Sur les petits mouvements d'un corps pesant

B ULLETIN DE LA S. M. F.

L. L ECORNU

Sur les petits mouvements d’un corps pesant

Bulletin de la S. M. F., tome 30 (1902), p. 71-82

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SUR LES PETITS MOUVEMENTS D'UN CORPS PESANT:

Par M. L. LECORJNU.

On ne saît pas intégrer, dans le cas général, les équations dif- férentielles du mouvement d'un corps pesant qui possède un point fixe; mais toute difficulté disptirâît si l'on se borne à l'élude du cas où les vitesses sont infiniment petites, et l'on est alors conduit à des résultats simples, qu^il me paraît intéressant d'in- diquer.

Prenons comme axes mobiles de coordonnées O.Z*, Oy, Oz les axes d'inertie principaux correspondant au point d'attache 0.

Appelons «, &, c les cosinus directeurs de la droite OG aboutis- sant au centre de gravité G; / l a longueur OG; M la masse totale; A, B, G les moments d'inertie principaux. Toutes ces quantités sont des constantes. Soient, d'autre part, /?, q, r les composantes de la rotation instantanée et a, j3, y les cosinus directeurs (variables avec le temps) que forme la direction verti- cale avec les axes. En posant, pour abréger, F == M ^7, on a les équations du mouvement

A ^ + ( C - B ) y r = F ( 6 Y - c p ) , (i) B ^ - 4 - ( A - C ) 7 y ^ F ( c a - a Y ) , C ^ 4 - ( B - A ) ^ = F ( a p - 6 a ) .

11 faut écrire, en outre, que la direction absolue de la verticale est invariable, ce qui donne

da ,

-dt-^-^

•Si-^-^d^

W

d!^

dt ~" ^ a — / ? P .

Si l'on pose

a == a -h À, ? == b -4- (A, y = c 4- v,

les quantités X, (A, v sont infiniment petites. H en est de même

— 72 -

de/?, y, /•. Négligeant alors les infiniment petits do second ordre, nous pouvons réduire les six équations qui précèdent aux sui- vantes :

l A ^ F ^ v - c ; a ) ,A ^ F ^ .

(3) ^^^-^

G^ = F ( a p t - & X ) , rb—qc, d\

dt ( 4 ) ^

di^ ^ p c - r a , d^

•dt =: (/a- ^ '

La relation a2-h ^+ Y2^! montre en outre que l'on a

aX—h ^ y. -t- cv == o.

L'élimination de 5., (JL, y conduit au système A d^p

F ~dïî == ~~ ^î + cî^ 4" ^^^y + a c r» B ^y ,

p ^i-=o^—(cl-^•a2)y•+.6cr,

(5)

C rfîr

F î? =ca/?-+.c6y—(a»+&<)r.

Cherchons s'il existe une solution particulière telle que le mouvement se réduise à une rotation efiectuée autour d'un axe immobile. On sait que, si l'axe instantané de rotation d'un so- lide est fixe dans l'espace, il l'est également par rapport au solide, et réciproquement. Soient u, v, w les cosinus directeurs, con- stants, d'un pareil axe. En appelant <o la vitesse angulaire, on a

p = M(O, q = (?(ju, /• = wco

et les équations (5) deviennent

(6)

^(0

j^

FfaT

— ( b^ -4- c1 ) u-\-abv-\-acw '' ———————-^

_ ^aM—^^-a^-h'ôcw^caM-hc^—- (a1 -^-b^w

" S T p " ^ ^ ^ c ^ , •

- 73 —

Appelons — s la valeur commune de ces rapports. L'élimina- tion de M, v^ w conduit à l'équation en s

A.S—i-h a2 ab ac

( 7 ) ba B 5 — I 4 - 62 bc ça cb Cs—ï-^c1

En effectuant le développement de ce déterminant, on voit dis- paraître le terme indépendant de s. Il y a donc une racine nulle (dont nous reparlerons plus loin), et, en la supprimant, il reste Inéquation du second degré

. ( ABC^-EAB^+ô^BCtôî+c^+CA^+a1)]^

i ' 4-Aa«-r-B6»-+-Cc»==o,

qu'on peut écrire Aa«

i— A.S

B6»

[ - B S

(9) Ce» = o.

Sous cette dernière forme, la réalité des racines est manifeste.

On reconnaît en outre, en supposant A < ^ B < C, qu'il y a une racine entre 7; et — et une autre entre ^ et -^ • Les deux racines ne

t-» D 1> A

peuvent se confondre que si leur valeur commune est ^» ce qui entraîne la condition

(B-.A)(B-C.)==o.

Quand celte condition est remplie, l'ellipsoïde d'inertie est de révolution; nous laisserons ce cas de côté.

Les équations (6) conduisent aisément aux suivantes :

bu — av - bw

(10) Abu—Bav Bcv—Cbw Caw—A.cu sï

et l'on en déduit, avec une notation évidente,

(r) ^ ou bien

(12)

A u u a

;(B-

BP v b

C)avw

Cw w c

équation qui représente un cône du second ordre, C.

— 74 — Les équations (6) donnent en outre (i3) A a i / - t - B & ^ d - C c w == o,

ce qui représente le plan P, conjugué de la verticale par rapport à l'ellipsoïde d'inertie. Il y a donc deux axes de rotation situés à l'intersection du cône G avec le plan P, et l'on voit que ces axes ne sont généralement pas horizontaux.

Le cône G, que nous rencontrons ici, mérite une attention par- ticulière. On voit d'abord qu'il admet à la fois comme généra- trices les axes principaux de l'ellipsoïde d'inertie et la droite aboutissant au centre de gravité. En outre, il coupe le plan horizontal suivant les deux axes de la conique située dans ce plan. Si l'on cherche, en effet, à déterminer les cosinus u^ ^, w de manière à obtenir le maximum ou le minimum de la fonction Au2-^- Bp2-}- Gw2 avec la condition au-{-bv-}-cw=o^on est conduit aux trois équations

A udu -+- B v dv -+- G w dw == o, u du 4- v dv -+- w dw = o, a du -+- b dv •+• c dw == o,

qui, par l'élimination de du, dv, dw, reproduisent l'équation (12).

Le cône G est également le lieu des normales abaissées du point 0 sur les surfaces homofocales à l'ellipsoïde central; autre- ment dit, il est le lieu des directions qui passent par Forigine et qui sont principales en l'un de leurs points et l'on peut, pour ce' motif, lui attribuer le nom de cône principal en 0. Pour établir cette propriété, considérons une pareille direction et portons sur elle, à partir de l'origine, une longueur OL == p. Cette direction sera principale en L si, pour toutes les valeurs de a, jî, -y véri- fiant l'équation a^4- (Bp-4-Y^==o, l'on a

^ m{ux -^vy-\- wz —• p)(a.r+ Py-4-Y-s) = o

ou, en développant,

(B 4- G — A ) a ^ -4- (C + A — B) ^v -+- (A -h B — C)-y w

— a M ^ p ( a a - h P & - + - y c ) = o, ce qui peut encore s'écrire

( A u -+- M lpa)a + (Bv -4- M ^p b) ? -+- (G w -+- M ^ p c ) y == o.

— 75 — On est ainsi conduit aux relations

, .. ___u___ __ ___y _ ___w___ __ au -h b v -r- cw

v 4 / A ^ + M / p ^ ~ B p - h M f p ^ " Ç w 4 - M / p c = A r p 7 ?

qui, par rëlimination de M / p , reproduisent les équations (10).

C'est ce qu'il fallait démontrer.

On trouve aussi

/ A i^,,./ V ( A — B ) ( 6 M — a ( Q i ^ (,5) M / p = ( A"B ) M P = ... ==^—————————————— ,

bu—av V1/!, ^

^ ( 6 M - a ^ ) î

ou bien, en appelant i l'angle des directions ( Uy v, w) et (a, 6, c),

(Ai^-h Bp2-!- C w 2 ) ( a i A + 6 p - t - c w ) — \1 Aa^

M ^ p = ——————:—————————^_______^Ad___

^ ( 6 K - a p ) 2 ( A M « + B p « - 4 - C w » ) c o s i — V A a M

g^ ^

A ^ + B p2^ Cw2 est le moment d'inertie 1 relatif à la direc- tion («, (/, w). Quand celte direction est dans le planV^a^ = o, il reste simplement

(i5^) M / p ^ ^ ,

1 sm21 relation qui va nous être bientôt utile.

Revenons aux propriétés des axesde rotation. On a, pour cha- cun d'eux, d'après les équations (6),

( i — \ s ) u =a(au+ bv-{- cw)

et deux équations analogues. On en conclut que u, ^, <r sont proportionnels aux quantités —a—, —°—, —c—.

A r A I — A . Î ' i — B ^ ' i - C s

Soient s^ s^les deux racines et {u^v^ w^ ), (u^ ^, w^) les cosinus correspondants. L'équation (9) donne les deux relations

V^ A a2 ^ Aa2

2-.-^AÏÏ=° et 2.-^AÏ,=0'

— 76

(Ton, en retranchant,

2

A2 Ui «t -+• B* PI pj -+- C1 wi w^ = o.

c'est-à-dire

Ceci montre que les axes de rotation sont deux diamètres conju- gués de l'ellipsoïde

A«.r2 + B^« -+- C1^ = consl.,

qu'il ne faut pas confondre avec l'ellipsoïde d'inertie (cet ellip- soïde auxiliaire joue un rôle important, comme l'on sait, dans la théorie de la polhodie). On voit aussi que les directions

( A ^ i , Bpi, Cw,, ( Aui, Bp», Cwï

sont normales entre elles. En tenant compte des équations (12) et (i3), on est amené à conclure que :

Les plans verticaux menés par les axes de rotation se cou- pent à angle droit.

Ces plans sont évidemment les plans de symétrie du cylindre vertical passant par l'intersection de l'ellipsoïde auxiliaire avec le plan Aax 4- Bby 4- Ces = o.

Pour chaque axe de rotation, la formule (i5^") est applicable et s'interprète de la manière suivante :

Le centre de percussion relatif à un axe qui est principal en l'un de ses points, P, se trouve, d'une part, dans le plan mené par l'axe et par le centre de gravité, et, d'autre part, dans le plan normal à l'axe au point P. Il est à une distance de l'axe égale à

» ^ » 1 désignant le moment d'inertie relatif à l'axe et h la dis- tance du centre de gravité à cette droite. Ceci rappelé, la formule ( i o^"), mise sous la forme ^ ^ ^ ^ == ? tang /, signifie que le centre de percussion correspondant à chacun des axes de rotation se trouve sur la droite OG.

On aurait pu établir a priori ce résultat en remarquant que,

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dans chacun des mouvements de rotation, les forces d'inertie doi- vent faire équilibre à la pesanteur. Celle-ci ayant un moment nul par rapport à la verticale du centre de gravité, il faut que les forces d'inertie admettent une résultante unique rencontrant éga- lement cette verticale. A cet effet, il est tout d'abord nécessaire que l'axe de rotation soit principal en l'un de ses points. Les forces d'inertie ont alors une résultante unique, appliquée au centre de percussion. Comme la vitesse de rotatioï? est infiniment petite, celte résultante est normale au plan vertical passant par le centre de percussion et par l'axe de rotation. Dès lors, le moment de la résultante, par rapport à la verticale du centre de gravité, ne peut évidemment être nul que si le centre de percussion se trouve sur cette verticale.

Si les conditions initiales sont convenablement choisies, le mouvement infiniment petit du solide se réduit à une oscillation autour de l'un des axes qui viennent d'être déterminés. Dans ce mouvement, la droite qui admet pour paramètres directeurs les quantités A M, B^, Cw demeure dans un plan horizontal; cela était à prévoir, tar cette droite a la direction du vecteur résultant de? moments des quantités de mouvement, et l'extrémité de ce vecteur, en vertu du théorème connu de Resal, se déplace paral- lèlement au vecteur résultant des moments des forces extérieures, vecteur qui, dans le cas présent, est -horizontal. La vitesse angu- laire du mouvement oscillatoire doit, d'après les équations (6), vérifier la relation

cftw —

^⁼-^

d'où

(o = R s i n ( y 7 F < — 6 )

avec deux constantes arbitraires, R et c, dont la première est infiniment petite. La durée d'oscillation est T ==:——: mais les

/<F équations (6) donnent

donc

i — ( au -+• bv -+- cw)1 sin* i A^+B^-l- Cw1 ~~ I f

T TC i /1

'-sîinVp-

— 78 —

Soit k lerayondegiration. En remplaçant 1 par MA*2 et F par Myl, il vient

T = TC k sin i J~g^

Cette durée est la même que celle des oscillations effectuées par le solide dans le cas où l'axe de rotation est invariablement fixe, avec rinclinaison i. Le produit des durées correspondant aux deux axes de rotation est, d'après la formule (8), 7—7-—» en ap- pelant I' le moment d'inertie relatif à la droite ÔG.

Voyons maintenant ce que signifie la racine nulle de F équa- tion (7). Les équations (10) montrent que, si s est nul, les cosi- nus u, ^, w sont égaux à a, &, c; par conséquent, le mouvement de rotation s'effectue alors autour de la verticale. D'après les équa- tions (6), on a - ^ == o, d'où <*) == mt 4- n avec deux constantes infiniment petites m et n. Mais les équations (i) conduisent dans tous les cas à l'intégrale

A a p -+• B b q -4- C c r == consl.

Si l'on y remplace /?, q, r par a<o, 6ù), co), on reconnaît que la constante m est nulle. La rotation autour de la verticale est donc uniforme.

Cette rotation uniforme, superposée aux deux mouvements oscillatoires déjà trouvés, fournit la solution générale des équa- tions linéaires (3) et (4). Car le mouvement ainsi obtenu dépend de cinq constantes arbitraires, nombre précisément égal à celui des inconnues (\, [JL, v étant liés, comme on l'a v u , par la condi- tion a\ 4- b a 4- cv === o). Par conséquent :

Le mouvement le plus général {infiniment lent) d^un corps solide possédant un point fixe s^ obtient par la composition d'une rotation uni/orme autour de la verticale et de deux mouvements oscillatoires autour de dçux axes inclinés qui sont situés dans deux plans verticaux rectangulaires et ap- partiennent au plan conjugué de la verticale .par rapport à

l} ellipsoïde d'inertie.

Examinons en particulier le cas ou.le solide est abandonné sans vitesse initiale. Alors les constantes s sont nulles, ainsi que la

- 79 ~

conslanle n. Ce mouvement résulte des deux oscillations (Oi==Rtsin(^/?7F),

(*)î== R, sin(^/Î2"F)»

simultanément effectuées autour des deux axes de rotation. L'axe instantané demeure indéfiniment dans le plan conjugué de OG par rapport à l'ellipsoïde d'inertie, et le mouvement du solide équivaut au roulement de ce plan sur un cône fixe (infiniment aplati).

Pour que le mouvement se réduise à une oscillation autour de l'un des deux axes, il faut et il suffit que le déplacement initial du solide, à partir de la position d'équilibre, soit produit par une rotation autour de cet axe. Quand cela a lieu, la ligne OG s'écarte de la verticale dans un plan perpendiculaire à Faxe de rotation.

Mais nous avons vu que le plan vertical perpendiculaire à Fun des axes de rotation contient l'autre. D'après cela :

Pour que le solide, abandonné sans vitesse initiale, oscille autour de l'un des axes de rotation, il faut et il suffit qù'à

^instant initial le centre de gravité se trouve dans le plan vertical déterminé par le second axe.

Les résultats qui précèdent peuvent, à litre de première approxi- mation, être appliqués au cas de mouvements très petits (mais non infiniment petits). Pour passer à une seconde approximation, il faudrait employer la méthode de variation des constantes arbi- traires et les quantités appelées Ri, Ra, e,, $3 deviendraient alors lentement variables; il en serait de même pour la rotation autour de la verticale.

Cherchons à généraliser à un autre point de vue l'étude du mou- vement infiniment lent, et demandons-nous s'il est possible de choisir les conditions initiales de telle façon qu'un solide pesant, fixé en un point, tourne avec une vitesse finie autour d'un axe immobile passant par ce point.

Posons, comme précédemment, p == f^co, q == ^(o, /* == WG) et substituons dans les équations exactes (i). Il vient

(16) A" ^ - h ( C — B ) p w ( x > » = = F ( ^ Y — c p )dtû

et deux équations analogues.

Les équations (^) donnent, d'autre part,

(i;) j ^ + œ ( ^ - ^ ) = o ,

On tire delà, en appelant A, A-, y trois constantes arbitraires, les trois intégrales

(18)

Aua-i-BpQ-+- C w / = — >

r l (X)

(AiA2.4-Bp2-t-Cw»)o)«--2F(rta-+-&p4- c'y) = A:1, ua. -h (?? -+- w y =y.

On a, en outre, la relation

a^-^-P2-+-<f2==I•

II est aisé de combiner les équations (16) de manière à faire disparaître a, (3, y. Si l'on appelle A le déterminant déjà em- ployé dans l'équation (12) et si l'on désigne par E l'expression Aau -+- B6^ + Ccw, on obtient

(19) E -^fa) -t-Ato^ o.

dt

Supposons d^bord que E et A soient différents de zéro. L'inté- gration de cette dernière équation donne

0)0

A

I + g 0 ) 0 /

Ce qui montre que a) tend vers zéro quand le temps augmente indéfiniment. Il faut donc que la constante h soit nulle. Les trois équations

A uv. -+• B v ? -+- G wy = o, Uv. -+- ^P-+- ( V Y = = y , a»-+- p»+ Y^l= i

fournissent^ pour a, p, y, des valeurs constantes qui, d'après les équations (17), ne peuvent différer de u, v^ w. La seconde

— 81 --

intégrale (18) montre ensuite que la valeur de <o est constante : résultat incompatible avec l'hypothèse A $ o .

Nous voyons ainsi que le déterminant A est nécessairement nul, c'est-à-dire que l'axe de rotation doit être principal en l'un de ses points.

Si A = = o et E ^o, la vitesse angulaire (o est constante en vertu de l'équation (19). Les équations

Aux + B P Q + CW>Y=: A,

(U

u a -1- v p -h tv y == y, a2-!- p2^ ^2== i

montrent que a, p, v sont constants. D'après les équations (17), ces cosinus se confondent avec M, v^ w, c'est-à-dire que l'axe de rotation est vertical. La vitesse de rotation se tire des équations (16) qui, en remplaçant a, (B, v par u, ^, (F, donnent

(20) ⁽⁰² — ^w —c p _ eu—aw av—bu F "" ( C - B ) P W ""' ('À-C)WM =: ( B — A ) ^ '

En comparant avec les équations (i 5), on est conduit à Péoalité

ï^

^ - f -

Cette relation pourrait s'établir a priori: car elle exprime que, par rapport à l'axe horizontal perpendiculaire à OG, il y a équi- libre entre la pesanteur, appliquée au centre de gravité, et la force centrifuge, appliquée au centre de percussion.

Si E est nul en même temps que A, les équations A == o, E === o qui doivent être simultanément vérifiées par <z, v, w, montrent que la rotation s'effectue autour de l'un des axes étudiés quand il s'agit de mouvements infiniment lents. Les équations (18), mises sous la forme

Aîo-h B p Q - + - C w Y = = A,

* 0)

aa+ b^ c^^^1^

2F u a -+- v ^ -+- w y === y, XXX.

— 82 —

et considérées comme équation du premier degré entre les trois ijiconnues a, [3, y, ont un déterminant nul. L'élimination de ces trois inconnues conduit à la relation

(bw — CP) - - 4 - ( C — B ) w ~ to - + - ( B p c — C ^ ( r ) y = o,

d^où l'on tire, pour co, une valeur constante. On rentre ainsi dans le cas précédent. L'hypothèse E == o ne modifie donc pas la loi du mouvement.

En résumé :

Pour que le corps y animé d) une vitesse angulaire finie, tourne autour d'un axe immobile, il faut que cet axe soit vertical et soit en outre principal en l'un de ses points. La vi- tesse de rotation est constante et vérifie la relation ^_{*/ \ 0 7}ÎQ=Q\

dans laquelle p désigne la distance du point fixe au point pour lequel l'axe de rotation est principal.

Cette Étude était terminée et venait d'être communiquée à la Société mathématique quand j'ai eu connaissance d'un article inséré par M. Staude, en 1894, dans le Journal de Crelle et intitulé : Sur les axes permanents de rotation) dans le mouvement d'un corps pesant autour d'un point fixe.

L'auteur se propose de chercher dans quelles conditions le corps pesant peut présenter un axe vertical immobile, ef'ne discute pas la question de savoir si l'axe de rotation peut être incliné. Il trouve que l'axe vertical doit appartenir à un cône, appelé par lui cône du centre de gravité, qui ne diffère pas du cône principal défini ci-dessus. Il ne remarque pas que ledit cône est le lieu des normales abaissées d'un point fixe sur les surfaces homofocales à l'ellipsoïde central et que chaque génératrice a la propriété d'être axe principal d'inertie en l'un de ses points. Il n'examine pas le pro- blème des mouvements infiniment lents. La plus grande partie du Mémoire est employée à préciser la forme ou la position du cône et à discuter les cas particuliers.

Dans ces conditions, il m'a semblé que mon travail ne faisait pas double emploi avec celui de M. Staude, et pouvait subsister sans modification.