Coniques 4ème Mathématiques

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 1} Coniques 4ème Mathématiques

Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé , , .

Exercice 1

On considère la courbe C d’équation + 4 + 8 − 4 = 0.

1) Montrer que C est une parabole et préciser son paramètre.

2) Déterminer, relativement au repère = , , ; les coordonnées de son centre ; de

son foyer et une équation de sa directrice .

3) a) Vérifier que 0 , est un point de C.

b) Déterminer, relativement au repère ; une équation de la tangente à C en c) Tracer la parabole C et sa tangente .

Exercice 2

Soit C la courbe d’équation + − 14 + 24 = 0.

1) On considère les vecteurs ! = √ +√ et # = −√ +√ . Montrer que

$ _{= , ! , # est un repère orthonormé du plan.}

2) Déterminer une équation cartésienne de C dans le repère $.

3) En déduire la nature de C.

Exercice 3

Soit la courbe P d’équation : + 2 − 6 + 10 = 0.

1) Montrer que P est une parabole.

2) Déterminer son sommet, son foyer et sa directrice. 3) a) Montrer que le point 3 , 2 ∈ P.

b) Donner une équation de la tangente à P en .

4) Tracer la parabole P.

Exercice 4

Soit un nombre complexe.

1) Résoudre dans ℂ l’équation : 4 − 2 − 5 4 − 25 = 0. On désignera par 4′ et 4′′

ses solutions.

2) On désigne par , ?, ?′ et ?′′ les points d’affixes respectives 25 , , 4′ et 4′′. Soit H

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/}

a) Déterminer une équation cartésienne de b) Montrer que H est une hyperbole dont l’excentricité, les directrices et les asymptotes.

3) a) Vérifier que H passe par le point

b) Tracer H . Exercice 5

1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application

d’affixe 4 associe le point ?′ d’affixe

2) On considère la courbe C d’équation

a) Déterminer une équation cartésienne de b) En déduire que C ’ est une ellipse dont directrices et l’excentricité

c) Construire C ’ et C. Exercice 6

Pour chacune des questions suivantes une seule des réponses proposées est exacte.

1) La courbe représentée ci-contre admet pour équation

G 3 + 2 = 1 H 9 − 4

2) Un des foyers de l’ellipse est le point a) J0 , √13K b) J√13 ,

3) Une des directrice de l’ellipse est la droite

G = 4 √13 H = 4 9 4) La parabole P d’équation a) 2 , 0 b) 0 , 1 5) La parabole P d’équation a) L = −3 b) L = Exercice 7

1) Déterminer une équation cartésienne de la parabole

∶ = _N

http://mathematiques.kooli.me/

Déterminer une équation cartésienne de H .

est une hyperbole dont-on précisera le centre, les sommets, les foyers, l’excentricité, les directrices et les asymptotes.

passe par le point et donner une équation de la tangente

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application d’affixe 4$ tel que : 4$ =

NJ1 − 5√3K4.

d’équation : 15 + 13 − 2√3 − ne équation cartésienne de C ’ image de C par P.

est une ellipse dont-on précisera les sommets, les foyers les

suivantes une seule des réponses proposées est exacte. contre admet pour équation :

= 1 Q 9 + 4 = 1 Un des foyers de l’ellipse est le point de coordonnées :

0K c) J√5 , 0 K

Une des directrice de l’ellipse est la droite D d’équation : Q = 9

√5

= −4 a pour foyer de coordonnées c) −1 , 0

= −6 a pour paramètre : = 3 c) L = 6

Déterminer une équation cartésienne de la parabole P de foyer

Page 2

on précisera le centre, les sommets, les foyers,

et donner une équation de la tangente à en .

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application P qui à tout point ?

− 768 = 0. on précisera les sommets, les foyers les

suivantes une seule des réponses proposées est exacte.

de coordonnées :

S

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 3}

2) Vérifier que le point −1 , −2 est un point de P et donner équation de la tangente à P en .

3) Construire la parabole P.

Exercice 8

On considère les points 1 , 0 , TJ−1 , √3K, T′J−1 , −√3K et Ω −1 , 0 . Soit E l’ellipse de centre Ω passant par et de sommets secondaires T et T′.

1) Montrer que est un sommet principal de E.

2) Déterminer les foyers et ′, l’excentricité et les directrices associées D et D ’ de E. 3) Déterminer une équation cartésienne de P .

4) Déterminer les points ? et ? intersection de P et l’axe des ordonnées, ? étant le

point d’ordonnée négative.

5) Ecrire une équation de la tangente à E en ? 6) Tracer P ,

Exercice 9

Soit l’application P du plan complexe dans lui-même qui à tout point ? 4 associe le point ?′ 4′ tel que 4$ _{= 24 − 4 .}

1) Soient les points ? et ? d’affixes respectives 4 et 24 où 4 ∈ ℂ.

Montrer que ? ? ?′ est un parallélogramme.

2) Soit H l’ensemble des points ? 4 tel que 4$ soit imaginaire pur. Déterminer une équation cartésienne de H .

3) a) Montrer que H est une hyperbole passant par .

b) Ecrire une équation de la tangente à H en .

c) Tracer à H.

Exercice 10

On considère la courbe Г d’équation = _UWXUV

1) Montrer que ? , ∈ Г ⇔ − 2 + 3 = −7.

2) a) Soit le point ′ −3 , 2 . Vérifier qu’une équation de Г dans le repère $ = ′ , ,

est Z[ = −7.

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 4}

Exercice 11

On considère l’hyperbole H d’équation : −\]

N = 1 et soit le point ? ^_` a; 2 tan c ;

c ∈ d0 ; ef.

1) a) Déterminer, par leurs coordonnées les sommets et les foyers de H.

b) Donner les équations cartésiennes des deux asymptotes ∆ et ∆ de H. c) Tracer H.

d) Vérifier que le point ? ∈ H.

2) Soit _h la tangente à H en ?. Montrer qu’une équation de _h est : 2 − sin c − 2 cos c = 0.

3) On désigne par i et i les points d’intersection de _h respectivement avec les droites ∆ et ∆

Donner les coordonnées des points i et i Exercice 12

Soit la droite D : = S et les points ? , et X , −1 et le point j projeté orthogonal de ? sur la droite D . Soit P : k? ∈ i tel que ?j = ? l.

1) a) Montrer que P est une parabole dont-on déterminera le sommet, l’axe focal, le foyer, et

la directrice.

b) Construire P.

2) Soit le point de P d’abscisse −S et d’ordonnée _m positive. a) Déterminer .

b) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à P en .

c) Donner une équation de la droite ′ perpendiculaire à en . 3) Les droite et ′ coupent l’axe focal de P respectivement en n et en o.

a) Montrer que est le milieu du segment pnoq.

b) Soit r le projeté orthogonal de sur l’axe focal de P , montrer que or = 1 Exercice 13

1) Résoudre dans ℂ l’équation s ∶ 4 − 3 − 5 4 + 4 − 35 = 0

2) A tout point ? d’affixe 4 on associe le point ?′ d’affixe 4$ tel que : 4$ = 4 − 3 − 5 4 + 4 − 35.

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 5}

On pose 4 = + 5 et 4′ = ′ + 5 ′ où , , ′ et ′ sont des réels. Déterminer ′ et ′ en fonction de et .

3) a) Soit H = k? ∈ i tel que ?′ ∈ , l. Montrer qu’une équation cartésienne de H

est : − − 3 − + 4 = 0.

b) Déterminer la nature de H et préciser son centre, ses sommets, ses foyers, ses asymptotes et ses directrices de.

d) Tracer la courbe H . Exercice 14

Soit un triangle T rectangle en et tel qu’une mesure de JT!!!!! , T!!!!! K est t ∈ q0 , up, soit ? un point quelconque du plan, la parallèle à issue de ? coupe la droite T en j et la parallèle à T issue de ? coupe la droite T en ?′. On note Г = k? ∈ i/??′ = ? l.

1) Montrer que ? ∈ Г ⇔ hw

hx =`yz {

2) Déduire la nature de la conique Г.

3) Dans la suite on prend = 6 |} et t =e ~

a) Faire une figure.

b) Soit un point ?′ de T donné. Construire alors un point ? de Г.

c) Montrer que la droite D passant par et parallèle à T est une asymptote de Г puis construire Г.

Exercice 15

Soit t un réel de l’intervalle d− e

X ; e

Xf. Soit un point ? 4 tel que : 4 =•]€•_W•€•_W

1) Montrer que 4 = •‚€• W ^_` {

2) On pose 4 = + 5 où et sont deux réels.

a) Montrer que et vérifient la relation : + = 1 − 2 . b) En déduire que lorsque t varie dans l’intervalle d− e

X ; e

Xf, le point M décrit une