Dans cette section, nous présentons plusieurs tests numériques dans le cas du modèle BGK unidimensionnel. Notre objectif est d'illustrer l'e cacité du schéma (2.47)(2.48) et de montrer son équivalence asymptotique à O(ε2) près avec le schéma (2.50). Nous allons
également véri er la consistance de (2.50) avec une approximation standard des équations de NSC unidimensionnelles (2.35). En n, le comportement de nos schémas dans le régime NSC est analysé en les comparant avec l'approximation standard suivante des équations de NSC, utilisant des diérences nies centrées pour les termes de diusion :
Un+1 i − Uin ∆t + Fi+1 2(U n) − F i−1 2(U n) ∆x = 3ε 2∆x2 00 pi+pi+1 2 (Ti+1− Ti) − pi−1+pi 2 (Ti− Ti−1) . (2.69)
Pour une raison de clarté, nous xons quelques notations. Le schéma (2.47)(2.48) ob- tenu par la décomposition micro-macro est appelé (AP ), le schéma splitting semi-implicite en temps donné par (2.61) et (2.64) est appelé (Si), et le schéma splitting en temps avec
solution exacte pour la phase de collision donné par (2.61) et (2.63) est appelé (Se). L'asymp-
totique NSC (2.50) du schéma (AP ) est appelée (AP 1). Le schéma numérique (2.49) pour les équations d'Euler est noté (E). Rappelons que ce schéma est aussi la limite du schéma (AP ) quand ε tend vers 0. Pour ces deux schémas les ux convectifs numériques ∂xF (U)
sont approchés en utilisant la décomposition du ux cinétique (2.43). Finalement, le schéma standard (2.69) pour les équations de NSC est noté (NS).
Pour tous les schémas utilisés dans cette section, les intégrales par rapport à la vitesse sont discrétisées par la formule des rectangles. D'autre part, dans tout ce qui suit, l'approxi- mation en vitesse de la maxwellienne donnée par (2.12)-(2.13) est construite en suivant l'idée présentée dans [57], dont nous rappelons ici les points clés. Pour cela, considérons le problème de minimisation suivant
où H(g) = hg log gi est l'entropie de g et U désigne un vecteur moment de la forme (2.13). Il est connu (voir [67]) que l'unique solution de ce problème de minimisation est donnée par la maxwellienne M(U) dé nie par (2.12)-(2.13). En outre, en résolvant ce problème de minimisation par multiplicateurs de Lagrange, on trouve l'expression équivalente à (2.12) suivante :
M(U) = exp(α · m(v)).
Le vecteur α est le vecteur des multiplicateurs de Lagrange du problème (2.70), dont on peut exprimer les composantes en fonction de celle du vecteur U comme
α = ³ log ³ ρ (2πT )d2 ´ − |u|2 2T , u T, − 1 T ´T . (2.71)
Maintenant, considérons une grille cartésienne de vitesses vj = j∆v, j ∈ V ⊂ Z, associée à
un domaine de vitesse borné. Alors, d'après [57] le problème de minimisation discret min
( X
j∈V
gjlog(gj), gj ≥ 0, tel que
X
j∈V
mjgj∆v = U
)
où mj = (1, vj,12|vj|2), est un problème qui admet une unique solution Mj(U) ayant une
forme exponentielle, sous la condition que le vecteur moment U soit strictement réalisable ( c'est à dire U est le vecteur moment d'une fonction strictement positive). Ainsi, Mj(U)
s'écrit :
Mj(U) = exp(α · mj),
où α ∈ R3 est la solution du problème non linéaire discret suivant :
X
j∈V
mjexp(α · mj)∆v = U.
Finalement, la résolution de ce problème peut se faire en utilisant par exemple une méthode itérative de Newton initialisée avec le vecteur (2.71). Une approximation de la maxwellienne
M(U) au point vitesse vj sera donc donnée par Mj(U).
2.6.1 Problème de choc stationnaire
Nous étudions dans cette section le problème unidimensionnel du choc stationnaire. La donnée initiale est f(0, x, v) = M[ρ, u, T ] où les quantités macroscopiques sont des données à gauche et à droite du choc, liées par les relations classiques de Rankine-Hugoniot. Plus précisément, étant donné un état gauche UL= (ρL, uL, EL), on construit l'état droite UR=
(ρR, uR, ER) de telle sorte que le problème stationnaire avec conditions aux limites sur un
domaine borné [xmin, xmax] : v∂xf =
1
ε(M(U) − f ),
admette une solution. Ainsi, en multipliant par m(v) et puis en intégrant contre la variable vitesse v, on trouve :
hvmM (UR)i = hvmM (UL)i .
ceci conduit en considérant un domaine de vitesse borné [vmin, vmax] discrétisé par vj = j∆v, j = −m, · · · , m (on prend vmin = −vmax), au problème discret suivant :
m X j=−m vjmjMj(UR)∆v = m X j=−m vjmjMj(UL)∆v.
Ce problème peut être résolu en utilisant un algorithme itératif de Newton, ce qui permettra ainsi de calculer UR en fonction de UL. Ici, l'état gauche et l'état droite qui lui est associé
sont donnés dans le cas continu par
ρ = 1, u = 1.2, T = 0.1 pour x < 0,
ρ = 1.65, u = 0.72, T = 0.4 pour x > 0.
Cela correspond à un nombre de Mach du choc qui vaut 2.2. Le domaine de calcul en espace est [−7.5, 7.5] discrétisé avec 200 cellules, tandis que l'espace des vitesses est tronqué par l'intervalle [vmin, vmax] = [−3, 4]avec 100 points.
Notre premier objectif est d'illustrer le comportement du schéma (AP ) dans plusieurs régimes. Ainsi, pour diérentes valeurs de ε (ε = 3−n, n ≥ 0), nous traçons d'abord la
fonction de distribution au point du choc (x = 0) dans la gure 2.1. Nous traçons aussi la densité, la vitesse moyenne et la température comme fonctions de x ∈ [−7.5, 7.5] dans les gures (2.2)(2.4). Dans chaque gure, nous rajoutons les résultats correspondants obtenus avec le schéma limite Euler (E). Ces gures montrent que le schéma (AP ) est stable à la limite ε = 0 et qu'il converge vers la limite Euler correcte.
A n d'examiner le comportement du schéma (AP ) au régime cinétique, nous comparons dans la gure 2.5 la densité obtenue pour ε = 1 par le schéma (AP ) avec celle obtenue par la discrétisation explicite simple (2.54) de l'équation BGK (notée par (BGKexp) dans la gure). Comme prévu, les deux schémas donnent les mêmes pro ls.
Maintenant, nous allons illustrer le fait que l'asymptotique NSC (AP 1) du schéma (AP ) est eectivement une approximation des équations de NSC (voir la seconde assertion de la proposition 2.4.3). La densité obtenue par le schéma (AP 1) est alors comparée pour
ε = 1 (régime cinétique) et ε = 1.7 × 10−5 (régime uide), au résultat obtenu en utilisant
l'approximation standard (NS) des équations de NSC. Dans la gure 2.6 nous observons, comme prévu, que les schémas (AP 1) et (NS) donnent les mêmes pro ls de la densité.
Ensuite, pour les schémas (AP ) et (Si), nous examinons numériquement la diérence entre
les résultats qu'ils fournissent et la limite Euler. Nous allons véri er que cette diérence est eectivement de l'ordre de ε. Nous traçons alors dans gure 2.7 les diérences relatives (en norme euclidienne et en échelle logarithmique) entre les densités, les vitesses moyennes et les températures obtenues par les schémas (AP ) et (E) d'une part, et puis (Si) et (E) d'autre
part. Ainsi, comme on s'y attendait, on voit que ces pro ls sont bien des droites de pente égale 1.
Finalement, nous montrons numériquement que le schéma (AP ) est asymptotiquement équivalent à O(ε2) près au schéma (AP 1) pour les équations de NSC aux petites valeurs
de ε. Dans la gure 2.8 nous traçons la diérence relative entre les densités, les vitesses moyennes et les températures obtenues par les schémas (AP ) et (AP 1). Comme prévu, on obtient une droite de pente égale à 2. Ceci concorde bien avec l'analyse formelle faite dans les sections précédentes : cela con rme que le schéma (AP ) préserve avec précision l'asymptotique Navier-Stokes compressible à O(ε2) près.
2.6.2 Problème de Sod
Dans cette section nous considérons le problème classique de tube à Sod, avec la donnée initiale suivante pour la densité, la vitesse moyenne et la température
(ρ, u, T ) = (1, 0, 1), 0 ≤ x ≤ 0.5, (0.125, 0, 0.1), 0.5 < x ≤ 1.
La fonction de distribution est initialisée par les états maxwelliens gauche et droite associés à ces données. Le domaine en espace [0, 1] est discrétisé en utilisant 100 points, tandis que le domaine de vitesse est [−4.5, 4.5] discrétisé avec le même nombre de points.
D'abord, nous considérons le schéma (AP ). Pour diérentes valeurs de ε, nous traçons à l'instant t = 0.14 et la position x = 0.5 la fonction de distribution dans la gure 2.9. Nous traçons aussi dans les gures 2.102.12, au même instant et pour les mêmes valeurs de ε, la densité, la vitesse moyenne et la température. Dans chacune des gures, le pro l de la quantité macroscopique correspondante obtenue par le schéma (E) est rajouté. Encore une fois, ces gures montrent que le schéma (AP ) es stable à la limite ε = 0 et qu'il converge vers la limite Euler correcte.
Finalement, les diérences entre les schémas préservant l'asymptotique NSC (c'est à dire (AP ) et (Si)) et le schéma qui ne l'est pas (à savoir le schéma (Se)) sont montrées en
traçant dans la gure 2.13 le ux de chaleur divisé par ε, donné par q = 1
ε D |v−u|2 2 (v − u)f E . Cette quantité est obtenue par les schémas (AP ), (Si), et (Se), puis comparée avec sa valeur
asymptotique théorique −κ∂xT obtenue dans (NS). Les valeurs du nombre de Knudsen
considérées sont ε = 2×10−3, ε = 10−3 et ε = 2×10−4. Les pro ls de q sont tracées à l'instant t = 0.16, où le pas de temps est ∆t = 2 × 10−3. Selon l'analyse donnée dans les sections 2.4
et 2.5, q devrait être d'ordre 1 pour (NS) et pour les schémas préservant l'asymptotique (AP )et (Si), tandis qu'il devrait être d'ordre e−∆t/ε/ε pour (Se). Eectivement, on observe
dans la gure 2.13 que le ux de chaleur donné par (Se)est plus petit que celui donné par les
autres schémas, et même qu'il est nettement plus petit pour ε = 2 × 10−4. On voit aussi par
comparaison, que le schéma (AP ) donne un ux de chaleur qui devient de plus en plus proche de celui donné par la discrétisation (NS) des équations de Navier-Stokes compressible lorsque
ε décroît. Finalement, le schéma splitting modi é (Si) est aussi proche de (NS), mais il fait
apparaître quelques oscillations qui sont probablement dues à la discrétisation complexe des termes de diusion dans (2.65).