Approche énergétique non locale du calcul de durée de vie de structures en fatigue multiaxiale sous chargements d'amplitude variable : application à une roue de train ferroviaire

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Approche énergétique non locale du calcul de durée de

vie de structures en fatigue multiaxiale sous

chargements d’amplitude variable : application à une

roue de train ferroviaire

Jérôme Benabes

To cite this version:

Jérôme Benabes. Approche énergétique non locale du calcul de durée de vie de structures en fatigue

multiaxiale sous chargements d’amplitude variable : application à une roue de train ferroviaire.

Sci-ences de l’ingénieur [physics]. Arts et Métiers ParisTech, 2006. Français. �NNT : 2006ENAM0069�.

�pastel-00002960�

(2)

N°: 2006 ENAM 0069

Ecole doctorale n° 432 : Sciences des Métiers de l’Ingénieur

T H È S E

pour obtenir le grade de

Docteur

de

l’École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers

Jury :

M. Cetin Morris SONSINO, Professeur, FhG-LBF, Darmstadt, Allemengne ...

Président

Mme. Suzanne DEGALLAIX, Professeur, LML, Ecole Centrale de Lille ...

Rapporteur

M. Habibou MAITOURNAM, Professeur, LMS, Ecole Polytechnique de Paris...

Rapporteur

M. Francis COCHETEUX, Ingénieur, AEF, SNCF de Vitry/Seine ...

Examinateur

M. Gérard MESMACQUE, Professeur, LML, IUT de Lille...

Examinateur

M. Franck MOREL, Maître de conférence HDR, LPMI, ENSAM d’Angers...

Examinateur

M. Thierry PALIN-LUC, Maître de conférence HDR, LAMEFIP, ENSAM de Bordeaux...

Examinateur

M. Nicolas SAINTIER, Maître de conférence, LAMEFIP, ENSAM de Bordeaux

Examinateur

LAboratoire Matériaux Endommagement Fiabilité et Ingénierie des Procédés

ENSAM, CER de Bordeaux

L’ENSAM est un Grand Etablissement dépendant du Ministère de l’Education Nationale, composé de huit centres :

Spécialité “Mécanique”

présentée et soutenue publiquement

par

Jérôme BENABES

le 18 décembre 2006

APPROCHE ENERGETIQUE NON LOCALE DU CALCUL DE

DUREE DE VIE DE STRUCTURES EN FATIGUE MULTIAXIALE

SOUS CHARGEMENTS D’AMPLITUDE VARIABLE

APPLICATION A UNE ROUE DE TRAIN FERROVIAIRE

Directeur de thèse : Thierry PALIN-LUC

Codirecteur de thèse : Nicolas SAINTIER

(3)

mes parents,ma famille,

(4)

(5)

des Pro édés (LAMEFIP) de l'ENSAM CER de Bordeaux, dans le adre d'un partenariat

ave laSNCF (AEF). Je remer ie Monsieur leProfesseur Jean-Lu Lataillade,dire teur du

laboratoirepourm'avoirpermisd'ee tuer e travaildans debonnes onditions.Jeremer ie

égalementMonsieur Fran is Co heteux quia impulséet orienté ave ta t mes travaux pour

qu'ilsrépondent autantque possible aux besoins exprimés par laSNCF.

Jeremer ietoutparti ulièrementThierryPalin-Lu etNi olasSaintierquim'onten adré

tout au long de l'étude, m'inspirant la rigueur né essaire et le goût de la re her he. Ils se

sont fortement impliquésdans e travailet je leur en suis re onnaissant.

Madame le Professeur S.Degallaix etMonsieur le ProfesseurH. Maitournam m'ont fait

leplaisiretl'honneur d'êtrerapporteursde mathèse,jelesremer ie vivement pour l'intérêt

qu'ils ont porté à mon travail. Leur re ul s ientique et leurs ompéten es te hniques sont

des sour es d'inspiration.

Jeremer ieégalementsin èrementMessieurslesProfesseursC.SonsinoetG.Mesma que

et Monsieur Fran k Morel qui m'ont fait le plaisir de parti iperà mon jury de thèse et ont

examiné mon travail ave soin. L'honneur que m'a fait C. Sonsino d'être président de mon

jury de thèse est un beau adeau.

J'ai eu aussi le plaisir de travailler ave l'ensemble de l'équipe AEF-S qui a fa ilité le

déroulement de messéjours àla SNCFetm'a faitpartager sabonnehumeur etson

enthou-siasme.

Ungrandmer iàvoustouspermanentsounon,quiêtesintervenusdeprèsoudeloindans

etravail.Vosremarques, ritiqueset onseilsm'ontétéfortsutilestantpourl'aboutissement

de e projet que pour mapropre onstru tion.

Jean-Lu Charles, Laurent Tournié et Mathieu Lasserre ont été des ollègues pré ieux,

voire indispensables, tant d'un point de vue te hnique qu'humain, je les féli ite ar ils ont

grandement parti ipé àla réalisation e travail.

Je n'oublie pas de remer ier Madame E. Sellier (C.R.E.M.E.M.- Université r Bordeaux

1)etMessieursJ. Hunter (Allian eAutomation)etR. Gadou(ENSAM)quiont parti ipéà

la bonne réalisationde mes investigations expérimentales.

Jeremer ie parti ulièrementJean-Marie,Christophe,Jonathan,Marinette, Annie,F

ran- is etFran is pour leur disponibilitéet l'ensembledes nombreux servi es rendus.

Enn, et e ne sont pas les moindres, je remer ie haleureusement mes ollègues

do to-rants et amis du laboratoireque j'ai otoyé au ours de es trois années : Zouz, Tom, Mat,

Ludo, Bibix,Egu, M.Pelissier,Hadrien,Ho ine,Farouk, Rami,Mahuampy etMadalina.Ils

ont mare onnaissan e pour l'ambian e onvivialequ'ils ont misaulaboratoire.

Il est sûr que j'oublie ertaines personnes... qu'ils m'en ex usent. Trois années m'ont

permis de ren ontrer beau oup de personnes, qui ont toutes eu un rle dans ma vie et par

(6)

(7)

Introdu tion 9

1 Bibliographie 11

1.1 Méthode de al ul de durée de vie: généralités . . . 11

1.2 Lesméthodes de omptage . . . 13

1.2.1 Diérentes méthodes de omptage . . . 13

1.2.2 Dis ussion sur les méthodes de omptage . . . 16

1.3 Critères de fatigue multiaxiale . . . 17

1.3.1 Généralités etdénitions . . . 17

1.3.2 Lesdiérents types de ritère de fatigue . . . 19

-Appro he pon tuelle . . . 19

-Appro he volumique . . . 21

1.3.3 Constatationsexpérimentales en fatigue multiaxiale . . . 22

1.3.4 Analyse des ritères. . . 25

1.4 Leslois de umuld'endommagement en fatigue . . . 27

1.4.1 Classi ationdes loisde umul d'endommagement . . . 27

1.4.2 Analyse des loisd'endommagement . . . 29

1.5 Méthodes de al ul de durée de vieave omptage de y les . . . 32

1.5.1 Appro he en déformation. . . 32

-Méthode de Wang etBrown . . . 32

1.5.2 Appro he en ontrainte . . . 34

-Méthode de Robert . . . 34

1.5.3 Appro he en énergie . . . 36

-Méthode de Lagodaet Ma ha . . . 36

1.6 Méthodes de al ul de durée de viesans omptagede y les . . . 38

1.6.1 Appro he en ontrainte . . . 38

-Méthode de Morel . . . 38

1.6.2 Appro he en énergie . . . 40

-Méthode de T hankov etVesselinov . . . 40

1.7 Analyse et dis ussion . . . 45

1.8 Con lusion . . . 47

2 Cara térisation du matériau et essais de fatigue 49 2.1 Matériaude l'étude . . . 50

2.1.1 Composition himique . . . 50

2.1.2 Elaborationdes roues de train . . . 50

2.1.3 Mi rostru ture . . . 53

2.2 Cara téristiques mé aniques . . . 55

2.2.1 Solli itationmonotone . . . 55

(8)

2.2.3 Adaptation y lique et limited'enduran e . . . 64

2.2.4 Con lusion. . . 69

2.3 Essais de fatigue . . . 71

2.3.1 Eprouvettes . . . 71

2.3.2 Ma hines d'essai de fatigue utilisées . . . 74

2.3.3 Essais de fatigue àgrande durée de vie . . . 75

2.4 Con lusion . . . 86

3 Proposition d'une méthode de al ul de durée de vie 89 3.1 Hypothèsed'un seuil de non ssuration et volume d'inuen e . . . 90

3.1.1 Mise en éviden e expérimentale du seuil . . . 90

3.1.2 Base physique asso iée àla notionde seuil . . . 91

3.1.3 Con ept du volume inuençantl'amorçage de méso-ssurede fatigue 93 3.2 Présentation d'une méthode de al ul de durée de vie . . . 94

3.2.1 Paramètre énergétique . . . 94

3.2.2 Paramètre d'endommagement . . . 100

3.2.3 Méthode de al ulde durée de vie . . . 116

3.3 Confrontations prévisions /expérien es . . . 126

3.3.1 Critère de fatigue multiaxiale . . . 126

3.3.2 Méthode de al ulde durée de vie . . . 131

3.4 Con lusion . . . 144

4 Appli ation à un as industriel 147 4.1 Problématique ferroviaire. . . 147

4.1.1 Méthode UIC . . . 148

4.1.2 Enregistrement des signaux en ligne . . . 152

4.2 Essais sur roue . . . 157

4.2.1 Essais sous hargement d'amplitude onstante . . . 158

4.2.2 Essais sous hargements d'amplitude variable . . . 161

4.3 Cal uls par élémentsnis . . . 162

4.3.1 Matériau . . . 162

4.3.2 Loi de omportement . . . 163

4.3.3 Maillage de la roue . . . 163

4.3.4 Conditions aux limites . . . 163

4.3.5 Résultats et omparaison al uls/ essais . . . 164

4.4 Con lusion . . . 170

Con lusion 171 Référen es Bibliographiques 173 Annexes 181 Annexe 1 :Les ritèresde fatigue multiaxiale . . . 182

Annexe 2 :Les loisde umul d'endommagement . . . 194

Annexe 3 :Les ma hines d'essaisde fatigue du LAMEFIP . . . 209

Annexe 4 :Essais d'amplitudevariable de tra tion-torsionréalisés auLFM . . . . 213

Annexe 5 :Comparaison du paramètre proposé ave eluide Banvillet . . . 214

Annexe 6 :Cara tère intrinsèquedu paramètred'endommagement

W

f

. . . 217

Annexe 7 :Cal ul du travailendommageantpour des solli itations multiaxiales. . 219

(9)

Annexe 9 :Présentation su in te de l'a ier42CrMo4,de lafonteEN-GJS800-2et

de l'a ier 10HNAP . . . 225

(10)

(11)

Pour répondre àdes exigen esde abilitéde plus en plus élevées, lesindustriels doivent

aujourd'hui prévoir au mieux le omportement en fatigue des stru tures dans leurs

ondi-tions réelles de fon tionnement.Dans une optique de performan es a rues des systèmes, la

validation des prototypesest un enjeu important.Dans le domaineferroviairepar exemple,

les évolutions roissantes des trains modernes onduisent les onstru teurs à re her her une

on eption optimiséedes matérielsroulantsaussi bien en terme de masse que de

omporte-mentvibratoire.

Pour ela, les bureaux d'études doivent se munir d'outils de simulation ables et

ro-bustes pour dimensionner leurs stru tures avant la fabri ation des prototypes. Comme les

piè esindustriellespossèdentsouventdesgéométries omplexesetsubissentdes hargements

d'amplitudevariable,lesméthodesdedimensionnementutiliséesdoiventprévoiraumieuxles

eets des a identsgéométriques sur latenue en fatiguedes piè es quelsquesoientles

har-gements aléatoiresappliqués. Ainsi,toujoursdans le ontexte ferroviaire,laformedes roues

de train se omplexiant, la prévision de leur durée de vie sous hargements multiaxiaux

d'amplitudevariableapparaît ommeune étape in ontournable du pro essus de on eption.

Etudier la résistan e à la fatigue ou l'enduran e des piè es dans es onditions, relève du

domaine de la fatigue multiaxiale d'amplitude variable à grande durée de vie, adre de e

travail.

En eet, au ours de son existen e, une roue de train par ourt entre

7.10

5

et

2, 5.10

6

kilomètres, equi orrespondapproximativementàunnombredetoursderoue omprisentre

2, 4.10

8

et

8, 7.10

8

. Une roue ir ule également sur de multiples types de voie, et ha une

d'entre elles onstitueune onditionde servi e parti ulière.Laduréede viede et organede

roulementpeutêtredénie ommelarépétitiond'uneséquen e de hargementreprésentative

de es onditions de servi e un nombre important de fois. Nous ne nous intéresserons pas

à la fatigue à faible nombre de y les, ni aux intera tions entre les domaines des faibles et

grandes duréesde vie( omme l'eet de fortes sur harges).

Cette étude, réalisée en ollaboration ave l'Agen e d'Essai Ferroviaire (AEF),

labora-toire au sein du domaine Matériel de la SNCF, s'ins rit dans le adre d'une ollaboration

entre l'AEF etle LAMEFIP-E.N.S.A.M. CER de Bordeaux. Les obje tifs de e travail sont

multiples. Il s'agit tout d'abord de re enser et d'évaluer la qualité de diérents ritères et

méthodes de al ulde duréede vieenfatiguemultiaxialeprésentées danslalittérature.Puis

de réaliser des essais de ara térisation du omportement en fatigue de l'a ier utilisé pour

fabriquerlesrouesdetrain.L'obje tifnalétantdeproposeruneméthodede al uldedurée

de vie appli able à la toile de roue de train sous des hargements réels multiaxiaux tout en

tenant omptede l'eet, sur ladurée de vie,de la répartitionspatialedes ontraintes etdes

déformations dans la piè e.

Le premier hapitreest onsa ré à une étude bibliographique des méthodes de al ul de

durée de vie de piè es soumisesàdes hargements aléatoires. Aupréalable, une analyse

(12)

durée de viesont détailléeset lassées en deux familles:lesappro hes omposées d'une

mé-thode de omptagede y le, et elles sansalgorithmede omptage.Unedistin tionentre les

appro hesendéformation,en ontraintesouutilisantdesquantitéshomogènesàdesénergies

est également faite.On pré isera également dans quel domaine de la fatigue (oligo y lique,

enduran e) es méthodes ont été validées par leurs auteurs.

Le matériau au entre de ette étude est présenté au hapitre 2. Il s'agit d'un a ier

désignéeàlaSNCFparER7,dontles ara téristiquesmé aniquessontpro hesdel'a ierC45

(an iennementXC48)selonladésignationAFNOR. Les onditionsexpérimentalesrelatives

auxessais sous hargementsmonotoneset y liquesee tués dansle adrede e travailsont

également présentées. Lasuite de e hapitre est onsa rée auxessais de fatigue réalisés au

LAMEFIP. Une première partie dé rit les éprouvettes utilisées et les ma hines employées

pour mener la ampagne d'essais. La suite dé rit les onditions et les résultats des essais

sous solli itationsuniaxialeset multiaxiales d'amplitude onstanteutilisées ommedonnées

d'entrée des méthodes de al ulde durée de vie. Une présentation des essais dis riminants,

notammentpilotésave des hargementsd'amplitudevariableinspirésdesolli itationsréelles

du domaineferroviaire, onstitue le dernierparagraphe de e hapitre.

Le hapitre 3présente une nouvelleméthode de al ulde duréede vie sous hargements

multiaxiauxd'amplitudevariable.En onservantunebaseénergétiqueetlanotiondeseuilde

non endommagement inférieuràlalimited'enduran e onventionnelledu matériaudénie

au ours des pré édents travaux menés au LAMEFIP [96, 9℄, ette proposition prend en

ompte la répartition spatiale des ontraintes dans la piè e. Elle prévoit ainsi les eets des

types de hargements sur la tenue en fatigue des piè es même sous solli itations simples

(tra tion, exion plane, exion rotative) et les eets des a idents géométriques pour tous

les hargements d'amplitude onstante. Basée sur une dénition in rémentale du travailde

déformationfourniaumatériau,notrepropositions'aran hitdetouteméthodede omptage

de y le et est apte à prévoir la durée de vie d'une stru ture soumise à une solli itation

quel onque. Les prévisions de ette méthode sont onfrontées à des résultats de diérents

essais de la littérature, notammentsur éprouvettes entaillées, mais égalementaux résultats

expérimentauxdu se ond hapitre.

Ledernier hapitrede edo umentest onsa ré àuneappli ationdel'appro he

dévelop-pée sur une stru ture industrielle sous solli itations pro hes de elles vues en servi e. Nous

nous intéressons à la tenue en fatigue de roues de train à grande vitesse, sous hargements

d'amplitude onstante ou variable par blo s. Le ontexte de ette appli ation est détaillé

dans une première partie. Laprésentation des onditions d'essais réaliséssur deux roues de

train etdes simulationsnumériquesee tuées onstitue lasuitede e hapitre.Une

onfron-tation des prévisions de la méthode de al ul de durée de vie proposée ave les résultats

expérimentauxobtenussur roue lture es travaux.

Nousterminons e do ument en présentantune synthèse de l'étudeetquelques

(13)

Bibliographie

Cette analyse bibliographique onsa rée à la prévision de la durée de vie des métaux

en fatigue multiaxiale d'amplitude variable se dé ompose en quatre parties. La première

partie présente la philosophie générale de onstru tion d'une méthode de al ul de durée

de vie. Cette première étape permettra d'introduire les diérentes notions né essaires à la

ompréhension de e do ument.

La se onde partie est onsa rée à une des ription des prin ipales omposantes d'une

méthode de al ul de durée de vie, en parti ulier les méthodes de omptage de y les, les

ritères de fatigue et lesloisde umul d'endommagement.

Lapartiesuivanteprésentediérentesméthodesde al ulde duréedevieen fatigue

mul-tiaxialed'amplitude variable, en distinguant les méthodes ave omptage et sans omptage

de y le.

Une analyse ritique des diérentes méthodes est présentée sur la base de onstations

expérimentales de la littérature.

1.1 Méthode de al ul de durée de vie : généralités

Les diérentes méthodes de al ulutilisées pour prévoir ladurée de vie de piè es

métal-liquessoumisesàdes hargementsd'amplitudevariablepeuventêtre lasséesendeuxgrandes

familles:

elles utilisant un algorithme de omptage de y le,

elles n'utilisantpas de méthode de omptage de y le, dites in rémentales.

La plupart des méthodes d'estimation de la durée de vie en fatigue appartiennent à la

première famille.Ellesse omposent généralement de trois éléments ara téristiques:

une méthode de omptage de y le,

un ritère de fatigue,

une loide umuld'endommagement.

Les modèles s'aran hissant de toute te hnique de omptage de y les sont les plus

ré- ents et en ore minoritaires dans la littérature. Leurs auteurs proposent d'in rémenter un

paramètred'endommagementdire tement al uléàpartirde l'évolutiontemporelledes

ten-seurs des ontraintes et des déformations.

Avantde dresserunpanorama desméthodesde omptagesde y les,nous dénissonsles

(14)

Dénitions

Une méthode de omptage est une méthode permettant de re enser un

évène-ment statistique dans une histoire aléatoire de hargement. Cet évènement peut être,

par exemple,desextrema,des étenduesoudes y les du signal.Uneméthodede omptage

de y les de ontrainte détermine don le nombre ou la densité de présen e des y les de

ontraintedans lesignal de hargement. Ces y les re ensés sont généralement répartispar

niveauxd'amplitude(onparlede umulatifde harge)représentablesdansuntableauouune

matri e. Ce dernier sert aussi bien à al uler des niveaux d'endommagement, qu'à générer

des essaisde fatigue(méthodedes blo sprogramméspar exemple).Lesdiérentes méthodes

de omptage de y les sont présentées auparagraphe 1.2.

Un ritère de fatigue est un seuil, déni par un formalisme mathématique pour une

durée de viexée et un matériaudonné, séparantl'état oùlapiè e est nonssurée de l'état

où elleest ssurée par fatigue. Il est al uléen un point

M

de lapiè e.

Pourtraiterlesproblèmesdessurationàgrandeduréedevie,ilestimportantdediéren ier

les domaines d'appli ation respe tifs des ritères de fatigue multiaxiale etdes méthodes de

al ul de durée de vie. Les ritères de fatigue déterministes sont appli ables aux grandes

durées de vie(au delà d'environ50000 y les) pour des hargementsd'amplitude onstante,

déphasés ou non, générant des états de ontraintes multiaxiaux. Les méthodes de al ul de

durée de vie sont le plus fréquemment des extensions de ritères de fatigue. Dans sa forme

la moins restri tive, une méthode de al ul de durée de vie doit être appli able pour des

hargements multiaxiaux, proportionnels ou non, d'amplitudevariable.

Lesdiérentes appro hesdes ritèresde fatigue multiaxialesontdé ritesauparagraphe1.3.

Nota:ondistingue deuxtypes detrajet de hargement: proportionnelou non

proportion-nel (tableau 1.1). Le trajet de hargement est la ourbe dé rite dans le repère prin ipal des

i

(t)

sont les ontraintes prin ipales à haque instant. Dans le as d'un trajet de hargement proportionnel (exion torsion ombinées en phase par exemple), les dire tions

prin ipalesrestentxes par rapport à lamatière et les ontraintes prin ipalesvarient

homo-thétiquement les unes par rapport aux autres au ours du temps;

Q

dé rit alors un segment de droite. Dans tous les autres as, le trajet de hargement est non proportionnel (le trajet

n'est pas un segment de droite 1

et/ou le repère prin ipal des ontraintes tourne par rapport

à lamatière).

Une loi de umul d'endommagement est une règle permettant d'a umuler une

variable d'endommagement

D

, elle-même dénie par une loi d'endommagement. Pour les hargements y liques, lavariabled'endommagement

D

estgénéralement al uléegrâ eaux ara téristiques d'un y le de hargement (amplitude de ontrainte, ontrainte moyenne,

ontrainte maximum, et ...). Fatemi et Yang [40℄ ont re ensé dans la littérature plus d'une

inquantaine de lois de umul d'endommagement. La plus utilisée aujourd'hui est la loi

de umul d'endommagement linéaire de Palmgren-Miner [85℄ (1945) qui reste le meilleur

ompromis entre la simpli ité d'appli ation et la qualité des prévisions pour de grandes

durées de vie[94℄ malgréune grandevariabilitéde savaleurseuil (ou limite).Uneétudedes

diérentes appro hes des loisde umuld'endommagementest présentée au paragraphe1.4.

Une ourbe de Wöhler est une ourbereprésentant pour une probabilité d'amorçage

de ssure donnée (généralement 50 %), l'amplitude de la solli itation y lique a eptable

(pour un rapport

R

σ

= σ

min

/σ

max

xé ou une ontrainte moyenne xée) en fon tion de la 1

(15)

Chargement Amplitude onstante Amplitudevariable Proportionnel PSfrag repla ements

σ

_σ

₁

σ

2

0 t T PSfrag repla ements

σ

1 σ

2

0 t T Nonproportionnel PSfrag repla ements

σ

1 σ

2

0 t T PSfrag repla ements

σ

1 σ

2

0 t T

Tab.1.1 Représentationsde hargementsd'amplitude onstantetvariable,proportionnels

etnon proportionnels.

durée de vie

N

r

. Cette ourbe est obtenue par des essais de fatigue sur éprouvettes sous un hargement y lique d'amplitude onstante.

1.2 Les méthodes de omptage

Leste hniques de omptages'appliquentsur unevariables alaire.Lorsque lessixtermes

d'un tenseur des ontraintes ou des déformations évoluent de façon non proportionnelle,

il faut réduire l'évolution temporelle d'un tenseur d'ordre 2 (6 omposantes) à l'évolution

temporelled'uneseulevariables alaire.Lesauteursdes méthodes de al ul hoisissentalors

unevariabledite de omptage.A haque y lede ettevariable,lesauteursprélèventles

paramètresfaisantpartiedeleur ritèredefatiguemultiaxiale(amplitudedela issionrésolue

ma ros opique, pression hydrostatique moyenne, et ...). Il existe six grandes te hniques de

omptage usuelles [2,5, 60℄ :

le omptage des temps de maintien,

le omptage des extrema,

le omptage des dépassements d'un niveau donné,

le omptage des étendues,

le omptage des étendues appariées,

le omptage de y les Rainow.

Ces diérentes te hniques sont brièvement dé ritesdansle paragraphesuivant.Uneanalyse

ritique de leur appli ation dans le adre d'une méthode de al ulde duréede vie lturera

ette partie.

1.2.1 Diérentes méthodes de omptage

- Comptage des temps de maintien (Time Counting) [60℄

La méthode de omptage des temps de maintien est basée sur l'estimation de la densité

de probabilité du signal. La notion de y le n'est pas utilisée. Le nombre de passages du

signal àun niveau donnéest onsidéré omme l'évènementstatistique. Pour appliquer ette

(16)

la durée d'une séquen e d'amplitude variable, la densité de probabilité d'un niveau

A

i

est exprimée par (1.1).

p(A

i

) = lim

A

i

→0

1 A

i

Σ

j

∆t

j

T

(1.1)

où

A

i

représente une tran he d'amplitude et

∆t

j

les in réments de temps pendant lesquels le signal atraversé la tran he d'amplitude

A

i

.

- Comptage des extrema (Peak Counting) [5℄

Pour appliquer laméthode de omptage des extrema,ilfaut enregistrerles maximaetles

minimad'unsignalde hargementséparément.D'aprèslasu essiond'unpi etd'unevallée,

onre onstruitun y lede hargement.Le y leleplusendommageantestissudel'alternan e

du pi le plus élevé à la vallée la plus basse quelle que soit leur position respe tive dans

la séquen e. Les y les omptés proviennent de l'extra tion des pi s par ordre dé roissant

respe tivement asso iés aux vallées extraites par ordre roissant.

- Comptage du nombre de dépassements d'un niveau donné (Level Crossing

Counting) [5℄

Deuxte hniquesde omptagedunombrededépassementsd'unniveaudonnéexistentdans

la littérature ([5, 60℄). Il est à noter que et algorithme de omptage dérive du omptage

des tempsde maintien. Nous dé rivons su in tement late hnique présentée dans lanorme

ASTM[5℄.Lorsquele hargementestsituéaudessusd'unniveauderéféren e( orrespondant

à la lasse d'amplitude), le omptage de y les est ee tué haque fois que le hargement

dépasse la lasse d'amplitudeave une pente positive.Lorsque le hargement est en dessous

de e même niveau, Le omptage est dé len hé haque fois que le hargement dépasse la

lasse d'amplitude ave une pentenégative.

- Comptage des étendues (Simple range ounting) [5, 60 ℄

Pour appliquer et algorithme de omptage, on dénit une étendue omme la diéren e

entre deux extremalo aux.Toutes lesétendues du signal sont omptées. Deux as de gure

se présente :

le premierextremum est une vallée : l'étendue sera positive,

le premierextremum est un pi , l'étendue sera négative.

En fon tion de es as, onpeut ompter lesétendues positives ounégatives, ou lesdeux. Si

seules les étendues positives (ou négatives) sont omptées, alors haque étendue dénit un

y le. Si les étendues positives et négatives sont omptées, alors haque étendue dénit un

demi- y le.

- Comptage des étendues appariées (Range-Pair Counting) [5 , 60℄

Seulsles pi s etlesvallées du signal sontné essaires pour appliquerla méthode de

omp-tage des étendues appariées. Un y le est dénit omme une paire d'étendues onsé utives,

de même taille etde signes opposés. Le omptage s'ee tue si l'étendue

e

i+1

est supérieure ou égale à l'étendue

e

i

(

e

i+1

≥ e

i

), alors les points formant l'étendue

e

i

sont enlevés de la séquen e de hargement et un nouveau omptage reprend à partir du premier point de la

(17)

- Comptage par les méthodes RAINFLOW

Les méthodes Rainow sont de loin les algorithmes de omptage les plus utilisés

au-jourd'hui et ont fait l'objet d'une norme française [2℄. Ils existent plusieurs méthodes de

omptage baptisées Rainow issues de la méthode des étendues appariées (Endo [38℄,

Ri- hards [111℄, Nelson [90℄, Downing et So ie [32℄, Glinka et Kam [52℄, Hong [66℄). Les

dif-féren es algorithmiques ara térisent es diérentes versions.Leur point ommun est la

dé-nition du y le de ontrainte omme une bou le d'hystérésis fermée dans un diagramme

ontrainte/déformation. On ompare souvent ette bou le d'hystérésis fermée et le hemin

que par ourt une goutte sur une séquen e matérialisée (gure 1.1), d'où l'appellation de

"méthode de lagoutte d'eau" (rainow) oudes "étendues en as ade".

Fig. 1.1Illustration du pro essus Rainow, d'aprèsEndo [38℄

- Comptage par la méthode RAINFLOW multiaxiale

En faisant l'hypothèse que la plasti ité joue un rle moteur dans l'amorçage de ssure,

WangetBrown[129,131℄ontproposéd'appliquerlaversiondelaméthodeRainowproposée

par Downing et So ie sur la déformation équivalente de VonMises. Ces auteurs ont appelé

ette te hnique : multiaxialrainow y le ounting method.

Sur l'ensembled'une séquen e de hargement aléatoire,l'instantoùladéformation

équi-valente de Von Mises est maximum, dénit l'instant de référen e

T

ref

. A et instant, l'ex-tremumde hargementreprésentel'é oulement plastiquemaximum.Les déformations

ε

∗

ij

et les ontraintes

σ

∗

ij

relativement à e instantsontensuite al ulées d'après lesrelations(1.2).

σ

∗

ij

(t) = σ

ij

(t) − σ

ij

(T

ref

)

et

ε

∗

ij

(t) = ε

ij

(t) − ε

ij

(T

ref

)

(1.2) L'évolutiontemporelledes ontraintes etdes déformations relativeséquivalentes ausens

de Von Mises sont déduites des relations (1.3) et(1.4).

σ

∗

eq

V M

(t) =

r

3

(18)

ε

∗

eq

V M

(t) =

1 1 + ν

′

r

3

2 e

∗

ij

(t)e

∗

ij

(t)

(1.4)

S

ij

et

e

ij

sontrespe tivement les omposantes des tenseurs déviateurs des ontraintes etdes déformations.

ν

′

est le oe ient de Poisson ee tif,déni par la relation(1.5).

ν

′

_{= ν}

p

− (ν

p

− ν

e

)

σ

∗

eq

V M

Eε

∗

eq

V M

(1.5)

où

ν

e

est le oe ientdePoissonélastiqueet

ν

p

le oe ientde Poisson plastiqueégalà0,5. Dansle as de hargements proportionnels, le omportement y lique du matériaupeut

être exprimé à l'aide de larelation (1.6) de type Ramberg-Osgood.

ε

∗

eq

V M

=

σ

∗

eq

V M

E

+

σ

∗

eq

V M

K

′

1/n

′

(1.6)

Pour touslesmétauxquiobéissentàlarèglede Masing( omportement y lique neutre:

ni adou issement,nidur issement y lique) [77℄,le oe ient

K

′

etl'exposant

n

′

d'é rouis-sage y liquesontidentiquesau oe ient

K

etàl'exposant

n

d'é rouissagemonotone.Dans le as de hargements non-proportionnels pour lesquels le omportement y lique du

maté-riau est diérent, l'utilisation d'un modèle de plasti ité in rémental adapté est né essaire.

Les auteurs onseillent lemodèle de Mróz [89℄ modié par Garud [51℄.

Chaque bou le formée par la déformation équivalente de Von Mises (toujours positive)

orrespond àun demi- y leéquivalentde ontrainte.

1.2.2 Dis ussion sur les méthodes de omptage

Pour résumer, une méthode de omptage a pour seul obje tif de dis rétiser le signal

temporeld'un hargement aléatoireen évènements statistiques.Lebut étantde re onstruire

des y les de ontraintes à partir de l'évènement ompté pour s'en servir dans le al ul de

la duréede vie d'unestru ture sous e hargementd'amplitudevariable.Parexemple, sion

omptedes extrema, leplus grand y le de ontrainteest omposé du plusgrand extremum

suivi du plus petit extremum, extraitsdu signal de ontrainte.

Plusieurs études [31, 60℄ ont été menés pour omparer les étendues umulées de y les

de hargement re onstruits à partir des diérents algorithme de omptage. Par exemple,

les résultats des méthodes des dépassements de niveaux et des étendues appariées ont été

omparéesparGrégoire.Pourun hargementissuduse teurautomobile,lagure1.2illustre

que le omptage des dépassements de niveaux a permis de re onstruire des y les de plus

grande amplitude quele omptage des étendues appariées.

Ilestimportantdesoulignerque ommelesdiérentesméthodesne omptentpaslemême

évènementstatistique, ilparaîtévident qu'ellesn'enregistrent pas lemême nombre

d'évène-ments.Selonlesalgorithmes,ladénitiondu y le de ontrainteest diérente. Commenous

l'avons déjànotéauparagraphepré édent,lesméthodes de omptageRainowsont lesplus

utiliséespar lesindustriels [42℄. Leur dénitiondu y le de ontraintefait don l'unanimité.

Laprin ipalediéren eentre lesdiversesversionsdesméthodesRainowestleurmanièrede

traiterlerésidu.Lerésidu onstitue lasuite despointsàpartir desquelsau un y le nepeut

plus êtreextrait. Si e résidu ontientlesplusgrandesétendues dusignal,don les y lesles

plus endommageants, ette diéren epeut avoirun eet nonnégligeable sur ladurée de vie

(19)

Fig. 1.2 Comparaison de la méthode des étendues appariées (1) et de la méthode des

dépassements de niveaux (2) d'après[60℄.

ou laplus petite vallée, il n'y a pas de résidu et toutes lesméthodes Rainow omptent les

mêmes y les [5℄.

Pour ertains métaux, l'ordre d'appli ationdes y les peut avoirune inuen e sur

l'en-dommagement umulé [5℄, mais au un algorithme de omptage ne tient ompte de l'ordre

d'apparition des évènements. Dans le domaine de la fatigue oligo y lique, la onsolidation

y lique du matériau peut être diérente en fon tion de l'ordre d'apparition des niveaux.

Par ontre, dans le domaine de l'enduran e et de l'enduran e limitée, Benneba h [12℄ et

Palin-Lu [94℄ ont montré par des essais par blo s à deux niveaux sur une fonte que l'eet

sur la durée de vie de l'ordre d'apparitiondes blo sreste négligeable.

A part la méthode de omptage des temps de maintien, la forme du y le de

harge-ment(sinus, triangle,trapèze) n'est priseen omptepar au une méthode ar le hargement

est réduite à une su ession de pi s et vallées. Nous verrons dans le paragraphe 1.3.3 que

l'inuen e de la forme du y le de hargement sur la durée de vie en fatigue est souvent

dis utédans lalittérature,notammentpar Mielke[84℄,Dietmannetal.[30℄ etM Diarmind

[83℄. Cesauteursont aboutiàdiérentes on lusionsquilaissentpenser quedes pré autions

doivent don être prises sur le hoix de la variablede omptage en fatigue multiaxiale.

Enn, à notre onnaissan e, il n'existe aujourd'hui qu'une seule méthode de omptage

pour essayer de traiter des états de ontraintes multiaxiaux [129, 131℄. La proposition de

Wang et Brown est basée sur la déformation équivalente de Von Mises. Dans la plupart

des méthodes de prévision de durée de vie en fatigue multiaxiale, les auteurs ee tue un

omptage sur une seule variable "signi ative", à leur avis, de la multiaxialité du tenseur

des ontraintes. Le hoixde ette variablereste déli atet peut masquer lesens physique de

la méthode.

1.3 Critères de fatigue multiaxiale

1.3.1 Généralités et dénitions

Un ritèrede fatigueest unformalismemathématiquedénissantunseuil séparantl'état

où la piè e est non ssurée de l'état oùelle est ssurée par fatigue. Ce seuil est déni pour

(20)

s'applique en tout point

P

de la piè e onsidérée. Si dans l'espa e du ritère, le point

P

à pour image un point

M

situé sous le seuil, il n'y a pas ssuration par fatigue avant le nombre de y les onsidéré. Si l'imagede

P

est au delà du seuil, il y a risque de ssuration par fatigue. Il est importantde pré iserque le seuil du ritèreest déni par référen e àdes

résultatsd'essaisde fatigue sur éprouvettes lisses (sansentaille)ave un état de surfa ede

référen e (généralementre tiéoupoli)sans ontraintes résiduelles 2

. Laprise en omptede

l'eetdes ontraintesrésiduellesetdel'étatde surfa esurlarésistan eàlafatiguefaitpartie

de laprise en ompte des fa teurs, dits extérieurs, tels que: la fréquen e de hargement, la

orrosion, latempérature, ...Dansle adrede etteétude,onselimiteraàdes fréquen esde

hargementinférieuresà150Hz,sanseetdela orrosion nidelatempérature(température

ambiantepro he de 20C ).

Lesvariablesre onnues inuentes surlepro essus dessuration parfatigue peuvent être

regroupées selon quatre familles.

-

ϑ

soll

qui englobe les variables traduisant l'eet, aux points étudiés, des solli itations exté-rieures :

invariants des tenseurs des ontraintes oudes déformations,

invariants des déviateurs orrespondants,

ontraintes (ou déformations) atta hées àune fa ette de normale

n

, énergie élastique,plastique ousomme de es deux dernières.

- Les ara téristiquesintrinsèques du matériau:

sous hargement monotone notées

ϑ

mat

m

(

R

e

,

R

m

,

R

u

soient respe tivement la limite d'élasti ité, la résistan e maximale et la résistan e ultime du matériau en tra tion

−1

soientrespe tivement leslimites d'enduran e en tra tionalternée symétrique, tra tionrépétée, exion plane

alternée symétrique, exion plane répétée, torsion alternée symétrique); es limites

sont des valeurs expérimentales identiées pour une probabilité de ssuration donnée,

généralement 50%, sur des éprouvettes lisses ave un état de surfa e de référen e.

-Lesvariablesd'inuen e

ϑ

inf l

sonttouteslesvariablesliéesaudessinetàl'élaborationdela piè e étudiée(étatetnaturede lasurfa e, dimensions,eetd'é helle, ontraintes résiduelles

et a idents géométriques,...).

- Les oe ients de servi e

ϑ

serv

qui traduisent les ara téristiques du fon tionnement (température, agressivitédu milieu,...).

Leformalisme sera alors :

F (ϑ

soll

, ϑ

mat

m

, ϑ

mat

f

, ϑ

inf l

, ϑ

serv

, ) ≤ 0

(1.7)

Un ritère de fatigue traduit, par lavaleur de la fon tion F, le ara tère plus ou moins

endommageant du y le de hargement appliqué.On parle de ritère déterministe puisque

matériauest hoisi.

2

Lesplusfaiblespossibles,leséprouvettessontgénéralementdétensionnées paruntraitementthermique approprié

(21)

Dans le plan (

X

1

,

X

2

), le domaine de non ssuration selon le ritère peut être délimité par une ourbe simple : souvent une droite. L'équation de ette droite est le plus souvent

identiée par deux résultats d'essais sous solli itations simples.Ces résultats orrespondent

généralementauxvaleursexpérimentalesmédianes(probabilitédessuration=50%).L'état

ontraint y lique aupoint

P

onsidéré surlapiè e apourimage,dans l'espa e(

X

1

,

X

2

)du ritère, lepoint

M

. Si e point sesitue dans le domainede sé urité (gure1.3(a)), la piè e résisteraàla solli itation,ave un oe ient ditde sé urité

C

S

=

ON

OM

> 1

,

N

représentant l'interse tion de la droite

OM

ave le seuil du ritère. Sile point

M

est dans le domainede ssuration,

C

S

< 1

(gure 1.3(b)). PSfragrepla ements O O N N M M X1 X1 X2 X2 Seuil du ritère Point de fon tionnement Limites de fatigue Point d'interse tion Trajet de hargement (a) (b) Fissuration Fissuration Nonssuration Non ssuration

Fig. 1.3 Prin ipe de représentation plane d'un ritère à 2variables(

X

1

,

X

2

).

Depuis lesannées 1930 et lestravauxde Gough etPollard [56℄, de nombreux auteurs se

sont atta hés à proposer des ritères d'enduran e renseignant sur la résistan e d'un

maté-riaupourun hargementpériodiqued'amplitude onstante(sinus,triangle,trapèze).Ilexiste

aujourd'hui plus d'une inquantaine de ritères dans la littérature [113℄. L'ensemble de es

ritères peut être divisé en deux types d'appro hes : pon tuelle et volumique, elles même

onstituées de diérentes familles.Pour l'appro he pon tuelle,on distingue lesformulations

empiriques, de type plan ritique (ma ros opique et mésos opique) et elles globales

(ma ros opique et énergétique). Dans l'appro he volumique, on diéren ie les

formula-tions en ontraintes, en énergie et elles utilisant le hangement d'é helle

mésos opique-ma ros opique.

Les spé i ités de es diérentes atégories sont présentées i-après. A titre d'exemple,

un ritère de fatigue multiaxialede haque familleest détaillé en annexe 1.

1.3.2 Les diérents types de ritère de fatigue

Appro he pon tuelle

Formulations empiriques

Ces ritèresontétéformulésàpartirdel'analysederésultatsd'essais.Ils orrèlentdefaçon

pré ise un ensemble de résultatsexpérimentauxobtenuspour des solli itations multiaxiales

parti ulières (tra tionouexion ombinées à latorsion).Leur domainede validité est don

(22)

identiques à eux utilisés dans les essais qui ont permis leur élaboration. Par ailleurs, es

formulations dépendent du système de oordonnées hoisi, e qui s'avère être un défaut

majeur.Cependant, es appro hes empiriques ont lemérite de faire ressortird'importantes

onstations expérimentales, quin'ontànotre onnaissan e, pas étéremises en ausejusqu'à

présent.

Le ritèreempiriquedeGoughetPollard[56℄,[57℄proposéàpartird'untrèsvasteprogramme

d'essaisenexion-torsion ombinéesalternéessymétriques, omplétépardesexpérien esave

ontraintemoyenne non nulleest présenté en annexe 1.

Formulations de type plan ritique

Les ritèresde egroupereposentsurune onstatationexpérimentale ommune:lepremier

stade d'apparition d'une ssurede fatigue s'ee tue le plus souvent sur un plan supportant

le isaillement maximum (stade I). C'est pour ette raison que plusieurs auteurs en ont

on luque leparamètremé anique quigouverne l'amorçaged'unessure mésos opique 3

est

la ontrainte de isaillement sur un plan parti ulier. Par ailleurs,la ontrainte normalesur

e plan de isaillement maximum a également une inuen e sur l'amorçage des ssures de

fatigue.Les ritèresformulés dansle adrede etteappro hesontdon une ombinaisondes

ontraintes normale et de isaillement sur un même plan. Les deux points prin ipaux qui

diéren ient lesformulationssontles suivants:

-le hoix du plan ritique,

- la ontrainte utilisée pour rendre ompte de l'eet d'une ontrainte normale au plan

ritique.

Le ritèrede Dang-Van[26℄,[25℄peutêtre lassédans ette atégorie.Sonauteurfait

l'hypo-thèsequ'un seulsystèmede glissementesta tifpargrainetpostulequ'iln'yapas amorçage

de ssure en fatigue en un point si en e point les ontraintes mésos opiques, dans l'état

adapté,ne violentpas un ritèrede plasti ité.Enplus dela issionmésos opique,Dang-Van

suppose quel'amorçage d'unessure de fatigue à lalimited'enduran e est inuen éepar la

ontrainte hydrostatique mésos opique. Une des ription détaillée de e ritère, ainsi que la

formulationde Papadopoulos [101, 103℄, quien dé oule, est présentéen annexe 1.

Formulationsglobale

Les ritères formulés selon une appro he globale ne reposent pas sur une base physique

ommune. Certaines formulations font intervenir des invariants du tenseur des ontraintes

ou du tenseur déviateur des ontraintes, d'autres utilisentla moyenne quadratique d'un

pa-ramètre d'endommagement qui leur est propre. La partie ommune à es formulations qui

leur onfère un ara tère global est qu'elles prennent en ompte les paramètres

d'endom-magement relatifs à tous les plans matériels possibles et non à un seul, dit plan ritique.

Certains auteursutilisentle quali atifd'appro he intégrale.

Le ritère de Crossland [24℄, détaillé en annexe 1, a été formulé à la suite d'une grande

ampagned'essaismettanten éviden el'inuen enotablede la ontraintehydrostatiquesur

la tenue en fatigue des métaux. Sa formulation fait intervenir une ombinaison linéaire de

l'amplitude de la ission o taédrale et du maximum sur une période de hargement de la

ontraintehydrostatique.

Formulationsénergétiques CommeproposéparMa haetSonsino[78℄,les ritères

éner-gétiques peuvent être divisés en trois groupes, selon le type de densité volumique d'énergie

de déformation onsidérée par y le :

3

(23)

ritèresbasés sur l'énergieélastique,

ritèresbasés sur l'énergieplastique,

ritèresbasés sur une somme des énergies élastiques et plastiques.

Les ritères basés sur l'énergie de déformation élastique peuvent être utilisés en fatigue à

grand nombre de y les

N & 5.10

4

ou

10

5

y les alors que les ritères basés sur l'énergiede

déformationplastiquesontplusappropriésàlafatigueoligo y lique(faiblenombrede y les,

N . 10

4

à

5.10

4

y les). Les ritèresbaséssur lasommedes énergies élastiquesetplastiques

peuvent, a priori, s'appliqueraussi bien sur des nombresde y les faiblesou grands.

Le ritèred'Ellyin[76℄,[37℄aétéélaborédansle adredetravauxsurlafatigueoligo y lique

avantqueson auteuren propose une extensionàlafatigue àgrandnombrede y les. Ellyin

postule quel'endommagementest induit parl'énergiede déformationplastiquesur un y le

de hargement et propose la onstru tion d'une ourbe maîtresse en faisant oïn ider les

parties supérieures des bou les ontrainte-déformation stabilisées. Une présentation de e

ritère est donné en annexe 1.

Appro he volumique

Toutes les appro hes présentées rapidement jusqu'i i onsidèrent uniquement l'état de

ontrainte et de déformation en un point. L'eet, sur la limite d'enduran e, des gradients

de ontraintes et de déformations, ou plus pré isément de la répartition volumique des

ontraintes et déformations, n'est pas pris en ompte. Ces ritères ne peuvent don pas

prévoir, par exemple, lesdiéren es de limite d'enduran e bien onnues expérimentalement

entre les hargements de tra tion, exion rotative et exion plane [8, 9, 94℄. Les diérents

ritères basés sur une appro he volumique tentent de remédier à es défauts.

Pour l'appro he volumique, on diéren ie les formulations en ontraintes, proposés par

exemple par Kuguel [70℄, puis Sonsino [120℄, en énergie, omme le ritère du LAMEFIP

[49, 94, 97, 98, 8℄, et elle utilisant le hangement d'é helle mésos opique-ma ros opique,

développée par Palin-Lu et Morel [88℄. La version du ritère du LAMEFIP proposée par

Banvillet [8℄est présentée en annexe 1.

Les diérents types de ritèresde fatigue multiaxialeprésentés pré édemmentsont

(24)

PSfragrepla ements Appro he Formulation Pon tuelle Volumique Empirique Plan ritique Globale Energétique Energétique Contrainte Changement d'é helle Mésos opique Ma ros opique Elastique Plastique Totale

Fig. 1.4 Diérents niveaux de lassi ation des ritères de fatigue multiaxiale.

1.3.3 Constatations expérimentales en fatigue multiaxiale

Cettepartieprésentelesprin ipales onstatationsexpérimentales itéesdanslalittérature

etgénéralementadmisesenfatiguemultiaxialeàgrandeduréedevie(audelàd'environ5.10

4

y les) pour les métaux. Celles- i sont lassées en fon tion du ou des paramètres inuents

(ou non inuentsselonle as) sur lalimitede fatigue.Un ritèrepertinentdoit don vérier

es observations.

Contrainte hydrostatique

Plusieurs auteurs dont Sines [116℄ et Crossland [24℄ onstatent une inuen e non

né-gligeablede la ontraintehydrostatique moyennesurlalimited'enduran e des

maté-riaux métalliques.En eet, une ontrainte hydrostatique moyenne positive (tra tion) aune

inuen e néfaste sur la durée de vie des matériaux alors qu'une ontrainte hydrostatique

moyenne négative( ompression)augmentela résistan een fatigue (jusqu'à un ertainpoint

di ile àdénir et àdéterminer expérimentalement).

Cisaillementmoyen

Sines [116℄ observe également sur de nombreux a iers du tiles, aluminium, uivres et

(25)

d'enduran e en torsion lorsque le isaillementmaximum reste inférieur à environ80% de la

limite d'élasti ité en torsion du matériau(gure1.5). Lorsque

τ

D

max

/τ

y

> 0.8

,l'amplitude du isaillementadmissiblediminue(gure1.5).Plusré emment,WangetMiller[132℄soulignent

que e isaillement moyen ne doit pas être négligé dans un al ul prévisionnel de durée de

vie.EnnDavoli[28℄arriveauxmêmes on lusions,après avoirre ensés de nombreuxessais

ave un hargementmoyen de torsion sur diérents matériaux (gure1.6).

Fig.1.5 Inuen e du isaillementmaximum sur lalimited'enduran e en torsionpour des

métaux du tiles,d'après Sines [116℄.

Fig.1.6 Inuen e du isaillementmaximum sur lalimited'enduran e en torsionpour des

(26)

Déphasage en exion-torsion

Enexion ettorsion ombinées àgrande durée de vie, Simbürger [115℄ etFroustey [47℄,

entre autres, observent une inuen e négligeable sur la limite d'enduran e du

dé-phasage entre les ontraintes de exion et de torsion. Ré emment, Sonsino [119℄ a

mis en éviden e une sensibilité au déphasage des limites de fatigue, en fon tion du mode

d'asservissement desessais(eorts imposésoudéformationsimposées)mais enenduran e

li-mitée.Selonlui,l'inuen edudéphasagesembleêtreliéeautravaildedéformationplastique

dissipé. Une méthode de prévision de durée de vie appli able en fatigue oligo y lique, doit

né essairement relater son eet. Cependant e point reste hors de notre domaine d'étude

(nous onsidérons des durées de vie, N

&

5.10

4

y les).

Déphasage en tra tion biaxiale

Pour des essais de tra tion et pression interne sur tubes min es (i.e. : pour un état

de tra tion biaxiale), M Diarmind [83℄ et Dietmann [30℄ onstatent un eet variable

du déphasage entre les ontraintes prin ipales sur les limites d'enduran e, plus

ou moins marqué en fon tion de la du tilité du métal. Pour un a ier du tile, une

augmentation du déphasage diminuera larésistan e en fatigue; alors que pour un matériau

fragile, ette même augmentation engendrera un a roissement de la tenue en fatigue. Cet

onstatation aété vériée par de nombreux résultatsexpérimentaux[30℄, [83℄.

Forme du hargement

Entra tionuniaxiale les essais de Mielke [84℄, montrent qu'iln'y a pas d'inuen e de la

formedu y le de hargement(sinus, trapèze, triangle)sur lalimited'enduran e. Des essais

de tra tion ompression(

R

σ

=-1)réaliséspar Banvillet [8℄sur des éprouvettes lisses en fonte mettent en éviden e qu'àdes niveaux de ontraintes menantà des durées de vie voisines de

10

5

y les,l'eet delaformedu y lede hargementsur laduréede vien'estpassigni atif.

Par ontre, si l'état de ontrainte est non proportionnel, Dietmann et al [30℄ mettent en

éviden e une inuen e notable, sur leslimites de fatigue, de la formedu hargement. C'est

plus pré isément la formedu trajet de hargement qui a alors probablement un eet sur la

durée de vie.

Chargement moyen

D'aprèsGough etPollard[56℄, un hargement moyen de torsionsans hargementalterné

de torsion, n'aura pas d'inuen e sur la limite d'enduran e en exion plane alternée

symé-trique. Selon les résultats d'essais de Froustey [47℄ sur l'a ier 30NiCrMo16, un hargement

moyen de exionplane sans hargement alternéde même nature,n'aura pas d'inuen esur

la limite d'enduran e en torsion alternée symétrique. Cependant, ette onstatation

expé-rimentale est ontredite par des essais réalisés par Gough [56℄ sur l'a ier S65. Cet auteur

note une hute de plus de 20% de lalimite d'enduran e de torsion.Hohenemser [65℄a noté

l'inuen e notable d'un hargement moyen de tra tion, sans hargement alterné du même

(27)

Type de solli itation

La diéren eentre leslimitesd'enduran e des diérentes solli itations aété mise en

évi-den e par Massonnet [80℄ dès 1955 sur un a ier mi-dur à 0,35% de arbone. Barrault et

Lasserre [10℄, Froustey [47℄et Benneba h [12℄ ontégalement mise ne éviden e un é art de 6

à 7% entre les limites d'enduran e en exion planeet exion rotativealternées symétriques

selonlesmatériauxtestés(a ier35CrMo4et30NiCrMo16,fonteEN-GJS800-2).

Papadopou-loset Panoskaltsis [105℄ ont également montré ladiéren e entre les limitesd'enduran e en

tra tionetexionplanepourlesmétaux.Cesauteursen on luentquelalimited'enduran e

dépend de la répartition des ontraintes dans lematériau[8, 9,94, 105℄.

Eet d'é helle et de gradient de ontraintes

EnanalysantlesdonnéesexpérimentalesdePogoretskiietKarpenko,PhillipsetHeywood

[107℄, Papadopoulos et al. [105℄ montrent que l'eet du gradient de ontrainte pur (i.e.

l'eet de distributionvolumiquedes ontraintes) est plus importantquel'eet d'é helleseul

[105,15℄.Deplus,iln'estpassusant de ara tériseruneentailleave son fa teurthéorique

de on entrationde ontrainteKt[106℄ etson fa teur ee tifde on entration de ontrainte

Kf [14℄. Eneet, pour deux piè es ave des géométriesdiérentes, es fa teurs peuvent être

identiques même si les limites de fatigue expérimentales sont diérentes [108℄. Il est don

importantque les ritères de fatigue prennent en ompte l'eet de larépartition volumique

des ontraintes sur larésistan e à lafatigue.

Cy les de ontraintes d'une amplitude inférieure à la limite d'enduran e

Plusieurs auteurs[94℄,[99℄,[114℄,[123℄ soulignent queles y les de ontraintes alternées

symétriquesayantuneamplitudeinférieureàlalimited'enduran e dumatériaupeuvent

par-ti iperàunediminutionnotabledeladuréede viedelapiè e.Cesauteursparlentd'unseuil

empirique généralement situé entre 50% et 80% (selon les matériaux) de la limite

d'endu-ran e onventionnelleen tra tion

σ

D

−1

. Mais ette onstatationne on ernepas dire tement les ritèresdefatiguedontlebutestessentiellementdeprévoirlarésistan eàlafatigued'une

piè e pour un nombre de y les xé (au delà d'environ 5.10

4

à 10

5

y les); elle on erne le

al ul de durée de vie sous hargements d'amplitude variable. Nous y reviendrons dans la

suite de e hapitre.

1.3.4 Analyse des ritères

De nombreuses études bibliographiquesont déjà été réaliséeset publiées. Papadopoulos

[104,102℄aréaliséuneanalysethéorique ritiqued'ungrandnombredeformulations.Robert

[112℄, Fogue [45℄et Weber [135℄ont testé laqualité des prévisions de ertains ritères en les

omparant à un ensemble important de résultats expérimentaux. On peut aussi iter les

analyses de Dubar [33℄, Galtier[50℄, Benneba h [12℄.

Dans un sou i de synthèse, le tableau1.2 regroupeles sensibilités de quelques ritères à

(28)

Critères Noninuen e Sensible Non inuen e distin tion des solli itations

de

φ

entre

σ

et

τ

à

Σ

Hmoy

de

τ

moy

mé aniques (tra , expl, rot)

Crossland Non Oui Oui Non

Dang-Van Non Oui Oui Non

Papadopoulos Oui Oui Oui Non

Morel Oui (*) Oui Oui Non

LAMEFIP Oui Oui Oui (**) Oui

Tab. 1.2 Cara téristiques des ritères.

(*) Analytiquement, pour le ritère de Morel, il y a une inuen e du déphasage entre

tra tion (ou exion) et torsion mais numériquement ette inuen e est faible et en a ord

ave lesrésultats d'essais ompte-tenudes dispersions expérimentales [8℄.

(**) Négligeable si

τ

D

max

.

0, 8τ

y

mais inuen e si

τ

max

&

0, 8τ

y

[9℄ e qui est ohérent ave les onstatations de Sines [116℄.

Papadopoulos[104,102℄ s'estintéresséàlaprévisionpardiérents ritèresdel'eet d'un

déphasage entre des solli itationsde exion ettorsion ombinées.A l'aide de onfrontations

prévision/expérien e,ilmontrequeles ritèresdeDang-Van,CrosslandetSinessontsensibles

à e déphasage ontrairement aux résultatsd'essaispour lesgrandesdurées de vie [47℄. Son

ritère, par ontre, n'y est pas sensible tout omme eluidu LAMEFIP.

Fogue [45℄ et Weber [135℄ ont her hé à distinguer les ritères suivant le trajet de

har-gement(proportionnelounon proportionnel).Pour lestrajets proportionnels, lesprévisions

des ritères sont assez satisfaisantes ave des degrés de performan e variable. Ce sont les

trajets de hargement non proportionnels les plus dis riminants. Dans es as, l'évolution

des dire tions prin ipales au ours du temps doit être prise en ompte; généralement les

plans d'amorçagesont alors multiples.Lesauteurs onstatent quepour des trajets non

pro-portionnelsau undes ritèrestestés(dontCrossland, Sines,Papadopoulos,Dang-Van) n'est

satisfaisant.

D'autrepart,pouruneappli ationenbureaud'études,lenombredeparamètresà

identi-er etlenombrede donnéesexpérimentalesde référen epourappliquerun ritèrede fatigue

estunparamètreimportant.Cenombrerendsouvent omptede la omplexitédesdiérentes

méthodes.

−1

Tab. 1.3 Données né essaires àl'identi ationdes paramètres de quelques ritères.

Comme ela est expliqué en annexe 1,le ritèredu LAMEFIPpermet de diéren ier les

hargements. Pour appliquer un ritère basé sur une appro he pon tuelle, un hoix entre

les limites d'enduran e de tra tion, exion plane ou exion rotative est obligatoire pour

déterminer son seuil. Ce hoix peut sensiblement modier le seuil de non ssuration des

ritères étant donné les diéren es notables entre les limites d'enduran es uniaxiales (voir

(29)

1.4 Les lois de umul d'endommagement en fatigue

Malgré l'abondan e des travauxde re her he sur lesujet, au une loide umul

d'endom-magement,ànotre onnaissan e,nefaitl'unanimité.LaloideMiner[85℄estd'uneutilisation

très répandue en raison de sa simpli ité et de sa fa ilité de mise en ÷uvre an de traiter

le as des séquen es de hargement d'amplitudevariable. Pourtant, elle présenteun ertain

nombred'in onvénients(voirannexe 2).Lesinsusan esde laloide Miner ont onduitàla

réationde nouvelles loisd'endommagement,la plupartnon linéaires, ommel'appro he de

l'ONERA[21, 77℄.

Dans la suite de ette partie, une attention sera apportée à la lassi ation des diérentes

loisd'endommagement.

1.4.1 Classi ation des lois de umul d'endommagement

Nous avons hoisi de lasser les lois de umul d'endommagement selon leurs bases

phy-siques et les on epts utilisés. Pour ela trois niveaux de lassementont été dénis : letype

d'appro he, l'é helle du dommage par fatigue et labase physique de la loi.

Diérents types d'appro he

Les lois d'endommagement en fatigue appartiennent à l'une ou l'autre des quatre

ap-pro hes suivantes, qui ara térisent ladémar he utilisée pour dé rirel'endommagementpar

fatigue :

L'appro he empirique : les lois relevant de ette appro he reposent sur des résultats

expérimentauxobtenuspourdes solli itationsetdes matériauxspé iques.C'est

prin- ipalementle as des lois développées avant 1970.

L'appro he phénoménologique: esloissesontdéveloppées ave lesprogrèste hniques

qui permettent d'observer et de quantier ave une grande pré ision ertains

para-mètres indi ateurs du dommage tels que les extrusions, les bandes de glissement, la

longueur de ssure, et ...Elles tentent d'expliquer au mieux le mé anisme

d'endom-magementdu matériauàl'aide de l'évolutionde es paramètres.

L'appro he dite on eptuelle :lesloisde ette atégorieontlaparti ularitéd'émettre

des postulats( ou he super ielle dur iedu métal (Kamer[69℄), notion de ontrainte

interneinférieureà la ontrainteréellementappliquée(MatsudaetIkai[81℄),

déforma-tion plastique umulée représentative du dommage du matériau(Azari [7℄), et ...).

Diérentes é helles

L'endommagement par fatigue d'un métal est, par dénition, l'altération progressive de

ses propriétés physiques et mé aniques pouvant onduire à sa rupture suite à l'appli ation

d'une solli itation u tuante. Ce phénomène est quantié le plus souvent par la mesure de

la longueur de la ssure amor ée qui se propage. Deux niveaux de mesure sont utilisés par

les auteurs pour traduire lesdommages àl'é helle mésos opique (ssures ourtesde l'ordre

de ladizaine de mi romètres) età l'é helle ma ros opique(ssure dite longue de l'ordredu

millimètre). Selon nous, es deux é helles onstituent un niveau de lassement des lois de

(30)

Bases physiques

Quellesquesoientl'appro heetl'é helleretenue, haqueloid'endommagementenfatigue

a une base (ou une justi ation) physique spé ique. Parmi l'ensemble des lois re ensées,

nous distinguons inq types oumodèlesde bases physiques :

Lesmodèlesdé rivant lapropagationde ssure : ilspermettentnotammentde dé rire

les phénomènes de retard de propagation et revêtent un intérêt marqué dès lors que

la roissan e du dommage est dire tement liéeà l'évolution des paramètres physiques

de la propagation, omme l'a roissement de la longueur de ssure par exemple. Ils

relèventen généralde lamé anique linéairede laruptureetsont pour l'essentielbasés

sur l'intégrationd'une expression de la vitesse de propagationde la ssure.

Lesmodèles de variationde lalimited'enduran e du matériau: es modèles postulent

une évolution de lalimited'enduran e du matériauau oursde savie,en fon tiondes

niveaux su essifs du hargement etde leur intera tion.

Les modèles d'évolution de ourbe S-N du matériau : es modèles sont également

basés sur une intera tion des niveaux su essifs du hargement. Ils introduisent une

modi ation des ourbes S-N du matériau, ette modi ation étant liée aux niveaux

de ontrainte ren ontrés età leur ordre d'apparition(eet de séquen e). Ladiéren e

ave la atégorie pré édente est que la limite d'enduran e du matériau n'est pas la

seule donnée de fatigue ae tée, 'est toute la ourbeS-N qui est i imodiée.

Lesmodèles d'endommagement ontinu,lesquels sont souventasso iés àune

déforma-tion plastique umulée. Initiés au départ pour dé rire le phénomène du uage, ils ont

été étendus audommage par fatigue.

Les modèles basés sur l'énergie de déformation souvent élaborés en fatigue

oligo y- lique, puis étendus en fatigue à grandedurée de vie.

Synthèse

Lagure 1.7ré apitule la lassi ation proposée pour des lois d'endommagementen

fa-tigue.

Il faut toutefois remarquer qu'il n'existe guère de frontière stri te entre es diérentes

atégories. Certains modèles, omme eluide l'ONERA, sont hybrides d'une ertaine façon,

'est à dire qu'ils peuvent être ratta hés par ertains aspe ts à plusieurs des atégories

(31)

PSfrag repla ements Appro he E helle Base physique Phénoménologique Empirique Con eptuelle Analytique Mésos opique Ma ros opique Energiede déformation Propagationde ssure Variationde la limite d'enduran e Evolution de la ourbe S-N Endommagement ontinu

Fig.1.7 Diérentsniveaux de lassi ation des lois de umuld'endommagement.

1.4.2 Analyse des lois d'endommagement

Fatemi et Yang [40℄ ont re ensé un nombre onsidérable de loide umul

d'endommage-mentdanslalittérature.Dans ettepartie,nousavons hoiside présentéuneanalyse ritique

de lois de umul d'endommagement en fatigue, en fon tion de leur base physique. A titre

d'exemple, une voire deux loisde haque atégorie est dis uté:

énergiede déformation: loide Miner [85℄ etd'Ellyin [76℄,

propagationde ssure :loi de Manson et al.[121℄,

variationde la limited'enduran e :loi de Henry [63℄,

évolution de la ourbe de Wöhler : loide Subramanyan[122℄,

endommagement ontinu: loi de l'ONERA[21, 77℄.

La formulation de ha une de es lois est détailléeen annexe 2.

Pour onstruitenotreanalyse,uneattentionparti ulièreestportéesurlespointssuivants:

le ara tère linéaire ounon de lafon tion du dommage en fatigue et de son umul,

la ontribution au dommage des petits y les de ontraintes, 'est-à-dire des y les

dontle niveau de ontrainteest inférieurouégal à lalimite d'enduran e du matériau,

l'eet de l'ordre d'appli ation des niveaux de ontrainte des diérents blo s (eet de

séquen e oueet d'histoire),

la priseen omptede la ontraintemoyenne,

la naturede lasolli itation,

ladéterminationdes prin ipauxparamètresde laloi, 'est-à-direl'identi ationde ses

paramètres d'aprèsles propriétés de base du matériauen fatigue.

La synthèse quenous proposons i-après doit permettre d'évaluer l'appli abilité des lois

(32)

Prin ipaux paramètres des lois

Letableau1.4regroupent les ara téristiquesmé aniques (aussibien monotones que

y- liques) né essairesàl'identi ationdes paramètresné essaires àl'utilisationdes diérentes

lois de umuld'endommagement traitées.

Lois de umul d'endommage-ment Ca artétistiques monotones Cara téristiques en fatigue Paramètres parti uliers Miner Courbe S-N Ellyin Courbe S-N Limite d'enduran e

N

∗

Manson Courbe S-N Constantes : p et b Henry Courbe S-N Limite d'enduran e Subramanyan Courbe S-N Limite d'enduran e ONERA Résistan e ultimeà la tra tion:

R

u

Courbe S-N Limite d'enduran e Paramètres :

α

,

β

,

M

0

Tab.1.4Ré apitulatifdesparamètresné essairesàl'utilisationdesloisd'endommagement

pour laprévision des durées de vie en fatigue.

Domaine d'appli ation

Nousavons onstaté au oursde ette étudeque lesbasesphysiques dièrent d'uneloià

uneautre.Aussi,laplupartde esloisne sontpasappli ablesàtouttypede hargement.Les

ongurations des hargementspour lesquelles es loissont apriori appli ablessont o hées

dans les tableaux1.5 et1.6.

Lois de umul d'endommage-ment Evolution non linéairedu dommage Histoire du hargement Contrainte moyenne Miner Ellyin X X X Manson X X Henry X X X Subramanyan X X X ONERA X X X