Expériences numériques avec le filtre polaire et l'algorithme semi-implicite uni-dimensionnel

(1)

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Expérienoe~ numériques avec le

,

filt!e polaire et l' aIgori t:hme,

sem1~lmpliclte'~l~dime~slonnel

..

b' ,Y 1 ~ Pierre 'Duoharme 1 1

.

'~ ,

-A~thesis submltted t~ the F~~lty of Graduate Studies and

Besearch in partial ful~1lment of the'requlrements for a

degree of Mas~r of'Soieno~

, , .... .\ .~

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Department o~ Metêerology "'

-" "MeGlIl Univer~7 ...:. ~ • 3'uly

1976

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M~tréal Québec . . . ", . J" • " " .. ~

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(2)

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Résumé. -

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La convergence des points de grille vers les pOleà

sur un

q~adrillage

du type

l~ti tude~loni;i tu~e.

S3t le cri

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re de. stabil1 té linéa!re' imp,osent l'emploi de peti ts

in-~ f i . " \ \ • '\

créments de temps 'l?r~ de l'intégrat1on d~s équations qui

,

.

o gouvernent la circulation de l'atmosph~re ~ur une ~ph~re. L'empl:oi d'un filtre de Fourier sur les régions polaires'·

.. '... '" ~ ~

ou de l'algo~ithme semi-implic1te uni-d1mensionnel peut adoucir l'effet de cette

conver~ence

des points !e

~ri11e

}

sur le cri

t~re

de stabilité 1inéairè. 'l,ee'

ava~t~ges

et.,

, '

inconvénients reliés ~ cl'usage de ces deux algoritqmes

. ,

'.

\.

, ,

. sont étudiés ,via l'intégration num~rtque des équations régissant une ml'nce couche d' eaU 's~r uns sJ?h~1-e. Cette étude démontre la supériorité de ltalgorithme

seml-impli-r ',. . . "-ci te uni-dimen'sloMel. '~' . 1 _ , . 1 " 1

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-« " Abstract 1 0, f r -t' ~'-,

The convergence 'of the grld p&lnts, towafd the polè~ on a 1atltudé-long1tu4e' grld and the 11near stabll1ty.

t

•

crlterion 1mpose a restr10tlvéIy smaii tlme step on the numerlcal 1nte~ra~10n of the equatlons governlng

atmos-"..

P?ertc fl~w dn'~·sphere. T~e use o~ a Fourier t'lIter near the poles or a one-dimensional semi-lmpllclt algo-'

.

'

rl t~ can allevlate the, eff,ect of' the con:vergeri5~e"'?f th&

, •

1\ '

.

grld polnts ~n the l;lnear stabl~lty crlte~lon. The ad. 'vantages anq'dlsadvantages 'cpnneetèd wlth-the use of 'the~

e

"

.

~e methods are studled by means of numerlcal lntegratlons

_.

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o~ the shallow water equatlons. It ~s. shown tha,'t the·

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one-dlmenslonal., seml-1mpllcl t algorl~hm la 8uperlor •

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1 CO,PQSart5tj' z0rr:.

du vent

t6- :

eomposa1e mér1d1onal.e du vent

,: h. :

hauteur de la surfaoe 11 bre

J' •

. r: ."

aèc~léz:atlr

due li. la gravité terrestre

~ : rayon de la terrè

s6

J'

lati~tude

Â

1 longi tude

G ·

G '-

l' ~ermes de oontrainte " &,~.J . '-

.

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lU 1 fonction dé èourant ,J'. T

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1

vlt~sse ~rigul~ire d~

la solut1on

(1

K

1 oons taJite . , ) 1 ./\ : oonstante

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'1 oons tan te ~

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1 Vi tesse '8ngula1re' de la terre .,

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1

oQ~r~onnée~1ndlquant

la

,l0n61tude'~'un

po1ht

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a coeffl cl ent du lItre de Robert

• ...u.. :

<'Composante zona e du vent une" fo1s soumise au fl1-tre de RObert.

•

"

nt'

• _• composante mérl lonale du vent une fo1s soumise au t'lItre de Rober

~

,~:'

• hauteur de

la

s rface llbre une fols soumi-se au

• \

·1'11 tre de Rober

~I

lnérément spatl 1 entre

~es

pOints de grille sur

un même cefole' e 18tltude~

.

"

lncrémenb- spatl~l ~entre l.es p91nts _ de g~111e sur

1 ùn œême mérldleh, , : , ' . ,

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, , L'1ntégrat10n ~um.rlque p~ d1fférences f1nleg dan~

, . ' /

~~ t~mp~ de~ équatlons hydrodynam1queS régissant l'ét~t

.

.'

de l'atmosphère sur te globe~ '~'a1dePd'un quadrll1age du

...

_.

"

, ,

~ type la~1tude-longitu~e présent~ oerta1ns ~rob1~mes. Sûr

, /

un tel réseau o~ la quantlté de~'~01nt~dè gr11l~~est

consta~te

d'un cercle de 1at1tude A

1ta~tre,

ia d1stance

, ' , , t

entre les po1nts tend. vers zéro près des p&lês. Or; pour _, ,{' " ) .,.

~

-~ ,.que cette intégration par d1fférences fin1es sol t stable,

11 est nécessa1ie que l'incrément de temps employé solt moindre qu'un certaln 1ncrément max1mal fonct10n dé la"

~distance

entre

1es~polnts

de grliie. Cettè

~a@trictlon

~

.

'

,

\ ,

sur le ohoix de l lnorémen~de ~s

de d'1nt~rat10n numérlque emplo •

varie ~elon la

métho-...l,

NOÛ8 revl~ndrons

, b

$ur ce .crl tère de' stablr1 té ltnéalre un peu"plus' loin au

CÔ)lrS

... ..

...

de cette étude.

_.

Donc,

près déS p&les ~~e~te

d18-,~,

. , . , -

, "

entre les pol pts ~e grlL~e d~vl~nt pet1te~ oe crl-tance

, ... ,,..

tère d.e stâblll té requl'ert l" emplol de P!tl ts 'l'Dcrém~nts

.

'

de temps •. Dans blen des cas ~es bddgetp et hpralres ne permettent pas'l'emplol de

Et, m&me s'11a le permettale _.

_..

_,

, .

,

p tits'incréments de: temps.

. J.' - .

t cela constitue~alt du

. . . .. .:

-

.",.

8a~pll1~e' pour 'les régi~ns é101gnéès-des p&le~ 6~ 'la" ,

.

, . di&ta~ce ~t;ltre -les 'points dé grill'e sur.:un cercle

~' .~ • • ... r ... ~ " ~

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a~Antage~

_d'essayer

dté~~gir'~eS

res- ,

.'trictlon~

'sur .l'incrément de temps. Une :t8çon d!'y

arri-o · ,

"~ • ~ ~. • J ,

",ver, est ~'es~ayer d'él1miner'" d"" mo1ns en put1e, l~

oob-..

'

C-vergence d,es ~9!n~s de gril.l.e prlts ,d'es. p~l.èS. Nous

pour-..

,

-

" . . "

r10ns'ar~lvdr'A ce~ésulta~ ~n util1sant,

A

l'1nstar de

. Kuribàra ./ (, 1965 ),

lm

,tn,è de qu!ad.l:'1:1lase s~ le globe"

,

.

• ; '! '- . . "

-qui alt0ue ~e distanoe ~,peu prlts co~s~nte'e~tre les

, "

.points de·gr1~lé. 11 est oependant ~ p1uS probables

q~e =-ta solution",' ,.,1n$1 obtenue, oont1enne

tëfê'

hrges

er-, ,

reurs de troncature ~tlculi~~e~ent

aùx.p&lés

, ... ~ • ... 1.

.: et Man.abe. 19?1"r\Ho1101r87" 8pelman et Manabe J

( Rolloway, , - ' , ,

1973;

De7;

. .

'~...

.

1 ( 1969;

wi11iam.o~

et

~ownlngt

'1973 ).

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Grimm! et ,Shaw C·

-t96?"::)

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U~e autre fafon dtél~mlner cetté convergence ~es , -. ...

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,points de grille ,u~.p&l:e~ ,~st d':,employ:er'un ~q~ac:tr:~l~age '.

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qui ne couvre. qu 'u~ partie du 'globe, ':lll hém18ph~r& par

... '" t 't!' .. t. ~ J <> l ,

, exemple.' Dans de telles' cotl1li tl ons, nous pour.ri ons eft ec- .

, .. ! '

~.

1?uer la

prO.1eètl~~

de

~ette Paftle°)l~ sp~~r~ s~- ~

plan. ".,

0' ... ~

• ~. ~ ~ !

~~~lq~e:r un. q~111age du ~ype il inorém~~t' ~è di s-'

~oe~n8tant

_.

sur

ce plan. Cette approche-a été

utill-' , ) '

sé~

'dans

le~pa;sé

et continue de

i~êtr~~ ~le pr'sen~e ~

,'.

1 . , _... _ ..

néanmoins ~ertalnes dltficu1tés daes fau tait q.~e l.rat'~ ~

mO'S'Qh~re' ~~rme ~e"entlt~ ph7siq~e In~viSlbl;,

c'est-• r

-l-di~e que les proprlétés ph7s1q~es d'une partie de

l'at-1 ~ ... 0 '

.Jmosph~re· sont rel{ées au propriétés,

,ph7S1ques

du reste.. '

il .... ' • • J " "

dè l'atmosph'rJ et

~,lêur éYolutl~n dan~le

temps.

Cè

~robl'-~

ne

p~ù

être

c~t~urné q~~en tatsant~en

sorte

\,'"

q~~ ~'intégratlo

porte su;

une

période ' ete temps relàtl- . ? , ' J"

" <-. '\ • • • .. .. c4.

veme~t oo~te'

t que la régiOn 'd'intérêt s01 t

suttisam-~

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ment _.élotSn'~ des bo~ure8 du quadrl1lagé.

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pJ:oièr.

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mOd1tie'

~p_èctr'~.

aer'

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1964 )'"

E18aé8s~

111' ~ ~ • , \ ...

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P1u8de·

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1i~8, ~~ ~e.~ ~l'Cdu1rè a~un~.

el't.:r

de

tronQ8ture.llnéalre. ·11

req~l~rt cependant~ po~Jn

- ' ' . " • , , ' 11\

op ' r i • ~ 4 4 · \

,même

nombre de d'8$r48 Ae 11

ber~, ~~1-us

de.

t.e~à.

d •

or- .

. ' t • ~ :t

dlnat~ur que:1'app~oche correspo~danté'4~ ~ d1ftéreno~'

• •

ti:n1e

sur

,des. pOln~s

de

grll1".

Ces

m(x1l~le8

spectrauz'?

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susc1tent

d~ pl~s

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plus d'1ntér't~

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mOdtt1e.

,',d1fférenoes

:fln1&s"

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"

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~ployé "au ~OOU~8 d,e '<fette, 'étu~'e~ 1;1. c~~pte 'uh

q~d.r-1l:-:,'~' ,~

,l@tl 'dU type

l~trtude~iqngl t~~~

Le{

'cercles

de

'iii1;1.

J ; , ). • ' , ' , • ~",

... , ' _ . • • - ~I ' 1 ! ' r?'

" tude) et les: mér1d.1-en~, cho1's1s s()nt espacés, sur le g1o... ,

, • ' ~,' l ' ~ , . . "; : . . .

, : be fle.l.on

des:'

1~créme~ts

de'

'10t}gltudè

~

et

d~ ~ '~a

t1

tUde de (.,

:

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(,

'A,~ ~. ,~:l

').

'Le

:oe;oie

'd;

'~~ti ~u4e l~: ~1~s p~~s:

'

~ , . ' - " ... ~ - 1 ~

,"d.u pale,'en es~ séparé ~r 'un ang~e 'de ~t,ltude_:é~al:: h,- ,'.

, 1 ) ~ " • -' • 9 • ' • " - ' ~ .t'I .. ,

la 'mo1t1é .de 1~1ncré~ent de.lat1t~de 'ment~onné cl~des-'

.,. . ~ \ ,~' ~ '" ,'" ~~

~ '~ ... \ , • l ' ,~~ ,

sUS~:'Bolt 1f~3~~:'-: L~s :~~lnts:' ~e',~7~i;Le, ~~,"~à~ -1~. ~~11?~

.: '.

déf1~S co~e"les p~1n~s ~'1nte:r:s~c~i,on' d'e·'ce~. ~~ro~eB

,

, . . .... ' , . , l- ,.. , • , ~

if de 1~t1 tude" et ces mé.;t"ld1~ns. . Il 7' a

dQnc

:-e-elz.è, poln~B ".

• ~ ' - , . -- " ~ " ., 1 ~~ ~ ~ _

, ..

.~

.

,.

de grille entre l'es p,01e.s ~ur ohaque

méridien'-

chois," '~t' ,

• ~ .. l ~ _.

t~en

t.e-deUx sur ,cNique, çercl.e

cl.é.

la tl

tUde .'

chOl

,1'~~' ":' ' ~'

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f

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--' 0

.

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..

<' ,

_..

, " , ' , . ~ --.

·v

(13)

.10.

...

/

, ,

2.2) Equations de base

du

mod~le: ~

Le mod~le employé au cours de la présente étudè ~st""

.

' \

basé sur les équations hydrodynamiques eu~antes ~ui ' déori"vent 1e comportement dt_{,une""m1nce' couche d'eau sur}

~

.

"

le g1obe. '

, ". . ,

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dA.(.: _ -

f

dh

.LI- ; ,

cl..u;.

:!1tC

~~

,

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a.'ë.œ

~

âA

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'if

+

rtu-

.+

G,

..

_.,

,.,.

(3)

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K' .\ .

~~.

G

0.

GC1[4

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+

a

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/lA)

+.~

(lt,.rca;Si»)..

,

•

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(14)

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.

, 1 _; ( .11.

(4)

_{, a.. ,}

:

(5)

<,

-(6)

n-h

_, ob ) 1 temps 6

.AL t composante zonal.e du vent ;

1 composante mérid10nale du ve~t

1 hauteur ₁ dé _• la surface l.1bre

:

aooélératio~

due k la'gràv1té terrestre

a..

J .ra~de la terre

_ 1 la t1 tude-) 1 l.ongl tude

_..

1 termes de 'oontrainte " " . :

, Ce syst'me

d'éq~1onS

est part1ou1ier en ce qU'il.

est a~ment~ de termes d.e oonl~ntè

(q.

G"~6"

).

Ces

derniers furent oaloulés de t 5 e sorte,

'que~' syst~me,

d'équations.augmèntées,a1nsi obtenu admette e solution

.

_.

-

.

..

_/

l' •

(15)

'~~;;~!':!'7·..,,'.j

... ,_ ... , _ _ """"""'''_'U!! ____ 'f''. _ _ ; . . , , - - - -_ _ _ _ _

~--~~:":_~

...

-.~.~~~.~-' . . ... .... dl 1 . ,~. ...." " ,/ ~12." • • • • .t, " "

IcC?nnue., spécltl.~e ,d"avànce. Ceci fut 'fai t dans le but de

1

, ..

.

"

" _,

.

_, _,

-façiliter l'anAlyse des

_.

_, _. ré8ultat~. Nous ,avons chol si '

~ .

:.. . . ..

·co~e solution la o~rculation non-divergente et

quasl-• géostrophique.sulvantes ~ .' . . . . " " 1) , , - ' o~

'fi :

f,onction ,de cour~nt '

UJ : v~t~sse a~laire ~,solutio~

K

èonstante ' 1\ : oonstante

"

'

" h.

1 constante tilt. • fI

)..

.

4

1 ~ t~sé angulaire' de la terre

"

nn. .

1 co'nstan,te, nombre entiër

~s o9mpos~tès du vent' sont obtenues'l partir d~

la tooçtlon '.~-e couraht.

.

, 1 • /1 , ... , " , ' '.

(16)

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,

; t(: 'f ~ ~' l', ~,

~

,.

(

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~

i:; ~

~

1. i ~ . ~ :

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,

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' . '

j'

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..

,

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" rI'

---.

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'.

. ,

No~'s obtenons' donè

pour

c:elle8~él'

.

,

(9)·' .

Ji.

~= a.k[Jma)j~-~ ·.4k~i :..'~pJ ~(ttrJ-ootj

.

"

, ~

(10)

Ar:,

-4.knn~Ml,Â.v~.:~~(~':W~J:

1

.

,"" • ~ 1 •

En remplaçan~ u, v et h dans les, éqUatlQ~S (1), (2) et ,t}) du syst~me d'équat~ons- par la· solutlon.:spe-ciiiee" nous pouvons calculer les termes de contrainte

G. ; G2.

et

G

_{s .}

o.

Le résultat est le Suivant

:

(11)

.

G, '"

[(-a.kw

+

Q./(Ann.)

~/IIIH

rjJ

+(4r~

, ,

-ti/(·À

1m

2

+ .1

ca,

Aktm )

Cb,)';"-~ ÀÏm:~~]~.j)

"

[ k

2. .lltfl-IJ

+

,-a.

lm ~'JO . , . ~ "

,'.

,'IJ . , , .. -.- 1 Ai 1 iisitt "

..

• li ". " "

(17)

f, , \ > •

..

' ,. ' f " .~.' , . ' , " .. ~," , ~ p • • ...

..

.

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. .

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.

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_. . _,

.

' , ,. . . , ' ' / '

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~·:-

..

4K~[~+.~~~~~]~l-uJt)_œk~-ui)

. / . , '. , (12) , , , ,

..

.

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G.l.

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[l1k~mtC6.l/WI·i~,e·- ~A/(i~";~~

.

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(18)

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.

," , , _" (t3) '" " .' . "

'Au ~ours des présentes'expériences 1~~ c~nsta~tes ont

\ ,

.

été fixées arbitrairement aux 'V'a1eurs su1vantes :

1 t -.. ~ . ' ~

K

'=:

A

= .

7

0848 X

io-6~e~-l,

, , h.

==

~ooo.

m

~ ,

...

Polir.

oé·

q~i es~- de la vi tes,se angu1afre-- qe la

solu-, , ,

\' 't1on' (, ,00,

-.>;

blèti

què nous soyons 1ibr~s de choisir

'.

_{,'v1tes~e d~'}quelle qu~ ,.a1eur.·que oe _{phAse 'de}_{~~ssbY.~urwl~Z}~olt. nous avons opté pour la _{dans le cas}_no~-d~

vergent. Ce cho1x e~~ oonslstant avec la na~ure_des

pré-s~ntes con~1ilons,1nlt1a1es et le f~it que les te~me/~ de Qontra1nte employés de~a~e~~ oonserver 1a circu~a~ tian presq~e non-divergen~e. Dolic nous 'avons' chol'sl là va1eur suivante pour

·W •

(14}

W

-

[

~(tm..a)A'

-

a,p.

-

.

nn+,)

(nn+2..)

.

,

(19)

..

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" .; ,

.

", Donc- 'poU:~ ~I m =' 4 ~ 1

.

0 , '. " _..k. '. ,

.

:

_.1

~, ,. ",

.

'. .' ", , ' " " '

..

, , '. ,

(20)

r,

..

,

'.

. ' 2" .3)" Al ori thme <. ,

.

, , . " t r " . q"

-La

f~çon habit~elle d'éva~uer

les dériyéès.spatiales

('

~)6~ ~ 9(V'q_

> •. lnplus-es

4an~

les

'équ'~tiOnQ

'( 1.), '{2

r·

ét (3), au'r~it été d'employer l'a:ppro~imEition de la

,di'f-. t '. . .

,fé~ence finie .ce~trée dans 'l' espac~ .avec l'er,reur de:

tron-, .

caturEt qu:' elle ,1ntrodU1 t. 1';c1;' cep.~ndantt nous a.vons·

fai

t

app\~:~ l'algoZ:1-thm~

pseudo-spectral. 'Celui-cl

,

consiste à expr1mer une v~rlable ~ur _. les po1nes de grille"

/

du quadrillage e11 "termes d'un ensemble de fonctions ,de ..

b~se,. ~ t~ouver la dér~vée della série obtenue et enf,1n

à évaluer cette nouvelle série.à chaque point de grille

, .

pour obtenir une approximation de la dérivée. spatiale voulue.

-

.

. Voic1, en la~~e mathémat1que, la'défin1t1on de

cette approximation •. Considérons une v~r1able A prenant

,.la va~eur

A-,.

au point.-A de long1 tude e.t. _~. - de.'

" .

"

. ~. .

• \. -\ t \

~ati tude o~ ' ..

th=t

cl

aH

,""=

1« N'

.. , '

lA .A~·=

7T/N

et

. A.-:-Va-1

.«

L'approximation pom::if est donnée par

(15)

(-'", A)

's~

Clt

a.-

CI()

et~AA

. Il,11ft

l=t,. .• ).

..

\

,

(21)

~. f>. " 'r ~' J

".

...

.

,

. , o' .' ob. • J . J _..._, ' .

.

\

.18. .

.

. ! /

L'a~prox1~t1on'p~ur:O~t

dans

ie

c~s'

ob. A

e~t,~

.scala1re, est dérinie comm,~ sui tl

(17 )

, ":

(S~

11) ....

~ Itt~

t

kb(k)

élintlA~

'. "nn,N

..

pour (18) - . '1-1 ' . '

( CA'

' ."-

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b("")

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N·<~I"

a.teI

.' .. (2~)

..

pour

'\co

-L.a:ppr~~ima't'ion·..P'QU~ ~~

t. dans le oas où A 'est

1~co~p~8ante d;uô;vé~tèu~ ~st

un

pe~

différénte

~ur

tenir ()compte du.

ràl

t

_.

~n~e~

la

oompo~ante

'id 'un

vec~.eur

n'est

, , , , généraleméÎ1t .. pas

une

variable continue a.ux pbles

..

'!. ...

,.

1,,', >

" l

(22)

~

~, ~ ~'

~

.

i"

.

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1

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....

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...

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..

...

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~ 1 • '.

.19 •

.

. ,

.

(24)' pb' -jÎ l , \1 (25) pour . "

.

... '" . (26)

_{- AIW\+-'}

~

,-tl-lM

_{+ •} "

-Il oonvient ma1ntenant de déterminer 1.' effet de

l'a1-1

• 1

-gor~thme pseudo:speotra1 sur

_.

_, ~e cr1~'re de.stabllité 11-néalre de 1 'lntégrati:on'. Pour oe fal.re. nous oonsldé~

rons la sta bl1l té du .s7st~me: d' équatl ons' sul

vant:

;

.

'

• \'

;

-

.

. ~

(23)

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(26)

"

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Qa_te

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" .'. ~ ...

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'J~"i~. " . " ,

.

Aprèâ s1mpi1float1on les 'éqU$t1ons ~ev1ennent

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r~, ..

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En'~Bolutionn8nt

_.

_, pour W l'on obtient que

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.

, " , " ,

.

: ,f. -~-~'"

.'

.

~ Pour .. avo1r stab1l1 té, 11 est nécessaire qu,e

,w

:\~~lt

""

r~ei.·

Eh.effet,

po~ d~· t~ls

W

l'opérate~ ,~i.,po'. ~

. "

sède une nôrme égale

-, 'une'

.

c~nd1

tlon' ,

néc~ssa1re

pour avo1r, sts b1l1

té'.

,:OC:;ri~ ~

,,,; _ '

" ,

'lI' faut

q~e

,"

&rn.~

UiAt , " . • Cec1 est réal.lse

l~s

... ·" .' que: , ',~' . , ). ,.':' ~ '.. .. l' • r. _,,

.

• " '.

(27)

" __ "llliiitm ... iItiAw ,', * • , (41) , .~ "

81nfk x) et sin(l y) prennent la valeur maximale de 1 pour

1l=7T'hb~

et

J;rr/~J

.

Ainsi le oritère de stabili té devient pour~tout k et 1.

(42 )

Cecl est une forme typique<du oritère de Courant-Frie-.. drlch-Lew1 ( critère de stabliité 1i~éalre ) qui, tel

ê

que démontré c~dessus, s'applique au cas ob des dlffé-rencesufinies du seoond ordre. sont employées.

En suivant un oheminement similaire ~ oelui' employé ei-dessus, nous pouvons trouver le crit~re de stabilité dans le oas ob les dérivées spatiales sont évaluées

_.

~

l'aide de l'.algorithme pf8udo-spectral au lieu d.!une . cUftéreno,e t:ln1e du seoond ordre. 801 t donc les.

équa-tl0~ (27), (28) et (29) traltées

de

façon

pseudo-spec-trale, / '

(28)

- ..

1'lI1ix~~sfS~n§~_'lfi'ifi.\If!J_I!r/i:'''''.''''',;._._a.''''';'_; ...

_,_*,_,, ____

...:..._'''':'' .. ______

,,;... ___ ... _,. __

*_--.,;:...-_ _ _ _ _ .... __ ... }i_I/!I6'~

(4)

,

.

(45)

h(4~:J'

'h/it.)-

"(4.J~lt-bt) =~JJlAt

r,

t

kA{

RJ,f)/k't .

.

. " .

-:l

#~~

f'

dN"(tt,J,t)

e

t1

a

noùs obtenons le crit~rè de 'stabilité linéaire suivant ( vo1r appe'nd1ce A pour démonstrat10n ) :(

,

.

Les valeurs\poss1bles pour k et l sont ronction du ·quadril1age. Soi t ~ points dans ~ne direction, le plus

grand numéro'd'onde pouv~nb être représenté sur cette

- ' . ! ,

ligne de uoints est le plus grand ent1er contenu dans

tt ·

Alors 2N points sur chaque cercle de latitude

'et ~haque cercle méridional pe~met~e~t à

k

etli de varier

dans l'interValle fer~ d'entiers contenus entre -(~1/2)

,

1

(29)

.

' . ,

.

0'

/ • "1 C

..

' ~26.

e~, (R~l/Z)." Ce"q~11l8ge;

aù·-npmbfe

pa1r de

PO~Qts

est

~elu1

.emplo1'é

par

le

pr's~nt moc1ltle~ ·Sl~.

par oontre',

. ~ .

-

"

nous aViollS;

emplo"

un nombre

1mpair de polnts (

21ftl )

sur

c~ué cerol~

..

a1or ••

k

'~t

}.

aura

1 ent

-_v~r1-.1l~

'-H

à

. - f - . ' ..

th Cette

dern1lœe

oonstatation 'e1; 1Ùl 8ouoi 4e

,SllDpll-;.

'oité nous' ont

1'alt:.

priféer

H •

H-112

com-

'l~1;e ~~

p4rieure de

11:

et

1.· ,_

e.t

d't'ln! COIlllllll

étant

27f.

41-Visé

par

2 tol.

la distance

ent.J:e

cbaque point

de ar1lle.

, >

.

. ,

. ,Dono

le oritke 4e .tab111t4

dn1.ent

(47)

.

"

.'

-

..

~

At.

4',.L

[aH

/..1-..

+..L)] ,

.

."

~('fC)~

,('1)a.

,

'-,,,:

, On peut vo1r ~U. l!eçlol 4e l'alsonthme pse~do':'

spectral'augmente la

.'vérit4

~u crlt~rè de stabilité

. ~ '" ..

,

.

l1néaire par ·un :t'aotelU'1f par rapport l celui obtenu dans

" .. ' .. .

. . q ' . " ' .. t

·le cas ~ 4e. 411':térenc •• :t'ln1es du •• aond

ordre

turent

empl:07' ••

pour éva1u.r

les

~'r1

vé •• · Spatiales (

'qua-,

t10ns

42 -et

47 ).'

•

ljr . " ", f.' ....

_-.' 0 , . -1' t

(30)

'.

- ---~- .----~

•

• 27 •. ,

2.4)

Filtre de Roberte _,

Lre mplo1 de d~fférenaes f1n1es du second ordre

~en-\

trées dans le temps, lors de lf1nt~grat1~n d~s équations' (1), (2) et (:3> ,du mod~le', s.uscl te la -prése~oe de .deux

mpde~ dans la solution: le mode p'hys1q~e qui correspond

h la solution réelle' et un mode paras1te, dit de compu-tation, qui lui est indésirable. Le.filtre de Robert ( Robert,

1969 )

fut employé ioi po~ anni~ le plus possible ce dernier mode. Asselin (

1972 )

analysa les " effets de ce fi'ltx;~=,?sur l.'lntégration numérique de

l'é-quation différ~ntielle su1van~e

.

(48)

'OF

- =

O ' _c..W

F ' .

é * , .

Ce~te a~lyse tut suocess1~~ment

_..

effectuéé avec les

al-. ~ .. ~

gorlthmes explicites, 1mplicites ~~ sem1-i~p11cltes. Il qémontra q~e dans oèS oas le. filtre de Robert permet

• • 1

de faire disparaltre '1~ âode de computation de la

solu . " ' solu solu

-t1on. " ",

"

La filtre da Robert se formule a1nsi

' .

.

", l. ' ", \ . "-' /

(31)

"

,

.

HI ! J , "

..

' .28. ~ , (49)

:d

(t)

=

~(t)"': o«(-:"-'(t-At.)-a..u;(t)+~ét",At»

fi)"

:(t)

~. ~(t)'+ ~(~{t-Âtj ~~N"(t)

+1ll"(t

+-~t))

/ "

,

b'{t

J

;<-

h:(

t)

+'

0(. (

h

'(i.-

At

)-~

(t)+

~

(h

4

.t:))

(50)

ob J.J..,/IJ- et

/,

• _• variables du màdêle'

,

1

A'

..1-{, 1 tr et' :' 'ces" mêmes variables une fois

"'-soumises au :flltre dè _.. Rob~t •.

Au cours des présentes expériences les ca~~ficients

du filtre de Rebert ,( ~) furent fixés à 0.02 et 0.04, •.

La questlon qU'il oonvient de se poser mai'ntenant

est: quel est l'e:f.:fet du, ':filtre da{'Robert sur le

critè-re de stabi1~té l~néalre de l'int~gratlon ? Asse1in "

, ,

démontra .4ans le' cadre de son artio~e sur le' f~ltre en

l .

que~tion :que celui'-cf', pour de petits ooef:fieients du ".

':filtre, n'affecte pas OU. peu ce critère de stabilité •

. Soit l'équation dl:frérentielle sulv~nte

\

..

("48)

l'

1

(32)

"-~;

.

~., ~" . ~ 'il>' t ~., r ... , t<' '. " ~, ;:-:' ~ . :~-- ~ ~ ,~

.

\

e ..

, " :< .-V

o

'If 1 • ... .29 • , '\

.

:'

... ' ~ , "

. qui, par l ' approX1mat'1on 'de la différence f'in1e ,centrée

.

,

dan~ le temps, l'algorithme imp11cite e~ le, f~ltre .de

~9bert, dev1ent

=

t

w

(F(tr~t)'

+/=

'(t-~t»)

,

:l

'(53"

Ff(t):;:'F(t)+d.(F~(t-~t)-~(t)

+F(t+4t)) ,

" .

Asselin obt1nt pour l'o~érateur X

X

= /'"

t

wA

t

[0(

± (/

+U./(At)'+",-

~~

:l":(i.

w

"(At-)~t

]

(54) . , 1 +

'~Y4t>.~'

. '

-.~

.

te1 qll~

F(t~At).

=

X'F'(t)

, ,

démontrant par la'su1te qu'on sat1sfait _. _., _, _.~ la oond1t1on. nécessa1re que ,eprése~tè le oritère de stab1lité linéa1-' re t pour tout' W et

If

lorsque WAt

'>

0 _•

Dans le cas explicite avec le f1ltre de Robert

(55) F(é+.At)

:"F'(t-At)

=

lf!JF(t)

~At, fi

.

'

(56)

F'(t.J.

-=

F(t)';' ~(F'(t-At)-~t) +F(t~At) '.

•

• -

.

(33)

o

tk&#. t & .aB Ia_ -~-"-'---,~

( : .30.

Asselin démontra que l'opérateur prend la forme'suivante

]

~..t '

X :'

«+LWAi± [

(f_ot.)2. -

u./·(At)2. .

Pour des coeffic1ents du fil~re de Robert de 0.02 et

, ..

0.04, employés au cour~ des présentes e~périences, ~e

orit~re

de

st~bilité

équivaut

dQn~

à exiger que

tu&t~~98

pour 0.02 et tJ.lAt~fl~' P?ur 0.04. Dans le "cas sans :filtre

.

de Robert· ( eJ.. = O') cette cond1 tion nécessaire de sta-bilité est UJAt~l/. Ceci hous permet d'être raisonna- . blement certain que l'emploi du' filtre de Hobert, du moins pour les coef:fioients empl~yés ici, n'affecte presque pas Ja

• 1 ~J

le critère de stabil1té l~néaire au cours des présentes

,

expérIences aVf7c les algori thmes expli'c~ tes et semi-im-plicites.

(34)

, . ' :,

'.

e

. 1 .Q

.Jl.

' - "~-.":::="-;

2.5)

Filtre périodique: &.

-Comm~. expliqué par. Meril,ees ( 1974 )" 11 fut· néces- .'

saire'd'1ncorporer au présent modèle un f11tre qui puis-se détruire les ondes de l~ueur d'onde p1~s petlt~. ~~e trois fois la d1stance entr$ les po1nts·de gr1~le dans le but d'assurer la stab1lité de l'intégrat1on sur de

lon-.

que$ périOdes de temps. 'Celui 1ncorporé à cet effèt au

,

présent modèle est un filtre de Four1er appliqué selon la latitude et la lOngi tude •. Il entre en act10n ·l toutes les tro1s heures d'1ntervalle sur les variables u,- v et

h. )

..

Dans le cadre.du quadrillage ~mployé ici, oe f11tre détru1t les ondes de numéro plus grand ou égal l 10. Or, au co~s des présentes expériences, comme 11 sera

. .

.

donné d~le constater· lors de l'analyse des résultats,

,

la précis10n avec laquelle le mOd~le prévoit la. sOlut1pn spécif1ée .(

'une

onde sphér1que de numéro' quatre,,". !3st

~ - .

'. '

telle que tr~s peu d'énergie est dispersée vers la· par. tle du spectre affeotée par l~ filtre. ' f ' La solut1on

nu-~érlq~e n~ ~ontenant

l toutes f1ns

.P~~iiqUeS

aucune onde

.

susoeptible dtêtre affecté~ par le filtre, celu~-ol •

\

Il . . . X ne' ~

(35)

... '

-

....

.

; _ 1 . . . .

.)2.

'dono un effet négl1geablë.

,

..

-,f

o

(36)

~11lItt& 'Il.

..

o

- - - -~~~-;" " } ~ ~,' r .. i , <"" • If, L • • , .. ] ,f '.~" " r j! E .tU) ii!II 1

2.6 Filtre polaire de Fouriers

-""

Comme mentionné ci-dessus, de la convergence des méridiens aux p&les résulte une contrainte sur le choix

d-e 1,'1ncrément de temps ~ emp1'oyer lors de l,'intégration

numérique expIicite des équations de base du modèle. Le

filtre polaire de

~urler

est un moyen de contourner ceti

te restriotion • • ,~~ ... ,.. ~ __ 7"'~' ~

Le :filtre polaire emn10yé ici est le f'il'tre de

Fou-rier suivant. Si AIft,wn et A

'm,_ "

représentj:.t une

varia-ble respectivement avant et

apr~ :filtr~e

au

~oint

de '

grilie de coordonnées II\~ et

(Jin-.S)A;

-~,

•

alors

,

(58)

A-..

{k}

e.

tkmh

ob 2ft est ~e nombr~'de,points 4e grill~ sur

un

c~rcle

de'latitude et

Km

est le ~lus grand entier contenu dans

~

'"

.'

,,'

(37)

- -"-"~"""'----~""'----... '" " " , _ " ) i ~ ~ , " . , " • i : : , :..

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. Pour lllust~~r-

....

:t

tut~ttte

du·"n:,..

tr~ ,polaire

retQ\lr- ,

;<.-1 ~ ... -" • f •

-

'nQn8,J~11' ~rl t~re

de

stabit11

t~, li~é~lr~~

Comme,

"nous

1!,a ... ,' ','

'.1

\ ' 1)' • r < ~ .. ~, l ' l!- .,. "'

, _ ! , ~.' . . " ~ ", r , . " _ .. # ' - r t

:, - V>9.~S' démontr'_le crit~r~, de 's1?~bl1l,t~ ~our J,e 9Bs"exP11- "

J-/. ',j , , , - "

,~-':\'~'it~,'

S:veo

'l'Blg~:t"1 t PJ!dQ-speot~a:l

est

doriné"

'~r.

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, . / / . ' . . ~I' ~ P . ' _, , . ' _, .,' '1 ' _• ₁ _~ _.', , ,

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'lt

et

i

:sont

de'Q.'nombr~s' d.·~nde.,

:L'f(m",

p~t:

;otr

~A

','

• ~ < l " " 1 t , ' ! ~ 1.... ~, , 1 ol, , . :

,"1

':àlde'

Ae~'

cette

équ~tlon q~J!H;t ·,i.nd;~~ertt :_X1~iun 'P~rDl1~'

, est, fonct1on de

h'

~~~eui.',,~·ori~e' m1n~inum ~6u~~t,' ê~ré'

"

" , , . " . . "

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~',re~~~~e;n~tS~.s~ le,q~adr~ll~ge,' S~1t ,2_~~

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'et

1 s~n~ 'r:eà~èctlv~mèrit' ,~«

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1I&1

8

7f«i

,au8mente ayec

la

Ùit1tu~ ~11>~

l

"

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pOint'!"

de,

grille aux

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, '., , . "". - ", - 'pÔles ( ..

~-

':

"!.~

-

~

=

;;dfi.1.

pol~ts les plus pr~s des

prend

. li- ,' ..

'. ' ·une valeur v,ols1~e de. z'éro.·

" 1 . ( , ' ~

,

, 'd'4

..

Maintenant consIdérons

_...

_~

le

orlt~r&'d~'stabI11té

11-/ ..

néaire lorsque~le til~e polaIre est -emplQ7'.· A- dèS,

1a-,

,

",t1~des plu~

grandes que 600- nord et 'SUd le

nom~~

'd'on':'

1. • ' • • • ' ' : - f ~

.. 4e

~

max1mum' en

ooo~'Onnées. SphéX:lqU;~8. es~' 'Ù~nn~

par 1e "

'IO! • • ' . . . . . , 1 \ • •

,

.>,.,::,'~;'

" ,

~+us ,~rar)d ~rit~

.. et,

;o~t~n~:-'~~ri.~,,;·,~~~~~ij'

,. (

équa~lon

-.' .', 60 )'. Apr's

a~ol-r

ta1

t ,là

trarist~t·4.d:es cO~Morinées

, , f ;'" ' ; , ,':

:::~ ")(~~h~J"lq'U:es

'aux

oo~ées ~é'~~~~e~',

'\e nombre

d'on-• r • : 'r 1 • • ~ • " t ' .. , ',f'o L ~ , . ' of . ' . ' '" ...

'. ',':',.':,.'"" de·,mà'XI~'al1ou~.piir'lè f'11tre'" ées latItudes dev1ent'

't. r ' l ' ... r "" > .. , ,,~ ..

, '-"', :':";>:',f,',;' :.'

'2N/a~., Don;_~t~è,~',l,~,

j,&le. et 600 nord et ,sud le

crl-~} .. ~ ~ 1 1 .... ';:; , , '.> ", "~,", "t~r;" "de s~'t)!11 tl,'clertent' , ~ _.1 " , , \ , .. ,', • .' " _ .... :~I ': : ~, : .. _{, , (}

'",

-

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'.,.,

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~

(39)

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'.

'_ 4i j

~

" ) \

\

, : "

.

..

.

~ .

L;/:

" , , " , # ~ ,

55QOm.'

La' figure 1 donne l'1norement maximum de temps

,al1Qué par' le

'o:r1.tè~~

·dé

8tabl~1

té en fonction de la

,

latitudè dans 1es cas avec et

sans

fll~re polalre

de'Fou-, , J ,

(f-I • ' . .

'~I J . . , . .

rler. On .pe~t'y notè~ lfava~tage du filtre pOlaire qul

, , 1 .. . " ., " '.~. , ; ,

.'

, "

/ "

" "

.

( . ," , _, . " • 1

fal t passer

i

t'1nèrément 'de t~ps pei:"mis 'sur ,le, p;:-ésent

.

,

~ ~I .,. , '

qUs,drl1~ag~{ dO

'159

se~o~des ,a,~,9 secon~es •. : Le ~~ltre

polalre annule toute--"onde de; numéro -supérleur A

3

sur le

, , " • ~ t ' . . . ' . " '

oercle de la

~i

tude sl tué-'

l_'

1ft'J?"

de~

pbies,

~

9 sur le

' " 1 >

- J _ ,'~~( "

oercle sltué •

311/32

des'pbles et

-a

15

sur le cerole de

, ~ " ~, , ~. ... 1 " ..

:latl tude si tué l1

57T/32:de~ ·.p~l:es.

, .11 n'affecte pas le$'

" ~... . ,

ond-es aux autres latl tudes. p}.u,s pr~s "de l"'équateur.

,

.

, ,

Il seral t, bon de mentionner, en ,terminant, les

_.

ré~' , '

centes

cons~':atlons

de Wil11amson ( 1976

~l. Ce1u1~cl

"

• J . . • ,

d-émontrè' que la présénte versl0n':du filtre, polalr~ est

.

'

pius sév~re qu'11 ne ~aut pour satlsfal~e

àu

orlt~re d~

l,. ... '~ ~ f .f'.,~" _ , ? ~ ' " _

. stablli té linéaire. On pourra1 t respecter, ,oe meme ori.::.

, , . . " ~. ~

.t~re de stablllté en restre.lgdan't l'appllcation 'au

fll-;1 .. _ ~. '. ~ ", .~..." 1 .... . . . "', • l " " .. ( \

, .,:'.

_.~:re 8ltt' s,eules lati tudes -p~us élèTée~ 'qu~ 75 ~ 80, degrés

' , .

" _ , ' _ , .. ' ' . ~ ! 1 . • ( ; _ •

. '.:.. " ' de latl·tUd~ .. ·,COmme l'affirmé W11,11'amson, ,én, m1nlDÏ1ssnt

• c',' '; : , '

0,,','

:"r:ég~'O s~Q l~qu'ell~

'est'

~PP11qUé l~~~tre

polaire'

, :;

~

.' ),<

~ous \ilid~9~8 ~~a~taht, i'f'é~~ndu~

dé' h'.:régl0n' source'

.. 'f" l ' _ 1 ' " " t r . . . . _

'f," •

, deS' distorsl.ona dues au f1'1tré • . Ceci nous" am~tie li

en-" " , '1 -, .

.

, .

.

, r , ' i . . . . , . , :, .. 1 f t ~ l , ... ..~ 1 ... \ • 1 ... ' . v

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(40)

.'

" , ,

0.-

" \ " (sec.)

(

1000 -( " 500 -,'

"

~,OO "

fig. 1 Courbes donnant l'i~~rément maximum de temps al-loué par le orlt~re de stabi1tté llnéâirè dans le cas .

aveè

r

llgne seginentée, ) et sans' (. ligne pleiné ) le fl1-' tre pola1re de 'oUrler'en.fonotion _,

de'la

latitude." _~ .

" _,

~

. ,'"

"