Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Rattrapage analyse S3
La s´
erie g´
eom´
etrique.
Soit a ∈ R+. Rappeler rapidement le comportement de la suite (an) en fonction des valeurs de a.
Exercice 1 Pour un entier p ∈ N∗fix´e, on note un= an/np.
1. Montrer que si a 6 1, la suite (un) tend vers 0.
2. On suppose maintenant que a > 1.
(a) Montrer que la suite (un+1/un) converge et pr´eciser sa limite.
(b) Soit δ ∈]1, a[. Montrer qu’il existe N ∈ N tel que ∀n > N, un+1
un > δ
et en d´eduire
∀n > N, un> δn−NuN.
(c) En d´eduire que la suite (un) tend vers l’infini.
******************** Exercice 2 On consid`ere maintenant la suite (vn) d´efinie par
vn=
an
n!. 1. Montrer que si a 6 1, la suite (vn) tend vers 0.
2. On suppose maintenant que a > 1.
(a) Montrer que la suite (vn+1/vn) converge vers 0.
(b) Soit ε ∈]0, 1[. Montrer qu’il existe N ∈ N tel que
n > N ⇒ vn6 εn−NvN.
(c) En d´eduire que (vn) tend vers 0.
******************** Exercice 3 On consid`ere la s´erie P an.
1. Soit (Sn) la suite des sommes partielles de la s´erie P an :
Sn= n X k=0 ak. Exprimer Sn en fonction de n.
2. En d´eduire le comportement de la s´erieP an en fonction de a.
3. Montrer que si a < 1, alors la s´erieP npan
converge encore, quelque soit p ∈ N.
