Raisonnement et logique.

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique Mathématiques - 1 - Vocabulaire :

I – Implication.

II - Réciproque.

III – Equivalence.

Soit x un nombre réel. L’implication « si3x6, alorsx2 » et sa réciproque« six2, alors3x6 » sont

vraies. On peut écrire « 3x6si et seulement six2 » ou « 3x6équivaut à x2 ».

0 – Raisonnement

Logique, raisonnement et vocabulaire.

Une implication est une proposition de la forme « si P alors Q ».

Une implication « si P alors Q » est vraie lorsque l’hypothèse « P est vraie » entraine la conclusion « Q est vraie ».

Vocabulaire :

 Il suffit de savoir qu’une personne est française pour savoir qu’elle est européenne, on dit que c’est une condition suffisante.

 Il faut qu’une personne soit européenne, pour qu’elle puisse être française, on dit que c’est une

condition nécessaire.

La réciproque de l’implication « si P alors Q » est l’implication « si Q alors P ». La réciproque d’une implication vraie peut-être vraie ou fausse.

Lorsque les propositions« Si P, alors Q » et « si Q, alors P » sont toutes les deux vraies, on dit que les propositions P et Q sont équivalentes.

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

Mathématiques - 2 -

IV - Contraposée.

V - Raisonnements.

1°) A l’aide d’un exemple ou contre-exemple.

2°) A l’aide d’un exemple de la contraposée.

3°) Par l’absurde.

4°) Par disjonction des cas.

La contraposée de l’implication « Si P, alors Q » est l’implication « Si non Q, alors non P ». Si une implication est vraie, sa contraposée est vraie, si une implication est fausse, sa contraposée est fausse.

Un exemple permet de montrer qu’une proposition existentielle est vraie.

Lorsque l’on sait qu’une implication « Si P, alors Q » est vraie, on peut utiliser sa contraposée « Si non Q, alors non P » qui est également vraie.

Montrer qu’une proposition P est vraie en raisonnant par l’absurde consiste à supposer que P est

fausse et à montrer que cette hypothèse aboutit une contradiction.

Montrer qu’une proposition est vraie en raisonnant par disjonction des cas consiste à montrer qu’elle est vraie dans un nombre fini de cas, ces cas recouvrant tous les cas possibles.

Un contre-exemple est un exemple qui met en défaut une proposition universelle : il permet de montrer qu’une proposition n’est pas toujours vraie.