Saturation d'ondes de gravité et balance non-linéaire

•

l'

SATURAT ION D' ONDES DE GRAY' ET BAlANÇE NON-lI NEA 1 RE

"

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ca ••• lugenci parthll. d. la .a~trh.

i.

lci.ne ...

Copyright

e

Richard "Inard, Dlc •• brl

198~

Diparhllnt de titiorologi. UnivlrsiU "cGill

g

\

.

-11 ..

J

De. 'lIplritncli nUliriqun Ivec un lodilt

1

surhc. libre IÏvir •• ent tronqui, forc' .t dt . . ip~ sU09ir.nt que pour d.. vileur, r'.lli,tn d. pArUJtrtll, des ond.s de gro1vlU de hlUte friqulnce liant pruqua

~OUJOUri

pris.nte" lU "liIin -de. "olutlons 1 long tlilr.e, pour du petits nOllbre" de

Rallby. Cn and .. liont d. no1ture lnter.ittente et lie.blent être généri .. par lea lI\tero1ctlon. non-11nll.11rn du lIodile. 'Il s'lvire donc que Cil elC-perilncI' loulev.nt un drieuM doute tant qu'. Il notion ballnc ..

.

..

unli qu'. l 'exillhnci dl 101 vt1riit. l.ntt. Cili llpl1que noto1 . . . nt pour

o

III lodiln opÎritiDnn811, que 1. chup cfe divergence du vent,' llilqu.l ,'obh .nt pu, 1 A donni. d . . . .ad . . rDtAÙonn.l", COllportl un. part 1rri~uc

t-i bh d. brui t.

,

C.tte li.itdion •• t .lItr" .... nt IInlible au nOlbr. d. ROllby.

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-111-' . . TUl:T

Nu •• rical 8. pl~i •• nh wi th a hl ghl Y truncatld, f orced-dllil p~ ti VI f r u

.urhce IOdel, Ihow thlt hlgh-Ùequency 9r:~vity ",,~ve persut in the long

t.rl

lolutlDnl for rullitic p~rll.terl valult,. ind'for u~ll RDUby nnb.rli. Th... w~vel ire lntarai thnt ln chlrlchr ~nd !i8811 to blil generated by th. nanlin.ar interldions of the liVlitta.. Th8se rlliul ts UR ~t varllnc8 NI th

. 1

th. n.abon of blhnced Gotion ind the 8X15t~nF8 of thll lilo"" unlfold. For aptrationnal lodel., thll iapl181i th~t the ?lvergent part of the wlnd , I l

fraa th. rotit1onnal part, hu"':n lrreduclble nDlI.-collponent. Th. nDi •• Itvll i l viry IInlltiv. ta th. Rossby nu.bar.

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Ursula Sl1den~uu pour l~ crhtl0n d •• noebr.u . . . 111ultrationl figurant dans c~t ouvrag • • t Elue L •• ure pour 1. .iticulluse ,correctlon. J'ai pu appriclllr durant JII deull anniu de

1 •• fonds dl la FCAC.

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Notatl on

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••• 1tl. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \, 11(

CHAP 1 TRE 1 Introduction

· ....

~

... .

1 CHAPl TRE 2 t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

•

2.1 Cout dirlti onl Qinirllil :5

• 2.11 ' Lei iqu.atl0nl de St-Venlnt :5

..

2.12 1 nvan.anh lntigraux

...

•

7 2.121 . . . 1 . . . .

.

.

s

2. 12~ A L'énerqie

.

. . .

.

.

. .

. .

.

.

.

.

.

~

..

2.123 Le tourbIllon potentul

...

10

Approx 1.~t1on qUill-gioltroph i qUi

...

11 2.14 f10dn nof'uux

...

13

2.2 "odile lévirecunt tronqua lb

•

2.21

Forte r éelli

...

2.211 EQu~tlon" "plctr.al ... 17

2.212 Chou des val eur. nuair i qU.1 19

2.22 . . . , • Il . . . ..

24

CHAP ITRE 3 Syltiall dynul que .. ₁

...

2b

3.1 Van

ité

~1inte

Attracteur

J ... .

• • • • ft . . . Il

...

3.2 2b 32 3.3 Probli .... de bifurcation

...

34

CHAPITRE 4 CHAPITRE ~ CHAPITRE 6 CHAP ITRE 7 81bliogr~phh

•

-vi-'--,

3.4

Solution .htionn~1r1S

...

...

•

4.1 IntroductIon ... . 4.2 "ithodl d' expinsi on ln no.br. d. Rouby

4,,3 "ithodl

d.

Lorenz

...

4.4

...

,

..

4.~ Exuhnce dl li v~rihé hnt.

o

"ithod.s

nu.in que,

• • • • • • • • • 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , •

:5.1 Descnptl0n It propri'té. dl l~ dllcritlution

:5.2 6. 1 6.2 6.3 1 1

...

,

... .

5. Il "ithode de T ~ylor

...

-~.12

...

\ • • • • • • • • l' • • • • • • • • • • • • • • • • • •

"

... r

,P' • • • • • • • • • • 1 B~l~ncl non-lineurll

...

~

1

... .

Ex trict 1 on d' ondes dl gr.vi

té

...

S~turation d'ondes dl CJr~vlt' Concluli on

...

...

--41 44 44 ~ 4~ ,

CS'

\1

...

₅₃ 56 60 63 69 71 81 83

Flgur. 2 3 4 " ô J 7 8

\

10 11 12 13 14 15 lb

"

-;'11-LI STt DES F 1 BUllES

A.orti ... nt l~dl .. ntiDnni .n fonction du nOlbr. de Pr~ndtl.

c ••

DU VO~. lJ49 ... ~ ... , ... '.' •••••• 22

f , \

, Alortl'-sulnt idluntlonnÎ an fonction du no.brlt dit Prindtl.

Cu où l<O Il 1/49 . . . fi ..• 1 • . . . " . . . .. 23 Port"~lt dit l 'tlpiCe dl ph~se iIiOC1; iU)! valeurs propr.s 2,

1+1, 1-1 •••••..••••••••••••.••••••••••• - •••.••••••••.•••••• 29

Portr~i t d. l ' "pice da ph~.a iVRC lu ÇOUS-II'p~C.'

invariant, EC, El, WC It

w·

"'"

(

Foy." .Uractlf

...

,

... .

"

P'roj.ction sur le _{pI.in- Y2Y3} da }'attracta",r pour Ft" 0.2

ProjectIon sur le pl.in-Y2_{Y3 da} l'attracteur pour Ft': 0.1

Praj~ctlon sur le _{pl.in- YZY 3} da l'attr~cteur pour Ft =,,0.07

Di~gr"l8 de bl'furcation f ourc:het t e supercrl tl qUi'

1

Di.agraaie de blfurcitlon dG Hopf s.uperèrltlqua

Di~gra .. e de blfurcatlon de li .olutian de Hidli'Y

Repr&Untatlon sché ... t1quQ du v.ir1stés W

_ô

,Ni " •• ,WL ,

d~ns l'IIsp~ce dll phase (R,6l I l • • • • • • • • • • • , • • • • • • , • • • • • , • • • Fictaur d'~.~llhcatlon

IÀI

en fonction du pa d. tups

t,

pour différentes valeurs de N

SUlta

d'~carts

b[P) el1 fonction "de l'ordrll Pi cas C

SUl te d '"carts

b(P--'"

en fonction de l'ordre Pl cas B et

\

y~ (0.333,0.005, -O.002)T

...

SUlh d'écarts ~(p] en fonction de l'ordre p; cas B lit

T Y ~ (~-O.178, 0,225, -0.157)

...

\

... .

JO

35 37 38 40 43 50

'j8-(

, 1 ,t

1

) .17 lB 19 ,20 21 22

-vi11-F

t

:1 0" 0 7 7 • Il • • • • " • • • • • Il • • • • • • • • • • • • • • , • • • • • • • Il • • • • • • • •• • , . 70

!Cp Yp zi ln fonction du teap5 pour FI" 0.1 . . . 72

A.pl1tude d. l'and,' de gr.vlté' Inue d, Xt-lCt[20,1O] en

fonction du te.p., pour Ft" 0.2 . . . 75 A.plltude d, l 'cnd!! de grtlvlté InUit dl Xl-xl (20,-0] en

fonctlon du t ... ps; pour FI = 0.1

...

fonction du te.pi, pour 'FI

=

0.07

Alpll tude du .od. de grlivi

té

en fonction du I\'o.bre de Ro.aby pour LA). 1.0, 3.0 et 5.0 , , ) 7b 77 BO

t

-ix-• OTATIOI

•

1

,

Lors d'un r.nvoi

i

unI iqu.atlon flgurant dins un iutrll chipItre, le ~ nu.ira dl l 'iqutl on lit

pricide

du 'nullé..-a du chapl trR •

. ' _T

.

,

\

..

CHAPITRE 1

IITRODucnOI

Très tôt, le5 léHorologlstes ont su qu'un .odèle aux §quatlons prUI-tlves Intégré à. partir des donnees observhs, gén~re des ondes de gravite

... coherentes de haute fréquence, dont l'amplitude est nettement sup~rleure a

çelles observees dans l' ataosphere. Assoné au mouvement yertlcal de ces ondes, le modèle peut créer un champ de preClpltatlOn lrréallste et Intense,

1

lequel lIIodihe la thermodynalllque du lIodèle. Les Gletéo[ologlstes se SOl)t aloI" s i n 9

e

nias

a

e

Il ID 1 n e r ou 1"

e

d u 1 r e l e s on des de gr a vit ë des ID 0 dè 1 es atllosph'r 1 ques.

Hlstorlqueaent les .étiorologlstes, pour ~rrlver

a

leur ':lut, eurent d'abord recours aux Qquations quasl-giostrophlques. Toutefol s, ces d~rlvent

_.,

d • une approXlllatlon ( l' ~proxlllation quaSI-g~ostropnlque) qUI, outre le faIt qu'elle el 1 1111 ne les ondes de gravIte,

a.pute ëgaluent une parta de la dynalluque des systemes méteorologlques. Vers le mIlieu des annees 50, naquIt une tendance au seIn des tIIeteorolog-utes

a

reconsl~er les modeles. ahosphenques aux equatlons prllllltlves. Afin de rédUIre l 'a~plltude des ondes de gravlt~, Charney (1955) proposa une .éthode basée sur le I.hOl li appropne de l'etat lnltial. Il a, en pre.ller

lleu, démontre que SI l'etlt lnltul est,geostrophlque, la tendance Initiale des ondes de QUOI que rvdui te, demeure forte.

De

plu~, ~ 1 a

dt.·qrgence aSSOCiée

à

l'onde de gravite devient r.pldellRnt de lDêu ordre de

,

..

,

-2-grandeur que 1 a dl vergence quaSl-geoltroph l que . Il conclut que l'itolt 1nltlal d01t être ChOlS1 de fa~on à ilnnuler le vent divergent, de lIIê.e que Sol dérlvée pilr rapport au tellps. ToutefoIS, ces condltlons InItiales s'avèrent trop severes, car elles contraignent les lIodes rotatlonnels acces-slblu au lDodèle. Pour les modèles

a

surface ltbre exprtmés en 1II0des norlolux, t1achenhauer (1977) et Baer (1977) adoptèrent des condltlons 1n1-tules .Olns sévères, en eXIgeant seulelDent l'annulation de la d(rlvée te.porRlle du .ode de gravite. Les modes de graVité étant en quelque sorte en équllibre subtIl avec le .. termes non-linéaires, 11 résulte que les alodes de graVIte sont fonction des ,modes rotatlonnels, lesquels évoluent

lente-Cette ld~e fut appllqUee

à

des tIIodèles oper,ltlonnels par Daley

(1979), et Tuperton et W1lllalilson (1979).

Luth (1980) et Lorenz (1't80) allèrent plus 101n et pr-tlposerent l'&x-lstence d'un enselllbie d'états;, Invariant sous l'actlon de la dynam1que du Cet ensemble d'états dépourvu d'ondes de graVité d01t sous cet

...

ilngle, être déslgne en tant qu'enselllbie d'etats balancés. Lorsque l'on se

r~fère

l

l'espace de phase du lIodele, Lelth (1980) parle alors de l 'hypothècl de la varléte lente. Celle-~l lIIIpl1que que. contraHelllent aux équallons quasl-geostroph l ques, la dynamique d'un modèle, dont l'état Inltlal est billanc', solt exacte en plus d'être villable sur toutes les echelles.

•

Selon Lorenz (1980), l'état balance s'acquiert par une méthode lt"e r -iltlve dlte" de balance" ( ri superbillance eethod ri ) . Le cheunellent est

en annulant successivement les dérivées d'ordre superIeur des .odes de graVIte, on prodUit une sUite d'états, où l'etat convergent ' S ' l I eX1ste, est l'itat balancé. Cette procedure 1 torot 1 ve / êtr& conslderéa'

-J-co •• , itint 51.llalre ;\ une expinSlon Iln pUlss.nce du nOlbre dll Rossby,

puisque dll 1. prulère It'r.tlon rlisulte les ~quatlons QUclsl-gi?ostrophlquas,'

Lelth (1980).

Pour ëtilbllr la convergence de li lIéthode de balance, Lorenz (1980) •

!tu recours ides eKperlences numênques avec un modele

à

surface llhre. Il

fut ~lIené

â

conclure,

a

la SUIte dit! quelques Itérations, que la méthode de

balince semblait convergente et Que les ondes de gravite aVcllent

pratlque-lent dIsparues du lIodele. A partlr d'experlences men~es sur un modèle

baroellne, ErrlCo (1991,1982) conclura a l'lnVI1rS9 que les ondes de gravit@

sont reginérli1il5 par l'. dynilllli qua 1 nterne du lIIodèl e qu.and 1 e nombr e de Rossby

excède 0.1

Marn et l1inard (1986) en sont venus ~ consld~rer le probleme autrellent.

Sillon la théOrie d9s bIfurcatIons, des solutIons statlonn.llres peuvent se

dëstablilser et donner n.HS5ance

i

de nouveaux ensellbl es Invarlants pl;,;s

cOllpleKes' ( e.g. cycle Illlllte ), lorsQu'un paralll~tre en changeant de valeur,

passe p.r une valeur critIque. Hors, nous savons que l'enSl!llble des etats

balaneeli est eHectlv~l!Ient un en.emble InvarIant. Il sufflt donc d'examlner

l'absence d'ondes de gravite sur de tel .. enselllbl2s pour établIr l'el<1stence

de la varlët~ lente. Une étude de stablllti des solubons statIonnaIres du

lIadèle utIlIsé par Lorenz (1980), semble 'établIr l'Inverse. L'hypothèse de

la varl~t~ lente est en OppOSItion lorsque le farcage dlabatique du lIIodële,

lequel peut être ass1tllllé au nombre de Rossby, passe par' une valeur

crltlque. K(lshn'anlllurtl ( COQIIQUnlcatlon personnelle et Legras et Vautard

(1985) ont tous trOIS lIIontre

à

ce SUjet des résultats numérIques probants,

-4-d'ajouter Que, lorsque l'on consldère le probleu de constrUlre the-orlque.ent l'enSlllble das etats balancés an utl11sant une expanslon des virlilbles li!n pUlilicl"~1i du noabre de Rossby, l'on se heurte

a

un probliae de perturbatlon slngul19re. Alnsi donc, on peut dire, qu'en • gënër~l, la con-structl0n par approches succeSSlves de l'ense.ble dei ftats balances seraIt dlvergente, quelque soit La valeur du noabre de Rossby.

A 1 a SUl te de cet te 1 ntroduct 1 on, 11 apparart nêcessal re de reprendre l'analyu de Lorenz avec une preClSIOn accrue pour diffirentes valeurs du

for~age dubatlQue, en Incluant 1"5 valeurs sous-crltIQues. A cette fln, nous ~vons ilaborë au chapItre b une lethoda perllettant de filtrer toute onde de graVIte, aUSSI petite SOIt-aile. Nous avons porté une attentIon partlcul1ëre

a,

la .êthode de balance, objet d'un e~en crItique au chap1tre 4. En outre, 11 ressort Que la con'vergence de la lIIëthode de b.lance n'entratne pas necessaIre.ent que les ondes de graVIté so'ent Flnale.ent,

i

l~ luuire des travaux de Ernco (19821, nous elCUlnons au chapitre'b les c~uses pos!ilbles de la génération

-5-CHAPITRE 2

•

IIIKLE ATIIOSPHEAIIIUE

• 2.1

Cgn'idlratlDl' linir.l •••

-Lorvnz (1980) i con~u un .odil. 1 neuf COllpo~inte~ pour dlcrlre le~

co.port'.Rntl de l '.t.osphire, L'objet de ce chipltre est de décrire Ct

lIodile, Sel propnitis, .l1nu que ses ~lIalitudlilli • ~vec l'itllosphër. deç

2.11

LI' "Yltton.

dl

St-VI.,ot,

t

Le consi ste ln un fi ut de hydroshti que,

Le,' ifu~tion, iduentlonnân d6crlVint "CI systl . . physique l'i(Pallitlon de St-Venint ('Shi110. Wittr'), I,e,

SDnt connue, sous

[ !!

+ _{v' Vv}

1

_{+ lxv +-} 92

,

2 (1)

,

= 9 v, h R

•

. " .

..

,F

F

{

F

!!..+

F .''l(l-hl

j+

[ _l+lF (z -h 1

lV·.

r '12z

+L F ,

(2) (

•

PT

r h r r r 0 1

...

h, 'T sont

r

Rspec t l VRlllnt 111 idilllntlonnhs dei l i

ou

.,

z,

versions

vitesse, du dép 1 acuent de la surhce labre, d. li topogriphl., et du t . . ps.

SUlt:

,

j

\

-6-

/

U

1 •

rr'

, . t 11 no.br. d. Reuby,

R

,

•

UL

_y

,

lit

11 no.br. de Rlynel d .. , ~

J

•

P

..

..

y

,

.st 1. nOlbre dt Prandtl ,

F

..

f2L2

,

est le nOlbrl ~8 Froud, rot~tlonn.l 1 ntlrne,

r gH

-ou f ut II par~.itrl de Corlolls, 9 est la gravité, H nt h h.uhur .oylnne du fluide It, v et K sont les p~ra.ltres de VIScosltf et de dlffu·

",

de VI t&s'ie. ( L, U sont les échelles de longueur hOrlzont,ale et

L'fchelh de tups utillse est de nature ~dvectlve, egaie

à

LIU. Donc, 'f

rlprislpnte le te.ps sur une échelle. lente. Les

~chÈtlles

du d'placement de la hauhur llbre et de la topographie sont égale à Z = fLU, 11squelln sont

l+IFz(r,t),

r ,F h(r), r

où r 'It le v.cteur dl position adl.entlonné.

4:j

~a

L'utilite des iqu,atlons de St-Venant pour d'trlrl la dynalique atlosphërlque, provient du falt qu'elles correspondent aux equatlons prl.l-bve., ayant une configuration vertlcile tronqui.

l

un seul mode (K~5ahara

et Purl,19S1).

On plut

renchirir lur

CRttl afflreatlon par une analogil.

/

-7-Anojio~1 z(r,t) 1 II hlpfiritur. potentielle, l'Iquitlon (2), qUI e~t en fut une verllon lntigr6e de l 'iquitlO~ de COntinUite, devunt Ilors

~

Inalogue 1 l'équation therllodynall1quB. En eHet, ln deux prellurs ter ... s du lelbre gauche de (2), hormis li topogrlphle, sont iSSOC1&S i II dirivle

rllcrit IOUS uni for.e integrlle,

+ ,F l (r,t) r

I

V·" dl) • IF h (r) r [ l+rF (z-hl _r

lV·"

..

où

•• t II coordonnie verH cil e, et v nt 1 ndépendint de

(P'dlOlky,1979). Ce dernler ter •• reprRsente le terme de stab1l1te ~tit1que

une ."ure de la Vl teue verticale. le ... autres termes ont été 1ntrodui ts;

Ifin d'il1ter les effets d. réchiuffement dlabat1que &t de dlffuslon de II

t .. plirlture potentulle. Ce pnul er est Inllogue .lU terme de source de

I U U F 0 (r) (lorenz , 19BO) , et le second est associe lU

.--

coefflclent de d 1

f-fusion.

...

Fi nile •• nt, il s.ru t bon d' ,ajoutlr que 1 a topogriph1e lU seln de c.

~ lodil. 'It utllisi. t1fin de sllul.r l'effet-p.

~rouv.ri

l'argullintition 1 l,a Slction 2.212 .

le,li,lecteur,lectrice

2.12

InvtlriJnt.

intigr4u1.

---~

les iqultlons de

St-~wffiht

ont troIs variables dip.ndintRs, dont 11 vit, •• e Y, est exclusive •• nt horizontlle. Cela constitue une r'~uction ~e

-8-dyu.iqulI (1),(2)

ont

ité

~ug.enths forulllUlent ~ l~ SUite d'une

Il iaporte de

ri8K~.lner

les lnvarl.nts

Intégraux

claSSIques,

-

01

11

IU.lir. de

teti conl1dir~tlon5.

Nous verrons

~USSl SOUIi

quelles

condl-2.121 L •••••••

Soit

r

un do.aine horizonhl fini;

l~

••• se adl •• ntionni. ",

IOU5-tendue

p.r

r

'It

donn', par

"

,.

l+lF (z-hl

r

l+lF z

(r,t) r

JI

dxdy

J

dll •

r

t:F h (r) r 1

JI

'tl+IFr(z-h) l

dxdy.

r

C1+tF,(z-h»Y -

p\

V<1+F rz) ]

•

=

F r F , [

{

(3 )

on

le

ter ••

de

dlffu~lon a eti absorbi

dans

le

ter.e

de

div.r~.nc..

En

intlgrant·sur Ct

on

obtunt l'iquahon d'~VDlutiDn deloa •• ue

=

F dxdy,

o (4)

où ds

est

un élement de longueur perpendlculalre

â

la frontllre qui

déll.-lt.

f.

Le second teraa du .eabre g.uche

est

11 flux de

'.5se.

Ce ter.e se

co.pos. de

deux parties: la pre~lire est un tran$part de

masse

attribuable

, _-"

_,

)

!

-9-qua 1~ "conda, proportionn. i un gridlent da l.a

uni,

lit un trinsport d • • .aS.' .attribUibl. i la diffusIon.

Lt ••• br. drolt de (4) raprislnta uni lource et/ou

un

pUlt dl 'ill'.

Il rlSlort nota ••• nt, QU' li .iSII lIt con'Irvie lorgquI F

=

0 Où Fest pÎnodlque sur le dOUlne

r.

Le t.r'l d. diHuli.10n n'i iucune lnfluence lur l i conçervitl0n dl la ail".

•

2.122 L "n.rqil,

"

LIS &quatlons de St-Venant (11,(2) for.ent un systi.e co.plet. C'est dire que le louvnmlnt vertical na peut, et ne doit pas IntervenIr directe-'Int dans l~ description du lodile. L'fnergle ClnetlqUe adl~entlonnée, est ilor. Issentlellement une Gnergle CinétIque hOflzontale donné. par

k \ " t a l+[F 2 (r,t> r

If

dxdy

J

~2

dT)

r

tF h (r) r

=

H

~)(I+[Fr(Z-h)li

dxdy.

r

Pour obt.nlr le bilan d'fnargia cinétique, dans le Cil invlsclde Re + •

et non-forci Fo::: 0, nous lIultlplions (2) par (l+IFr(z-h)]y fals.ant us.a~e d. (3), nous p.rvlnons

i

l'expression recharch& ••

a

Ir;

) + V· [ luF (z-hl _r 2

)!

₂ !+IFrz )2 ] + hv'V( l+EF rz ). PUll,

.n

1:

Pour obtenir le bll~n d'inergl' potentlelle idl.entlonni, définit p.ar l'expreslion ;Ulv~ntl

,

-10-noui dlons lultlpU., (21 pu (l+EFrz) alln d'obhnlr

,-.)~'"f'

[

[ 2F2

a

1 2 r 1 l'Y 2 - (l+IF r zl - 2 V' V [ 1 2 2 (1+cF zl r h 2 - ] +

9'[

(l+[F rz)Cl+IFr Cz-hl,,,

J -

hv'V( 1 HF z r 1. , ,

1

=

L~ conti.rv~t1on de l'§nergie ~dlllentlonnie ti'établ1t par l 'ilddltlon das bilans d'fnergla c1netlque et potent1elle,

F

•

•

[

v2

h IF r (z -h 1)

ï

v +

2.123

L.

tourbillpn

,qt.nti.l.

Nous Silvons Que le 'tourbillon potentul

inVI~Cld8 .t non-forci, Pedlo;ky (1,9791,

{

a

+ V'

v" } (

~+f h l+Œ (z -hl r (1+lF _{• r} z).,

J.

eit conservÎ

1

=

O.

'\

t1ul t i pll0~~ (6) par F' (~+f/l+,Fr (z-h». Nous tio •• e, ;alors

..

..

(S)

pour 1. CilS

016 )

l'expresslon lntigrale de CI prlnClpe, SOUS la forae

,

:~

[ JI

r

.. S+f ] l+,F (z-hl r dxdy ] (7) \.

en rallDn de l'utillutlon .de (3) et de l'indépendince du tourbillon sur lil coordonnée verticille.

2.13 Allrgll_,tign gy.'i-gig.trgpblgYI.

L'iquiltlon qUilsl-g'ostrophlque du tourbillon peut découler d'une ilpproXIBiltlon des equatlons de St-Venant,

à

condition Que certillnls

Vilrl-ables idllentlonnées aient

(Pedlosky,1979). En outre, ilvec

R

e

=

;-,

o

des or dr es de grandeur spéciflques

F

=

°

2F'

l ,

où

va

et F' lont dl' pilrillltris d'ordre ~ 0(1), I I ' ter.,. attrlbuilbles

i

lil ViSCOSltf,

à

li diffusion et ilU for~age dlilbatlque n'ippilrat~ront pas

~

Exprllons plelO varIables dipendantes en unI sirle de puissance

de

E,

SOlt

,

.

-12-(0) (1)

" ="

+ [ y + ••• .'

(s'l'

Il .n e~t dl ••• e pour

z.

UnI approXIDatlon des équations dl St-Vinant Ist obtenue lorsque

[«

1. PU' (1), (2) on i

i

l'ordre Q( ,0) 1

l:XY(O) + Vz (0)

=

0, ₍₉₎

V ."'W (0) = 0, < 1 0) CI qUI .ontre qu'i Clt ordre, l'icoull.ent Ist giostrophlque It

non-1 divergent. A l'ordre O([), on a ",(0) COI V (0) _{+ tXy ( 1)} V (1) V2 (0) - +

_"

."

+ Z :& h y 0 ., , ( 11>

[ a

(0) ,,(0) 'V(z (0) -hl

1

(11 V2 CO) F

-!.

+ _{+ V'Y} Il F (

_•

_z

₊ F' 1. r h r 0 ( 12)

ApplIquons l 'opirat.ur k''lx sur (11) pour obhnlr l'equt1tton du tourbillon, et éliClllnons li dlvlrgence V·v ll ) de celle-cl en utilIsant l'iquitlon (121. Après avol-,:,,\oti qua le tourbIllon

i

l'ordre zfro ç(OI =

et qua z(O) pOUvilt servIr de fonctIon de courant

+

en rilsan de li relatton (91, on parvunt

i

l ',quatlon qUill-giostrophiqul du tourbIllon,

=

Par ceUe de trois

1

un 1 e nalbre d.

..

/

- 13

-Jn Ilni~rls8 lRS ~ouatlons de 5t-Ven~nt en ~ll~lnaht tous lei termes

non-lInéaires ainSI Que les term~s topoQraoh,ques et les ter~es fortants.

l

Il r~sulte de ces dernl~res. une solutIon en ~odes normdU~. pdr la

subslllu-tlcn de 1 = ï L 1 'TI 9Xu( I . · r } \ 14) Ou \ U • 1/ • Z 1 T rentlelles ordInaires. ou

•

li

=

1

-1 1 T 8₁ = \ CI)( 1 1/ (l 1/ 1 ) est 1 C 1 c!!1 :: _{li X}

.

dT. 1 1 2 (l ( 1

-1 4l K x 1 e 2 IX ( 1 1

-

-

-

1 IX 1\ Il 1 e 2 ux 1 (1 cl

,

XI VI 1

---

_F

-

_F

-

_{P R}

r r Il un ",,"eteur d'onua dd,-~ 1 ~ 2 (1

=

(1

•

_-'

1 ;( l ... 1

Ces éQu~tlons ne s aecompaQnent d'aucunes contraintes sIon conSIdere

-Que le domaIne est oérl0dlQue, ce Que nous ferons. ûn e~.:!ut de ce talt.

les Ijnlles~de Kelvin ,Pedlosll/,1974J.

Ap~u"é par 1 andlo019 de Rel/nold 1 il

-14-de La Iilsse, r, et de lil dlffuSlon du .oaent,

v,

sont égalesr Plus

par-,

ticulliir'ient, on posera

P

=

1 , Le calcul des valeur5 propres dans CI cas,

•

2 ~O tA 1 1

"

-1 R e 2

r---

7

}. :t 1 tA, , 1 ± l '1 + -~

=

-1 R

'

F

e

,.

Les villeurs propres forllero,' sur 1 il base de 1 eur frequence,>

l'un, dont h fréquence est nulle laIS pouvant généralement deux être prodUIt ( 1 b) l ( 17) groupes: d'ordre

0(,), et l'ilutre, dont la frequence est d'ordre 0(1), Les IIodes assocIés

,

"'-aUx valeu"rt. propres de Al sont dlts respectlvement, lents et rapIdes.

- Hl

yi

MO

₌

1 _{1 Il , ( 18)} i

J

1+1l; XI

est caracterlsi pir un écoul'Ient giostrophlque et non~dlvergent. En effet, Sl l'etat 1 est prOjete unlque.ent sur ce Iode, on a alors les relations SUlvilntes,

v - ICI Z

=

0,

-" r

fil

-15-14 U + 14 " =

a,

Xl yl

qUl liont les RQulvalents ipectr<1ux aes équatlons sU1vantes:

j

az

u ..

_ay

=

0

_,

- v + il< = 0,

au

Iv

i;

+

ay

=

0,

dans l' espaCI! réal, Lel th 1 (980),

.-'"

.

Le'i Dodes r ap ides

lU

_.1 1 appelés aUSS1 œodas de gravIte sont donnés par ,

.,±l

1

où

_ai

₌

1.₁1 et

w/~·

hl Salt 41 W

±

i Il Xl 1 yl a w

....

;~

.

=

yl 1 1 1(1

(2

ai loi 1 _Il. 2

ri

1 Fr ~

l

~l +1 )

.

las coifflCl&.ntS ilsliocles aux .odes

( 1'1 )

'.

.,. + l ,

1

Il i. -1 . Leve c: t eu r l, a li t il 0 r s don n

e

p o1r

l'

₌

~

[

R (7) MO .. S+(1).+1 + S-(7),,-1

}

exp ( 1 ai 'r )

1 1 1 1 1 1

(20)

"

Exprllllons l,

_RI'

SI

..

l 'G 1

-

en une sérle de pUliliance de

,

, I l ressort

aIsément du trai tuent de 1 . approXl.atlon quaIi1-géolitrophlqù8 , fa 1 t pr

i- .

\

-16-c&d."l!nt, que Rl ut d'ordre O(ll alors qu. Slt .çt d'ordre O(d.

2.2 ladl1 • • • 'Vir ••• nt tronqué.

Il Ii'agit 1l658ntlelleunt ICI, d'appliqulH' li dthode de GalerkIn l un

"n!ile.blll IIl1nlGlal de fonctIon; d~ baliQ. On entend par enu.ble lI\lnllul, le

plus plltlt enseable de fonctlonSi; telle que la projectIon des termes

non-1lneo1lrl1S sur les fonctions de base est non-nulle. Pour des equatlons ou

les terlles non-lInéaIres sant un J)rodult de deux fonctIons, j'enselllbie

lIn lilial Ilst co.posé de troIS fonctIons dlil baçe, denommees trl,ad-8,

Sqlon cette

.ille

.et'Iode, la projectIon des equatlons dynamlques sur des

fonctIons de, b.sc.' ext6rll~url!s

a

l 'ens9D1ble un14lal, est par deflnltlon,

nulle. 110115, Il n'en va pas nécessaIrement de lIIêlUe des InVarlants lntegraux.

Pour le cas Invlscide et non-forcé, l 'énergll~, lorsque proJet6e sur une

l

triade, n'est pas conservée. CeCI étant, parce Qu'elle se manIfeste COllllle

une èxpresSl0n qUI n'est pas essentiellement QUtldratlQue en termes du

amplItudes des fonctlons de b.se (Gent et t1acWllllalls,19B2l. Pour une

raIson Identlque, le tourbIllon potentiel proJeté' sur une trtade n'est pa~

conser 'Ile. En ce qUl a trad

i

la prOJéctlon de la liasse, celle-Cl

1

intervenIr l'lntégr.le sur

r,

d'une COlllblnilson llnéalre de foncbons de

base. Donc t 1 a proJ ectlon de la _aSie s'annule 1 dentl queunt.

2.21

Fan.

ri.lle,

Ahn di pouvoir cOllpirlOr les réSiultitSi de cette recherche avec dIverses

Rudes en cours, les expenenclt; nUIl9riqueSi ont ";té produ1tes ',i partH' du

1

,

-17-lodèle uploy6 p~r notre précurseur, Lorenz (1990), Nous ne donnerons ICI, qu'une brive descrlptlon de ce lIIodèle, et référons le,la,lecteur,lectrlcil a

1 ~cle préclte, pour de plu" .. Hlples détails.

'-2.211 Equations sp_etul •••

Pour obtenir le .o~ile de Lorenz (1990), on dOit d'abord exprllur les

Ce choIX Implique notam-unt, que le nombre do par~lIIètres Indépendants est considerablement rédUits, de lIême que le nombre d' expér1E~nces numériques requIs pour aVOH une \luge globale du modèle. On remarquera que le telllps êvolu sur une échelle de temps rapide qUI sera denote par t. On utlllse le theoreme d 'Helllloltz pour tran sf Driller les équa.t1ons de St-Venant en une equatlon de dl vergence, de tourbillon et de déplacement de la surface libre. Ce systeme est ensuite prOJ ete sur les fonctIons propres de l'opér~teur laplaclen, =

COst( . i 'r/L ),

+1

=

s}n(

.1

'r/L )

1

où , lCl, r est un vecteur horlzont~1 de poutlon non-adllllentlonne, Les équations spectrales qUl en résultent sont tronquhs à une seule triade. Les regles de selection obllgent liS nOlllbres d'ondes

-1'

a

liiltl,sialre

â

la rel atlon SUI vilnte

Pour chaqua lIode, les varlables ; , ~, z sont décrites par lilX Uplltudu, trols.résultant de la projection de CliS dernleres 'iur

+1

et trOI'i ilutres

re-..r

sultant de la projection sur

+1.

Au total, dix-hUit alDplltude'i ser vent

..

~

decrlre ce systeme. Un c~lcul de l'auteur, non expliCIte leI, montre cependant, que la nullltë des ~"plltudlls cris modes forme un sous-a5pace

-18-N

lnVulint. en effet, les il1lplltudes des /Dodas

+i

delleur.nt null'es, Sl 1n-ituluent elles sont êg~18s i zero,

.ur

+1

du potentll11 de viteliS!! X de la fonction de courant ,

diplacuent de la surface libre

2,

respectlve.flnt. De

.allle,

FI et hl sont

15liUeS des projections sur +1 de F et h, Le .adèle prend illars lil for.e riell a su 1 vinte,

~l 2c 2

. al _dt

=

.llb1XJXk - c(at-ik)XJYk + c(at-ilJ'YJXk - YjYk

2

( 21>

- "Oil Xl + .llYi - ail l

tii

_{-ilkbk X JYk + C(ilk-.lJ)YJYk} 2

(22) al

=

aJbJYjXk - il Xl

-

_{VOillY l} dt ~ :II (cyJ-bk)(J)(z\:-h k ) - (CVk+bJxk)(2J-hJ) dt + goi l )( l - _{K O• 12.1 +}

F

₁ (23) 1

au

i:1,2,3 litt f1 ,j,kl forunt un, perllluht 1 an pairl dlit (1

,2,3),~

li ai :II _{Ci •} Cl' b_i = _-j'-le ::

t(

_{al -i-r i le} )

,

2 Cl

=

-j X-le 'k : ( _b 1b2 + b2b3 + b 3b 1 )1\2" c.

L'§quition qUi51-géostrophlqul du tourbillon s'obtilnt

l

partir dl (S),

,

-19-i.pllque que la divergence Xl est nég11geable devant le tourbIllon Yl ou le diplilcnent de la surface llbre 2

1 , De plus, l'alciilératlon et l'advectlon

de la clYVergance sont negllgeablè's devant le tourbllion et le dfiplaceunt de

la F=!Arface i.!lre. De l'equiltlon (21), résulte l'9quation gQostrophlQue, YI

=

Nous supllf10ns 1 Îlquiltion du tourbllion (22) en négllgeant

l'advllctlon du tourblllon par le vent dIvergent comparatlvuent

a

calle causé, par III vent rotatIonnel. Avec ce qUl il été dIt prêcedemllent, on

elulne de (22) tous les torlDes comportant la dIVergence, Xl . L' équatl on de contInUIte Intégrâe (23) se silllphfie on negllgeant loi dIvergence devant le tourblllon, et le déplacement de la surface lIbre devant la topographIe.

(23), lilllpliflee avec lï!quatlon (22) apr91i la lIIultlllcatl,on pu go on obtient le résultat recherché,

2.212 Chai!

dl'

,.hyn

ay.irigM".

LIS valeurs nUlirlquas donné .. aux para.itr'li sont confàruli

i

Cilles attribut ... par Lorlnz (1980). La,ltl,lect.ur,hctnce notéra alors qUI l n variabllS adiuntionnhs ne liant pas "'CIliUlrfillant d'ordre 0(1).

LIS ptlr .. ëtres 9folletnques L'et H, alnSl que le paruJtre dl COrl011S

f, lont CIU)! que l'on retrouve chaz les ondes longues

quasi-g~troPhlqUe,

aux latltudu Iloyannes, S'Ht L:s 1080 kl, H

=

B k. et f-1 :1 10900 uc.

=

3 heurei. Ainu go est 'gal ~ 8.0

L~ triade est donnée par 115 vectlurs d' ondu sui vants. -1' ~'-3 tais que -1 pOlnte vers le nord, :-11

=

I~I

=

et

•

-20-: l,

~3

r

3, un cu

di9~nire,

Ce ChOl~

const 1 tU. pUllQue certilns ter.es non-llnailr.s

(211-(23) ,'annulent.

Le. p~r.u'itra9 for~~nts Fi et hi sont purellent zonaux, c;est-l-dHI qUI _F2

=

F3

=

h2

=

h3 ~ O. La valeur de Fl' quoique p051tlve, n'est pas Ipiciflée i l'avance et devra être consIdérée co.~. un para~ètre de blfurcitlon.

Une

étude en ce sens est ~nnée

au

chapitre 5Ulvant. Le signe

de hl dOIt être négatif, .fln d'obtenIr une dynaGuque apenodlque. Car, ce choix permet d'etabllr une andlogle avec le cas dasormais classIque d'aUr.chur étrange, etabllt par Lorenz en 1963 (Lorenz,19b3,19BOI. L.

gr~ndeur de hl nt fixée

a

partIr de l'équation du tourbIllon potentiel, ou

l'Iff8t-~ est equlvalent

l

une topographIe varIable dans un pl in-f

(Pedlolky,1979).

En

particulIer, on

dcit

avoir

~L

Avec

, • 2Q

cOI(4001/a,

où

Q est la fréquence angulalre dl

la

t.rre et Ion rayon, on trouve hl

=

0.64. Loranz fUll _{h 1} = -1.0 •

La valeur de la Vllcosite turbulente, est dédUite

Z

partir de l '.chelle d. tUpi de di "1 patl on dRS systeus liynopti ques dans l' ahosphere.

Cette

échelle est d'enViron lix jours. Ainsi on i "'0 li 1/48.

Un cal cul (23)

où

K

nu.ir,quo

d.~r.

propr •• d. 10 v.r.lon Iln&o,r. d.

(211-.glt l tltre de vari.ble i

été

hit pour la valeur donnée de

,

Yo.

La

flgure l,

presente l'a.ortlsse.ent .dimentlonne,

·~'est-â-dlre la

putie

réelle das valeurs propral divlfiRRli "Par en fonc ti on du noabre

-21-dit Prandtl. Les 11gn.5 contlnuei st point1l1ê9~ correspondent, reSp9ctlvl-•• nt, aux .odes de ROlisby et de graVlte. A la figure 2 se trouve un cillcul sil1liire iiuf que la diffu510n ~o fut fl)(é" ~ 1/48 alors que \1 ilglt COI'"

var101ble. De ces figures, 11 e~ â retenir qu'a P

;tilt de gravlU sont i'galvlumt i.1II!tlS. C'lIst là une

t,\

=

l I e s lDodes de Rossby

!iltu.atlon qUi,

pense-t-on, nt favorabll i un eXiien de l'ulportance reI.iIt~ve des ondes de gravit.

rapides, r appor t aux ondes QUiliii -geostroph 1 que; lentes criees

l'ilipect non-l1nealre du systelli!. A }'(nShr de La~ (1980), nQUI

adopterons l' egall te des co6H 1 clBnts y et IC.

5110n lei v.aIeurs nUlIIlriques donnaes plus h.aut, ) u fréquencas

uloc1Êies aux Iodes de gravIte nu.frai 1 et 2 sont égiiles } 3.0, CI qUI

éqUIvaut

a

une penode'de 2» heures, alors que la frequencl! assoClee aUK

.odes de gravite numéro 3 est 5.0 1 correspondant

à

une p~rtode dl! 011/5

hlures. De plus, 11 rehort Que l n Iodes de gravlti ,ayant IIi plui haute

,

fréquencl, sont les plui amortis.

On a vu qUI l n .odn de Rouby sont gifolitrophlQun. En 1 'occurrence,

tlli .Odll, au

no.bre

dl trois, lont

caract'ruh

par du dlver;.nClIi

nulles

0, ( 25)

.t uti,font lUX relations g'Dltro1)hiqulS

Q. (26)

L

\

'b

_....

'b

_....

1-~ hJ

2:

l&l

(l)b

(1) ....

..

....

1-a:

1:)

x

a:

'b

_....

-

b

_....

,. ,

... tG)

...

/ •.•..•

~1

,Ga'

•

.

_.

•

.

_.

.

_.

_.

.

_.

_.

1er'

.

_.

_.

.

_.

_.

_.

.

_.

_.

.

_.

_.

.

_.

_.

.

_.

. .

_.

. .

..

"

.

. .. .

..

_..

_..

NOMBRE

..

_...

.

...

_-

_{... ..}

....

...

... .

"

..

...

-

... .

_...

_"

_...

..

... .

1

,figure 1. Afllorttss&unt aduentlonné en fonction. du no.bre

il.

Prandtl. Cu ou "0

=

1/48.

-'

"'.

,.

lot

'b

".

~r

-b

G

J

-

.'

L

..

...

,

... .

... .

...

... .

... .

Gl'G2

,/

... .

...

... ..

..

bl----du nombre de Pnndtl. Cas où Ka = 1/48.

'(

\

•

-24-On entend pir for .. norul~t l '"nsellble des 'quatlons 9IteJ:~rales

non-lin'air" .xprllllts en Iodes nor • .1ulI. Nous n'lndlquerons dans cette sectIon ,

qUI l i procedure i suivre pour les obtenlr. L., procé~ure est suple, .. u tris longue. Pour une derlVihon iqulvillente, 11 faut en riférer

...

•

Wun

119Bb).

(21)-(231 av,c les ichelle!ii qUiu-géotttrophlques, telles que specIfléRs

à

la

IIIctlon 2.12. Dans un deu>Clecae te/llps, li S'iglt de conv~rtlr le tellps par la

rel.tian 'T:: lt. L'echelle de tel1lps en ce cas-là est rapide. EnSUI te,

CU equatlons sont diagonalls6es en tenant cOlllpta de (15). On obtlent le

,yst elle SUl vant:

~

+

,AIt

=

,PIR,6,HI + (FR'

dt

(271

(28 )

...

ou _{• .. (Rl"") ,,8:: (6 1 , •.••• ;9 1 , ... )} T + - T iont les vechurs d'alllplltudes

p •

de forcage ISSUS de li dlilgonal15.ltlon. Les lII.trlces de vlscoslté et de

friquence,

,

:: _il :: _{dl .il 9 ( <J 1 -1 , • • •} 2 _{j -W 1}

-1 , ... )

2 T _sont

diagon'alls. P et Il représentent les terlIIes non-linéaires et 115 s'écrivent

1

dl • .1nlere sYlllbollQue sous

L.

forme,

:: ₍₂₉₎

•

/

/

-25-où Il'"l sont des fonctlons vectorlelles, et quadratlques de put leurs ugullents. Il est ~ noter Que le terali! d'auto-lnt~ractl0n des Iodes de graVIté nt absent de l'equatlon (29), Wun (198b).

Jf

;

.

.,)

Telles quelles les équatlons normales (27),(28) ".ontrent leur dépendance par rapport au nombre de Rossby. La noabre de Fraude, présent dans ces equations, n'a pas

été

Ixpl1Clté en ralson de sa cOllplex~'tê, et ne sara pas uttllse pour analyse ultérieure.

CHAPITRE 3

SYSTEftES

DYIRNIDUES

Las iquatlons spectrales, sous foru ré.ile ou nO'i'"lUle, constltulnt un systille d'equation .. dlfHrentlelles ordInaires appell~ au liS 1

f

dyn.lIIllque. Dans de nOlllbreux problèmes poslis en sClence, on cherche non pas

1

la solution eXilcte

a

de tel!i sY5tèus, malS plutot l'Interpretatlon

~

qu'offrent les lio(utlOns. Cependant, la plupart des systèmes dynauques n'ont pOIS da soluhon .. analytiques. Devant un tel probl~lDe on en ilppelle

,

génêralelllen-t

à

la theorlé des systemes dynuuqulu ••

(

Cella-ii sollIcIte un espace de phase constItué

à

partH des vanables dépendantas du systell9. L Ë~volutlon d'un lIIodale Elst alors donnée par la

trajectoIre d'un pOInt dans cet espace. CertaInes carilctenstlquei gio"étrlque!i et CInématIques de ces trajectoIres peuvent âtre connues

dHe-",

,

etuent l partH de la forme des Gquiltlons, sans avolr:l trouver les 501u-tions, d'où l'lnterêt de cette théOrie.

-i

L'objet de ce chapItre est d'exposer une part19 de cette théorIe, s'averera utile

a

la comprehensIon da la théorie de Iii varleté

1

lente. \{..e contenu de ce chapItre fut lilrgelDent tIré ~u Ilvre de GUckenheu-er et Holmes (1983).

-

..

ou 1 ginir6a. dl dt

=

-27-f (I) ,

est un vecteur représentant l'etilt du systihe.

•

p.r le systèlle dynamique peuvent être très

(l)

Les traJectol reli cOlllplexes.

cerhlns cas le vecteur d'état ne lIIontre .ucun Signe de pérlodlclt~, on dit alors que le 1I0uvellent est aperlodlque. Dans d'autre cas, l'évolution a long terme du vecteur d'etat est senslble i l'etat lnltlal, on dit .lors que

1

le cOlllporteunt du systellle dynallllque est chaotlque. Toutefols, 11 en est pas .Olns vrill que l'état inltlal 10 deternllne l'évolutlon future de l'étilt 1. Pour cette ralson, le système dynacuque (1) est dlt déterllilniste.

Con-sidérons l1aintenant quelques elêlDents de la théOrie des systemes dynalllques ditE/rail n 1 stes.

"' ,

On definlt lé flot +t COlllle une application de l'espace de phase sur

~f

lUl-.i.e, tel que _{+t(l o)}

=

I(U, où l(t> est l'état au te/lps t lSSU de l'intégration de (1), ay.nt 10 pour etat inltIal. Certal nes hyp ersurf aces de l'espace dr phase, deslgnées aUSSi cOmllle varlétés, peuvent constituer un sous-espace' lnVariant par le flot. C'est

à

dlre Que 51 10 c III et +t"o) c W Vt, W formera alors un ensliit,lDb1e lnvarlant. De plus, 51 &il est une

hyper-1

.

surface, nous pourrons dire qu'elle représente une variéte 1 _{nvan ante.}

Appllquons ces notions

'i

un systeme dynaallq~e l1néalre et hOlogène. SOit, f(l)

=

A 1 où A est une Il.trice. Sur h base des valeurs propre!i\de,

\--A, on d1vlse l'esp.ce de phase en sous-espaces,

E~ _enoendré 5 5 ~

..

.

~ _"

.

" 1 _Il,, .~ ~ 1

,

_1. 1 1 t = Eor,oendre _{l .} J. )

.

ni EC = er.oendre

,

_Xl' c A (

.

,

.

r, c

..

ou les ~SSO(leS reSpe(tlve~ent au~

'valeurs propres dont lil partiE! r~li!lle est pOSItIve, néQat,ve et nulle. Les

sous-espilClHi ,>ous

-elipdCf?S stdbles, Instables et centraux IHIr'ch et 51I1ale,l<;7<)).

avpc ~,/ - 1 v

1

A

₌

1) '.' 0

::

et dont les valeurs orODre~ ~onL)' = 2, I t l . ;-1. or. ,; & fin 1 : a , 1 ;:, r:. 1 e "

:ous-eSI)",;:es E 5 = enoendre ' { \ j , v , ù ) , l l . l , ' J ) ; , El

=

enoendr~ Ces :'OLlS-espdces sont InvarIants Par le flot.

flot dar,s la houre 3.

"

.

,

Conslderons 1II.11nten-.nt un cas r,an-llne:ure. SOit

d dt v = Ü

JI

x

1

+ \J - 1

t f

o

_X"

_1.

(IX ~ ,(,. v. 1 1

...

ou cOlneléent respect!velr,ent av""c les .J .es ~ .,t v. So 1 t

',<! t

I?t les equlvalents non-llnedlres

,

,

des sou,;-efttlaces lllv"rl .. nts centrill.X

et .. t .. oles. Lor sQue

=

0 on const..te QU!:, .::. 'l Hl or s

~

,

,

-29-hgurl 3. Portralt da l'espace de philse nsocl@ aux valeurs propres 2, 1+1, 1-1 ,

l 'axe-y est un '''- sous-espilc~ :nvar1ant pour les iqu~tlons non-Il naal res, et plus prêc1seeent _{un sous-~space sable} t U", _{R Un argument sllllla1re pour} l'an-x ne permet pas de trouver' Wc. Admettons ÇI\.:e la variété centrale

.w

c alt pour 6'quOltlon y

=

hl)!). On ol Ollors,

Posons xh' (x)hlx) h (x)

=

ilX 2 + bx 3 +

a

(X 4) , \ 2 Il -h (x) + eXx • (

nous ob t\?nons h 1 x)

=

clle 2 +

dlagral.& du portralt de pha5e est donné

i

1. flgurQ 4.

Un

Une eqUOlt10n dynOlllQue de lil vOlrlite centrille est obtenue en relplacant

J

h(x) pu y dOlns l'equation dynillique de x~ soit

dx dt =

3

-)0-)(

\

flgure 4. Portr.it de l'np.ce de ph.ie avec les le, SDul-VSpacqs lnvarlants E c 'f E s ,tri c et W • s

•

Rell.uquonl que la dynulque cl long te9.e est contrillnte

a

prendre plice sur

1. virlété centr.le Wc. Ceh constltu8, pour le systèle dynallllqu8, une re-,~ ductlon du nombre de degré de Ilberte. Cet état de falt est chose courante en .étéorologle. Pu exemple, le vent peut être donné approxllI.ltlvlHDent par

..

la hauil-eur géopotentlelle. Une Sltu.tlon comp.rable est donnée avec l'équa-tlcn oméga où le mouvement vertlcal 85t obtenu i partIr dei mode5 rota-honnels.

,

~es notlons vues précédellment peuvent être étendues aux sYitues' dynamlques non-llnéalro/-i grâce

i

deux théorellIes. L-e pruler, dlt de· la v~rliti centrale, est un th'or~De local. Il énonce l ' ex l stence de var l étls Il

• / )

,

1 nvui intes coordonnees. -)1-stibles,lnstibles et centrales près de

Le

second~

que nous

no~œerons

le théoreœe

d~

la varléte 7

ln-varianh est dû

à

Fenlchel (19711. Il énonce l'eXistence d'une variété ln-varlinte globile pour un systeme dynamique dependant d'un paramètre.

Ce

thRori.é est toutefOIS dlfficile d appliquer.

Théorème de la variété centrale: conSidérons le syste .. e (1) où f(O) =

O. SOl,t A :: Of(OI, la matrice jacobienne de f evaluée en 1 :: 0,

a

laquelle

on

aIiSOCI~

les sous-espaces ES,EI et EC. Selon ce theorellle, Il eXIste près

de des var 1 étes et pour le

dynulque néln-llnéatre (Il. De plus, elles sont tangentes aux variétés ES,E1 et EC à l'origine. La dlllension de ces variétés est égale au nombre de valeurs propres aSSOCiées

à

chacunes d'elles.

du type Lorsque les

dl

dt dY ~ dt

=

=

1

,f

l (Z,y,ll,

conditions d'Inversion 1 e plPr.et t Rnt, 1

=

l(yl

variété InVarlante pour [ :: 0, tell e que f

1 (Z(YI, Y,O) :: O. valeurs propres de Ci Hl (Z (y) , Y, 0) , aI

ont

une~.partlll r.elle non-nulle, le systeu (2),(3) _{pouid" unI}

(

(2) (3 ) définit unli Lorsque les var i &t·é

1n-

-)2-1

=

lIY,t) pour, Suffls.alllaent petit, qUI tend vers 1 (y)

lorsque ( +

O.

D.ans le C.JS

nù

le~ p.artle~ rielle~ des valeurs proprls ~ont

J.2 Attncttur,

ConsIdérons un systèle dyna.lque Ilni.Jlrl où toutl~ les v.aleurs propres sont nég.atlves. Le flot d<ln; l'esp.ace da phue prend l'a;pect d'un foyer

•

convergent vers l'onglne ( VOH figure S). Quelque SOit l'état Inltl.JI"

•

(

l'état du ~y.tlll s'approche contlnulll •• ent da l'origine. On dit qua' l'onglne est, d.ns ce cas, un .attracteur. En l'occurrence, 11 s'agit d'un pOint fue,.c 'est-i-dH& que le flot ISSU de l'onglne 0, +t(OI, dUlure ~ur l'orIgine, +tIO) ~= O. Cette condition n'est p.s néCeSS<llre i l'existence d'un attracteur.

./

-))-Un axe.ph, désormais cfas'Siq'n' fut

~tudié

par Lorenz(1963) pour un problua de convectlon. 11 dallontra, en outre, l'existence d'un attractaur apérlodlque ayant des proprlétés chaotiques.

,

La notion d'attracteur peut être forcullsée toue SUlt; SOIt D, un

volu •• de l'espace de phue. Par 1.1 continuité du flot, l'image de D sous IR flot +t forme un volume representG par vol +tCD). Lorsque le vol-+t2(D)

<

vol tt1 CD) pour t 1 ( t_{2 ,} on dit qu 'lI y cil contrOlctlon dans l' t"pace de phoa5e. L ''évolution du vol +t est en outre donnée pu l'expressIon suivante CGuckenhalmer et Holmes,19831:

d vol

+

(D)

=

l

V'f dl.

dt t (4'

D

En l'occurrence, an ce qui ~Dncerne le lodile at.ospherlque C2.21)-(2.23) t V'f

=

-3v oIa i

= -

0.313. L'upoace de phoase est donc li'nIfo,..fment contracté et ce

l

caule de loa prisenc. de viscos1te dans le .odila.

(;

Un espace de phoaSl contractant peut auni s4r,.~orter un ensemble At in-varIant par le flot. SI le vOIslnage V de A se contracte de manIère

i

ce que +tCV1 c V, donc +tCV) + A lorsque t + ., alors A est appelé en.ecable attracteur. Dans la SItuatIon où chaque pOlnt de A est aUSSI un pOlnt d'adhérence, alors A est dit un attracteur. Oins tous le, cas, un ensaDlbll! attroactllur ou un attracteur possedant un valulI/!? nul. Cela dIt, la dlllension de A a,t toujours lnférllure

i

celle de l'upace de phase. Notons quer U

l'ütrictaur ast unI! varlété, elle sera quoallflée d'invoarunte.

Selon Lorenz (1990) 1 le sVlti.e (2.2.11-(2.231 contant un/ attrictaur •

,}

-)4-la preuve est étay~e par le comportement asy.ptotlqu~ t + . des solutIons nUlériquls.

On

présvnte aux f~gures

h,7

et

8

une prOJectlon des attracteurs de (2.21)-(2.23) pour Fi

=

0.2, 0.1 et 0.07, alors que les autres paralitres détlennent les valeurs habltuelles. Ces fIgures sont le resultat dl 375 jours sl~ul6s en utIlIsant la method€ de TaylQr ( avec N

=

8 et 61

=

1/24), et dont on a retr.1nché les 187.5 premIers jours pour eilminer les lolutlons tranSlantes. La mfithode

de

Taylor sera exposee au chapItre ~. L'attracteur pour _{F 1}

=

0.2 est un cycle lImIte de perIode 8.9B

si.ulis, Les attracteur; pour FI

=

0.07 et 0.1 semblent au contraIre apinodlques, quallhes aUSSI d'étranges. Lorenz (1963) montra que l'apér-iod1Clt@ s'accompagne généralement de chaos. AinSI les attracteurs pour _.,

=

0.07 et 0.1 sont chaotIques, Legras et Vautard ~19B5).

Considiron6 un iystille dyna.lque d.pend~nt d'un puultr.~. On pourr J1i t l ce momant li penl.r.1J forcage dlabatlqui du

,

lIIodil. spectral

En varIant ce paraeëtre, on const~te nabltuelle.ent que le .Ddile lie comporte de unlira analo'gue. Caplilnd<1ntrj' 11 "xuh deI valeurs critiques pour lesquelles le comportement du modèle change de nature. On dit ilor5 que l'on a une blfurcatlon.

• Considerons un exemple avec; f (li)

=

!lx - )(:1 ou., 1ft x

!l liont des

vecte~ reels unldlmentlonnels. est donné

...

a

la hgure 9. Au pOlnt (Ko'llol :: (0,0) sont lSi!iUIl'i quatre branches d'iqul-libre, x :: ('l pour 11<0 , x ::

fil,

x = 0, et )( =

-i.,

pour Il>0. Lorsque la

,'l

-35-•

•

·

r---~---__,

CI •

c\I

•

CI CI

-

.

(r)CI - 1

>-N CI 1

..

CD

•

CI ~ ______ ~ ________ ~ ______ ~ ________ ~ ______ ~ ________ ~ 1_

_{0 • 8}

_-0.1&

_-0.2

_-0.0

y

(2)

0.2

0.6

figur. 6. Projection sur 1. pl ~n-Y2Y3 d. l' attr~cteur pour F l :r 0.2 •

) f 1

1

/

\

)

--)6- ,

co

.

"

·

~---~---,

o

:JI

•

o

N

•

o

0 • ("')0

-

1

>-N

•

.

.' "

...

e.

0 1 ( i :JI ---"

•

0 1

co

•

o

~

______

~

________

~

______

~~

______

~

________

~

______

~

1-0.6

-a.lI

-0.2

-o~o

0

2

0.1&

0.6

Y (2)

flgur' 7. Projection

.u~

_{II,plan- Y2Y3}

dl

l'attracteur

~our

FI • 0.1 •

1.

> J

\

)

-37-CD

.p---~---~

o

• Q N

•

Q Q

-

.

(\')0 - 1

>-N

•

o

1 :1

•

o

1 •

o

~

______________

~

__________________

~

______________

_ 4 1

-0.6

-O.q

-0.2

-0.0

0.2

O.Q

0.6

Y (21

figute B. ProJlction sur l,

pl~n-Y2Y3

de 1

·~ttr~ttaur

pour Ft • 0.07 •

'.

-)8-négative, la branche est dite stable, car le flot ~ pro~lmlte y eit attiré, De telles branchas ont iti deSSinées par une 11gne sollde, La branch.e Instable, repr~sQntie par une ligne pOlntlllêe, est assocl~e

à

une valeur propre posltlve de 0xf~, La solution statlonalre x(~) = 0 de cet exemple ait en fout un pOint de l'espace de phase que l'on appele pOint fIXe. Cette lolutlon stationnaire se dpstabilise lorsque le parametre ~ passe d'une valeur negatlve ~ une valeur pOSitive. ICl la déstabilisation 5 accompagne

d. l't1pparitlon de deux nouvelles branches stable5, 15sues blfurcatlon, de facon

_,

~ ce que le flot

trouve un pUlt non 101n de celU1-Cl,

f

bifurcatlon fourchette supercr1tlque •

j S

..

.

instable ISSU de x(~2.~

J

Une telle blfurcatlon

• • • • • JI.

r

t t

du 0 est

figur.9. Diagraaae de bifurcation fourchette supercritique.

(!

pOlnt de pour Il>0

dlte

L'Utlllt6 de cet exemple et aussI de celUI qUl sUlvra, prOVIent du faIt que 1&. blfurcitlons rencontrées dins les syst&mes dyn •• 1Ques peuvent s. ri5u •• r en quelQuR~ cas pricis (10055 et J05&ph,1981l.

En ter ••• aithi.itiquls, considérons l'équation (lI où en lieu et pl.ce

~

?

\

-39-dt f(I), on iiura fll(~)' Les solutlons statlonnillres de (1) sont donnees par

1;

I(~) telle Que fll(l) = O. Selon le théoreœe de la fonctlon l~pllcite, les iolutlons d'equlllbre 1(11) sont deultes par des fonctlons l1sses ("sillooth"' dt Il, lorsque les valeurs propres de la matrIce JacobIenne Dfll(l' sont

dlffRrentt~ dQ zero. Lorsqu'au contraIre la matrIce JacobIenne s'annule pour Il = 110' 1'1nvers1on de fll(l) n'est pOIS un1que. De sorte que 110 est 1-.1

valeur de blfurcatlon, car dans l'espace (l,Il), dIt de bIfurcat10n, cette sltuat10n se tradUIt généralement par l'émergence de plus1eurs solutlons

,

-d'eQudlbres ou branche, autour du pOInt (lo'llol,

EnfIn, procédons' i l'6tude d'un cas de blfurcatIon

1

de Hopf supercrlt1que, le\.l~el génerallsé la ,not1on de blfurcatlon d'états sta-tlonna1res vue précédemment.

On

verra, en effet, qU'lI n'y Ci pas que les

branches statIonnaIres qUI peuvent ~tre Issues d'une bIfurcatIon. Un axe~ple est donne par l'iquatlon SUIvante,

)

2 2

J(

= -

y i- X (Il ~ (x +y

»,

2 2 Y

=

le i- Y(1l - (x +y )1. ~

En tranlfor.int ce Iylte.e en coordonn'e polaH'a

... 11 r'iulh

.

e

₌

1 , r (Il - 2 r

₌

r J.

la f 1 9 ur Il 10 donne "1 e dl .tgr uaut de blfurcatlOn.

, ·(S) (6) 'x :1 r COi', y :1 r !tlne, (7) (8l De (Xo'Yo,IlO) :1 (0;0,01 proVlennent deux br.nches d'SQuillbre et une

iurf.c~

st.ble d'équatIon r2 :1

Il, sur liQullle le flot clr'cuh

i

vlte.SR ingul~lr" constante. Pour une

l'f

,

-40-y

0 0 0 JI.

figure 10. Ol.gr •••• de bifurc.tlon de Hopf supercrlt1qua.

r

valeur donnfe de ~, la tr~Jectolre dans l'espace de phase est une ligne -l

ferlll8 que l'on appelle cycle

_,

!laite, car cette courbe fer.é est attractive.

" Les valeurs propreli de Ofll(O,O) sont}.

=

Il

±

1. La paIre de'- valeurs

~ropres conJugue~5 tomplQxes crOlS8 de gauche a dro1te l '.xe 1mag1naire, lorsq",e paGsa d'une valeur negatlve i une valeur pO~ltlve. Un tel COlllportlulent des valeurs propres caracter1se la bifurcation de Hopf supercrl tl qUfi. [Jn cycle Il.lte''st .. ble de mêlle qu'une branche Inlitable

<'

po~r

-!

II~ vont ~lors appar~ltre, dêsslnes par une lIgne de cercles. Pour 1 a bIfurcatIon de Hopf s8uscrltique, le scenarlo est Inverse. '

..

Les. valeurs propres, conjuguées complexes croIsent l'axe IIIIaglna1re de drolte,à gauche, lorsque Il passe d'une valeur negative ~ une valeur POSitive. Cette sltua-bon s.e traduit par un cycle Illlllh Instable qUI Vient s'éffondrer. sur la brclnche 5tclble au pOInt dit bifurcation. Pour ~>O, la branche stable' est devenue lnst~ble.

,/

,

./'

-41~

Ceth l1ste de bdurc~tlon5 n'est fas exhaustlve •. ToutefoIs, on verra sous peu appara~tre ces bifurcations pour les equatlons spectrales (2.21)-(2.23).

3.4

,,1.tApa. ,tttI9lIjAr •••

Les ëqua~ions (2.21)-(2.23) possèdent une solution zon~le et sta-tionnalre. Cette dernlere, dite solut~on de Hadley, est obtenue en annulant

1=2,3. En outre,

• le forcage dlabatlque dOlt \ nécessalrement être zonal,

slnon,la solutlon cesse d'être st.tl0nn.lre. Sous ces condltions les termes non-linéaires s'annulent et on trouve alnSl pour solution statlonnalre:

"

F 1 li 1

=

- Ib 1

l

2 ' (9) r '-F 1

YI

D

,

2 va,lb 11 (10) 2 . (1 +y 0) F 1 z 1 ;:: . 2 v o lb 11 (11 )

,

L~ stabl11te de cette Solutlon; nous.est donnée p.r les valeurs propres de l~ ~atrlce )4coblenn~ du ~embre drolt de (2.21)-(2.231. Ces valeurs p~pres sont estlmeeS au pOlnt flxe de H~dley. Le forc~ge dlabatlq~e f ₁

1

est un paramètre de blfurc.tlon, tandls que les autres para.ëtres possident leurs valeurs habituelles. lorsque FI varie de 0 a ( O.Orb,_les p~rtles

rielles da. v~leurs propres sont toutes nig~tlves. Par consRquent, le pOlnt