Extensions of the Itô formula through Malliavin calculus and application to a variational problem

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Submitted on 27 Mar 2015

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Extensions of the Itô formula through Malliavin calculus

and application to a variational problem

Jérôme Valentin

To cite this version:

Jérôme Valentin. Extensions of the Itô formula through Malliavin calculus and application to a variational problem. General Mathematics [math.GM]. Télécom ParisTech, 2012. English. �NNT : 2012ENST0029�. �tel-01136570�

2012-ENST-0029

EDITE - ED 130

Doctorat ParisTech

T H È S E

pour obtenir le grade de docteur délivré par

TELECOM ParisTech

Spécialité « Informatique et réseaux »

présentée et soutenue publiquement par

Jérôme VALENTIN

le 26 juin 2012

Extensions de la formule d’Itô par le calcul de Malliavin et

application à un problème variationnel

Directeur de thèse : Suleyman ÜSTÜNEL

Jury

M. Alain BENSOUSSAN,Professeur, Ceremade, Université Paris Dauphine Examinateur

M. Damien LAMBERTON,Professeur, Université de Marne-la-Vallée Rapporteur

M. Samy TINDEL,Professeur, Institut Élie Cartan, Université Henri Poincaré (Nancy) Rapporteur

M. Ciprian TUDOR,Professeur, Université Lille 1 Président

M. Suleyman ÜSTÜNEL,Professeur, INFRES, Telecom-Paristech Directeur de thèse

TELECOM ParisTech

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①✐✐ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ✈❛❧❡✉%& ❞❛♥& Rd_{⊗ R}N_{✳ ❙♦✐- ❡♥✜♥ f ∈ C}1,2 _R +× RN, R
✳ ❆❧♦%& ♦♥ ❛✿ f (t, Xt) = f (0, X0) + Z t 0 ∂tf (s, Xs)ds + N X i=1 ∂if (s, Xs)· bi(s)ds + 1 2· N X i,j=1 ∂_ij2f (s, Xs)· aij(s)ds + N X i=1 ∂if (s, Xs)· σi(s)dWs ✭✷✮ ❛✈❡❝ a = σ ·t_σ✳

❉❡ ♣❧✉& ❧✬✐♥-5❣%❛❧❡ &-♦❝❤❛&-✐8✉❡ ❞❛♥& ✭✷✮ ❞5✜♥✐- ✉♥❡ ♠❛%-✐♥❣❛❧❡ ❧♦❝❛❧❡✱ ❞♦♥❝ (f (Xt), t≥ 0) ❡&- ✉♥❡ &❡♠✐♠❛%-✐♥❣❛❧❡ ❞❛♥& ❧❛ ✜❧-%❛-✐♦♥ ❞❡ W ✳

▲❡' ♥♦*✐♦♥' ❞,✜♥✐❡' ❞❛♥' ❧❡ *❤,♦12♠❡ ♣1,❝,❞❡♥* '♦♥* ❝❧❛''✐6✉❡'❀ ♦♥ 1❡♥✈♦✐❡✱ ♣♦✉1 ❧❡✉1' ❞,✜♥✐*✐♦♥'✱ ; ❬✻✵❪✱ ❬✶✼❪✱ ❬✸✶❪✱ ❬✷✽❪✳✳✳ ♦✉ ❜✐❡♥ ❛✉① ❛1*✐❝❧❡' ♦1✐❣✐♥❛✉① ❬✷✾❪ ❡* ❬✸✵❪✳

✵✳✶✳✷ ◗✉❡❧(✉❡) ❣+♥+-❛❧✐)❛0✐♦♥) ❝♦♥♥✉❡)

❉❡ ♥♦♠❜1❡✉① ❛✉*❡✉1' '❡ '♦♥* ❛**❛❝❤,' ; ❣,♥,1❛❧✐'❡1 ❧❛ ❢♦1♠✉❧❡ ✭✷✮ ❞❛♥' ❞✐✈❡1'❡' ❞✐1❡❝*✐♦♥'✳ ▲❛ ♣1❡♠✐21❡ ❡'* ❞❡ 1❡♥♦♥❝❡1 ; ❧✬❤②♣♦*❤2'❡ ❞❡ ❝♦♥*✐♥✉✐*, '✉1 ❧❛ '❡♠✐✲ ♠❛1*✐♥❣❛❧❡❀ ♦♥ ♦❜*✐❡♥* ❛❧♦1'✱ ❡♥ ♣❛*✐❝✉❧✐❡1✱ ✉♥❡ ❢♦1♠✉❧❡ ❞✬■*N ♣♦✉1 ❧❡' ♣1♦❝❡''✉' ❞❡ ▲,✈②✱ ✈♦✐1✱ ♣❛1 ❡①❡♠♣❧❡✱ ❬✶✶❪ ♦✉ ❧❛ *❤2'❡ ❞❡ ❞♦❝*♦1❛* ❬✽✺❪ ❡* ❧❡' 1,❢,1❡♥❝❡' 6✉✬❡❧❧❡ ❝✐*❡✳ ◆♦✉' ♥✬❛✈♦♥' ♣❛' ❡✉ ❧❡ *❡♠♣' ❞✬❡①♣❧♦1❡1 ❝❡**❡ *❤,♦1✐❡ ❛✉ ❝♦✉1' ❞❡ ♥♦*1❡ *1❛✈❛✐❧✳ ❯♥❡ '❡❝♦♥❞❡ ❞✐1❡❝*✐♦♥ ♣♦''✐❜❧❡ ❡'* ❞❡ ❣,♥,1❛❧✐'❡1 ❧❛ ❢♦1♠✉❧❡ ❞✬■*N ; ❞❡' ♣1♦❝❡''✉' 6✉✐ ♥❡ '♦♥* ♣❛' ❞❡' '❡♠✐♠❛1*✐♥❣❛❧❡'✳ R❛1♠✐ ❧❡' ❝❧❛''❡' ❞❡ ♣1♦❝❡''✉' ♣♦✉1 ❧❡'6✉❡❧❧❡' ✐❧ ❡①✐'*❡ ❞❡' 1,'✉❧*❛*'✱ ❝✐*♦♥' ♣❛1 ❡①❡♠♣❧❡✿ ❧❡ ♠♦✉✈❡♠❡♥* ❜1♦✇♥✐❡♥ ❢1❛❝*✐♦♥♥❛✐1❡ ❡* ❧❡' ✐♥*,❣1❛❧❡' '*♦❝❤❛'*✐6✉❡' ❝♦♥'*1✉✐*❡' '✉1 ❝❡ ♣1♦❝❡''✉' ✭✈♦✐1 ♣❛1 ❡①❡♠♣❧❡ ❬✶✻❪✮✱ ❧❡ ♠♦✉✈❡♠❡♥* ❜1♦✇♥✐❡♥ ♠✉❧*✐✲❢1❛❝*✐♦♥♥❛✐1❡ ✭✈♦✐1 ❬✹✸❪✮✱ ♦✉ ❝❡1*❛✐♥' ♣1♦❝❡''✉' ❞❡ ▼❛1❦♦✈✳ ◆♦✉' ♥✬❛✈♦♥' ♣❛' ♥♦♥ ♣❧✉' *1❛✈❛✐❧❧, ❞❛♥' ❝❡**❡ ❞✐1❡❝*✐♦♥✳ ◆♦*1❡ *1❛✈❛✐❧ '✬✐♥'❝1✐* ❡♥ ❡✛❡* ❞❛♥' ✉♥❡ '❡❝♦♥❞❡ ✧❢❛♠✐❧❧❡✧ ❞❡ ❣,♥,1❛❧✐'❛*✐♦♥' ❞❡ ❧❛ ❢♦1♠✉❧❡ ❞✬■*N 6✉✐ 1❡❧Z❝❤❡♥* ❧❡' ❝♦♥❞✐*✐♦♥' ♣♦1*❛♥* '✉1 ❧❛ ❢♦♥❝*✐♦♥ f ❞❛♥' ✭✷✮ ♣❧✉*N* 6✉❡ '✉1 ❧❡ ♣1♦❝❡''✉' X✳ ■❧ ❡①✐'*❡ ❞❡ ♥♦♠❜1❡✉① 1,'✉❧*❛*' '✉1 ❝❡ '✉❥❡*✳ ▲❡ ♣❧✉' ❝,❧2❜1❡ ❞✬❡♥*1❡ ❡✉① ❡'* '❛♥' ❞♦✉*❡ ❧❛ ❢♦1♠✉❧❡ ❞❡ ❚❛♥❛❦❛ ✭❝♦✐1 ❬✻✵❪ ♣❛1 ❡①❡♠♣❧❡✮✱ 6✉✐ ♣❡1♠❡* ❞❡ ♣1❡♥❞1❡ f ❝♦♥✈❡①❡ ❧♦1'6✉❡ N = d = 1✿

✵✳✶✳ ❈❆❉❘❊✿ ▲❆ ❋❖❘▼❯▲❊ ❉✬■❚1 ①✐✐✐ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✶✳✷✳✶ ✭❋♦%♠✉❧❡ ❞❡ ❚❛♥❛❦❛✮✳ ❙♦✐# X ✉♥❡ '❡♠✐♠❛*#✐♥❣❛❧❡ ❝♦♥#✐♥✉❡ ❡♥ ❞✐♠❡♥'✐♦♥ 1❀ ♣♦✉* #♦✉# a ∈ R ✐❧ ❡①✐'#❡ ✉♥ ✉♥✐2✉❡ ♣*♦❝❡''✉' ❝*♦✐''❛♥# La t(X) #❡❧ 2✉❡✿ |Xt− a| = |X0− a| + Z t 0 sgn(Xs− a)dXs+ 1 2· L a t(X) ✭✸✮ La t(X) ❡'# ❧❡ #❡♠♣' ❧♦❝❛❧ ❞❡ ❧❛ '❡♠✐♠❛*#✐♥❣❛❧❡ X✳ ■❧ ✈✐❡♥3 ❛❧♦%4✿ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✶✳✷✳✷ ✭❋♦%♠✉❧❡ ❞✬■37✲❚❛♥❛❦❛✮✳ ❙♦✐# X ✉♥❡ '❡♠✐❛*#✐♥❣❛❧❡ ❝♦♥#✐♥✉❡ ❡♥ ❞✐♠❡♥'✐♦♥ 1 ❡# f : R → R ♣♦✉✈❛♥# '✬7❝*✐*❡ ❝♦♠♠❡ ❞✐✛7*❡♥❝❡ ❞❡ ❞❡✉① ❢♦♥❝#✐♦♥' ❝♦♥✈❡①❡'✱ ❞❡ '♦*#❡ 2✉❡ f ❛❞♠❡# ✉♥❡ ❞7*✐✈7❡ ; ❣❛✉❝❤❡ f′ g ❡# 2✉✬❛✉ '❡♥' ❞❡' ❞✐'#*✐✲ ❜✉#✐♦♥'✱ f′′ _{❡'# ✉♥❡ ♠❡'✉*❡ ❞❡ ❘❛❞♦♥ '✐❣♥7❡✳ ❖♥ ❛ ❧❛ ❣7♥7*❛❧✐'❛#✐♦♥ '✉✐✈❛♥#❡ ❞❡ ❧❛} ❢♦*♠✉❧❡ ❞✬■#B✿ f (Xt) = f (X0) + Z t 0 f_g′(Xs)dXs+ 1 2 Z R La_t(X)f′′(da) ✭✹✮ ❉❡ ♥♦♠❜%❡✉① ❛✉3❡✉%4 4❡ 4♦♥3 <❣❛❧❡♠❡♥3 ✐♥3➥❡44<4 ? ❧❛ ♣♦44✐❜✐❧✐3< ❞❡ %❡♠♣❧❛❝❡% ❧❛ ❝♦♥❞✐3✐♦♥ f ∈ C2 _{♣❛% ✉♥❡ ❝♦♥❞✐3✐♦♥ ❞✉ 3②♣❡ f ∈ W}p,1_{✱ ✉♥ ❡4♣❛❝❡ ❞❡ ❙♦❜♦❧❡✈✳} F❛% ❡①❡♠♣❧❡ ♣♦✉% ❧❡ ❝❛4 ♣❛%3✐❝✉❧✐❡% ❞✉ ♠♦✉✈❡♠❡♥3 ❜%♦✇♥✐❡♥ ❡♥ ❞✐♠❡♥4✐♦♥ 1✱ ❬✶✸❪ ❡①♣♦4❡ ❧❡4 ♣%♦♣%✐<3<4 ❞❡ 4❡♠✐♠❛%3✐♥❣❛❧❡ ❞❡ x 7→ Lx t(X)? t ✜①< ❡3 <3❛❜❧✐3 ❧❡ %<4✉❧3❛3 4✉✐✈❛♥3✿ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✶✳✷✳✸ ✭❋♦%♠✉❧❡ ❞❡ ❇♦✉❧❡❛✉✲❨♦%✮✳ ❙♦✐# f ✉♥❡ ❢♦♥❝#✐♦♥ ❞7*✐✈❛❜❧❡ '✉* R✱ ❞❡ ❞7*✐✈7❡ ❧♦❝❛❧❡♠❡♥# ❜♦*♥7❡ ❡# W ✉♥ ♠♦✉✈❡♠❡♥# ❜*♦✇♥✐❡♥ ❞❡ ❞✐♠❡♥'✐♦♥ 1✳ ❖♥ ❛✿ f (Wt) = f (0) + Z t 0 f′(Ws)dWs− 1 2 · Z R f′(x)dxLxt(X) ✭✺✮ ❈❡33❡ ❝♦♥43%✉❝3✐♦♥ ❢❛✐4❛♥3 ✐♥3❡%✈❡♥✐% ❧❡ 3❡♠♣4 ❧♦❝❛❧ ❞✉ ♠♦✉✈❡♠❡♥3 ❜%♦✇♥✐❡♥✱ ❡❧❧❡ ❡43 4♣<❝✐❢Q✉❡ ? ❧❛ ❞✐♠❡♥4✐♦♥ 1✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥3✱ ❬✷✵❪ ♣%♦♣♦4❡ ✉♥❡ ❣<♥<%❛❧✐4❛3✐♦♥ 4♦✉4 ✉♥❡ ❤②♣♦3❤U4❡ ❡♥❝♦%❡ ♣❧✉4 ❢❛✐❜❧❡ Q✉✐✱ Q✉❛♥3 ? ❡❧❧❡✱ 4✬<3❡♥❞ ❛✉ ❝❛4 N = d✿ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✶✳✷✳✹ ✭❋♦%♠✉❧❡ ❞❡ ❋V❧❧♠❡%✲F%♦33❡%✲❙❤✐%②❛❡✈✮✳ ❙♦✐❡♥# f ❞7*✐✈❛❜❧❡ #❡❧❧❡ 2✉❡ Df ∈ L2 loc RN, RN
❡# W ✉♥ ♠♦✉✈❡♠❡♥# ❜*♦✇♥✐❡♥ ❡♥ ❞✐♠❡♥'✐♦♥ N✳ ❖♥ ❛✿ f (Wt) = f (0) + N X i=1 ∂if (Ws)dWs+ 1 2 · [f ′_{(W ), W ]} t ✭✻✮ ♦D ❧❛ ❝♦✈❛*✐❛#✐♦♥ 2✉❛❞*❛#✐2✉❡ [f′_{(W ), W ] ❡'# ❞7✜♥✐❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ❧✐♠✐#❡ ❞❡ '♦♠♠❡'} ❞❡ ❘✐❡♠❛♥♥✿ [f′(W ), W ]_t= N X i=1 lim n→∞ n X k=1  f′(Wk n)− f ′_(Wk−1 n )  ·Wk n − W k−1 n  ✭✼✮

①✐✈ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ◆♦✉& '(❛❜❧✐,♦♥& ❞❡& ❧✐❡♥& ❞✐,❡❝(& ❡♥(,❡ ❝❡& (,♦✐& ❞❡,♥✐❡,& ,'&✉❧(❛(& ✭❢♦,♠✉❧❡& ❞❡ ❚❛♥❛❦❛✱ ❞❡ ❇♦✉❧❡❛✉✲❨♦, ❡( ❞❡ ❋;❧❧♠❡,✲<,♦((❡,✲❙❤✐,②❛❡✈✮ ❡( ❧❡& ♥A(,❡&❀ ♥♦✉& ,❡✈✐❡♥❞,♦♥& &✉, ❝❡ ♣♦✐♥( ♣❧✉& (❛,❞✳ ▼❡♥(✐♦♥♥♦♥& '❣❛❧❡♠❡♥( ✉♥ ❞❡,♥✐❡, ,'&✉(❛( ❞✉ ♠G♠❡ (②♣❡✱ ✈♦✐, ❬✷✷❪ ♦✉ ❬✶✷❪✱ ❜✐❡♥ L✉✬✐❧ &♦✐( ♠♦✐♥& ❞✐,❡❝(❡♠❡♥( ❧✐' N ♥♦(,❡ '(✉❞❡✿ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✶✳✷✳✺✳ ❙♦✐❡♥% W ✉♥ ♠♦✉✈❡♠❡♥% ❜*♦✇♥✐❡♥ , ✈❛❧❡✉*/ ❞❛♥/ Rd _❡% f _{∈ W}2,1 _Rd
✳ ❆❧♦*/ ✐❧ ❡①✐/%❡ ✉♥❡ ✉♥✐4✉❡ ❞5❝♦♠♣♦/✐%✐♦♥✿ f (Wt) = f (0) + Mt(f ) + Nt(f ) ✭✽✮ ♦9 M(f) ❡/% ✉♥❡ ♠❛*%✐♥❣❛❧❡ ❧♦❝❛❧❡ ❞❡ ❝❛**5 ✐♥%5❣*❛❜❧❡ ❡% N(f) ❡/% ✉♥ ♣*♦❝❡//✉/ ❝♦♥%✐♥✉✱ ❛❞❞✐%✐❢✱ ❞✬5♥❡*❣✐❡ ♥✉❧❧❡✳

✵✳✶✳✸ ▲❡ ❝❛( ❞❡( ❊❉❙

■❧ ❡①✐&(❡ '❣❛❧❡♠❡♥( ❞❡ ♥♦♠❜,❡✉① ,'&✉❧(❛(& ♣❡,♠❡((❛♥( ❞✬'❝,✐,❡ ✉♥❡ ❢♦,♠✉❧❡ ❞✬■(A ♣♦✉, f ∈ Wp,1 _{♣♦✉, ❞❡& ♣,♦❝❡&&✉& ♣❧✉& ❣'♥',❛✉① L✉❡ ❧❡ &❡✉❧ ♠♦✉✈❡♠❡♥( ❜,♦✇♥✐❡♥✳}

❊♥ ❣'♥',❛❧ ✐❧ ❡&( ♥'❝❡&&❛✐,❡ ❞❡ ❢❛✐,❡ ✉♥❡ ❤②♣♦(❤T&❡ ❞✬❡❧❧✐♣(✐❝✐(' &✉, ❧❡ ♣,♦❝❡&&✉& X✳ <♦✉, ❧❡ ,'&✉❧(❛( &✉✐✈❛♥(✱ ♦♥ &❡ ❞♦♥♥❡ ❞❡✉① ❢♦♥❝(✐♦♥& b ❡( σ ♣♦✉, ❧❡&L✉❡❧❧❡& ✐❧ ❡①✐&(❡ ✉♥❡ ❝♦♥&(❛♥(❡ ❈ (❡❧❧❡ L✉❡ ♣♦✉, (♦✉& x, y ∈ RN_✿

sup

t≥0 |b(t, x) − b(t, y)| ≤ C ·|x − y| ✭✾✮

sup

t≥0|σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ C ·|x − y| ✭✶✵✮

❆❧♦,&✱ ✐❧ ❡①✐&(❡ ✉♥❡ ✉♥✐L✉❡ &♦❧✉(✐♦♥ ❢♦,(❡ N ❧✬'L✉❛(✐♦♥ ❞✐✛✬❡,❡♥(✐❡❧❧❡ &(♦❝❤❛&(✐L✉❡✿ Xt = X0+ Z t 0 b(s, Xs)ds + Z t 0 σ(s, Xs)dWs ✭✶✶✮ ❖♥ ♥♦(❡ ❡♥✜♥ A ❧❡ ❣'♥',❛(❡✉, ❞✉ ♣,♦❝❡&&✉&❀ &✐ a = σ ·t_σ✿ A =Xbi· ∂i+ 1 2· X aij · ∂ij ✭✶✷✮ ❆✈❡❝ ❝❡& ♥♦(❛(✐♦♥&✱ ❬✸✽❪ '(❛❜❧✐(✿ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✶✳✸✳✶✳ ❙✉♣♣♦/♦♥/ 4✉❡ b ❡% σ /♦✐❡♥% ❜♦*♥5/ ♣*❡/4✉❡ />*❡♠❡♥% ❡% 4✉❡ A /♦✐% ✉♥✐❢♦*♠5♠❡♥% ❡❧❧✐♣%✐4✉❡✱ ❝✬❡/% , ❞✐*❡ 4✉✬✐❧ ❡①✐/%❡ ✉♥❡ ❝♦♥/%❛♥%❡ C %❡❧❧❡ 4✉❡ ♣♦✉* %♦✉% ξ ∈ RN_✿ (A_{· ξ, ξ) =}X i,j aijξiξj ≥ C · kξk2 ✭✶✸✮ ❆❧♦*/✱ ♣♦✉* %♦✉% f ∈ W2,2_{✱ ♦♥ ♣❡✉% 5❝*✐*❡ ❧❛ ❢♦*♠✉❧❡ ❞✬■%@ ♣♦✉* f(X} t) ❝♦♠♠❡ ❞❛♥/ ❧❡ ❝❛/ C2_✳

✵✳✷✳ ❆$$❖❘❚❙ ❉❯ ❈❆▲❈❯▲ ❉❊ ▼❆▲▲■❆❱■◆ ①✈ ▲✬✐❞&❡ ❞❡ ❧❛ ♣+❡✉✈❡✱ .✉❡ ♥♦✉1 +&✉2✐❧✐1❡+♦♥1✱ ❡12 .✉❡ ❧❡1 ❢♦♥❝2✐♦♥1 ❞❡ W2,2 _♣❡✉✲ ✈❡♥2 62+❡ ❛♣♣+♦❝❤&❡1 ♣❛+ ❞❡1 ❢♦♥❝2✐♦♥1 C2_{✳ ❊♥ ❝♦♠❜✐♥❛♥2 ❝❡1 ✐❞&❡1 ❛✈❡❝ ❝❡❧❧❡1 ❞❡} ❧❛ ❢♦+♠✉❧❡ ❞❡ ❋=❧❧♠❡+✲>+♦22❡+✲❙❤✐+②❛❡✈✱ ❝❡+2❛✐♥ ❛✉2❡✉+1 ✭✈♦✐+ ❬✻❪✱ ❬✼❪ ♦✉ ❬✺❪✱ ♣❛+ ❡①✲ ❡♠♣❧❡✮ ♣+♦✉✈❡♥2 ❞❡1 ❢♦+♠✉❧❡1 ❞✬■2I ♣♦✉+ ❞❡1 ♣+♦❝❡11✉1 ❡❧❧✐♣2✐.✉❡1 ❡2 ❞❡1 ❢♦♥❝2✐♦♥1 W1,p_{✳ ■❧ ❡①✐12❡ &❣❛❧❡♠❡♥2 ❞❡1 +&1✉❧2❛21 ♣♦✉+ ❧❡ ❝❛1 ♦K X ❡12 ✉♥❡ 1❡♠✐♠❛+2✐♥❣❛❧❡✳}

✵✳✷ ❆♣♣♦&'( ❞✉ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥

◆♦✉1 ♥♦✉1 ♣+♦♣♦1♦♥1 ❞✬&2❛❜❧✐+ ✉♥ +&1✉❧2❛2 ❡♥❝♦+❡ ♣❧✉1 ❣&♥&+❛❧✿ ❡♥ ❡✛❡2 ♥♦✉1 +❡♠♣❧❛❝❡+♦♥1 ❧❛ ❢♦♥❝2✐♦♥ ♣❛+ ✉♥❡ ❞✐12+✐❜✉2✐♦♥ 2❡♠♣&+&❡✳ ❆✈❛♥2 ❞✬&♥♦♥❝❡+ ♥♦2+❡ 2❤&♦+P♠❡✱ ✐❧ ♥♦✉1 ❢❛✉2 ❢❛✐+❡ .✉❡❧.✉❡1 +❛♣♣❡❧1 ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥✱ 2❤&♦+✐❡ .✉✐ 1❡+❛ ❛✉ ❝❡♥2+❡ ❞❡ ❧❛ ♣❧✉♣❛+2 ❞❡1 ♣+❡✉✈❡1 ❞❡ ❝❡ ❞♦❝✉♠❡♥2✳ ▲❡1 +&1✉❧2❛21 ❝✐✲❞❡11♦✉1 1♦♥2 ❧✬♦❜❥❡2 ❞❡ +❛♣♣❡❧1 ♣❧✉1 ❞&2❛✐❧❧&1 ❛✉ ❝♦✉+1 ❞✉ ❝❤❛♣✐2+❡ ✶❀ ♣❛+ ❛✐❧❧❡✉+1 ♥♦✉1 ♥♦✉1 1♦♠♠❡1 ❜❡❛✉❝♦✉♣ ✐♥1♣✐+&1✱ ♥♦2❛♠♠❡♥2✱ ❞❡ ❬✹✺❪✱ ❬✺✸❪✱ ❬✷✺❪✱ ❬✻✻❪✱ ❬✺✺❪✱ ❬✺✻❪✱ ❬✼✺❪ ❡2 ❬✹✹❪✳

✵✳✷✳✶ ❘❛♣♣❡❧) ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥

>❧❛X♦♥1✲♥♦✉1 1✉+ ❧✬❡1♣❛❝❡ ❞❡ ❲✐❡♥❡+ W ❞❡1 ❢♦♥❝2✐♦♥1 ❝♦♥2✐♥✉❡1 1✉+ [0, 1]✱ ♥✉❧❧❡1 ❡♥ 0✱ Z ✈❛❧❡✉+1 ❞❛♥1 ✉♥ ❡1♣❛❝❡ ❞❡ ❍✐❧❜❡+2 X✳ ▼✉♥✐11♦♥1 W ❞❡ 1❛ 12+✉❝2✉+❡ ❤❛❜✐2✉❡❧❧❡ ❞✬❡1♣❛❝❡ ❞❡ ❇❛♥❛❝❤ ❡2 ❞❡ ❧❛ ♠❡1✉+❡ ❞❡ ❲✐❡♥❡+ µ✱ ❧♦✐ ❞✉ ♠♦✉✈❡♠❡♥2 ❜+♦✇♥✐❡♥ 1✉+ X✳ ▲✬♦❜❥❡2 ❞✉ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥ ❡12 ❧❛ ❝♦♥12+✉❝2✐♦♥ ❞✬✉♥❡ ❛♥❛❧②1❡ ❞❡ 2②♣❡ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ❡2 ❡♥ ♣❛+2✐❝✉❧✐❡+ ❞✬✉♥ ❣+❛❞✐❡♥2 ❛✉ 1❡♥1 Lp _{1✉+ (W, µ)✳} ◆♦✉1 ♥♦✉1 ✐♥2&+❡11♦♥1 ❛✉① ❞&+✐✈&❡1 ❛✉① 1❡♥1 ❢❛✐❜❧❡ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ ❧✬❡1♣❛❝❡ H✱ ❞✐2 ❡1♣❛❝❡ ❞❡ ❈❛♠❡+♦♥✲▼❛+2✐♥✱ ❞❡1 ♣+✐♠✐2✐✈❡1 ❞❡ ❢♦♥❝2✐♦♥1 L2_{([0, 1], X)✳ ❊♥ ❡✛❡2 H} ❡12 ✉♥ 1♦✉1✲❡1♣❛❝❡ ❞❡♥1❡ ❞❡ W✱ ❡2 ❧❡ 2❤&♦+P♠❡ ❞❡ ●✐+1❛♥♦✈ ❛11✉+❡ .✉❡ ❧❛ ♠❡1✉+❡ ❞❡ ❲✐❡♥❡+ ❡12 .✉❛1✐✲✐♥✈❛+✐❛♥2❡ ♣❛+ ❧❛ 2+❛♥1❧❛2✐♦♥ ♣❛+ h ∈ W 1✐ ❡2 1❡✉❧❡♠❡♥2 1✐ h ∈ H✳ ❙♦✐❡♥2 ❛❧♦+1 W ✉♥ ♠♦✉✈❡♠❡♥2 ❜+♦✇♥✐❡♥ 1✉+ X✱ 0 ≤ t1 <· · · < tn≤ 1✱ Y ✉♥ ❛✉2+❡ ❡1♣❛❝❡ ❞❡ ❍✐❧❜❡+2 ❡2 f : Xn_{7→ Y ❞&+✐✈❛❜❧❡✳ ◆♦✉1 ✐♥2+♦❞✉✐1♦♥1 ❧❛ ❢♦♥❝2✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞✐2❡} ❝②❧✐♥❞+✐.✉❡ F = f (Bt1,· · · Btn) ❛✐♥1✐ .✉❡ 1❛ ❞&+✐✈&❡ ❛✉ 1❡♥1 ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥✿ ∇F = h 7→ n X i=1 (∂if ) (Bt1,· · · Btn)⊗ ˙h(ti) ✭✶✹✮ ♦K ⊗ ❞❡1✐❣♥❡ ❧❡ ♣+♦❞✉✐2 2❡♥1♦+✐❡❧ ❡♥2+❡ ❡1♣❛❝❡1 ❞❡ ❍✐❧❜❡+2✱ 1✐ ❜✐❡♥ .✉❡✿ ∇F ∈ Y ⊗ H ≈ L (H, Y ) ✭✶✺✮ ❡12 ❧❛ ❞✐✛&+❡♥2✐❡❧❧❡ ❛✉ 1❡♥1 Lp _{❞❡ F ✳ ▲❛ ❞❡♥1✐2& ❞❛♥1 L}p _{❞❡1 ❢♦♥❝2✐♦♥♥❡❧❧❡1 ❝②❧✐♥✲} ❞+✐.✉❡1 ❡2 ❧❛ ♣+♦♣+✐&2& ❞❡ .✉❛1✐ ✐♥✈❛+✐❛♥❝❡ ❞❡ µ ♣❡+♠❡22❡♥2 ❞❡ ♠♦♥2+❡+ ❧❛ ❢❡+♠❛✲ ❜✐❧✐2& ❞❡ ∇ ❛✐♥1✐ .✉❡ ❧❛ ❞❡♥1✐2& ❞❡ 1❡1 ❞♦♠❛✐♥❡1 ❞❡ ❢❡+♠❡2✉+❡ Dp,1 _{:= dom}

①✈✐ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ❈❡% ❞♦♠❛✐♥❡% ❞❡ ❢❡,♠❡-✉,❡ %♦♥- ❧❡% ❡%♣❛❝❡% ❞❡ ❙♦❜♦❧❡✈ ❞✬♦,❞,❡ ✶❀ ❧❡% ❝♦♥%-,✉❝-✐♦♥% 7-❛♥- ✈❛❧❛❜❧❡% ♣♦✉, ❞❡% ❡%♣❛❝❡% ❞❡ ❍✐❧❜❡,- 9✉❡❧❝♦♥9✉❡% ♦♥ ❞7✜♥✐- ❞❡ ♠;♠❡ ❞❡% ❣,❛❞✐❡♥-% ✐-7,7% ❡- ❞❡% ❡%♣❛❝❡% ❞❡ ❙♦❜♦❧❡✈ ❞✬♦,❞,❡ %✉♣7,✐❡✉,✳ ❖♥ ❧❡% ♠✉♥✐- ❞❡ ❧❛ ♥♦,♠❡✿ kF kDp,k =kF k_dom Lp(∇k) = kF kLp(X)+k∇ k_Fk Lp_(X⊗H⊗k₎ ✭✶✻✮ ❖♥ ♣❡✉- 7❣❛❧❡♠❡♥- ❝♦♥%-,✉✐,❡ ❧❛ ❞✐✈❡,❣❡♥❝❡ ❝♦♠♠❡ ❛❞❥♦✐♥- ❞✉ ❣,❛❞✐❡♥-✿ δ = _∇∗ : Dp,1(H)_{→ L}p(X) ✭✶✼✮ ◆♦-♦♥% ❛✉ ♣❛%%❛❣❡ 9✉❡ ❧❛ ❞✐✈❡,❣❡♥❝❡ ❞✬✉♥ ♣,♦❝❡%%✉% ,7❣✉❧✐❡, ❡- ❛❞❛♣-7 ❝♦F♥❝✐❞❡ ❛✈❡❝ %♦♥ ✐♥-7❣,❛❧❡ %-♦❝❤❛%-✐9✉❡✱ ❝❡ 9✉✐ ♣❡,♠❡- ✉♥❡ ❡①-❡♥%✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦,♠✉❧❡ ❞✬■-J K ❞❡% %❡♠✐♠❛,-✐♥❣❛❧❡% ♥♦♥✲❛❞❛♣-7❡% ✭❝❢ ❬✺✹❪ ♦✉ ❬✺✸❪✮❀ ♥♦✉% ,❡✈✐❡♥❞,♦♥% %✉, ❝❡% ♥♦-✐♦♥%✳ R✉✐%✱ ♦♥ ✐♥-,♦❞✉✐- ❧✬♦♣7,❛-❡✉, ❞✬❖,♥%-❡✐♥✲❯❤❧❡♥❜❡❝❦ L = δ ◦ ∇✳ ▲✬♦♣♣♦%7 ❞❡ ❝❡- ♦♣7,❛-❡✉, ❡%- ❧❡ ❣7♥7,❛-❡✉, ❞✬✉♥ %❡♠✐ ❣,♦✉♣❡ ❞❡ ❝♦♥-,❛❝-✐♦♥ %✉, Lp_✱ ❞✐-❞✬❖,♥%-❡✐♥✲❯❤❧❡♥❜❡❝❦✳ ▲✬7-✉❞❡ ❞❡ ❝❡ %❡♠✐✲❣,♦✉♣❡ ♣❡,♠❡- ❞❡ ❝♦♥%-,✉✐,❡ ❞❡% ♣✉✐%✲ %❛♥❝❡% ❢,❛❝-✐♦♥♥❛✐,❡% ❞❡ -♦✉- ♦,❞,❡ ,7❡❧ ❞❡ Id+L ❡- ❞✬7-❛❜❧✐, ❧❡% ✐♥7❣❛❧✐-7% ❞❡ ▼❡②❡, 9✉✐ ❛%%✉,❡♥- 9✉❡ ❧❛ ♥♦,♠❡ ✉%✉❡❧❧❡ ❡- ❧❛ ♥♦,♠❡ (I d + L) k/2 F Lp %♦♥- 79✉✐✈❛❧❡♥-❡%✳ ❈❡❝✐ ♣❡,♠❡- ❞✬7-❡♥❞,❡ ❧❛ ♥♦-✐♦♥ ❞✬❡%♣❛❝❡ ❞❡ ❙♦❜♦❧❡✈ K ❞❡% ♦,❞,❡% ❞❡ ❞7,✐✈❛-✐♦♥ ❢,❛❝-✐♦♥♥❛✐,❡% ♦✉ ♥7❣❛-✐❢%✳ ❖♥ ♣,♦✉✈❡ ❡♥ ♦✉-,❡ 9✉❡ ❧❡ ❞✉❛❧ ❞❡ Dp,k _{❡%- D}p∗_,−k ✳

✵✳✷✳✷ ■♥%&❣(❛%✐♦♥, ♣❛( ♣❛(%✐❡, ❡% ❢♦(♠✉❧❡ ❞✬■%5 ❢❛✐❜❧❡

■♥-,♦❞✉✐%♦♥% ♠❛✐♥-❡♥❛♥- D ❧✬❡%♣❛❝❡ ❞❡% ✈❛,✐❛❜❧❡% ❛❧7❛-♦✐,❡% ❛♣♣❛,-❡♥❛♥- K -♦✉% ❧❡% ❡%♣❛❝❡% ❞❡ ❙♦❜♦❧❡✈✿ ✐❧ %✬❛❣✐- ❞✬✉♥ ❡%♣❛❝❡ ❞❡ ✈❛,✐❛❜❧❡% ❛❧7❛-♦✐,❡% -❡%-✱ -,X% ,7❣✉❧✐X,❡%✳ ❙♦♥ ❞✉❛❧ D′ _{❡%- ❧✬❡%♣❛❝❡ ❞❡% ❞✐%-,✐❜✉-✐♦♥% ❞❡ ▼❡②❡, ✭❢♦,♠❡% ❧✐♥7❛✐,❡% %✉, ❛✉ ♠♦✐♥%} ❧✬✉♥ ❞❡% ❡%♣❛❝❡% ❞❡ ❙♦❜♦❧❡✈✮✳ ■❧ ❡%- ♣♦%%✐❜❧❡ ❞✬7-❡♥❞,❡ ❞❡ ♥♦♠❜,❡✉① ♦❜❥❡-% ❞✉ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥ ✭❣,❛❞✐❡♥-✱ ❞✐✈❡,❣❡♥❝❡✳✳✳✮ K ❧✬❡%♣❛❝❡ ❞❡% ❞✐%-,✐❜✉-✐♦♥% ❞❡ ▼❡②❡,✱ ❞❡ ♠;♠❡ 9✉✬♦♥ 7-❡♥❞ ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞✐✛7,❡♥-✐❡❧ %✉, Rn _{❛✉① ❞✐%-,✐❜✉-✐♦♥% -❡♠♣7,7❡%} ♣❛, ❡①❡♠♣❧❡✳ ▲✬❛♥❛❧♦❣✐❡ ✈❛✉- 7❣❛❧❡♠❡♥- ♣♦✉, ❧❡% ♠7-❤♦❞❡% ❞❡ ❞7♠♦♥%-,❛-✐♦♥✿ ❞❡% ,7%✉❧-❛-% %♦♥- 7-❛❜❧✐% %✉, ❧✬❡%♣❛❝❡ ❞❡% ❢♦♥❝-✐♦♥% -❡%-% ❡- 7-❡♥❞✉% ♣❛, ❞❡♥%✐-7 K ❧✬❡%♣❛❝❡ ❞❡% ❞✐%-,✐❜✉-✐♦♥%✳ ❖♥ %✬✐♥-7,❡%%❡,❛ ❡♥ ♣❛,-✐❝✉❧✐❡, K ❧❛ ❢♦,♠✉❧❡ ❞✬✐♥-7❣,❛-✐♦♥ ♣❛, ♣❛,-✐❡% %✉✐✈❛♥-❡✿ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✷✳✷✳✶✳ ❙♦✐❡♥% X, Y ∈ D ❡% f ∈ C1 b✳ ❖♥ ❞)✜♥✐% ❧❛ ♠❛%.✐❝❡ ❞❡ ▼❛❧❧✐✲ ❛✈✐♥ Σ ❞❡ X ♣❛.✿ Σij(X) = (∇Xi,∇Xj)H ✭✶✽✮ ❡% ♦♥ 5✉♣♣♦5❡ 7✉❡ X ❡5% ♥♦♥✲❞)❣)♥).)❡✱ ❝✬❡5% ; ❞✐.❡ 7✉❡✿ γ(X) := Σ(X)−1 _∈ \ 1<p<∞ Lp ✭✶✾✮

✵✳✷✳ ❆$$❖❘❚❙ ❉❯ ❈❆▲❈❯▲ ❉❊ ▼❆▲▲■❆❱■◆ ①✈✐✐ ❆❧♦#$✿ E [∂if (X)· Y ] = E [f(X) · li(Y, X)] ✭✷✵✮ ♦& li(Y, X) = δ ! Y · N X i=1 γij(X)· Xj " ✭✷✶✮ ❈❡ *+,✉❧/❛/ ♣❡*♠❡/ ❞❡ ❞+✜♥✐* f′_{(X) ∈ D}′ _{♣❛* ❞✉❛❧✐/+ ♣♦✉* X ∈ D✱ ✈❛*✐❛❜❧❡} ❛❧+❛/♦✐*❡ ♥♦♥✲❞+❣+♥+*+❡ ,✉* ❧✬❡,♣❛❝❡ ❞❡ ❲✐❡♥❡* ❡/ f ✉♥❡ ❢♦♥❝/✐♦♥ /❡❧❧❡ ?✉❡ f′ _♥✬❡,/ ❞+✜♥✐❡ ?✉✬❛✉ ,❡♥, ❞❡, ❞✐,/*✐❜✉/✐♦♥,✳ A❧✉, ♣*+❝✐,+♠❡♥/✱ ♣❛* ✉♥❡ *+❝✉**❡♥❝❡ ,✐♠✲ ♣❧❡ ❢♦♥❞+❡ ,✉* ❧❡ /❤+♦*C♠❡ ♣*+❝+❞❡♥/ ❡/ ❧❡ ❢❛✐/ ?✉❡ ❧✬❡♥,❡♠❜❧❡ ❞❡, ❞✐,/*✐❜✉/✐♦♥, /❡♠♣+*+❡, ,✬♦❜/✐❡♥/✱ ♣♦✉* /♦✉/ 1 < p < ∞✱ ❝♦♠♠❡✿ S′ ₌ [ k∈N Id + X2 _{− ∆}
−k (Lp_{) ✭✷✷✮} ✐❧ ❛ +/+ +/❛❜❧✐ ❞❛♥, ❬✽✶❪ ?✉❡ ❧✬♦♥ ♣❡✉/ ❞+✜♥✐* T ◦ X ∈ D′ _{♣♦✉* /♦✉/ X ∈ D ♥♦♥✲} ❞+❣+♥+*+❡ ❡/ T ∈ S′_{✳ ❈❡❧❛ ❛ ♣❡*♠✐, ❞✬♦❜/❡♥✐* ❧✬❡①/❡♥,✐♦♥ ,✉✐✈❛♥/❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦*♠✉❧❡} ❞✬■/I✱ ✈♦✐* ❬✼✽❪✿ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✷✳✷✳✷✳ ❙♦✐❡♥+ b ❡+ σ ❞❡✉① ♣#♦❝❡$$✉$ $+♦❝❤❛$+✐3✉❡$ ❛❞❛♣+4$ 5 ❧❛ ✜❧+#❛✲ +✐♦♥ ❞✉ ♠♦✉✈❡♠❡♥+ ❜#♦✇♥✐❡♥ W ❀ ♦♥ $✉♣♣♦$❡✱ ♣♦✉# +♦✉$ p ❡+ k✿ Z t 0 kb skpD_p,kds < ∞ ✭✷✸✮ Z t 0 kσskpD_p,kds < ∞ ✭✷✹✮ ❡+ ♦♥ ✐♥+#♦❞✉✐+✿ Xt = X0+ Z t 0 bsds + Z t 0 σsdWs ✭✷✺✮ ❙♦✐+ Σs ❧❛ ♠❛+#✐❝❡ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥ ❞❡ Xs❀ ♦♥ $✉♣♣♦$❡ ❡♥ ♦✉+#❡✿ Z t 0 kΣ −1 s k p Lpds <∞ ✭✷✻✮ ♦✉✱ ❝❡ 3✉✐ #❡✈✐❡♥+ ❛✉ ♠?♠❡✿ Z t 0 1 det Σs p Lp ds <_∞ ✭✷✼✮

①✈✐✐✐ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ❆❧♦#$ ♣♦✉# '♦✉' ǫ > 0 ♦♥ ❛✿ T (t)◦ Xt− T (ǫ) ◦ Xǫ = Mt(ǫ)+ X i Z t ǫ bi(u)· (∂iTu)◦ Xudu +1 2 X i,j Z t ǫ aij(u)· (∂ijTu)◦ Xudu + Z t ǫ T (du)_{◦ X}u ✭✷✽✮ ❛✈❡❝✱ ❡♥ ✉'✐❧✐$❛♥' ❧❛ ♥♦'❛'✐♦♥ ❞❡$ ✐♥'1❣#❛❧❡$ $'♦❝❤❛$'✐4✉❡$ ♣♦✉# ❧❛ ❞✐✈❡#❣❡♥❝❡✿ M_t(ǫ) =X j Z t ǫ X i [bi(u)· (∂iTu)◦ Xu] dWuj ✭✷✾✮ ▲❛ ♣+❡✉✈❡ ❞❡ ❬✼✽❪ ❡23 ❢♦♥❞7❡ 2✉+ ❧❛ 23✉❝3✉+❡ ❞✬❡2♣❛❝❡ ❞❡ ❋+7❝❤❡3 ♥✉❝❧7❛✐+❡ ❞❡ S′_{✳ ❊♥ ❡✛❡3✱ ♦♥ ♣❡✉3 ❛❧♦+2 ❛♣♣❧✐A✉❡+ ❧❡ 3❤7♦+B♠❡ ❞❡ ●+♦3❤❡♥❞✐❡❝❦ ♣♦✉+ ♦❜3❡♥✐+} ✉♥❡ +❡♣+72❡♥3❛3✐♦♥ ❞✉ ❝❤❡♠✐♥ Tt ❞✉ 3②♣❡✿ Tt = ∞ X n=1 λn· Vn(t)· Tn ✭✸✵✮ ♦K (λn) ∈ l1✱ (Vn) ❡23 ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ❜♦+♥7❡ ❞❡ ❢♦♥❝3✐♦♥2 L ✈❛+✐❛3✐♦♥2 ❜♦+♥7❡2 2✉+ R ❡3 (Tn) ❡23 ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ✉♥✐❢♦+♠7♠❡♥3 ❝♦♥3✐♥✉❡ ❞❡ S′✳ ❖♥ ✈♦✐3 ❛❧♦+2 A✉❡ ❧✬♦♥ ♣❡✉3 ❝❤♦✐2✐+ k 3❡❧ A✉❡ φt:= (Id + X2− δ)−kTt 2♦✐3 ✉♥❡ ❢♦♥❝3✐♦♥ C2 ❡♥ ❡2♣❛❝❡ ❞❡ ❢❛N♦♥ ✐♥❞7♣❡♥❞❛♥3❡ ❞❡ t❀ ❞❡ ♣❧✉2✱ ❧❛ ❢♦♥❝3✐♦♥✿ (t, x)7→ φt(x) =  Id + X2_{− δ}
−k Tt  (x) ✭✸✶✮ ❡23 ❛❧♦+2 L ✈❛+✐❛3✐♦♥ ❜♦+♥7❡ ❡♥ 3❡♠♣2 ✭❡3 C2 _{❡♥ ❡2♣❛❝❡✮✳ ▲❡ +72✉❧3❛3 ❡23 ✜♥❛❧❡♠❡♥3} ♦❜3❡♥✉ ❡♥ ❛♣♣❧✐A✉❛♥3 ❧❛ ❢♦+♠✉❧❡ ❞✬■3S ❝❧❛22✐A✉❡ L ❧❛ ❢♦♥❝3✐♦♥ φ ❡3 ❡♥ ✧✐♥✈❡+2❛♥3✧ ❧❡2 ✐♥37❣+❛3✐♦♥2 ♣❛+ ♣❛+3✐❡2✳

✵✳✸ ❆♣♣♦&'( ❞❡ ❝❡ '&❛✈❛✐❧

❙✐ ❧✬✐♥37+W3 3❤7♦+✐A✉❡ ❞❡2 +72✉❧3❛32 ❞✉ ♣❛+❛❣+❛♣❤❡ ♣+7❝7❞❡♥3 ❡23 ❝❧❛✐+✱ ♦♥ ✈♦✐3 7❣❛❧❡✲ ♠❡♥3 A✉❡ ❧❡2 ❤②♣♦3❤B2❡2 ❢❛✐3❡2 ✭❧❡2 ✈❛+✐❛❜❧❡2 ❛❧7❛3♦✐+❡2 ❞♦✐✈❡♥3 W3+❡ ❞❛♥2 D✮ 2♦♥3 3+♦♣ ❢♦+3❡2 ♣♦✉+ ❧❡2 ❛♣♣❧✐❝❛3✐♦♥2 ♣+❛3✐A✉❡2✳ ❆✉ ❝♦✉+2 ❞❡ ❝❡ 3+❛✈❛✐❧✱ ♦♥ 2✬❡23 ❞♦♥❝ ❛3✲ 3❛❝❤7 L ❧❡2 ❛✛❛✐❜❧✐+✳ ▲❡2 ❞❡✉① ♣+❡♠✐❡+2 ❝❤❛♣✐3+❡2 ❞❡ ❝❡33❡ 3❤B2❡ ❢♦✉+♥✐22❡♥3 ❧❡2 ♦✉3✐❧2 ♥7❝❡22❛✐+❡2 L ❧❛ ♣♦✉+2✉✐3❡ ❞❡ ❝❡3 ♦❜❥❡❝3✐❢✳ ❆✉ ❝❤❛♣✐3+❡ ✶✱ ♦♥ ❢❛✐3 ❞❡2 +❛♣♣❡❧2 ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥✱ ❝❡33❡ 3❤7♦+✐❡ ✐♥3❡+✈❡♥❛♥3 ❞❛♥2 ❧❛ ♠❛❥♦+✐37 ❞❡ ♥♦2 ♣+❡✉✈❡2✳ ❉✬❛✉3+❡2

✵✳✸✳ ❆$$❖❘❚❙ ❉❊ ❈❊ ❚❘❆❱❆■▲ ①✐① ♣❛♥% ❞❡% ♠❛)❤+♠❛)✐,✉❡% ✐♥)❡.✈✐❡♥♥❡♥) +❣❛❧❡♠❡♥)✿ ❡%♣❛❝❡% ✈❡❝)♦.✐❡❧% )♦♣♦❧♦❣✐,✉❡%✱ ✐♥)+❣.❛)✐♦♥ ❞❡ ❢♦♥❝)✐♦♥% 7 ✈❛❧❡✉.% ❇❛♥❛❝❤✱ ✐♥)❡.♣♦❧❛)✐♦♥✱ )❤+♦.✐❡ ❞❡% %❡♠✐✲❣.♦✉♣❡%✱ +,✉❛)✐♦♥% ❛✉ ❞+.✐✈+❡% ♣❛.)✐❡❧❧❡%✳✳✳ ❖♥ ❢❛✐) ❧❡% .❛♣♣❡❧% ♥+❝❡%%❛✐.❡% 7 ♥♦).❡ +)✉❞❡ ❞❛♥% ❧❡% ❛♣♣❡♥❞✐❝❡% ❝♦..❡%♣♦♥❞❛♥)%✱ ♦< ❧✬♦♥ ❢♦✉.♥✐) +❣❛❧❡♠❡♥) ❞❡% .+❢+.❡♥❝❡%✳ ❉❛♥% ❧❡ ❝❤❛♣✐).❡ ✷✱ ♦♥ +)✉❞✐❡ ❧❛ %).✉❝)✉.❡ ❞❡ ❧❛ ❝❧❛%%❡ ❞❡ ❙❝❤✇❛.)③ ❡) ❞❡ ❧✬❡%♣❛❝❡ ❞❡% ❞✐%✲ ).✐❜✉)✐♦♥% )❡♠♣+.+❡% ❡♥ )❛♥) ,✉✬❡%♣❛❝❡% ✈❡❝)♦.✐❡❧% )♦♣♦❧♦❣✐,✉❡% ✭✈♦✐. ♣❛. ❡①❡♠♣❧❡ ❬✻✺❪✱ ❬✷✸❪✱ ❬✻✶❪✱ ❬✺✾❪✱ ❬✻✾❪✳✳✳✮ ❊♥ ♣❛.)✐❝✉❧✐❡.✱ ♦♥ ❝♦♥%).✉✐) ❧❡% ♣✉✐%%❛♥❝❡% ❢.❛❝)✐♦♥♥❛✐.❡% ❞❡ ❧✬♦♣+.❛)❡✉.✿ K := Id + X2_{− ∆ ✭✸✷✮} ♣❛. ❞❡% ♠+)❤♦❞❡% ❞✬✐♥)❡.♣♦❧❛)✐♦♥ ❞❡ %❡♠✐✲❣.♦✉♣❡% ❡) ♦♥ ✐♥).♦❞✉✐) ❧❡% ❡%♣❛❝❡%✿ Sp,s = domLp Ks/2
✭✸✸✮ ▲❡✉. ✐♥)+.O) ❡%) ,✉❡ ❧✬♦♥ ❛✿ S =\ p,s Sp,s ✭✸✹✮ ❡)✿ S′ =[ p,s Sp,s ✭✸✺✮ ❈❡% ✉♥✐♦♥% ❡♥%❡♠❜❧✐%)❡% ❞+✜♥✐%%❡♥) +❣❛❧❡♠❡♥) ✉♥❡ )♦♣♦❧♦❣✐❡ ❞✬❡%♣❛❝❡ ❞❡ ❋.+❝❤❡) %✉. S ❡) ❞❡ ❞✉❛❧ ❞✬❡%♣❛❝❡ ❞❡ ❋.+❝❤❡) %✉. S′ _{❝♦♠♠❡ ✐❧ ❡%) ❡①♣❧✐,✉+ ❞❛♥% ❧❡ )❤+♦.T♠❡} ✷✳✸✳✵✳✸✳ ❈❡ %♦♥) %✉. ❧❡% +❧+♠❡♥)% ❞+✈❡❧♦♣♣+% ❞❛♥% ❧❡% ❞❡✉① ♣.❡♠✐❡.% ❝❤❛♣✐).❡% ❡) ❧❡% ❛♣♣❡♥❞✐❝❡% ,✉❡ ♥♦✉% ♥♦✉% ❛♣♣✉②♦♥% ♣♦✉. +)❛❜❧✐.✱ ❛✉ ❝♦✉.% ❞✉ ❝❤❛♣✐).❡ ✸✱ ❞❡ ♥♦♠✲ ❜.❡✉① ❧❡♠♠❡% )❡❝❤♥✐,✉❡% ,✉✐ ♦♥) ✉♥ ✐♥)+.O) ♣.♦♣.❡✳ ◆♦✉% ♣♦✉✈♦♥% ❛✐♥%✐ +)❛❜❧✐. ❞❡% ❡①)❡♥%✐♦♥% ❞❡ ❧❛ ❢♦.♠✉❧❡ ❞✬■)Y ❞❛♥% ❧❡ ❝❤❛♣✐).❡ ✹ ❡) ❡♥ ❞+✈❡❧♦♣♣❡. ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛)✐♦♥ 7 ✉♥ ♣.♦❜❧T♠❡ ✈❛.✐❛)✐♦♥♥❡❧ ❛✉ ❝❤❛♣✐).❡ ✺✳

✵✳✸✳✶ ❘%&✉❧)❛)& ❞✬✐♥)%❣0❛)✐♦♥ ♣❛0 ♣❛0)✐❡&

▲❡% ♦✉)✐❧% ✉❡ ♥♦✉% ✈❡♥♦♥% ❞❡ ♣.+%❡♥)❡. ♣❡.♠❡))❡♥) ❞❡ ♣.♦✉✈❡. ❧❡ )❤+♦.T♠❡ ❝✐✲ ❞❡%%♦✉%✱ ,✉✐ ❡%) ❧❡ .+%✉❧)❛) ♣.✐♥❝✐♣❛❧ ❞✉ ❝❤❛♣✐).❡ ✸❀ ✐❧ %✬❛❣✐) ❞✉ )❤+♦.T♠❡ ✸✳✷✳✵✳✶✸ ,✉❡ ♥♦✉% .❡♣.♦❞✉✐%♦♥% ✐❝✐✿ ❚❤"♦$%♠❡ ✵✳✸✳✶✳✶✳ ❙♦✐# F ∈ D∞−_,1+δ ❛✈❡❝ δ > 0 ✉♥❡ ✈❛*✐❛❜❧❡ ❛❧-❛#♦✐*❡ ♥♦♥✲ ❞-❣-♥-*-❡ 1 ✈❛❧❡✉*2 ❞❛♥2 RN_{✳ ❖♥ 2✉♣♣♦2❡ 6✉❡ X ❛❞♠❡# ✉♥❡ ❞❡♥2✐#- ❜♦*♥-❡ p} X✳ ❆❧♦*2 ♣♦✉* #♦✉# δ′ _{< δ ❛♥❞ 1 < p < p}′ _{<∞ ♦♥ ♣❡✉# #*♦✉✈❡* q, r > 1 ❡# θ > 0 #❡❧2} 6✉✬♦♥ ❛✐# ❧✬❡2#✐♠❛#✐♦♥ 2✉✐✈❛♥#❡ ♣♦✉* #♦✉2 φ ∈ S(RN_)✿ kφ ◦ F kD_p,−δ ≤ C ·  1 (detΣ)2(k+1) q Lq + 1 detΣ q Lq 2m · kF kθ D_r,1+δ′· kpFk∞· kφkSp′,−δ′ ✭✸✻✮

①① ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ■❝✐ C ❡$% ✉♥❡ ❝♦♥$%❛♥%❡ ✉♥✐✈❡+$❡❧❧❡ ❞.♣❡♥❞❛♥% ❞❡ p, δ, δ′_{, q, r, θ✳✳✳ ♠❛✐$ ♣❛$ ❞❡ X ♦✉} ❞❡ φ✳ ❊♥ ♣❛+%✐❝✉❧✐❡+ ♣♦✉+ %♦✉% T ∈ Sp′_,−δ′✱ T ◦ F ♣❡✉% 4%+❡ ❞.✜♥✐ ❞❛♥$ D_p,−δ ❡% ♦♥ ❛ ❡♥❝♦+❡ ❧❡ ❝♦♥%+6❧❡ ❝✐✲❞❡$$✉$✳ !♦✉$ ♣$♦✉✈❡$ ❝❡ $)*✉❧,❛,✱ ♦♥ *✬❛♣♣✉✐❡ ❡♥ ♣❛$,✐❝✉❧✐❡$ *✉$ ,$♦✐* ❧❡♠♠❡*✳ ▲❡ ♣$❡✲ ♠✐❡$ ♣❡$♠❡, ❞❡ ❝♦♥,$7❧❡$ ❧❡* ♥♦$♠❡* ❞❡ ❙♦❜♦❧❡✈ ❞❡ ❧✬✐♥✈❡$*❡ ❞❡ ❧❛ ♠❛,$✐❝❡ ❞❡ ▼❛❧❧✐✲ ❛✈✐♥ ❞✬✉♥❡ ✈❛$✐❛❜❧❡ ❛❧)❛,♦✐$❡ *✉✣*❡♠♠❡♥, $)❣✉❧✐=$❡✿ ▲❡♠♠❡ ✵✳✸✳✶✳✶✳ 8♦✉+ ✉♥ ❝❡+%❛✐♥ s > 1✱ ❝♦♥$✐❞.+♦♥$ ✉♥❡ ✈❛+✐❛❜❧❡ ❛❧.❛%♦✐+❡ ♥♦♥ ❞.❣.♥.+.❡ F ∈ D∞−,s(RN)❡% $❛ ♠❛%+✐❝❡ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥ Σ✳ ❆❧♦+$ ♣♦✉+ %♦✉% 1 ≤ s′ < s✱ 1 det Σ ∈ D∞−,s′−1(R) ✭✸✼✮ ❉❡ ♣❧✉$✱ ♣♦✉+ %♦✉% p′ _{> p ✐❧ ❡①✐$%❡ ✉♥ q > 1 ❡% ✉♥ α > 0 %❡❧$ ?✉✬♦♥ ❛✐% ❧❡ ❝♦♥%+6❧❡} $✉✐✈❛♥%✿ 1 detΣ _D p,s′−1 ≤ C ·  1 (detΣ)2(k+1) p Lp′ + 1 detΣ p Lp′  · kF kα D_q,s ✭✸✽✮ ♦B k = [s] ❡% C ❡$% ✉♥❡ ❝♦♥$%❛♥%❡ ✉♥✐✈❡+$❡❧❧❡ ♥❡ ❞.♣❡♥❞❛♥% ?✉❡ ❞❡ p, p′_{, s, s}′_{, q✳} ▲❡ ❞❡✉①✐=♠❡ ❧❡♠♠❡ ♣❡$♠❡, ❞❡ ❝♦♥,$7❧❡$ ❧❡* ♦♣)$❛,❡✉$* ❞✬✐♥,)❣$❛,✐♦♥ ♣❛$ ♣❛$✲ ,✐❡*✿ ▲❡♠♠❡ ✵✳✸✳✶✳✷✳ 8♦✉+ %♦✉$ p > 1 ❡% s > 0✱ ♣♦✉+ %♦✉$ p′ _{> p ❡% s}′ _{> s✱} ✐❧ ❡①✐$%❡ q, r > 1✱ θ > 0 ❡% ✉♥❡ ❝♦♥$%❛♥%❡ ✉♥✐✈❡+$❡❧❧❡ ♥❡ ❞.♣❡♥❞❛♥% ?✉❡ ❞❡$ ♣❛+❛♠C%+❡$ ❝✐✲❞❡$$✉$ %❡❧$ ?✉❡ ❧✬♦♥ ❛✐% ❧❡ ❝♦♥%+6❧❡ ❝✐✲❞❡$$♦✉$ ♣♦✉+ %♦✉%❡ ✈❛+✐❛❜❧❡ ❛❧.❛%♦✐+❡ G ∈ D∞−_,s+1 ❡% %♦✉%❡ ✈❛+✐❛❜❧❡ ❛❧.❛%♦✐+❡ ♥♦♥✲❞.❣.♥.+.❡ F ∈ D_∞−_,s′₊₂✿ kli(G, F )kD_p,s ≤ C · kGkD_p′,s+1 ·  1 (detΣ)2(k+1) q Lq + 1 detΣ q Lq  · kF kθ D r,s′+2 ✭✸✾✮ ♦B k = [s]✳ ❊♥ ♣$❛,✐F✉❡✱ ♥♦✉* ❡♥ ✉,✐❧✐*❡$♦♥* ❧❛ ❣)♥)$❛❧✐*❛,✐♦♥ *✉✐✈❛♥,❡✳ ❙♦✐, mi ❧✬♦♣)$❛,❡✉$ ❞❡ ♠✉❧,✐♣❧✐❝❛,✐♦♥ ♣❛$ ❧❡ ♠♦♥7♠❡ Xi✳ ❈♦♥*✐❞)$♦♥* ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞✬♦♣)$❛,❡✉$* µj ♣♦✉$ j = 1, . . . , m ,❡❧* F✉❡ ❝❤❛F✉❡ µi *♦✐, ♦✉ ❜✐❡♥ ❧✬✉♥ ❞❡* li✱ ♦✉ ❜✐❡♥ ❧✬✉♥ ❞❡* mi✱ i = 1, . . . , N✳ ❖♥ ❞)✜♥✐,✿ λ(G, F ) = µm(G, µm−1(G, µm−2(G, . . . , F ) . . . )) ✭✹✵✮ ♣♦✉$ ✉♥❡ ✈❛$✐❛❜❧❡ ❛❧)❛,♦✐$❡ *✉✣*❡♠♠❡♥, $)❣✉❧✐=$❡ G ❡, ✉♥❡ ✈❛$✐❛❜❧❡ ❛❵❧)❛,♦✐$❡ *✉✣*❡♠♠❡♥, $)❣✉❧✐=$❡ ❡, ♥♦ ❞)❣)♥)$)❡ F ✳ ❖♥ ♣❡✉, ❛❧♦$* )♥♦♥❝❡$ ❧❡✿

✵✳✸✳ ❆$$❖❘❚❙ ❉❊ ❈❊ ❚❘❆❱❆■▲ ①①✐ ❈♦"♦❧❧❛✐"❡ ✵✳✸✳✶✳✶✳ ❙♦✐❡♥% p′ _{> p > 1 ❡% s}′ _{> s > 0✳ ❖♥ ❝♦♥)✐❞+,❡ λ ❝♦♠♠❡} ❝✐✲❞❡))✉)✱ ❡♥ )✉♣♣♦)❛♥% 3✉✬❛✉ ♣❧✉) n ❞❡) µj )♦✐% ❧✬✉♥ ❞❡) li✳ ❆❧♦,) ❧ ❡①✐)%❡ q, r > 1✱ θ > 0 ❡% ✉♥❡ ❝♦♥)%❛♥%❡ ✉♥✐✈❡,)❡❧❧❡ C %❡❧) 3✉✬♦♥ ❛✐% ❧❡ ❝♦♥%,9❧❡ ❝✐✲❞❡))♦✉) ♣♦✉, G ❛))❡③ ,;❣✉❧✐+,❡ ❡% F ❛))❡③ ,;❣✉❧✐+,❡ ❡% ♥♦♥✲❞;❣;♥;,;❡✿ kλ(G, F )kD_p,s ≤ C · kGkD_p′,s+m·  1 (detΣ)2(k+1) q Lq + 1 detΣ q Lq m · kF kθD_r,s′+m+1 ✭✹✶✮ ♦✉> k = [s] ❡% σ ❡)% ❧❛ ♠❛%,✐❝❡ ❞❡ ▼❛❧❧✐❛✈✐♥ ❞❡ F ✳ ❊♥✜♥✱ ♦♥ ✉,✐❧✐.❡ ❧❡ ❧❡♠♠❡ ❞✬✐♥,❡3♣♦❧❛,✐♦♥ .✉✐✈❛♥,✿ ❈♦"♦❧❧❛✐"❡ ✵✳✸✳✶✳✷✳ ❙✉♣♣♦)♦♥) 3✉❡ F ∈ D∞−_,1 ❛✐% ✉♥❡ ❞❡♥)✐%; ❜♦,♥;❡ p_F✳ ❆❧♦,) ♣♦✉, %♦✉) 0 ≤ ρ < ρ′ _{≤ 1 ❡% 1 < p < p}′ _{< ∞ ✐❧ ❡①✐)%❡ ✉♥❡ ❝♦♥)%❛♥%❡ ✉♥✐✈❡,)❡❧❧❡} C(ρ, ρ′_{, p, p}′_{) %❡❧❧❡ 3✉❡ ♣♦✉, %♦✉% φ ∈ S ♦♥ ❛✐% ❧❡ ❝♦♥%,9❧❡ ❝✐✲❞❡))♦✉)✿} kφ ◦ F kD_p,ρ ≤ C · kp_Fk_∞· (1 + k∇F k_Lq)· kφk_S p′,ρ′ ✭✹✷✮ ❆✉ ♣❛3❛❣3❛♣❤❡ ✸✳✷✱ ♦♥ ❡①♣❧✐>✉❡ ❝♦♠♠❡♥, ❝♦♠❜✐♥❡3 ❝❡. ❧❡♠♠❡. ♣♦✉3 ♦❜,❡♥✐3 ❧❡ 3A.✉❧,❛, ♣3✐♥❝✐♣❛❧✳ ▲✬ ✐❞A❡ ❡., ❞✬ A❝3✐3❡ φ = K−l_Kl_{φ ♣♦✉3 ✉♥ l ❡♥,✐❡3 ❝❤♦✐.✐ ♣3♦❝❤❡}

❞❡ s ❞❛♥. ✉♥ .❡♥. >✉❡ ❧✬♦♥ ♣3A❝✐.❡✳ ▲❡. ❞❡✉① ♣3❡♠✐❡3. ❧❡♠♠❡. ♣❡3♠❡,,❡♥, ❛❧♦3. ❞❡ ❢❛✐3❡ ✉♥ ♣3❡♠✐❡3 ❝♦♥,3D❧❡ ❡♥ ❢❛✐.❛♥, [s] ✐♥,A❣3❛,✐♦♥. ♣❛3 ♣❛3,✐❡. ❡, ❧❡ ❞❡3♥✐❡3 ❧❡♠♠❡ ♣❡3♠❡, ❞❡ 3❛✣♥❡3 ❛✜♥ ❞✬♦❜,❡♥✐3 ❧❛ ♣❛3,✐❡ ❢3❛❝,✐♦♥♥❛✐3❡ ❞✉ ❝♦♥,3D❧❡✳

❖♥ ❞♦♥♥❡ A❣❛❧❡♠❡♥, ❞❡. 3A.✉❧,❛,. .✉3 ❧✬❡①✐.,❡♥❝❡ ❡, ❧❛ 3A❣✉❧❛3✐,A ❞❡ ❧❛ ❞❡♥.✐,A pX ❛✜♥ ❞❡ .✐♠♣❧✐✜❡3 ❝❡ 3A.✉❧,❛,✳ ❖♥ ♦❜,✐❡♥, ❡♥ ♣❛3,✐❝✉❧✐❡3✿ ▲❡♠♠❡ ✵✳✸✳✶✳✸✳ ❙♦✐% δ > 1✳ ❙♦✐% ❛❧♦,) X ∈ D∞−_,1+δ ✉♥❡ ✈❛,✐❛❜❧❡ ❛❧;❛%♦✐,❡ ♥♦♥✲ ❞;❣;♥;,;❡✳ ❆❧♦,) X ❛❞♠❡% ✉♥❡ ❞❡♥)✐%; ❝♦♥%✐♥✉❡ ❡% ❜♦,♥;❡❀ ♦♥ ❛ ♣❧✉) ♣,;❝✐);♠❡♥% X ∈ Sp,δ✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝ ❧❛ ❣AA3❛❧✐.❛,✐♦♥ .✉✐✈❛♥,❡ ❞✉ ,❤A♦3G♠❡ ✵✳✸✳✶✳✶✿ ❚❤0♦"1♠❡ ✵✳✸✳✶✳✷✳ ❙♦✐% F ∈ D∞−_,1+δ ❛✈❡❝ δ > 1 ✉♥❡ ✈❛,✐❛❜❧❡ ❛❧;❛%♦✐,❡ ♥♦♥✲ ❞;❣;♥;,;❡ B ✈❛❧❡✉,) ❞❛♥) RN_{✳ ❆❧♦,) ♣♦✉, %♦✉% δ}′ _{< δ ❛♥❞ 1 < p < p}′ _{<∞ ♦♥ ♣❡✉%} %,♦✉✈❡, q, r > 1 ❡% θ > 0 %❡❧) 3✉✬♦♥ ❛✐% ❧✬❡)%✐♠❛%✐♦♥ )✉✐✈❛♥%❡ ♣♦✉, %♦✉) φ ∈ S(RN_)✿ kφ ◦ F kD_p,−δ ≤ C ·  1 (detΣ)2(k+1) q Lq + 1 detΣ q Lq 2m · kF kθ D_r,1+δ′· kpFk∞· kφkSp′,−δ′ ✭✹✸✮ ■❝✐ C ❡)% ✉♥❡ ❝♦♥)%❛♥%❡ ✉♥✐✈❡,)❡❧❧❡ ❞;♣❡♥❞❛♥% ❞❡ p, δ, δ′_{, q, r, θ✳✳✳ ♠❛✐) ♣❛) ❞❡ X ♦✉} ❞❡ φ✳ ❊♥ ♣❛,%✐❝✉❧✐❡, ♣♦✉, %♦✉% T ∈ Sp′_,−δ′✱ T ◦ F ♣❡✉% E%,❡ ❞;✜♥✐ ❞❛♥) D_p,−δ ❡% ♦♥ ❛ ❡♥❝♦,❡ ❧❡ ❝♦♥%,9❧❡ ❝✐✲❞❡))✉)✳

❖♥ A,❛❜❧✐, A❣❛❧❡♠❡♥, ✉♥❡ ❣A♥A3❛❧✐.❛,✐♦♥ ❞✉ ,❤A♦3G♠❡ ✵✳✸✳✶✳✶ ♣♦✉3 ❧❡. ❡.♣❛❝❡. S∞,s✿