Dans ce chapitre, nous avons présenté une méthode numérique pour les équations ci- nétiques de type Boltzmann, qui préserve l'asymptotique Navier-Stokes compressible pour des petits nombres de Knudsen. L'élément clé dans cette méthode est l'utilisation d'une for- mulation micro-macro équivalente à l'équation cinétique. Cette formulation a été discrétisée avec un schéma numérique qui est uniformément stable par rapport au nombre de Knudsen, et qui est e cace aussi bien dans le régime cinétique que dans le régime uide. Cela a été illustré par plusieurs tests numériques pour le modèle BGK unidimensionnel.
Nous avons également présenté une simple modi cation de l'approche classique de split- ting pour l'équation BGK. Cette modi cation mène à la même propriété de préservation de l'asymptotique (pour l'asymptotique NSC). Signalons qu'au moins pour une classe par- ticulière des opérateurs quadratiques de type Boltzmann, une modi cation similaire de la méthode utilisant les sommes de Wild [34] pourrait être faite a n d'obtenir des schémas pré- servant l'asymptotique, en utilisant aussi la méthode de splitting. Ce travail est actuellement en préparation [3].
En revanche, la méthode basée sur la décomposition micro-macro semble être plus natu- relle et devrait être aisément généralisée à d'autres opérateurs de collision de type Boltzmann (Boltzmann, Landau, etc.). C'est l'objectif de la partie 2. L'étude d'un traitement des condi- tions aux limites adéquat dans la décomposition micro-macro est en cours. De plus, nous mentionnons que cette approche a déjà été appliquée pour obtenir des schémas préservant la limite de diusion pour des équations cinétiques linéaires [51], et même dans le cas d'un opérateur quadratique comme on le verra dans le chapitre 4.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 velocity v 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 f(v) n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 8
Fig. 2.1 Choc stationnaire : fonction de distribution f au point du choc (x = 0) comme fonction de la vitesse v ∈ [−3, 4] donnée par le schéma (AP ). Pro ls de f pour diérentes valeurs de εn= 3−n pour le régime raré é (ε0 = 1, ε1 = 0.333, ε2 = 0.11), le régime intermé-
diaire (ε3 = 3.7 × 10−2) et le régime uide (ε8 = 1.52 × 10−4) où f devient une maxwellienne.
-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 position x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 mass density n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 8 E
Fig. 2.2 Choc stationnaire : densité de masse comme fonction de la position x ∈ [−7.5, 7.5] donnée par le schéma (AP ). Pro ls de ρ pour diérentes valeurs de εn = 3−n pour le régime
raré é (ε0 = 1, ε1 = 0.333, ε2 = 0.11), le régime intermédiaire (ε3 = 3.7 × 10−2) et le régime
-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 position x 0,8 0,9 1 1,1 1,2 mean velocity n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 8 E
Fig. 2.3 Choc stationnaire : vitesse moyenne comme fonction de la position x ∈ [−7.5, 7.5] donnée par le schéma (AP ). Pro ls de u pour diérentes valeurs de εn = 3−n pour le régime
raré é (ε0 = 1, ε1 = 0.333, ε2 = 0.11), le régime intermédiaire (ε3 = 3.7 × 10−2) et le régime
uide (ε8 = 1.52 × 10−4). Le résultat du schéma (E) est aussi montré.
-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 position x 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 temperature n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 8 E
Fig. 2.4 Choc stationnaire : température comme fonction de la position x ∈ [−7.5, 7.5] donnée par le schéma (AP ). Pro ls de T pour diérentes valeurs de εn= 3−npour le régime
raré é (ε0 = 1, ε1 = 0.333, ε2 = 0.11), le régime intermédiaire (ε3 = 3.7 × 10−2) et le régime
-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 position x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 mass density BGK exp AP
Fig. 2.5 Choc stationnaire : densité de masse comme fonction de la position x ∈ [−7.5, 7.5] pour ε = 1 (régime raré é) obtenue par les schémas (BGKexp), et (AP ).
-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 position x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 mass density AP1 NS -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 position x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 mass density
Fig. 2.6 Choc stationnaire : densité de masse comme fonction de la position x ∈ [−7.5, 7.5] pour ε = 1 (régime raré é, en haut) et ε = 2.32 × 10−8 (régime uide, en bas) obtenue par
1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1
relative difference for density
AP / E Si / E
Knudsen numberε
slope = 1 slope = 1
1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1
1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1
relative difference for temperature
slope = 1
slope = 1
Knudsen numberε
1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1
1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1
relative difference for mean velocity
ε slope = 1
slope = 1
Knudsen number
Fig. 2.7 Choc stationnaire : diérences relatives (en échelle logarithmique) entre les den- sités (en haut à gauche), les vitesse moyennes (en haut à droite), et les températures (en bas), obtenues avec les schémas (AP ) et (E), et avec (Si) et (E). Diérentes valeurs sont
1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 1e-18 1e-15 1e-12 1e-09 1e-06 0,001 1
relative difference for density
slope = 2
Knudsen numberε
1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
1e-18 1e-15 1e-12 1e-09 1e-06 0,001 1
relative difference for mean velocity
slope = 2
Knudsen numberε
1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
1e-18 1e-15 1e-12 1e-09 1e-06 0,001 1
relative difference for temperature
slope = 2
Knudsen numberε
Fig. 2.8 Choc stationnaire : diérences relatives (en échelle logarithmique) entre les densités (en haut à gauche), les vitesses moyennes (en haut à droite), et les températures (en bas), obtenues avec les schémas (AP ) et (AP 1). Diérentes valeurs sont considérées, avec εn =
-4,5 -3 -1,5 0 1,5 3 4,5 velocity v 0 0,1 0,2 0,3 0,4 f(v) n = 0 n = 5 n = 7 n = 8 n = 10 n = 14
Fig. 2.9 Problème de Sod : fonction de distribution f au point x = 0.5 comme fonction de la vitesse v ∈ [−4.5, 4.5] donnée par le schéma (AP ) au temps t = 0.14. Pro ls de f pour diérentes valeurs de εn = 2−n au régime raré é (ε0 = 1, ε5 = 3.125 × 10−2), régime
de transition (ε8 = 3.90 × 10−3) et régime uide (ε10 = 9.7 × 10−4, ε14 = 6.10 × 10−5) où f
devient proche de la maxwellienne.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 position x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 mass density n = 0 n = 5 n = 7 n = 8 n = 10 n = 14 E
Fig. 2.10 Problème de Sod : densité de masse comme fonction de x ∈ [0, 1] au temps
t = 0.14, donnée par le schéma (AP ). Pro ls pour diérentes valeurs de εn = 2−n pour le
régime raré é (ε0 = 1, ε5 = 3.125 × 10−2), le régime de transition (ε8 = 3.90 × 10−3) et
le régime uide (ε10 = 9.7 × 10−4, ε14 = 6.10 × 10−5). Le résultat du schéma (E) est aussi
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 position x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 mean velocity n = 0 n = 5 n = 7 n = 8 n = 10 n = 14 E
Fig. 2.11 Problème de Sod : vitesse moyenne comme fonction de x ∈ [0, 1] au temps
t = 0.14, donnée par le schéma (AP ). Pro ls pour diérentes valeurs de εn = 2−n pour le
régime raré é (ε0 = 1, ε5 = 3.125 × 10−2), le régime de transition (ε8 = 3.90 × 10−3) et
le régime uide (ε10 = 9.7 × 10−4, ε14 = 6.10 × 10−5). Le résultat du schéma (E) est aussi
montré. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 position x 0,5 1 1,5 2 temperature n = 0 n = 5 n = 7 n = 8 n = 10 n = 14 Euler
Fig. 2.12 Problème de Sod : température comme fonction de x ∈ [0, 1] l'instant t = 0.14, donnée par le schéma (AP ). Pro ls pour diérentes valeurs de εn = 2−n pour le régime
raré é (ε0 = 1, ε5 = 3.125 × 10−2), le régime de transition (ε8 = 3.90 × 10−3) et le régime
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 q AP Si Se NS 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 q 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 q
Fig. 2.13 Problème de Sod : ux de chaleur q divisé par ε comme fonction de x ∈ [0, 1] à l'instant t = 0.16, pour les schémas (AP ), (Si) (qui préservent l'asymptotique NSC), pour
le schéma (NS) et pour le schéma (Se). Pro ls de q pour ε = 2−9 ≈ 2 × 10−3 (en haut), ε = 2−10≈ 10−3 (au milieu) et ε = 2−12≈ 2 × 10−4 (en bas).
Chapitre 3
Extension du schéma AP pour
l'équation BGK en dimension de vitesse
supérieure à 1.
3.1 Introduction
Dans le chapitre précédent, nous avons proposé une nouvelle méthode permettant de préserver l'asymptotique NSC pour des équations cinétiques assez générales (opérateur qua- dratique ou de relaxation) en dimension quelconque. Cependant, notre schéma de discrétisa- tion en espace n'a été construit pour l'instant que pour le modèle BGK unidimensionnel. Ce modèle est relativement simple (opérateur de collision, nombre de variables). De même, le système NSC associé est simple puisque l'équation sur la quantité de mouvement ne contient pas de terme de diusion.
En revanche, en passant en dimension 3 même pour le modèle BGK, l'étude de l'asymp- totique NSC associée est plus intéressante. En eet, le tenseur des contraintes de cisaillement n'est pas nul contrairement au cas unidimensionnel, et il apparaît aussi bien dans l'équation sur la quantité de mouvement que dans celle sur l'énergie. Toutefois, dans les simulations numériques, il reste très coûteux en terme de temps de calcul et de mémoire, d'étendre notre méthode construite dans le chapitre précédent au modèle BGK tridimensionnel. En eet, sa résolution numérique nécessite la discrétisation de 7 variables (6 dimensions dans l'espace de phase R3
x× R3v, plus le temps). On peut cependant se contenter d'étudier l'in uence d'une
seule des composantes du tenseur des contraintes de cisaillement, et de con rmer la capa- cité de nos schéma à pouvoir la décrire correctement quand le gaz est dans le régime NSC. Cela peut être réalisé en supposant que la fonction de distribution dépend uniquement d'une seule composante pour la variable d'espace. D'autre part, a n de réduire le coût des calculs numériques par rapport à la variable de vitesse v ∈ R3, sous certaines conditions que nous
verrons plus loin, une technique a déjà été utilisée dans des situations similaires, à savoir la technique des distributions réduites [31]. C'est une technique fréquemment utilisée dans la littérature pour éliminer une variable de vitesse ou d'énergie interne (voir [68], [72]).
Dans ce chapitre, nous généralisons nos méthodes numérique présentées au chapitre pré- cédent, au cas du modèle BGK pour lequel la fonction de distribution dépend seulement de la première composante x de la variable d'espace X = (x, y, z) ∈ R3. En supposant en plus,
que les vitesses moyennes des fonctions de distribution de vitesses intervenant dans les équa- tions cinétiques qui entrent en jeu sont nulles suivant y et z, la technique des distributions réduites nous permettra de réduire le coût numérique par rapport à la variable de vitesse. En eet, on aura à traiter que des équations cinétiques unidimensionnelles en espace et en vitesse. Nous adaptons alors à ce contexte la formulation cinétique/ uide pour le modèle BGK réduit a n d'avoir un modèle couplé qui lui sera équivalent. Ce modèle couplé sera discrétisé dans le même esprit que la discrétisation présentée précédemment. De même, nous retrouvons les méthodes numériques standards utilisées pour la résolution du modèle BGK que nous adapterons également à notre équation BGK réduite. En particulier, nous repre- nons la modi cation de la méthode de splitting standard, pour voir sa capacité à capturer le régime Navier-Stokes compressible dans le cas du modèle BGK réduit.
Le reste du chapitre s'articule comme suit. Dans la section 3.2, nous construisons dans un premier temps le modèle BGK réduit en utilisant la technique des distributions réduites. En- suite, nous présentons ses approximations uides qui sont les équations d'Euler et de Navier- Stokes compressible. Dans la section 3.3, nous obtenons le modèle couplé micro/macro pour le système BGK réduit, en le construisant à partir de la formulation cinétique/ uide équi- valente à l'équation BGK originale. Une telle construction s'obtient de la même façon que le modèle BGK réduit est construit à partir de BGK originale. Nous montrons ensuite, for- mellement, que le modèle micro/macro ainsi construit est bien asymptotiquement équivalent aux équations NSC correspondantes ( à O(ε2)près). La section 3.4 concerne l'approximation
numérique du système couplé cinétique/ uide pour le modèle BGK réduit. Nous traitons séparément les discrétisations en temps et en espace. Dans la section 3.5, nous reprenons donc des schémas numériques standards pour l'équation BGK originale que nous adapterons au modèle BGK réduit. Le comportement asymptotique de ces méthodes standards sera discuté vis-à-vis de la préservation du régime NSC. En particulier, une modi cation de la méthode de splitting sera apportée au schéma correspondant pour nalement satisfaire la propriété de préservation de l'asymptotique NSC. Plusieurs tests numériques sont présentés pour con rmer que nos schémas construits au chapitre précédent se généralisent correcte- ment en dimension supérieure, en étant toujours capables de préserver l'asymptotique NSC. Une conclusion sera faite dans la section 3.7.