Etude théorique d'une diffusion en onde S dans l'optique de l'équation de Klein-Gordon.

DANS L'OPTIQUE DE L'EQUATION DE KLEIN-GORDON

par

Henri-François Gautrin, B.A., B.Sc •

•

Th~se sotmlise à la "Faculty of Graduate Studies and Research11 _{pour l'obtention de la Mdtrise ~s Sciences.}

Département de Physique, Université McGill,

TABLE DES MATIERES

Introduction

Che.pitre I

Le Potentiel dans 1 •Equation de Klein-Gordon

Chapitre II

Séparation de l'Equation de Klein-Gordon

Chapitre III

Rela.tion entre la S eotion E.ffioaoe et la Différence de Phase

Chapitre IV

Justification Mathématique du Problème

Conclusion Bibliographie Remerciements i 1 6 10

17

35

36

40

INTRODUCTION

Depuis la production artificielle de pions par Lattes et Gardner A Berkeley, un nombre considérable d'expériences de diffusion de Meson par des nucléons a été réalisé. Nombre de théories, en particulier dans le domaine de la théorie des champs ont été mises sur pied pour expliquer l'interaction pions-nucléons. Citons simplement les travaux de Gell-ma.n et Watson (1)1 Fermi(2)1 Chew(.3), Mandelstan (4)

et autres.

Ce travail fait partie d1_{une étude détaillée de l'interaction} pions-nucléons, entreprise par le Professeur.Morris et ses étudiants gradués, dans l'optique de la mécanique quantique relativiste. Nous cherchons, en fait, à construire un potentiel qui pourra rendre eômpte

•

des différentes expériences de diffusion ~ - N). Le présent travail se limitera uniquement au cas d1_{une diffusion en ondes S avec}

isospin de .3/2 (cas1n(~- P).

En suivant un article de Sal<:urai (5) nous tenterons de préciser dans une premi~re partie de quelle mani~re nous pouvons introduire un potentiel dans l'équation de Klein-Gordon.

Dans une seconde partie nous montrerons comment une telle équation est sép~rable, et quelle relation elle entraîne dans un problème de

diffusion entre les sections efficaces différentielles et les différences de phases. Ceci nous permettra de montrer comment 11_{on peut faire}

ii

l'analyse des résultats expérimentaux ( fournis sous forme de sections efficaces) en termes de différence de phase et de préciser les ambi-guités résultant d'un tel calcul.

Dans une troisième partie nous montrerons que, si l'on veut que la fonction d'onde possède une forme asymptotique

( >"- ..

~

)

où~

est une différence de phase, i l faut imposer certaines restric-tions sur le choix du potentiel, restricrestric-tions qui entre autre éliminent le potentiel de Yukawa comme potentiel possible. Nous essayerons

ensuite de généraliser le théorème de Levinson, au cas de l'équation de Klein-Gordon de manière à prouver l'unicité, si ce potentiel satisfait

à d'autres restrictions, du potentiel déterminé à partir de la diffé-renee de phase. Ceci justifiera alors mathématiquement notre problème. La méthode logique pour résÔudre celui-ci serait d'utiliser les méthodes du problème inverse de la théorie de la diffusion; soit en généralisant la méthode d1_{Agranovitch et Marchenko (8) soit en appliquant la méthode} de Corinaldesi

(9).

J'ai longuement essayé de généraliser la première méthode, qui a son fondement dans le fait suivant: la solution de l'équation de Schroedinger qui se comporte asymptotiquement comme

exp ( - i )

x),

(i.e. la fonction de Jost), est la transformée de Fourier du noyau résolvant de l'équation intégrale associée à l'équation de

Schroedinger. Un tel fait n'a pas d'équivalent dans le cas de l'équation de Klein-Gordon. Pour ce qui a trait à la méthode de Corinaldesi, bien qu'elle soit valable théoriquement, elle est pratiquement inutilisable

dans notre cas, car elle requiert la solution d'une double équation intégrale.

Pour résoudre le probl~e notre équipe a préféré utiliser une méthode plus effective, en arrêtant son choix sur un certain nombre de potentiel acceptable et en faisant ensuite varier les param~tres

pour rejoindre au mieux les courbes expérimentales.

Notons que tout au cours de ce travail, à moins qu'il ne soit fait mention contraire, nous utilisons un eyst~e d'unité tel que

c

-

-et tel que m

-

-1 1 1

..

L'unité de longueur sera alors la longueur d1_{onde de Compton pour le} pion

1{

à savoir:

1.413

lo-

13

cm~

L'unité de masse sera égale

A 133.7

Mev.

Notons aussi pour finir que dans notre probl~me le proton cible est consi-déré comme au repos dans le STStème d •axe du laboratoire.

1

CHAPITRE I

Le Potentiel dans L'Equation de Klein-Gordon

Les mesons~, étant des particules relativistes de spin

sont décris pa.r l'équation de Klein-Gordon. Nous sormnes intéressés

à bâtir un potentiel radial"

(~)

qui, introduit dans cette équation, produisait une différence de phase, identique à celle calculée à partir des données expérimentalès •.

Mais comment introduire un potentiel dans l'équation de Klein-Gordon? Parfois d'aucun font le raisonnement suivant:

L'énergie relativiste d'une particule libre est donnée par:

E.

-

-• (1-1)

Si la pa.rticule est liée son énergie sera égale à son énergie libre son énergie potentielle.

E

-

_-

(1-2)

A mon sens ce raisonnement, même s'il donne un rés.ultat auquel nous finirons par nous rallier, est erroné. En effet, la formule (l-1) n'est valide que s'il existe lié à la particule un système galiléen dans lequel

'P:

Q • Si la particule subit 11 _{influence d'un}

.

.

n

est rernarquable qu'un potentiel peut être introduit très

facilement dans l'équation de Klein-Gordon; c'est le potentiel électre-magnétique. En effet on montre aisément que, dans ce cas l'Hamiltonien classique est obtenu en

remplaçant?~

par (

'P~.

q,

Ap

)(où

? /"'

est

le quadrivecteur impulsion et

R

~

le quadrivecteur potentiel). Ceci est dü au fait que le potentiel ~~ est défini à une transformation de gauge près. On peut généraliser ceci au cas quantique et l'on obtient. l'équation de Klein-Gordon avec potentiel électromagnétique.

(1-3)

C1_{est en raisonnant par analogie avec le cas électromagnétique que} Yang-Mills(l4) d'abord, Fujii (15), Sakurai (16) et Ne1_{Eman (17) ensuite,}

ont essayé de bâtir un modèle pour les interactions dont fait partie

.

l'interaction~-

1: .

Sakurai a d •abord remarqué qu'une particule pouvait être caractérisé

par trois quantités: le spin isotopique, 11_{hypercharge et la~harge baryonique.}

Le fait qu'il y ait conservation de ces trois quantités dans les interac-tions faites peut être exprimé en récl~mant que la fonction d'onde soit invariante sous une transformation du type

(1-4)

3

spin isotopique:

~

est une suivant que

N

représente la

const8nte réelle ou un vecteur constant charge baryonique et l 1_{hypercharge ou} le spin isotopique.

~

est indépendant de l'espace-temps. Hais la phase relative de deux points de l'espace tenps séparé par une distance du .~enre espace est arbitraire. Pourquoi alors ne pas prendre pour

des valeurs indépendantes à deux points distincts de l'espace temps? Pourquoi devoir appliquer le même

e,.c.~

\.

~

•

à tous les états baryoniques simultanément dans l'univers? Une telle procédure nous force à croire à l'action à distance. Pourquoi donc un tel change-ment n'aurait-il pas un caractère local? Telles sont les questions que se sont posées Yang et l-iills (14) pour le spin isotopique et 3akurai (16) pour la charge baryonique et 11_hypercharge.

En électrodynamique quantique il est bien connu que l'on peut faire un changement de phasê indépendant à chaque point de l'espace-temps. Supposons que nous ne connaissomrien au sujet du quadrivec-teur

'11jt-- •

Alors si nous demandons que la tranfonnation de gauge, qui conduit à l'invariance de la charge électrique, ait un caractère local, nous devons introduire un nouveau quadrivecteur, qui doit être identifié avec~, couplé universellement au courant construit à

partir du champs électrique. Ceci parce qu'une transformation du type

..

--~

r:tr

(1-6)

D'une manière analogue Yang et Mills (14) ont montré, que si 1 1_on

impose à la transformation de gauge associée au spin isotopique un caractère local, alors on doit introduire un champs vectoriel avec un isospin unité couplé universellement au courant construit

à partir de tous les champs ayant des isospins non nuls.

Sakurai a immédiatement généralisé ceci au cas de la charge baryonique et de l'hypercharge. Il en résulte trois couplages

vectoriels. Il a aussi remarqué que ce qui différencie les fermions qui interagissent fortement de ceux qui interagissent seulement

faiblement ou électromagnétiquement est précisément la charge baryonique. Sakurai propose alors que l'analogue du potentiel électrostatique

devrait être la composante longitudinale du champs baryonique.

C'est ce potentiel que nous allons essayer de déterminer pour rendre compte de l'interaction pions-nucléons.

Nous écrirons l'équation de Klein-Gordon

(1-7)

5

posons

1,2,3

I'M1"='

Nous obtenons alors l'équation habituelle

-

_-

(E-V)'-

(l-B)

ou encore en explicitant

(-A

+')

4" :

l-

~:'"

+

v

L

_ è.-

~·-~v

L \

\.fi

(1-9)

CHAPITRE II

Ëéparation de 11_{~uation de Klein-Gordon}

Nous avons obtenu au chapitre précédent l'équation

(1-9)

(. b+\) '-\': -

c.\'

'-\1""

Vl.'+'

cl.

t: \.

_

~

d!v

41) ..

~v ~

<_{2_1}>

dt:

at

Nous supposons que notre potentiel est indépendant du temps et nous écrirons

-

_-

v

d.

y.;

d.t:

Essayons de séparer cette équation en écrivant

En portant (2-3) dans (2-1) nous obtenons

(2-2)

(2-3)

+

v\

"J-

~

-

2.

ê.

v~

d

x (

2-4)

d.t

La présence du tenue

2. L.

V~ ~!

nous empi!che de séparer

•

•

7

utiliser un argument d1_{ordre ph1sique:}

Les solutions que nous cherchons doivent représenter des états stationnaires; leurs dépendances temporelles doivent donc être de la forme

-e"-~

\ -

~

E'!: \

où

E

est le nombre quantique" énergie

1

~arac­

térisant ces états. Nous avons alors

-

~,(.~

l-

C:

E

~ ~

O.

~

-t

~--~

(-

~

S'

1:

~

4> :

t}

E

t

~r ~

. .:

r

t-1

+

\J'"'

Q..c.~ ~- ~

fi"

t \

<P -

2.

F:

v

e~r

l·

~

t'ë:'

<P

(2-5)

ou encore (2-6) Posons maintenant

--

E

'l.-

l

Nous obtenons alors

(2-7)

Nous allons maintenant supposer que le potentiel est radial, et alors séparer la partie radiale

de~

de la partiè angulaire,

Posons

(2-8)

La partie angulaire satisfait l'équation

..e(.e+•)Y=

l- '

~ ~~M. a~

~~a ~.:J

ùe

-

\

~\.

\ v

\ (2-9)

s.:*'Â ...

e

~

\.5{"

dont les solutions sont des harmoniques sphériques. La partie radiale

~.,t

satisfait l'équation

•

\ \llo

e\

_cll\,...

'-Il· -

,.e (

~+')

}

R.~

1"1.. ...

•

•

~~ ~.t

-

-

URI(

_(2-10)

Posons

2Jt

-

-

JL.

f<-t

- (2-U)

Nous obtenons en partant ( 2-10) dans ( 2"'~'11)

~l.2-t_.e(~"'') 2.~ ~~l.Z-t: U2~

(2-12)

cl

h.. \.

Jl..l.

9

et dans le cas d 1_{une diffusion en onde}

S

u

z..

c

_(2-13)

•

•

•

CHAPTI&S III

Relation entre la Section Efficace et la Différence de Phase

Expérimentalement les résultats d'une expérience de diffusion sont donnés sous forme de section efficace différentielle; d'autre part on montrera dans le chapitre suivant que la connaissance de la différence de phase détermine uniqua~ent le potentiel. C1_{est pour}

cette raison qu'il est intéressant d'exprimer les sections efficaces en terme de différence de phase. On peut montrer (18) en se basant sur des argwaents d'ordre physique que la fonction d1_{onde d}1_un

problè.11e de diffusion devra avoir à la limite (i.e. pour

\~\~()0

)

la forme

-

-où }

_,

-~

)

e

..c..~

\

~

t,( •

~

\

~ ~

(

~)

-e

~

p { ..:

t.( Jl.

u

-l

(3-1)

La section différentielle sera donnée par l'expression

-..

(3-2)

choisissons l'axeZ. dans la direction du faisceau incident. Le potentiel diffuseur étant supposé radial la fonction d'onde pourra

•

•

l l s'écrire

rb (

~>)

_-

-,.e:o

(3-3)

où

?{ (

~

S ) est le polynôme de Legendre de degré

.e

etZ.~

satisfait l'équation différentielle trouvée précéden~ent.

:::: 0

_(3-4)

on

~ontrera

dans le chapitre suivant que si le potentiel

\1'

satis-fait à certaines conditions qu'il y aura lieu de préciser. Alors l'équation (3-4) aura une s?lution asymptotique.

2...~

,..,

c~ ~-=

....

~

..\..._ •

~

4

~t

\

tt,.->oo

(3-5)

La phase -

f-tt

/'a.

est introduite pour rendre compte du terme

{ ( -f.

+

l )/

lt. \.

et le terme

6.11.

pour rendre compte du potentiel

V

(3-5)

peut s'écrire en tenant compte des formules d1_Euler.

c

~

l ((. ...

~ ~ ~

\("'"-

~ ~ ~ ~ s~

\

l~ ~

•

•

Par ailleurs l'onde plane Q.,t.

'f \ \( •

~

peut sr exprimer sous la forme

)( 'P-t (

((14 (El>)) {3-7)

où

Ue

t11.\ :

le~··\

4 ;}

~~

t

l.(~~o)

(3-8)

~

l \

11 ième

àt

~~étant la fonction de Bessel du ~ ordre •

(3-8)

devient

(-?

~

• ' )

~

.u.r \

~

\(

~~,

\

,. -'>

00

.e \(

~

Un processus de diffusion ne produira que des ondes dites

11 _sortantes 11_{; d 'où toutes les parties "entrantes" de}

2. (

_doivent

provenir de

~""f

\

C.:.

-~.

Ïra.., \

En

identifiant les parties correspondantes de

(3-6)

et

(3-9)

nous obtenons:

•

•

Nous avons alors en portant (3-10) dans (3-6)

2.

~

= (

~ ~

.. ,)

l

e,.,f

~

{\,(Il

~ ~

St \

.a~.:.

\

_ ./Ur-'\

-<"'~etr~ ~

(3-lll

Isolons maintenant la contribution de

-.e"~..:

lt('Jt

/1\.

à l 1_onde

Z<

en écrivant

(3-12)

'~étant

alors la contribution de

1 (

6>

~

E..t

f ,; \(

1\..

/1\.

~

: 2

e ..

ù

< :

t '

~ ~

, )

~

..t

~

c:

s~

' 1.(

~

En portant

21(.

dans {3-3) nous avons

ft~):

./

'lt.Q (:.:> oc

\J(

l~t.

\

'?"'

t'~

e)

~

.., L

'.!1_

?~

(co-6e)

teo

4.. (.3-1.3)

(3-14)

, La première partie rend compte de l'onde plane incidente et le second terme de l'onde "sortante".

Identifiant avec (3-1) nous trouvons

(3-15)

•

•

Faisons une expansion en série de Legendre

~

!

t

s) :

L

cs.

'Ç>l (

c.~

$}

t

s- •, )

) I l )

C-:. :

t

S,4-

'l"~ J~(&) ?~.t~e

\

!>.;,..&cle(J-18)

La

co~~aissance

expériementale de

Jf

(~)

entratne donc la connaissance de

Cs.

A partir de

(3-15)

nous obtenons

~

\ i

te) \

l. ::

~

...

d

(

t

~

+') (

t2"' ,, )

~~~ ~""

W\1 Y\aO

En égalant

(3-19)

et

(3-17)

nous obtenons~

OQ l

c

L

c~ '?~ (~e.)

: \\.

~'-"'·"="

-s.:o

~

( 2. \\

+ \ )

~ ~M ~ ~

!> .,:

144

sV.

~

t

sM •

b " )

x?Y\

(~e)

9'"

t~

s)

(3-20) Rappelons la relation entre ~e~ polynômes de Legendre

f.\\VI. " " " ' " '

~W\

(

~)

? ..

t'a)

=

2

C\

~-"-

A"'-

C\\1\.""-rt..

=

0 'Ç.\ ""' ... " • "' )t

(~~J\

..

t~-4~•')

?w..-.W\·IL('z.)c3-21)

z.

"W\

+

a"

-1.-\

+'

1.3.5

····.!

2~-'

I'W\

!

•

•

Posons et (3-22)

,_,... ..

a."·\~

""'

(3-23)

En portant (3-22) et (3-23) dans (3-20) on obtient:

~ ~

?

c~

'Ç)s

l~

e):

2

a."","'

S.:

o

_~tM,~)

)t

L~W\·"•~

'?....,._ .. "'"'

(~b)<3-24)

f\ao

En identifiant les coefficients respectifs des polynômes de Legendre nous obtenons

~

- Cs:

'-?--A.-:o

(3-25)

ou, en explicitant les termes, le système d'équation:

•

6

s.: ...

~o

s.· ..

~.

""" (

S

o

.J,)

""\2.

~,·

...

~~

c;..: ...

S

~

..,..r

S,.St)

\{'Let

~ 6.b.·~'tS,

+

\o

~",~~o s--·~

S'l.

~c

So-St.)

.

.

Un tel systà~e d'équation n1_{est solvable qu}1_{en assumant que les}

valeurs de

t

~

pour i assez grand sont toutes nulles. On conçoit aisément que suivant le choix de i la valeur de

S

o

va varier.

Comme nous pouvons remarquer, si on change le signe des arguments des cosinus notre système d'équation va rester identique. C1_{est ce}

qui a donné lieu aux deux solutions, celles de Fermi et de Yang, pour· les différences de phases en onde P. Une étude de la polarisation du proton-cible a permis de déterminer que la solution de Fermi

•

17

CHAPITn.E Dl

Justification Mathématique du Problème

Ayant admis que la partie radiale de l'équation de Klein-Gordon correspond à l'équation différentielle

+

-

...

\J

\fJ

_(4-1)

nous allons étudier sous quelles conditions nous aurons une solution qui se comporte comme

Jt

à 11 _{origine et conune}

~tl.

f

~

'-< '\.

_à

l'infini.

n

arrivera que pour donner une preuve adéquate au théorème de Levinson i l soit nécessaire de prolonger

~

dans le plan complexe.

(Ceci pour calculer certaines intégrales par la méthode des résidus)

ll

aura alors la forme

1J (

).,~)-:.

<

t '>\•'

)'

1

~

V(4.)-

V\(t\)

_(4-2)

Introduisons le symbolisme:

Jo

qui signifie où Q,. est un réel quelconque et positif.

•

-Théorèr1e I Si et si

lx

\V(:ü\

ch

<..,o

1

x

v

\~)

d.ot

<

.-(4-3)

(4-4)

alors l'équation

(4-1)

a une solution qui satisfait à la condition aux bornes

(4-5)

(4-6)

est une fonction entière de ~ Preuve

(4-1), (4-5)

et

(4-6)

sont formellanent équivalents à l'équation intégrale

'tl (

JL,

~

\ ';

Il.

s..:~

>.

~

"" (

~~~

\

(Ja..~}

'>

jo

~

)( U

t'k.~)

't'Cx,

~)elle

(4-7)

Si

(4-7)

a

des

solutions alors

(4-1)

aura

une

solution satisfaisant

(4-5)

et

(4-6).

Considérons le cas où

•

nous avons alors

L

(A

1

~) ~

S'"'M

>.1\.

t.t~

\ •

~

>. "- \

avec et ~1\.. ~

.(- J

S.:M;

~-v"')

.e··r+•

'>-

t~t-x)

\

x

Q )(

\j (

':!( 1

~)

2. (

x').)

cl':( (

4-8)

Utilisons la méthode des approximations successives. Posons

(4-9)

~

z.'A

t'l,

>.) : (

~~

').

(.1\.-lr.)

e"r'-~'>.l~t

... ),

'C

Jo

).J\,

}( \.l (

1,

'> \

2 \(.\

l'le,).)

c.l

~

Hais par ailleurs nous avons les inégalités

•

--e.:.t..~

\-

~~ ~ ~

\

~

\

_(4-10)

\

"X

Sc.·V\

~~

_e.t?

~. ~

_'>-

~

_\

l :

~

J: ... "

(

_.1.:

_'1.

_{!> \}

~~

>-~ li

!S

\

(4-11)

et

\

~~""

>-

t.~~.. ~)

<a"r

l-~

>.

tJt. ... )\ \ ...

'). ~ { 1&.• ~'"

,. : \ t

)0

~

..

~ ~

•

~

.. ). ':. \

.s \

,,

~

_{\ -}

-

_~'

_(4-12)

~ (,lQ _{0 0}

?

La série ' -~:o

est donc majorée par la série

~

/)

\(:o

l

tC

où

En explicitant les termes nous obtenons:

f. :

~

{'i. ,)

1

'"

E~

V(w.)a,_ •

~:

tc,_)

a't

_(4-13)

•

En intéerant par partie formelleuent nous obtenons

f1- ::

j\

ti

lx,~\ Q\~

IX

r

-x.

til-x,}.)

cl.'lC

~ J\.

ce qui dor..ne

_ 1

-x.

U

(:x,

~ ~ ~

el':<.

En itérant ce procédé on trouve:

La série

...

--

..

-(4-14)

converge donc uniformément~ et l'on

La série

2.

converge donc aussi uniformément; nous avons:

et

•

e~t une solution satisfaisant aux conditions initiales

(4-3)

et

(4-4).

On prouverait d 1_{une manière analogue que}

'f' .

_{est défini pour}

1~ ~ ~ 0 , en utilisant un change:nent de variable du type,

Remarquons que la fonction

U (

lt,

~

)

est analytique dans le plan complexe ). du moment que 11 _{on a pris la peine d'Y faire une coupure}

de manière à rendre

\J (

"l,

~

)

monovalente. Donc

r\1(

est analytique dans le mê~e plan complexe et a fortiori puisque les séries sont uni-formément convergentes

\V (

'X ₁

>. )

Introduisons maintenant le nouveau • CoC)

qui est équivalent à

jo..

symbolisme

où

6.

est un nombre réel positif.

Théorème II Soit

(4-17)

et

(4-18)

23

-·

aux conditions aux limites

Preuve

Traitons le cas

~

$

0

(4-1) et (4-19) sont équival&nts à l'équation intégrale

•

'+;

{Il,}.~

=

<l ..

r

l-~

>.1\. \

~

r

5~

.... ).

t.,.

1\.\

- IL ').

x

\_l

l')(, ). )

lf'. ( ")(, ). )

_.

el~

(4-21) Faisons le change~ent de variable

En portant (4-22) dans (4-21) nous obtenons

_2.,

li\.,'>\: \

o4

(~,.

[ \ -

~tLf

\

~~ ~l~·~)\]

Jt\,

~\,)..

\ \ 1 _, (4-23)

successives

(4-24)

oü

et

La série est majorée par la série

L

f"'

avec

•

Po

= \

et

J:

~

...

_..

\J

(x, ). )

c\~

En effet _~

Z..tt<

'

J

1\.'i.--~

1 •.

[-x .... ]

u (

?l,

'>-)

2..\(•' """"

~

~

~~:~~

'X. .

t~

(

l:; ). )

2.

\(•t

Ô.«

,

•

est défini. Nous aurons alors <D mme dans le théorème précédent:

ce qui entraînera

..

_..

25

ceci entraîne ~

'-\1l~t

₁

').)

~ N~

\-.:

'>.11.

~ eo~.?

\

J~c.

IHw. }.)

el,..\

donc

~

(

"''-r

~

)

e..'Ciste. De plus en utilisant la propriété de conver-on voit que

~

~Z-~--~V(

et ltanalyticité de

ft.(

( Jt., } )

est analytique dans le demi plan

j""'- ).

~

0

gence uniforme de la série

On montrera d'une manière analogue que si

'J~

).

>,

0 alors une solution de la forme

'-'t;,

('a.t

~

existe.

Donc nous pouvons conclure que si le potentiel

\1

(~)satisfait

aux deux conditions

(4-25)

et

•

alors il existe une solution de (4-1) satisfaisant aux conditions aux bornes

~,

(o, ).) ::\

d'autre part si

JMA

~

::0

il existe deux solutions linéairement indépendantes

~\

_et

_'(l

qui se comportent à l'infini respec-tive:i.ent comme

Ost~

{

~ ~1\.

\ et

~ow&~)

.. -:

~lt.

\

\{) ( .f't

₁ }.. ) peut s 1 _{expr:i.rner comme combinaison linéaire de}

~

et de ' ( L. • D 1 _où

\V (

ft.,). )

_{aura le canporte:nent asymptotique}

ou en utilisant les formules d'Euler

où

b (

~)

représente une différence de phase.

Nous allons maintenant montrer que dans certaines conditions la connaissance de

S (

~)

perr.;.et de déterminer uniquement le potentiel diffuseur. Pour le cas de l'équation de Schroedinger l'étude a été faite par K. Levinson (7). Son étude peut moyennant l'introduction de

certaines coupures dans le plan complexe

~

être généralisée assez facilement au cas de l'équation de Klein-Gordon. C•est ce que nous proposons de faire maintenant •

27

Th6orène de Levinson

Soit

tJ (

k-_{1 ). )} un potentiel satisfaisant aux conditions pré-cédente-3:

(4-27)

et tel que Considérons l'équation:

cl.~~

-4-

(~l.- U(-x,>))~::o

_(4-28)

c\.~"'

avec où

.,û

et V sont réels et avec les

conditions aux bornes.

(4-29)

a le comportement asymptotique A~

V :

0

/t<.

,

il n 1 _{existe pas d} 1 _{autre potentiel}

\.J

_(X

1

~

) satisfaisant aux

alors

mêmes hypothèses que

\J (

~t)..

)

et produisant une différence de phase

S(~)

•

Preuve

Nous ne donnerons ici que les grandes lignes de la preuve. La base du théorème se trouve dans les propriétés de la fonction

On montre ai:.;ément que

f (

~)

est analytique dans le demi-plan complexe

V )_,

0

et de plus tous les zéros de

F (

~)

n'adviennent que pour des états liés de l'équation de Klein-Gor~on;

autrernent dit

\=' ( }._,)

n 1 _{a pas de zéro si}

U

(":at

1 ). ) "), 0

On montre aussi le lien qu'il y a entre

ô

t

~

et

F

(>.\

lo\

f(~\: ~~

.

\

J:

~

(o-)

_cÀt:r

-R-»~

-re

_l~-

~) et que

d.r

•

29

Ceci implique:

(4-30)

Et:

donc il y a un lien direct entre

~

et \.\ • •

Supposons qu'il existe une autre fonction:

\J

1

(

~~

}-.)

satisfaisant

~r=

t

u

1

(

t

1)..)

c.\

t:-<cO

et une équation différen-tielle:

qui ait pour solution asymptotique:E'"O\.AAJ

~

-:. ..(..(..

Il existe aussi deux solutions

2.,

et

2l.

ayant le com.porte::n.ent asymptotique

..c_,_fi'

'-\Uz

et

4l.'ilf' .-:

U '::..

Nous avons: ...

~st~\

".

St.c..) )

j:

A(~\

(

~' ~':!.,M)

(?. -

~

.. ("•"") .(!.

•

•

û

Soit

'à (

:t.) une ;t,'onction réelle différentiable telle que

\

1l~)

\ -\

\{'lx)\ :

tv\

(ccnstante) Considérons: @Q

t~, t~,>.):

.'>-

j

<~~~) J!,(f.}) ~(fjt\p

(4-32)

\=

t>.)

-\..\ ... t'<,'..\. \

..2:,,

{x,).)

l;t~,'>\~\p)df(4-33l

Ft).)

Jo

Re,-narquons que

\-\~

(

~:

\ •

~

) est une fonction analytique dans le derrri.:plan complexe '/

'>,

ù en supposant que la coupure est dans la partie

V<.

i)

Le théorème de Cauchy donne:

J

1-\è

(-x,~)

e\.

>.

"r

c

\'\

J(

l-4

~

t':;

1

M.)

doC.~.

:: "

-~

'e,:) où

Cf

est le demi-cercle de rayon R(i.e.

>:

~\l

) •

31

ainsi que:

(4-35)

En prenant le conjugé co:nplexe nous trouvons:

u~ ~

~\~)

::

--~- ~""'~

J

..-ttt-

~

t

~~)~)

c\4\

J~~1.{0M.)

1[f)

~f

~"'''- R,..)o:. -~ .. f~l~)

<4-36)

\~

"

-~,\~)

": -JL

~.

J

::~-- f~<E9~'

c\.(A.

j

tttr,M.\

0

-,"t\.

\~•">~

...

\~

\;: {AA) 0

~

•

;!

~à lf~

a

f

(4-37)

nous trouvons en portant

(4-30)

et

(4-31)

dans

(4-32):

2.

t-x,

~)

""

~-1

(

Z-a

t

-::,~)

-

f.eJ

'lr,IIA..) )

~

i

44. ~ (~\

1=

(b.\ En additionnant

(4-34)

et

(4-36)

nous avons:

et en additionnant

(4-35)

et

(4-37):

J

~A-<_

>.

2-l::t,..._\

o\"'-

J't1

({liA)

- R

P~"' fAA~ "

)t

..ll(p)

el

r

(4-39)

•

En interchangeant le rôle de \( et de

2...

dans

(4-38)

et

~

en additionnant à

(4-39)

nous obtenons:

(' ..,,,.

,{ (

~)

:

~ l~~~~

\ •'

"v~-~t.,.

\

~,~

\

t.\.t\

(~tf, <CA.\~

f

'>~

t\f

0 _'V{

~-?0:::)

_{J•h f--i}

_'f.tt.\

Jo

o\f

La dérivation est encore valide si nous remplaçons ~

(4-41)

•

d1_où:

~

( 2

(~,(.\)

flo:.)

d.~

),.;, 0

(4-43)

Supposons que pour ,A). fixé et il existe X , tel que

co:n.11e

j

et

2.

sont continus et différentiables i l existe un voi-sinage de -:.:, , tel que

33

'-1

t

:t. \

1

M.) -

2 {

~

1

<4.) )

0 \ 'l! -

:t. \ (

s

...; choisissons

1 ( '::.) )

0 pour \ U • '!: • \

<.

S

\ j ! .

~

1 \ , ,

s

~

(

~'

-:,. O

pour

ô

JÎf., ... \

satisfait aux restrictions que nous avons imposées:

ô

,..,~;~/1 cc

~

. . } t'

l

;t

J

4A.) - ;.;:..

tu..

i

A.A.) )

..0

l'A.\

J"'

>

0

)o

~ ~

\

d

contredit

(4-43).

Le même argunent est valable si

\ ?! .. ':1( \ \

<.

J

On en conclut que

'j

\x

t

~)

".:

2 {

'l

tM.)

J

t "·

.(.<.) (

u (

';<,

~

\ -

IJ' (

?t,).) )

:o

\J

t

-x,~) :

U'

{:tt,~)

•

•

On comprend plus clélirenent pourquoi i l est utile d 1_exprimer les données expértaente.les sous forme de différence de phase. En effet, lorsque l'on a pu déterminer un potentiel

\1

(~)

tel que

ù ( ...

'è.,). )

soit ~ 0 et satisfa.sse aux restrictions des théo-rèmes I et II, alors ce potentiel est unique.

Rilljarquons maintenant que le potentiel dit de Yllicawa ne satis-aux conditions

(4-4)

et (4-17); en effet l'intégrale

c

e:-J.e-

~~~A~ d~

=

bl..

ne converge pas •

Il est important de noter que d'après les calculs effectués par certains collaborateurs, les potentiels tels que

(j (

~

, ). )

~

a

pour tout ;-...,. et pour tout ). ne peuvent correspondre à des potGntiels physiquaùent acceptables dan3 notre cas. Dans l'état actuel de la théorie on·:ne pourra conclure à l'unicité du potentiel trouvé. Je crois cependant que l'on peut prouver que dans les ré.ç;ions de l'espace, ne présentant pas trop de singularités topo-logiques, où

U (

.frJ.,

~

)

'1-D

le potentiel

V

correspondant à

une différence de phase [ est uniquement déterminé. La preuve de ceci n'est pas encore conpl~te et dépasse le but de ce travail •

•

35

/,u terme de cette étuje il ser?it intéressant de rappeler les poj_nts fonàa:nentaux de ce travail;

Nous avons d:abord avec Sakurai en postulant l 1_{e.xistence d}1_une

transfor:a:ction de g2u:~e montré CŒL.1ent on pourré'_it introduire un potentiel dans 11 _{équation de Klein-C~oràon.}

Nous avons ensuite montré ce qu1_{i l fallait imposer au potentiel}

de nanière à ce que le calcul du dé?hasa,~e est un sens.

Nous envisageons plusieur.:; e:xtensions de ce travail.

Tout d'abord fournir une preuve locale mais adéquate d'un théorèr.1e d 1_{Ul1icité analogue au théorème de Levinson.}

- D1_{autre part il seréèit intéressant dans le sous-espace}

hilbertien des potentiels \(

<~~)

satisfaisant aux restric-tions d1_{existence et d}1_{unicité de mettre sur pied un problème}

varir.tionnel permettr:nt de déterminer le

\1

(~-)

correspondant à un

S

.t (

é) donné •

3I3LIOGR.4.P?.IE

rhe Interaction;:; bet;""een - Z..îesons and i·Juc1eons Annua.1 Rev. of Nuc1ear Jcience

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Quanturr, ?heory of Scattering IndiBna University Press

?hys. Rev. 131, 1290,

63

•

Je tiens à re..'Tlercier tout d'abord le professeur l·:ol'ris qui m1_{a s~~géré ce problème et m}1_{a aidé àfu~s sa solution.}

Je remercie par le mÊme occasion maàa:ne Aminjon qui a pris en cha.rge la dactylogrê.phie.

En dernier lieu, i l ne faut pas oublier dans ces remer-cie::::ents le Gouverne:nent du. Québec qui a contribué à la réa-lisation de ce travail sous forme dtune bourse •