Fonction Exponentielle 4ème Sc Expérimentales

(1)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé , , .

Exercice 1

Soit la fonction définie sur IR par : = 1 + .On désigne par la courbe représentative de .

1) a) Calculer lim

→ et lim→

b) Montrer que pour tout réel , ′_{= −} c) Dresser le tableau de variation de 2) a) Calculer lim

→ . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

b) Tracer la courbe

3) Soit ∈ ℕ∗. On désigne par _! l’aire de la partie du plan limité par la courbe les axes du repère et la droite d’équation =

a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer _! en fonction de . b) Calculer lim

!→

Exercice 2

Soit la fonction f définie sur IR par : ln(1 e ) 2

1 ) x (

f = + −x . On désigne par (ζ) sa courbe représentative.

1) a) Montrer que f est dérivable sur IR et que pour tout x∈IR, _x e 1 1 2 1 ) x ( f + − = ′ .

b) Etudier les variations de f.

c) Vérifier que pour tout x∈IR, ln(1 e ) 2 1 x 2 1 ) x ( f =− + + x .

d) En déduire que la droite x 2 1 y : =−

∆ est une asymptote à (ζ) en −∞. Etudier la position relative de (ζ) et ∆.

e) Tracer (ζ) et ∆.

2) a) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans IR une solution unique α. b) Vérifier que 0<α<1.

3) a) Montrer que pour tout x ≥0,

4 1 ) x ( f′ ≤ .

(2)

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b) En déduire que tout x≥0, f

4) Soit la suite définie sur IN par a) Montrer que pour tout n∈IN

b) Montrer que pour tout n∈IN

c) En déduire que pour tout n∈

Exercice 3

1) La courbe (Γ) ci-dessous est celle d’une fonction g définie, continue et dérivable sur IR. On sait que :

• La droite d’équationy=

• La courbe (Γ) admet une seule tangente horizontale.

• La courbe (Γ) coupe l’axe des abscisses

En utilisant le graphique : a) Déterminer g(0) et g′(0). b) Déterminer le signe de g sur IR. 2) La fonction g est définie sur IR par a) Exprimer g(0) et g′(0) en fonction de b) Déduire, en utilisant 1)a), que pour tou

Dans la suite de l’exercice, on considère la fonction f définie sur

http://mathematiques.kooli.me/ α − ≤ α − x 4 1 ) x ( f .

4) Soit la suite définie sur IN par

   = = + f(U ) U 0 U n 1 n 0 IN, U_n ≥0. IN, n₊1−α ≤ Un −α 4 1 U . IN ∈ , n n 4 1 U       ≤ α − et calculer n nlim→+∞U

dessous est celle d’une fonction g définie, continue et dérivable sur IR.

1 −

= est une asymptote à (Γ) au voisinage de ( ) admet une seule tangente horizontale.

) coupe l’axe des abscisses (O ,i) en un unique point

b) Déterminer le signe de g sur IR.

2) La fonction g est définie sur IR par g(x)=(αx+β)ex −1 où α et β sont deux réels. en fonction de α et β.

b) Déduire, en utilisant 1)a), que pour tout réel x, g(x)=(x−1)ex −1 Dans la suite de l’exercice, on considère la fonction f définie sur IR∗ par

Page 2 .

dessous est celle d’une fonction g définie, continue et dérivable sur IR.

) au voisinage de (−∞ ).

en un unique point x0.

sont deux réels.

par x 1 e ) x ( f x + = .

(3)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3 On désigne par (ζ) sa courbe représentative.

3) a) Calculer lim f(x) x→−∞ , xlim→0−f(x) et ) x ( f lim 0

x→ + .Interpréter graphiquement le résultat .

b) Calculer limf(x)

x→+∞

c) Justifier que la courbe (ζ) admet une branche parabolique de direction (O, j)au voisinage de +∞

4) a) Vérifier que pour tout x∈IR∗, ₂ x ) x ( g ) x ( f′ = .

b) Dresser le tableau de variation de f. c) Montrer que 1 x 1 ) x ( f 0 0 = ₋ . d) Tracer (ζ). ( On prendra x₀ =1,2 ). Exercice 4

On a représente ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe (C) d’une fonction f définie, continue, dérivable et strictement décroissante sur

[

0 , +∞

[

.

On sait que la courbe (C) :

* admet l’axe des abscisses comme asymptote au voisinage de +∞ * atteint son maximum au point d’abscisse 0.

1) Par lecture graphique : a) Déterminer f(0) lim f(x)

x→+∞ et fd′(0)(nombre dérivé à droite en 0)

b) Montrer que f est une bijection de

[

0 , +∞

[

sur un intervalle J que l’on déterminera. 2) Tracer la courbe (C′) de la fonction 1

f− réciproque de f.

On note β l’abscisse du oint d’intersection des deux courbes (C) et (C′) 3) On sait que la fonction f est définie sur

[

0 , +∞

[

par 2x

e ) b ax ( ) x (

f = + − .où a et b sont deux réels.

a) En utilisant 1) a) montrer que pour tout x de

[

0 , +∞

[

; 2x

e ) 1 x 2 ( ) x ( f = + − . b) Soit =∫₀β + −2x dx e ) 1 x 2 ( I .

A l’aide d’une intégration par parties, montrer que = − β+ −2β

e ) 1 ( 1 I .

c) On désigne par A l’aire de la partie (E) du plan limité par la courbe (C′), l’axe des abscisses et les droites d’équations x =β et x=1 .

(4)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Exercice 5

Soit la fonction " définie sur #$ par

Le tableau ci-dessous est le tableau de variations de

−∞ "& − "

1) On admet que l’équation " déduire le signe de " suivant 2) Soit la fonction définie sur ' a) Etudier la limite de à droite en b) Vérifier que pour tout de

c) Etudier les variations de puis dresser le tableau de variations de

lim _{→ ∞} _∞

3) Tracer la courbe représentative de 4) Soit ( l’ensemble des points ) a) Hachurer le domaine (. b) Calculer l’aire du domaine

http://mathematiques.kooli.me/ par " 1. ssous est le tableau de variations de ".

∞ 1 ∞ 0

1 ∞

+

, 1

0 admet une unique solution - strictement positive. En .

'0 , ∞. par : ln .

à droite en . Interpréter le résultat graphiquement. '0 , ∞. ; ′ 0 _.

puis dresser le tableau de variations de en admettant que

la courbe représentative de . On suppose que - 0,75 (unité graph ) , 3 tels que 1 4 4 2 et 0 4 3

(

Page 4 ∞

strictement positive. En

. Interpréter le résultat graphiquement.

en admettant que

(unité graph 4 78).

(5)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 5

Exercice 6

Soit f la fonction définie sur IR par x x

xe e 1 ) x (

f = + − . On note (ζ) sa courbe représentative. 1) On donne ci- dessous le tableau de variation de f.

x −∞ 0 +∞ ) x ( ' f − 0 + ) x ( f 2 1 −∞ a) Justifier que la restriction g de f à l’intervalle

[

0 ,+∞

[

réalise une bijection de

[

0 ,+∞

[

sur

]

−∞ ,2

]

.

b) Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans IR, une solution unique α .

c) Vérifier que 1<α<1,5 2) a) Calculer x ) x ( f lim

x→−∞ . Interpréter graphiquement le résultat .

b) Etudier la position relative de la courbe (ζ) et la droite ∆ d’équation y=x.

c) Tracer (ζ) et ∆.

3) On note 1

g− la fonction réciproque de g et (ζ′) sa courbe représentative. Tracer (ζ′).

4) a) Vérifier que la fonction F définie par x

e ) x 2 ( x ) x (

F = + − est une primitive de f sur IR.

b) Calculer l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (ζ), la droite ∆ et les droites

d’équations x=0 et x=1. c) En déduire que ∫2 − = − 1 1 2 e dx ) x ( g . Exercice 7

Soit la fonction f définie sur

]

0, +∞

[

par 

     + = x 1 x ln ) x (

f . On désigne par (C) sa courbe

représentative. 1) Calculer limf(x) 0 x→ + et ) x ( f lim

x→+∞ . Interpréter graphiquement les résultats.

2) a) Montrer que pour tout x de

]

0, +∞

[

,

) 1 x ( x 1 ) x ( f + − = ′ .

b) Dresser le tableau de variation de f. 3) Tracer (C).

(6)

4) Soit n un entier naturel non nul. a) Montrer que l’équation f(x)

b) Vérifier que 1 e 1 x n 1 n − = . c) Calculer n x lim n n→+∞ . Exercice 8

I ) On a représenté ci-dessous la courbe représentative (C) d’une fonction f définie, continue et dérivable sur IR.

On sait que la courbe (C) admet :

• Une asymptote d’équation

de direction(O ,j)au voisinage de

• Seulement deux tangentes horizontales ) 4e , 2 ( A -2 . En utilisant le graphique : 1) Déterminer lim f(x) x→+∞ , xlim→−∞f(x)

2) Déterminer, suivant la valeur du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation

m ) x (

f = .

II ) On suppose que la fonction f et déf de f.

1) Vérifier que, pour tout réel x , 2) Soit =∫2 − 0 x dx xe I et =∫2 0 f(x)dx J http://mathematiques.kooli.me/ oit n un entier naturel non nul.

n 1

)= admet une solution unique xn dans

dessous la courbe représentative (C) d’une fonction f définie, continue

Une asymptote d’équation y=0 au voisinage de +∞ et une branc au voisinage de −∞.

Seulement deux tangentes horizontales ; l’une au point O et l’autre au point

et x ) x ( f lim x→−∞ .

On suppose que la fonction f et définie par : 2 x

e x ) x ( f = − . On note f

1) Vérifier que, pour tout réel x , f′(x)=2xe−x −f(x). dx.

Page 6 dans

]

0, +∞

[

.

dessous la courbe représentative (C) d’une fonction f définie, continue

et une branche parabolique

; l’une au point O et l’autre au point

(7)

a) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que b) En utilisant II-1 ), montrer que

c) En déduire la valeur de J et interpréter graphiquement le résultat.

Exercice 9

Dans le graphique ci-contre

ζ et Γ sont les courbes représentatives , dans un repère orthogonal (O ,i ,j)

f dérivable sur IR et de sa fonction dérivée Chacune des deux courbes ζ et Γ

* une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞.

* une asymptote d’équation y=0

1) Par une lecture graphique : a) Déterminer, parmi les courbes b) Déterminer f(0) ,f′(0)et f′(1).

c) Dresser le tableau de variation de f.

2) On admet que la fonction f est définie sur par a) Calculer f′(x), pour x∈IR.

b) Montrer que pour tout x∈IR

c) En déduire les coordonnées du point d’inte d) Montrer que pour tout x≥−

3) Soit t un réel supérieur ou égale à 1. On désigne par A(t) l’aire de la partie du plan limit par les deux courbes ζ et Γ et les droites

a) Montrer que ≥ ln(1 e 3 4 ) t ( A b) En déduire limA(t) t→+∞ . http://mathematiques.kooli.me/

a) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que 2

e 3 1 I= − − . 1 ), montrer que = −∫2 ′ 0 f (x)dx I 2 J .

c) En déduire la valeur de J et interpréter graphiquement le résultat.

sont les courbes représentatives ,

), d’une fonction e sur IR et de sa fonction dérivée f′. ₃e

Γ possède : ζ

* une branche parabolique de direction l’axe des

au voisinage de −∞

a) Déterminer, parmi les courbes ζ et Γ celle qui représente la fonction .

c) Dresser le tableau de variation de f.

tion f est définie sur par : ₂

x x x 1 e ) x ( f + + = . IR on a : ₂ x x 1 1 x 2 ) x ( f ) x ( f ) x ( f + + + = ′ − .

c) En déduire les coordonnées du point d’intersection des deux courbes

2 1 − on a : ₂ x x 1 1 x 2 e 3 4 ) x ( f ) x ( f + + + ≥ ′ − .

3) Soit t un réel supérieur ou égale à 1. On désigne par A(t) l’aire de la partie du plan limit et les droites : 2 1 x =− et x =t       − + + 4 3 ln e 3 4 ) t t 2 . Page 7 Γ

celle qui représente la fonctionf′.

rsection des deux courbes ζ et Γ.

(8)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 8

Exercice 10

On considère la fonction f définie sur IR−

{

−1

}

par x

e 1 x 1 x 1 ) x ( f + − + − = . On désigne par ζ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i,j)

r r . 1) Calculer lim f(x) ) 1 ( x→− − , lim f(x) ) 1 ( x→− + , ) x ( f lim x→−∞ , xlim→+∞f(x).

2) a) Montrer que pour x∈IR−

{

−1

}

, x 2 2 e ) 1 x ( 1 x ) x ( f + + = ′

b) Donner le tableau de variation de f.

3) a) Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans

]

−1 ,+∞

[

une unique solution α et que

6 , 1 5 , 1 <α< . b) Vérifier que 1 1 e − α + α = α _{et que}_f₍₋_α₎₌₀ 4) a) Calculer x ) x ( f lim

x→+∞ . Interpréter graphiquement le résultat.

b) Tracer la courbe ζ.

Exercice 11

I ) On a représenté ci-dessous, les courbes (C) et (Γ), représentatives d’une fonction f définie et dérivable sur IR et sa fonction dérivée f′.

(C)

(Γ)

1) Reconnaître la courbe représentative de f et celle de f′. 2) Déterminer f(0),f′(0),f(-1)et f′(-1).

3) Calculer l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe de f′, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =−1 et x=0.

II ) La fonction f est définie sur IR par 2 x

e ) 1 x ( ) x ( f = + − .

(9)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 9 b) Déterminer l’aire A′ de la partie du plan limitée par les courbes (C) et (Γ ) et les

droites

d’équations x=−1 et x =0.

2) Soit g la restriction de f à l’intervalle

[

1 ,+∞

[

.

a) Montrer que g réalise une bijection de

[

1 ,+∞

[

sur un intervalle J que l’on précisera. b) Montrer que l’équation g(x)=0 admet dans

[

1 ,+∞

[

une solution unique α et que

42 , 1 41 , 1 <α< . c) Montrer que 1

g− est dérivable en α et que

) 1 ( 1 ) ( g 1 α − α + α = α − _{, (} 1 g− désigne la fonction réciproque de g ). Exercice 12

A) On considère la fonction f définie sur IR par :

   > = ≤ + − = 0 x si lnx x -x f(x) 0 x si e 1 x ) x ( f x Soit (C) sa courbe représentative ( unité graphique 2cm )

1) a) Montrer que f est continue en 0

b) Montrer que f est dérivable à gauche en 0 est que le nombre dérivé à gauche en 0 est 2 c) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0

2) a) Etudier les variations de f sur

]

-∞ , 0

]

puis sur

]

0 , +∞

[

b) En déduire le tableau de variation de f sur IR

3) a) Montrer que la droite ∆:y=x−1 est une asymptote à (C) au voisinage de −∞ b) Préciser pourx≤0, la position de (C) par rapport à ∆

c) Préciser pourx>0, la position de (C) par rapport à ∆′:y=x

d) Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à la courbe (C) au point A(e , 0)

4) Tracer ∆, ∆′, T et (C)

B) Soit g la restriction de f à l’intervalle

[

1 , +∞

[

1) a) Montrer que g admet une fonction réciproque 1

g− définie sur un intervalle J que l’on précisera. On désigne par (C′)la courbe représentative de 1

g−

b) Vérifier que la droite T définie dans A)3)d) est tangente à la courbe (C′)au point

e) , 0 ( B c) Tracer (C′)

(10)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 10 2) Soit I(1 , 1). Calculer en 2

cm , l’aire du domaine limité par les axes de coordonnées l’arc

[

IA

]

de la courbe (C) et l’arc

[

IB

]

de la courbe (C′)

Exercice 15

A) Soit f la fonction définie sur IR par : ₂_x

x 2 e 1 e ) x ( f +

= et soit (C) sa courbe représentative 1) a) Calculer lim f(x)

x→−∞

et lim f(x)

x→+∞

b) Montrer que pour tout réel x on a :

(

₂_x

)

2 x 2 e 1 e 2 ) x ( f + = ′

c) Montrer que le point       2 1 , 0

I est un centre de symétrie de (C) d) Donner une équation cartésienne de la tangente T à (C) au point I 2) a) Montrer que pour tout réel t on a :

2 1 ) t ( f′ ≤

b) En intégrant les deux membres de l’inégalité précédente, montrer que pour x≥0 on a : ) 1 x ( 2 1 ) x ( f ≤ +

c) Déterminer alors la position de (C) par rapport à T 3) Tracer (C) et T

4) a) Montrer que f est une bijection de IR sur

] [

0 , 1

b) Soit y∈

] [

0 , 1 . Déterminer le réel x tel que f(x)=y

c) En déduire la représentation graphique dans le même repère de la fonction g définie sur

] [

0 , 1 par :       − = x 1 x ln 2 1 ) x ( g

B) On considère la suite (In)_n_∈_IN∗ définie pour tout entier naturel n non nul par : ∫

+ = − 0 1 2t nt 2 n dt e 1 e I

a) Montrer que la suite (In)_n_∈_IN∗ est décroissante et positive

b) En déduire que la suite (In)_n_∈_IN∗ est convergente

c) Montrer que pour tout entier naturel n non nul on a :

n 2 1 I_n ≤ d) En déduire n n I lim +∞ → Exercice 13

I ) Soit f la fonction définie sur IR par f(x)=ex −x. 1) Dresser le tableau de variation de f.

(11)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 11 2) En déduire que pour tout réel x, ex −x≥1.

II ) Dans la figure ci-dessous est représentée, dans un repère orthonormé (O ,i,j), la courbe

g

C d’une fonction g définie, continue et dérivable sur

]

0, +∞

[

. La droite d’équation x = 0 est une asymptote à la courbe Cg.

La courbe Cg admet une branche parabolique de direction (O ,j) au voisinage de +∞.

1) a) Déterminer g(1), g(2) et g(3). b) Déterminer limg(x) 0 x→ + , xlim→+∞g(x) et _x ) x ( g lim x→+∞ c) Déterminer le signe de g′(x).

2) Soit h la fonction définie sur

]

0, +∞

[

par g(x)

e ) x (

h = et soit C_h sa courbe représentative. a) Calculer h(1) , h(2) et h(3). b) Justifier que ₊ =+∞ → h(x) lim 0 x et xlim→+∞h(x)=+∞. c) En écrivant x g(x) ) x ( g e x ) x ( h g(x)

= , pour x>2 montrer que la courbe C_hadmet au voisinage de +∞, une branche parabolique de direction (O ,j).

d) Dresse le tableau de variation de g. 3) Soit α>0.

On note M et N les points des courbes Cg et Chd’abscisse α.

a) Calculer la distance MN en fonction de g(α).

b) Montrer que la distance MN est minimale lorsque α =2. 4) Tracer la courbe C_h.

(12)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Exercice 14

On a représenté ci-contre, la courbe

définie, dérivable et strictement croissante sur Les droites (∆)et (∆′)d’équation

respectives x=−1 et x=1 sont les asymptotes à La droite (T) est la tangente à (ζ)

1) En utilisant le graphique déterm 2) Soit g la fonction réciproque de f et représentative

a) Déterminer g(0)et g′(0)

b) Tracer la courbe (ζ′)

3) Sachant que l’expression de g est de la forme

b e a e ) x ( g _x x + +

= , pour toutx∈IR, montrer en utilisant ce qui précède que

1 e 1 e ) x ( g _x x + − = , pour tout 4) a) Vérifier que 1 e e 1 e 1 x x x + = − + − , pour tout b) Calculer alors ∫1 0g(x)dx

5) Soit A l’aire de la partie du plan limitée les courbes

1

x= et y=1

a) Montrer que A=1−2∫₀1g(x)dx

b) En déduire A.

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contre, la courbe (ζ)d’une fonction f ∆ ∆′ définie, dérivable et strictement croissante sur

]

−1, 1

[

.

sont les asymptotes à(ζ).

)en O.

1) En utilisant le graphique déterminer f(0)et f′(0). 2) Soit g la fonction réciproque de f et (ζ′)sa courbe

3) Sachant que l’expression de g est de la forme , montrer en utilisant ce , pour tout x∈IR.

, pour tout x∈IR.

5) Soit A l’aire de la partie du plan limitée les courbes (ζ) et (ζ′) les droites d’équations

dx.

Page 12 ;