PC∗
Corrigé : interrogation sur les séries numériques
Exercice 1
ln(Pn) = n X k=0 (1 − ak). La série Xanconverge donc lim an= 0 et ainsi, ln(1 − ak) ∼ −ak.
La sériepositiveXakconverge donc il en est de même de la série négative
X
ln(1 − ak) ; on note ` < 0 sa somme. On en
déduit que la suiteln(Pn)
converge vers e`∈]0, 1[.
Exercice 2
a) Si α 61 2on a 1n= O(an) donc la série positive
X
andiverge. Si α >
1
2, soit β un réel tel que 1
2< β < α. Alors an= O 1
n2β
avec 2β > 1 donc la sérieXanconverge.
b) ln(1 + x) = 0x − 1 2x 2+ o(x2) donc u n= (−1)n ln n nα − 1 2vnavec vn∼an. La série (−1) nln n
nα converge d’après le critère spécial relatif aux séries alternées, donc les sériesXunet sum vn ont même nature, et d’après la question précédente,
X
vn
converge si et seulement si a >1 2.
Exercice 3
a) La suite (Rn) décroit et tend vers 0, donc d’après le critère spécial relatif aux séries alternées, la série
X (−1)nRn converge. b) On a Zk+1 k dt tα 6 1 kα 6 Zk k−1 dt tα donc Z +∞ n+1 dt tα 6Rn6 Z+∞ n dt tα, soit 1 α −1 1 (n + 1)α−1 6Rn6 1 α −1 1 nα−1. Ainsi, Rn∼ 1 α −1 1 nα−1 et X Rnconverge si et seulement si α > 2.
Exercice 4
a) X|un|converge donc lim un= 0 et donc u2
n= O(|un|). On en dédut que la série positive
X un2converge. b) Si un=(−1) n √ n , la série X
unconverge (critère spécial relatif aux séries alternées) mais
X
un2=
X1
ndiverge.
c) D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, N X n=1 |un| n 6 v u t N X n=1 un2 N X n=1 1 n2. Les séries X un2etX 1
n2 converge donc les sommes partielles de la série positiveX |un|
n sont majorées et la série converge.
Exercice 5
(An) est bornée donc |An(un−un+1)| = O
|un−un+1|.
(un) est décroissante, donc |un−un+1|= un−un+1. Or d’après le théorème de la limite monotone la suite (un) converge,
donc par télescopage la sérieX(un−un+1) converge. On en déduit que la série
X An(un−un+1) converge absolument, donc converge.
Exercice 6
Pour tout t ∈ [un, un+1] on a 1 t 6 1 un donc Zun+1 un dt t 6 Zun+1 un dt un =un+1−un un . N X n=0 Zun+1 un dt t = ZuN+1 u0 dtt = ln(uN+1) − ln(u0). Or lim uN+1= +∞ donc la série
XZ un+1
un
dt
t diverge ; il en est donc de même
de la sérieXun+1−un
un
.
Exercice 7
Pour tout n > 1, |un+1−un|= |f (un) − f (un−1)| 6 k|un−un−1|donc on prouve par récurrence sur n que |un+1−un| 6kn|u1−u0|. La sérieXknconverge donc la sérieX(un+1−un) converge absolument, donc converge. Par télescopage on en déduit
que la suite (un) converge.
Exercice 8
a) Soit g : x 7→ f (x) − f (x + 1). On a g0(x) = f0(x) − f0(x + 1) 6 0 car f0est croissante, donc g est décroissante. De plus, lim
+∞f (x) = 0 donc lim+∞g(x) = 0. On en déduit que la suite
f (n) − f (n + 1)décroit et tend vers 0.
b) Rn+1= +∞ X k=n+1 (−1)kf (k) = +∞ X k=n (−1)k+1f (k + 1) donc Rn+ Rn+1= +∞ X k=n
(−1)kf (k) − f (k + 1). La question précédente montre que la sérieX(−1)nf (n) − f (n + 1)vérifie les hypothèses du critère spécial, donc |Rn+ Rn+1| 6f (n) − f (n + 1).
lim
+∞f (n) = 0 donc par télescopage la série X
f (n) − f (n + 1)converge ; on en déduit que la sérieX(Rn+ Rn+1) converge
absolument donc converge. c) lim
+∞Rn= 0 donc par télescopage la série X
(Rn−Rn+1) converge. La somme de deux séries convergentes est convergente
et Rn=
(Rn−Rn+1) + (Rn+ Rn+1)
2 donc la série
X
Rnconverge.
