Laboratoire d'Analyse et Modélisation de Systèmes pour
l'Aide à la Décision
CNRS UMR 7024
CAHIER DU LAMSADE
173
Approximation polynomiale : notions de difficulté et
leur impact pour étudier la structure de NP
ABSTRACT ii
RÉSUMÉ ii
1 INTRODUCTION 1
2 NIVEAUX DE RESOLUTION D'UNPROBLEME 4
2.1 Algorithmes et haînes d'approximation . . . 4
2.2 Niveauxd'approximation . . . 5
2.3 Exemples . . . 5
3 OUTILS SUPPLEMENTAIRES POUR CLASSIFIER LES PROBLEMES 6 3.1 Comparaisonde problèmes. . . 6
3.2 Exemples . . . 7
3.3 Classesd'approximabilité . . . 9
4 DIFFICULTE DES INSTANCES D'UN PROBLEME 9 4.1 Classesd'instan es: lepoint de vuedessous-problèmes . . . 9
4.2 Lanotion d'ordre de di ulté . . . 11
4.2.1 Exemples . . . 11
4.2.2 Notionsasymptotiques . . . 13
4.3 Famille ritiqued'instan es . . . 14
THEIR IMPACT IN STUDYING THE STRUCTURE OF NP
Abstra t
We de ne severalnotionsrelated to thehardnessof approximatelysolvingaproblem
anddes ribemanyaspe tsofthistheorythroughitsfoundations,itsobje tives,throughthe
answersitprodu esandtheones itposes,or,even,throughitsownformalism. Amongthe
questionsta kled entralaretheoneofgoodapproximabilitywhi henablesustoasso iate
aproblemwithahardnesslevel,thisasso iationdrawinghierar hieswhi hdes ribeNP's
internalstru ture. Anotherquestionta kledisthebringingtotheforeofanotionofhard
instan es foragivenproblem. Su hanotion anillustratewhi harethestru tural
hara -teristi softheinstan eswhereanalgorithmattainsitsworst aseapproximationratioand,
onthe other hand, provides hints enablingimprovement of theapproximabilityof agiven
problem. The dierent aspe ts of polynomial approximation theory treated in this paper
are ta kled from both epistemologi al and te hni al points of view. Our motivations are
simultaneouslytheoreti alandoperational.
Keywords: Complexity,approximation,NP, redu tion,instan e
APPROXIMATION POLYNOMIALE: NOTIONS DE DIFFICULTÉ ET
LEUR IMPACT POUR ÉTUDIER LA STRUCTURE DE NP
Résumé
Nous présentonsdiérentes notions de di ulté intervenant en approximation
polyno-mialeet dé rivonsdenombreuxaspe tsde ettethéorieàtraverssesfondements,ses
obje -tifs,lesréponsesqu'elleaapportéet ellesqu'ellepose.Nousenvisageonsd'aborddiérentes
notionsde((bonnerésolution))permettantd'asso ier haqueproblèmeàun((niveaude
dif- ulté)).Ondé nitainsiunehiérar hiequidé ritunesortedestru tureinternedela lasse
desproblèmesNP- omplets.Uneautre questionabordéeestlamise enéviden e d'une
no-tion (( d'instan es di iles )) qui illustre d'une part, e qui rend un problème di ile (en
approximation)etdonne,d'autrepart,despistespourunemeilleurerésolution(appro hée).
Pré isons en n que es diérentes questions peuvent être abordées tant du point de vue
épistémologiqueetgénéralquedansl'optiquespé i quedel'approximationpolynomiale.De
même,nospropossontautantmotivésparlesaspe tsthéoriquesdesesfondementsquepar
leurintérêtappliquéetopérationnel.
L'approximation polynomiale a pour objet la on eption et l'analyse d'algorithmes
polyno-miauxave garantiesdeperforman epourdesproblèmesdi ilesn'admettant pasd'algorithmes
polynomiauxexa ts. Nousavonsprésenté,dansl'arti le[11℄,quelquesré exionsà ara tèretant
mathématiquequ'épistémologique s'ins rivantdans e adre.Nousavonsdis utélanotionde
va-leursextrémalesd'unproblème,sesenjeuxthéoriquesetpratiques,notammenten equi on erne
l'évaluation de la qualité d'un algorithme appro hé ainsi que les diérentes problématiques qui
lui sontasso iées.
Le travail qui suit poursuitla présentation de l'approximation polynomiale en insistant
no-tammentsursonobjet,son adre,sesoutils,sesenjeuxetsesrésultats.Nousnousintéressonsi i
àdiérentesnotionsdedi ultéderésolutionquisontau ÷urmêmedudomaine.
L'approxima-tionpolynomialeestuneréponseauproblèmedela omplexitémaisnousverronsqu'inversement
une étapeessentielle desadémar he onsisteàenri hir lathéorie lassiquedela omplexité par
de nouvellesnotions de di ulté a n d'a nerla onnaissan e surlanature desproblèmes
NP- omplets. Ces notions sont don non seulement unpoint de départ maisaussi un moteur et un
sujet d'étude primordial dans e adre. Cette ré exion nous donnera l'o asion de dé rire de
nombreuxaspe tsdel'approximationàtraverssesfondements, sesobje tifs,lesréponses qu'elle
aapporté et ellesqu'elleposeou en oresaformalisation 1
.
Parmilesquestionsquenousabordons, itonsladé nitiond'un problème, diérentesnotions
de bonne résolution qui permettent d'asso ier haque problème à un niveau de di ulté ainsi
que lastru ture interne de la lasse NP qui en résulte. Pour haque problème, nousproposons
d'étudier la di ulté des instan es qui illustre d'une part e qui rend le problème di ile et
donne,d'autre part,despistes pour une meilleure résolution.
Pré isonsen nque, omme dansl'arti le[11℄, esdiérentesquestionspeuvent êtreabordées
dupoint devuegénéral ou dansl'optique spé i quedel'approximation polynomiale.Demême,
nospropossontautant motivéspar lesaspe tsthéoriquesdesesfondementsquepar leurintérêt
appliqué et opérationnel.
La lasseNP désigne l'ensemble des problèmes résolubles par une ma hine de Turing
po-lynomiale non déterministe; il s'agit, au moins dans la théorie lassique de la omplexité, de
l'universdetravail.La lasseP(desproblèmespolynomiaux)estl'ensembledesproblèmesdeNP
résolus par une ma hine de Turing polynomiale déterministe; ils sont onsidérés omme bien
résolus.Eneet,dans etype d'étude,la omplexité algorithmiquepolynomiale orrespondà e
qui est ommunément onsidéré omme unebonne résolution. Al'opposé,la lasse NP ontient
lesproblèmes NP- omplets( lasse NP-C)quisont,dansun ertainsens,lesproblèmes lesplus
di iles de NP: la résolution de l'un d'entre eux par une ma hine de Turing polynomiale
déterministe permettrait la résolution de n'importe quel problème de NP par une ma hine de
e type. Parmi les problèmes onnus et entrant dans le adre de nombreux modèles industriels
ou en s ien es humaines, relativement peu sont polynomiaux: les prin ipaux problèmes de P
sont les problèmes de tris, de par ours d'arbres et de graphes, ertains problèmes de ots,
d'af-fe tation, des problèmes de heminement optimaux (ave notamment, omme appli ation, les
problèmesd'ordonnan ement lesplussimpleset,plusgénéralement,l'optimisation séquentielle),
leproblèmede ouplagemaximumd'ungraphe,laprogrammationlinéaireenvariables ontinues.
Cesproblèmes sus itent unintérêtparti uliernonseulement par equ'ilsontdetrèsnombreuses
appli ations, maisaussi par e queen tant queseuls problèmes bien résolus 2
, ils onstituent les
outils de base de l'algorithmique polynomiale. Les problèmes polynomiaux étant relativement
1.Commenousl'avionsdéjàmentionnédansl'arti le[11 ℄, epointsus itea tuellementdenombreuxtravaux
quiné essitentetjusti entenparti ulierdetelsdébatsetré exionsdefond.
itons bien sûr le fameux problème de satis abilité qui fut le premier problème NP- omplet à
être misen éviden e parCook ([4℄). Mentionnons aussile problèmedu voyageur de ommer e,
dustablemaximum d'un graphe,del'arbredeSteiner ,dela olorationminimumd'un graphe,
les prin ipaux problèmesde partage, dedé oupe et de ouverture minimale, laplupart des
pro-blèmes d'ordonnan ement, le problème du sa à dos et, plus généralement, la programmation
linéaire envariables entières. Ladé ouverte, depuislestravauxdeCooketde Karp[16 ℄,d'une
multitude de problèmes NP- omplets issus d'appli ations réelles a mis en éviden e d'une part
leslimitesdelarésolution informatiqueet,d'autre part,lané essitédedévelopper desstratégies
pour leur résolution, au moins partielle. Dans ette optique, le re ours à des routines
polyno-miales onnuesetl'identi ationdesousproblèmespolynomiauxd'unmodèle omplexes'avèrent
parti ulièrement utiles.
Larésolutionee tivedeproblèmesdi ilesfutl'unedesprin ipalesmotivationsdelathéorie
del'approximationpolynomiale.Leprin ipeestdeselimiteràl'emploideméthodespolynomiales
en exigeant de plus des garanties théoriques absolues sur la qualité des solutions obtenues. Ce
hoixquantauxgaranties de omplexitéetdequalité dessolutions obtenuesdistingue
l'approxi-mation polynomiale de l'étude, plus lassique, d'heuristiques. D'un point de vue opérationnel,
la pertinen e de es appro hes dépend des besoins spé i ques de haque appli ation. Dans la
pratique,lere oursà desméthodes heuristiquesreste majoritaire, e qui peut être attribuénon
seulement à leur bon omportement en pratique mais aussi à une relative mé onnaissan e des
parti ularités de l'approximation polynomiale. L'autre raison est le pessimisme de ertains de
ses résultatsquiprovient essentiellement des restri tionsque e adre impose. Soulignons
néan-moins queles méthodes polynomiales peuvent avoir, dansla pratique,des omportements bien
meilleurs queles bornes qu'ellesgarantissent.
Plusieurstravauxsurlesfondementsdel'approximationvisentàuni erlesrésultatsexistants.
Ilssont l'o asiond'uneré exiondefondsurlapertinen edesnotionsdebonne résolutionet des
résultats qui leur sont asso iés. Cet arti le se situe justement dans et esprit. Pour des raisons
de larté, nousrappelons su in tement ertaines notions de base sur lesquelles repose la suite
de e travail.
L'approximation polynomiale restreint son hamps d'étude à ertains problèmes pouvant
s'exprimer en termes d'optimisation. En eet, les problèmes NP sont dé nis à l'origine ([14℄)
ommedesproblèmesdedé isionexpriméssousformed'unequestion;larésolutionduproblème
onsiste alors à apporter une réponse (oui ou non). Pour de tels problèmes, il est di ile de
on evoirunenotionderésolutionappro hée.Par ontre,pour ertainsd'entreeux,ilestpossible
d'asso ier une version optimisation exprimée par un programme mathématique (optimisation
d'une fon tion réelle sous ontraintes). A haque instan e, on asso ie une question portant sur
l'existen e ou non d'une solution meilleure qu'un seuil xé. C'est par e biais qu'on peut faire
le lien entre les problèmes d'optimisation et les problèmes de dé ision de la lasse NP. Plus
pré isément, nousrappelons i iladé nition formelledes problèmes d'optimisation.
DEFINITION1. Unproblème élémentaire ou (( instan e )) (notée I) estun programme
mathé-matique de laforme I : 8 > < > : opt v(~x) ~ x2C x i 2f0;1g
Un (( problème d'optimisation ombinatoire NP (resp., NP- omplet) )) est un ensemble
d'ins-tan es tel quel'ensemble orrespondant des questions(( pour un M donné, existe-t-il ~x 2C tel
quev(~x )M?))(oùvaut(resp.,)sioptvautmax(resp.,min))estexa tementl'ensembledes
instan es d'un problème NP (resp., NP- omplet)au sens usuel de lathéoriedeslangages ([14,
problème de stablemaximum, de oloration minimum, de voyageur de ommer e ou en ore de
programmation linéaire en variables entières. En fait, de très nombreux problèmes NP et plus
parti ulièrement NP- omplets peuvent être asso iés à un problème d'optimisation qui est au
moins aussi di ile que le problème de dé ision asso ié. En eet, la résolution de la version
optimisationpermetde résoudrelaversiondé isionnelle.Ces problèmes,aumoinsaussidi iles
que desproblèmes NP- omplets,sont appelés NP-di iles. Le prin ipal intérêt d'exprimer un
problème en termes d'optimisation est d'avoir à sa disposition non seulement une notion de
solution a eptable 3
(ou réalisable) du problème mais aussi une notion de qualité d'une telle
solution réalisablepar référen eà lavaleurde l'obje tif.
Ainsi, pour un tel problème, on appelle algorithme appro hé un algorithme polynomial par
rapportàlatailledesinstan es fournissant,pourtouteinstan eI,une solutionréalisablede
va-leur(I).Unrésultatd'approximationpermet de ara tériserlaqualitédelasolutionappro hée
à l'aide d'une mesure d'approximation dé nie pour haque instan e. La mesure la plus utilisée
estle rapport (I)=min (I) (I) ; (I) (I)
où (I) désigne la valeur optimale de l'instan e I. D'autres mesures d'approximation peuvent
êtreemployées,notammentlerapportdiérentielquenousavonsdé ni,justi éetdis utédans[7,
10,11℄. Pour une instan e I, e rapports'exprime par
Æ(I)=
(I) !(I)
(I) !(I)
où !(I) désigne lapire valeurde l'instan eI.
Etant donnéeunemesured'approximation 4
(I),unrésultatd'approximations'énon e
om-me une borne valable pour toute instan e I. Comme pour la plupart des travaux de théorie
de la omplexité, on mesure don le omportement d'un algorithmepar rapport au pire as, e
qui permet d'obtenir des garanties absolues valables pour toutes les instan es. Pré isons en n
que non seulement les résultatsd'approximation mais aussiles méthodesdéployées dièrent en
fon tion durapport. Ces diérentes mesuresapparaissent ainsi omme omplémentaires.
Les résultatsd'approximation mettent enéviden e desdiéren esde di ulté entre les
pro-blèmes NP- omplets qui sont, par dé nition, de di ulté équivalente quant à leur résolution
exa te mais se prêtent par ontre plus ou moins bien à l'approximation. Certains problèmes
d'optimisation NP- omplets sont très bien appro hés par un algorithme polynomial; le
pro-blème du sa à dos est l'exemple le plus favorable puisqu'il admet un s héma d'approximation
polynomial, 'est-à-dire, une famille (indi ée par 2℄0;1[) d'algorithmes polynomiaux A
telle
que, pour tout , l'algorithme A
garantit un rapport supérieur à 1 . Par ontre, pour
d'autresproblèmes,par exemple pour leproblèmedestablemaximum d'un graphe,au un
algo-rithmepolynomialne peut garantir unrapport bornéinférieurement parune onstante >0.
Les résultats positifs garantissent un ertain niveau d'approximabilité et les résultats négatifs
expriment l'impossibilité, sous une hypothèse fortement probable du type P6=NP, de tel ou
tel type d'approximation. L'asso iationdes deuxpermet d'établir une hiérar hiedes problèmes
d'optimisationNP- ompletsparrapportàl'approximation. De epointdevue,l'approximation
polynomiale devient un outil fondamental pour la ompréhension de la lasse NP et l'étude de
sastru ture.
3.Cette notion omprend, par lebiais des ontraintes, e qu'on désire imposer àn'importequ'elle solution envisageable.
4.I i, nousprendrons la onventiond'une mesure dans l'intervalle [0;1℄ ave la valeur1 pourla résolution exa te.
enorant,parrapportàlathéoriedela omplexité,plusieursniveauxdedi ulté.Ladé nition
de la NP- omplétude ore deux niveaux de di ulté, les lasses P et NP-C. Par ontre, en
approximation, l'ensembledesproblèmes d'optimisation NP- ompletssedé omposeen ou hes
d'équi-approximabilité. Pour es deux théories, la notion de di ulté orrespond à l'aptitude
d'un problème àêtre résolu(de façon exa teou appro hée) par unalgorithmepolynomial.
A l'o asion de ette ré exion sur les notions de di ulté, nous abordons ertains aspe ts
d'un formalisme nouveau et nous itons des exemples d'outils pour mesurer ou omparer des
notions dedi ulté.La pertinen ede ertaines notions relève dire tement de etteré exion; e
sera en parti ulier le as pour les notions asymptotiques. En n, nous présentons des outils ou
méthodesquiexploitent desnotionsde di ulté.Notreobjetn'est pasdedévelopper lesdétails
de e formalisme maisplut t d'en retirer la logique générale, sa pertinen e et ses onséquen es
pratiques.Demême,lesrésultatsd'approximation itésdans edo umentontvaleurd'exemples
pour illustrer es notions. C'estpourquoiils sont donnés sanspreuve et parfoisseulement
men-tionnésdansletexte.Parsou idelisibilitéetde ontinuitédudo ument,nousavonsséle tionné
quelques problèmes ombinatoires (notamment les problèmes de stable et de bin-pa king)
aux-quelsserapportent laplupart desexemplesprésentés.
2 NIVEAUX DE RESOLUTION D'UN PROBLEME
Touteidéede di ulté faitréféren eà unenotion derésolution qui,de toutefaçon, estdéjà
impli ite dansladé nitionmême duproblème. Onne peut eneet dé nirunproblèmeou,plus
généralement,une question queparrapportau on eptde réponsequ'on adopte.D'un point de
vue historique d'ailleurs,le moteur (mais aussile frein) destravaux surla dé idabilité, la
om-plexité ouplus généralement detoute démar he visantà étudier les limitesde l'algorithmiquea
étélamodélisationde lanotiond'algorithme 5
représentant uneforme derésolution sur laquelle
reposeladé nitiondes lassesde omplexité.Demême,dansle adredel'approximation
polyno-miale, lanotionde problèmed'optimisationnes'imposequ'au termed'uneré exion surlesbuts
de ettethéorie,notammentàproposdelasigni ationàdonneràlarésolutionappro hée.Dans
l'arti le [11℄, nous avons insisté surle hoix du tout dans la formulation qui onsiste à intégrer
dansleproblèmemêmeles ara téristiquesdesarésolution.De epointdevue,nousavons
mon-tréàquel pointnonseulementlesnotionsdefon tion obje tiveetde ontraintesmaiségalement
elles de valeursextrémales sont indispensables pour lari er le on ept de bonne résolution en
vued'une évaluation pertinente desalgorithmes.
2.1 Algorithmes et haînes d'approximation
Etant donné un problème d'optimisation NP- omplet, nous avons déjà pré isé dans
l'in-trodu tion la notion d'algorithme appro hé qui, pour toute instan e I de taille n, onstruit en
temps polynomial par rapport à n une solution réalisable. La valeur obje tive (I) de ette
solution ainsi que les valeurs optimale ( (I)) et (éventuellement) pire (!(I)) de I sont
essen-tiellespourl'évaluation(parlebiaisd'unrapportd'approximation)delaqualitédel'algorithme.
Parmi les rapports utilisés, nous avons déjà mentionné (I) et Æ(I) mais l'étude qui suit est
appli able à n'importe quelle mesure d'évaluation. Notre seule restri tion est de onsidérer une
mesure : I 7! (I) à valeurs entre 0 et 1 d'autant plus pro he de 1 que I est bien résolue.
Ainsi, un résultat d'approximation orrespond à garantir,pour toute instan e du problème, un
minorant de (I).
nous introduisonsla notion de haîne algorithmique qui généralise elled'algorithme appro hé.
Le prin ipe est d'asso ier un paramètre auxalgorithmes en vue d'étudier le omportement non
plusd'un algorithme maisd'unefamille d'algorithmes.
DEFINITION2. Soitunproblèmed'optimisation ombinatoire(dé nition1); onnoteI
l'en-sembledesinstan esde,soitf :IIN !℄0;1[;(I;k) 7!f(I;k)uneappli ation roissanteenk.
Une haîne (algorithmique) d'approximation polynomiale 6
de rapport f pour est une suite
d'algorithmes(A k
) k2IN
telle que, pour toutk 2IN, A k
estun algorithmeappro hé polynomial
pour garantissant lerapportd'approximation k
(I)f(I;k),8I 2I.
2.2 Niveaux d'approximation
L'un desenjeuxprin ipaux de l'approximation polynomiale étant de mettreen éviden e, au
sein de la lasse NP- omplet, une stru ture fondée sur l'approximabilité des problèmes, nous
onsidérons lanotion deniveau d'approximation.
Etantdonnéunproblèmed'ensembled'instan esI,onnoteF
(ouseulementF
lorsqu'au- une onfusionn'estpossible)l'ensembledesrapportspossiblespourles haînesd'approximation
polynomialepour ,i.e.,
F
=ff :IIN !℄0;1[;(I;k)7! f(I;k)g:
Nousutilisons également lanotation F 0
pour désignerles rapportsindépendants de k, i.e.,
F 0
=f f :I !℄0;1[;I 7!f(I)g:
A haque famille de rapportsF F
orrespondun niveau d'approximation, toutes les haînes
d'approximation polynomiale garantissant un rapport dans F appartiennent au même niveau.
Lesexemplessuivantinterprètent,sous epointdevue,plusieursrésultats lassiquesetmontrent
que e adrepermetd'exprimerdesrésultatsré entsplus nspourlesquelslesnotions lassiques
ne su sent plus.
2.3 Exemples
Lorsque f est onstante par rapportà k, i.e.,
9 ~
f : I !℄0;1[;8I 2I;8k2IN;f(I;k)= ~ f(I)
(f peut alorsêtreassimiléeàunélémentdeF 0
),onpeut,sanspertedegénéralité,restreindrela
haîned'approximationàununiquealgorithmeAenséle tionnantl'undesA k
.Onretrouvedans
e as la notion lassique d'algorithme appro hé à rapport ~
f qui onstitue un premier niveau
d'approximation pour. Onpeut alors a ner e niveau enfon tion de ladépendan e de ~ f par
rapportauparamètreI:si ~
f estune onstante universelle,on retrouveleniveaudesalgorithmes
àrapport onstant( itons par exemple l'algorithmede ouplage pour la ouverture de sommets
quigarantitlerapport =1=2); eniveaupeutlui-mêmeêtrediviséensous-niveauxenfon tion
desvaleursde ~
f.Par ontre, si ~
f estunefon tionnon- onstante del'instan e(etenparti uliersi
inf I2I
~
f(I)=0),onretrouve lanotionde rapportd'approximationdépendantdel'instan e.Citons
à etitretouslesalgorithmesappro héspourleproblèmedestablemaximumdansungrapheou
en ore de ouverture d'ensembles. Les résultats négatifs qui établissent la non approximabilité
à rapport onstant de problèmes omme, par exemple, le stable maximum ([1℄), la ouverture
lapossibilitéderapports d'approximation dépendant del'instan e.
L'ensembledes fon tionsf 2F
onstantes enI, i.e., desfon tionspour lesquellesil existe
une suite(x k
) k2IN
de℄0;1[telleque 8(I;k)2IIN;f(I;k)=x k
, dé nit leniveau des haînes
indépendantes de l'instan e. Remarquons que le as où (x k
) est une suite onvergeant vers 1
orrespond àun s hémad'approximation polynomial.
Atitred'exemple,intéressons-nousauproblèmeSdestablemaximumqui onsisteà
détermi-ner, dansungraphe, un ensemblestable 7
de ardinal maximum. Denombreux travaux traitent
de l'approximation de S et donnent lieu à des résultats de plus en plus di iles à exprimer.
Citonspar exemplelesrésultatsde [15℄;l'inadéquation du adre lassiquepour exprimer es
ré-sultats ontraintlesauteursàn'enprésenterqu'uneformepartielle; etexemplejusti elebesoin
d'enri hir les on epts d'approximation sans quoi le manque de formalisme risquerait d'être un
frein à de nouveaux résultats. En termes de haînes d'approximation polynomiale, le prin ipal
résultat de [15 ℄ ainsique ses améliorationsprésentées dansl'arti le [12℄ s'expriment de la façon
suivante (dans e quisuit,nousnotons parledegrémaximum dessommetsd'un grapheGet
par ledegré moyen dessommetsde G; ).
PROPOSITION 1.
Ilexiste une haîned'approximationpolynomialede omplexitéO(n k
) pourlestable
garan-tissantle rapportd'approximation (6=)(1 1=k)+o(1=) ([15℄).
Ilexisteune haîned'approximationpolynomialede omplexitéO(n k=2
)pourSgarantissant
lerapport d'approximation k=+o(1=) ([12℄).
Il existe une haîned'approximation polynomialede omplexité O(n k
) pour S garantissant
lerapport d'approximation k=+o(1=) ([12℄).
3 OUTILS SUPPLEMENTAIRES POURCLASSIFIER LES PROBLEMES
Les notions d'approximation quenousvenons de présenter dé nissent une é helle de qualité
ainsi qu'une notion de di ulté. Tous les problèmes NP- omplets équivalents du point de vue
delarésolutionexa tenelesontplusdansle adred'unerésolution appro hée, sibienque ette
notion de di ulté par rapport à l'approximation, qui représente la possibilité d'établir tel ou
telrésultatd'approximation, onduitàenvisagerune lassi ationdesproblèmesd'optimisation
NP- omplets.
Ces outils permettent de positionner haque problème sur une é helle d'approximabilité et
sont en parti ulier parfaitement adaptés pour omparer diérents résultats relatifs à un même
problème. Par ontre, il est moinsaisé et en tout as moinspertinent de omparer dire tement
desrésultats d'approximation pour des problèmes diérents. Envue d'établir une lassi ation
des problèmes, nous avons besoin d'un outil spé i que permettant de omparer la di ulté
d'approximation de diérents problèmes. C'est l'objet des rédu tions que nous dé nissons
i-dessous. Ce type d'outil est d'ailleurs à la base de toutes les démar hes visant à envisager une
notion de di ulté d'un problème, aussi bien dansle adre de lathéorie de la dé idabilité que
dans elui de la omplexité. En parti ulier, e type d'outil est à la base desdémonstrations de
non-dé idabilité ou de NP- omplétude([14 ℄).
3.1 Comparaison de problèmes
Leprin ipeestdedé nir,surunensembledeproblèmes,unpréordrereprésentantune ertaine
notion de di ulté. Un problème
0
est onsidéré omme plus di ile qu'un problème si la
7.Etant donné un graphe G = (V;E), un ensemble stable est un ensemble V 0
V de sommets tel que, 8(i;j)2V
0 V
0 ;ij2=E.
résolution de permet,viaunetransformation appeléerédu tion deà ,larésolutionde.
Un tel s héma permet alors de faire orrespondre, à haque forme de résolution, une notion de
di ulté.Ainsiparexemplelanotiondenon-dé idabilité orrespondàlarésolution((a eptation
d'un langageparune ma hinedeTuring déterministe )); ellede omplexité onsisteàprendre
en ompte la omplexité algorithmiquede ettema hine.
Chaque lasse d'approximation est asso iée à un type de rédu tion préservant e niveau.
Parmi les premiers travaux sur e type d'outil, itons eux de Simon ([28 ℄) sur les rédu tions
dites ontinuesquipermettentdetransformerunalgorithmeàrapportd'approximation onstant
pour
0
en un algorithme du même type pour . Dans le même ordre d'idée, la notion de
L-rédu tion de [24℄ est fondée sur la résolution par un s héma d'approximation polynomial. De
très nombreuses notions ont été introduites et utilisées, ha une adaptée à une ertaine lasse
d'approximation ([6, 5 , 22,23 ℄). Pour une étude omplète du sujet, on pourra se référerà [26℄.
Les rédu tions permettent de transférer des résultats positifs ou négatifs d'un problème à un
autreet ontribuent ainsiàenri hirla onnaissan e d'une ertaine lassed'approximabilité mais
ellesdonnent aussia èsà autant denotions de omplétude quidé nissent de nouvelles lasses.
Ladé nitionsuivanteélargit etoutilau asdediérentesnotionsdemesured'approximation
etd'unepluslargegammedeniveauxd'approximation.Ellepermetégalementd'uni erlaplupart
desnotions de rédu tion onnues.
DEFINITION3. Soitet
0
deuxproblèmesd'optimisationetguneappli ationdeF
0
!F
.
Une rédu tion en approximation /
;
0 de à 0
d'expansion g est un algorithme polynomial
qui permet detransformer toute haîne d'approximation 0
, de rapportf 2F
0
, en une haîne
d'approximation pour de rapportg(f).
L'expansionreprésentel'eetdelatransformationsurlaqualitéd'approximation.Unerédu tion
permet de omparer les niveaux d'approximation des problèmes et
0
. Pour deux niveaux
F F et F 0 F 0 : sig(F 0
)F, alors on ditquelarédu tion / ; 0 transforme leniveau F 0 en F; si g(F 0 ) F 0
et si les deux problèmes ont le même ensemble d'instan es ou lorsque les
dé nitions de F et F
0
sont indépendantes des instan es, on dira que / ;
0 préserve le
niveau F 0
.
Dans ertains as,onneparvientàtransformerpolynomialementque ertaines haînes
d'approxi-mation de
0
en une haîne d'approximation de , on onsidère alors une notion de rédu tion
partielledont l'usageest restreint àdeuxniveaux F et F 0
.
Faisonsalors lesremarques suivantes on ernant ladé nition 3:
la L-rédu tion ([24℄) orrespond à la notion de rédu tion partielle préservant les s hémas
d'approximation polynomiale, i.e.,les haînes onvergeant vers1;
la rédu tion faiblement ontinue étudiée pas Simon dans [28 ℄ devient un as parti ulier
de rédu tion partielle préservant les algorithmes ( onsidérés omme as parti uliers de
haînes)àrapport onstant; remarquons qu'alorsune tellerédu tiond'expansion ( est
une onstante)de à 0
permet detransformerpolynomialement toute haîne
d'approxi-mation à rapport (x
k )
k2IN
indépendant de l'instan e en une haîne d'approximation à
rapport (x k
) k2IN
; il su t d'appliquer la rédu tion à haque algorithme de la haîne; il
s'agit don de rédu tions partielles préservant les haînes à rapport indépendant de
l'ins-tan eet d'expansionl'homothétie de rapport.
3.2 Exemples
Lesexemplesderédu tions i-dessouspermettent detransférerlesrésultatsd'approximation
du grapheinstan e sont ae tésde poids.Le problème onsiste alors àdéterminer unensemble
stablede poids maximum.
Dans le as de poids positifs entiers, une onstru tion proposée par Simon [28 ℄ permet de
formuler leproblème de stablede poids maximum dans ungraphe G omme la re her he d'un
stable de ardinal maximum dans un graphe onstruit à partir de (G;w) noté G w
. L'idée est
la suivante: haque sommet v i
de poids w i
dans G donne lieu à w
i sommets v i;l , l = 1;:::w i dansG w
quiformentunstable.Unearêtev i
v j
deGdonnelieu,dansG w
,àtouteslesarêtesv i;l v j;k ave l =1;:::w i , k =1;:::w j
, 'est-à-dire à un graphebiparti omplet. Tous les sommetsv i;l
,
l = 1;:::w i
issus d'un même v
i
ont don le même voisinage dans G
w
de sorte qu'un stable
maximal de e graphe ontient toutes les opies de v i
ouau une. Par onséquent, toutstableS
de G de poids w(S) orrespond à un stable de ardinal w(S) dans G
w
omposé de toutes les
opiesdessommetsdeS.Ré iproquement,toutstablemaximalS w deG w seprojetteenunstable de poids jS w
j dans G. Ainsi, toute solution réalisable (resp., optimale) pour le problème WS
dansG orrespondàunesolutionréalisable(resp.,optimale) pourSdansG w
etré iproquement.
Etant donné la dé nition des problèmes WS et S, la valeur obje tive est onservée par ette
transformation.
Laseulerestri tion àlaquelleilfaut resterattentifestquelatransformationde(G;w)enG w
n'est polynomiale que si les poids de l'instan e (G;w) de WSsont bornés par un polyn me de
la taille de G. En eet, l'ordre de G w
est exa tement la somme des poids des sommets de G.
En n, notons que ledegrémaximum dessommetsde G
w
estmajorépar w max
. Ladis ussion
i-dessusdonne lieu aurésultat suivant.
PROPOSITION 2. Il existe une rédu tion partielle /
PWS;S
de PWS (le problème du stable
pondéré où tous les poids sont bornés supérieurement par un polyn me en n) à S transformant
toute haînederapportf(;k)(f étant roissantenk etdé roissanten) pourSenune haîne
de rapport f(w max
;k) pour PWS.
PROPOSITION 3. Il existe une rédu tion partielle /
BWS;S
de BWS (le problème du stable
pondéré oùtous les poids sontbornés supérieurement par une onstante) à S transformant toute
haîne de rapport f(;k) (f étant roissant en k et dé roissant en ) pour S pour S en une
haînede rapportf(;k) pour BWS.
Cetterédu tionpréserve en parti ulierlesniveauxd'approximations asso iésauxrapportsde la
forme k=Æ où Æ peut désigner le degré maximum de G, son degré minimum, son degré moyen
ou en ore desversions pondérées de es notions. Ce i permet de déduire de laproposition 1 le
résultat d'approximation pour BWS suivant.
PROPOSITION 4. Il existe des haînes d'approximation polynomiales pour BWS de rapports
respe tifsk=+o(1=) etk=+o(1=).
Certaines rédu tions peuvent être établies entre diérents niveaux d'approximation pour un
même problème. Mentionnons dans e adre le résultat lassique ([14 ℄) selon lequel tout
algo-rithme à rapport onstant pour lestable peut êtretransformé (viaune omposition de graphe)
enuns hémad'approximation.Cetterédu tionduproblèmedestableàlui-mêmeestlepointde
départdesrésultatsnégatifspour e problème. Demême,dans[8℄,nousétablissons larédu tion
entreles approximations lassiqueetdiérentielle pour lebin-pa king, equinouspermet
d'éta-blir uns héma d'approximation diérentiel pour e problème, niveau d'approximationqu'on ne
La omplémentaritéentredesrésultatspositifsetnégatifspermetdehiérar hiserla lasseNP.
Ils représentent respe tivement l'appartenan e d'un problème à une lasse et la diérentiation
entredeux lasses.Lanotiondeniveau d'approximabilitédonnelieu àune lassi ation absolue
(i.e., sans référen e à un problème parti ulier); le on ept de rédu tion enri hit ette
lassi - ation en réant des liens entre des problèmes diérents. Il s'agit d'un outil fondamental pour
élaborer desrésultats positifs ou négatifs et pour on evoir des algorithmes appro hés à partir
d'algorithmesétablis pourd'autres problèmes.
Lesrédu tionspermettentaussid'identi erlenoyaudesproblèmeslesplusdi ilesde haque
lassegrâ eà lanotion de omplétude. La omplétudepar rapportauxrédu tionspolynomiales
préservant les solutions exa tes permet de dé nir la lasse NP-C. Ce type de onstru tion est
également possible ave desrédu tions préservant l'approximation.Etant donné un problème
et deux niveaux d'approximation F F
0
pour , est omplet par rapport aux niveaux F
et F 0
si 2F 0
et si, pour tout 0
2 F
0
, il existe une rédu tion /
0 ;
préservant le niveau F.
Plusieurs résultats de omplétude en approximation ont déjà été obtenus sous des formalismes
similaires ([2℄).
La notion de rédu tion que nous venons de dis uter permet d'étudier la stru ture de la
lasseNP,demettreeneviden edesliensentrelesproblèmeseten n,pourunproblèmedonné,
d'exprimerlesrésultatsd'approximation( onnusoupossibles)le on ernant.Lesoutilsprésentés
sont des ra nements des notions existantes qui permettent d'enri hir la gamme des résultats
possibles et la lassi ation des problèmes de NP. Une autre problématique naturelle (mais
moinsétudiée) onsiste, àproblème xé,étudier lastru ture et ladi ulté de sesinstan es.Ce
pointde vuequenousnousproposons d'abordermaintenant s'avèreparti ulièrement pertinent,
aussibiendansle adre delaformalisation del'approximation polynomiale quepour l'étudede
l'approximation deproblèmes spé i ques.
4 DIFFICULTE DES INSTANCES D'UN PROBLEME
La questiondeladi ultéintrinsèquedesinstan esd'un problèmedonnés'ins rit
naturelle-mentdansnotredémar heenvuede omprendreou,aumoins,illustrerladi ultéduproblème.
Comme lereste de notreétude, ette questionpeut êtreenvisagée sousdiérents angles:
despointsde vueépistémologique et mathématique d'abord, tenter de ara tériser la
dif- ulté desinstan es d'un problème est une voievers une meilleure per eption de s hémas
quirendent unproblème a essibleou nonà une résolution algorithmique;
d'un point de vue opérationnel maintenant, mettre en éviden e, parmi les instan es d'un
problème,lesstru turesdonnantlieuàunedi ultéderésolutionouquimettentendéfaut
un algorithme pré is est une étape essentielle pour l'analyser et re her her de meilleures
heuristiques;
en n,pourlaformalisationdel'approximationpolynomiale,laquestiond'unemesuredela
di ultédesinstan esd'unproblèmeseposepourdé nir ertainesnotionsd'approximation
asymptotique.
4.1 Classes d'instan es: lepoint de vue des sous-problèmes
La première idéepour appréhender ladi ulté d'instan esd'un problèmeest deseramener
àl'étudedeladi ultéd'unproblèmeen exploitant lesnotionsquenousvenonsdeprésenter. Il
s'agitd'interpréterunepartiedesinstan esd'unproblème ommel'ensembledesinstan esd'un
problème
0
onsidérées omme plus fa iles (du point de vue de l'approximation) qu'une instan e générale.
Pour le problème du stable maximum par exemple, la famille des graphes de degré borné est
intéressante arelle admet, ontrairementau asgénéral,unalgorithmepolynomialgarantissant
un rapport d'approximation onstant. La proposition 4 implique le même type de résultat
pour le as pondéré par despoids bornés.Ce point de vue esttrès ourant dèsqu'on her he à
exploiter ertaines ara téristiquesdesinstan esee tivesintervenant dansuneappli ation dans
lebut de garantir leurbonnerésolution.
Au ontraire, une rédu tion du problème général au problème restreint désigne un noyau
d'instan esdi iles. Bien entendu,larédu tion inverse,dusous-problème au problèmegénéral,
est immédiate, si bien queles deuxproblèmes peuvent alors être onsidérés omme équivalents
en approximation. Un tel résultat montre un sous-problème sur lequel fo aliser son attention.
On peut essentiellement exploiter sa stru ture spé i que pour établir des résultats positifs qui
s'étendront,par rédu tion, auproblème général.
A titre d'exemple, onsidérons le problème de stable de poids (positifs) maximum. Parmi
les stratégies développées pour le résoudree a ement, le re ours à laprogrammation linéaire
et, en parti ulier, l'analyse des liens entre le problème exprimé omme programme linéaire en
variables bivalentes (noté WS) et son relaxé (noté WSr) a souvent été exploité. Bien entendu,
le problème WSr est polynomial omme programme linéaire en variables ontinues. Ces deux
programmes linéairessont dé nis de lafaçon suivante pourune instan e omposée d'un graphe
G=(V;E) et d'un systèmedepoidsw~ 2Ql jVj : WS= 8 > < > : max w~~x A~x ~ 1 jEj ~x2f0;1g jVj où ~ 1 jEj
estle ve teur olonnedeQl jEj
dont toutes les oordonnées valent 1.
WSr= 8 > < > : max w~ ~x A~x ~ 1 jEj ~ x2Ql +jVj
Parmi lesrésultatsintéressantsdans e adre, mentionnons elui delasolution semi-intégrale.
PROPOSITION 5. Il existe un algorithme polynomial permettant, pour toute instan e de WS,
de partitionner V entrois ensembles V 1
, V 1=2
et V 0
de tellesorte que
1 o
il existe une solution optimale ^ S de WS telleque V 1 ^ S;V 0 \ ^ S =; ([21℄); 2 o
l'unique solution optimale de WSr sur le graphe induit par V 1=2
onsiste à assigner la
valeur 1=2 à tout sommet ([25℄);
3 o V 1 et V 1=2
n'ontpasde sommets adja ents ([21℄).
Cerésultatmontrel'intérêtdela lasseC 1=2
desinstan espourlesquelleslasolutionassignant1=2
à tout sommet est l'unique solution optimale du programme WSr qui orrespond, en quelque
sorte, aux graphes pour lesquels la solution du programme relaxé ne fournit au une
informa-tion aidant à la détermination d'une solution du problème de stable de poids maximum. Plus
pré isément, C 1=2
peut être interprétée omme un noyau d'instan esdi iles.
PROPOSITION 6. Le problème général du stable pondéré se réduit au problème restreint à la
lasse C 1=2
ave une expansion préservant tout niveau d'approximation (relativement au rapport
d'approximation ).
La rédu tion de la proposition 6 onsiste à onstruire les ensembles V 1
et V 1=2
et à ompléter
toutesolutionappro héesurlegrapheinduitparV 1=2 parl'ensembleV 1 .V 1 etV 1=2 n'ayantau un
1=2
et 1=2
( ) lesvaleursappro héeset optimales orrespondant augrapheinduit par V 1=2 , ona =w(V 1 )+ 1=2 =w(V 1 )+ 1=2
de sorte quelerapport orrespondant véri e
1=2 1=2 :
4.2 La notion d'ordre dedi ulté
Dans ertains as, en parti ulier pour dé nir desnotions asymptotiques, on a besoin d'une
analysepluspré isepermettant dequanti er ladi ultédesinstan es.C'estdans etteoptique
quenoussommes amenés à lanotiond'ordre de di ulté.
DEFINITION4. Soitunproblème d'ensembled'instan esI et unniveau d'approximationF
pour tel que n'appartient pasà e niveau (i.e., iln'existe pas,sous une hypothèse du type
P6=NP,de haînepolynomiale pour garantissant unrapportdansF).Alorsune appli ation
d: I !IN estunordrededi ulté pour parrapportauniveau F si,8M 2IN,larestri tion
de aux instan esI 2I;d(I)M appartient au niveau F.
Sousles hypothèsesde la dé nition4, pour toute onstante k, leproblème général seréduit au
sous-problème k
=fI;d(I) kgpar unerédu tionpréservantleniveauF. Laseule restri tion
est qu'éventuellement les instan es de k
ne sont pasre onnaissables en temps polynomial ( k
n'est alors pasdansle adre quenousavonsprésenté).
4.2.1 Exemples
Dans [10℄,nousavonsdis uté et adaptéunenotion de stru ture des instan es d'un problème
introduite dans[3 ℄ en vue de dé nir une notion de rapport diérentiel asymptotique. L'un des
éléments de la stru ture d'une instan e I est son support, noté (I), dé ni omme le nombre
de valeurs réalisables de I. Cette notion est très naturelle dansl'optique de apter la di ulté
d'uneinstan eet,enparti ulier, sion her he àétudier la apa itéqu'aune instan eàêtre bien
résolue par unalgorithme glouton ou en orepar programmation dynamique. Si ons'intéresse à
la lasse desalgorithmes gloutons dont le prin ipe estde onstruire une solution en itérant une
opérationélémentaireàpartird'unesolutionarbitrairededépart(parexempleunepiresolution),
les instan es de support élevé s'interprètent omme les as les plus défavorables. En eet, la
onstru tion d'unebonnesolutionàpartir delasolutionde basené essitealors(danslepiredes
as) denombreuses étapesgloutonnes. Cetargument peut être pré iségrâ e au formalismeque
nousvenonsd'introduire; pour ela, ilsu tde serestreindreàune lassedeproblèmes adaptés
à la résolution par un algorithme glouton. Cette restri tion est relativement naturelle dans la
mesure où es algorithmes sont les plus répandus et où la lasse (problèmes radiaux) que nous
introduisonsest très vaste.Il s'agit d'unegénéralisation de lanotionde problème héréditaire 8
.
Considérons unproblème d'optimisation dont haqueinstan es'exprime par:
8 > < > : opt v(~x ) ~ x2C x i 2f0;1g; i=1;:::;t
oùtestunedimension(polynomialeenn),v()estunefon tiona nesurIR etCestunpolytope
de IR t
.
DEFINITION5. Un problème est radial s'il existe trois algorithmes polynomiaux (en n) ,
et 'tels quepour toute instan eI de detaille n:
1 o
onstruit unesolution réalisable~x (0)
,
2 o
pourtoutesolutionréalisable~xdeI stri tementmeilleure(ausensdel'obje tif)que~x (0)
,
l'algorithme' onstruit une solution réalisable '(~x) qui véri e v('(~x))<(>)v(~x ) si
estrespe tivement un problèmede maximisation (minimisation),
3 o
pour toutve teurréalisable~x deI devaleurobje tive stri tement meilleurequev(~x (0)
),
ilexiste unentier k tel que' k
(~x)=~x (0)
(' k
désignant l'itéré k-foisde '),
4 o
pour ~x (0)
ainsique pour toute solution réalisable~x de I de valeur obje tive stri tement
meilleureque v(~x (0)
), (~x )=' 1
(f~x g)=f~y;'(~y)=~xg.
Géométriquement, ettedé nition orrespondaufaitquetouteslessolutionsréalisablespeuvent
être onstruitesàpartirdelasolution entrale~x 0
parune ertaineexé utiond'unpro édéglouton
(en d'autres termes, il s'agit de problèmes résolubles par une ma hine de Turing polynomiale
non déterministe de type glouton). Il s'agit don bien de problèmes adaptés à une résolution
gloutonne qui n'ex luea prioriau une solution réalisable.
Les problèmes héréditaires sont l'exemple le plus lassique de ette situation: lasolution de
départ~x (0)
estlasolutionvide orrespondant auve teur ~
0etl'opérationélémentaire représentée
parl'algorithme'estleretraitd'unélément.Unedémar hegloutonne onsistealorsà onstruire
une solutionpar séle tionssu essives.Le problèmede stablemaximum d'ungraphe appartient
à ette lasse mais de très nombreux autres problèmes non héréditaires entrent dans le adre
de la dé nition 5. Citons notamment les problèmes de ouverture minimum d'ensembles ou de
sommets, lebin-pa king ou en ore la oloration minimum d'un graphe. Par ontre, leproblème
de la oloration minimum d'un graphe4- olorable 9
n'est pasradial.
Siondésignepar(I)lenombredevaleursréalisablesd'uneinstan eI d'unproblèmedonné,
un argument fondé surun par ours d'arbre permet d'établir lerésultat suivant.
PROPOSITION 7. (I) est un ordre de di ulté pour la résolution exa te pour les problèmes
radiaux NP- omplets.
Cette dis ussion prolonge une étude menée dans [2℄. Si on note !(I) la pire valeur (au sens
de l'obje tif) de l'instan e I et (I) sa valeur optimale, la notion de problèmes simples 10
([2℄)
orrespond auxproblèmes pour lesquels d(I) = j (I) !(I)j est un ordre de di ulté pour la
résolution exa te(i.e., pour le niveau d'approximation orrespondant au rapport onstant égal
à1).Leproblèmedestablemaximumestunexempledeproblèmesimple.Al'inverse,leproblème
max-weighted-sat ([2 ℄) n'est passimple.
Si onselimite pour d(I)àlaquantité (I)(onretrouvealorslanotiondeproblèmes simples
ausensde [27 ℄),dreste unordrededi ulté pourleproblèmedestablemaximum maisnel'est
pluspour leproblème de oloration, lak- olorabilité, pour k 3 étant NP- omplet([14 ℄).
Lesordres de di ultéquenousvenonsde iterne sont pasévaluablesen temps polynomial
e qui,pour ertainesappli ations, peuts'avérerparti ulièrement gênant. Pour lesexemplesqui
suivent, au ontraire, la valeur de l'ordre de di ulté est évaluable en temps polynomial par
rapportà lataille del'instan e.
Pour toutproblème NP- omplet, lataillede l'instan e onstitueun ordre dedi ulté pour
leniveau dela résolution exa te.
9.Une instan e de e problème étant la donnée d'un graphe G etd'une 4- oloration de G, les olorations
réalisablesayantaumoins4 ouleurs.
10.UnproblèmeNPOestsimplesi,pourtoute onstantek,sarestri tionauxinstan esdontlavaleuroptimale
d'une fon tion max : I 7! (max(I)) représentant la valeur du plus grand nombre intervenant
dansI; par exemple,dansle asdeproblèmes pondérés,maxest lavaleur duplusgrand poids.
Les problèmes NP- omplets pseudo-polynomiaux s'interprètent omme les problèmes pour
les-quelslog (jmaxj)est unordre de di ultépour larésolution exa te.
4.2.2 Notions asymptotiques
De nombreux résultats d'approximation sont, pour des besoins te hniques, exprimés dans
un adre asymptotique sans que ette notion ne soit en général lairement dé nie. Néanmoins,
l'idée est toujours de se restreindre à une lasse d'instan es (( intéressantes )) orrespondant,
dansun sens ou dansun autre, à des instan es (( tendant versl'in ni )) .Ainsi, par exemple,les
résultats on ernant le stable maximum d'un graphe dans[15℄ sont exprimés pour des graphes
ayant un grand degré. Ces résultats, quali és d'asymptotiques par leurs auteurs, font en fait
apparaîtredesrapportsd'approximationdutype6=+o(1=), equi ee tivement leurdonne
unintérêtlorsqueletermeeno(1=)estminoritaire.Ilestdon natureld'interpréterdans e as
leterme asymptotique omme (( à degréin niment grand )). Mais,jusqu'àprésent,les notions
asymptotiques ne sont pas pré isément dé nies ni justi ées; elles sont tout au plus suggérées
au gré des besoins pour tel ou tel problème. La ré exion que nousvenons de mener permet de
donner un sens général à es notions, de les justi er et de valider ou dis uter a posteriori la
pertinen ede plusieurs résultats onsidérés omme lassiques.
Ce adreestbienlié àlanotiond'instan es di iles. Eneet,lepointde vuede neprendre
en ompte que les instan es (( tendant vers l'in ni )) n'est intéressant que dans la mesure où
les instan es onsidérées sont les plus signi atives, 'est-à-dire, d'une ertaine façon, les plus
di iles. Dans e as, ilparaît pertinent de serestreindreà de telles instan esen exploitant les
simpli ations te hniques qu'elles pro urent sans ae ter lateneur du résultat. Sousréserve de
donnerunsenspré isà e dis oursinformel,onre onnaîtunedémar he analogueauparagraphe
pré édent onsistantàexploiterlaparti ularité d'instan esspé ialesdansle adred'uneanalyse
pour le problème général; la proposition 9 illustre ette similitude. La diéren e, dans le as
asymptotique, est que lanotion de di ulté doit être quanti ée pour donner lieu à un on ept
delimite.Lanotiond'ordrededi ultéajustementpourvo ationdejouer er le.Remarquons
d'ailleursque,dansladé nition4,lefaitquen'appartient pas 11
auniveau F permet d'établir
lerésultat suivant.
PROPOSITION 8.Soitunproblèmed'ensembled'instan esIetdunordrededi ultépour
par rapport à un niveau d'approximation F. Alors,sup I2I
d(I)=+1.
Nousproposonsdedé nirdesnotionsasymptotiquesen onsidérantlesinstan esayantungrand
degrédedi ulté.Etant donnéunproblèmeetundegrédedi ultéd,unrésultat
d'approxi-mation asymptotique se rapporte aux instan es I véri ant d(I) D où D est une onstante
arbitrairement grande. Cette notion dépend du degré de di ulté hoisimais permet une
dé -nition générique pour l'ensemble desproblèmes.
La démar he onsiste don à ex lure les instan es dont le degré de di ulté ne dépasse
pasD; par dé nition, de telles instan es sont plus fa iles à appro her que leproblème général,
e qui justi ela pertinen e de e point de vue dansle adrede l'approximation. Intuitivement,
le résultat, quali é d'asymptotique, peut s'interpréter omme la (( partie prépondérante )) d'un
résultat plus lourd à exprimer pour l'ensemble des instan es. Sous e point de vue, la partie
(( négligée )), ou plut t non spé i ée, orrespond à des instan es mieux approximables, e qui
justi equ'ons'autorise, danslaformulation durésultat,àsefo aliser surlesinstan esde grand
DEFINITION6. Etant donné un ordre de di ulté (asso ié à un niveau d'approximation F)
d:I !IN desinstan esd'un problème,onditqu'une haînealgorithmique(A k ) k2IN pour a un rapport asymptotique f 2 F
si: 8 > 0;8k 2 IN;9D tel que, 8I 2 I, ave d(I) D,
k
(I)f(I;k)(1 ).
Dansle adreplusrestreintdesalgorithmesappro hés,ladé nitionéquivalentedevient(f 2F 0
):
8 > 0;9D tel que, 8I 2 I, ave d(I) D, k
(I) f(I)(1 ), si bien que la dé nition 6
orrespond àune suite de rapportsasymptotiques.
La propriété suivante peut être interprétée omme une rédu tion d'un sous-problème au
problème général et sedéduitimmédiatement des dé nitions.
PROPOSITION 9 . En adoptant les notationsde la dé nition 6, si f 2F 0
, il existe une haîne
à rapport dans F[F 0
.
En parti ulier, omme 2= F, né essairement f 2= F. Le résultat pré édent estintéressant dans
lamesureoùleniveauF est onsidéré omme meilleurquelerapportf et enparti ulierlorsque,
8f 0
2F;f f 0
.
A n de situer la dé nition 6 par rapport à la littérature, notons que la notion de rapport
asymptotique la plus ourante ([14 ℄) onsiste à rempla er, dans la dé nition pré édente, d(I)
par la valeur optimale (I); un s héma d'approximation asymptotique ([20℄) orrespond à une
haîneàrapportasymptotique1 1=k.Pour desproblèmessimples([27℄), ettedé nitionestun
asparti ulierdeladé nition6;par ontre,dansle asgénéraletnotammentlorsque n'estpas
undegréde di ulté,elleperd unpeu desonintérêt.Entout as,ilsemblequ'au un argument
ne justi e qu'on puisse, pour desproblèmes non-simples ([27 ℄), rendre ompte d'un rapport du
type(I)[1 ( (I))℄,ave lim x!1
(x)=0,parsapartie(I).Pourleproblèmedebin-pa king
par exemple, de nombreux résultats d'approximation s'expriment par un rapport (I) =
k= (I)ave etk onstants. Nouspensonsnotamment àl'analyse([14℄)del'algorithme
rst- t-de reasingpourbin-pa king(=9=11)ouen ore([13℄)aus hémad'approximationasymptotique
àrapport1 k= (I).Vuquepour eproblèmelesinstan esàfaiblevaleuroptimalesemblent
justement les plus di iles à approximer (en parti ulier au un rapport stri tement supérieur
à2=3 nepeut êtregarantipourlesinstan es tellesque (I)=2),laforme généraledesrapports
en fon tion de (I) paraît plusreprésentative queleur partie onstante.
Du point de vue diérentiel maintenant, la première dé nition utilisée ([7 ℄) fait référen e
à l'ordre de di ulté !(I) (I) pour les problèmes radiaux. L'étendue de ette lasse
per-met d'adopter (I) omme ordre de di ulté pour de nombreux problèmes et l'opportunité de
omparer des résultats entre des problèmes de nature diérente. Remarquons d'ailleurs que la
notionde supportest onservée par l'équivalen e([10℄)surlaquellereposelathéoriedu rapport
diérentiel, e quirend etordrede di ulté parti ulièrement adapté à e adre.
Notons en n que les résultats que nous avons mentionnés pour les problèmes de stabilité
peuvent s'exprimeren termesasymptotiques. Eneet, ledegrémaximum onstitue unordre
de di ulté pour l'approximation à rapport onstant du problème de stable, si bien que la
proposition 1 orrespond aux rapports asymptotiques 6=(1 1=k), 6=, k= et k= pour le
problème destablemaximum.
4.3 Famille ritique d'instan es
Pour on lure, évoquons des travaux en ours qui s'ins rivent dans la ontinuité de la
pro-blématique quenousvenonsd'étudier. L'idée esttoujours dedé nir une notionde di ulté des
instan esen vued'étudierdesrésultatsd'approximationmais, ontrairement auxnotions
tan es maisde ré é hir, étant donné unalgorithme, à lastru ture desinstan es pour lesquelles
ilse omportele moinsbien.
DEFINITION7. ([19 ℄)Etant donnéun problème (d'ensembles d'instan esI),unalgorithme
appro héApour etunemesured'approximation(2[0;1℄et d'autant pluspro hede1que
l'instan e estbien résolue),une famille d'instan esS I est ritique pour A si, 8I 0 2I;9I 1 2 S; A (I 1 ) A (I 0 ).
Une onséquen e immédiate de ette dé nition est que si l'algorithme A garantit un rapport
onstant 0
pour les instan es S, ette analyse est valable pour toute instan e. Bien sûr, ette
notionn'estadaptéequ'àl'analysed'algorithmesàrapports onstants.Ilseraitfa iledel'étendre
au asd'autresniveauxd'approximation; ependant, e adrerestreintsu tpourmontrerl'esprit
deladémar heetsonintérêtopérationnel.Remarquonsaussilasimilaritéave leparagraphe 4.1
maisla diéren e essentielle estqu'i i larédu tion duproblème général au sous-problème n'est
valablequepour unalgorithme.Danslapratique,laformeparti ulière del'algorithmeimplique
une stru ture desinstan es asso iéesbeau oupplus ri he que dansle adre derédu tions
géné-rales. C'est e qui rend ette notion opérante mais, par ontre, les instan es mises en éviden e
n'ont pasde signi ation parti ulière en termes de di ulté; elles sont plut t signi atives du
omportement deA.Néanmoins,lesdeuxpointsdevuepourraientêtreappro hésparl'étudede
notions intermédiaires orrespondant à desinstan es ritiquespour desfamillesd'algorithmes.
Ce adre restreint étudié dans [19 ℄ s'est d'ores et déjà avéré parti ulièrement fé ond. En
parti ulier, sur l'exemple du bin-pa king, nous mettons en éviden e dans[9 ℄ une famille
d'ins-tan es ritiquespourl'algorithme rst- t-de reasing etlamesurediérentielle.Lapreuveillustre
ommentladé nition7intervient dansla on eptiondelafamille Set metenéviden edes
pro-priétésvéri éespartoutefamilled'instan es ritiquespour etalgorithmeet ettemesure.Dans
unse ondtemps, unesimpleévaluationde lamesuresurlafamille trouvéepermet d'établirque
l'algorithme rst- t-de reasing garantit lerapportdiérentiel 3=4.
5 CONCLUSION
Dans e travail, nous avons dis uté diérentes notions de di ulté (du point de vue de
l'approximation) asso iées à un problème ou à une instan e. Le adre lassique de la théorie
de la omplexité est également ouvert par notre point de vue en onsidérant la résolution
exa te omme résolutionappro hée ave garantie 1.Demême,asso ierdi ultéetpossibilitéde
résolution permet d'in lurelanotion d'instan e ritiquebienqu'elleserapporteàunalgorithme
pré is.
Notre dis ussiona mis en éviden e le ara tère entral des on epts de di ulté en théorie
de la omplexité: ils sont apparus aussi bien en tant que justi ation de dé nitions et outils
que omme sujet même d'étude. Ilsinterviennent aussi sous forme d'outils ave un réel intérêt
opérationnel. Cette étude a été l'o asion de présenter des problématiques, des démar hes ou
en oredesoutilsd'approximationpolynomiale.Enparti ulier,nousavonsren ontrélanotionde
familled'algorithmesetlesanalysesasso iéespermettantdemettreenéviden eunegammeri he
de niveaux de résolution et don aussi de niveaux de di ulté. Cette multipli ité des types de
di ulté asso iés aux problèmes NP- omplets 12
est même l'un des atouts de l'approximation.
Lesnotionsderédu tionsontparti ulièrement adaptéespour omparerladi ultéde
l'approxi-mation deproblèmes di ileset ont étéidenti ées, à e titre, ommeunoutiltoutàfait entral.
Elles ont l'intérêt non seulement de permettre de omparer et hiérar hiser les problèmes
d'op-timisation NP- omplets mais ausside donner lieu à de nouveaux résultats à partir d'analyses
avonsdis utés proviennent d'uneré exion de fondsur l'objetde l'approximationet permettent
de l'asseoirsur unformalisme pré ismaisils ontaussi ha un un intérêt opérationnel.
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