Approximation numérique de quelques équations cinétiques préservant leurs asymptotiques fluides

THÈSE

THÈSE

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

Délivré par l'Université Toulouse III - Paul Sabatier Discipline ou spécialité : Mathématiques Appliquées

JURY

Mohammed Lemou Directeur de thèse DR, CNRS, Université de Rennes 1

Luc Mieussens Directeur de thèse PR, Université de Bordeaux 1

Francis Filbet Rapporteur PR, Université de Lyon 1

Christophe Besse Rapporteur PR, INRIA, Université de Lille 1

Bruno Dubroca Examinateur PAST, CEA, Université de Bordeaux 1

Naoufel Ben Abdallah Examinateur PR, Université Paul Sabatier – Toulouse 3

Ecole doctorale : Mathématiques Informatique Télécommunications de Toulouse Unité de recherche : Unité mixte de recherche CNRS, UMR 5219

Directeur(s) de Thèse : Mohammed Lemou et Luc Mieussens Rapporteurs : Francis Filbet et Christophe Besse

Présentée et soutenue par Mounir BENNOUNE

Le 18 juin 2009

Titre : 

APPROXIMATION NUMÉRIQUE DE QUELQUES ÉQUATIONS

CINÉTIQUES

Je tiens à remercier très sincèrement mes directeurs de thèse Mohammed Lemou et Luc Mieussens pour m'avoir proposé un sujet de thèse actif et prometteur, et pour m'avoir encadré durant ces trois années. Que ce soit du point de vue mathématique ou numérique, leurs compétences et leurs conseils scientiques m'ont permis d'apprendre énormément dans le cadre de ma formation de doctorat. Je n'oublierai jamais leurs soutient et encouragements continus qui ont été d'une grande aide pour moi.

Je tiens également à remercier mes rapporteurs, les professeurs Christophe Besse et Fran-cis Filbet pour l'intérêt qu'ils ont porté à mon mémoire de thèse et à l'évaluation de mon travail. D'autre part, je les remercie d'assister à ma soutenance et de faire partie de mon jury.

Je suis très reconnaissant à Bruno Dubroca d'avoir accepté d'être membre du jury de ma thèse. Je suis enchanté que le professeur Naoufel Ben Abdallah me fasse l'honneur d'être examinateur lors de ma soutenance. Je les remercie tous les deux pour l'attention qu'ils ont portée à mon travail.

Le professeur Pierre Degond m'a présenté à mes directeurs de thèse ce qui m'a permis de réaliser ma thèse sous leur direction. Pour cela, je lui adresse ma gratitude.

J'ai beaucoup apprécié mes discussions avec Marcel Mongeau. Je le remercie vivement pour son aide et ses conseils, ainsi que Sophie Jan pour sa participation à la correction de mon poster.

Je souhaite remercier toutes les personnes dont j'ai fait la connaissance pendant la thèse avec qui j'ai partagé des moments mathématiques et humains très agréables. Je citerai parmi elles le personnel administratif et enseignant de l'université Paul Sabatier, les étudiants que j'ai eu sous ma responsabilité ainsi que les étudiants en thèse. En particulier, mon collègue de bureau durant quatre ans Raymond Elhajj, Ali Faraj, en leur souhaitant tous les deux une bonne continuation à Rennes, Sébastien Motsch, Jean Luc Volery, Marc Fuentes, Michaël Bages, Laëtitia Carballal, Badreddine Rjaibi. De même, je souhaite une bonne continuation pour tous les nouveaux doctorants.

Enn, je remercie grandement mes parents et mes frères et soeurs pour leur soutient moral. Je leur dédie ce travail de thèse en leur souhaitant une bonne santé.

Table des matières

1 Introduction 8

1.1 Contexte général . . . 8

1.2 Résumé de la thèse . . . 11

I Méthodes numériques préservant l'asymptotique Navier-stokes

compressible

20

2.2 L'équation de Boltzmann et ses approximations uides . . . 23

2.2.1 L'équation de Boltzmann . . . 23

2.2.2 L'équation BGK . . . 27

2.2.3 Lois de conservation et modèles uides asymptotiques . . . 28

2.3 Formulation cinétique/uide de l'équation de Boltzmann . . . 30

2.3.1 La décomposition Micro-Macro . . . 30

2.3.2 Développement de Chapman-Enskog et équations de Navier-Stokes compressible . . . 34

2.4 Approximations numériques . . . 36

2.4.1 Discrétisation implicite en temps . . . 36

2.4.2 Discrétisation en espace . . . 38

2.5 Quelques Méthodes standards pour l'équation BGK . . . 42

2.5.1 Schémas explicite et semi-implicite . . . 43

2.5.2 La méthode de splitting et sa version implicite . . . 44

2.6 Résultats numériques . . . 47

2.6.1 Problème de choc stationnaire . . . 48

2.6.2 Problème de Sod . . . 50

2.7 Conclusion . . . 51

3 Extension des Schémas AP pour l'équation BGK 61 3.1 Introduction . . . 61

3.2 Le système BGK réduit et ses approximations uides . . . 62

3.2.1 Le système BGK réduit . . . 62 5

3.2.2 Lois de conservation et modèles uides asymptotiques pour le système

BGK réduit . . . 66

3.3 Formulation cinétique/uide du système BGK réduit . . . 68

3.3.1 Décomposition Micro-Macro du système BGK réduit . . . 68

3.3.2 Développement de Chapman-Enskog et équations de Navier-Stokes compressible . . . 74

3.4 Approximations numériques . . . 80

3.4.1 Discrétisation implicite en temps . . . 80

3.4.2 Discrétisation en espace . . . 82

3.5 Quelques méthodes standards pour le système BGK réduit . . . 85

3.5.1 Schémas explicite . . . 85

3.5.2 La méthode de splitting et sa version implicite . . . 86

3.6 Résultats numériques . . . 88

3.6.1 Problème de choc stationnaire . . . 89

3.6.2 Problème de Sod . . . 90

3.7 Conclusion . . . 91

II

Méthodes numériques pour des équations cinétiques

préser-vant la limite de diusion

104

4.2 Equation de Kac et propriétés de l'opérateur de collision . . . 107

4.2.1 L'équation de Kac homogène et propriétés de l'opérateur de collision 107 4.2.2 Propriétés de l'opérateur de collision . . . 108

4.3 Approximations déterministes de l'opérateur de Kac . . . 109

4.3.1 Approximation déterministe de la forme originale de l'opérateur de Kac109 4.3.2 Simplication de l'opérateur de collision . . . 110

4.3.3 Approximation déterministe de la forme réduite de l'opérateur de Kac 113 4.4 L'équation de Kac inhomogène et sa limite de diusion . . . 114

4.4.1 L'équation de Kac à l'échelle de diusion . . . 114

4.4.2 Limite de diusion . . . 115

4.5 Formulation micro-macro de l'équation de Kac . . . 118

4.5.1 La décomposition micro-macro . . . 118

4.5.2 Limite de diusion . . . 120

4.6 Approximations numériques . . . 121

4.6.1 Discrétisation implicite en temps . . . 121

4.6.2 Discrétisation en espace . . . 122

4.6.3 Discrétisation en vitesse . . . 123

4.7 Discrétisations directes pour Kac et sa limite de diusion . . . 126

4.7.2 Schéma explicite centré pour le modèle de diusion . . . 126 4.8 Résultats numériques . . . 127 4.8.1 Test 1 . . . 128 4.8.2 Problème de Sod . . . 130 4.9 Conclusion . . . 131 5 Bibliographie 141

Introduction

1.1 Contexte général

La théorie cinétique intervient dans de nombreuses applications de la physique statis-tique. Elle sert à décrire les phénomènes de transport et d'interaction dans un système de particules à une échelle microscopique. Ainsi, on rencontre des équations cinétiques dans la modélisation de la dynamique des gaz raréés [16], le mouvement des particules chargées dans les semi-conducteurs [54], le transport neutronique [40], et même récemment le trac routier [46], ainsi que d'autres applications en aérodynamique et micro-électronique. Chacune des di-verses équations cinétiques existantes décrit un système physique particulier, et leurs formes spéciques dépendent de la nature du système considéré (gaz, solide, liquide, plasma, ...). Typiquement, l'équation de Boltzmann est l'équation cinétique de base pour la description des gaz monoatomiques parfaits. Cette équation décrit l'évolution du gaz à l'échelle micro-scopique, où le libre parcours moyen (distance typique parcourue par une particule entre deux collisions successives) est du même ordre de grandeur qu'une longueur macroscopique caractéristique du domaine physique considéré. Lorsque le libre parcours moyen devient petit par rapport à cette longueur caractéristique, une description macroscopique du système de particules est mieux adaptée. Dans ce régime uide, la modélisation de l'état du gaz se fait alors en utilisant les quantités moyennes locales qui le caractérisent, telles que la densité de masse, la température (ou l'énergie) et la vitesse moyenne. Les modèles macroscopiques standards décrivant l'état du gaz dans le régime uide à savoir les équations d'Euler, de Navier-Stokes compressible ou les modèles de diusion, s'obtiennent classiquement par le principe fondamental de la dynamique de Newton appliqué à un élément innitésimal du uide. Ces modèles macroscopiques sont souvent susants pour comprendre la dynamique du gaz lorsque sont état est proche de l'équilibre. Cependant, ils ne permettent pas d'avoir les coecients de transport tels que la viscosité et la conductivité de la chaleur en fonc-tion de la nature des interacfonc-tions moléculaires. En outre, souvent au cours de son évolufonc-tion le système passe par diérents états dont la modélisation dépend de l'échelle de description convenablement considérée (cinétique, uide, diusion...). C'est le cas en eet, dans plusieurs applications comme l'aérodynamique par exemple. Il y a donc un besoin d'établir un

sage entre la description microscopique et la description uide du gaz. Dans ce contexte, les modèles uides peuvent être obtenus comme approximations hydrodynamiques des modèles particulaires (ceux utilisés spéciquement à l'échelle microscopique). D'abord, les équations cinétiques sont réécrites sous une forme adimensionnée faisant apparaître un paramètre ε, appelé le nombre de Knudsen, proportionnel au libre parcours moyen. En variant entre des grandes (ε = O(1)) et petites (ε ¿ 1) valeurs, le nombre de Knudsen permet de prendre en compte les diérents régimes dans lesquels l'état du gaz évolue. L'obtention formelle des mo-dèles macroscopiques (Euler, Navier-Stokes, ou diusion) à partir des équations cinétiques est basée sur les développements classiques de Hilbert ou de Chapman-Enskog [14], [17].

La résolution analytique de l'équation de Boltzmann est en général impossible. Le pro-blème est donc traité numériquement dans le but de construire une solution approchée du problème continu, en préservant le mieux possible dans le cas discret les propriétés satisfaites par le modèle continu. Dans cet esprit, une fois que le passage de l'équation de Boltzmann aux équations uides est établi, du moins formellement, de nombreuses recherches ont été menées pour construire des schémas numériques qui soient capables de dégénérer lors du passage à la limite uide appropriée en des schémas numériques consistants avec cette limite uide. Des dicultés majeures apparaissent. La première est la complexité des opérateurs de collision sous forme d'intégrales multiples : elle rend leur discrétisation assez dicile, et le coût numérique est élevé notamment lorsque la dimension de l'espace de vitesse considéré est supérieure ou égale à 2. La seconde est la raideur qui se développe dans l'équation ci-nétique au niveau de l'opérateur de collision : elle conduit ainsi à une condition de stabilité du schéma pour laquelle le pas de temps ∆t dépend du nombre de Knudsen (en général ∆t = O(ε)_{). Dans ce cas, un tel schéma n'est pas utilisable car il s'avère très coûteux d'une} part, et ne peut décrire correctement le passage à la limite uide d'autre part. En outre, la diculté est encore plus grande lorsqu'il s'agit de développer des schémas numériques pour l'équation de Boltzmann qui décrivent correctement des modèles uides asymptotiques, plu-tôt que des modèles limites de cette équation. La diculté réside dans le fait que le nombre de Knudsen est encore présent dans le modèle uide lorsqu'il s'agit d'une approximation asymptotique. C'est le cas en particulier pour l'asymptotique Navier-Stokes compressible. Un schéma numérique capable de résoudre l'équation de Boltzmann en décrivant correcte-ment la limite ou l'asymptotique correspondante est dit "Asymptotic preserving (AP). (voir [36] par exemple).

Plusieurs schémas numériques AP vis-à-vis de la limite Euler pour des équations ciné-tiques de type Boltzmann, ont été proposés dans une série de travaux basés sur des méthodes déterministes et d'autres probabilistes [19, 37, 34, 11, 61, 63]. De même, la limite de diusion a été traitée avec succès dans [39, 42, 44, 38, 36, 58, 12]. Les méthodes déterministes sont relativement plus simples à construire dans le cas des modèles simpliés de l'équation de Boltzmann (modèle BGK, modèle de Broadwell,...). Cependant, elles s'avèrent plus diciles à développer en considérant des équations cinétiques où l'opérateur de collision est de na-ture quadratique, comme pour l'équation de Boltzmann ou le modèle de Kac ([62], [65], [66]). Dans de tels cas, on utilise souvent des méthodes probabilistes, notamment celles de Monte-Carlo. En eet, en plus de leur capacité à préserver de nombreuses propriétés physiques du

modèle cinétique continu considéré, comme la conservation des quantités macroscopiques, les méthodes de Monte-Carlo permettent aussi d'éviter de discrétiser l'opérateur de collision. Cette tâche demeure assez délicate en voulant le faire de façon déterministe, surtout lorsque le domaine de vitesse est de dimension élevée. En revanche, leur caractère aléatoire ainsi que les uctuations qu'elles font apparaître au niveau de la solution, très coûteuses à éliminer, sont des inconvénients souvent reprochés aux méthodes probabilistes. Ainsi, le développe-ment de méthodes déterministes ecaces même pour des équations cinétiques générales de type Boltzmann, reste donc toujours un objectif important.

Dans la plupart des cas, les schémas préservant l'asymptotique construits dans les travaux mentionnés précédemment sont combinés avec la méthode de splitting. Elle permet de coupler les étapes de transport et de collision en les résolvant séparément l'une après l'autre. La partie de transport ne pose pas en général de problèmes majeurs. En revanche, pour obtenir un schéma numérique uniformément stable par rapport au nombre de Knudsen, il faut souvent utiliser une discrétisation implicite ou semi-implicite en temps au niveau de la partie de collision. Cela donne en général des résultats satisfaisants quant-à l'obtention d'une condition CFL qui ne dépende pas de ε. Toutefois, le choix d'une approximation implicite reste assez dicile, surtout lorsqu'il s'agit d'un opérateur de collision non linéaire de type Boltzmann.

La résolution numérique des équations cinétiques est bien sûr plus coûteuse que celle des modèles uides, vu qu'elles font intervenir la variable de vitesse en plus par rapport aux équa-tions macroscopiques. Or, il se trouve que dans certaines situaéqua-tions, la description cinétique de la dynamique du gaz considéré n'est nécessaire que dans certaines régions du domaine physique pour lesquelles le gaz est raréé. Dans le reste du domaine, une description macro-scopique est susante. Ainsi, cela peut être pris en compte pour réduire le coût de calcul numérique. L'idée est de coupler l'équation cinétique avec le modèle uide convenable (Eu-ler, Navier-Stokes, ou modèle de diusion) via une décomposition en domaine de position ou aussi de vitesse [50], [13], [47], [48], [21], [23], [24]. Ensuite, chacune des équations cinétiques ou uide est résolue uniquement dans la partie du domaine où elle est nécessaire. Pour la dé-composition en espace, le couplage entre les deux modèles se fait alors au niveau de l'interface cinétique/uide en imposant des conditions aux limites convenables [50],[13]. Récemment, une idée d'introduire une zone tampon entre le domaine cinétique et le domaine uide per-mettant de simplier le traitement des conditions aux limites en évitant de les construire au niveau de l'interface a été proposée [23], [24]. Une méthode de décomposition en vitesse a été également développée dans [21] et appliquée au contexte des gaz raréés, ainsi que celui des plasmas [22] denses et chauds. Malgré tout, dans les régions proches de l'interface séparant les sous-domaines, un schéma préservant l'asymptotique s'avère nécessaire pour permettre une transition numérique robuste entre l'équation cinétique et l'équation uide intervenant de part et d'autre par rapport à l'interface.

Dans ce contexte, l'objectif de cette thèse est de contribuer au développement de schémas préservant l'asymptotique pour les équations cinétiques en se plaçant plutôt dans le cadre des méthodes déterministes. Plus précisément, nous nous intéressons à la construction de méthodes d'approximation numérique d'équations cinétiques de type Boltzmann, capables de préserver en plus de la limite Euler et la limite de diusion, l'asymptotique Navier-Stokes

compressible. Cette dernière asymptotique n'est pas une limite mais plutôt une approxima-tion à l'ordre 2 par rapport au nombre de Knudsen de l'équaapproxima-tion de Boltzmann. A notre connaissance, aucun travail numérique concernant le développement d'une méthode préser-vant une telle approximation asymptotique n'a été publié jusqu'à maintenant. Notons que notre stratégie devrait s'appliquer à des équations cinétiques assez générales (opérateur de collision quadratique ou de relaxation). En revanche, dans cette thèse, l'implémentation ef-fective de notre méthode n'a été eectuée que pour les modèles BGK et Kac. En eet, nous présentons au premier chapitre l'idée de base de notre méthode qui consiste à partir d'une décomposition micro-macro de la fonction de distribution à écrire de façon équivalente des équations cinétiques assez générale comme un système couplant une équation cinétique avec des équations macroscopiques. Ensuite, nous considérons dans ce même premier chapitre, le modèle BGK unidimensionnel pour lequel les interactions entre particules sont décrites da façon simpliée par un opérateur de relaxation. Nous discrétisons donc sa formulation cinétique/uide an d'avoir un schéma numérique préservant aussi bien la limite Euler que l'asymptotique Navier-Stokes compressible à l'ordre 2 par rapport au nombre de Knudsen. Nous généralisons nos schémas dans le deuxième chapitre au modèle BGK, en se plaçant dans le cas où la dimension de vitesse est égale à 3 et en supposant que la fonction de dis-tribution ne dépend que d'une seule composante de la variable de position. En adaptant nos schémas numériques à ce cas, nous montrons qu'ils restent valables pour préserver les asymp-totiques Euler compressible à l'ordre 1 et Navier-Stokes compressible à l'ordre 2 associées. Le traitement d'un opérateur quadratique prenant en compte les collisions entre particules est l'objet du troisième chapitre. Il s'agit de l'équation de Kac dont l'étude à une échelle macroscopique nos conduit à considérer sa limite de diusion. Nous construisons donc une formulation cinétique/macroscopique équivalente à l'équation de Kac. En la discrétisant de façon convenable, en suivant les mêmes idées que pour l'équation BGK, nous obtenons un schéma numérique uniformément stable par rapport au nombre de Knudsen, consistant avec l'équation de Kac dans tous les régimes. En particulier, il préserve la limite de diusion de cette équation.

1.2 Résumé de la thèse

Cette thèse est constituée de deux parties. La première partie concerne le développe-ment de schémas numériques pour des équations cinétiques de type Boltzmann, qui soient capables de préserver lors du passage au régime hydrodynamique la limite Euler ainsi que l'asymptotique Navier-Stokes compressible. Les simulations numériques sont réalisées sur le modèle BGK unidimensionnel dans le premier chapitre, et ensuite généralisées pour ce même modèle à une dimension supérieure en vitesse. La deuxième partie porte sur la construction de schémas numériques préservant la limite de diusion pour l'équation de Kac. Cette partie contient aussi la construction d'une discrétisation déterministe de l'opérateur de Kac. Cette discrétisation est eectuée sur une nouvelle formulation de cet opérateur. Celle-ci est plus simple et moins coûteuse lors de son implémentaion que la forme originale de l'opérateur de collision. De même, nous présentons une méthode permettant de la rendre conservative pour

la masse et l'énergie. Plusieurs simulations sont réalisées an de valider cette discrétisation ainsi que le schéma préservant la limite de diusion.

Méthodes numériques préservant l'asymptotique Navier-Stokes compressible pour l'équation de Boltzmann-BGK

Notre point de départ est l'équation de Boltzmann considérée sous sa forme adimension-née ∂tf + v · ∇xf = 1 εQ(f, f ), t > 0, (x, v) ∈ R d_{× R}d_{, (1.1)} f (t = 0, x, v) = f0(x, v), (1.2)

où f(t, x, v) est la fonction de distribution qui dépend du temps t, de la position des particules

x ∈ Rd _{et de leur vitesse v ∈ R}d_{. Le paramètre ε est le nombre de Knudsen, tandis que} Q désigne l'opérateur de collision qui est une fonctionnelle quadratique de la fonction de distribution f. Il agit seulement sur la dépendance en vitesse de f, et décrit les interactions binaires entres les particules.

Dans toute la suite de cette partie, nous utilisons les notations suivantes :

hgi =

Z

Rd

g(v)dv _{pour toute fonction vectorielle ou scalaire g = g(v),}

et m(v) =³1, v,|v|

2

2 ´_T

.

Le vecteur des 3 premiers moments (masse, quantité de mouvement, énergie) d'une fonction scalaire f est donné par :

U = hmf i =   _ρuρ E   , (1.3)

où u est la vitesse moyenne. De plus, on a la relation E = 1

2ρ|u|2+

d

2ρT où T la température.

Souvent, an de simplier l'étude, l'opérateur de collision quadratique de Boltzmann est remplacé par un opérateur de relaxation vers l'équilibre. Le modèle fréquemment utilisé est l'équation BGK qui s'écrit :

∂tf + v · ∇xf =

1

ε[f − M(U)], t > 0, (x, v) ∈ R

d_{× R}d_{. (1.4)}

Ici, U désigne le vecteur des moments de f déni par (1.3) et M(U) la maxwellienne ayant les moments que f, et dont l'expression est donnée par :

M(U)(v) = ρ (2πT )d2 exp ³ − |v − u| 2 2T ´ .

L'idée de réécrire l'équation cinétique Boltzmann-BGK comme un système couplant une partie cinétique et une autre uide est basée sur une décomposition micro/macro de la fonction de distribution f :

f = M(U) + εg. (1.5)

La maxwellienne M(U) dénie ci-dessus représente la partie d'équilibre de f, tandis que g représente sa partie hors-équilibre telle que hmgi = 0.

En injectant la décomposition (1.5) dans l'équation (1.1), nous montrons que M = M(U) et g doivent vérier un système couplé cinétique/uide équivalent à l'équation de départ (1.1) elle même. Ce système est donné par

∂tg + (I − ΠM)(v · ∇xg) − Q(g, g) = 1 ε £ LMg − (I − ΠM)(v · ∇xM) ¤ , (1.6) ∂tU + ∇x· F (U) + ε∇x· hvmgi = 0. (1.7)

Dans cette formulation couplée, F (U) est le ux du vecteur U tel que F (U) = hmvM(U)i. L'opérateur LM désigne le linéarisé de l'opérateur Q, déni par

LMg = 2Q(M, g).

Enn, Π = ΠM désigne l'opérateur de projection orthogonale dans l'espace de Hilbert L2M = {ϕ : ϕM−12 ∈ L2(Rd)} muni du produit scalaire avec poids suivant (ϕ, ψ)_M = hϕψM−1i,

sur le noyau du linéarisé LM donné par N (LM) = Vect{M, vM, |v|2M}. Cette technique

de projection permet en eet le couplage de l'équation cinétique et l'équation uide de notre formulation, en séparant les parties M et g pour avoir une équation d'évolution pour chacune des deux. Nous montrons en fait que l'équation de Boltzmann (1.1) considérée avec la donnée initiale (1.2), est (formellement) équivalente à la formulation (1.6)-(1.7) avec la donnée initiale suivante :

U(t = 0) = U0 = hmf0i et g(t = 0) =

1

ε(f0− M(U0)).

Une fois cette formulation obtenue, on peut vérier qu'elle fournit les équation de Navier-Stokes compressible comme approximation asymptotique à O(ε2_{) près. Il est facile de voir}

quant-à sa limite hydrodynamique ε → 0, qu'elle donne le système d'équations d'Euler. Le reste du travail consiste ensuite, à construire une discrétisation convenable pour le sys-tème couplé (1.6)-(1.7), de façon à pouvoir résoudre numériquement de manière consistante et précise l'équation de Boltzmann, sa limite Euler ε → 0 et son approximation asymptotique à O(ε2_{) près, à savoir le système de Navier-Stokes compressible. Tout d'abord, considérons}

une discrétisation en temps (tn = n∆t, n ∈ N), et observons que dans la partie cinétique (1.6)

de notre formulation, le seul terme vraiment raide lors du passage au régime uide ε ¿ 1 est

ε−1_L

Mg. Ainsi, nous le discrétisons de façon implicite. Par contre, tous les autres termes dans

cette partie cinétique sont approchés de manière explicite. D'autre part, dans la partie uide (1.7) nous prenons une discrétisation explicite pour la partie Euler (i.e. ∂tU + ∇x · F (U)).

l'instant discret tn+1 an d'obtenir la bonne asymptotique sans décalage en temps. Ensuite,

pour l'approximation en espace, nous nous restreignons dans ce chapitre au modèle BGK unidimensionnel, où QBGK(f, f ) = f − M(U). La diculté est de trouver un compromis

entre les deux contraintes suivantes. D'une part, le fait de devoir utiliser une discrétisation décentrée pour les termes de transport cinétique, an d'éviter qu'il y ait des oscillations qui risquent de se développer au niveau de la solution notamment au régime cinétique. D'autre part, le besoin d'utiliser une discrétisation centrée en espace pour les termes intervenant dans la diusion an d'assurer une précision d'ordre 2 pour l'approximation des termes vis-queux. Pour remédier à ce problème, on utilise deux grilles décalées en espace xi = i∆x et x_i+1

2 = (i +

1

2)∆x, où ∆x est un pas d'espace xé. Ainsi, chaque partie (cinétique ou uide)

de notre système couplé sera approchée dans une grille diérente. En résumé, en notant par

Un

i et gi+n 1

2 des approximations de U(tn

, xi)et g(tn, xi+1₂), notre schéma en temps et en espace

suivant pour le modèle BGK unidimensionnel (en particulier le linéarisé n'apparaît pas dans ce cas) s'écrit g_i+n+11 2 − g n i+1₂ ∆t + (I − Π n i+1 2) h v+g n i+1 2 − g n i−1 2 ∆x + v −g n i+3 2 − g n i+1 2 ∆x i = −1 ε £ gn+1 i+1 2 + (I − Πn i+1 2)(v Mn i+1− Min ∆x ) ¤ , (1.8) Un+1 i − Uin ∆t + F_i+1 2(U n_{) − F} i−1₂(Un) ∆x + ε * vmg n+1 i+1₂ − g n+1 i−1₂ ∆x + = 0. _(1.9) Dans ce schéma, v± ₌ 1 2(v ± |v|), Min = M(Uin), Πi+1₂ =

Π(Ui)+Π(Ui+1)

2 et Fi+1₂(Un) =

­

m(v+_Mn

i + v−Mi+1n )

®

. Dans le cas de l'équation BGK, le schéma déterministe connu pour capturer la limite Euler est celui proposé par Coron et Perthame dans [19]. Il utilise la méthode splitting qui permet de séparer la résolution du modèle cinétique en deux étapes successives : l'étape de transport et celle de collision. Dans [19] l'étape de collision a été résolue exactement. Cela permet d'avoir la limite Euler mais pas l'asymptotique Navier-stokes compressible. Nous proposons ici alors une modication d'un tel schéma, en résolvant la partie de collision plutôt par un schéma semi-implicite au niveau du terme de perte de l'opérateur BGK. Nous montrons alors que le nouveau schéma ainsi obtenu est capable tout comme le schéma (1.8)-(1.9), de capturer l'asymptotique Navier-Stokes compressible à O(ε2₎

près.

Plusieurs tests numériques de choc stationnaire et instationnaire sont eectués pour illus-trer la validité de nos schémas, en les comparant avec des schémas standards dans les régimes cinétique et uide.

Extension des schémas préservant l'asymptotique en dimension supérieure pour le modèle BGK

Ce chapitre concerne la généralisation de la formulation cinétique/uide décrite dans la partie précédente à un modèle BGK tridimensionnel réduit (voir ci-dessous). Nous supposons

alors que la fonction de distribution f(t, X, v), avec X = (x, y, z) et v = (vx, vy, vz)ne dépend

que de la direction x, ce qui implique ∂yf = ∂zf = 0. En plus, nous nous plaçons dans le cas

où la vitesse moyenne du gaz est nulle suivant les directions y et z, i.e. uy := hvyf i = 0 et uz := hvzf i = 0. En utilisant la technique des distributions réduites (voir [68] par exemple),

nous montrons alors que le modèle BGK (1.4) considéré sous les hypothèses précédentes se réduit à un système fermé de deux équations de type BGK unidimensionnel en espace et en vitesse. Plus précisément, en introduisant les fonctions de distribution réduites

¯ F (t, x, vx) = Z R Z R f (t, x, v)dvydvz et ˜F (t, x, vx) = 1 2 Z R Z R (v_y2+ v_z2)f (t, x, v)dvydvz,

nous obtenons le système BGK réduit suivant :

∂tF + v¯ x∂xF =¯ 1 ε( ¯M(Ux) − ¯F ), t ≥ 0, x ∈ R, vx ∈ R, (1.10) ∂tF + v˜ x∂xF =˜ 1 ε( ˜M(Ux) − ˜F ), t ≥ 0, x ∈ R, vx ∈ R, (1.11) avec Ux = (ρ, ux, E = 1 2ρu 2 x+ 3 2ρT ), ¯ M(Ux)(t, x, vx) = ρ (2πT )12 exp ³ − (vx− ux) 2 2T ´ , ∀t ≥ 0, x ∈ R, vx ∈ R, ˜ M(Ux) = T ¯M(Ux).

Les paramètres macroscopiques ρ, ux et T peuvent s'écrivent en fonction de ¯F et ˜F comme ρ =­F¯®, ρux = ­ vxF¯ ® , T = 1 3ρ D (vx− ux)2F + 2 ˜¯ F E .

La formulation cinétique/uide équivalente à (1.10)-(1.11) est obtenue à partir du système couplé cinétique/uide équivalent au modèle BGK tridimensionnel, de la même façon que l'on obtient le système BGK réduit à partir du modèle BGK tridimensionnel. En fait, cela consiste simplement à intégrer la formulation cinétique/uide du modèle BGK en dimension 3 par rapport à ³dvydvz,1₂(vy2 + vz2)dvydvz

´

. Ensuite, on utilise le fait que les fonctions de distribution entrant en jeu dépendent seulement de la direction x en espace, et que leurs vitesses moyennes sont nulles suivant les directions y et z. Le système couplé associé à (1.10)-(1.11) via la décomposition micro-macro

³ ¯_F ˜ F ´ =³ ¯M_˜ M ´ + ε³ ¯G_˜ G ´ ,

prend alors la forme : ∂t ³ ¯_G ˜ G ´ + (I − Π_{M , ˜}¯ _M) h v∂x ³ ¯_G ˜ G ´i = −1 ε n³ ¯_G ˜ G ´ + (I − Π_{M , ˜}¯ _M) h v∂x ³ ¯_M ˜ M ´io , (1.12) ∂tUx+ ∂xF (Ux) + ε∂x D vx(mxG + e¯ 3G)˜ E = 0, _(1.13) avec mx = (1, vx,1₂vx2) et F (Ux) = D vx(mxM + e¯ 3M)˜ E

, où e3 est le 3ème vecteur de la

base canonique de R3_{. L'opérateur Π} ¯

M , ˜M s'obtient simplement en intégrant par rapport à

³

dvydvz,1₂(v2y+ vz2)dvydvz

´

, l'opérateur de projection ΠM introduit dans l'équation (1.6), où M est la maxwellienne ayant les mêmes moments que la fonction de distribution originale

f. On montre formellement que le système BGK réduit (1.10)-(1.11) avec une donnée ini-tiale ( ¯F0, ˜F0)est équivalent au système couplé ci-dessus (1.12)-(1.13) avec la donnée initiale

associée Ux(t = 0) = Ux,0 = D mxF¯0+ e3F˜0 E , _{et ( ¯}G, ˜G)(t = 0) = 1 ε ³ ¯ F0− ¯M(Ux,0), ˜F − ˜M(Ux,0) ´ .

L'intérêt ici, c'est qu'en considérant l'asymptotique Navier-Stokes compressible à O(ε2_{), on}

constate que des termes supplémentaires apparaissent au niveau de la partie de viscosité. En particulier, contrairement au cas unidimensionnel, l'équation sur la quantité de mouvement au régime Navier-Stokes compressible ne se réduit pas à une équation de transport puisqu'elle fait apparaître des termes de diusion d'ordre ε. Nous pouvons ainsi mesurer la capacité de notre méthode à décrire ces termes qui interviennent en dimension supérieure.

Une fois cette formulation obtenue, nous la discrétisons exactement de la même façon que pour le système cinétique/uide présenté dans la partie précédente. En plus de ce schéma, nous adaptons dans cette partie la méthode de splitting, et le schéma que nous avons construit dans la partie précédente, par modication du schéma introduit dans [19]. Il s'agit de rem-placer la résolution exacte de la partie de collision par son approximation avec un schéma semi-implicite au niveau du terme de perte. Nous montrons alors par une analyse formelle que le schéma ainsi obtenu, tout comme notre schéma basé sur la formulation cinétique/uide, dégénèrent tous les deux à O(ε2_{) près en des discrétisations consistantes avec les équations}

de Navier-Stokes compressibles associées. Cela sera conrmé par les tests numériques eec-tués. Ainsi, plusieurs simulations sur des tests stationnaires et instationnaires sont réalisées, an de montrer par comparaison que les résultats fournis par notre méthode coïncident bien avec ceux obtenus par des méthodes standards pour la résolution de BGK réduit en régime cinétique d'une part, et les schémas classiques pour les systèmes d'Euler et de Navier-Stokes compressible d'autre part.

Méthodes numériques préservant la limite de diusion

Dans cette deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Kac qui fournit un exemple simple d'équation cinétique dont l'opérateur de collision est quadratique.

Notre objectif est d'étudier aussi bien par une analyse formelle que par des simulations nu-mériques la validité de notre méthode basée sur la formulation cinétique/uide dans le cas de l'opérateur de collision de Kac. Pour cet opérateur les collisions binaires entre les parti-cules sont bien prises en compte, contrairement au modèle BGK qui considère uniquement la relaxation vers l'équilibre. Ici, il ne s'agit pas de la limite hydrodynamique car celle-ci est triviale dans le cas du modèle de Kac, mais c'est plutôt la limite de diusion qui est intéres-sante. Mais avant d'appliquer notre formulation cinétique/uide, nous allons nous intéresser d'abord à la discrétisation en vitesse de l'opérateur de collision de Kac. Notre premier objectif est de fournir une discrétisation déterministe consistante avec l'opérateur de Kac.

L'équation de Kac à l'échelle de diusion avec donnée initiale, s'écrit sous la forme

∂tf + 1 εv∂xf = 1 ε2QK(f, f ), t > 0, (x, v) ∈ R × R, (1.14) f (t = 0, x, v) = f0(x, v), (1.15)

où l'opérateur de Kac est donné par

QK(f, f )(v) = 1 2π Z _2π 0 Z R h

f (v cos θ − v∗sin θ)f (v sin θ + v∗cos θ) − f (v)f (v∗)

i

dθdv∗. (1.16)

Pour construire une discrétisation déterministe de QK(f, f )nous cherchons une forme

contrac-tée QK(f, f )faisant apparaître d'éventuelles symétries qui peuvent réduire la complexité de

l'opérateur. L'idée consiste à utiliser des changements de variables convenables par rapport aux angles de rotation ainsi que la variable de vitesse. La nouvelle forme de l'opérateur de Kac ainsi obtenue est donnée par

QK(f, f )(v) = 1 π Z _+∞ 0 Z π 4 0 h³ f (v0_{) + f (−v}0₎´³_{f (v}0 ∗) + f (−v∗0) ´ − 2f (v) ³ (f (v∗) + f (−v∗) ´ + ³ f (v00_{) + f (−v}00₎´³_{f (v}00 ∗) + f (−v∗00) ´ − 2f (v) ³ (f (v∗) + f (−v∗) ´i dθdv∗. (1.17)

Dans cette formulation les couples (v0_{, v}0

∗) et (v00, v∗00) sont donnés respectivement par

(v0_{, v}0

∗) = (v cos θ − v∗sin θ, v sin θ + v∗cos θ),

(v00_{, v}00

∗) = (v cos θ + v∗sin θ, v sin θ − v∗cos θ).

Les collisions décrites par l'opérateur de Kac conservent uniquement la masse et l'énergie mais pas la quantité de mouvement. Ainsi, les états d'équilibre sont des maxwelliennes cen-trées de la forme : M(U)(v) = ρ (2πT )12 exp(−v 2 2T), où U = (ρ,1

2ρT )est le vecteur moment (masse et énergie) et T désigne la température. Par

limite de diusion qui nous intéresse dans cette partie. Une telle limite macroscopique peut être obtenue en utilisant un développement de Hilbert de la fonction de distribution f. On obtient ainsi après des calculs classiques le modèle de diusion suivant

∂t µ ρ0 E0 ¶ − ∂x à T0∂xlog(ρ0) + ∂xT0 3 2 h T2 0∂xlog(ρ0) + ∂xT02 i ! = 0, _(1.18) où ρ0, E0 et T0 sont la densité de masse, l'énergie et la température du gaz à l'équilibre.

Après avoir obtenu le modèle limite de diusion de l'équation de Kac, nous construisons un système couplé cinétique/macroscopique équivalent à cette même équation, en utilisant une décomposition micro/macro f = M(U) + εg de la fonction de distribution f solution de l'équation de Kac. Ici, M(U) est la maxwellienne centrée ayant la même masse et énergie que f, tandis que g est un terme de perturbation. Autrement dit, en notant m = (1,1

2v2)le

vecteur des invariants de collision pour l'opérateur de Kac, on a hmM(U)i = U = hmfi. En procédant donc de la même façon que pour l'équation de Boltzmann dans la première partie, on trouve alors que f est solution de (1.14) avec la donnée initiale (1.15) si et seulement si le couple (U, g) est solution du système suivant

∂tg + 1 ε(I − ΠM)(v∂xg) − 1 εQK(g, g) = 1 ε2[LMg − v∂xM], (1.19) ∂tU + ∂xhvmgi = 0, (1.20)

avec la donnée initiale U(t = 0) = U0 = hmM0i , g(t = 0) = 1_ε(f0 − M0). Dans cette

formulation cinétique/macroscopique, LM désigne le linéarisé de l'opérateur de collision QK

donné par LMg = 2QK(M, g), et ΠM l'opérateur de projection orthogonale dans l'espace de

Hilbert L2

M = {ϕ tel que ϕM−

1

2 ∈ L2(R)} muni du produit scalaire avec poids (ϕ, ψ)_M =

hϕψM−1_{i, sur le noyau du linéarisé L}

M donné par Ker(LM) =vect{M, v2M}. Il est possible

de voir que ce système couplé conduit simplement au modèle de diusion (1.18) en prenant la limite ε → 0.

En ce qui concerne l'approximation de l'expression (1.17), on se donne un intervalle de vitesses [vmin, vmax] (où vmin = −vmax) discrétisé par vp = −v−p = (p − 1₂)∆v, |p| = 1, · · · , N

où ∆v = vmax

N −1

2 désigne un pas de vitesse uniforme xé. Soit maintenant θk = k∆θ, k =

0, · · · , Mt une subdivision de l'intervalle [0,π

4[ où ∆θ = 4M tπ est un pas donné. Pour tout

couple de vitesses discrètes (vp, vq), considérons les deux ensembles des indices des angles

admissibles suivants :

C_p,qred= n

k = 0, · · · , Mt : max

³

|vpcos θk− vqsin θk|, |vpsin θk+ vqcos θk|

´ ≤ vmax o . Dred p,q = n k = 0, · · · , Mt : max ³

|vpcos θk+ vqsin θk|, |vpsin θk− vqcos θk|

´

≤ vmax

o

,

Soient fp et Qp(f, f )deux approximations respectives de f(vp)et QK(f, f )(vp). Nous

abou-tissons ainsi à la discrétisation suivante de l'expression (1.17) :

Qp = 1 π N X q=1 h S1 p,q+ Sp,q2 i ∆v, (1.21)

avec S1 p,q = X k∈Cred p,q h³

fInt(p cos θk−q sin θk)+ f−Int(p cos θk−q sin θk)

´³

fInt(p sin θk+q cos θk)+ f−Int(p sin θk+q cos θk)

´ −2fp ³ fq+ f−q ´i ∆θ, 1 ≤ |p| ≤ N, 1 ≤ q ≤ N, (1.22) S2 p,q = X k∈Dred p,q h³

fInt(p cos θk+q sin θk)+ f−Int(p cos θk+q sin θk)

´³

fInt(p sin θk−q cos θk)+ f−Int(p sin θk−q cos θk)

´ −2fp ³ fq+ f−q ´i ∆θ, 1 ≤ |p| ≤ N, 1 ≤ q ≤ N, (1.23)

où la fonction paire x ∈ R 7→ Int(x) ∈ Z désigne l'entier le plus proche de x.

Finalement, partant de la formulation (1.19)-(1.20), la méthode de discrétisation en temps et en espace est basée sur la même idée de discrétisation des systèmes couplés ciné-tiques/uide pour l'équation Boltzmann-BGK présentée précédemment, puisque la diculté est la même. Notre schéma s'écrit alors :

gn+1 i+1 2 − gn i+1 2 ∆t + 1 ε(I − Π n i+1 2) h v+g n i+1 2 − gn i−1 2 ∆x + v −g n i+3 2 − gn i+1 2 ∆x i −1 εQK(g n i+1 2, g n i+1 2) = 1 ε2 h Ln i+1 2g n+1 i+1₂ − v Mn i+1− Min ∆x i , (1.24) Un+1 i − Uin ∆t + * vmg n+1 i+1 2 − g n+1 i−1 2 ∆x + = 0. (1.25) où QK(gn_i+1 2, g n i+1

2)(v)est une approximation de QK(g

n_{, g}n_)(x i+1

2, v)construite suivant la

pro-cédure mentionnée précédemment. Dans ce schéma, Πn

i+1₂ et L n

i+1₂ sont donnés respectivement

par Πi+1₂ =

Π_{M (Ui)}+Π_{M (Ui+1)}

2 et Li+1₂ =

L_{M (Ui)}+L_{M (Ui+1)}

2 .

Notre schéma est comparé dans le régime cinétique avec le schéma explicite pour l'équa-tion de Kac (1.14) : fn+1 i − fin ∆t + 1 ε v+_(fn i − fi−1n ) + v−(fi+1n − fin) ∆x = 1 ε2QK(f n i , fin).

En ce qui concerne la limite de diusion de (1.14), nous comparons alors notre schéma (1.24)-(1.25) avec un schéma standard pour le modèle (1.18), basé sur des diérences nies centrées pour les termes de viscosité.

Plusieurs simulations numériques sont réalisées sur un test instationnaire an de valider notre schéma, partant du régime cinétique jusqu'au régime de diusion en passant par les régimes transitoires.

Méthodes numériques préservant

l'asymptotique Navier-stokes

compressible

Chapitre 2

Schémas préservant l'asymptotique NSC

pour l'équation de Boltzmann

1

2.1 Introduction

Le modèle de base en théorie cinétique des gaz raréés est l'équation de Boltzmann (voir [14], [16], [15]). Une forme adimensionnée de cette équation est donnée par

∂tf + v · ∇xf =

1

εQ(f, f ), t > 0, (x, v) ∈ R

d_{× R}d_,

où f(t, x, v) est la fonction de distribution qui dépend du temps t ≥ 0, de la position des particules x ∈ Rd_{et de leur vitesse v ∈ R}d_{. Le paramètre ε est le nombre de Knudsen qui}

me-sure le degré de raréfaction du gaz et qui est proportionnel au libre parcours moyen. On peut le voir aussi comme l'inverse du nombre moyen de collisions qu'une même particule subit en une unité de temps macroscopique. Enn, Q est un opérateur de collision non linéaire dé-crivant les interactions entre les particules. En général, Q agit seulement sur la dépendance de la fonction f en la variable de vitesse v. Lorsque le nombre de collisions devient très grand, le libre parcours moyen (la distance parcourue par une particule entre deux collisions successives) devient petit par rapport à une longueur caractéristique du domaine physique considéré. Ainsi, le gaz est dans un régime appelé uide, et une description macroscopique de son état sera donc plus adaptée. Les modèles typiques sont les équations d'Euler compres-sible et Navier-Stokes comprescompres-sible (NSC) qui décrivent l'évolution des quantités moyennes caractérisant le système de particules, à savoir la densité de masse locale, la quantité de mou-vement et l'énergie du gaz. Le modèle NSC est plus précis que celui d'Euler compressible, et peut se voir comme une correction d'ordre ε qui fait apparaître des termes supplémen-taires tels que la viscosité et la conductivité de la chaleur. Cependant, physiquement, de tels modèles classiques sont insusants pour décrire correctement l'évolution macroscopique du

1_{La majeure partie de ce chapitre a fait l'objet d'un article intitulé Uniformly stable numerical schemes}

for the Boltzmann equation preserving the compressible Navier-Stokes asymptotics paru dans Journal of Computational Physics, 227(8) : 3781-3803, 2008

gaz lorsque son état est loin de l'équilibre (régime cinétique). D'où la nécessité d'établir, au moins formellement, le passage de la description cinétique à la description uide. Les mo-dèles uides de type Euler compressible ou NSC peuvent être obtenus à partir de l'équation de Boltzmann en utilisant la méthode des moments, en combinaison avec des méthodes de perturbations telles que les développements de Hilbert ou de Chapman-Enskog [14], [17]. En particulier, la dérivation du modèle NSC au régime uide fournit une approximation de la viscosité ainsi que le ux de chaleur dans le gaz à des termes près d'ordre ε2_{. Le contexte}

général de ce chapitre est le développement de schémas numériques pour la résolution de l'équation de Boltzmann qui sont uniformément stables tout au long du passage entre le régime cinétique et le régime uide. En eet, cette propriété joue un rôle important dans plusieurs applications de la théorie cinétique : physique des plasmas, technologie aérospa-tiale, transport des neutrons, etc. La diculté principale provient de la présence du terme

1

ε qui devient raide lorsque ε est proche de zéro (régime uide). Dans ce cas, la résolution

de l'équation de Boltzmann par un schéma explicite standard nécessite un pas de temps de l'ordre de ε, ce qui conduit à des calculs numériques très coûteux pour des petites valeurs de ε. An d'éviter cette diculté, il est nécessaire d'utiliser une discrétisation implicite ou semi-implicite en temps au niveau du terme de collision. Cependant, à cause de la structure complexe de l'opérateur de collision, la construction de schémas implicites convenables reste un important dé numérique. En fait, de tels schémas numériques devraient également avoir un comportement asymptotique correct : pour des petites valeurs de ε, le schéma devrait dé-générer en une bonne approximation des asymptotiques uides (Euler ou NSC) de l'équation de Boltzmann. Cette propriété est souvent appelée préservation de l'asymptotique (AP). Au niveau de l'échelle correspondante à l'asymptotique Euler, plusieurs auteurs ont proposé des approximations numériques permettant de la préserver. Voir par exemple, [19] dans le cas de l'équation BGK, suivis d'autres travaux dans le cas d'équations cinétiques plus générales dans [37, 34, 11, 61, 63]. Le cas de l'échelle de diusion a été également traité dans une série de travaux, voir [39, 42, 44, 38, 36, 58, 10, 8, 9]. Dans le même esprit, on mentionne aussi le travail concernant la limite Navier-Stokes incompressible dans [43]. Récemment, des schémas préservant l'asymptotique pour d'autres limites physiques ont été développés, notamment la limite quasi-neutre pour Euler-Poisson [27, 20], et la limite semi-classique de l'équation de Schrödinger [26].

Plusieurs méthodes numériques pour les équations cinétiques sont basées sur la méthode de splitting qui consiste à résoudre séparément les parties de collision et de transport. Pour le modèle BGK, il est bien connu (voir [19]) qu'en considérant la solution exacte de la partie de transport, cela permet d'obtenir une limite Euler correcte lorsque ε tend vers zéro. Ici, nous proposons une légère modication de cette méthode, ce qui va permettre de capturer également l'asymptotique NSC correspondant au modèle BGK. Dans le cas de l'opérateur de Boltzmann, la propriété de préservation de l'asymptotique Euler peut bien être garantie en utilisant la technique des sommes de Wild [34, 61, 63]. Par contre, il semble que cette méthode ne soit pas capable de capturer l'asymptotique NSC pour des petites valeurs de ε. En fait, à notre connaissance, il n'y a pas de travail numérique traitant l'asymptotique NSC des modèles cinétiques, même pour des modèles simpliés tels que l'équation BGK.

Nous mentionnons une autre stratégie permettant de diminuer le coût de calcul nu-mérique, qui consiste à coupler l'équation de Boltzmann avec des modèles uides (Euler, Navier-Stokes, ou modèles de diusion), voir [50, 21, 23, 24] par exemple. Cette stratégie est basée sur une décomposition du domaine, et la résolution des équations cinétiques et uides simultanément dans les diérents sous-domaines associés. Remarquons que l'ecacité d'une telle technique peut être améliorée en utilisant des schémas préservant l'asymptotique, en particulier dans les régions proches de l'interface séparant les sous-domaines (voir [23]).

Dans ce chapitre, nous présentons une méthode déterministe basée sur la décomposition de l'équation de Boltzmann en un système couplant une équation cinétique avec une autre équation uide. La partie uide de ce système dégénère pour des petites valeurs de ε, en les équations de NSC à O(ε2_{) près, alors que la partie cinétique reste uniformément stable}

par rapport à ε. Nous soulignons que notre approche ne nécessite aucune approximation, et n'utilise pas non plus une méthode de décomposition de domaine ni par rapport à la variable d'espace ni celle de la vitesse.

Nous soulignons également que notre méthode s'étend aussi à des opérateurs de collision de type Boltzmann plus généraux, et qu'elle peut être simplement généralisée an d'obtenir des schémas préservant l'asymptotique aux ordres supérieurs en ε (approximations de type Burnett). Notons aussi que notre approche s'applique également à la limite de diusion des équations cinétiques, voir chapitre 4 et [51]. Enn, nous mentionnons que certaines idées présentées dans ce travail sont proches de ce qui a été fait dans [45], pour construire des schémas préservant l'asymptotique pour l'équation du transfert radiatif.

Le plan de ce travail est le suivant : dans la section suivante, nous présentons un rappel des équations de Boltzmann et BGK ainsi que leurs asymptotiques uides (Euler et Navier-Stokes). Dans le section 3.3, en utilisant la décomposition micro-macro, nous construisons un système équivalent à l'équation de Boltzmann, dont nous prouvons le fait qu'il donne les équations de NSC à O(ε2_{)près. La section 2.4 concerne l'approximation numérique du}

sys-tème ainsi construit, où les discrétisations en temps et en espace sont détaillées séparément. Dans la section 2.5, nous reprenons certains schémas numériques classiques utilisés pour la résolution de l'équation de Boltzmann-BGK, dont nous discutons les propriétés vis-à-vis de l'asymptotique NSC. Finalement, nous présentons dans le section 2.6 plusieurs tests numé-riques en dimension 1 dans le but d'illustrer l'ecacité de notre méthode.

2.2 L'équation de Boltzmann et ses approximations uides

2.2.1 L'équation de Boltzmann

La modélisation d'un système de particules en dynamique des gaz au niveau cinétique utilise la fonction de distribution f = f(t, x, v), où f(t, x, v)dxdv représente le nombre de particules se trouvant à l'instant t dans le petit volume dxdv de l'espace des phases R3

x× R3v.

L'évolution de la fonction de distribution est due à deux principaux phénomènes : le transport des particules et les collisions binaires entre elles. La variation de la fonction f au cours de

ce processus est modélisée par l'équation de Boltzmann dont la forme adimensionnée est donnée par (voir [16] pour les détails)

∂tf + v · ∇xf =

1

εQ(f, f ), t > 0, (x, v) ∈ R

d_{× R}d_{, (2.1)}

f (t = 0, x, v) = f0(x, v). (2.2)

Le transport des particules est décrit par le terme de gauche, alors que les collisions binaires entre les particules (de même type) sont décrites par le terme de droite de l'équation (2.1). Le paramètre ε est le nombre de Knudsen donné par

ε = λ L,

où λ est le libre parcours moyen entre les particules et L est une longueur caractéristique du domaine physique considéré. Le nombre de Knudsen sert à mesurer le degré de raréfac-tion du gaz, c'est à dire l'écart de l'état du système de particules par rapport à l'équilibre thermodynamique. Ainsi, le gaz est d'autant plus proche de l'équilibre que ε est proche de zéro. L'opérateur de collision de Boltzmann Q est une fonctionnelle quadratique agissant uniquement sur la dépendance en vitesse de la fonction f. Il s'écrit sous la forme :

Q(f, f )(v) = Z Rd Z Sd−1 B(|v − v∗|, ω)[f0f∗0 − f f∗]dωdv∗, (2.3)

où f = f(t, x, v), f∗ = f (t, x, v∗), f0 = f (t, x, v0), f∗0 = f (t, x, v∗0), avec v et v∗ désignant les

vitesses des particules avant la collision, tandis que v0 _{et v}0

∗ sont les vitesses des particules

après la collision. En considérant que les collisions sont élastiques, le processus d'interaction entre particules doit satisfaire au niveau microscopique une propriété physique importante, à savoir la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique

v + v∗ = v0+ v0∗, |v|2_{+ |v}

∗|2 = |v0|2+ |v0∗|2.

De plus, les vitesses post-collisionnelles v0 _{= v}0_{(v, v}

∗, ω) et v0∗ = v∗0(v, v∗, ω), peuvent

s'expri-mer en fonction des vitesses pré-collisionnelles (v, v∗) tel que : v0 _{= v − (v − v}

∗, ω)ω, v0∗ = v∗+ (v − v∗, ω)ω,

où ω est un vecteur de la sphère unité Sd−1_{. Le terme B(u, ω) est le noyau de collision de}

Boltzmann. C'est une fonction positive qui dépend seulement de |u| et du produit scalaire ¡ u

|u|, ω

¢

. Elle peut s'écrire sous la forme B(u, ω) = |u|σ(u, ω), où σ est la section diérentielle ecace de collision. En considérant l'angle θ de la déviation due à la collision entre les deux particules de vitesses respectives v et v∗, on obtient la relation

cos θ =¡ v − v∗

|v − v∗| , ω¢.

Un exemple important en dimension d = 3 est celui des particules qui interagissent entres elles par une loi potentielle de puissance inverse Φ(r) = _rs−11 , s > 2. Il est bien connu que dans ce cas, le noyau de collision est donné par

B(v − v∗, σ) = b(cos θ)|v − v∗|γ,

où γ = s − 5_{s − 1}. Pour s > 5 il s'agit des potentiels durs et pour s < 5 on a les potentiels doux, tandis que b est une fonction localement lisse mais ayant une singularité non-intégrable pour

θ → 0 :

sin θ b(cos θ) ∼ Kθ−1−ν_{, ν =} 2 s − 1.

Le cas particulier s = 5 conduit au modèle de Maxwell avec

B(v − v∗, σ) = b(cos θ)

Remarque 2.2.1.

Une expression bilinéaire plus générale associée à Q(f, f) est donnée par

Q(f, g)(v) = 1 2 Z Rd Z Sd−1 B(|v − v∗|, ω) h f0_g0 ∗+ f∗0g0− f g∗− f∗g i dωdv∗. (2.4)

On voit clairement que Q(f, g) = Q(g, f) et qu'en prenant f = g, l'expression (2.4) conduit tout simplement à celle donnée par (2.3) pour l'opérateur de Boltzmann.

Dans la suite, nous utiliserons les notations suivantes :

hgi =

Z

Rd

g(v)dv pour toute fonction vectorielle ou scalaire g = g(v), et m(v) =³1, v,|v|2

2 ´_T

. (2.5)

Propriétés de l'opérateur de collision de Bolzmann :

Les propriétés physiques microscopiques de l'opérateur de Boltzmann sont basées sur un principe important qui est la micro-réversibilité des collisions. Plus précisément, l'application de transformation collisionnelle Tc: (v, v∗) → (v0, v0∗)est une involution :

T−1

c = Tc, et det(Tc) = 1.

De plus, le noyau de collision vérie :

B(|v − v∗|, ω) = B(|v∗− v|, ω) = B(|v0− v0∗|, ω).

Par conséquent, en considérant une fonction test susamment régulière Φ, on en déduit la forme faible de l'opérateur de collision :

hQ(f, f ) Φi = −1 4 Z Rd Z Rd Z Sd−1 B(|v − v∗|, ω)[f0f∗0 − f f∗][Φ0+ Φ0∗− Φ − Φ∗]dωdvdv∗. (2.6)

Ainsi, les propriétés de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'éner-gie cinétique au cours du processus de collision résultent directement de (2.6), en prenant respectivement les invariants de collision : Φ(v) = 1, v, |v|2_{. Soit}

hm Q(f, f )i = 0, ∀f ≥ 0.

Il est aussi possible de montrer que tout invariant collisionnel est une combinaison linéaire des composantes de m(v) :

hQ(f, f ) Φi = 0 ⇐⇒ ∃A, C ∈ R, B ∈ Rd_{: Φ(v) = A + B · v + C|v|}2_.

Une autre propriété importante de l'opérateur de Boltzmann est le H-théorème. En multi-pliant l'opérateur de collision par log f et en intégrant ensuite par rapport à la variable de vitesse, on trouve grâce à (2.6) :

hQ(f, f ) log(f )i = −1 4 Z Rd Z Rd Z Sd−1 B(|v − v∗|, ω)[f0f∗0 − f f∗] log £f0_f0 ∗ f f∗ ¤ dωdvdv∗. (2.7)

Comme (u − w) log(u/w) ≥ 0, ∀u, w ≥ 0 alors on obtient l'inégalité suivante, dite H-théorème :

hQ(f, f ) log f i ≤ 0, ∀f ≥ 0. (2.8) Une conséquence immédiate de cette inégalité est la décroissance en temps de l'entropie totale du système : dH dt ≤ 0, avec H = ¿Z Rd f log f dx À . _(2.9) En eet, soit D(f ) = 1 4[f 0_f0 ∗ − f f∗] log £f0_f0 ∗ f f∗ ¤ ,

alors il est facile de voir que

∂thf log f i + ∇x· hvf log f i = −

Z

Rd_×Rd_×Sd−1

B(|v − v∗|, ω)D(f )dvdωdv∗ ≤ 0. (2.10)

Cela peut être interprété par le fait que l'entropie locale de la fonction f, dénie par

G(f ) = hf log f i ,

se dissipe et par conséquent qu'on ne peut pas retrouver un état précédent du gaz en inversant simplement les vitesses pré-collisionnelles en vitesses post-collisionnelles. La dynamique de collision décrite par l'équation de Boltzmann est donc réversible au niveau microscopique, mais pas macroscopiquement.

En intégrant maintenant (2.10) par rapport à x, on trouve facilement l'inégalité (2.9) qui montre donc que H décroît au cours du temps jusqu'à ce que la fonction f devienne une fonction d'équilibre. Celle-ci sera caractérisée dans la suite.

Considérons maintenant les états d'équilibre du système de particules décrit par l'équa-tion de Boltzmann. Ce sont les foncl'équa-tions positives qui annulent l'opérateur de collision :

Q(f, f ) = 0. A partir de (2.7), on montre que l'égalité a lieu dans (2.8) si et seulement si f est de la forme

M(v) = exp(A + B · v + C|v|2), (2.11) pour certains A, C ∈ R et B ∈ Rd_{. Les fonctions s'écrivant sous la forme (2.11) sont appelées}

des maxwelliennes. Elles décrivent la distribution des vitesses dans le système de particules lorsque ce dernier est dans un état d'équilibre hydrodynamique local. De plus, les paramètres

A, B et C peuvent être exprimés en fonctions des quantités macroscopiques qui caractérisent le système considéré : on obtient ainsi l'expression suivante

M(U)(v) = ρ (2πT )d2 exp³− |v − u|2 2T ´ , _(2.12)

où ρ, u et T sont la densité de masse, la vitesse moyenne et la température locales associées au vecteur des moments U par la relation :

hmM (U)i = U = (ρ, ρu,1

2ρ|u|

2₊d

2ρT ). (2.13)

Remarque 2.2.2.

A chaque instant t et en tout point x de l'espace des positions, en considérant la partie d'équilibre de la fonction de distribution f(t, x, v), qui est représentée par la maxwellienne

M(U) _{donnée par (2.12) où U = hmfi, on peut montrer que M(U) est caractérisée comme}

étant l'unique solution du problème de minimisation de l'entropie suivant :

H(M(U)) = min

½

H(f ) = hf log f i , f telle que hmfi =¡ρ, ρu, E = 1

2ρ|u| 2₊d 2ρT ¢_T¾ .

2.2.2 L'équation BGK

L'équation BGK (voir [14] par exemple) est un modèle simplié de l'équation de Boltz-mann. Elle s'obtient en considérant un opérateur de collision qui ne prend en compte que l'eet global des collisions, à savoir la relaxation vers l'équilibre hydrodynamique local. Ainsi, on écrit : ∂tf + v · ∇xf = 1 ετ(M(U) − f ), t > 0, (x, v) ∈ R d_{× R}d_{, (2.14)} où U =³ρ, ρu,1 2ρ|u| 2₊ d 2ρT ´ = hmf i , _(2.15) et τ est un taux de relaxation qui dépend en général de ρ et T . Les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie, ainsi que l'inégalité d'entropie sont également satisfaites pour le modèle BGK. Les maxwelliennes sont clairement les fonctions d'équilibre associées à l'opérateur BGK.

2.2.3 Lois de conservation et modèles uides asymptotiques

Les régimes uides sont ceux pour lesquels le libre parcours moyen devient petit par rap-port à une échelle de longueur macroscopique caractéristique. Il est bien connu que lorsque le nombre de Knudsen est petit, l'équation de Boltzmann peut être approchée par les équations d'Euler compressible à O(ε) près et par les équations de Navier-Stokes compressible à O(ε2₎

près. Cette asymptotique est souvent appelée la limite hydrodynamique, et elle rend compte du passage d'une description cinétique à une description macroscopique du gaz. L'obtention formelle du système d'Euler est plutôt directe, tandis que celle des équations de Navier-Stokes compressible est un peu plus subtile.

Les lois de conservation de la masse, la quantité de mouvement ainsi que l'énergie peuvent être obtenues à partir de l'équation de Boltzmann donnée dans (2.1) en utilisant la méthode des moments. Pour cela, on multiplie (2.1) par le vecteur des invariants de collision, i.e. par

m(v) _{donné dans (2.5), et ensuite on intègre par rapport à la variable de vitesse v. Grâce}

aux propriétés de conservation de l'opérateur de Boltzmann mentionnées dans la section précédente, on obtient le système des lois de conservation suivant :

∂thmf i + ∇x· hvmf i = 0. (2.16)

En dénissant ρ, u, E et T tel que hmfi = (ρ, ρu, E = 1

2ρ|u|2+ d2ρT ), on trouve alors hv ⊗ vf i = h(v − u) ⊗ (v − u)f i + 2 h(v − u) ⊗ uf i + hu ⊗ uf i

= Pu + ρu ⊗ u,

où P = h(v − u) ⊗ (v − u)fi désigne le tenseur des contraintes. D'autre part, on a ­

v|v|2_f® ₌ ­_{((v − u) + u)(|v − u|}2_{+ 2v · u − |u|}2_)f®

= ­|v − u|2_{(v − u)f}®₊­_{|v − u|}2_f®_{u + 2 h(v · u)(v − u)f i + 2 h(v · u)f i u − hvf i |u|}2

=­|v − u|2(v − u)f®+ dρT u + ρ|u|2u + 2 h(v · u)(v − u)f i .

Or, h(v · u)(v − u)fi = hv ⊗ (v − u)fi u = h(v − u) ⊗ (v − u)fi u = Pu. Ainsi, en notant Q = 1

2h|v − u|2(v − u)f i le vecteur ux de chaleur, le système (2.16) devient ∂t   _ρuρ E   + ∇x·   _{ρu ⊗ u + P}ρu Eu + Pu + Q   = 0. (2.17) Ce système d'équations ne peut être fermé en général pour une fonction de distribution donnée f puisqu'il fait intervenir des moments de f d'ordre supérieur à 3. En revanche, lorsque ε tends vers 0 dans (2.1), la fonction de distribution f tend vers la maxwellienne locale M(U). Par conséquent, le système (2.17) peut être approché par un système fermé sur le vecteur U en utilisant l'expression (2.12). Dans cette approximation le tenseur des contraintes P et le vecteur ux de chaleur Q sont donnés par

où p = ρT est la pression, et I est la matrice identité. En eet, Q = 0 puisque l'application

w → |w|2_we−|w|2_{2T , w ∈ R}d _{est impaire. De même, le fait que w → we}−|w|2_{2T , w ∈ R}d _soit

impaire implique que Z

R

(vk− uk)e−

(vk−uk)2

2T dv_k = 0, ∀k = 1, 2, · · · , d.

Il en résulte que Pi,j = 0, ∀i 6= j. Maintenant,

Pi,i = ­ (vi− ui)2M(v) ® = 1 d ­ |v − u|2_M(v)®_{= ρT = p, ∀i = 1, 2, · · · , d.}

Par suite, (2.17) se réduit tout simplement aux équations usuelles d'Euler compressible, c'est à dire : ∂t   _ρuρ E   + ∇x·   _{ρu ⊗ u + pI}ρu (E + p)u   = 0. (2.18) Il est bien connu qu'une correction du premier ordre (en ε) des équations d'Euler com-pressible est donnée par le système d'équations de Navier-Stokes comcom-pressible. Il modélise le gaz dans le même régime que pour les équations d'Euler compressible (régime uide), et sa validité subsiste aussi pour des valeurs de ε proches de 0 (Plus souvent pour des nombres de Knudsen inférieurs à 0.1). En utilisant la description cinétique, on peut alors obtenir les équations de Navier-stokes compressible à partir de l'équation de Boltzmann. Une telle construction est basée sur la méthode de développement de Chapman-Enskog. Cette procé-dure consiste à décomposer la fonction de distribution f sous la forme

f = M(U) + εg

où M(U) est la maxwellienne ayant le même vecteur moment que la fonction f, c'est à dire le vecteur U, tandis que la fonction g est telle que hmgi = 0. En injectant cette décomposition dans les lois de conservation (2.16) et en négligeant les termes en O(ε2_{), on peut obtenir le}

système des équations de Navier-Stokes compressibles donné par

∂t   _ρuρ E   + ∇x·   _{ρu ⊗ u + pI}ρu (E + p)u   = −ε   _∇x0_{· σ} ∇x· (σu + q)   . (2.19) Dans ces équations, le tenseur des contraintes est P = pI + σ où σ = −µ³∇xu + (∇xu)T −

2

d∇x· uI

´

représente le tenseur de contrainte de cisaillement. Quant au ux de chaleur, il est donné par Q = εq = −εκ∇xT. Ces relations font intervenir les coecients µ et κ qui sont

des fonctions de U. Ils sont appelés les coecients de la viscosité et de la conductivité de la chaleur, voir [2] et les références qui y sont mentionnées pour plus de détails. Comme on peut le voir, les équations de Navier-Stokes compressibles prennent en compte le phénomène de diusion qui est modélisé par des termes dépendant de la dérivé seconde en espace dans le membre de droite du système (2.19). De tels termes sont d'ordre ε. Bien sûr, lorsque le nombre de Knudsen tend vers 0, le système de Navier-Stokes compressible se réduit simplement aux équations d'Euler compressible.