’ordre 1 `a 4 entre NIMC et MCSPC . . . 61

2.24 Erreur en % sur la moyenne entre NIMC et MCS . . . 66

2.25 Erreur en % sur le moment d’ordre 2 entre NIMC et MCS . . . 66

2.26 Erreur en % sur le moment d’ordre 3 entre NIMC et MCS . . . 66

2.27 Erreur en % sur le moment d’ordre 4 entre NIMC et MCS . . . 66

2.28 Erreur en % sur le moment d’ordre 5 entre NIMC et MCS . . . 66

2.29 Erreur en % sur le moment d’ordre 5 `a partir de 40000 r´ealisations pour

NIMC . . . 66

3.1 Matrice D1_{, mˆeme structure que l’identit´e . . . . 73}

3.2 Matrice D14_{, 100 termes non nuls, 9 lignes nulles . . . . 73}

3.3 Matrice D36, la plus creuse : 27 termes non nuls, 50 lignes nulles . . . 73

3.4 Matrice D37_{, 52 termes non nuls, 50 lignes nulles . . . . 73}

3.5 Matrice D42_{, 100 termes non nuls, 92 lignes nulles . . . . 73}

3.6 Matrice D50, la moins creuse : 132 termes non nuls, 8 lignes nulles . . . 73

3.7 Nombre de lignes et colonnes enti`erement nulles dans les matrice Dj _{. . . . 74}

3.8 Exemple 3D : trois milieux . . . 90

3.9 Cas un D . . . 96

3.10 Matrices A avec 349,930 inconnues . . . 97

4.1 Algorithme non-intrusif de projection de type Hermite Gauss pour le calcul de l’intensit´e . . . 121

4.2 Maillage Spatial . . . 125

4.3 Coupe Cable Haute Tension . . . 127

4.4 Manchon de Lignes Haute Tension . . . 128

4.5 G´eom´etrie du manchon avec deux conductivit´es al´eatoires . . . 129

4.6 Maillage du manchon utilis´e . . . 129

4.7 Effet de l’approximation dans le chaos polynomial sur la premi`ere conduc-tivit´e₁σ(θ) . . . 131

4.8 Effet de l’approximation dans le chaos polynomial sur la seconde conduc-tivit´e₂σ(θ) . . . 131

4.9 Densit´e de probabilit´e de l’intensit´e pour diff´erents P . . . 133

4.10 Densit´e de probabilit´e de l’intensit´e pour diff´erentes valeurs de d avec NIHG 135 4.11 Densit´e de probabilit´e de l’intensit´e avec NIHG et SSFEM . . . 137

4.12 G´eom´etrie du manchon avec trois conductivit´es al´eatoires . . . 139

4.13 Effet de l’approximation dans le chaos polynomial sur la troisi`eme conduc-tivit´e . . . 140

4.14 Densit´e de probabilit´e de l’intensit´e pour diff´erents P pour le manchon `a trois conductivit´es al´eatoires . . . 142

4.15 Densit´e de probabilit´e de l’intensit´e pour diff´erentes valeurs de d pour le manchon `a trois conductivit´es al´eatoires . . . 144

4.16 Densit´e de probabilit´e de l’intensit´e pour diff´erentes valeurs de d pour le manchon `a trois conductivit´es al´eatoires . . . 145

Tout d’abord nous tenons `a rappeler que cette th`ese a ´et´e cofinanc´ee par la r´egion Nord Pas de Calais et EdF R&D et a ´et´e effectu´ee dans le cadre du Centre Nationale de Recherche Technologique « R´eseaux et machines Electriques du Futur » dans le cadre du programme FUTURELEC IV. Elle s’inscrit dans une des th´ematiques du laboratoire commun LAMEL mis en place entre le Laboratoire d’Electrotechnique et d’Electronique de Puissance de Lille (L2EP) et EdF R&D.

De mani`ere g´en´erale, les m´ethodes de simulations num´eriques en ´electromagn´etisme sont utilis´ees, par exemple, pour :

– ´evaluer les performances d’une machine sans avoir `a la construire (prototypage, conception. . . ) ;

– mettre au point des strat´egies de commande adapt´ees `a un fonctionnement donn´e ; – ´evaluer la signature d’un d´efaut ou d’une combinaison de d´efauts pour le CND ; – isoler l’origine d’un probl`eme que l’on a pu observer sans connaˆıtre sa provenance ; – pr´evoir le comportement d’un mat´eriel ´electrique coˆuteux quand il est utilis´e en

dehors de ses sp´ecifications ; – . . .

Pour cr´eer un mod`ele num´erique, il faut d’abord ´ecrire math´ematiquement le probl`eme que l’on veut r´esoudre (c’est-`a-dire passer d’une situation r´eelle physique `a une ´ecriture math´ematique cens´ee approcher la r´ealit´e). On peut alors consid´erer un mod`ele num´erique comme une boite noire admettant des param`etres d’entr´ee (qui caract´erisent le syst`eme ´

etudi´e comme la g´eom´etrie du syst`eme, les lois de comportement des mat´eriaux et des sources par exemple) et qui renverra des valeurs num´eriques caract´erisant des param`etres de sortie (r´epartition de l’induction magn´etique ou une grandeur globale comme le courant dans un bobinage, . . . ).

Actuellement, pour simuler des syst`emes ´electromagn´etiques, les param`etres d’entr´ee des mod`eles num´eriques sont suppos´es parfaitement connus. Des logiciels appliquant la m´ethode des ´el´ements finis permettent alors de mod´eliser et de simuler le comportement des appareils ´electriques. Ces logiciels ont besoin non seulement de la g´eom´etrie de ce que l’on souhaite ´etudier, mais aussi de certaines propri´et´es physiques caract´eristiques des mat´eriaux utilis´es dans le syst`eme `a analyser comme les lois de comportement des mat´eriaux 1<sub>. La m´ethode des ´el´ements finis permet de r´esoudre le mod`ele math´ematique</sub> et calcule, « naturellement », des valeurs locales (potentiel scalaire associ´e au noeud d’un maillage, potentiel vecteur associ´e `a des arˆetes etc).

1_{conductivit´e, perm´eabilit´e . . .}

Parfois, on pr´ef´erera obtenir comme grandeurs de « sortie » d’un logiciel de simulation des valeurs que l’on peut analyser et mesurer plus facilement. Il est donc d’usage de chercher des valeurs globales (intensit´e, tension aux bornes d’un bobinage, r´esistances ´

equivalentes, couples, etc ...). Ces grandeurs globales sont plus ais´ement analysables car elles sont plus repr´esentatives, en g´en´eral, du syst`eme `a ´etudier. Le calcul des grandeurs globales peut ˆetre directement reli´e `a la formulation variationnelle que l’on r´esout avec la m´ethode des ´el´ements finis (en utilisant les lemmes de Green-Ostrogradsky par exemple ou son ´equivalent pour les formulations en potentiel vecteur). C’est cette approche que nous utiliserons et d´evelopperons.

Comme cela a ´et´e signal´e plus haut, en g´en´eral, on suppose que toutes les caract´ eris-tiques physiques sont parfaitement connues. Cependant, ces param`etres caract´eristiques (mˆeme en admettant qu’ils soient bien maˆıtris´es lors de la fabrication) vont avoir une vie sp´ecifique : ils seront soumis `a des gradients de temp´erature, des diff´erences de pres-sion, des irradiations etc. . . Toutes sortes de ph´enom`ene que nous ne pouvons ni contrˆoler, ni noter en chaque instant et qui, a priori, vont entraˆıner une modification des valeurs num´eriques de ces param`etres physiques.

On peut donc, dans certain cas, supposer l’existence d’incertitudes sur certains de ces param`etres physiques (qui seront des param`etres d’entr´ee pour notre mod`ele num´erique). La question que l’on se pose alors est de savoir comment mod´eliser ces incertitudes. Plus pr´ecis´ement, dans quel langage math´ematique va-t-on quantifier ces incertitudes ? Il y a plusieurs solutions pour cela. On pourrait utiliser des approches de types logiques floues ou de type probabiliste.

Nous ferons le choix dans la suite d’utiliser le formalisme des probabilit´es pour quan-tifier les incertitudes [8, 50, 51].

Ainsi on peut consid´erer que les incertitudes portant sur les lois de comportement, par exemple, seront mod´elis´ees par des champs ou des variables al´eatoires. Cela induit de pouvoir caract´eriser de mani`ere suffisamment pr´ecise les propri´et´es de ce champ al´eatoire (densit´e de probabilit´es, structure de covariance par exemple). En fait, il faut pouvoir passer de la situation concr`ete (la machine r´eelle que l’on souhaite ´etudier) `a l’´ecriture math´ematique de celle-ci. Il s’agit donc de quantifier les incertitudes. Pour se faire, il est possible d’utiliser les statistiques. Dans ce cas, il faudra donc pouvoir disposer d’une base de donn´ees contenant des valeurs num´eriques li´ees au param`etre physique que l’on souhaite mod´eliser par un champ al´eatoire puis utiliser les m´ethodes disponibles en statistique pour passer de ce jeu de valeurs (ou ´echantillon) `a une densit´e de probabilit´e par exemple.

Si l’on suppose que les incertitudes portant sur certains des param`etres d’entr´ee sont mod´elis´es par des objets probabilistes (champs al´eatoires ou variables al´eatoires), il faut ensuite ˆetre `a mˆeme de propager ces incertitudes vers les param`etres de sortie de notre mod`ele. De fait, les mod`eles num´eriques d´eterministes (qui n’utilisent pas le langage des probabilit´es) ne sont pas adapt´es `a la r´esolution de probl`emes pr´esentant des variables ou des champs al´eatoires en entr´ee.

En effet, si certains des param`etres d’entr´ee sont des variables al´eatoires ou des champs al´eatoires, les param`etres de sortie seront aussi des variables al´eatoires ou des champs al´eatoires (ces param`etres de sortie peuvent en fait ˆetre vus comme des fonctionnelles de variables al´eatoires ou de champs al´eatoires).

`

a une question pr´ecise. Par exemple, on pourra se demander quelle est la probabilit´e pour que le courant ´electrique au travers d’une surface d´epasse telle valeur. D`es lors, on pourra utiliser des mod`eles qui permettent de r´epondre `a ce type de question seulement (les mod`eles dit FORM ou SORM permettent de r´epondre `a cette question par exemple [11, 35, 42, 67]). Mais ceux-ci r´epondent seulement `a un type de question en particulier et ne permet g´en´eralement pas de r´epondre `a plusieurs questions `a la fois (il faudra un mod`ele pour obtenir les moments probabilistes, un pour ´evaluer la probabilit´e d’occurence d’un ´ev`enement. . . ).

L’autre type de mod`ele, qui est celui sur lequel nous avons travaill´e, permet de r´ ecu-p´erer sinon la totalit´e du moins une grande partie des informations probabilistes. De fait, on donnera en entr´ee du mod`ele des variables al´eatoires et le mod`ele donnera en sortie des variables al´eatoires. On aura ainsi propag´e les incertitudes des grandeurs d’entr´ee vers les grandeurs de sortie. Une fois les variables al´eatoires de sortie caract´eris´ees, nous serons `a mˆeme de pouvoir r´epondre `a quasiment toutes les questions que l’on pourra se poser.

Ayant fait le choix de r´ecup´erer des param`etres de sortie sous forme de champs al´ ea-toires il est n´ecessaire de d´evelopper des outils permettant d’analyser les r´esultats. A savoir, comment r´ecup´erer la moyenne, les moments, la probabilit´e de d´epasser telle ou telle valeur. . .

Si on r´esume ce que l’on vient de dire, nous avons trois probl´ematiques diff´erentes : – Comment mod´eliser les incertitudes des param`etres d’entr´ee ? A savoir, comment

passer du probl`eme concret `a une ´ecriture math´ematique permettant de caract´eriser les param`etres d’entr´ee du mod`ele num´erique ?

– Comment propager ces incertitudes des param`etres d’« entr´ee » du mod`ele vers les grandeurs de sortie (locale ou globale) ? C’est-`a-dire qu’en admettant que nous ayons ´

ecrit les param`etres d’entr´ee sous une forme math´ematique pr´ecise, existe-il des m´ethodes num´eriques permettant de r´esoudre num´eriquement (ou analytiquement) le probl`eme ainsi pos´e ?

– Comment interpr´eter les r´esultats obtenus ?

Notre travail a principalement ´et´e centr´e sur la seconde probl´ematique. C’est-`a-dire que nous avons suppos´e les param`etres d’entr´ee du mod`ele d´ecrits sous forme probabiliste et nous avons d´evelopp´e des m´ethodes permettant de r´ecup´erer les sorties sous forme de fonctionnelles de variables al´eatoires. Nous avons aussi d´evelopp´e ou utilis´e des outils permettant d’interpr´eter les r´esultats obtenus. Ce m´emoire comporte quatre chapitres.

Au cours du premier chapitre, nous introduirons l’´ecriture math´ematique du probl`eme de l’´electromagn´etisme statique pr´esentant des incertitudes portant sur les param`etres d’entr´ee. On appellera de tels types de probl`emes des probl`emes al´eatoires. Nous nous placerons dans le cas particulier de l’´electrocin´etique lin´eaire. Nous pr´esenterons ensuite quelques m´ethodes qui permettent de r´esoudre de tels probl`emes (m´ethode provenant pour la plupart du g´enie m´ecanique : [32, 47, 56]). Nous expliciterons notamment la m´ethode de Monte Carlo, MCS, qui nous servira de r´ef´erence.

Dans le second chapitre, nous allons nous int´eresser aux m´ethodes de projection sur le chaos polynomial de Hermite. Ces m´ethodes peuvent ˆetre utilis´ees avec la m´ethode des ´

el´ements finis d´eterministes [13,36]. Nous rappellerons rapidement le principe des ´el´ements finis d´eterministes, puis nous pr´esenterons les polynˆomes de Hermite qui permettent de construire le chaos polynomial de Hermite. Nous nous int´eresserons ensuite aux m´ethodes

de projection, qui sont dites non-intrusives en cela qu’elles ne n´ecessitent pas de modifi-cations profondes du code ´el´ements finis [2, 5, 6, 37, 55, 61, 62]. Les m´ethodes de projections n´ecessitent le calcul d’une esp´erance. Pour effectuer ce calcul, plusieurs m´ethodes peuvent ˆ

etre envisag´ees. Deux de ces m´ethodes seront pr´esent´ees : la premi`ere est bas´ee sur une approche de type Monte Carlo (NIMC ), la seconde est bas´ee sur un sch´ema de quadrature de type Hermite Gauss, NIHG. Ces deux m´ethodes seront ensuite valid´ees et compar´ees sur des cas acad´emiques.

Dans le troisi`eme chapitre, nous pr´esenterons une m´ethode qui peut ˆetre vue comme une g´en´eralisation de la m´ethode de Galerkin dans le cas o`u les param`etres d’entr´ee sont al´eatoires, cette m´ethode est appel´ee spectral stochastic finite element method, SSFEM2 [3–5, 30, 31, 41, 43, 46, 48, 56, 63, 66]. Apr`es avoir donn´e quelques propri´et´es suppl´ementaires li´ees aux polynˆomes de Hermite, nous expliciterons la d´emarche permettant de passer du probl`eme continu au probl`eme discr´etis´e et finalement `a un syst`eme lin´eaire. Nous verrons qu’il est possible d’exprimer les variables d’entr´ee sous forme de s´erie de polynˆomes de Hermite et nous donnerons une int´eressante propri´et´e li´ee `a cette ´ecriture. Nous ´etudierons l’influence de la troncature de la s´erie pr´ec´edente sur la qualit´e des valeurs de sortie. Dans le cadre de l’impl´ementation informatique de cette m´ethode nous avons ´et´e confront´e `a des probl`emes de stockage de la matrice de raideur du syst`eme lin´eaire. Pour r´esoudre ce probl`eme, nous expliciterons des propri´et´es structurelles de la matrice de raideur et nous verrons qu’elle peut s’´ecrire sous forme de somme de produit tensoriel de matrices de tailles beaucoup plus r´eduites. Nous avons ensuite d´evelopp´e un algorithme de produit matrice vecteur utilisant cette ´ecriture, puis nous l’avons utilis´e dans l’algorithme de r´esolution du syst`eme lin´eaire.

Dans le quatri`eme chapitre, nous nous int´eresserons aux calculs d’une grandeur glo-bale : l’intensit´e. Pour se faire, nous utiliserons une expression li´ee `a la conservation de la puissance, et nous rappellerons comment calculer l’intensit´e ainsi d´efinie dans le cas d´eterministe. Nous verrons que pour la SSFEM, nous pouvons g´en´eraliser l’approche pr´ e-c´edente moyennant une propri´et´e sur la densit´e de courant. Dans le cas de la m´ethode non-intrusive de projection de Hermite Gauss, NIHG, l’intensit´e sera vue comme sortie directe du mod`ele. Nous validerons et comparerons ces deux approches pour des exemples acad´emiques. Dans un second temps, nous ´etudierons la faisabilit´e de l’utilisation de ces m´ethodes pour traiter un probl`eme industriel, `a savoir l’´etude d’un manchon de cˆables ´

electriques `a haute tension.

Formalisation du Probl`

eme et ´

etat

de l’art

Nous allons expliciter le cadre math´ematique de ce que nous avons appel´e probl`eme al´eatoire. Comme nous l’avons expliqu´e dans l’introduction, notre but est de d´evelopper un mod`ele num´erique qui puisse prendre en tant que param`etres d’entr´ees des variables al´eatoires dans le cadre de l’´electromagn´etisme statique. Nous souhaitons ˆetre `a mˆeme de propager des incertitudes de certains param`etres d’entr´ee comme les lois de comporte-ments vers des donn´ees de sortie comme les champs ´electromagn´etiques. Dans un premier temps, nous allons rappeler le cadre math´ematique dans le cas o`u toutes les donn´ees sont suppos´ees parfaitement connues. Puis nous nous appuierons sur cela pour d´evelopper le cadre probabiliste.

1.1

Cadre Math´

ematique d´

eterministe du probl`

eme

1.1.1

Equations de Maxwell

Dans le cadre d´eterministe en ´electromagn´etisme, les mod`eles num´eriques sont bas´es sur les ´equations de Maxwell. C’est un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles qui lient entre eux diff´erents champs de vecteurs ´electriques et magn´etiques. Ces ´equations regroupent d’une part le th´eor`eme d’Amp`ere, la loi de Faraday et les lois de conservations magn´etiques et ´electriques :

rot (H) = J + ∂tD (1.1) rot (E) = −∂tB (1.2)

div (B) = 0 (1.3)

div (D) = ρv (1.4) (1.5)

Les quatre champs de vecteurs H, B, E et D sont appel´es respectivement champ magn´ e-tique (A/m), induction magn´etique (T ), champ ´electrique (V /m) et induction ´electrique (C/m2_{). J est la densit´e de courant (A/m}2_{), ρ}

v est la densit´e volumique de charges (C/m3) et t le temps (s).

Les ´equations (1.1) page pr´ec´edente et (1.2) page pr´ec´edente couplent les champs magn´etiques et ´electriques.

Les ´equations (1.3) page pr´ec´edente et (1.4) page pr´ec´edente sont des ´equations de conservation des inductions magn´etiques et ´electriques.

Dans le cadre de l’´electrotechnique, il est d’usage de supposer que l’on peut n´egliger les variations du champ d’induction ´electrique au cours du temps ∂tD devant J (c’est-`a-dire que l’on n´eglige les courants de d´eplacement, [52]). On obtient la forme locale du th´eor`eme d’Amp`ere :

rot (H) = J (1.6)

Ce qui implique directement la conservation de la densit´e de courant :

div (J) = 0 (1.7)

Par la suite, nous allons nous placer dans le cadre de probl`emes statiques. C’est-`a-dire que nous n´egligerons aussi le terme −∂tB. Il faut signaler que de nombreux probl`emes d’´electrotechnique peuvent ˆetre trait´es sous cette hypoth`ese. Nous aurons alors `a r´esoudre trois probl`emes diff´erents qui seront :

1. la magn´etostatique ; 2. l’´electrostatique ; 3. l’´electrocin´etique.

Nous allons expliciter les probl`emes que nous souhaitons r´esoudre.

1.1.1.a Probl`eme de l’´electrocin´etique

Dans la suite, nous allons nous int´eresser au probl`eme de l’´electrocin´etique. Ce choix est fait pour simplifier les calculs et les notations mais peut se g´en´eraliser sans difficult´e aux autres cas statiques comme on le verra par la suite. Le probl`eme de l’´electrocin´etique peut s’´ecrire sous la forme :

 div (J) = 0

rot (E) = 0 (1.8)

1.1.1.b Probl`eme de magn´etostatique

En traitant le probl`eme de l’´electrocin´etique, on traite aussi le cas de la magn´ etosta-tique. En effet, si on pose :

H = Hs+ Hr (1.9) Avec Hs d´efini comme ´etant ´egal au rotationnel du J source, et Hr le champ r´eduit, on veut alors v´erifier le syst`eme :

 div (B) = 0 rot (Hr) = 0

1.1.1.c Probl`eme d’´electrostatique

De mˆeme, le probl`eme de l’´electrostatique sans charge s’´ecrit :  div (D) = 0

rot (E) = 0 (1.11)

1.1.2

Lois de comportement

Le syst`eme d’´equations pr´ec´edent, tel quel, est ind´etermin´e (c’est-`a-dire qu’il n’admet pas de solution unique). Il faut aussi prendre en compte le comportement des mat´eriaux qui sont mod´elis´es via les lois de comportement ou relations constitutives. Ces lois sont les suivantes :

J = σE (1.12)

B = µH (1.13)

D = E (1.14)

O`u σ est la conductivit´e ´electrique (Ω−1m−1), µ est la perm´eabilit´e magn´etique (H/m) et  est la permittivit´e ´electrique (F/m).

Sans hypoth`eses suppl´ementaires, σ, µ et  ont un caract`ere tensoriel et leur valeur n’est pas constante (ph´enom`ene d’hyst´er´esis, de saturation, d´ependance `a la temp´erature, `

a la pression, `a l’espace. . . ). Dans certaines applications, supposer les grandeurs σ, µ et  ind´ependantes du champ est tout-`a-fait r´ealiste et permet de simplifier le mod`ele en le rendant lin´eaire. On supposera ceci dans la suite.

L`a encore, le syst`eme pr´esente une infinit´e de solutions et il faut ajouter des conditions limites pour pouvoir obtenir l’unicit´e de la solution.

1.1.3

Conditions aux limites

Pour que le probl`eme admette une solution, on doit imposer des conditions limites. On impose ainsi des conditions limites sur les composantes normales ou tangentielles des champs. En electrocin´etique, la surface fronti`ere Γ du domaine d’´etude D sera ainsi divis´ee en deux parties compl´ementaires ΓJ et ΓE comme sur la fig. 1.1 page suivante.

   div (J) = 0 sur D J · n = 0 sur ΓJ E ∧ n = 0 sur ΓE (1.15)

Dans ce mod`ele num´erique, les param`etres d’entr´ee sont la g´eom´etrie du domaine que l’on souhaite ´etudier, les conductivit´es des diff´erents mat´eriaux qui la composent et des conditions limites (imposition d’une tension aux bornes de l’appareil ou d’un courant). Les param`etres de sortie que l’on cherche habituellement sont alors le champ ´electrique E et la densit´e de courant J. A partir de ceux-ci, on peut obtenir un certain nombre de grandeurs globales comme par exemple le courant traversant une surface de la fronti`ere du domaine. Il est cependant d’usage en ´electrotechnique de r´esoudre le probl`eme en potentiel vecteur ou scalaire et non en champs, dans le cadre de notre th`ese, nous avons ´etudi´e la formulation en potentiel scalaire.

Fig. 1.1 – Conditions limites

1.1.4

Formulation en potentiel scalaire

D’apr`es le syst`eme d’´equations (1.15) page pr´ec´edente, le champ E est irrotationnel, de fait si le domaine d’´etude D est simplement connexe, alors il d´erive d’un potentiel scalaire ϕ. On peut alors ´ecrire le probl`eme sous la forme suivante :

E = −∇ (ϕ) (1.16)

Comme terme source dans la suite, on voudra imposer une diff´erence de potentiel entre deux surfaces de ΓE. On peut supposer que cette surface est divis´ee en deux composantes connexes, ΓE1 et ΓE2 comme sur la fig. 1.1. Sur ces deux surfaces, comme la composante

tangentielle de E est nulle, le potentiel scalaire est constant. On imposera une valeur ϕ1 sur ΓE1 et ϕ2 sur ΓE2. Pour assurer l’unicit´e du potentiel scalaire, on prendra ϕ1 = 0 et

ϕ2 = ϕlim. ϕlim correspond alors `a la diff´erence de potentiel que nous souhaitions imposer,

les conditions limites deviennent alors :    J · n = 0 sur ΓJ ϕ = 0 sur ΓE1 ϕ = ϕlim sur ΓE2 (1.17)

Comme nous sommes en lin´eaire, la loi de comportement a un caract`ere scalaire et la condition limite sur le champ J peut s’´ecrire sous la forme :

∇ (ϕ) .n = 0 sur ΓJ (1.18) Le probl`eme (1.15) page pr´ec´edente devient alors :

       div (σ∇ (ϕ)) = 0, sur D ∇ (ϕ) .n = 0 sur ΓJ ϕ = 0 sur ΓE1 ϕ = ϕlim sur ΓE2 (1.19)

1.2

Incertitudes et ´

ecritures math´

ematiques

Nous avons maintenant une ´ecriture math´ematique du probl`eme que nous souhaitons traiter dans le cas d´eterministe. En g´en´eral, on suppose que l’on connaˆıt parfaitement le

domaine spatial D, les lois de comportement mises en jeu dans ce domaine et les conditions limites. Cependant, du fait du vieillissement, d’une d´ependance `a un param`etre d’´etat mal maˆıtris´e (pression ou temp´erature), il peut arriver que certains des param`etres d’entr´ee soient mal connus.

On peut donc supposer l’existence d’incertitudes sur la g´eom´etrie, les lois de compor-tement, ou encore les sources. Dans notre travail, nous nous sommes concentr´es sur les incertitudes portant sur les lois de comportement.

Dans le cas d’incertitudes sur les sources, les m´ethodes que nous allons d´evelopper peuvent ˆetre appliqu´ees [3,41]. Dans le cas lin´eaire, en supposant que les al´eas portant sur les sources sont ind´ependants des al´eas portant sur les lois de comportement, cela revient `

a traiter des syst`emes d’´equations ind´ependants. On se ram`ene alors `a la r´esolution de syst`emes lin´eaires ind´ependants qui sont tr`es similaires aux probl`emes que l’on r´esout dans le cas d´eterministe. Dans le cas non lin´eaire, cette ind´ependance n’existe plus. On est alors amen´e `a r´esoudre un syst`eme non lin´eaire.

Les incertitudes portant sur la g´eom´etrie sont par contre d’une nature beaucoup plus complexe, que ce soit au niveau de la mod´elisation que de l’impl´ementation des m´ethodes au niveau informatique. Deux questions se posent alors, comment mod´eliser correcte-ment une g´eom´etrie al´eatoire `a l’aide de surfaces param´etr´ees (conf`ere le paradoxe de Bertrand1) ? Comment contrˆoler les bruits de maillage n´ecessaire `a la discr´etisation de l’espace li´es aux g´en´erations d’une g´eom´etrie particuli`ere ? Le probl`eme de la g´eom´etrie al´eatoire est de fait, `a notre connaissance, un probl`eme largement ouvert mˆeme s’il existe des strat´egies permettant de les r´esoudre [10].

A partir de maintenant nous ne consid´ererons plus que des incertitudes sur les lois de comportement.

Dans la suite, nous allons supposer que les lois de comportement peuvent s’´ecrire sous forme d’objets probabilistes. L’objet le plus g´en´eral permettant de d´ecrire un compor-tement al´eatoire est le champ al´eatoire. Nous montrerons par la suite qu’il est possible dans les cas qui nous int´eressent de se ramener `a une ´ecriture sous forme de variables al´eatoires. Nous allons donner ici quelques rapides d´efinitions qui nous serons utiles pour la suite. Pour plus de d´etails, nous vous renvoyons soit `a la lecture de l’annexe A page 159 consacr´ee aux probabilit´es soit `a la bibliographie `a ce sujet [51].

1.2.1

Quelques bases de probabilit´

es

Dans cette section, nous rappelons quelques d´efinitions et th´eor`emes n´ecessaires pour la suite. Notons que ces notions sont plus amplement ´evoqu´ees dans l’annexe A page 159.

1_{On veut calculer la probabilit´e p pour qu’une corde choisie au hasard sur un cercle soit plus grande que} le cˆot´e du triangle ´equilat´eral inscrit. En consid´erant le cercle unit´e, Bertrand proposait deux approches : – On prend les deux extr´emit´es de la corde au hasard sur le cercle. La premi`ere ´etant choisie, la longueur de la corde sera sup´erieure au cˆot´e du triangle ´equilat´eral si et seulement si la seconde extr´emit´e se situe dans un secteur angulaire d’ouverture 2π

3 . La probabilit´e est donc de 2π

3 . – On prend le centre de la corde au hasard sur le disque unit´e. p est alors la probabilit´e pour que le

centre soit dans un disque de rayon 1/2, centr´e en l’origine. La surface de ce disque ´etant d’un quart, p vaut 1/4.

G´en´eralement, les observations d’un ph´enom`ene al´eatoire sont appel´ees r´ealisations si il n’y a qu’une observation ou ´echantillon s’il s’agit d’un ensemble d’observations.

Tous les r´esultats possibles d’une exp´erience al´eatoire forment un ensemble que l’on appelle l’univers et que l’on notera par la suite Θ.

On appelle ´ev`enement un sous-ensemble de l’univers. C’est-`a-dire une collection de r´esultats possibles `a une exp´erience al´eatoire donn´ee.

L’ensemble des ´ev`enements forment une tribu not´ee TΘ. C’est un ensemble d’´ev` ene-ments qui a des propri´et´es sp´ecifiques (voir annexe pour plus de d´etails).

Le but des probabilit´es est d’associer une mesure aux ´ev´enements pouvant arriver (c’est-`a-dire qu’`a chaque ´ev`enement on associe une probabilit´e de r´ealisation). On notera PΘ la mesure de probabilit´e ainsi d´efinie.

La donn´ee de l’univers, de la tribu d’´ev`enements et de la mesure de probabilit´e forment un espace probabilis´e que l’on notera (Θ, TΘ, PΘ).

Une variable al´eatoire dans IRd est une fonction qui va de (Θ, TΘ, PΘ) dans IRd. On appelle loi de probabilit´e de X la loi telle que :

∀A ⊂ IRd PΘ(X−1(A)) = PX(A) (1.20) Moyennant la relation d’ordre partiel alphab´etique dans IRd, dont on rappelle ici la d´ efi-nition :

(x1, · · · , xd) < (y1, · · · , yd) ⇔ ∃f ∈ 1, · · · , d,

 ∀j < f, xj = yj et xf < yf

(1.21)

On peut alors d´efinir la fonction cumulative ou la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire X comme ´etant la fonction FX de IRd dans IR+ d´efinie par :

∀x ∈ IRd FX(x) = PX(X(θ) ≤ x) (1.22) On peut aussi d´efinir la densit´e de probabilit´e de la variable al´eatoire X (not´ee fX) comme ´etant la fonction qui v´erifie la relation suivante :

∀A ⊂ IRd _P

Θ(X−1(A)) = PX(X(θ) ∈ A) = Z

A

fX(x) dλd(x) (1.23)

Remarquons que cette fonction n’existe pas pour toutes les variables al´eatoires (mais on ne travaillera qu’avec des variables al´eatoires qui admettent une densit´e). Un moyen de comprendre ce qu’est une densit´e est de se dire que la densit´e est la fonction telle que si on l’int`egre sur un ´ev`enement donn´e, la valeur obtenue repr´esente la probabilit´e pour que cet ´ev`enement se r´ealise.

On peut d´efinir un certain nombre d’outils qui permettent de quantifier la dispersion d’une variable al´eatoire. Consid´erons X et Y deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Θ, TΘ, PΘ), on a alors :

1. la quantit´e R_ΘXdPΘ est appel´ee moyenne ou esp´erance math´ematique de X. Elle est not´ee E(X) ou EX. Notons que l’on peut exprimer cette quantit´e en terme de densit´e si elle existe par :

E(X) = Z

IRd

2. Pour tout α > 0 la quantit´eR_ΘXα_dP

Θ est le moment d’ordre α de X. Remarquons que c’est aussi la moyenne de Xα. Notons que l’on peut exprimer cette quantit´e en terme de densit´e par :

− E(Xα_{) =} Z

IRdx

α_f

X(x)dx (1.25) 3. La quantit´e E((X − E(X))α_{) est appel´ee moment centr´e d’ordre α.}

4. Le moment centr´e d’ordre 2 (σ2

X = E((X − E(X))2)) est aussi appel´e variance de X. Sa racine carr´ee est appel´ee ´ecart-type de X. Remarquons que la variance a pour unit´e le carr´e de l’unit´e de la variable al´eatoire alors que l’´ecart-type a la mˆeme unit´e que la variable al´eatoire.

5. On d´efinit la covariance entre X et Y par :

cov(X, Y ) = E [(X − E(X))(Y − E(Y ))] (1.26) Notons que l’on peut exprimer cette quantit´e en terme de densit´e jointe (que l’on notera fXY(x, y)) par :

cov(X, Y ) = Z

IRd Z

IRd(x − E(X))(y − E(Y ))fXY(x, y)dxdy (1.27) La covariance est un moyen de quantifier la d´ependance entre la variable al´eatoire X et la variable al´eatoire Y . La densit´e jointe est la fonction qui permet de calculer la probabilit´e pour que le couple (X, Y ) appartienne `a un ensemble A donn´e (c’est comme la densit´e d’une seule variable al´eatoire, `a noter que si les variables al´eatoires X et Y sont ind´ependantes, alors fXY = fXfY).

Exemple: 1.2.1. Nous allons illustrer les d´efinitions pr´ec´edentes `a l’aide de variables al´eatoires suivant une loi gaussienne. On suppose que X est une variable al´eatoire `a valeurs dans IR qui suit une loi normale de moyenne µ et de variance σ2 2_.

La densit´e de probabilit´e de X est alors d´efinie par fX = 1 √

2πσ2e (x−µ_σ )_.

Sa fonction de r´epartition FX est FX(x) = 1

2(1 + erf ( x − µ

σ√2 )) 3_.

Z est une variable al´eatoire gaussienne centr´ee r´eduite si elle est de moyenne nulle et de variance unitaire. On a donc Z = X − µ

σ . Sa densit´e souvent not´ee Φ(x) est fZ(x) = Φ(x) = √1

2πe −x2

.

Les moments de la variable al´eatoire Z existent pour tout n ∈ IN. Du fait de la parit´e de la fonction de r´epartition tous les moments d’ordre impair sont nuls. De plus, le moment d’ordre 2k est tel que m2k = ₂2k!k_k!.

Si on consid`ere l’espace L2_{(Θ, T , P}

Θ) des variables al´eatoires `a valeurs dans IR `a va-riance finie (E(X2) ≤ +∞), si on munit cet espace du produit scalaire d´efini par :

< X, Y >= E(XY ) (1.28)

2_{La donn´ee de la moyenne et de la variance d’une loi normale la d´efinit parfaitement.} 3_{erf repr´esente la fonction erreur.}

Et de la norme associ´ee :

||X|| =pE(X2_{) (1.29)} On peut montrer que (L2_{(Θ, T , P}

Θ), || · ||) est un espace de Hilbert.

Nous venons de donner les principaux outils permettant de travailler avec une variable al´eatoire, nous allons maintenant expliquer, tr`es rapidement, ce qu’est un champ al´eatoire. C’est un objet `a la fois plus complexe et plus difficile `a manipuler qu’une variable al´eatoire. On peut d´efinir un champ al´eatoire T (x, θ) comme ´etant un ensemble de variables al´eatoires index´ees par un param`etre x ∈ IRd. Cela peut s’´ecrire comme :

T (x, θ) : IRd× Θ → IRd

(x, θ) → T (x, θ) (1.30) On peut interpr´eter un champ de deux mani`eres diff´erentes. Soit en tant qu’ensemble de variables al´eatoires index´ees par le param`etre x, soit en tant que variable al´eatoire qui prend ses valeurs dans les fonctions de IRd dans lui-mˆeme.

On appelle trajectoire du champ la fonction : T (x0, ·) : L2(Θ, T , PΘ) → IRd. On appelle r´ealisation du champ la fonction : T (·, θ0) : IRd→ IRd.

On peut d´efinir la fonction d’autocovariance du champ T (not´ee CT) qui est une g´en´eralisation de la notion de covariance par :

CT(x1, x2) = E([T (x1, θ) − E(T (x1, θ))][T (x2, θ) − E(T (x2, θ))]) (1.31)

Cela permet de quantifier la d´ependance entre les points. C’est-`a-dire de quelle mani`ere la valeur d’un point d´epend de la valeur de ses « voisins »4_.

1.2.2

Formalisation des incertitudes sur les lois de

comporte-ment

1.2.2.a Champs al´eatoires

Ainsi, si on consid`ere la conductivit´e d’une certaine r´egion du domaine d’´etude D, on peut supposer qu’`a cause de nombreux facteurs, on ne connaisse pas exactement la valeur de cette conductivit´e en tout point. A chaque point de la pi`ece, on associe une variable al´eatoire qui aura une certaine moyenne et une certaine dispersion autour de cette moyenne. Plus pr´ecis´ement, `a chaque point de la pi`ece, on associe une variable al´eatoire qui aura une densit´e de probabilit´e. On peut supposer que les variations autour de la moyenne ne seront pas trop grandes, et donc que la variance de toutes ces variables al´eatoires sera uniform´ement born´ee. On imagine sans trop de difficult´e que la valeur de la conductivit´e en un point ne va pas ˆetre compl`etement ind´ependante de la valeur prise autour de ce point. La conductivit´e telle que nous venons de la d´ecrire est un ensemble de variables al´eatoires index´ees par le param`etre x (qui repr´esente la position spatiale). La conductivit´e dans cette r´egion peut donc ˆetre vue et mod´elis´ee comme un champ al´eatoire. La caract´erisation statistique d’un tel champ al´eatoire n’est pas forc´ement ais´ee. Il faut en effet avoir acc`es `a un grand nombre de donn´ees.

4_{Il peut y avoir une d´ependance aux points ´eloign´es, en fait, la valeur au point consid´er´e peut d´ependre} des valeurs prises partout ailleurs.

La valeur prise par la conductivit´e en chaque point du domaine dans un cas donn´e sera une r´ealisation du champ al´eatoire conductivit´e ainsi d´efini.

D`es lors, dans la mesure o`u la conductivit´e est al´eatoire, on comprend que les grandeurs locales ou globales de sortie seront aussi des champs al´eatoires.

En notant x la d´ependance `a l’espace et θ la d´ependance `a l’al´ea, et en notant D le domaine spatial. Le probl`eme que nous souhaitons r´esoudre pourra alors ˆetre ´ecrit sous la forme suivante :            div (J(x, θ)) = 0, D × Θ rot (E(x, θ)) = 0, D × Θ J(x, θ) = σ(x, θ)E(x, θ) J(x, θ) · n = 0 sur ΓJ× Θ E(x, θ) ∧ n = 0 sur ΓE× Θ (1.32)

Les op´erateurs diff´erentiels sont les op´erateurs classiques selon la direction spatiale, ainsi par exemple la divergence est d´efinie par :

div (J(x, θ)) = ∂x1J(x, θ) + ∂x2J(x, θ) + ∂x3J(x, θ) (1.33)

En fait, les m´ethodes num´eriques qui permettent de r´esoudre le probl`eme pos´e dans l’´equation (1.32) ne sont pas nombreuses.

1.2.2.b Des champs al´eatoires `a un nombre fini de variables al´eatoires : dis-cr´etisation de Karhunen-Loeve

Si la conductivit´e est d´ecrite comme un champ al´eatoire, une solution pour r´esoudre le probl`eme (1.32) est d’approcher ce champ al´eatoire par une fonction ne d´ependant que d’un nombre fini de variables al´eatoires. Sous certaines hypoth`eses, on peut discr´etiser un champ al´eatoire pour se ramener `a une telle forme.

D’apr`es l’´etude bibliographique, il existe un certain nombre de m´ethodes qui per-mettent de discr´etiser un champ sous la forme de s´erie de variables al´eatoires. Cependant, une de ces m´ethodes, la discr´etisation de Karhunen-Loeve semble ˆetre privil´egi´ee dans la plupart des travaux [2, 56].

Le principe de la discr´etisation de Karhunen-Loeve est assez proche d’une d´ ecompo-sition en s´erie de Fourier. Elle est bas´ee sur une d´ecomposition spectrale de la fonction d’autocovariance du champ ´etudi´e.

Si on consid`ere un champ al´eatoire T (x, θ) :

T (x, θ) : D × Θ → IR

(x, θ) → T (x, θ) (1.34) qui admette une fonction d’autocovariance covT(x, y) qui soit born´ee, alors on d´efinit l’op´erateur U qui `a une fontion v va associ´e une autre fonction par :

U : L2_{(D) → L}2_(D)

v → U (v)(x) =R_RcovT(x, y)v(y)dy

(1.35)

La fonction d’autocovariance est, par d´efinition, sym´etrique, elle est born´ee par hypo-th`ese, donc l’op´erateur U est un op´erateur compact et auto-adjoint (de Fredholm). Ses

valeurs propres sont donc r´eelles, positives et forment au plus un ensemble d´enombrable. Le seul point d’accumulation possible de cet ensemble est z´ero. On peut donc cr´eer une suite ordonn´ee de valeurs propres λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ 0. De plus, la fonction d’autocovariance est d´efinie positive. L’ensemble engendr´e par les vecteurs propres associ´es est alors dense dans L2(D) et les vecteurs propres sont de plus orthogonaux.

Pour reprendre ce que l’on vient de dire sous forme d’´equations, on commence par chercher les solutions des probl`emes aux valeurs propres de l’op´erateur U :

vi ∈ L2(D), ∀i ∈ IN, U (vi) = λivi (1.36)

Les fonctions vi(x) forment une base de L2(D), qu’on peut hi´erarchiser selon la valeur de la valeur propre associ´ee.

Le d´eveloppement en s´erie de Karhunen-Loeve du champ T (x, θ) est alors d´efini comme suit, en notant (f, g)L2_(D) = R Df gdD : T (x, θ) = µT(x) + +∞ X i=1 p λivi(x)ξi(θ) o`u (1.37) ξi(θ) = 1 √ λi (T (·, θ) − µT, vi)L2_(D) ou (1.38) ξi(θ) = 1 √ λi Z D (T (x, θ) − E(T (x, θ)))vi(x)dx (1.39)

Les variables al´eatoires ξisont mutuellement d´ecorr´el´ees et centr´ees r´eduites (de moyenne nulle et de variance unitaire).

Si de plus, la fonction d’autocovariance est continue, alors la suite covTm(x, y) =

Pm

i=1λivi(x)ξi(θ) converge normalement et uniform´ement vers la fonction d’autocova-riance du champ T (th´eor`eme de Mercer [40]). Le champ Tm d´efini par :

Tm(x, θ) = µT(x) + m X i=1 p λivi(x)ξi(θ) (1.40)

converge alors vers le champ T :

supx∈DE[(T (x, θ) − Tm(x, θ))2]

m→+∞

→ 0 (1.41)

En fait, il a ´et´e montr´e que la discr´etisation de type Karhunen-Loeve ´etait optimale parmi les approximations lin´eaires (au sens de la vitesse de convergence). Cependant, des approximations non-lin´eaires peuvent donner de meilleurs r´esultats [41].

Nous sommes ainsi pass´es d’un champ al´eatoire T `a une ´ecriture Tm ne d´ependant que de m variables al´eatoires d´ecorr´el´ees (ξi)1≤i≤M. Cependant, cela ne suffit pas pour r´ealiser des calculs en probabilit´e. Il faut en fait que l’on ´ecrive notre approximation `a l’aide de variables mutuellement ind´ependantes.

Si le champ T est gaussien (voir [15] appendice A page 110, pour une d´efinition des champs gaussiens), alors les variables al´eatoires ξi sont gaussiennes et donc mutuellement ind´ependantes [41, 56].

Si le champ n’est pas gaussien, il faut appliquer une transformation iso-probabiliste aux variables al´eatoires obtenues par la discr´etisation KL pour obtenir des variables in-d´ependantes. On peut utiliser des transformations de Nataff [56].

Nous nous sommes donc ramen´es au cas o`u la conductivit´e, d´efinie par un champ al´eatoire, s’exprime comme une fonction de M variables al´eatoires mutuellement d´ecorr´ e-l´ees. Plus pr´ecis´ement, la discr´etisation KL permet de trouver une fonction fσ (li´ee `a un probl`eme particulier) et (_iσ(θ))1≤i≤M :

σ(x, θ) = M X

i=1

iσ(θ)fi(x) (1.42)

O`u la famille des (<sub>i</sub>σ(θ))1≤i≤M est une famille de variables al´eatoires d´ecorr´el´ees dont on connaˆıt les densit´es (dans la suite on se ram`enera au cas o`u ces variables al´eatoires sont toutes des variables gaussiennes centr´ees r´eduites).

Nous venons de donner une d´emarche qui permet lorsqu’on dispose d’un champ al´ ea-toire de se ramener `a une approximation de ce champ par un nombre de variables al´eatoires fini.

1.2.3

Probl`

eme d’´

electromagn´

etisme avec incertitudes

Dans cette partie, nous allons expliciter le probl`eme que nous souhaitons traiter de mani`ere formelle. Nous allons rappeler une partie de la d´emarche g´en´erale. Nous souhai-tons r´esoudre (1.32) page 13 dans le cas o`u les lois de comportement sont suppos´ees al´eatoires. Il faut en fait r´esoudre les trois sous-probl`emes suivants.

La premi`ere probl´ematique est de caract´eriser avec suffisamment de pr´ecision et de sens5 les param`etres d’entr´ee : quelles sont les lois de probabilit´e qu’ils suivent, quels sont les param`etres qui les caract´erisent . . . Cette probl´ematique rel`eve du travail du statisticien et de l’expert. Dans le cas o`u il existe des banques de donn´ees adapt´ees, les statisticiens savent construire un mod`ele probabiliste efficient. Dans le cas o`u les donn´ees manquent, les statisticiens se basent alors sur les dire d’experts pour construire des mod`eles coh´erents.

Pour mod´eliser les donn´ees d’entr´ee, on peut devoir utiliser un champ al´eatoire. Dans la partie qui pr´ec`ede nous avons montr´e comment discr´etiser ce champ pour nous ramener au cas o`u les caract´eristiques des mat´eriaux s’´ecrivaient sous forme d’une fonction de M variables al´eatoires.

Par la suite, on supposera donc que les incertitudes portent sur les lois de compor-tement et que l’on peut d´ecrire ces lois sous la forme de fonctions d’un nombre fini de variables al´eatoires. Et nous allons nous int´eresser `a r´esoudre le second probl`eme.

La seconde probl´ematique est de mettre en oeuvre les m´ethodes qui permettent de r´esoudre num´eriquement des probl`emes aux ´equations aux d´eriv´ees partielles ayant pour entr´ee des variables al´eatoires.

La troisi`eme probl´ematique est de pouvoir analyser les r´esultats obtenus apr`es r´ esolu-tion du probl`eme aux ´equations aux d´eriv´ees partielles.

En effet, si le param`etre de sortie est le champ ´electrique E(x, θ) il faut pouvoir exploi-ter le r´esultat pour en tirer des informations int´eressantes. Par exemple, on doit pouvoir

connaˆıtre la moyenne, la variance, ou encore la probabilit´e pour que le champ d´epasse telle valeur. Il va donc falloir utiliser des outils de statistique permettant d’analyser les sorties du mod`ele.

Dans la suite, nous allons d´etailler diff´erentes m´ethodes qui permettent de propager les incertitudes dans un probl`eme al´eatoire. Dans un premier temps, nous allons d´etailler la formulation forte du probl`eme en sp´ecifiant les espaces dans lesquels on travaille, puis nous allons d´evelopper la formulation faible qui sera celle sur laquelle on travaillera par la suite.

1.2.3.a Formulation forte

Le probl`eme que nous souhaitons r´esoudre est le probl`eme de l’´electrocin´etique. On suppose que le domaine spatial D de l’´etude est un ouvert et qu’il est d´ecoup´e en M r´egions sur laquelle la conductivit´e est suppos´ee uniforme mais al´eatoire (voir la fig. 1.2).

Fig. 1.2 – Domaine spatial consid´er´e

C’est-`a-dire que l’on va supposer que la conductivit´e peut s’´ecrire sous la forme :

σ(x, θ) = M X

i=1

iσ(θ)1i(x) (1.43)

O`u 1i(x) est la fonction indicatrice du domaine Di :

1i(x) =

 1 si x ∈ Di

0 sinon (1.44)

Remarque: 1.2.1. Rien n’interdit `a la conductivit´e d’ˆetre d´eterministe sur certaine r´ e-gions du domaine (elle est alors juste d´efinie comme ´etant une variable al´eatoire constante).

Notons que si la conductivit´e est un champ, nous pouvons nous ramener `a une ex-pression similaire `a l’aide d’une discr´etisation KL (mais qui complexifie l’´ecriture) voir (1.42) page pr´ec´edente.

Notons ici que les variables al´eatoires (_iσ(θ))1≤i≤M ne sont pas suppos´ees d´ecorr´el´ees ni ind´ependantes.