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Calibration de modèles financiers par minimisation
d’entropie relative et modèles avec sauts
Laurent Nguyen
To cite this version:
Laurent Nguyen. Calibration de modèles financiers par minimisation d’entropie relative et modèles
avec sauts. Modélisation et simulation. Ecole des Ponts ParisTech, 2003. Français. �tel-00005766�
T H E S E
pour obtenir legradede
DOCTEURDE L'ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES
Spécialité : Mathématiques, Informatique
présentéeetsoutenue publiquement
par
M. Laurent NGUYEN
le18 décembre 2003
Titre :
Calibration de Modèles Financiers par Minimisation
d'Entropie Relative et Modèles avec Sauts
Directeur de thèse :
M. Benjamin JOURDAIN
JURY
M. Gilles PAGES Président
M. Rama CONT Examinateur
M. Jean-Franck JALLET Examinateur
M. Bernard LAPEYRE Examinateur
M. Jean-Pierre LARDANT Examinateur
d'Entropie Relative et Modèles avec Sauts
Le smile de volatilitéimpliciteobservé sur lesmarchés d'options traduit l'insu sancedu modèle de Black et Scholes. Avec la nécessité d'élaborer un modèle d'actif nancier plus satisfaisant,vient celle de sacalibration, objet de cette thèse.
La calibration par minimisation de l'entropie relative a été proposée récemment dans le cadre de la méthode de Monte-Carlo.On a étudié la convergence et la stabilité de cette méthode et onl'a étendue à des critèresplus générauxque l'entropie relative.Pour qu'il y aitabsence d'opportunitéd'arbitrage, il fautque le sous-jacent actualisésoitune mar-tingale. La prise en comptede cette nécessité est abordée sous l'angle d'un problème de moments.
Dans ladeuxièmepartie,on aconsidéré un modèlesimple du phénomènede krachen in-troduisanten particulierdes sautsdans lavolatilitédu sous-jacent.On acalculélerisque quadratique eteectué un développement approché du smile qui constitue un outil pour la calibration.
Finalement,dans la troisièmepartie, onutilise l'entropie relativea n de calibrer l'inten-sité des sauts d'un modèle de diusion avec sauts et volatilité locale. La stabilité de la méthode est prouvée grâce àdes techniques de contrôle optimalainsi qu'au théorèmedes fonctions implicites.
MOTS-CLES :
smile de volatilité,calibration de modèles,entropie relative, méthode de Monte-Carlo, I-projectiongénéralisée, problème de moments,contrôle optimaldes processus de diusion avec sauts
ABSTRACT : Calibration of Financial Models by Relative En-tropy Minimization and Models with Jumps
The smile observed in option markets is the evidence of the de ciency of the Black and Scholes model. Withthe necessity to nd amorerelevantmodelof nancialassets comes the requirement of itscalibration. This is the subject of the present work.
A calibration technique based on the minimization of relative entropy has been recently suggestedintheframeworkofMonte-Carlomethods.Wehaveprovedtheconvergenceand stability of this technique and extended the results tocriteria more generalthan relative entropy. The martingale constraint onthe underlyingnecessary toinsure No Free Lunch has been examined fromthe pointof vew of moment problems.
In the second part we have considered a simple model of crashes by introducing jumps in the volatility process. The quadratic risk has been computed and approximate closed formulaeof the smile have been obtained for the calibration.
Finally we have used the relative entropy criterion to calibrate the jump intensity of a jump diusionmodel. The stabilityof this methodhas been proved by meansof optimal controltechniques combined with the implicitfunction theorem.
KEY WORDS :
volatilitysmile, calibration of models,relative entropy, Monte-Carlomethod, generalized I-projection, moment problem, optimalcontrolof jumpdiusion processes
Cettethèseaétéréaliséedanslecadred'uneconventionCIFREétablieentreleCréditIndustriel et Commercial (CIC) et le CERMICS, laboratoire commun de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées(ENPC)etdel'INRIA.Quelesdirigeantsdecesinstitutsreçoiventicil'expressionde magratitude.
JeremercieMonsieurCyrilLeTouzéainsiqueMonsieurBernardPaget,ResponsablesdelaSalle de Marché auCIC, d'avoirfavoriséla réalisationde mathèse.
JeremercieMonsieurNicolasBouleau,PrésidentduCollègeDoctoraldel'ENPC,d'enavoirsuivi l'évolution.
Je remercieMonsieurJean-Pierre Lardant,Sous-Directeur auCIC,dem'avoiraccueillidansson équipe etde m'avoir chaleureusement soutenu durant ce travail.
Monsieur Bernard Lapeyre, Directeur du CERMICS et Professeur à l'ENPC, m'a ouvert les portes de son laboratoire et je l'en remercie ainsi que du soutien et de la sympathie qu'il m'a témoignés.
Je remercie Monsieur Benjamin Jourdain, Professeur à l'ENPC d'avoir accepté de diriger ma thèse.Au coursde cestroisansde recherche, ilm'atoujours manifesté uneattentionéclairée et amicale etce travail luidoit beaucoup.
Monsieur Jean-Franck Jallet, Responsable de l'activité Trading Convertibles au CIC, a suivi le déroulement de mathèse. Son aisance et sa compétence dans le mondede la nance m'ont été d'un grand béné ceetje l'en remercie.
Je remercie MonsieurGillesPagès, Professeur àl'Université Paris VI,ainsi queMonsieurNizar Touzi, Professeur à l'ENSAE, d'avoir accepté d'établir les rapports sur mon travail. Leurs ap-préciations l'ont amplement récompensé.
participerà monjury de thèse. J'ai tiré pro t de sonpoint de vuesur lacalibration en nance qu'il aexposéàde nombreuses occasions.
JeremercieMonsieurDavidPerez,Responsabledusystèmed'informationauCIC,d'avoirtrouvé le nancement qui apermis l'achèvement de mathèse.
JeremercieMadameAliceTran,Responsabledusuividesdoctorantsàl'ENPC,des'êtreoccupée si aimablement demondossier dethèse etd'avoirassurélebondéroulement demasoutenance.
Je remercieMadameFabienneEspitalier,Secrétaire auCIC,de s'êtreoccupéeavecgentillesseet e cacité del'organisation de mes divers voyages :à Londres,Aussois, Barcelone,Agia Pelagia, Nice.
Ma recherche a béné cié des conférences auxquelles j'ai assisté lors de groupes de travail heb-domadaires organisés à l'ENPC, à l'Université de Marne la Vallée ainsi qu'à l'INRIA, sur les thèmes de recherches du projet Math . Je tiens donc à en remercier les organisateurs pour la qualité de cesséminaires.
Je remercie MonsieurClaudeMartini,Chargé derecherche àl'INRIA,dem'avoirinvitéà expo-ser une partie de mes travaux dansla session qu'il organisait avec MonsieurOlivier Pironneau, Professeur à l'Université Paris 6, au cours d'une conférence internationale de mathématiques (AMAM2003 à Nice).
L'enseignement deDEAdeMadameNicoleEl Karoui,Professeurà l'UniversitéParis 6,m'aété précieux pour aborder les mathématiques nancières. Je tiens à l'en remercier, également pour une conversation plus personnelle, lors d'un séminaire à Aussois sur le thème de la calibration en nance.
J'ai reçu l'aide aimable de personnes auxquelles j'exprime ici ma reconnaissance : je remercie MadameAgnèsSulem,Directeurderechercheàl'INRIA,pour unediscussionsurlecontrôle des processusavec sauts etpour les références qu'ellesm'a indiquées.
MonsieurDamienLamberton,Professeuràl'UniversitédeMarnelaVallée,MadameMarie-Claire Quenez,Maîtredeconférence àl'UniversitédeMarnelaVallée,etMadameAnna-LisaAmadori, Chercheur au IAC, CNR de Rome, ont eu la gentillessede me donnerdes articlesainsique des référencesbibliographiques.Jelesenremerciedonc.JeremercieMonsieurJean-FrançoisDelmas, Professeur à l'ENPC, de m'avoir prêté un ouvrage indispensable en statistiques et de m'avoir indiqué certains logiciels pour la simulation ou la présentation. Je remercie Monsieur Jacques Printems,Maître deconférence à l'Université Paris 12,pour unavisfortutileconcernant les es-paces deSobolev.Je remercie également MonsieurMichelCohende Lara,Professeur àl'ENPC, et MonsieurRoyCerqueti, Chercheurà l'Université de Rome, pour une référenceessentielle en analyse convexe. Je remercie Madame sandrine Hénon, Chercheur à l'Université de Marne la Vallée, d'avoir eulagentillesse de meremettre unarticle surlemodèle SABR.
CIC. Je le remercie pour cette réalisation commune, dont il a assumél'essentielde l'implémen-tation, etquim'a étéà lafoisagréableet pro table.
Je remercieMonsieurJacquesDaniel,IngénieursystèmeauCERMICS,de m'avoir aidéà instal-ler laversionLaTeX utiliséepour larédaction duprésent document.
Je remercie Monsieur Claude Thomas, Responsable du projet d'automate au CIC, de m'avoir éclairé sur quelques di cultés du C++ que j'ai rencontrées en implémentant un algorithme de calibration.
J'aiparticulièrementappréciél'ambianceconvivialequirègneauCERMICSaussibienqu'ausein del'équipedetradingsurdérivésd'actionsduCIC.Jeremerciedoncl'ensembledemescollègues, opérateursde marché, enseignantschercheurs, informaticiens, commerciaux etdocumentalistes, MadameSylvieBerte,Secrétaire auCERMICS,avec lesquelsilaétéagréable depassercestrois dernières années.
Je remercie les sympathiques collègues avec lesquels j'ai plaisir à travailler : Messieurs Jean-Franck Jallet, Gilles Morihain, Thomas Quillet. Pour le déjeuner du midi ou le café, j'ajoute Messieurs Claude Thomas, Edgar Mfoumoune, Nassim Mezouar et Philippe Savitch. J'inclue danscesremerciements MonsieurDidier MandinetMonsieurJulien Mossonpour lesnombreux restaurantschinoisouautres, qu'ilfaudra renouveler.
Parce qu'il a été agréable de faire évoluer ma thèse en leur compagnie, je remercie Messieurs les traders sur dérivés d'actions : Eric Savard, Frédéric Herbette, Jean-Louis Hue, Olivier Ca-zeaux,PatrickRolland;Messieurslesarbitragistes:ArnaudYvinec,DavidLenfant,EricRobbe, Gabriel Teodorescu; Mesdames et Messieurs les commerciaux : Adolphe Baraderie, Alexandra Giancarli, Alexandra Turkman, Georoy de Bouillane; Madame Agnès Bonafous, Responsable de la recherche à EIFB; Monsieur Nicolas Robin, chargé du contrôle de risques au CIC; Mes-sieurslestraderssurproduitsstructurés:Cha k Yassini,MounirBouba,PatriceFlambardainsi que Monsieur Olivier Maigne, Responsable de leur équipe; mon collègue chercheur de l'équipe de trading sur taux, Monsieur Hunor Albert-Lorincz, ainsi que Monsieur Pierre Yves Perret, Responsablede cette équipe.
Je remercie MessieursAntoninoZanette etBouhariArounaavec lesquelsj'aiconnudesinstants d'émotion intense maiségalement dechaleureuse détente à l'occasion deconférences internatio-nales.
Je souhaiteaussiremercier lescamarades chercheursqueje n'aipu citerjusqu'àprésentet avec lesquelsj'aieuleplaisirde partagerdesmomentsd'amitié, àl'occasiondegroupesdetravail,de repas derestaurants etde pots, ouentant quevoisindeleurs bureaux :Mesdameset Messieurs AdelBenHajYedder,AdrienBlanchet,AhmedKbaier,BrunoDeutsch,ChristopheChorro, Em-manuel Temam, Fabien Lejeune, Marie-Pierre Bavouzet, Maya Briani, Mohammed Ben-Alaya, Nicola Moreni, Pierre Cohort, Raaella Carbone, RalfLaviolette, Samuel Njoh, Tony Lelièvre, Vlad BallyetYousra Gati.
en France, aux Etats-Unis, au Canada et au Viêt-Nam, ainsique mes amis, mon Parrain ainsi quetoute safamille,Frédéric, Houcine et leurs familles,tous mesproches, tousceuxavec quije passe de bonsmoments.
Je désireassocieràmesremerciements lamémoiredemesGrands-Parentspaternelsetlapensée de maGrand-Mère maternelle.
J'aiunepenséeparticulièrepourBertrandetCorinne,avecquijepartagetantdejoiesfamiliales, le bonheur qu'ils vivent avec Isabelle et Jean-Marie, celui d'avoir vu naître et de voir grandir Julie, Olivier etLéa.
Je termine cesremerciements par ceux que j'adresse aectueusement à mamère Elisabethet à monpèreHoe.Cettethèse leur estdédiée.
Introduction 4
I Convergence d'une suite minimisante pour l'entropie relative 8
I.1 Condition nécessaired'existence au problème(P n
) . . . 9
I.2 Convergence verslasolution de(PL) souslacondition(C) . . . 10
I.3 Remarque sur l'entropie relative en tant que mesure de l'information et sur le principe du maximumd'entropie . . . 17
II Extension des résultats à des critères de minimisation plus généraux 20 II.1 Discussion deshypothèses surlecritère J . . . 22
II.2 Problème contraint . . . 23
II.2.1 Etude du problèmelimitesous lacondition(C) . . . 25
II.2.2 Convergence delasolution du problèmediscretsous lacondition(C) . . . 28
II.2.3 Prise encompte decontraintes d'équivalence delamesuredepricingetde lamesure apriori . . . 36
II.2.4 Résultats connus de c M-estimateurs . . . 38
II.3 Problème pénalisé . . . 39
II.3.1 Discussion deshypothèsessurlecritère . . . 41
II.3.2 Etude du problèmelimite . . . 42
II.3.3 Convergence delasolution du problèmediscret . . . 46
II.4 Calibration pénaliséesous une contraintede type ensemble. . . 49
II.5 Compléments :généralisation du choix de l'entropie danslecasoù lafonction de payoestbornée . . . 53
II.5.1 Problème contraint . . . 54
II.5.2 Pénalisationdu problème . . . 55
III.1 Caractérisation del'attracteur dessuites minimisantes . . . 59
III.2 Etudede lasolutiongénéraliséedanslecasd'untermedepénalisationquadratique 64 III.2.1 Critère pour quela solutionsoit usuelle . . . 64
III.2.2 Quelquesexemples. . . 66
III.2.3 Eetde lapénalisationsurlanature de lasolution. . . 68
III.2.4 Uncontre-exemple à l'emploid'une pénalisation forte . . . 70
IV Théorèmecentral limiteassociéau problème deminimisationd'une entropie 74 IV.1 Etude généralede l'erreur Monte-Carlo . . . 75
IV.1.1 Théorème central limite associéà lasuite des c M-estimateurs . . . 75
IV.1.2 Vitessede convergence de lasuite desestimateurs duprix . . . 77
IV.2 Casde l'entropie relative . . . 79
V Stabilité de la calibration 82 VI Approximation de la probabilité martingale calibrée minimale 89 VI.1 Convergence du problèmede martingales approché . . . 91
VI.2 Casmarkovien . . . 93
VI.2.1 Etude duproblème discrétisé entemps . . . 94
VI.2.2 Convergence par ra nement deladiscrétisation en temps . . . 97
VI.3 Approche pénalisée . . . 99
VI.3.1 Problèmede basede laprobabilité martingale . . . 99
VI.3.2 Cadre markovien . . . 101
VI.4 Caractérisation delaprobabilité martingalecalibrée minimale . . . 103
VII Prix d'options dans un modèle où la volatilité saute avec le sous-jacent 105 VII.1 Une modélisation dukrach . . . 105
VII.2 Cas d'unretour progressifde lavolatilité . . . 106
VII.2.1 Présentation du modèle. . . 106
VII.2.2 Valorisation d'uneoption européenne . . . 107
VII.2.3 Couverture :calculdu delta . . . 109
VII.3.2 Valorisation . . . 116
VII.3.3 Un calculde compensateur . . . 117
VII.3.4 Couverture . . . 121
VII.3.5 Expressiondéveloppée du smile . . . 125
VIIICalibration d'une diusion avec sauts 130 VIII.1 Position duproblème . . . 130
VIII.2 Choixd'unensemble deprobabilités martingales . . . 133
VIII.3 Pénalisation duproblème . . . 140
VIII.3.1 Formulation générale . . . 140
VIII.4 Formulation HJBdu problème . . . 142
VIII.4.1 Enoncé desrésultats . . . 143
VIII.4.2 Preuve desrésultats del'étude précédente . . . 146
VIII.5 Régularisation duproblème pénalisé etsolutiondansles espacesHölderiens . . 155
VIII.5.1 Espaces fonctionnels utilisés . . . 156
VIII.5.2 Solutiondel'équation delaprogrammation dynamiquedanslesespaces Hölderiens . . . 157
VIII.5.3 Preuve desrésultats del'étude précédente . . . 160
VIII.6 Casoù lamesurede Lévyestbornée . . . 175
VIII.6.1 Contrôle dépendant explicitement de lataille dessauts . . . 175
VIII.6.2 Contrôle ne dépendant pasexplicitement dela tailledessauts . . . 175
VIII.7 Résolutionduproblèmedecalibrationpourlesfonctionsdepayonondélocalisées177 VIII.7.1 Formulation HJBpour lesfonctionsde payonon délocalisées. . . 178
VIII.7.2 Régularité delasolution dusystème HJB . . . 180
VIII.7.3 Etude de ladélocalisation desfonctionsde payo . . . 181
VIII.8 Perspective de solutionsavec deshypothèsesde régularité faibles . . . 183
Conclusion et perspectives 185
Le marché des options, instruments de spéculation mais également assurances contre le mou-vement du prix des actions, s'est développé avec l'élaboration de modèles permettant de les valoriser.Lesoptions doivent ainsileursuccèsà laformuledeBlacketScholes quidonneleprix d'unCall (option d'achat)etdé nitlacouverture duvendeurpar l'achatd'unecertaine quan-tité de l'actif sous-jacent :la dérivée par rapport au prix de l'action ou delta est précisément cettequantitéquiassurelaréalisationd'unportefeuilleinsensibleàlavariationduprixdu sous-jacent. Cette approche a été une étape révolutionnaire dans le monde de la nance, succédant à l'approche du portefeuille moyenne-variance introduite par Markowitz (voir lapréface de [77 ] pour ce rappel historique).
Reprenant lesidées deBachelierémises en1900 danssathèse [7],lemodèlede BlacketScholes reposesurlemouvement Brownien dont l'importanceavait étéégalement reconnuedansles tra-vauxdeSamuelson [114].Ilaétél'outil mathématiqueindispensableàl'essoractuel desmarchés d'optionsnégociables,dontlepremier,leChicagoBoardOptionsExchange,aétéouverten1973, l'annéedelaparutiondesdeuxarticlesfondateurs[16]et[92 ].Onrenvoieà[66 ],[14 ] ainsiqu'au chapitre introductif de [96]pour avoirune idéeprécise dufonctionnement de cesmarchés. Ainsi qu'ilest par exemple souligné audébut dusecond chapitre de [14],laméthode de pricing proposée de façon indépendante par Black etScholes d'une part et Merton d'autres part, ore une solutionauxdeuxproblèmesmajeurs surlesquelsseheurtaient leursprédecesseurs:d'une part,aulieud'anticiperl'évolutionfuturedel'action,onendéterminelecomportementaléatoire en mesurant sa volatilité. D'autre part, l'actualisation ramenant au présent lavaleur future de l'action doit sefaireau tauxsans risque:c'est leprincipe delavalorisation risque-neutre. Ces deux principes sont la base des extensions de la théorie de Black, Scholes et Merton et permettent de les développer danslecadrepuissant desmartingales selon [62] et[63 ]ainsiqu'il est exposédans [96] par exemple.Le besoin de telles extensions s'est naturellement créé face à l'incapacité qu'a le modèle de Black-Scholes de rendre compte de phénomènes empiriquement observéstels que l'anticipation desfortes baisses des actions plutôt que celledes fortes hausses (le marché est pessimiste).
De manièreprécise, des testsstatistiques ont étémenés et ont abouti à contredire lefaitque le logarithmedu prixdu sous-jacent suitune loinormale etqueses incrémentssont indépendants, commel'impliqueraient leshypothèsesdumodèle :cesaspectssontdiscutés audernierchapitre de [98 ]ainsiqu'ausixièmechapitre de[96] etl'on peutciter[91 ]dont l'étudemontrequeleprix d'uneactionestassez dèlementdistribuésuivantuneloideLévytronquée,ainsiquelesuggérait Mandelbrot dans[89]quiproposait cetypedeloisditesàqueueépaisse enremplacement dela loideGauss.Demême,dans[57]aétéétablieunecorrélationentrelesincrémentsdulogarithme du prix siletemps d'incrémentation était inférieur au quartd'heure.
Le marché constateenfaitdirectement l'écartducomportement duprixd'uneactionaumodèle de Black-Scholes par l'impossibilitéde retrouverles prixdesoptions dumarché écritessurcette
sant cette formule par rapportà lavolatilité, on calcule pour chaque prix d'option lavolatilité implicite correspondante etl'onobtient une courbe non constante dont laforme caractéristique luidonne lenomdesmile.D'unpointde vuemathématique,l'impossibilitéderetrouver lesmile dumarchéenutilisantlaformuledeBlack-Scholessecomprendpuisquel'onnedisposequed'un seul paramètre avec la volatilité.
Pour reconstruire le smile, de nombreux modèles ont donc été proposés, rangés sommairement dans les deux grandes familles que sont les modèles à volatilité stochastique et les modèles à sauts, une combinaison des deux étant souvent préférée a n d'améliorer la structure du smile obtenu. Dans l'utilisation pratique de tels modèles, il est nécessaire de les calibrer, c'est-à-dire d'associerà uneméthode numérique de calculdeprix une procédured'intégrationdu smilea n de déterminerdesprix en cohérence avec lesdonnées dumarché.
Lathèse secomposedetroispartiesindépendantes,présentantdesapprochesdiérentesdu pro-blème de lacalibration.
Lapremièrepartieestconstituéedesixchapitres. Elleabordeunetechniquesimpleproposéepar Avellaneda& all [6 ] a n de calibrer le pricing d'options par la méthode de Monte-Carlo. Cette dernière est intéressante parce que son implémentation est simple et elle s'impose dès que les méthodes déterministes se révèlent inopérantes, typiquement en grande dimension. Sa mise en oeuvre et ses champs d'applications sont exposés dans l'ouvrage élémentaire [61] et des tech-niques modernes desimulationsont présentées dans[84] et[78 ] par exemple.
Le développement d'une technique de calibrationappropriée estdonc crucial. Selon lesidées de [6],ils'agitd'utiliserlaminimisationdel'entropierelativea ndedéterminerdespoidsàaecter aux trajectoires Monte-Carlopour retrouver lescontraintes de prix.La valorisation desoptions sefait alors grâceau Monte-Carlo pondéré.
Deux problèmes théoriques ont motivé l'étude de cette partie. D'une part, la convergence des prix était àprouver. D'autrepart, la question de l'absence d'opportunitéd'arbitrage seposeet nécessitait d'être approfondie.
Sous une condition géométrique quedoivent véri er les prix de calibration, pour quecette der-nière soit possible, on a d'abord obtenu la convergence attendue en établissant un résultat de M-estimateurs. L'ensemblede cesrésultatsa faitl'objetde lapublication [71].
L'extension des résultats précédents a été faite dansdeux directions :d'abord, en relâchant les contraintesdecalibration, onestconduit àlaminimisationsanscontraintede l'entropie relative pénalisée,ce qui éviteen particulierd'exiger une hypothèse surlesprix de calibration.
En second lieu, on peutpréciser des conditions générales pour que les résultats de convergence subsistent sil'on adopteun critèreconvexe autreque l'entropie relative.La décisionde changer de critèrepeut sejusti erprécisément avecdesargumentsde nature nancière[10]. Danslecas où onnesupposepasbornéelafonctiondepayodesoptionspar rapportauxquellesoncalibre, on a cependant commencé à étudié une famille de critères très semblables à l'entropie relative. Une discussion complémentaire autour de résultats de la littérature permet toutefois d'élargir la classe des critères convenables dès que le payo des options de calibration est borné, ce qui permetd'envisager d'autres fonctionnelles convexesproposées danslathéoriedes problèmes in-verses.
Un des phénomènesintéressants mis en évidence par l'étude de laconvergence du Monte-Carlo pondéréest la perte potentielle de calibration à lalimite, du simple faitque, même dansle cas pénalisé, iln'y a pastoujoursde solution au problèmede calibrationlimite, formulé en rempla-çant laloi empiriquedu sous-jacent par laloi souslaquelleles tirages sontfaits.
I-projection généralisée introduite par Csiszar, ce qui rend encore plusnaturelle laconvergence obtenue. Cephénomèneestnotédans[71]et l'onen étendlaportéeaucasde l'entropie relative pénaliséeen mettant l'accent surce quipeutempêcherleproblèmede calibrationlimited'avoir une solution et donclalimite dessolutions Monte-Carlo d'êtrecalibrée.
Cette situation pathologique ne se rencontre cependant pas dans le cas où les options de cali-bration sont de payo borné par exemple. Sousdes conditions générales, on peut alors établir un théorèmecentral limite permettant d'associerune erreurau prix,etl'ondémontreensuitela stabilité de la méthode par rapport aux variations des prix de calibration ainsiqu'aux erreurs numériquesd'optimisation.
Quand on souhaite imposer la condition de parité Call-Put par exemple, il n'est toutefois plus gratuit de supposer que les contraintes sont bornées.C'est donc dans le cas d'un modèle d'ac-tif borné que l'on termine l'étude sur la question de l'absence d'opportunité d'arbitrage. Cette dernière estmotivée par laperte dela propriétéde martingalité du sous-jacent actualisé quand sa loi est donnée par la solution du problème de calibration limite (sous réserve d'existence). En ajoutant des contraintes de martingalité, on est conduit à un problème de convergence de moments étudié notamment par Borwein & Lewis [21] [22] ainsi que Teboulle & Vajda [123 ]. Le lien avec lesmartingales restait à faire etl'on reconnait également le rôlejoué par l'entropie relative quandlapropriété de Markovesten jeu.
Dans la deuxième partie, on se propose d'expliquer le smile en modélisant d'un point de vue pratique le phénomène de krach. De façon assez réaliste, on peut considérer que ce dernier se traduitparunebaissebrutaledusous-jacentaccompagnéeparunsautàlahaussedelavolatilité dont leretour à la normale se fait brusquement, au bout d'un temps aléatoire, tandis que l'on adopte nalementlemodèleBlack-Scholesendehorsdecespériodescritiques.Cemodèleestl'un desplussimplesintégrant unevolatilitéstochastiqueavec dessauts etl'onsaitexprimerl'erreur quadratiquedecouverture desoptionsstandard,ladi culté techniqueétant essentiellementdûe aux temps de retour de la volatilité.On obtient en n undéveloppement approché du smilequi est utilepour calibrer lemodèle.
Dans la dernièrepartie, on étudie la calibration d'unmodèle où des sauts de l'actif sous-jacent se superposent à un terme de volatilité locale. De nombreux travaux ont été menés en vue de la calibration du modèle à volatilité locale qui,parmi les modèles à volatilité stochastique, est la variante laplus simple du modèle de Black-Scholes :elle l'enrichit en autorisant lavolatilité à dépendre de façon déterministe du sous-jacent et du temps et elle a été popularisée par la formule de Dupire. Celle-ci n'est cependant qu'un outil théorique puisqu'elle exige de disposer d'unenappecontinueetmême lissedeprixdecalibration.Sil'onveuts'aranchirdel'arbitraire de l'interpolationetdulissagede lanappede cesprix,lesméthodesauxquellesonpeutrecourir pour déterminerlafonction de volatilitélocaleconduisent à laminimisation d'uncritèreetl'on peutciterpar exemple[82],[67 ], [17],[27 ] ainsique[5].Dansce dernierarticle,lecritère retenu dérive de l'entropie relative mais conduit à un comportement insatisfaisant de la surface de volatilité aux maturités des options de calibration. Par ailleurs, un travail récent [113 ] suggère de surmonterce problème grâceà unprocédéde régularisation des payode cesdernières. Pour expliquer la structure du smile pour les maturités courtes, il est important d'inclure des sauts danslemodèleainsiquecela ad'abord étéproposédans[93 ].Lesdéveloppementsrécents introduisent les sauts à partir des processus de Lévy et il est ainsi construit dans [35] une méthode de calibration par minimisation de l'entropie relative pénalisée pour les processus de
une volatilité locale, il apparaît également naturel de retenir le critère de l'entropie relative pénalisée pour lacalibration du modèle, ce qui implique que cette dernièreporte surla mesure intensité des sauts au lieu de la fonction de volatilité locale alors déterminée à l'avance. En s'inspirant destechniquesde [113 ] issues de lathéorie HJBdu contrôle optimal, on arrive à un résultat d'existence et de stabilité de lasolution du problème de calibration. Defaçon précise, avec des hypothèsesde type Holdérien surles coe cients du modèle ainsique sur les fonctions depayodesoptionsdecalibration, larégularité delacalibrationparminimisationdel'entropie relative est uneconséquence du théorèmedesfonctionsimplicites.
Convergence d'une suite minimisante
pour l'entropie relative
Avellaneda & all [6] ont proposé une méthode de type Monte-Carlo pour calibrer des modèles d'actifssous-jacentsde manièreàretrouverdesprixd'optionsliquides.La nalitéestdepouvoir donner unprix àdes options peu liquidestouten restant cohérent avec les prix dumarché. Pour xer lecadre de l'étude, on considère que le processus sous-jacent prendses valeurs dans un espace S, supposépolonais pour lasuite, suivant une loi a priori , selon laquelle on simule une suite de variables indépendantes (X
i )
i1
surun espaceprobabilisé (;A;P).
La méthode proposée consiste alors à corriger la méthode de Monte-Carlo en construisant une probabilité a posteriori compatible avec les prix C
1 ;:::;C
d
observés d'un nombre d d'options dé nies par leurs fonctionsde payof
1 ;:::;f
d
:S!R, supposées boréliennes. La correction se fait en aectant aux n premiers tirages X
1 ;:::;X n des poids p 1 ;:::;p n positifs et de somme 1, de façon à satisfaire à 81 j n;
P n i=1 p i f j (X i ) = C j
, en supposant que les payo ont été actualisés. Quitte à retrancher C =(C
1 ;:::;C d )) àf =(f 1 ;:::;f d ),on supposera également C=0.
Puisque le choix de lamesure a priori re ète l'idée que l'on se fait du comportement du sous-jacent,ilestsouhaitablequelapondérationretenuesoitaussiprochequepossibledela pondéra-tionuniforme81in; p
i
=1=n,cequiimposelechoixd'uncritèrequiesticilaminimisation de P n i=1 p i ln(p i ).
Il s'agit de la maximisation de l'entropie des p i , dé nie par P n i=1 p i ln(p i
), mais cela revient égalementàlaminimisationdel'entropie relativeH(
n k n )de n = P n i=1 p i Æ Xi parrapportàla mesure empirique n = 1 n P n i=1 Æ X i
,où l'on dé nit,pour deuxmesures et 0
del'espace P(S) desprobabilités surS :
H(k 0 )= R ln( d d 0
)d si estabsolument continue par rapportà 0 +1 sinon
Avec cesnotations, l'approche décriteplushaut revient àrésoudrele problème
(P n ) trouver n 2P(S)qui minimise H( n k n ) sousla contrainte R fd n =0
On remarque que la convexité stricte de l'entropie implique que ce problème a au plus une solution.
Laquestionquisepose,quin'estpasabordéedans[6],estdoncdesavoiràquelleconditionavec une probabiliténonnulle(P
n
)admet unesolutionpour nassezgrand,etégalement d'étudier le comportement asymptotiquede cette solutionquandn augmente.
(PL) trouver 2P(S) quiminimise H(k)sous lacontrainte R
fd=0
Iciencore, avec laconvexité strictede l'entropie, l'unicitéde lasolutionest acquise. D'après Csiszar[38],s'ilexisteune probabilité 2P(S) tellequeH(k)<+1 et
R S
fd=0, alors il existe unsous-espaceE de R
d et 2E véri ant 0< R S 1 E (f(x))e :f(x) d(x)<+1tels que toute suite minimisante pour le problème (PL) converge au sens de la norme en variation vers ladistribution deBoltzmann d
E (x)=1 E (f(x))e :f(x) d(x)= R S 1 E (f(y))e :f(y) d(y). Si(PL) admet une solutionalors elle est égaleà
E
. Mais ilsepeutque
R S
fd E
6=0;on ditalors que E
estlasolution généraliséede (PL). Cetteprésentationduproblèmereprenddemanièredéveloppéelanote[71]établissant la consis-tance dela méthode de calibrationpar minimisation d'entropie relative.
Dans une première partie, on donne une condition nécessaire pour qu'avec probabilité stricte-mentpositive,il existen t.q.(P
n
) admet une solution.
Dans une seconde partie cette condition est supposée satisfaite et l'on montre alors l'existence de lasolution généraliséede (PL),en lacaractérisant.
Onmontreensuitequep.s.9N t.q. 8nN (P n
)admetunesolution n
quiconvergeétroitement vers lasolutiongénéralisée de (PL) lorsquen!+1.
I.1 Condition nécessaire d'existence au problème (P n
)
Le lemme suivant donne une condition nécessairepour qu'avec probabiliténon nulle, il exite n t.q. (P
n
) admetune solution :
Lemme I.1.1 Pour que P(9n 1 et n 2P(S) t.q. H( n k n )<+1 et R S fd n =0) > 0, il faut qu'il existe un sous-espace vectoriel E de R
d tel que si f jE désigne la restriction à E de l'image de par f, (C) 8 > < > : 02Int E (Conv(Supp( f jE
)))l'intérieur dans E de l'enveloppe convexe du supportde f jE 82P(S) absolument continue par rapportà t.q.
R kfkd<+1 et R S fd=0; on a (f 1 (E))=1 . Preuve : Soit A=f9n1 et n 2P(S) t.q.H( n k n )<+1et R S fd n =0g. Onsuppose doncP(A)>0.
Pour !2A, n
est absolument continue par rapport à n
etil existe donc desnombres p i ; 1 inavec p i 0et P n i=1 p i =1,tels que n = P n i=1 p i Æ X i .
LaconstructiondeEs'eectueparunerécurrencedescendantesurladimensiond'unsous-espace F deR
d
quel'on initialiseen posant F =R d
. Supposons que pour P-presque tout ! 2 A,
n = P n i=1 1 F (f(X i ))p i Æ X i
, propriété qui est bien sûr véri ée àl'initialisation. Alors R S fd n = P n i=1 1 F (f(X i ))p i f(X i
)=0cequiimpliqueque02Conv(ff(X i ); i2[1;n]g\ F). Comme p.s.8m1,Conv(ff(X i ); i2[1;m]g\F)Conv(Supp( f jF
)),onen déduitquepour P-presque tout! 2A 02Conv(ff(X i ); i2[1;n]g\F)Conv(Supp( f jF )): (I.1.1)
Si02Int F (Conv(Supp( jF ))), onposeE =F. Sinon02Fr F (Conv(Supp( f jF ))).
Dans ce cas, soit H un hyperplan d'appui de Conv(Supp( f jF
)) (dans F) en 0 d'équation :y=0 avec :y >0pour touty2Conv(Supp(
f jF ))nH. Pour ! 2 A t.q. (I.1.1) et n = P n i=1 1 F (f(X i ))p i Æ X i , comme : R S fd n = 0 ce qui s'écrit aussi P n i=1 p i 1 F (f(X i )) :f(X i )=0,on a: 81in; p i >0)f(X i )2H
Ainsi pour presque tout ! 2 A, n = P n i=1 p i 1 H (f(X i ))Æ X i
et l'hypothèse de récurrence est véri ée pour lesous-espaceH avec dim(H)=dim(F) 1.
Comme lorsque F est de dimension nulle, Conv(Supp( f jF )) = Int F (Conv(Supp( f jF ))), E est biendé ni par ce procédé.
NotonsquenousavonségalementmontréquepourP-presquetout!2A, n = P n i=1 1 E (f(X i ))p i Æ Xi et n (f 1 (E))=1: (I.1.2)
Par une adaptation du raisonnement de récurrence descendante qui précède, on montre que (f
1
(E))=1 si est uneprobabilité absolument continue par rapportà t.q. R
S
fd=0
Onverra plusloinquelacondition(C) dé nitlesous-espaceE de manièreunique,ce quin'est pas complètement évident puisque le choix de l'hyperplan relatif d'appui n'est pas forcément unique danslaconstruction récursivede lapreuve précédente.
Onpeut cependant supposerquele choix de E est arbitrairepourl'instant.
I.2 Convergence vers la solution de (PL) sous la condition (C)
On supposedésormaisque E est unsous-espace vectoriel de R d
t.q. lacondition nécessaire(C) énoncée dansleLemme I.1.1 estvéri ée.
LatransforméedeLaplace2E7!Z()= R 1 E (f(x))e f(x)
d(x)estalorsstrictement convexe sur E, puisque, si ce n'était pas le cas,
f jE
serait concentrée sur un hyperplan relatif de E, en contradiction avec 02Int E (Conv(Supp( f jE ))) . Notons queinf
2E Z()Z(0)1. De toute suite ( n ) n
d'éléments de E non bornée on peut extraire une sous-suite ( n 0 ) n 0 t.q. k n 0k!+1 et n 0=k n 0k! .
Forcément,E n'est pas réduit à f0get lacondition 02Int E (Conv(Supp( f jE ))) entraîne alors que lim n 0 Z( n 0) =+1.
En eet,puisqueE estde dimension non nulle,cette condition entraîne d'abord le faitquel'on peuttrouvera; >0tels que:
f jE
( x>2)>2a Il existe alors unborélienbornéU de E tel que
f jE
(x2U; x>2)>a
etl'on en déduit,pour n 0 assezgrand : f jE x2U; n 0 k n 0 k x> >a
Z( n 0)ae k n 0 k !+1
Par conséquent, toute suite minimisante pour Z() est bornée et on peut en extraire une sous suite qui convergevers unélément
2E. De plus, par le lemme de Fatou, Z(
) = inf 2E
Z() et la stricte convexité de Z() entraîne l'unicité de
.
D'après Jupp & all [72 ], on en déduit que la solution généralisée du problème (PL) où est remplacée par E = jf 1 (E) =(f 1
(E)) existeetqu'elleest donnéepar
d E (x)=1 E (f(x)) e :f(x) d(x) R S 1 E (f(y))e :f(y) d(y)
En particulier, il existeune probabilité t.q. H( j E
)<+1et R
S
fd =0. Comme pour toute probabilité t.q. (f
1 (E)) =1,on a H(j)= H(j E ) ln(f 1 (E)), on en déduitqueH( j)<+1,donc que(PL)admet une solutiongénéralisée.
En outre, d'après le Lemme I.1.1, une suite minimisante pour le problème (PL) est constituée de probabilités t.q.(f
1
(E))=1.
C'est doncaussiunesuiteminimisante pour leproblème(PL)où estremplacée par E
.Ainsi, Proposition I.2.1 Sous(C),il yaexistence dela solutiongénéralisée duproblème (PL)etelle est égale à
E
.
En outre, une condition su sante pour que E
soit solution de (PL) i.e. véri e R S fd E =0 est que 2Int E (f2E; Z()<+1g). Si # 2 Int E (f 2 E; Z() < +1g), alors Z est C 1 au voisinage de # et r Z(#) = R S 1 E (f(x))f(x)e #:f(x) d(x).
La deuxième assertion de laProposition, s'obtient en écrivant la conditiond'Euler d'optimalité en
.
Pour nirsurlasolution généralisée,on voitquel'expressiondecette dernièrerègle leproblème de l'unicitédusous-espaceE puisque, avec lacondition(C),c'estlesous-espaceengendrépar le support del'image par f de
E
:l'unicité de lasolutiongénéralisée impliquel'unicité deE. La caractérisationde lasolutiongénéralisée de(PL) quiprécéde vanouspermettred'obtenir le comportement asymptotiquede lasolution de(P
n
)pour n!+1 :
Théorème I.2.2 Sous (C), presque sûrement il existe un rang N à partir duquel le problème (P
n
) admetune solution n
et la suite ( n
) nN
converge étroitement vers la solutiongénéralisée
E
du problème (PL).
De manière générale, si ':S !R est mesurable bornée, on obtient P p.s. Z S 'd n ! Z S 'd E
Preuve : La propriété 0 2 Int E
(Conv(Supp( f jE
))) permetde montrer l'existence de A 0 t.q. P(A 0 )=1 et8!2A 0 ,9N t.q.8nN,02Int E (Conv(ff(X i ); 1ing\E)). En eet,avec l'hypothèse (C), ilexiste un voisinagepolyèdrique de 0 telque
Conv(Supp( f jE
))
Les sommets de étant desbarycentres de points de Supp( f jE
), on en déduit qu'il existe une famille (x i ) 1ip de pointsde Supp( f E ) telle que: 02Int E (Conv(x i ;1ip))
Puisque 8>0; 81ip; f (B(x i ;) E)>0,on obtient, presque-sûrement : 81ip; 9n i >0; f(X n i )2B(x i ;) \ E
PourassezpetitetavecleLemmeI.2.3,énoncéaprèscettepreuve,ona0 2Int E
(Conv(ff(X i
); 1ing\E)), dèsquen estsupérieurà N =max (n
i
; 1ip), et celaprouve ce quel'on voulait.
En reprenant le raisonnement eectuée pour la Proposition I.2.1, on obtient que pour ! 2 A 0 et nN lasolution généraliséedu problème(P
0 n ) analogueà (P n ) maisavec n remplacée par P n i=1 1 E (f(X i ))Æ Xi = P n i=1 1 E (f(X i ))est n = P n i=1 1 E (f(X i ))e n:f(Xi) Æ X i P n i=1 1 E (f(X i ))e n:f(X i ) ; où n
est l'unique point où Z n :2E ! P n i=1 1 E (f(X i ))e :f(X i )
atteint sonminimum. En adaptant la preuve du Lemme I.1.1 (voir (I.1.2) ), on obtient A
1 A 0 t.q. P(A 1 ) = 1 et 8! 2A 1 ,8m1,8 m 2P(S) t.q.H( m k m )<+1et R S fd m =0, m (f 1 (E))=1. Donc 8! 2A 1
, 8nN,toute suite minimisante pour (P n
) estaussi minimisante pour (P 0 n
) ce qui impliqueque lasolutiongénéralisée de(P
n ) est n . Comme 82E; Z n ()<+1,on a R S fd n =0 i.e. n
estsolution classiquede (P n
). Comme(f
1
(E))>0etqueSestpolonais,encombinant desrésultatssurlaméthodedurejet etlaloi fortedes grandsnombres, on obtient A
2 A 1 avec P(A 2 )=1 t.q.8!2A 2 , P n i=1 1 E (f(X i ))e :f(X i ) P n i=1 1 E (f(X i )) ! n!+1 R S 1 E (f(x))e :f(x) d(x) (f 1 (E)) = Z( ) (f 1 (E)) (I.2.1) n X i=1 1 E (f(X i ))Æ (X i ;f(X i )) = n X i=1 1 E (f(X i
))converge étroitement vers (id;f) jf 1 (E) =(f 1 (E)) (I.2.2) où (id;f) jf 1 (E)
désigne l'image delarestriction jf 1 (E) de à f 1 (E)par x2S!(x;f(x)). Dans ce qui suit, nous xons ! 2 A
2
et nous allons montrer par un raisonnement de type convergence de M-estimateursque
n ! n!+1 . Oncommence par montrer par l'absurde que(
n )
n
est bornée. Sice n'est paslecas, on extrait unesous-suite (
n 0) n 0 avec j n 0j!+1et n 0=k n 0k! . En utilisant 0 2 Int E (Conv(Supp( f jE
))) et (I.2.2) , on peut alors montrer que pour n 0 assez grand R S n 0:f d n 0
>0, cequi constitue unecontradiction.
De façon plusprécise, la dimension de E est nécessairement non nulle dansce cas et l'on peut reprendreun raisonnement précédent enconsidérant unborélienbornéU de E tel que:
f jE
(x2U; x>2)>a
où aet sontdes nombresstrictementspositifssu samment petits.
Avec laconvergence étroite(I.2.2) , on aégalement, en prenant pour U unouvert relatifde E :
liminf f n 0 jE (x2U; x>2)>a
Onen déduit que,pour n 0 assez grand, on a f n 0 jE x2U; n 0 k n 0 k x> >a Comme pourx0; xe x
1=e, on endéduit,pour n 0 assez grand Z n 0 fe n 0f d n 0 1 e +ak n 0ke k n 0k !+1
etdonc,pourn assezgrandpour queledeuxième membrede l'inégalitéprécédentesoit stricte-mentpositif: Z n 0fd n 0 >0
Le résultat estalors prouvé et( n
) n2N
estdonc bornée. Soit maintenant
1
lalimite d'unesous-suiteconvergente de( n
) n
quel'on indexetoujours par npour simpli er lesnotations.
En appliquant le lemme de Skorokhod à (I.2.2) , on obtient sur un espace de probabilité auxi-liaire (G;G;Q) des variables (Y
n ;W
n
); n N (resp. (Y;W)) de loi P n i=1 1 E (f(X i ))Æ (X i ;f(X i )) = P n i=1 1 E (f(X i ))(resp. (id;f) jf 1 (E) =(f 1 (E)))t.q. Qp.s., (Y n ;W n )!(Y;W). L'égalité R S fd n =0 entraîne E Q ( n :W n e n:Wn )=0. Comme pour w0; we w
1=eon en déduit quesup nN E Q (j n :W n je n :W n
)2=e, puis que lasuite de variables (e n :W n ) nN est équiintégrable. Donc pour ':S !R continue bornée,
lim n!+1 E Q ('(Y n )e n :W n )=E Q ('(Y)e 1 :W )= Z S 1 E (f(x))'(x)e 1 :f(x) d(x)=(f 1 (E)): (I.2.3) Or pour nN, P n i=1 1 E (f(X i ))e :f(Xi) P n i=1 1 E (f(X i )) = Z n ( ) P n i=1 1 E (f(X i )) Z n ( n ) P n i=1 1 E (f(X i )) =E Q (e n:Yn ):
En utilisant (I.2.1) et(I.2.3) avec '1 pour passer à la limite dansles membres extrêmes de cette inégalité, onobtient Z(
)Z( 1 ). Comme
estl'unique point où Z atteint sonminimum, 1
=
. Pour':S !Rcontinuebornée,onconclutavec(I.2.3)que
R S 'd n =E Q ('(Y n )e n :W n )=E Q (e n :W n ) ! n!+1 R S 'd E .
Si ' : S ! R est mesurable bornée, on obtient que P p.s. R S 'd n ! R S 'd E , en raisonnant commeprécédemment maisen remplaçant (I.2.2)par laconvergence étroitede
P n i=1 1 E (f(X i ))Æ ('(Xi);f(Xi)) = P n i=1 1 E (f(X i )).
Audébutde lapreuve précédente, on aeu recoursàun résultatintermédiaire qui reposesurle lemme suivant.
Lemme I.2.3 SoitunpolyèdreconvexedeE,d'intérieurnonvideetdesommetsx i ; 1ip. Si 02Int E () alors 9>0; 8; (8i; y i 2B(x i ;) \ E))02Int E (Conv(y i ;1ip))
Preuve : On peutsupposer iciE =R d
,sans perte degénéralité. Sid=0, lelemme estimmédiat.
Sid1,onchoisit = 1 4 d(0;Fr())>0 et . En introduisant lepolyèdre 0 de sommets(y i ;1ip)on ad'abord 8v2 0 ; 9u2; ku vk (I.2.4)
9( i ;1ip)2R p + ; p X i=1 i =1; p X i=1 i y i =v Soit u= p X i=1 i x i 2 Alors ku vk p X i=1 i ky i x i k d'oùl'a rmation.
Demanière toutà faitsymétrique, ona également :
8u2; 9v 2 0 ; ku vk (I.2.5) Montrons ensuite 8v2Fr( 0 ); d(v;Fr()) (I.2.6) Soit v2Fr( 0
) etsoit un hyperplan d'appui de 0
env,d'équation :
(x v)=0
avec vecteur deR d
denorme 1 telque
8x2 0
; (x v)0
Avec la relation (I.2.5), on voitalors que pour 0
>, estcontenu dans le demi-espace dé ni par :
(x v)> 0
etdont onnote H l'hyperplanfrontière. Soit wla projection orthogonalede v surH :
B(v; 0 ) \ H=fwg Alorsw62.
Onsedonne u2 véri ant larelation (I.2.4)etdonc a fortiori:ku vk 0 . Ainsi: [u;v]B(v; 0 ) Par connexité de,on a : 9z2[u;w] \ Fr() etl'on conclut d(v;Fr()) 0
Ona donc prouvé (I.2.6) puisque 0
estarbitrairement proche de . En appliquant (I.2.5), introduisonsA2
0
tel qued(0;A). Alors, ona
8v2Fr( 0
); 8u2Fr(); d(A;v)d(A;Fr()) d(u;v)
La relation (I.2.6)donne
d(A;Fr( 0 )) d(A;Fr()) d(0;Fr()) d(0;A) d(0;Fr()) 2 d(0;Fr()) 2 (I.2.7)
B A; d(0;Fr()) 2 0 Comme B(0;)B(A;2)B A; d(0;Fr()) 2 on obtient laconclusion.
Sil'on souhaite étendre la convergence à des fonctions de payo non bornées, il faut imposer une conditiond'intégrabilité supplémentaire.
Proposition I.2.4 Supposons véri ée la condition(C). Si est une fonction réellesur S telleque :
2Int E u2E; Z 1 E (f(x)))e uf(x) j (x)j(dx)<+1
alors P-presque sûrement
lim n!1 n ( )= E ( ) Preuve : On alamajoration : j P n i=1 1 E (f(X i )) (X i )e nf(X i ) n Z 1 E (f(x)) (x)e f(x) (dx)j j P n i=1 1 E (f(X i )) (X i )e f(X i ) n Z 1 E (f(x)) (x)e f(x) (dx)j + P n i=1 1 E (f(X i ))j (X i )jje nf(Xi) e f(Xi) j n (I.2.8)
La loi fortedesgrands nombresmontre quele premierterme tendvers 0P-presque sûrement. SiE estréduit à f0g,on a 8n;
n =
=0 etledeuxième termeestnul. Sinon, pour pouvoir majorer le second terme, on considère 2
d 0 vecteurs l de E épuisant les relations l = + d 0 X i=1 e i où (e i ;1id 0
)est une baseorthonormée deE, supposée de dimension d 0
1 etoù>0 est assez petitpour satisfaireà :
B( ; p d 0 ) \ E Int E fu2E; Z 1 E (f(x)))e uf(x) j (x)j(dx)<+1g Ona alors larelation 8u2B( ;) \ E; 8y2E; e uy 2 d 0 X i=1 e i y
8u2B( ;) \ E; 8y2E; je uy e y jku kkyk 2 d 0 X i=1 e i y
Ainsi, pour nassez grand, compte tenu de la convergence p.s. de n
vers
,le deuxième terme de (I.2.8)est majorépar :
k n (!) k 2 d 0 X j=1 P n i=1 1 E (f(X i ))j (X i )jkf(X i )ke j f(X i ) n
dont lalimiteestnulle.
Ona donc prouvé laconvergence p.s.
lim n!1 P n i=1 1 E (f(X i )) (X i )e nf(Xi) n = Z 1 E (f(x)) (x)e f(x) (dx)
et nalement, onprouve lerésultat avec la limite p.s.
lim n!1 P n i=1 1 E (f(X i )) (X i )e nf(Xi) P n i=1 1 E (f(X i ))e nf(X i ) = R 1 E (f(x)) (x)e f(x) (dx) R 1 E (f(x))e f(x) (dx
puisque laconvergence p.s.du dénominateur est établieavec leThéorème I.2.2.
Remarque I.2.5 LecasoùestlaloilognormalesurR (densité1 fx>0g exp( ln(x) 2 =2)=x p 2) et la contrainte est donnée par f(x) =x c avec c>E(X
1 ) =
p
e fournit un exemple (inspiré du Call dans le modèle de Black-Scholes en nance) où la solution généralisée de (PL) qui est égale à , nesatisfait pas la contrainte.
Pourcontournerleproblèmesoulevédanscettedernièreremarque,ilestdoncindiquédecalibrer par rapportà desPut plutôt qu'àdes Call.
Il n'est cependant pas possible de se contenter de Put dèsque l'on souhaite que la relation de parité Call-Put soit véri ée. La perte potentielle de martingalité du sous-jacent actualisé sous la mesure
E
estun véritable problèmeauquel on peut répondrepartiellement enajoutant des contraintes de martingalité approchée. Si l'on ne borne pas ces contraintes, on voit qu'il est possible de rencontrer le phénomène de solution généralisée. L'étude de l'approximation de la martingalité seradonc approfondie ultérieurement danslecasoù lesous-jacentest borné.
Exemple numérique
Donnons à présent une illustration du résultat de convergence établi au Théorème I.2.2. On considère le modèle de Heston où l'actif unidimensionel (S
t )
t0
évolue avec une volatilité sto-chastique.Cemodèleincorporelephénomènederetouràlamoyenne quel'onchercheengénéral à capturer en nance. Dansce cadre, on résout numériquement le systèmed'équations diéren-tiellesstochastiques dS t = S t (dt+ p V t dW S t ) dV t = (m V t )dt+ p V t dW S t + p 1 2 dW V t (I.2.9) où W S et W V
sont deux processus de Wiener indépendants. La loi a priori est une version discrétisée par leschémad'Euler de ce modèle.
0.567 3.517 10.284 19.982 T=0.5 0.515 3.393 10.159 19.906 1.043 3.928 9.439 17.228 T=1.0 0.967 3.778 9.248 17.046
Fig. I.1Valeursdescontraintes
Ici, on se xe = 0:1; = 0:1; m = 0:1, = 0:5, S 0 = 100 et p V 0 = 0:2. Le modèle a prioriestdeplussupposéêtreuneprobabilité risqueneutrederéférence,c'est-à-direqueletaux d'actualisation r vaut .
On calibre ensuite le modèle en se donnant des prix d'options. A n de réduire le temps des simulations, on se limite à huit prix de Put arti ciellement générés sous un modèle proche du modèleapriori.Onadoncreprislemodèle(I.2.9)avecdesvaleursdeparamètresidentiquessauf cellede lavolatilitéinitiale xéeà
p V
0
=0:205.Lescontraintesont étéobtenuepar laméthode de Monte-Carlo. Remarquons que l'onaurait également puutiliserune formulefermée [65 ]. La faible diérence entre les deux volatilités initiales su t à produire des écartsde prix appré-ciables.OnpeutleconstatersurletableaudelaFigureI.1oùlescontraintessurleshuitPutsont consignées en gras. Des prix calculés par Monte-Carlo sous la loi a priori pour 100 000 tirages apparaissent en italiqueetmontrent lanécessitédelacalibration.
Pour tester la méthode de calibration, on choisit un Put de strike K = 105 et de maturité T =1.SurlaFigureI.2, onconstatelaconvergencedu prixcalibré lorsquelenombredetirages Monte-Carloaugmente.C'était l'illustrationcherchée pourle résultatprincipal de ce chapitre. Il est intéressant de comparer cette convergence avec celle obtenue sans la calibration. Cette comparaison est faite à la Figure I.3et l'on constate que la calibration accélère la méthode de Monte-Carlo. Celas'expliquebiendufait delaprésencedes contraintes. Onreviendra surcette observation dans un chapitre futur où l'on analysera la vitessede convergence du Monte-Carlo calibré.
A titre indicatif, le prix du Put testé vaut 5.813 (par Monte-Carlo) si la volatilité initiale est égaleà0.205. Demanièregénérale, onpeutespérerquelesprix d'optionscalculéssousla proba-bilité minimisant l'entropie relative restent proches de ceux obtenus sousla mesure ayant servi à générer lescontraintes.
I.3 Remarque sur l'entropie relative en tant que mesure de l'in-formation et sur le principe du maximum d'entropie
L'article [31 ] est l'un des premiers à avoir suggéré l'utilisation de l'entropie relative pour ca-librer les modèles nanciers tandis que [6] place le problème dans le cadre de la méthode de Monte-Carlo. Notre article [71] donne les résultats de convergence que l'on a développés dans ce chapitre. Par ailleurs, les auteurs de [56] étudient un problèmede convergence d'estimateurs empiriques mettant en jeu le problème de la mauvaise spéci cation du facteur d'actualisation. L'entropie relative yintervient car cestlepoint de vuedesgrandes déviationsqui estadopté. L'entropie relative estutiliséepar de nombreux autres auteurs pour les problèmes de prix d'op-tions,encitantparexemple[52 ],[122 ],[103 ].C'estàl'étudedesmarchésincompletsquel'ondoit son apparition en nance [51] tandis que son introduction en économie est discutée dans [85 ], bienaprès évidemment que cettenotion ne soit couramment utiliséeen physique statistique. Dans la critique qu'il faisait au sujet d'un ouvrage relatif à ce dernier domaine, E.T. Jaynes
à partir de l'information connue, et, réciproquement, de déduire cette information à partir de la connaissance d'unensembled'états en déterminant laprobabilitéd'entropie maximale.C'est cet aspect que Jaynes considérait comme l'un des plus beaux dans la théorie de l'information qu'il a lui même contribué à introduire en physique dans [69 ] grâce aux travaux de Shannon [117] donnant ainsilecadremodernedelathéoriedeGibbs.L'impactde cestravauxensciences physiquesa étéégalement profondément discuté dansl'ouvrage classique[30 ].
L'undessuccèslesmieuxétablisdel'entropierelativecommemesuredel'informationrésidedans le théorème fondamental de la théorie de l'information qui donne la borne supérieure pour le tauxde transmissionde l'informationentreunémetteuretunrécepteur. Cettebornesupérieure est lacapacitéducanaldé nie commelavaleurmaximale del'information mutuelle (construite à partir de l'entropie relative) entre l'ensemble des symboles émis servant à coder les messages etceux qui sont reçus.En l'absence de bruit par exemple,la capacitéest simplement l'entropie maximale de lasource.Pour uneréférence surlesujet,on peut consulter [102 ] par exemple. Dansl'articlefondateur[117],laformedel'entropiedeShannonestmathématiquementdéduiteà partirdepropriétés simplesdanslecasd'unespaceprobabilisé nietenl'absenced'information a priori (les atomes sont a priori équiprobables). Le passage au cas des probabilités continues a été à l'origine d'une erreur de Shannon et Jaynes y fait brièvement référence dans son cours élémentaire de physique statistique[70].L'entropie relativeyest introduitecomme lalimite na-turelle de l'entropie de Shannon lorsque l'on passe des probabilités discrètes auxprobabilités à densités grâceàun procédéconvenablede discrétisationdesétats,à conditiondesedonnerune loi a priori.Jaynes ne précisepaslafaçon d'obtenir cette discrétisationmaisil estparfaitement légitime delaconstruirecommeun échantillonde laloiapriori. Ilrestait alors àdémontrer que leprincipedu maximumd'entropie était préservé àlalimite etc'estce quiconstitue lerésultat principal de ce chapitre.
La référence [60 ] ore un panorama très riche des applications du principe du maximum d'en-tropie. Pour approfondir davantage sonlien avec la méthode de Monte-Carlo, on peut citerdes résultats concernant les échantillons de variables indépendantes et identiquement distribuées. On sait en eet que conditionnellement à une contrainte de moment, ladistribution empirique s'obtient en vertu du principe du maximum d'entropie ([126 ], [125 ]), résultat généralisé dans [38] à une contrainte convexe et mis en liaison avec lapropriété de Sanov. L'entropie relative y intervient classiquement en tant que fonction de taux de grandes déviations ([115], [119 ], [8 ]). Ona déjà cité [56]pour unexemple d'application àla nance.
Pourvoirqu'àlalimitedesgrandstirageslesdistributionsempiriquesvéri antlescontraintesse concentrent autourde ladistributionobtenue parleprincipedumaximumd'entropie,unefaçon intuitive estd'utiliser laméthode dumaximumde vraisemblance.
A n de préciser cela,quitte àopérer unediscrétisation de l'espace S,on faitl'hypothèse quece dernier est ni :S =fx
i
; 1iMget quede plus lamesure apriori attribue à toutx i
de S une probabiliténonnulle.Alorslaprobabilité empiriques'écrit pour n xé:
n = M X i=1 N i;n n Æ xi en posant N i;n = P n j=1 1 X j =x i . Pour desentiersn
1 ;:::;n
M
desomme n,si ondé nit lamesure:
= M X i=1 n i n Æ x i on a: P( n =)= n! n 1 !:::n M ! (x 1 ) n 1 :::(x M ) n M
i P( n =) 1 p 2 M 1 e P M i=1 niln( n i n(x i ) )+ 1 2 (ln(n) P M i=1 ln(ni)) (I.3.1)
Suivantlaméthodedumaximumdevraisemblance,onrendmaximalel'expressionci-dessuspour dé nieparlesfamillesd'entiers(n
i )
1iM
desommenetvéri antlacontraintek P M i=1 n i n f(x i )k , étant un niveau d'erreur xé compte tenu qu'ici lacontrainte ne peut être satisfaite en général.Ennégligeantln(n i )parrapportàn i ln(n i
)dansl'expression(I.3.1),onestalorsconduit à minimiser souscontrainte
M X i=1 n i ln n i n(x i ) =nH(k)
Adaptéduchapitre XVIIIde[100],ledéveloppement élémentaire ci-dessus, prochedu raisonne-mentoriginaldeBoltzmann,donneainsiundesfondementsduprincipedumaximumd'entropie.
Extension des résultats à des critères de
minimisation plus généraux
Le problème de calibration étudié dans la section précédente est un problème dit de program-mation partiellement nie, c'est-à-dire que l'on cherche à optimiser une fonctionnelle convexe sur un espace de dimension in nie (ou bien grande pour lecas discret) sous un nombre nide contraintes linéaires.
Cetypedeproblèmesurgitdansdesdomainesvariésetunediscussionimportantedansla littéra-tureconcernelechoixdelafonctionnelleconvexeetl'onsereporteranotammentàl'introduction de [26 ] pour une présentation concisedusujet.
S'il estjusti é d'employer l'entropie relative en tant que mesurede l'information a nd'estimer une densité de probabilité à partirde ses moments, comme au chapitre précédent, d'autres cri-tères ont également étéproposés.
Ainsiqu'ilestdiscutédans[11]parexemple,lagénéralisation naturelledel'entropiedeShannon conduit à laclasse des f-entropies, où f estune fonction concave dé nie en adoptant l'opposée d'uncritèreconvexeJ telqueJ(u)=ulnudanslecasdel'entropie deShannon,J(u)=u(1 u) danscelui del'entropiequadratiqueouencoreJ(u)=
u u 2 1 1
avec 6=1pour dé nirl'entropie de Darocry et l'on peut également citer l'entropie de Burg dé nie par lechoix J(u) = ln(u). La possibilité de modi er l'entropie relative en tant que mesure de l'information est également abordéedans[88] et[37 ] donne unpoint devue axiomatiquedusujet.
Comme autreexemple,laméthode dumaximumd'entropie surlamoyenne introduitedans[39 ] et [54 ] est une extension de laméthode du maximum d'entropie qui conduit à considérer la fa-mille des fonctions convexes dé nies comme transformées de Cramer (fonctionconjuguée de la transforméede log-Laplace) desmesuresde probabilité surR
+ .
D'un point de vue nancier, dans le cadre des marchés incomplets, il est désormais usuel de déterminerune probabilité martingalepar minimisationd'uncritèreconvexe.Récemment [10] a donné une interprétation économique préciseau choix ducritère deminimisation. En eet,sous des conditions générales la probabilité martingale minimale est la mesure minimax pour une fonction d'utilité de type HARA. L'intérêt d'une telle fonction est bien connu etest exposé au chapitreIVde[127 ]parexemple.Ilyadoncdesraisons nancièresàvaloriserlesoptionssousla probabilitéminimisantunepseudo-distance,cequ'exprimeprécisémentleLemme3.4de[74]pour les cas courants d'utilité. Le choix de l'entropie relative correspond ainsi classiquement à celui d'uneutilitéexponentielle[42][46 ].Sil'onsouhaitecependantunecouverturemoyenne-variance, il faut choisir lecritère de minimisation quadratique. Dans lecadre d'un modèle particulier, la comparaison de ces critères est faite dans [64 ]. Ony envisage la famille des critères usuels qui,
J(u)= p p 1 u p siu0 +1 sinon avec 0 p =+1 sip<0.
EnrevenantàlacalibrationparMonte-Carlo,ainsiqu'ilestindiquédans[6],ilestdonc légitime d'étendre laméthode de minimisation d'entropie relative à descritères convexes plusgénéraux. Il faut souligner cependant qu'en minimisant le critère surl'ensemble de toutes les probabilités et non sur celles qui sont martingales, on sort du cadre de [10 ] et [74 ]. Une façon de rattraper cet écart estd'ajouter descontraintes de martingalité, ce qui seraétudié avec plus de précision dansun chapitre futur.
Oncommencera àchoisirlecritèrede manièreàce quesoncomportement reste assezprochede celui de l'entropie relative. Les résultats reposent alors essentiellement sur des techniques fon-damentales de dualité dont l'intérêt est de résoudre le problème de calibration en restreignant le choix de la solution à une famille paramétrée de densités, le paramètre étant déterminé en résolvant le problèmedual quiest unproblème de minimisation simple.Une référence classique sur lesujetest[23 ] à conditionde bornerles contraintes par exemple (voiraussi[12]).
Danslasuite,onadoptecommecritèreunefonctionréelleJ strictementconvexesursondomaine [0;+1[, dérivable sur]0;+1[ etde dérivée véri ant J
0
(]0;+1[)=R. Onpeut alors poser pour toute probabilité H J (k)= R J( d d
)d si est absolument continue par rapportà +1 sinon
PrécisonsicilanaturedeshypothèsesfaitessurJetintroduisonslafonctionconjuguéeJ dé nie par 8u2R; J (u)=sup x2R (xu J(x)) (II.0.1)
On verra plus loin que les conditions imposées à J sont nécessaires et su santes pour que J soit nie, strictement convexe,croissante,dérivable etminorée surR et qu'ellevéri e de plusla condition : lim u!+1 J 0 (u)=+1 (II.0.2)
En particulier, on peutpréciser laminoration de J
par :
8u2R; J
(u) J(0) (II.0.3)
Enanticipant surlasuite,ilfaudrad'abordattaquerunproblèmedeminimisationdual associé à J
:lefaitqueJ
soit strictement convexe,minorée etqu'ellevéri e(II.0.2) permetd'assurer l'unicité et l'existence du minimum. En n, au moins dans le cas de contraintes bornées, la ré-solution du problème dualfournit la solution du problèmede calibration si J
est croissanteet dérivable surR.
Après cette précision sur le choix du critère J, donnons la forme sous laquelle interviendra la dualité. Sil'on commencepar supposer queJ ests.c.i., ce quirevient àdire icique J est conti-nue à droite en 0,alors grâce au théorème de Fenchel-Moreau (Théorème 1.10 p.10 de [29 ] par exemple), J estla fonctionconjuguée de J
.Alors, l'inégalité
8x0; 8u2R; J(x)xu J
(u) (II.0.4)
est réalisée avec égalité siet seulement si:
x=J 0
C'estessentiellementdecettemanièrequel'onexploiteralarelationdeconjugaisonentreJ etJ . Remarquons quelavaleurdeJ en 0n'intervient pas,ce quifaitqu'on neperd pasen généralité en supposant queJ est continue en 0etdonc queJ est sci.
Avec les propriétés indiquées, J est très proche de l'entropie de Shannon. Comme au chapitre précédent, les résultatsde convergence sont alors valables, au risque de faire apparaître une so-lution généralisée à la limite. C'est également dans ce cadre qu'il a été agréable d'examiner le problème de calibration où l'on relâche les contraintes, soit par une pénalisation du critère de minimisation, soit en considérant des contraintes de type ensemble. Un avantage théorique à choisirJ prochede l'entropie relative estquecelapermetdetraiter descontraintesnon bornées (sous laprobabilitéa priori).
Toutefois, lorsque l'on se contente de contraintes bornées, il est possible de prendre des alter-natives classiques à l'entropie de Shannon comme l'entropie quadratique ou l'entropie de Burg par exemple, exclues avec les hypothèsesprésentes. Ona déjà remarqué quel'utilisation de tels critères présentait un intérêt en nance. On envisagera donc les extensionsqui s'imposent dans ladernière partie duchapitre.
II.1 Discussion des hypothèses sur le critère J
Onseproposed'abord de caractériserlecritère J defaçon àassurer lespropriétés sursa conju-guée J
précisées ci dessus. On retrouvera le jeu d'hypothèses énoncé ci dessus, sous lequel J garde uneforme prochedu choixentropique.
Il est tout d'abord possible de reformuler les hypothèses sur J
. En eet, J
est de classe C 1 puisque sa dérivée est croissante etvéri e, comme toute dérivée, la propriété des valeurs inter-médiaires. L'ensemble desconditions surJ
équivaut donc àsedonnerune fonction J
minorée etdérivablesur R, de dérivée J
0
strictement croissanteettelleque
J
0
(R) =]0;+1[ (II.1.1)
Rappelons ici que, sans sacri erà la généralité, ona supposé queJ est sci,si bienque J est la fonctionconvexeconjuguéedeJ
.Onvaalorsmontrer queJ est nieetstrictementconvexesur [0;+1[, dérivablesur]0;+1[, avec :
J 0
(]0;+1[)=R
On peut prouver cela à l'aide de résultatsgénéraux exposés dans [106]. Onva en eet montrer que la fonction convexe J
est du type de Legendre introduit dans [106 ] (p.258) qui dé nit ainsi la classe des fonctions convexes K : R
m
!] 1;+1]; m 2 N, strictement convexes sur l'intérieur de leur domaine domK = fx 2 R
m
; K(x) < +1g et essentiellement régulières (p.251 de [106 ])au sens:
1. Int(domK)6=;
2. Kest diérentiablesur Int(domK) 3. 8x2Fr(domK); lim y2domK!x kK 0 (y)k=+1 D'abord, J
étant nieet dérivable sur R, elle est essentiellement régulière. Elle est également strictement convexe par hypothèse, ce qui montre que J
est du type de Legendre. C'est aussi une fonctionfermée,ce quirevient àdire(v. p.52de[106 ])qu'elleestscipuisqu'elleestpropre, en rappelant qu'une fonction convexe est propre si elle n'admet pas 1 pour valeur et qu'elle admet desvaleurs nies.
Avec le Théorème 26.5 p.258 de [106 ], on en déduit que la conjuguée J de J
est également du type de Legendre, donc en particulier strictement convexe et dérivable sur l'intérieur, non
vide, de son domaine domJ, et que de plus J réalise une bijection de Int(domJ
) = R sur Int(domJ), avec J' pour bijection réciproque.
Avec larelation(II.1.1), onobtient :
Int(domJ)=]0;+1[
Puisque J estlafonction convexe conjuguéede J
etpuisqueJ
est minorée, ona également :
J(0)= inf u2R
J
(u)<+1
et, par conséquent :
domJ =[0;+1[
Réciproquement, si l'on part des hypothèses que J est strictement convexe sur son domaine [0;+1[, dérivablesur]0;+1[, de dérivée véri ant
J 0
(]0;+1[)=R (II.1.2)
on peut en déduire quesaconjuguée J
est minorée, strictement convexe et dérivablesurR, de dérivée J
0
strictement croissanteettelleque
J
0
(R) =]0;+1[
Eneet,aveclarelation(II.1.2),laconjuguéeJ
estdé niecommeunetransforméedeLegendre par 8u2R; J (u)=uJ 0 1 (u) J(J 0 1 (u)) (II.1.3)
ce quiprouve quelavaleurdeJ en0nejouepasderôle,sibienqu'onpeutsupposerJ continue en 0et doncsci.
OnpeutalorsmontrerqueJ estdutypedeLegendrepourappliquerunenouvellefoisleThéorème 26.5p.258de[106 ]. Eneet,J estdérivablesurInt(domf)=]0;+1[, avec lim
x!0 J
0
(x)=+1, ce qui prouve que J est essentiellement régulière, au sens précisé plus haut et, puisque J est strictement convexe sur ]0;+1[, elle est bien du type de Legendre. En n, J étant fermée car propre et sci, le Théorème 26.5 de [106 ] montre que sa conjuguée J
est strictement convexe et dérivable sur l'intérieur de son domaine domJ
, et que de plus J 0
réalise une bijection de Int(domJ)=]0;+1[surInt(domJ
), avec J
0
pour bijection réciproque. Avec larelation(II.1.2), onobtient :
Int(domJ )=R En n, J étant laconjuguéede J,ona : 8u2R; J (u) J(0)>+1
ce qui prouve queJ
estminorée.
II.2 Problème contraint
Ensedonnantuncritèreconvexedutypediscutéplushaut,onchercheàsatisfairelescontraintes de manièreexacte.Pour ntiragesMonte-Carlo, leproblèmediscretconsiste donc àrésoudre,en seramenant à unecontrainteCnulle :
(P J n ) trouver n 2P(S) qui minimiseH J ( n k n ) sousla contrainte R fd n =0
queles prixdonnéspar cette méthode aient une certainevalidité,il estimportant queparmiles contraintes onimposedesconditions de martingalité approchée dusous-jacentactualisé. Onreformuleleproblèmeprécédent comme larecherched'unvecteur(p
i ) 1in de[0;1] n telque P n i=1 p i =1et P n i=1 f(X i )p i =0,minimisant n X i=1 J(np i )
Il s'agitdoncdetrouverleminimumd'unefonction strictement convexesuruncompact. L'exis-tencedelasolution,forcémentunique,enrésultedèsquel'onprouvelanonvacuitédececompact puisque J est de plus sci. On rappelle qu'on l'a supposé en particulier continue à droite en 0 mais cette dernière condition est en fait inutile. En eet, J a une dérivée à droite in nie en 0, excluant que lasolutionait unecomposante p
i nulle.
Tout d'abord,le résultatsuivant,établidanslecas del'entropie, tient toujours : Lemme II.2.1 Pourque P(9n1 et
n 2P(S) t.q. H J ( n k n )<+1 et R fd n =0)>0,il faut qu'il existe unsous-espace vectoriel E deR
d
tel que tienne la condition
(C) 8 > < > : 02Int E (Conv(Supp( f jE )))
82P(S)absolumentcontinue par rapport à t:q: R kfkd<+1 et R fd=0; on a(f 1 (E))=1
La convergence passe alors naturellement par l'étudedu problèmelimite
(PL J
) trouver 2P(S) quiminimise H J
(k) souslacontrainte R
fd =0
Par stricte convexité de J,l'unicité de la solution est acquise etseul le problème de l'existence sepose.
La condition (C) est également nécessairepour quele problèmelimite ait une solution, comme on peut levoiren reprenant leLemme II.2.1.
Pour lasuite,il seracommode de noterl'ensemble
C = 2P(S); ; Z kfkd<+1 et Z fd=0 (II.2.1)
Dans le cas où le vecteur de payo f est supposé borné par exemple, on connaît des résultats permettant de résoudre le problème limite, reposant essentiellement sur l'absence de saut de dualité dès qu'une condition dite de quali cation des contraintes est véri ée (Corollaire 2.6 de [23]).
Dansce caseneet,grâceauThéorème 1de[123 ],lasolutionduproblèmedecalibrationexiste puis,enappliquantleThéorème4.8de[23 ]),onendéduitquelasolutionestdonnéeenrésolvant leproblème dual.
A titre de compléments, on reviendra plus précisément surl'utilisation de ces résultatsdans la dernière partie dece chapitre.
Un premier objectif de létude qui suit est en fait d'étendre lecadre des résultats cités à celui d'une fonction de payo non bornée, en montrant en particulier qu'il n'y a pas de saut de dualité.
Alors, si le problème de calibration admet une solution, cette dernière s'obtient grâce à celle du problème dual tandis que de manière générale, on peut dé nir une solution généralisée du problèmedecalibrationdanslesensoùelleavocationàêtrelalimitedelasolutionduproblème de calibrationdiscret, ce qui constitue ledeuxième etprincipalobjectif de l'étude.
