Espaces euclidiens
Produit scalaire
Bases orthonormées
Si (e1, . . . , en) est une base orthonormée, (x, y) ∈ E2et X = Mat(e)(x) =
x1 .. . xn
, Y = Mat(e)(y) =
y1 .. . yn alors : – ∀k ∈ ~1, n, xk= hek|xi ; – hx | yi = n X i=1 xiyi= XTY.
Si A = Mat(e)(u) alors aij= hei |u(ej)i.
Projection orthogonale
Si H est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, le projeté orthogonal p(x) de x sur H est défini par :
• p(x) =
n
X
i=1
hei |xiei où (e) est une base orthonormée de H ;
• c’est l’unique vecteur vérifiant p(x) ∈ H et x − p(x) ∈ H⊥;
• c’est l’unique vecteur réalisant le minimum de kx − uk où u ∈ H (la distance de x à H).
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Si (v1, . . . , vn) est une famille libre, il existe une unique famille orthonormée (e1, . . . , en) vérifiant :
– ∀k ∈ ~1, n, Vect(e1, . . . , ek) = Vect(v1, . . . , vk) ;
– ∀k ∈ ~1, n, hek|vki> 0.
On a ek=
vk−pk−1(vk)
kvk−pk−1(vk)k où pk−1est la projection orthogonale sur Vect(v1, . . . , vk−1) = Vect(e1, . . . , ek−1).
Endomorphismes d’un espace euclidien
Isométries vectorielles
u ∈ O(E) vérifie : ∀(x, y) ∈ E2, hu(x) | u(y)i = hx | yi.
Si (e) est une base orthonormée, A = Mat(e)(u) ∈ On(R) vérifie ATA = In.
Si (e) et (e0) sont deux bases orthonormées, P = Mat(e)(e 0
) ∈ On(R).
Lorsque dim E = 2, les isométries vectorielles sont de deux types :
• si det u = 1, u est une rotation, et dans toute base orthonormée directe (e), Mat(e)(u) =
cosθ −sinθ sin θ cos θ
! ;
• si det u = −1, u est une symétrie orthogonale, et il existe une base orthonormée directe (e) telle que Mat(e)(u) = 10 −01
! .
Endomorphismes symétriques
u ∈ S(E) vérifie : ∀(x, y) ∈ E2, hu(x) | yi = hx | u(y)i.
Si (e) est une base orthonormée, A = Mat(e)(u) ∈ Sn(R) vérifie AT= A.
Tout endomorphisme symétrique se diagonalise dans une base orthonormée. Si A est une matrice symétrique réelle il existe P ∈ On(R) et D diagonale telles que A = PDPT.
