Devoir de contrôle n°1        4ème Sc Expérimentales Me Bayoudh 28 10 14 _Pilote_

• Exercice 1 : (3points)

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes, en justifiant la réponse. Vrai Faux 1)

lim_→ 1 − 3

√ + 1= −3

2) L’ensemble des points M d’affixe z telle que | − | = | + 2 | est une droite parallèle à l’axe des réelles.

3) _{Soit un nombre complexe d’argument alors} | + | = 1 + | | • Exercice 2 :(6 points)

Soit la fonction définie sur IR par : ( ) =

! ≤ #

_%$ > 0(

1) a/ Montrer que est continue en 0 b/ Montrer que lim

→ ( ) = .

2) a/ Montrer que pour tout ≤ 0 , | ( ) − 3| ≤ ) * . b/ Déduire lim

→ ( ) .

3) Montrer que l’équation ( ) = * admet au moins une solution dans +−1, −*-. 4) Soit . la fonction définie sur ℝ par 0( ) = √ %+ − − !

a/ Calculer lim

→ 1.( )

b/ Calculer lim

→ .( )

c/ Montrer que la fonction . est strictement décroissante sur ℝ. Déduire .(ℝ). • Exercice 3 :(5 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (2, 345, 65 ).Soit 7 ∈ -#,$ %+. 1) a/ Vérifier que 1 + 2 9 :(2;)< => = <)=>.

b/ Résoudre dans ℂ , l’équation : 2 − 2 − 9 :(2;)< => = 0 c/ Ecrire les solutions sous formes exponentielles.

2) On donne les points @(− 9 :;. <=>) et B(C19;. <=>). a/ Calculer @B.

b/ En déduire que D@BE est un diamètre d’un cercle fixe que l’on précisera.

3) A tout point F d’affixe ≠ 0 , on associe le point F’ d’affixe IJ tel que J = 1 −* K̅ a/ Montrer que l’affixe du point B’ est _MJ = − NO:;

b/ En déduire l’ensemble des points B’ lorsque ; varie dans -0, +.

Lycée Pilote 15 octobre 1963 - Bizerte

Prof: Mme Bayoudh

Classe :4ème Sciences experimentales1

Durée : 2 heures

WxäÉ|Ü wx vÉÇàܨÄx Ç¥D xÇ Åtà{°Åtà|Öâxá

Exercice 4 :(6 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (2, 345, 65 ).

Soit f l’application du plan P privé du point O dans Pqui, à tout point F du plan d’affixe

≠ 0 , associe le point F’ d’affixe IJ _{définie par : I}J _{= I + −}! I

On considère les points Q , R et S d’affixes respectives : O = , T = <=UV et C = −

On désigne par Q’ et R’ les images respectives de Q et R par , d’affixes respectives O’ et T’.

1) a/ Montrer que le point C est l’unique point invariant par b/ Calculer O’ et T’.

c/ Montrer que W

WX _W =√Y_Y . En déduire la nature du triangle 2RR’.

2) Soit (E) l’ensemble des points du plan P privé du point 2 qui ont pour image par le point 2. a/ Résoudre dans ℂ , l’équation + − 1 = 0

b/ Déduire que les points de (E) appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon 1.

3) Soit ; un réel.

a/ Montrer que si = <=> alors J = (29 :; + 1)

b/ En déduire que si F appartient au cercle Γ alors F’ appartient au segment DQ′SE

Bon travail et bonne chance