Systèmes mécaniques réversibles en dynamique holonome et non-holonome des corps solides rigides

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holonome et non-holonome des corps solides rigides

Ioulia Gloukhikh

To cite this version:

Ioulia Gloukhikh. Systèmes mécaniques réversibles en dynamique holonome et non-holonome des corps

solides rigides. Modélisation et simulation. Ecole des Ponts ParisTech, 2003. Français. �tel-00005724�

ECOLE NATIONALE

Thesede Doctorat presentee par

Ioulia Gloukhikh

pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L' 

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS

 EES

Specialite:

Mathematiques, informatique

sujet:

Systemes mecaniques reversibles en

dynamique holonome et non-holonome

des corps solides rigides

Soutenue le 31 mars 2003 devant le jury compose de

Monsieur BadaouiElmabsout President Madame MadeleinePascal Rapporteur Monsieur AlexandreSumbatov Rapporteur Monsieur DominiqueChevallier Directeur dethese

parvenir a ce qu'elle est aujourd'hui. Je le remercie aussi pour sa patience 

a monegard pendant ces annees.

J'adresse mes remerciements chaleureux a Valentin Tkhai qui a dirige cette these en Russie, m'a aidee et soutenue contre le decouragement et a apporte de nombreuses idee sur desproblemes et leur solution.

Madame Madeleine Pascal et MonsieurAlexandreSumbatovontaccepte d'^etreles rapporteurs de mathese. Leurs conseils m'ont permis d'ameliorer mon travail et je les enremercie.

Je tiens a remercier Monsieur Badaoui Elmabsout et Monsieur Claude Vallee pour avoiraccepte defairepartie demon juryetavoir examinecette these.

Je tiens a exprimer toute ma gratitude a l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussees pour son soutien et au Cermics o u j'ai sejourne pendant la preparation de cette these et dont les membres ont contribue a faciliter et rendreagreables messejours en France.

1 Introduction 3

I Theorie 11

2 Systemes reversibles 13

2.1 Generalites . . . 13 2.2 Mouvementsperiodiques symetriques . . . 20 2.3 Methodedeformationdessolutions2k-periodiquesd'unsysteme

reversible . . . 22 2.4 Prolongement d'unmouvement periodiqueselonun parametre 24 2.5 Mouvements periodiques d'un systeme quasi-autonome du

deuxieme ordre . . . 25 2.6 Systeme proched'un systeme conservatifa undegre de liberte 29 2.7 Methodededeterminationdesexposantscaracteristiquesd'un

systeme periodiquereversiblelineaire . . . 30 2.8 Resonanceparametriquedanslesystemereversibledutroisieme

ordre . . . 33 2.9 Stabilite de lapositiond'equilibred'unsysteme reversible . . 42

II Applications 47

3 Rotationspermanentesd'unellipsodehomogenepesant rou-lant sans glissement sur un plan horizontal 49 3.1 Equations dumouvement . . . 49 3.2 Ellipsodepesant homogene surun plan . . . 53 3.3 Forme normale . . . 58 3.4 Stabilitedesrotationspermanentesd'unellipsodehomogene

3.5 Calculsnumeriques . . . 63

4 Roulement d'un ellipsode le long d'une ligne droite 69 4.1 Equationsdumouvement . . . 69 4.2 Roulementd'un corpsle longd'une droite . . . 75 4.3 Probleme de lastabilite du roulement.Equationsdu

mouve-ment perturbe. . . 80 4.4 Systeme d'equations auxvariationssans dimension . . . 85 4.5 Roulementde l'ellipsodeproche de l'ellipsodede revolution 88 4.6 Resultatsetconclusions surlastabilite. . . 96

5 Oscillations etrotations d'unsatellite dans lechampde gra-vitation de la Terre sous l'in uence de l'atmosphere 109 5.1 Equationsdumouvement . . . 110 5.2 Oscillations et rotations d'un satellite sur une orbite

faible-ment elliptique . . . 118 5.3 Rotations periodiques d'un satellitesur uneorbite elliptique

arbitraire . . . 128 5.4 Rotations rapidesd'unsatellitesur uneorbiteelliptique . . . 140

III Annexe 149

A Densitede l'atmosphere en fonction de l'altitude 151

B Code des Programmes 159

Conclusion generale et perspectives 165

Introduction

La presentethese a pour objetd'etudier desproblemesreversiblesdans la dynamiqueholonome etnon-holonomedu corps solide.

Dans la these sont analyses les rotations permanentes, les oscillations et les mouvements rotatifs d'un ellipsode homogene pesant sur un plan absolument rugueuxet d'unsatellitesur une orbiteelliptique;le probleme de lastabilitede cesmouvements estegalement etudie.

Le choix du theme de la these a ete determine, d'une part, par le fait que lesprincipauxmodelesdelamecanique classiqueetceleste sont decrits par des systemes d'equationsdierentielles reversibles (Tkhai[64, 65, 80]). D'autre part, par l'elaboration, ces deux dernieres decennies, de la theorie de la stabilite des oscillationsdes systemes mecaniques reversibles (Tkhai, Devaney, Gloukhikh, Grodman,Ephimov, Zimovshikov[14, 18, 15, 89, 32, 64-86]).

Ilest anoter que dans lesannees80 on a misau point la theorieKAM reversible (Devaney, Sevryuk [14, 60-62]). Cette theorie est appliquee pour 

etudier des problemesmecaniques etest comparable ala theorie KAM des systemeshamiltoniens (Kolmogorov, Arnol'd,Moser [4,31,50]).

Avant laparutionde l'articledeTkhai[64] onn'accordaitpasbeaucoup d'attention au fait que la plupart des systemes de la mecanique classique sont reversibles. V.N. Tkhai, dans [80], rappelle, qu'on a toutefois utilise la symetrie (reversibilite)dans la mecanique celeste depuis L. Euler (pour les orbites periodiques locales construites par L. Euler au voisinage d'un des points colineaires de libration [16],les orbites periodiques du probleme de Hill [27], les orbites periodiquesde Poincare de troisespeces (Arenstorf, Barrar,Poincare,Uno[3,7,53,87]),lecriteredeWhittakerpourlesorbites periodiques symetriques [88], les orbites en forme de \sabot de cheval" de

A.F.Shanzledansleproblemedetroiscorps[59]). Onutiliselareversibilite dans les recents travaux de recherche fondamentaux (Sarychev, Sazonov, Zlatoustov [56,58]) sur leprobleme de V.V. Beletsky[8].

L'article deTkhai [64] demontre quetout systeme mecaniqueholonome limiteparuneliaisongeometriquestationnairesetrouvantuniquementsous l'eet des forces positionnelles est decrit par un systeme d'equations dierentiellesreversibles.Cetarticlen'atrouveunprolongementqu'en1991, l'annee ou aete analysee uneseriede modelesde la mecanique classiqueet celesteetou ona demontre quecesmodelesformentuneclasse particuliere dessystemesreversibles de laforme

8 < : _ u=U(u;v ) _ v=V (u;v ) (A) u2R l ; v2R n ; ln

U(u; v )= U(u;v ); V (u; v )=V (u;v )

quia recuplustard lenomde systeme mecanique reversible(Tkhai[80]). Le systeme (A) possede donc uneinvariance par rapport a la transfor-mationlineaireavec lechangement simultane det en t

(u;v ;t) !(u; v ; t)

c'est-a-dire, represente un systeme lineaire reversible avec l'ensemble des pointsxes fu;v:v = 0g. Une autre limite,c'est la conditionl n pour ladimensiondesvecteurs u et v .Cette conditionesttoujoursveriee pour lessystemesmecaniques.

Parexemple, dansun systeme mecanique evoluant sous l'eet de forces positionnellesu=qest unvecteurdescoordonnees generalisees, v=q_ est unvecteur desvitessegeneralisees, l=n.

L'article de Tkhai [65] a developpe la theorie dans les directions sui-vantes. Premierement, on a etudie la stabilite des systemes reversibles en cas de resonance (Tkhai, Kunitsyn, Muratov, Matveyev, [32, 33, 38, 39, 64-67]). Ensuite on a procede aux recherches sur la stabilite du systeme reversibledanslecasnon-resonnant (Matveyev[40-42]),ycomprislecasde l'existencedesintegralespremieres(Matveyev[43]).Outrecela,onaelabore (Tkhai,Gloukhikh,Zimovshikov[17,89,81])unemethodeconstructivepour determiner les exposants caracteristiques d'un systeme lineaire periodique reversible et on a propose un procede d'etude de la stabilite au sens de

Lyapunov pour la solution obtenue de facon numerique dans un systeme conservatifreversiblea deuxdegres deliberte (Ephimov,Tkhai [15]).

L'etude parallele des problemes mecaniques concrets (Tkhai, Gloukhikh, Chevallier, Grodman, Ephimov, Zimovshikov [17, 18, 20, 23, 24, 15, 89, 90, 91, 69, 71, 72, 74, 75, 81, 84, 85]) permet d'aÆrmer que la theoriedelastabilitedessystemesreversiblesappliqueesdanslamecanique est fonde.

L'autre direction est liee a l'etude des mouvements periodiques (oscil-lationset rotations) dansles systemes mecaniques reversibles. Bienque du point de vue theorique l'article de Devaney [14] ait une importance parti-culiere, c'est l'article de Heinbockel et de Struble [26], consacre aux mou-vements periodiques d'un systeme avec symetrie qui a servi de point de departpourlacreationdelatheoriedesoscillationsdessystemesmecaniques reversibles.A la suitedes recherches on a obtenu unetheorie suÆsamment complete,comprenantlesconditionsnecessairesetsuÆsantesd'existencedes mouvementsperiodiques,unemethodedeconstructionetd'etudedetousles mouvements de ce type, unetheorie du prolongement selon un parametre, unetheoriedefamilleslocalesdeLyapunovdemouvementsperiodiques,une theoriepourdessystemesde typeparticulier,unetheoriepourles systemes proches des systemes reversibles, des annexes (Tkhai, Gloukhikh, Grikha-nova,Buchin,Grodman,Ephimov[18,21-15, 71-74, 76-80, 82,83, 86]).

Lesproblemesnon-holonomesde roulement d'unsolide sur un planont suscite de nombreuses recherches (Tkhai [75], Karapetyan [30], Markeyev [37], M. Pascal [52] etc). Ces recherches s'appuient sur diverses conditions de symetrie (oud'asymetrie). Dans lasuite, contrairement au probleme du type\pierre celtique" onsupposera queles axes de l'ellipsoderoulant sont aussi desaxes principauxd'inertie.

Decettefacon,onafaitunpasenavantdansl'etudeduproblemeavance par A.P. Markeyev, probleme de lastabilite desrotations permanentes au-tour de la verticale d'un ellipsode pesant homogene sur un plan absolu-ment rugeux. A.P. Markeyev obtient les equations du mouvement dans ce probleme comme les equations d'Appell d'un systeme non-holonome [35]. Outre cela il remarque l'existence d'une rotation autour d'un axe de l'el-lipsodeconcidantavec laverticale etelabore lesequations auxvariations. L'examen des racines d'uneequation caracteristique permet de verier l'instabilitedelarotationautourdel'axemoyen.Larotationautourdel'axe minimumesttoujoursstableal'approximationlineaireetlarotationautour de l'axe maximum est stable a l'approximation lineaire lorsque la vitesse angulaireest assez grande.

permanentesestrestee ouverte.Un progresdanslasolutiondece probleme aete accompli avec l'introductionde lareversibilite (Tkhai[65]).

La solution de ce probleme est devenue possible a la suite de la demonstration du theoreme de la stabilite du systeme reversible dans le cas general elliptique (Matveyev [40, 43]); les resultatsde stabilite sous la conditionde resonance duquatrieme ordre sont connusdepuis1980 (Tkhai [64]). La solutioncomplete du probleme au niveau desresultats theoriques existant aujourd'huiet exposee dans la these presente, et est publiee dans (Tkhai,Gloukhikh,Chevallier[19, 20]).

Le corps solide pesant, limite par une surface lisse peut rouler sur le plandemanierequ'undesplansprincipauxd'inertieconcide constamment avec un plan vertical immobile. Si l'equation de la surface F(x;y;z) = 0 (x;y;z sont descoordonnees du point de contact du corps et de la surface par rapport aux axes lies), alors lorsque la fonction F

0 y

(x;y;z) est impaire le roulement represente un mouvement periodique symetrique du systeme reversible (Tkhai [75]). Ce cas seproduit pour un ellipsode dont le centre demasseconcideavec lecentregeometriqueetlesaxes principauxd'inertie sont dirigesselonlesaxes de l'ellipsode.

J.M. Mindline et G.K. Pojaritzki, dans [47], ont determine les condi-tions de la stabilite d'un corps dynamiquement symetrique, dont l'axe de symetrie dans le mouvement observe est horizontal. L'article (Tkhai [65]) faisaitl'etude du problemepourun ellipsodede revolution.

La presentetheseconsidereun autre aspect duprobleme:un ellipsode estcense ^etre creuxeton compareles resultatspourun ellipsodecreux et unellipsodehomogene.

On analyse la stabilite du roulement de l'ellipsode le long de la ligne droitedansunedirection.Pourun corps,proche d'unellipsoderevolution, dans ce cas, l'existence d'une resonance parametrique est possible. Signa-lons,que le probleme de la stabilite du systeme reversible a uneresonance parametriqueestetudiesuÆsamment bien(Tkhai[70]).La resonanceaune seule frequence 2! = p 2 N, conduit d'habitude a l'instabilite et cette conclusionresultedel'inegaliteazeroducoeÆcientdelaformenormalequi, souslaconditionderesonance,determinelastabilite.Lamethodedesformes normalesestegalement assezelaboree (Bruno[12]). Cependant,l'obtention delaformenormaledansunproblemeconcretestaccompagnee decertaines diÆcultes de calcul,surtout quand on analyse le systeme periodique. C'est pourquoien casderesonanceparametriquece sontles formulesnalespour calculer les coeÆcients de resonance qui presentent de l'inter^et. La these proposelasolutiondece problemepourunsystemequasi-autonomelineaire reversibledu troisiemeordre.

Lesmouvementsde rotationd'un satellitesuruneorbiteelliptiquesous l'eet des moments de gravitation et aerodynamique sont decrits par un systeme quipossede unevariete integrale representant le mouvement d'un satellite sur le plan de l'orbite. Nous avons une equation periodique reversible du deuxieme ordre. Pour ce type d'equation la methode (Tkhai [73,79]),permettantdeconstruireenprincipetouteslesoscillationsimpaires et toutesles rotations et d'examinerleurstabilite est particulierement eÆ-cace. C'estla propriete de symetrie quiaete utilisee etestutilisee (Bruno, Sarychev [13, 57]) pour etudier le probleme de V.V. Beletsky (moment aerodynamique egal a zero), c'est ainsi qu'on a examine le probleme en presence de forces gravitationnelles et de la pression de radiation (Tkhai, Grodman [23, 24]).

N.V. Melnik, dans [44], [45], a etudie les oscillations planessur l'orbite elliptique. Uneanalyse completedu mouvement du satellitesur uneorbite circulaire aete faite par examen du portrait de phase etles oscillationsdu satellitesuruneorbiteelliptiqueontensuiteetedetermineesnumeriquement. Notons, que sur l'orbite circulaire, les oscillations entourent les positions d'equilibrerelatifcorrespondantes.Cesequilibrespeuvent^etretriviauxdans le cas ou l'undes axes d'inertie du satelliteconcide avec le rayon-vecteur, et obliques { quand cet axe d'inertie forme avec le rayon-vecteur un angle dierent de zero. Pour chaque famille laperiode d'oscillationT depend de l'amplitude (de l'energie h) et dT(h) 6= 0. Les oscillations entourant les 

equilibres triviauxsont symetriquespar rapport a f(z;z)j_ z=k; k 2Zg. Parconsequentpourleprolongementdetelsoscillationsonpourraappliquer le theoreme deTkhai [77, 79].

Decette maniere, il s'ensuit du comportement de la fonctionT(h), que les oscillations2k-periodiquesdu satellitesur l'orbitecirculaire subsistent sur l'orbite faiblement elliptique. Unetelle conclusion d'ordre qualitatif ne gurait pasdansles travauxde Melnik [44, 45].

Outrecelaonaexaminelesrotationsrapidesdusatellitedansleprobleme deBeletskyetlastabilitedesrotationsplanesdansleprobleme tridimension-nel.Cesrecherches ontete executees al'aide delamethodede construction de tous les mouvements periodiques du systeme reversible et d'analyse de leurstabilite (Tkhai[73, 79]).

Telleest laplacedesrecherches delapresentetheseparmid'autres tra-vauxconsacresaladynamiqueducorpssolidesurunplanetaladynamique du mouvement dessatellites.

Presentonsle resume de latheseparchapitres.

Dans le deuxieme chapitre on presente les resultats fondamenteaux sur les systemes reversibles.

Dans letroisiemechapitreonetudielastabilitedesrotations perma-nentes d'unellipsode pesant homogene sur un plan horizontal absolument rugueux.

Danslasection3.1onpeuttrouverlesequationsdumouvementducorps solide pesant roulant sans glissement sur le plan horizontal. Cesequations font partiedesequationsreversibles.Onindiquequelesystemed'equations dumouvement aunesolutionparticuliereou lecorps eectue desrotations permanentesautour de laverticale.

Dans la section 3.2on etablit les equations du mouvement perturbe au voisinage de la solution particuliere pour le corps limite par la surface de l'ellipsode.Le systeme estpresente sousuneformesans dimension.

Danslasection 3.3onpresente unalgorithme denormalisationpourun systeme reversible. La transformation lineaire normalisante est determinee danslecas particulierd'unsysteme reversibledu quatrieme ordre.

Dans lasection3.4 onetudielastabilite desrotationspermanentes. Dans la section 3.5 on determine les domaines dans l'espace des pa-rametres du probleme ou les rotations permanentes sont stables au sens de Lyapunov et les domaines ou la conclusion de stabilite ne s'ensuit pas des resultats theoriques actuels; on a egalement analyse les courbes de resonance, ce quia demontre que laresonance 1:3menea l'instabilite.

Dans le quatrieme chapitre on etudie le mouvement de roulement d'unellipsode creuxpesant roulant sans glissement surun plan horizontal lelongd'une lignedroite.

Dans la section 4.1 on presente les equations du mouvement pour un corpslimite parlasurfaced'unellipsode.

Dans la section 4.2 on demontre que dans le cas d'un corps limite par lasurfacedel'ellipsode,lesysteme d'equationsdumouvement possedeune variete integrale representant des mouvements pour lesquelsl'undes plans principauxconcide constamment avec le plan vertical immobile contenant le point de contact du corps et du plan horizontal et trace sur ce dernier unelignedroite.Onconsidere lesmouvementsaucoursdesquelsl'ellipsode execute un roulement dans une direction.Pouretudier ces mouvements et d'autres qui sont proches on passe a une nouvellevariable independante{ l'angle de rotation de l'ellipsode.L'integrale d'energie permet lareduction dusysteme.

Danslasection4.3onpresente lesystemed'equationsauxvariationsau voisinagedu mouvementde roulement examine.Cesysteme estunsysteme d'equations dierentielles reversibles du troisieme ordre a coeÆcients periodiques.

formesans dimension.

Dansla section4.5 onetudiele mouvement de roulement de l'ellipsode proche de l'ellipsode revolution. Il est prouve qu'en cas de resonance pa-rametrique le roulement est instable. Ilen resulte, en particulier,que pour unellipsodeproched'uneboule,lemouvementderoulementautourdel'axe moyen estinstable.

Dans la section 4.6 on etudie lastabilite de roulement en premiere ap-proximation.Pourdeterminer les exposantscaracteristiques de Floquet du systeme d'equations auxvariations lareversibilite est utilisee et permet de trouver ces exposants par la formation d'une seule solution du probleme de Cauchy. Ona determine, dansl'espace desparametresdu probleme,les domainesou,pourunellipsodearbitraire,lesconditionsnecessairesde sta-biliteserealisent.

Dans le cinquieme chapitre onetudieles oscillationsetlesrotations d'unsatellitesuruneorbiteelliptiquesousl'eetdesmomentsgravitationnel et aerodynamique.

Danslasection 5.1onpresentelesequations dumouvementdu satellite suruneorbiteelliptiquesousl'eet decesmoments.Lesystemed'equations estreversibleetpossedeunevarieteintegrale,quirepresentelesmouvements sur uneorbiteelliptique[57].

Dans lasection 5.2il est prouve que les oscillations2k-periodiques du satellite sur l'orbite circulaire au voisinage des positions d'equilibre sub-sistent dans le cas d'une orbite faiblement elliptique pour unevaleur arbi-traire du parametre aerodynamique.

Dans la section 5.3 on etudie les rotations 2-periodiques du satellite lorsque,aucoursd'unerevolutionducentredemassedesatellitesurl'orbite, le satellitetourne de 2 autour de l'axe passant par le centre de masse et perpendiculaire au plan de l'orbite. En utilisant la methode de recherche des solutions 2k-periodiques du systeme reversible du deuxieme ordre on a trouve les valeursdes vitesseinitiales pour cesmouvements. On examine ensuite la stabilite au sens de Lyapunov de ces mouvements. Dans l'espace de parametresdu probleme on determineles domainesou les rotations 2-periodiques trouvees sont stables au sensde Lyapunov.

Dans la section 5.4 on analyse les rotations rapides du satellite dans le probleme de Beletsky, c'est-a-dire les mouvements ou au cours d'une seule revolution du centre de masse du satellitesur l'orbite le satellite tourne m fois autour de l'axe passant par le centre de masse et perpendiculaire au plan de l'orbite.

Dans l'Annexe 1 on presenteunetable de ladensite de l'atmosphere en fonctionde l'altitudeutilisee dansles calculsnumeriques.

Dans l'Annexe 2 on presente lecode du programme par'Maple' per-mettantlareductiond'unsystemedierentielreversiblea laformenormale encas de resonances d'ordreinferieurouegal aquatre.

Systemes reversibles

De nombreux problemes de physique sont decrits par des systemes reversibles (Ioos [28]). Les principaux modeles de la mecanique classique et celestesont en faitreversibles (Tkhai [80]).

Dans ce chapitre on presente des resultats theorique principaux sur les systemes reversibles que l'on utilisedans la these.

Nousavons completecesresultats par la recherche analytique d'un algo-rithme determinant la stabilitedans les conditions d'une resonance.

2.1 Generalites

Unsystemedynamiquereversible(Arnol'd[5],Bibikov[9],Devaney[14], Roberts, Quispel [55], Sevryuk [60, 61], Tkhai [65]) est un systeme dy-namique dans un \espace-temps" R

m

R (ou le second facteur decrit le temps) et quipossede une symetrie particuliere relativement a (au moins) unetransformation de laforme

(x;t)!(Gx; t)

renversantlesensdutempsetouGestunetransformationinvolutive(G 2

= id, identite). Pourl'equation dierentielle

_

x=X(x); x2R m

(2:1 )

cela revient adireque

GX (x)+XGx=0: (2:2 )

L'applicationGpeut^etrelineaireounon.L'ensembleM=fx:Gx=xg est l'ensemble des points xes de l'application G de l'equation reversible

(2.1). Si l'equation (2.1) possede la solution x = '''(t) alors elle possede simultanement la solution x = G'''( t). Si l'on a une trajectoire de (2.1) alorsilexisteuneautretrajectoiresymetriqueparrapportaM(surlaquelle le mouvement s'eectue en sens inverse). Il peut exister des trajectoires symetriques parrapport aM.

Danscertainscasl'applicationGpeut^etrelineaire.Alors,dansl'espace des vecteurs propres de G le systeme des equations (2.1),(2.2) a la forme [48]: 8 < : _ u=U(u;v ) _ v=V (u;v ); u2R l ;v2R n (2:3) avec

U(u; v )= U(u;v ); V (u; v )=V (u;v ) (2:4)

Ce systeme est invariant par l'application(t;u;v ) ! ( t;u; v ). Bien plus, le systeme (2.1), (2.2) a partout la forme (2.3) au voisinage d'une solution constante appartenant a l'ensemble des points xes [48]. Lorsque lnonditquele systeme (2.3),(2.4) estun systeme mecanique reversible [65].

Lessystemesreversiblespeuventavoirdessolutionsquisontdes mouve-ments periodiquesnon symetriques parrapporta M[29]. Dans l'espacede phased'unsysteme reversibleil yadeux domainesoulecomportementest conservatifet lecomportement est dissipatif.

Parexemple,le systeme dans leplan

_

u=uv;v_=u+cosv; ( v)

est reversible, etant invariant par l'application (t;u;v) ! ( t;u; v) [73]. Le champs de vecteurs X a trois points singuliers : ( 1;0); (0;=2). Le point ( 1;0) appartient a l'ensemble des points xes M et ceux-ci sont symetriques parrapport aM (Figure1).

-

1

v

u

Figure 1

La singularite sur l'axe des abscisses est stable au sens de Lyapunov et c'est un centre de mouvements periodiques,la singularite dans le demi-plan superieur est instable, la singularite dans le demi-plan inferieur est asymptotiquement stable.

Il existe des systemes hamiltoniens non reversibles et des systemes reversibles non hamiltoniens et il existe des systemes simultanement reversiblesethamiltoniens.LaFigure2caracteriselarelationentresystemes hamiltoniens etsystemesreversibles.

System es

ham iltoniens

System es

reversibles

Figure2 :Relationentre systemeshamiltoniensetsystemesreversibles

Le comportement conservatif a ete bien etudi e.On a elabore latheorie KAM reversible [6, 10, 51, 49, 62] qui est parallele a la theorie KAM dessystemeshamiltoniens[31,4,50].Onremarquequelatheoriereversible

etend tous les resultats fondamentaux connus pour les systemes hamilto-niens. En particulier, on a demontre le theoreme sur la stabilite au sens de Lyapunov de la position d'equilibre d'un systeme reversible [40]. La theorie qui a ete la mieux elabor ee est la theorie des systemes decrivant desrotationset desoscillations[18, 15,89, 32,64-86, 14]. Ellecontient des conditionsnecessairesetsuÆsantesd'existencedesmouvementsperiodiques symetriquesparrapportal'ensembledespointsxes,lamethodede construc-tionetd'etudedecesmouvements,latheorieduprolongementselonun pa-rametre, la theorie semi-lineaire, la theorie locale,l'etude des mouvements periodiques pour des problemes pratiques, la theorie de systemes de type particuliers.

Ona utilise depuislongtempslareversibilite(symetrie) pourconstruire etclasserdesmouvementsperiodiquessymetriques(orbites).Cesorbites(les famillesdeLyapunov)onteteconstruitespourlapremierefoisparEuler[16] dansleproblemedestroiscorpsqu'ilaintroduit.Hillaconsiderelesorbites symetriquesrelativementadeuxensemblesdepointsxes[27].Lessolutions de Poincare de premiere, secondeet troisieme espece dans le probleme des troiscorps sont symetriques[53].

Considerons quelquesexemples de systemesreversibles: I. Lesysteme conservatif avec un degre de liberte



x+f(x)=0 (2:5)

est invariant parl'application:

G=

1 0 0 1

!

et(t;x;x )_ !( t;x; x)_

avec l'ensembledespointsxes M=fx;x_ : x_ =0g. II. Le probleme restreint destrois corps [63] :

8 > > < > > :  x 2y_= @U @x  y+2x_ = @U @y U = 1  R 1 +  R 2 + (x 2 +y 2 ) 2 R 2 1 =(x+) 2 +y 2 ;R 2 2 =(x+ 1) 2 +y 2 (2:6)

Le systeme (2.6) estinvariant parl'application G= 0 B B B @ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 C C C A et (t;x;y;x;_ y)_ !( t;x; y; x;_ y)_

avec l'ensemble despointsxesM=fx;y;x ;_ y_: y=x_ =0g. III. Le corps solidepesantavec un point xe[2]

8 > > > > > > > < > > > > > > > : A dp dt (B C)qr=P(z 0 2 y 0 3 ) B dq dt (C A)pr=P(x 0 3 z 0 1 ) C dr dt (A B)qp=P(y 0 1 x 0 2 ) 8 > > > > > > < > > > > > > : d 1 dt = 2 r 3 q d 2 dt = 3 p 1 r d 3 dt = 1 q 2 p (2:7 )

IciA;B;Csontlesmomentsd'inertieprincipauxcentraux,x 0

;y 0

;z 0 sont les coordonnees du centre de masse dans les axes lies,

1 ;

2 ;

3 sont les cosinus du vecteur de verticale, dirige vers le haut, P = mg est leproduitde lamassedu corps parl'acceleration dela pesanteur. Les equations d'Euler-Poisson (2.7) forment un systeme mecanique reversibledutype(2.3)aveclesvecteursu=(

1 ; 2 ; 3 ) T ,v=(p;q;r) T etsont invariantspar l'application

G= 0 B B B B B B B @ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 C C C C C C C A et(t;p;q;r; 1 ; 2 ; 3 )!( t; p; q; r; 1 ; 2 ; 3 )

avecl'ensembledespointsxesM=fp;q;r; 1 ; 2 ; 3 : p=q=r =0g [80]. Dans le cas general il n'existe pas d'autres ensembles de points xes.

Supposonsquey 0

=0.Alorslesysteme(2.7),ac^otedel'ensemble des points xes M, a egalement l'ensemble des points xes M

1 = fp;q;r; 1 ; 2 ; 3 : 2

= 0;q = 0g et il y a aussi une invariance par l'application G= 0 B B B B B B B @ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 C C C C C C C A et(t;p;q;r; 1 ; 2 ; 3 )!( t;p; q;r; 1 ; 2 ; 3 )

Dans ce casa (2.7) on peutmettre

u=( 1 ; 3 ;p;r) T ; v=( 2 ;q) T L'ensemble M 1

contient lapositiond'equilibre

1 =sin; 2 =0; 3

=cos; p=!sin;q=0; r =!cos

(A C)! 2 sin2+2P(z 0 sin x 0 cos)=0; !=constante

Dans cette solutionles anglesd'Eulersont

'==2; =; =!t+ 0

; 0

=constante

et l'equilibre du systeme mecanique reversible represente ici une ro-tation permenente autour de la verticale avec la vitesse angulaire !. Lesmouvementsprochesde larotation permanentesont parfaitement decrits parla theorielocale dessystemesmecaniquesreversibles. Toutmouvement d'un corps solide pesant au cours duquelle vecteur de la vitesse angulaire instantanee est nul au moins deux fois, sera periodique etrepresenteune oscillation.Cette conclusionest une des consequences elementaires de la reversibilite. Si y

0

= 0, la presence danslesysteme (2.7)de l'ensemble despointsxesM

1

permet l'exis-tencede"mouvementsperiodiquessymetriquesnontriviaux".Pources mouvements

1 (t);

3

(t); p(t); r(t) seront des fonctions paires du temps, tandisque

2

pourquoi, en representant ces fonctions par leurs developpements de Fourier,onpeutconstruireetclassiertouslesmouvementsperiodiques d'un corps solide, symetriques par rapport a M

1

. De tels mouve-mentssont,parexemple,lesprecessionsregulieresdanslescas d'Euler-PoinsotetdeLagrange-Poisson,aussibienquelesprecessionsregulieres de Grioli. Evidemment, le caractere des mouvements proches des precessions regulieres, est parfaitement determine par le compor-tementd'unsystememecaniquereversibleauvoisinagedumouvement periodiquesymetrique[80].

Ac^ote dusysteme(2.1) onconsiderelesystemereversibleperiodiquede periode T

_

x=X(x;t); x2R m

;t2R (2:8 )

invariant parrapportala transformation

(x;t)!(Gx ; t)

(G 2

=id).

Pour ce systeme l'ensemble des points xes est un sous-ensemble de R m R [79] M t =f(x;t): Gx=x; t= kT 2 avec k entierg

Dans le cas ou l'application G est lineaire le systeme (2.8) a la forme [79] : 8 < : _ u =U(u;v ;t) _ v=V (u;v ;t); u2R l ;v2R n ;t2R (2:9 ) avec

U(u; v ; t) = U(u;v ;t); V (u; v ; t)=V (u;v ;t)

etl'ensembledespointsxes

M t =f(u;v ;t): v=0; t= kT 2 avec k entierg

Danslecasoulesysteme(2.8) est periodiqueparrapportauxvariables v

1 ;:::;v

s

(1sn),V.N. Tkhai,dans [79],introduit lesysteme reversible sous laforme 8 < : _ u=U(u;v ;t) _ v=V (u;v ;t); u2R l ;v2R s T n s ;t2R (2:10)

avec

U(u; v ; t)= U(u;v ;t); V (u; v ; t)=V (u;v ;t)

etl'ensembledes pointsxes

M t =f(u;v ;t) : sinv i =0; v j =0; i=1::s;j=s+1::n; t= kT 2 avec k entierg

Dansle systeme (2.10) T n s

est untore de dimensionn s.

2.2 Mouvements periodiques symetriques

Consideronslesysteme(2.8)quiestunsystemeperiodiquede periodeT etreversible.

Enraisondelareversibilitesit!'(t)'' estunesolutiondusysteme(2.8), t!G'''( t) est aussiunesolution.

Enraisonde laperiodicite sit!'''(t+nT) estunesolutiondusysteme (2.8),t!G'''(nT t) estaussiunesolution(n2Z).

Soit ' ' '(0) =x 0 2M t ' ''  kT 2  =x 1 2M t ; k 2N Alorssi on pose (t)=G'''(kT t)  kT 2  =G'''  kT 2  =x 1 (kT)=G'''(0)='''(0)=x 0

Donc, on aunesolution(t)de periode kT telleque

  (t)= 8 > > < > > : ' ''(t); 0t kT 2 ; k 2N G'''(kT t); kT 2 tkT

Theoreme1 [26,73,79]. Pourqu'unsysteme reversibleperiodique de periode T admette une solution periodique de periode kT; k 2 N; k 1

et symetrique par rapport a l'ensemble M t

il faut et il suÆt que pour un x

0 2M

t

la solution telle que'''(0)=x 0 verie '''  kT 2  2M t .

Dans le cas ou le systeme est 2-periodique par rapport aux variables v

1 ;:::;v

s

(1  s  n) il convient d'appliquer le theoreme 1 dans l'espace R l R s T n s

.Parconsequent surle mouvement T-periodiqueon a u = '''(t), v= (t), avec cela ' ''(t+T)='''(t); (t+T)= (t)+2m; m2Z n ; m 1 =:::=m s =0

Si tous les nombres m j

sont nuls, on a unesolution periodiquedans le sens ordinaire qui decrit un mouvement oscillatoire. Si m 6= 0, la solution n'estpasperiodique.Detoute facon,elledecritun processusdetyperotatif periodique.

Onconsiderelesysteme (2.1) quiestun systemeautonome.

Enraisondelareversibilitesit!'''(t)estunesolutiondusysteme(2.1), t!G'''( t) estaussi unesolution.

En raisonde l'autonomiesi t!'''(t) est unesolution du systeme (2.1), t!G'''( t a) estaussiunesolution(n2N).

Soit ' ''(0)=x 0 2M ' ' '()=x 1 2M

( est unmoment d'intersectionde l'ensemble Mavec lacourbe'''(t)). Alors (t)=G'''( t+a)=G'''(2 t); a=2 ()=G'''()='''()=x 1 (+)=G'''(0) ='''(0)=x 0

C'est-a-direon a unesolution(t)periodiquetelle que

(t)= 8 > < > : ' ''(t); 0t G'''(2 t);  t2

Theoreme 1'[26, 73, 79]. Pour qu'unecourbeintegraled'un systeme autonome reversible represente un mouvement periodique il fautet il suÆt qu'elle coupe l'ensembleM endeux points distincts.

Si, comme parexemple dansleprobleme du mouvement d'uncorps so-lide pesant, le systeme possede plusieurs proprietes de reversibilite il leur correspond alors plusieursensemblesde pointsxes dont il faut considerer lareunion.

2.3 Methode de formation des solutions 2k-p

eri-odiques d'un systeme reversible

Quand on considere un probleme concret il est important de posseder une methode pour construire les mouvements periodiques. Il s'avere que cette methode existe[79] et on formulerason contenu pour le systeme 2-periodiquereversible dudeuxiemeordre.

Considerons l'equation du deuxieme ordre



+f(; ;_ t)=0 (2:11)

avec f(+2;;_ t) = f(; ;_ t) et f(; ;_ t+2) = f(; ;_ t) et, de plus, invariantepar rapporta latransformation

(;;_ t)!( ; ;_ t)

Cela veut dire que l'equation (2.11) est reversible avec l'ensemble des pointsxes

M t

=f(;;_ t): sin=0; t=k avec k entierg

etque

f(; ;_ t)= f( ; ;_ t)

On pose la question comment trouver les solutions 2k-periodiques de l'equation(2.11) symetriques relativement a l'ensembleM

t .

Cettemethodesebasesurletheoreme 1delasection2.2quidonneune conditionnecessaire et suÆsante d'existence des solutions 2k-periodiques del'equation (2.11).

Theoreme2(Tkhai).Lasolutiondusysteme(2.11)sera2k-periodique au sens [79]si (t 0 +2k) = (t 0 )+2m _  (t 0 +2k) =  (t_ 0 ); k;m2Z (2:12)

systeme reversible 23

(t 0

estun instant initial). Si t 0 =l;  0 =n; l;n2Z

la solution estsymetrique relativement a l'ensemble despoints xes M t

.

La condition (2.12) repond a la solution ou la fonction  (t)_ est 2k-periodique, etlafonction(t) augmentede 2m suruneperiode.

Sim=0,onadesoscillationsetletheoreme2concideavecletheoreme de Heinbockel-Struble [73, 26].Si m6=0,on ades rotations.

Decette facon,letheoreme 2donnelamethode deconstruction detous les mouvementsd'oscillationaussi bienquede rotation 2k-periodiques.

Pourtrouverlavitesseinitiale (0)_ si(0)=0 pourles rotations(2.12) 2k-periodiques on construitune imageM

k 0

de l'ensembleM 0

=ft;;_ : t = 0; = 0g, prescrite par l'equation (2.11). Alors tous les points d'in-tersection de l'ensemble M

0

avec les droites  = m appartiennent aux mouvements 2k-periodiques sit=k.

Pourconstruirel'imageM k 0

onresoutleproblemedeCauchysur[0;k] pour l'equation (2.11) avec les conditions initiales (0) = 0;(0)_ = v

0 ou v 0 2M 0

etavec les conditionsinitiales(0)=0;(0)_ =v 1 ou v 1 2M 0 . Siv 0 etv 1

sonttelsque(0;v 0 ;k)>m>(0;v 1 ;k)ou(0;v 0 ;k)< m < (0;v 1

;k), d'apres le theoreme de continuite de la solution d'un problemede Cauchyparrapportaux conditionsinitiales, ilexisteun point du segment ]v

0 ;v

1

[ tel que la solution correspondanteverie (k) =m. Ce point determineunesolutionsymetriqueperiodiqueausens de [79].

α

α

.

Ainsi l'existence de la solution 2k-periodique est etablie d'une facon qualitativement exacte. Ensuite la valeur de vitesse initiale (0)_ 2]v

0 ;v

1 [ estprecisee si necessaireparla methode d'iterations.

Cette methode sera appliquee dans le chapitre 5 pour construire des mouvements periodiques dansle probleme d'un satellitesur un plan d'une orbiteelliptique.

2.4 Prolongement d'un mouvement periodique

se-lon un parametre

Le probleme donne est un des principaux problemes de la theorie du mouvement periodique. C'est Poincare [53] qui a pose ce probleme et a egalement propose les methodes essentielles de sasolution. Onconsidere le systeme, dependant du parametre . On admet, que si  = 0, le systeme non-perturbe a une solution periodique p(t). Alors se pose la question de l'existence d'une solutionperiodiquepour 6=0, se reduisant a la solution p(t)si=0.

Ilestdemontre dans[78] (Tkhai)que deuxcas doivent^etre considere | lecas dit \grossier" si l'existence de solutionperiodiquepour 6=0

etassez petit n'exigeque desproprietesdu systeme non-perturbe | lecasdit\non-grossier"sicetteexistenceexigealafoisdesproprietes

du systemenon-perturbeet des perturbations

Le systeme non-perturbe peut ^etre conservatif, hamiltonien, stable au sens de Lyapunov etc. Les perturbations conditionnees par la signication  6= 0 appartiennent a une classe bien determinee. Donc en resolvant le probleme ilest importantd'avoir uneidee precisedu type de systeme non-perturbeet dugenre de perturbationsconsiderees.

Danslecasoulesystemenon-perturbeestreversibleetlesperturbations sont considereescomme reversibles on peutaÆrmer

Theoreme 3 (Tkhai [71, 77, 78]).Danslecasgrossier siunsysteme non-perturbe reversible (resp. un systeme autonome) a une solution periodiquet!p(t)ilyaaussiunefamilleal n(resp.l-n+1)parametres de solutionsperiodiquescontenantlasolutiont!p(t),cettefamilleseconserve pour  voisin de 0 dans la classe de perturbations periodiques reversibles (resp. autonomes).

Signalons que la condition d'^etre grossier peut ^etre constructivement veriee.

deuxieme ordre 25

Leproblemeseresoutegalement danslecasoulesystemenon-perturbe est reversibleetles perturbationssont non-reversibles.

Les cas non-grossiers sont plus varies. Cependant on propose des methodes pourles etudier etfondeessur unetheoriegenerale.

2.5 Mouvements periodiques d'un systeme

quasi-autonome du deuxieme ordre

Lemme (Tkhai, communication particuliere). On considere le systeme autonome dans R

2 8 < : _ u=U(u;v) _ v=V(u;v) (2:13)

que l'on supposereversible, c'est-a-dire que

U(u; v)= U(u;v); V(u; v)=V(u;v)

et on suppose que les fonctionsU et V sontdierentiables a unordre suÆ-samment eleve.

Soit t 7! (u(t);v(t)) une solution du systeme (2.13) que l'on suppose symetrique par rapport a l'axe Ou, 2 periodique et telle que v(0) =0. De plus, on supposeque la solution consideree n'estpas unequilibre.

Alors on peut en conclure que

d dt v(t)     t= 6=0 . Preuve

(

)

)

(

Figure4

Onav(0)=0.Aupoint(u;v)(le parametretestpositif)correspondle point symetrique (u; v) (le parametre t est negatif). Parconsequent u(t) estunefonctionpaireparrapporta tetv(t) estunefonctionimpaire.

Enraison delareversibilitedu systeme (2.13) lesysteme auxvariations estsous laforme

8 > < > : _ p=a (t)p+a + (t)q _ q=b + (t)p+b (t)q (2:14) ou les fonctions a (t); b (t) (a + (t); b +

(t)) sont des fonctions impaires (paires)parrapporta t.

Le systeme (2.14) est unsysteme lineaire, homogene, reversible et inva-riant parrapporta chacune destransformations

(p;q;t)!( p;q; t)

(p;q;t)!(p; q; t)

En raisonde l'autonomiedu systeme (2.13)

p(t)= d dt u(t) q(t)= d dt v(t) (2:15)

est evidemment une solution du systeme (2.14). Les fonctions u(t); v(t) representent une solution symetrique de periode 2 (non triviale)

deuxieme ordre 27

du systeme (2.13) et p(t) est une fonction impaire (p(0) = 0) de periode 2,q(t)estunefonctionpairedeperiode2.Parconsequent(p(t); q(t))est unesolutionnon trivialede periode2 du systeme (2.14). Ona alors

p()= d dt u()=0 q()= d dt v()6=0

Theoreme 4 (Tkhai, communication particuliere). Onconsidere lesysteme non-perturbe dans R

2 8 < : _ u=U(u;v) _ v=V(u;v) (2:16)

que l'on supposereversible, c'est-a-dire que

U(u; v)= U(u;v); V(u; v)=V(u;v)

Onsupposequecesysteme possedeunefamilleaunparametrehdesolutions de periodes T(h) telleque T(h

 )=2 o u h decrit unintervalle de R et dT dh (h  )6=0;

(par exemple h peut ^etre la constante de l'energie d'un mouvement conser-vatif).

Onconsidere aussi le systeme perturbe dans R 2

, dependant du petit pa-rametre  8 < : _ u=U(u;v)+U 1 (;u;v;t) _ v=V(u;v)+V 1 (;u;v;t) (2:17)

que l'on supposeaussi reversible (par la m^eme transformation)

U(u; v)= U(u;v); V(u; v)=V(u;v)

U 1 (;u; v; t)= U 1 (;u;v;t); V 1 (;u; v; t)=V 1 (;u;v;t)

OnsupposequelesperturbationsU 1

,V 1

sont2-periodiquespourletemps t. Si =0, on aura un systeme non-perturbe (2.16). Pour jj 6=0 et petit on aura un systeme perturbe, proche d'un systeme reversible autonome.

Alorsonpeutenconclurequepourassezvoisinde0lesystemeperturbe (2.17) a une seule solution de periode 2 qui se reduit a la solution de

periode 2 du systeme non-perturbe (2.16) pour  = 0. L'existence de la solutionne depend pas de la forme concretedesfonctions U

1 ; V 1 . Demonstration Soit u(;u 0 ;v 0 ;t); v(;u 0 ;v 0 ;t) lasolutiondusysteme (2.17) avec lavaleurinitiale(u

0 ;v

0

) pourt=0. LaconditionnecessaireetsuÆsanted'existencedelasolutiondeperiode 2 est (Theoreme 1)

v(;u 0 ;0;)v(0;u 0 ;0;)+v 1 (;u 0 ;0;) =0 (2:18) ou t7! (u(0;u 0 ;0;t);v(0;u 0

;0;t)) est la solutiondu systeme non perturbe, quicoupe l'ensemble despointsxe M=f(u;v) : v=0gpourt=.

Lorsque =0 l'equation (2.18) admet lasolutionu 0

=u 

.

Lesystemenonperturbe(2.16) estunsysteme autonomeetlacondition d'existenced'unesolutionde periode 2 est (Theoreme 1')

v(0;u 0

;0;)=0 (2:19)

( est un instant ou la courbe t 7! (u(0;u 0

;0;t);v(0;u 0

;0;t)) coupe l'en-sembledespointsxes).Parhypothese, l'equation(2.19) admetunefamille desolutions dela forme u

0

=(h),  =T(h)=2,c'est-a-dire que

v(0;(h);0;T(h)=2) =0 (2:20)

ou le parametre h de la famille decrit un intervalle de R et (h  ) = u  , T(h 

)=2=.Enderivant cette relationau point h=h  on obtient @v @u 0 (0;u  ;0;) d dh (h  )+ 1 2 @v @t (0;u  ;0;) dT dh (h  )=0 (2:21)

Par hypothese dT dh (h  ) 6= 0 et d'apres le lemme @v @t (0;u  ;0;) 6=0. Donc, necessairement @v @u 0 (0;u  ;0;)6=0

On peut donc appliquer le theoreme des fonctions implicites a la relation (2.18) : il existe un intervalle contenant 0 et une fonctioncontinue unique 7! ()denie surcet intervalleettelleque

v(; ();0;)=0; (0)=u 

c'est-a-dire que pour jj 6= 0 assez petit, la solution du systeme perturbe tellequeu

0

= () est deperiode 2. Remarque.

liberte 29

2.6 Systeme proche d'un systeme conservatif a un

degre de liberte

Considerons l'equation



z+f(z)=F(;z;z;_ t) (2:22)

Etudions le probleme de l'existence d'une oscillation, se transformant pour=0enuneoscillationdel'equationnon-perturbee,danslecasd'une 

equation reversible. Alors on obtient uneequation reversible sous l'une ou l'autre desconditions suivantes

f( z)= f(z); F(; z;z;_ t)= F(;z;z;_ t) (2:23)

ou

F(;z; z;_ t)=F(;z;z;_ t) (2:24)

Dans chaque cas (2.23), (2.24) l'equation (2.22) est exprimee sous la forme(2.17).

Si =0,on aura un systeme conservatif avec un degre de liberte. Une analyse complete de ce systeme est eectuee par la methode du portrait de phase.Supposonsque lesysteme admetteune familled'oscillations.Ces oscillations sont symetriques par rapport a l'axe z_ dans le cas de (2.23) (Figure5 a), etal'axe z danslecas de(2.24) (Figure5b), 5c))

Figure 5 :Oscillationsperiodiquessymetriques dusysteme conservatif avec undegre de liberte

Lesysteme(2.22),(2.23)ou((2.22),(2.24))estreversibleavecl'ensemble des pointsxes fz;z_ : z =0g ou (fz;z_ : z_ =0g). Il decoule du theoreme 3 etdu theoreme 4 un resultat plusprecispourles systemesa un degre de liberte.

Theoreme5 (Tkhai[86]).Soitunsystemequasi-autonome periodique reversible.Silesystemenon-perturbeestconservatifetpossede unesolution 2k-periodique symetrique oscillatoire dont la periode est T(h) (h est la constante de l'energie) et si pour unevaleur h

 : T(h  )= 2k m ; k; m2N; dT dh (h  )6=0

alorscettesolutionseconserveparperturbationspour6=0(etassezpetit).

Ceresultat seraappliquedanslechapitre5au problemedesoscillations d'unsatelliteauvoisinaged'uneorbitecirculaire.

2.7 Methode de determination des exposants

ca-racteristiques d'un systeme periodique r

ever-sible lineaire

Le systeme reversible lineaireavec descoeÆcients periodiques est de la forme 8 < : _ u=A (t)u+A + (t)v _ v=B + (t)u+B (t)v u2R l ;v2R n (ln) (2:25) ou A + (t);B +

(t)(A (t);B (t)) sont des matrices dont les composantes representent des fonctions paires (impaires), le point signie la derivation parrapporta t.

Decrivons la methode de denition des exposants caracteristiques du systeme (2.25), quipermet de trouver ces exposantsen resolvant n fois (et nonn+l fois!)leproblemede Cauchypourle systeme (2.25) [79].

Ce systeme est invariantparrapporta chacunesdes transformations:

d'un systeme periodique reversible lineaire 31

Supposonsque lesysteme d'equations (2.25) aitla solution

u(t)='''(t); v (t)= (t) (2:26)

Alorsen raisonde reversibiliteil existe aussiles solutions

1) u(t)='''(t)+'('' t); v (t)= (t) ( t) (2:27)

2) u(t)='''(t) '''( t); v (t)= (t)+ ( t) (2:28)

Dans (2.27) on a u(0)=0 et dans(2.28) on a v (0)=0. Decette facon onpeutconstruirelamatricefondamentaledesolutions.Acausedel'unicite de lamatrice fondamentaleon a S(t)= 0 @ U + (t) U (t) V (t) V + (t) 1 A ; S(0)=I ou U + ; V +

(U ; V ) sont des matrices dont les composantes sont des fonctions paires(impaires)

U + (t)= 0 B @ U + 11 (t) ::: U + 1l (t) . . . . . . . . . U + l 1 (t) ::: U + l l (t) 1 C A ; U (t)= 0 B @ U 11 (t) ::: U 1n (t) . . . . . . . . . U l 1 (t) ::: U l n (t) 1 C A V (t)= 0 B @ V 11 (t) ::: V 1l (t) . . . . . . . . . V n1 (t) ::: V nl (t) 1 C A ; V + (t)= 0 B @ V + 11 (t) ::: V + 1n (t) . . . . . . . . . V + n1 (t) ::: V + nn (t) 1 C A

Al'instant T (periode du systeme(2.25))

S(T)= 0 @ U + (T) U (T) V (T) V + (T) 1 A Alors S( T)= 0 @ U + (T) U (T) V (T) V + (T) 1 A

Considerons lamatriceP :

P= 1 2 ( S(T)+S( T))= 0 @ U + (T) 0 + 1 A

Si  est une valeur propre de la matrice S(T), alors 1 

est une valeur propredelamatrice S( T) donc

 = 1 2  + 1  

estunevaleurpropredela matriceP.

D'ou on denit comme racined'equationquadratique

 2

2+1=0

AinsipourtrouverlaproprevaleurdelamatriceS(T)ilfautdeterminer laproprevaleur de lamatriceP.

Ecrivons: jP Ij=     U + (T) I 0 0 V + (T) I     = detjU + (T) Ij
detjV + (T) Ij (2:29) ouU +

estunematricede taillelletV +

estunematricede taillenn. Formulonsletheoreme :

Theoreme 6 (Tkhai [79]). Le systeme reversible lineaire (2.25) a au moins l n exposants caracteristiques et les diviseurs elementaires qui leur correspondent sont simples.

Donc, parmi les racinesde l'equation (2.29) l n racines sont nulles,le restedes2n racinesest reparti enpaires  et

1  . Onpeutecrire : jP Ij=( 1) l n
Q 2 n ()=( 1) l n
detjV + (T) Ij=0 ouQ n

() estun polyn^omede degre n de.  estdeni commelasolutiond'equation

detjV +

(T) Ij=0 (2:30)

Donc, pour trouver les exposants caracteristiques  k

du systeme (2.25) ilest necessaire:

{ Construire la matrice V +

(T). Pour cela il faut resoudre n fois le probleme de Cauchy sur la periode [0;T] pourl'equation (2.25) avec

troisieme ordre 33

les conditionsinitiales

u(0)=0; v (0)= 0 B B B B B B B B @ 0 0 . . . 1 . . . 0 1 C C C C C C C C A

ou le vecteur v (0) de la j-ieme solution du probleme de Cauchy re-presente unecolonnecomprenant deszeros et uneunitequi setrouve en j-ieme position.

{ Trouver lesvaleurspropres  de lamatrice V +

(T). { Verier laconditionjj<1.

De cette facon est decrite la methode de determination des exposants caracteristiques pour un systeme reversible lineaire avec des coeÆcients periodiques.

Outre cela on peut exprimer la condition pour que les exposants ca-racteristiques soient imaginaires.

Sijj<1, alorsjj =1 etles exposants caracteristiques sont purement imaginaires et k = 1 2 i.

Cettemethodede determinationdesexposantscaracteristiques sera ap-pliquee dans le chapitre 4 au probleme du roulement d'un ellipsode creux pesantsur un planet danslechapitre 5 au probleme d'unsatellitesur une orbite elliptique.

2.8 Resonance parametrique dans le systeme r

e-versible du troisieme ordre

Remarquonsque la stabilite de lasolutionperiodiqued'un systeme 2-periodique par rapport a t et reversible d'equations dierentielles du n-ieme ordre quasi-autonome a ete etudiee dans [70] (Tkhai). De plus on aetudie lastabilitedans lecasde laresonanceparametrique.La resonance parametrique conduit en principe a l'instabilite, qui decoule de l'inegalite 

a zero d'un des coeÆcients de la forme normale du systeme lineaire. Ilest assez problematique de calculerlecoeÆcient mentionne ci-dessusen raison de lanormalisationdusystemeperiodiqueet enm^eme tempsdependantdu petit parametre ". Cependant il suÆt de trouver ce coeÆcient en premiere approximation par rapport a " ce qui simplie le probleme. On aura des

formules concretes permettant de calculer le coeÆcient dans le cas general dusysteme reversible dutroisiemeordre.

On considere le systeme 2-periodique reversible d'equations dierentielles dutroisiemeordre quasi-autonome

8 > > > > > < > > > > > : _ u 1 = U 0 1 (u 1 ;u 2 ;v)+"U 1 (";u 1 ;u 2 ;v;t) _ u 2 = U 0 2 (u 1 ;u 2 ;v)+"U 2 (";u 1 ;u 2 ;v;t) _ v = V 0 (u 1 ;u 2 ;v)+"V(";u 1 ;u 2 ;v;t) (2:31)

(" est un petit parametre) invariant par substitution (u 1 ;u 2 ;v;t) ! (u 1 ;u 2

; v; t).On supposeque lesysteme non-perturbe,obtenu de (2.31) pour"=0,admetlasolutionconstante(u

0 1 ;u 0 2 ;0),appartenantal'ensemble des points xes M = fu

1 ;u

2

;v : v = 0g. En raison de la reversibilite du systeme initial (2.31) les equations aux variations pourcette solution sont delaforme 8 > > > > > < > > > > > : _ x 1 = b 0 1 y _ x 2 = b 0 2 y _ y = a 0 1 x 1 +a 0 2 x 2 (2:32) (a 0 1 ;a 0 2 ;b 0 1 ;b 0 2

sont desconstantes). Si a 0 1 b 0 1 +a 0 2 b 0 2 6= k 2 ; k 2N, ou a 0 1 b 0 1 + a 0 2 b 0 2 =0, mais ja 0 1 j+ja 0 2

j 6= 0, le systeme (2.31) pour " 6= 0 suÆsamment petit admet lasolution2-periodique[71]

u  1 (";t)=u 0 1 +"u 1 1 (";t); u  2 (";t)=u 0 2 +"u 1 2 (";t); v  (";t)="v 1 (";t) (2:33)

symetrique par rapport a l'ensemble M. On suppose que les fonctions u 1 1 (";t); u 2 1 (";t); v 1

(";t) sont analytiques parrapport auparametre ". On formulele probleme sur lastabilite de la solutionperiodique (2.33) du systeme (2.31) et on considere, d'abord le systeme a l'approximation lineaireen " 8 > > > > > < > > > > > : _ x 1 = "
a 11 (t)x 1 +"
a 12 (t)x 2 +(b 0 1 +"
b 1 (t))y+" 2 ( )+::: _ x 2 = "
a 21 (t)x 1 +"
a 22 (t)x 2 +(b 0 2 +"
b 2 (t))y+" 2 ( )+::: _ y = (a 0 1 +"
a 1 (t))x 1 +(a 0 2 +"
a 2 (t))x 2 +"
a 33 (t)y+" 2 ( )+::: (2:34)

troisieme ordre 35

En raison de la reversibilite du systeme initial (2.31) et de la symetrie de la solution (2.33) les equations (2.34) seront invariantes par rapport a chaque transformation (x 1 ;x 2 ;y;t) ! (x 1 ;x 2 ; y; t) (x 1 ;x 2 ;y;t) ! ( x 1 ; x 2 ;y; t):

Cela veut dire que dans (2.34) les fonctions a sj

(t) sont paires, et les fonctionsb

s (t);a

j

(t)sontimpairespart.Parconsequentonpeutrepresenter ces fonctions par des developpements trigonometriques de Fourier comme ceci a sj = X k a (k) sj sinkt b s = b  s + X k b (k) s coskt a j = a  j + X k a (k) j coskt (2:35)

La partiede droite dusysteme (2.34) dependdu parametre ".Si "=0, le systeme (2.34) est autonome et les racines de l'equation caracteristique sont  1 = q a 0 1 b 0 1 +a 0 2 b 0 2 ;  2 = q a 0 1 b 0 1 +a 0 2 b 0 2 ;  3 =0 Sia 0 1 b 0 1 +a 0 2 b 0 2

<0, ona desracines purement imaginaires  1;2

=i!. Le systeme (2.31) possede toujours un exposant caracteristique egal 

a zero [89, 81]. C'est pourquoi, conformement a la theorie de Lyapunov-Floquet lesysteme (2.31) admet l'integralepremiere

V(x 1 ;x 2 ;y;";t)=A 1 (";t)x 1 +A 2 (";t)x 2 +B(";t)y=h(constante) (2:36) avec des coeÆcients periodiques par rapport a t. Donc, en raison de la reversibilite du systeme initial (2.31), les fonctions A

1

(";t);A 2

(";t) seront paires,tandisque lafonctionB(";t) sera impaire.Outrecela, ilestevident que cescoeÆcientsdependent du parametre ". Admettonsque

A j (";t) =  0 j +"
 j (";t); j=1; 2 (2:37)

etcalculonsladeriveetotaledelafonctionV ausensdusysteme(2.31).On a dV dt = (_ 0 1 +"_ 1 )x 1 +(_ 0 2 +"_ 2 )x 2 +(" _ )y+ + ( 0 1 +" 1 )  "a 11 x 1 +"a 12 x 2 +(b 0 1 +"b 1 )y+" 2 (:::)+:::  + + ( 0 2 +" 2 )  "a 21 x 1 +"a 22 x 2 +(b 0 2 +"b 2 )y+" 2 (:::)+:::  + + "  (a 0 1 +"a 1 )x 1 +(a 0 2 +"a 2 )x 2 +"
a 33 y+" 2 (::: )+::: 

Lanullitede cettederivee conduitauxequationsquedoivent verierles fonctions inconnues 

1 ;

2

;. On identie les coeÆcients des m^emes puis-sancesde "ce quidonne :

" 0 : _  1 0 =0; _  0 2 =0;  0 1 b 0 1 + 0 2 b 0 2 =0 (2:38) " 1 : 8 > > > > > < > > > > > : _  1 (0;t)+ 0 1 (0;t)a 11 + 0 2 (0;t)a 21 +a 0 1 (0;t)=0 _  2 (0;t)+ 0 1 (0;t)a 12 + 0 2 (0;t)a 22 +a 0 2 (0;t)=0 _ (0;t)+ 0 1 b 1 (t)+ 1 (0;t)b 0 1 + 0 2 b 2 (t)+ 2 (0;t)b 0 2 =0 " 2 : ::: (2:39)

La premiere de cesequationssert a determiner  0 1

; 0 2

et laisseune cer-taineliberte dansleurchoix.Admettonsque

 j (0;t) =  j0 + X k  jk coskt; j=1; 2 (0;t) = X k  k sinkt

troisieme ordre 37

dans lesysteme(2.39). Ils'ensuit 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > : X k k 1k sinkt = a 0 1 X k  k sinkt+ X k ( 0 1 a (k) 11 + 0 2 a (k) 21 )sinkt X k k 2k sinkt = a 0 2 X k  k sinkt+ X k ( 0 1 a (k) 12 + 0 2 a (k) 22 )sinkt X k k k coskt = b 0 1 ( 10 + X k  1k coskt)+b 0 2 ( 20 + X k  2k coskt)+  0 1 b  1 + 0 2 b  2 + X k ( 0 1 b (k) 1 + 0 2 b (k) 2 )coskt

En egalant des coeÆcients des harmoniques de Fourier identiques on obtient b 0 1  10 +b 0 2  20 + 0 1 b  1 + 0 2 b  2 =0 8 > > > > > > < > > > > > > : k 1k = a 0 1  k + 0 1 a (k) 11 + 0 2 a (k) 21 k 2k = a 0 2  k + 0 1 a (k) 12 + 0 2 a (k) 22 k k = b 0 1  1k +b 0 2  2k + 0 1 b (k) 1 + 0 2 b (k) 2 k=1;2;::: (2:40)

Substituonsles valeurs de  1k

; 2k

dansla troisiemeequation. Alorson a uneequation lineairepourdeterminer 

k (a 0 1 b 0 1 +a 0 2 b 0 2 +k 2 ) k + k( 0 1 b (k) 1 + 0 2 b (k) 2 )+ +  0 1 (b 0 1 a (k) 11 +b 0 2 a (k) 12 )+ 0 2 (b 0 1 a (k) 21 +b 0 2 a (k) 22 )=0 (2:41) avec cela  0 1 ; 0 2 satisfont lacondition(2.38). Si,pourtout entiernaturel k,on a

a 0 1 b 0 1 +a 0 2 b 0 2 +k 2 6=0

alors tous les  k

, donc  1k

; 2k

, se denissent d'une seule maniere. Cette conditionest toujoursrealisee en l'absencede resonance parametrique.

Enpresence de resonanceparametrique2! =p=2l 1; l2N,on a

a 0 1 b 0 1 +a 0 2 b 0 2 = (2l 1) 2 =4 et
= 0 si (2l 1) 2 = 4k 2

ce quiest impossible. Par consequent, si p est impair, latransformationse denitegalement d'une seulemaniere.

Dans lescas mentionnesadmettonsque  0 1 =b 0 2 ;  0 2 = b 0 1 ;  10 = b 0 2 ;  20 =b 0 1  0 1 b  1 + 0 2 b  2 b 0 2 (2:42)

Alorsles coeÆcients  1k

; 2k

; k

sont calculesparles formules 8 > > > > > > < > > > > > > :  1k = 1 k (a 0 1 f k +b 0 2 a (k) 11 b 0 1 a (k) 21 )  2k = 1 k (a 0 2 f k +b 0 2 a (k) 12 b 0 1 a (k) 22 )  k = f k (2:43) ou f k = b 0 1 (b 0 2 a (k) 11 b 0 1 a (k) 21 )+b 0 2 (b 0 2 a (k) 12 b 0 1 a (k) 22 )+k(b 0 2 b (k) 1 b 0 1 b (k) 2 ) b 0 1 a 0 1 +b 0 2 a 0 2 +k 2

Admettons qu'il y a la resonance parametrique 2! = p = 2l; l 2 N. Alors, si k = l, on a
= 0. Donc, dans ce cas on ne peut pas utiliserles formules(2.43)poureliminerdusysteme(2.34) unedesequations(pourx

1 , oux

2 ).

On peut se servir des formules(2.43) y comprisdans le cas particulier de resonance parametrique ! = l, ou dans le systeme (2.34) les premiers l harmoniquessont absents. Dans ce casles equations (2.41) donnent :

1 = :::= l =0,  l +1 ; l +2

;::: sont determines d'une seulemaniere. Avec cela lesformules(2.42) gardent toujoursleurvaleur.

Conclusion 1. Les coeÆcients  1k

; 2k

; k

de l'integrale sont determines les formules ((2.42), (2.43)) dans les cas suivants :

a) il n'y a pas de resonance parametrique;

b) il y a uneresonance parametrique 2! =p=2l 1; l2N;

c) il y a uneresonanceparametrique ! =l2N,mais lesysteme (2.34) necontient pas l premiers harmoniques.

Pour les cas ci-dessus abaissons l'ordre du systeme (2.34) a l'aide de l'integraleV.Pourcela on deduitde (2.36)

x 1 = 1  0 +" 1  V ( 0 2 +" 2 )x 2 (")y) 

troisieme ordre 39

eton substitutl'expressionobtenue danslesysteme (2.34). Ona

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > : _ x 2 =  "a 21   0 2 +" 2  0 1 +" 1  +"a 22  x 2 + +  "a 21  "  0 1 +" 1  +b 0 2 +"b 2  y+[q(t)]V _ y =  (a 0 1 +"a 1 )   0 2 +" 2  0 1 +" 1  +a 0 2 +"a 2  x 2 + +  (a 0 1 +"a 1 )  "  0 1 +" 1  +"a 33  y+[r(t)]V

(lescoeÆcientsq(t);r(t)sont desfonctions 2-periodiques).

SurlavarieteintegraleV(x 1

;x 2

;y;";t)=0onaunsystemedudeuxieme ordre 8 > < > : _ x 2 =  1 x 2 + 1 y _ y =  2 x 2 + 2 y; (2:44)  j = " X k  jk sinkt  j =  0 j +"( j0 + X k  jk coskt); j=1; 2

imposesparles formules(2.35)  1 = "  a 22 a 21  0 2  0 1  =" X k a (k) 22 a (k) 21  0 2  0 1 ! sinkt  2 = "  a 33 a 0 1   0 1  =" X k a (k) 33  1 a 0 1  0 1 ! sinkt  1 = b 0 2 +"b 2 =b 0 2 +" b  2 + X k b (k) 2 coskt !  2 =  a 0 2 a 0 1  0 2  0 1 +"  a 2 a 1  0 2  0 1 a 0 1  2  0 1  1  0 2 ( 0 1 ) 2  = = a 0 2 a 0 1  0 2  0 1 +"  a  2 a  1  0 2  0 1 a 0 1  20  0 1  10  0 2 ( 0 1 ) 2 + + X k (a (k) 2 a (k) 1  0 2  0 1 a 0 1  21  0 1  11  0 2 ( 0 1 ) 2 )coskt ! (2:45)

Lesvaleurs moyennes parperiode deces coeÆcients sont

  1 =0;  2 =0;   1 = 0 1 +" 10 ;   2 = 0 2 +" 20

Onconsiderelesysteme quidecoulede(2.44) parlaprisedelamoyenne surlaperiode descoeÆcients

8 > < > : _ x 2 = ( 0 1 +" 10 )y _ y = ( 0 2 +" 20 )x 2 (2:46) Ondefeni 2  = ( 0 1 +" 10 )( 0 2 +" 20 ) Ici, 

estlafrequencedesoscillationsdusystememoyen(2.46),quisi"=0, concideavec lafrequencedes oscillationsdu systeme(2.32), !.

Parlatransformation x 2 = ~ x 2 q  0 2 +" 20 y = ~ y q  0 +" 10

troisieme ordre 41

le systeme (2.46) prend laforme 8 > < > : _ ~ x 2 =  ~ y _ ~ y =  ~ x 2 (2:47)

Maintenant on passe auxvariablescomplexes conjuguees

z = x~ 2 +i~y  z = x~ 2 i~y Alors ~ x 2 = (z+z)=2 ~ y = (z z)=(2i)

et l'equation pourz_ prendlaforme

_ z=i

 z

Onexprimele systeme (2.44) sous laforme 8 > > > > > > > < > > > > > > > : _ ~ x 2 =  ~ y+" X k  1k sinktx~ 2 + v u u t  0 2  0 1 " X k  1k coskty~ _ ~ y =  ~ x 2 + s  0 1  0 2 " X k  2k cosktx~ 2 +" X k  2k sinkty~ (2:48)

Alorsl'equation pourza laforme nale

_ z=i  z+ i 4 "( z X k h F k +G k i e ikt + X k h F k +G k i e ikt ! +  z X k h F + k +G + k i e ikt + X k h F + k +G + k i e ikt ! ) (2:49) ou F k =  1k  2k ; G k = s  0 1  0 2  2k s  0 2  0 1  1k F + k =  1k + 2k ; G + k = s  0 1  0  2k + s  0 2  0  1k

Considerons lecas deresonancedu deuxieme ordre

2! =p; p2Z

Dansce cas lesysteme(2.49) estnote danslaforme

_ z=i  z+ i 4 "( z h F p +G p i e ipt + h F p +G p i e ipt  +  z h F + p +G + p i e ipt + h F + p +G + p i e ipt  ) (2:50)

Selon les resultats de [70], si dans le systeme (2.34) le developpement des coeÆcients commence par le p-ieme harmonique, la solution (2.33) du systeme (2.31) sera instableen premiereapproximation[70] lorsquele coef-cient de ze

ipt

estdierent de0 dans(2.50), c'est-a-dire lorsque

 1p + 2p + v u u t  0 1  0 2  2p + v u u t  0 2  0 1  1p 6=0

De cette maniere on a obtenu une expression du coeÆcient qui, sous la condition de resonance, determine la stabilite en cas de resonance pa-rametrique.

Ce resultat sera applique dans le chapitre 4 au probleme du roulement d'unellipsodeproche d'unellipsodede revolution.

2.9 Stabilite de la positiond'equilibre d'unsysteme reversible

Soit unsysteme reversible analytiqueau voisinagede lasingularitex= 0 (X(x) = 0) appartenant a l'ensemble des points xes. En mettant en evidencel'approximation lineaire, onpeutecrire

8 < : _ u=Av+U(u;v ) _ v=Bu+V (u;v ); u2R l ; v2RRR n (2:51)

etl'equation caracteristique

det 0 @ I l A B I 1 A =0

a desracines formantdespairesopposees. La stabiliteausens deLyapunov n'est donc possible que lorsque les racines sont purement imaginaires et formentdespaires =i! et= i! (!2R).

Ici x= 0 @ u v 1 A

etapplication Gest de laforme

G= 0 @ I l 0 0 I n 1 A

On etudiera un systeme de dimension quatre (l = n = 2) et  2 1

;  2 2 sontnegatifsetdistincts.Alorsapresnormalisationlineaire(changementde variables) lesysteme(2.51) alaforme

_ z s =i! s z s +Z s (z;z ); s=1;2 (2:52)

pluslesequationsconjuguees, (! s

estunnombrereelpositif).Onremarque, que (2.52) est invariant par la transformation : (t;z;z) ! ( t;z ;z), donc les coeÆcients du developpement taylorien desfonctions Z

s

sont purement imaginaires [51].

On suppose d'abord que le systeme (2.52) n'a que des resonances d'un ordreinferieurouegalaquatre,apresnormalisationdestermesdudeuxieme ettroisiemeordres lesysteme ala forme

_ z s =i(! s +A s1  2 1 +A s2  2 2 )z s +Z (4) s (z;z );  s =jz s j (2:53) (avec Z (4) s =O(kz;zk 4 )). En negligant Z 4 s

on obtient le systeme modele en coordonnees polaires et ' :z

s = s e i' s ; z s = s e i' s : 8 < : _  s =0 _ ' s =! s +A s1  2 1 +A s2  2 2 =!~ s (); s=1;2 (2:54)

A

B

C

Figure 6:Projectiondestores invariantsdusysteme modele. FamilleA :6=constante;

FamilleB: =constante et lacondition(2.55) estveriee; FamilleC :=constante , mais lacondition(2.55) n'estpasveriee.

Pourlesystememodele(2.54)  1

et 2

sontdesintegralespremieres,ilen resultequedans lepremierquadrangleduplan (

1 ;

2

) lespointsinterieurs (

1

> 0; 2

> 0) representent des tores de dimension deux invariants du systeme, cestoresdegenerent endes cercles pour

1

=0ou  2

=0.

Les tores invariants du systeme modele se repartissent en deux categories:lestoresresonantspourlesquels=!~

1 ()=~!

2

()estunnombre rationnel et les tores non resonants pour lesquels  = !~

1 ()=~!

2

() est un nombreirrationnel.

A chaque courbe d'equation

! 1 +A 11  2 1 +A 12  2 2 ! 2 +A 21  2 1 +A 22  2 2 =(constante) (2:55)

correspondunefamilledetoresinvariantsresonantssiestrationneletnon resonantssi estirrationnel.

Pourlesystememodeleilyastabilitedesvariables( 1 ; 2 )auvoisinage delasolutionz 1 =z 2

=0.Pourlesystemeperturbelestoresinvariantsnon resonantssont legerement deformees et les courbes(2.55) pourlesquelles 

est rationnel sont elles m^emes legerement deformees, tandis que les tores resonants sont detruits.

La conditionde stabilite delasolution(0;0) desvariables 1

et 2

dans le systeme perturbeest que les courbes(2.55) (pour rationnel) entourent l'origineetpuissent^etre aussi prochesde l'origine.

Cescourbessont desconiques,ce quiconduita laconditionsuivante:  A 11 ! 1 A 21 ! 2  A 12 ! 1 A 22 ! 2  >0 (2:56)

Onsupposequelaconditionprecedenteestsimultanementsatisfaiteavec la condition ! 1 ! 2 = 2Z; ! 2 ! 1 = 2Z (2:57)

Dans ce cas on peut prouver [40] en utilisant la theorie de Newton-Kolmogorovla conservation pourle systeme (2.53) de toute lafamille ana-lytique des tores du systeme modele (2.54). Outre cela, on monte que la stabiliteau sens deLyapunovresulte de l'existence detellesfamilles.

Theoreme 7 (Matveyev[40]). Siles conditions (2.56) et(2.57) sont verieespour lesysteme (2.53), alors la solution triviale du systeme (2.53) est stableau sens de Lyapunov [43].

Remarque On generalise le theoreme 7 pourle cas ou l > n 2 ainsi que pourdessystemes reversibles avec desintegrales premieres.

Onconsidereuncasresonant! 1 +3! 2 =0(! 1 ! 2 <0).Laformenormale du systeme (2.52) est

_ z 1 =i! 1 z 1 +i(A 11 jz 1 j 2 +A 12 jz 2 j 2 )z 1 +iB 1  z 3 2 +Z (4) 1 (z;z ) _ z 2 =i! 2 z 2 +i(A 21 jz 1 j 2 +A 22 jz 2 j 2 )z 2 +iB 2  z 1  z 2 2 +Z (4) 2 (z;z ) (2:58)

Lesysteme modele de(2.58) (sansles termesZ (4) 1 ;Z (4) 2 ) encoordonnees polaires ; : z s = p  s e i s ; z s = p  s e i s

; s = 1;2 admet les integrales premieres [65] W 2 B 2  1 B 1  2 =h 2 (constante) W (A 11 +3A 21 )B 2  2 1 +(A 12 +3A 22 )B 1  2 2 +4B 1 B 2  1=2 1  3=2 2 cos=

( s =jz s j; = 1 +3 2 ). SiB 1 B 2

<0,alors l'integraleW 2

estunefonctionpositivedenie cequi prouvela stabilite dusysteme modele.SiB

1 B 2 >0 unefonction V(;)= W 2

+W estlafonctionpositivedeniesatisfaisantlesconditionsdutheoreme deLyapunovsurla stabilitelorsquela conditionsuivante est veriee

j(A 11 +3A 21 )B 1 +(A 12 +3A 22 )B 2 j>4jB 1 j 1=2 jB 2 j 3=2 (2:59) Si B 1 B 2 > 0 et j(A 11 +3A 21 )B 1 +(A 12 +3A 22 )B 2 j < 4jB 1 j 1=2 jB 2 j 3=2 , alorslesysteme modele estinstable:il yaunesolution(rayon croissant)

 1 =k 1 r;  2 =k 2 t; r_=kr 2 (k 1 ; k 2

; k sont des constants positives). On peut prouver que le systeme complet(2.58) aussiestinstable[64].

Theoreme 8 (Tkhai [65]). Si B 1

6= 0 et B 2

6= 0, alors pour la sta-bilitedu systeme modele il est necessaire et suÆsant qu'une des conditions suivantes soit veriee :

8 < : a) B 1 B 2 <0 b) B 1 B 2

>0 etla condition (2.59) estsatisfaite

Silesignea(2.59) estopposeetB 1

B 2

>0,lasolutionnulledusysteme complet(2.58) alorsestinstable[64].

Ces theoremes seront appliques dans le chapitre 3 au probleme de la stabilitedes rotationspermanentesd'un ellipsodehomogenepesant.

Rotations permanentes d'un

ellipsode homogene pesant

roulant sans glissement sur

un plan horizontal

Le probleme du mouvement d'un corps solide pesant sur un plan abso-lument rugueux estuninteressant exemple desysteme reversible complique. On considere le cas o u le corps est un ellipsode homogene pesant. Dans ce cas on etudie la stabilite de ses rotations permanentes sur le plan au-tour d'un axe verticale. A.P. Markeyev [35] n'avait etudie la stabilitequ'en premiere approximation. Dans ce chapitre on etudie la stabilite des rota-tions permanentes en approximation non-lineaire du troisieme ordre. On a creeunlogiciel,presenteenAnnexeB,etpermettant deresoudreles calculs compliques conduisant a la forme normale.

3.1 Equations du mouvement

Onetudielemouvementducorpssolidesurunplanabsolumentrugueux, c'est-a-dire qu'ilya roulement sansglissement du corpssur leplan.