Optique non-linéaire dans le domaine des fréquences.

(1)

Universit ´e du Qu ´ebec

Institut National de la Recherche Scientifique Centre énergie Mat ériaux T él écommunications

O

PTIQUE NON

-

LINEAIRE DANS LE DOMAINE DES FR

´

EQUENCES

´

Par Guilmot Ernotte

M émoire pr ésent é pour l’obtention du grade Maˆıtre ès sciences (M.Sc.)

en sciences de l’ énergie et des mat ériaux D épos é le 19 d écembre 2016

Jury d’ évaluation Pr ésident du jury et examinateur interne Examinateur externe Directeur de recherche François Vidal INRS- ÉMT Fabien Qu ér é

Commissariat à l’ énergie atomique et aux énergies alternatives

François L égar é INRS- ÉMT

(2)

(3)

REMERCIEMENTS

Je commencerais par remercier Audrey. Bien que les choses soient diff érentes aujourd’hui, tu as ét é d’un support incommensurable particuli èrement pendant mes temps de faisceau.

Je dois aussi remercier Mathieu Gigu ère que j’ai rencontr é en industrie et qui m’a fortement sugg ér é d’essayer la recherche en milieu acad émique pour ma maitrise et qui m’a introduit à l’INRS et à l’ équipe de François L égar é.

Un merci sinc ère à François L égar é, mon directeur de recherche, pour avoir cr é é un environnement vraiment stimulant dans lequel j’ai grandement grandi. Merci aussi pour les multiples projets auquel tu m’as fait participer et à la chance que tu m’as donn ée en m’envoyant à plusieurs conf érences. Un gros merci à Philippe Lassonde pour toute l’aide que tu m’as apport ée dans le laboratoire, ainsi que les bons moments de d élires qu’on a eu particuli èrement en fin de temps de faisceau.

Je tiens aussi à remercier Vincent Gruson, ton arriv ée et ta pr ésence m’ont permis de me motiver pour ma fin de maitrise et tu m’as permis de d ébloquer sur certains probl èmes sur lesquels je travaillais depuis quelques temps. Merci aussi pour tes relectures de ce m émoire !

Je dois aussi remercier Bruno Schmidt qui a ét é un mentor pour moi ainsi qu’une v éritable aspiration pour me d épasser. Tu es toujours plein de super id ées int éressantes et tu rends les exp ériences au laboratoire tr ès motivantes.

Finalement, un merci à tous ceux qui m’ont aid é un moment ou un autre dans mes d émarches à l’INRS en particulier : Antoine Laram ée, Carol Morissette, Charles-Andr é Couture, Vincent Wanie, Vincent Cardin, Samuel Beaulieu, Heide Ibrahim et Nicolas Thir é.

(4)

(5)

R ´

ESUM

E

´

L’optique non-lin éaire repose sur l’interaction entre un champ électrique intense et la mati ère. Cette interaction cr ée de nouvelles fr équences, permettant d’atteindre des r égions spectrales inaccessibles par l’optique lin éaire. Un champ électrique intense peut être obtenu via l’utilisation d’impulsions ultra-br èves, de l’ordre de la femtoseconde. Cependant, la relation temps-fr équence montre que ce type d’impulsions poss ède un spectre large. Il devient alors difficile de conserver toutes les propri ét és spectrales d’une impulsion d û à la nature non-lin éaire des op érateurs en jeu, en particulier dans le cas de l’amplification param étrique optique et pour la g én ération de seconde harmonique. Ce m émoire pr ésente une nouvelle approche pour l’optique non-lin éaire qui divise cet op érateur non-lin éaire sur des bandes spectrales plus étroites de façon parall èle afin de conserver toutes les propri ét és spec-trales de l’impulsion. Pour ce faire, un montage 4-f est utilis é et l’interaction non-lin éaire se r éalise sur un spectre dispers é spatialement. Plus particuli èrement, un amplificateur param étrique optique a ét é construit de cette façon et a permis d’amplifier une impulsion tr ès large-bande de trois cycles optiques à 1.8 µm jusqu’ à 13 mJ avec 79 mJ de pompe sans aucune perte au niveau de la largeur du spectre. De plus, un montage de g én ération de seconde harmonique a ét é construit dans un 4-f et les pro-pri ét és de l’impulsion de seconde harmonique sont compar ées à celles d’un montage conventionnel. Il a ét é observ é que la g én ération dans un 4-f annule le couplage fr équentiel et permet d’obtenir un spectre de seconde harmonique qui a une relation avec le spectre fondamental lin éaire en phase et quadratique en amplitude, alors que le montage conventionnel utilisant l’espace temporel ne respecte pas ces relations.

Mots cl ´es : Optique lin ´eaire ; optique ultra-rapide ; optique de Fourier ; laser ; amplificateur

(6)

(7)

ABSTRACT

Nonlinear optics is performed by interacting an intense electric field with matter. This interaction gene-rates new frequencies, which are inaccessible by linear optics. Intense electric field can be obtained by using ultrashort pulses that are in the order of the femtosecond. However, time-frequency relation shows that this type of pulse has a large bandwidth. Hence, it becomes difficult to conserve all spec-tral properties of the laser pulse due to the nonlinear nature of the operator, in particular in the case of optical parametric amplification and second harmonic generation. This master thesis presents a new approach for nonlinear optics which divides this operator on multiples shorter bandwidth in a parallel manner to conserve all spectral properties. To do so, a 4-f setup was built and nonlinear propagation is realized in a plane where the spectrum is dispersed on a spatial axis. In particular, an optical para-metric amplifier was built in this manner to amplify a three cycles bandwidth at 1.8 µm to 13 mJ with the use of 79 mJ of pumping without losing any spectrum. Moreover, a second harmonic generation setup was built in a 4-f and is compared with a regular setup. It will be shown that the generation in the 4-f setup suppresses the frequency coupling during the nonlinear propagation thus the second harmonic spectrum has a relation with the fundamental spectrum that is linear in phase and quadratic in amplitude, while the conventional setup in the temporal domain did not conserve these properties.

Keywords : Non-linear optics ; Ultrafast optics ; Fourier optics ; Laser ; Non-linear amplifier ; Second

(8)

(9)

T

ABLE DES MATI

ERES

`

Remerciements

. . . iii

R ´esum ´e

. . . v

Abstract

. . . vii

Table des mati `eres

. . . ix

Liste des figures

. . . xiii

Liste des symboles et des acronymes

. . . xvi

1 Introduction

. . . 1

2 Th ´eorie

. . . 5

2.1 Susceptibilit ´e ´electrique

. . . 5

2.1.1 D ´efinitions. . . 5

2.1.2 Bir ´efringence . . . 6

2.1.3 Dispersion. . . 8

2.1.4 M ´elange `a trois ondes . . . 10

2.1.5 Accord de phase. . . 13

2.1.6 G ´en ´eration de seconde harmonique . . . 15

2.1.7 Amplification param ´etrique optique . . . 16

2.1.8 M ´elange `a quatre ondes . . . 19

2.2 Mesure de dur ´ees par FROG

. . . 21

2.2.1 Fen êtrage optique r ésolu en fr équences . . . 22

2.2.2 G ´en ´eration de seconde harmonique-FROG . . . 23

2.2.3 R ´eseau transitoire-FROG . . . 23

2.3 Etireur 4-f

´

. . . 24

2.3.1 Fonctionnement . . . 24

2.3.2 Dur ´ee au plan de Fourier. . . 26

2.3.3 Matrice de Kostenbauder . . . 27

3 Amplification param ´etrique optique dans le domaine de

Fourier (FOPA)

. . . 33

3.1 Probl ´ematique

. . . 33

(10)

3.3 Travaux ant ´erieurs

. . . 35

3.3.1 Montage et r ´esultats exp ´erimentaux . . . 35

3.3.2 Autres FOPA . . . 37

3.4 Objectifs

. . . 37

3.5 Montage exp ´erimental

. . . 38

3.5.1 G ´en ´eration de l’amorce. . . 39

3.5.2 Mise en forme de la pompe . . . 40

3.5.3 Composants du FOPA . . . 41

3.6 R ´esultats exp ´erimentaux

. . . 42

3.6.1 Spectre . . . 42

3.6.2 Energie et efficacit ´e´ . . . 43

3.6.3 Profil spatial. . . 44

3.6.4 Profil temporel . . . 45

3.7 Observations et simulations

. . . 46

3.7.1 Dur ´ee de l’impulsion de pompe . . . 46

3.7.2 Synchronisation de l’amorce et de la pompe . . . 48

3.8 Consid ´erations futures

. . . 49

4 G ´en ´eration de seconde harmonique dans le domaine de

Fourier (GSHF)

. . . 51

4.1 Objectifs

. . . 51

4.2 Montage exp ´erimental

. . . 52

4.3 R ´esultats exp ´erimentaux

. . . 53

4.3.1 Profil spatial. . . 53

4.3.2 Modulation de phase . . . 54

4.3.3 Modulation d’amplitude . . . 55

4.4 Discussion

. . . 57

4.4.1 Mod `ele math ´ematique . . . 57

4.4.2 Modulation de phase . . . 58

4.4.3 Modulation d’amplitude . . . 60

4.5 Consid ´erations futures

. . . 62

(11)

Annexes

. . . 69

(12)

(13)

LISTE DES FIGURES

1.1 Sch ématisation de l’amplification par d érive de fr équences. . . 2 1.2 Milieux d’amplification laser. Image tir ée de [13]. . . 3 2.1 Surface d’indice pour un milieu a) uniaxial positif, b) uniaxial n égatif et c) biaxial . . 8 2.2 Double r éfraction à travers un cristal de calcite, image tir ée de [48] . . . 9 2.3 Evolution d’une impulsion temporelle avec de la dispersion spectrale : a) sans dis-´

persion, b) dispersion du premier ordre, c) dispersion du deuxi ème ordre et d) dis-persion du troisi ème ordre . . . 10 2.4 Diagramme d’ énergie de Jablonski pour les m élanges à trois ondes . . . 12 2.5 Evolution de l’amplitude complexe du champ g én ér é quand a) il n’y a pas d’accord´

de phase, b) un accord de phase par bir éfringence et c) un accord de phase par domaines invers és. Chaque fl èche noire repr ésente une onde g én ér ée dans le cristal non-lin éaire sur une longueur infinit ésimal dz et la fl èche rouge repr ésente l’interf érence de toutes ces ondes. . . 14 2.6 Diff érence entre le sch éma d’un OPA et d’un NOPA. Chaque rectangle color é

repr ésente une impulsion laser à une fr équence donn ée. . . 15 2.7 Oscillation de l’intensit é des faisceaux dans un OPA en fonction de la longueur pour

un accord de phase parfait avec les conditions initiales d’une pompe beaucoup plus intense que le signal et un idler d’une intensit ´e nulle. . . 17 2.8 Visualisation temporelle d’une amplification en OPCPA. On remarque que les ailes

de l’impulsion à amplifier, qui sont aussi les ailes spectrales, voient une intensit é de pompe plus faible. . . 19 2.9 Sch éma optique d’un r éseau transitoire . . . 21 2.10 Spectrogrammes GSH-FROG pour une impulsion avec une dispersion de a) 0 fs ,

b) -2000 fs2, c) 2000 fs2, d) -75 000 fs3et e) 75 000 fs3 . . . 24 2.11 Spectrogrammes RT-FROG pour une impulsion avec une dispersion de a) 0 fs , b)

-2000 fs2, c) 2000 fs2, d) -75 000 fs3 et e) 75 000 fs3 . . . 25 2.12 Sch ´ema d’un montage 4-f . . . 26 2.13 Evolution d’une impulsion dans un montage 4-f dans les quatre domaines (x, k, t, ν)´

pour une impulsion se situant à z (a & b)<0, (c) = 0.33f, (d) = 0.66f, (e) = 1.33f, (f) = 1.66f, (g) = 2.00f, (h) = 2.66f, (i) = 3.66f et (h) = 4.00f. Les lignes de contours s’arr êtent à 0.1%. . . 31 3.1 Sch éma d’un FOPA . . . 34 3.2 Interaction picoseconde dans un a) OPCPA et b) un FOPA . . . 34 3.3 Diff érents profils de spatiaux de pompe pour le FOPA : a) gaussien et b) accru sur

les ailes. Adapt ´ee de [62] . . . 35 3.4 Supression de la superfluorescence dans un FOPA. La majorit ´e de la

(14)

3.5 Spectre de l’impulsion amplifi ´ee dans le FOPA en fonction du niveau de pompe. Adapt ´ee de [61] . . . 37 3.6 Distribution spatiale de l’impulsion au plan de Fourier pour obtenir 100 mJ de moyen

infrarouge. . . 38 3.7 Sch éma de la chaˆıne laser pour le FOPA . . . 39 3.8 Spectres normalis és avant et apr ès la fibre creuse . . . 40 3.9 Profil spatial de la pompe du FOPA a) avant la mise en forme et b) apr ès la mise

en forme . . . 41 3.10 Vue de c ôt é du FOPA . . . 41 3.11 Valeur du sinc2_{(∆kL/2) pour les BBO utilis és dans le FOPA. La ligne en tirets}

d élimite la s éparation entre les deux cristaux dans le plan de Fourier . . . 42 3.12 Spectres en sortie de FOPA pour diff érents niveaux d’amplification. La ligne en

tirets illustre la s éparation entre les deux cristaux . . . 43 3.13 Energie et efficacit é en sortie de FOPA en fonction du niveau de pompage . . . 44´ 3.14 Profil spatial au foyer d’une lentille de 50 cm du faisceau a) d’amorce et b) amplifi é.

Les images sont prises par absorption à deux photons sur une cam éra CCD en silicium. . . 45 3.15 Trace FROG reconstitu ée et profil temporel correspondant de l’amorce . . . 46 3.16 Evolution d’une impulsion amplifi ée dans un FOPA lorsque la pompe a la m ême´

dur ée que l’amorce (a-c) et lorsqu’elle est plus courte (d-f). a), b), d) et e) pr ésentent l’impulsion au plan de Fourier et c) et f) en sortie. . . 47 3.17 Evolution d’une impulsion amplifi ée dans un FOPA lorsque la pompe est synchro-´

nis ée (a-c) et d ésynchronis ée (d-f). a), b), d) et e) pr ésentent l’impulsion au plan de Fourier et c) et f) en sortie. . . 49 4.1 GSH pour a) un laser continu, b) une impulsion femtoseconde et c) une impulsion

dispers ´ee spatialement . . . 51 4.2 Montage exp ´erimental de la GSH dans le plan de Fourier. . . 53 4.3 Image du foyer du faisceau de seconde harmonique en GSHF. . . 54 4.4 Spectrogrammes RT-FROG pour un faisceau avec une dispersion du second ordre

n égative g én ér é par a) GSHF et b) GSHT et un faisceau avec une dispersion du second ordre positive g én ér é par c) GSHF et d) GSHT . . . 54 4.5 Spectrogrammes RT-FROG pour une impulsion avec une dispersion du troisi ème

ordre pour a) l’onde fondamentale, b) l’onde g én ér ée par GSHF et c) l’onde g én ér ée par GSHT . . . 55 4.6 Phases spectrales reconstruites des ondes fondamentale et de seconde

harmo-nique. Un facteur deux sur les échelles entre les ondes fondamental et de seconde harmonique est appliqu é à des fins de comparaison. . . 56 4.7 Spectres de la GSH en fonction de la dur ée de l’impulsion fondamentale pour une

interaction a) dans le domaine du temps et b) dans le domaine des fr ´equences. . . 56 4.8 Spectrogrammes RT-FROG th ´eoriques pour un faisceau avec une dispersion du

(15)

4.9 Spectrogrammes RT-FROG th éorique pour une impulsion avec une dispersion du troisi ème ordre pour a) l’onde fondamentale, b) l’onde g én ér ée par GSHF et c) l’onde g én ér ée par GSHT. . . 60 4.10 Spectrogrammes RT-FROG th éoriques pour la (b-i) GSHF avec un filtre fr équentiel

Fiallant de 0.2 nm `a 200 nm. a) pr ´esente le spectrogramme RT-FROG pour l’onde

fondamentale et j) celui de la GSHT. . . 61 4.11 Spectres de l’impulsion fondamentale mis au carr ´e (jaune) et lorsqu’on tient compte

de sa courbe d’accord de phase (orange), de l’onde de GSHF (noire) et de l’onde de GSHT lorsque l’impulsion initiale n’est pas allong ´ee (violet) et lorsqu’elle l’est `a 2 ps (gris). . . 62 4.12 Spectre de seconde harmonique sur une carte fluorescente pour un cristal au plan

(16)

LISTE DES SYMBOLES ET DES ACRONYMES

A Amplitude ´electrique [V/m]

B Champ magn ´etique [T]

c Vitesse de la lumi `ere [m/s]

χ(n) _{Susceptibilit ´e ´electrique d’ordre n []}

D Induction ´electrique [C/m2_]

d Coefficient non-lin ´eaire [m/V] ϵ0 Permittivit ´e du vide [F/m]

ϵr Permittivit ´e relative []

ϕ Phase [rad]

Φ Flux de photons [m−2· s−1_]

f Longueur focale [m]

g Pas du r ´eseau [m]

H Champ magn ´etique [A/m]

I Intensit ´e [W/m2_]

J Densit ´e de courant [A/m2]

k Vecteur d’onde [m−1]

λ Longueur d’onde [m]

Lc Longueur du cristal [m]

M Aimantation [A/m]

m Ordre de diffraction []

µ0 Perm ´eabilit ´e du vide [T · m/A]

n Indice de r ´efraction []

ν Fr ´equence [Hz]

n2 Indice de r ´efraction non-lin ´eaire []

P Vecteur polarisation [C/m2]

Pk Matrice de projection []

θd Angle de diffraction [rad]

θi Angle d’incidence [rad]

ρ Densit ´e de charges [C/m3_]

R Rayon de courbure [m]

σt Dur ´ee de l’impulsion

t Temps [s] τ D ´elai [s] vf Vitesse de phase [m/s] vg Vitesse de groupe [m/s] ω Pulsation [rad · Hz] win Taille du faisceau [m] x Position transverse [m]

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ALLS Ang., Advanced Laser Light Source

BBO Ang., Beta borate de barium

CCD Ang., Charged Coupled Device

CEP Ang., Phase entre l’enveloppe et la porteuse CPA Ang., Amplification par d ´erive de fr ´equences

EEO Effet ´electro-optique

EMT Energie, mat ériaux et t él écommunications´

FOPA Ang., Amplification param étrique optique dans le domaine de Fourier FROG Ang., Fen êtrage optique r ésolu en fr équences

GDF G én ération par diff érence de fr équences GSF G én ération par somme de fr équences GSH G én ération de seconde harmonique

GSHF G én ération de seconde harmonique dans le domaine de Fourier GSHT G én ération de seconde harmonique dans le domaine temporel INRS Institut national de la recherche scientifique

NOPA Ang., Amplification param étrique optique non-collin éaire OPA Ang., Amplification param étrique optique

OPCPA Ang., Amplification param étrique optique par d érive de fr équence

PF Plan de Fourier

RO Rectification optique

RT R ´eseau transitoire

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CHAPITRE

1 INTRODUCTION

La vision est probablement le sens qui comble le plus le besoin de curiosit é de l’homme. Le vieil adage dit qu’il est beaucoup plus ais é de comprendre ce que l’on peut voir. Cependant, l’oeil humain est limit é à l’observation de la gamme spectrale dite visible (400 nm-780 nm) et limit é par son pouvoir de s éparation (environ une minute d’arc). Afin de d épasser cette limite, l’homme a d évelopp é des outils pour contr ôler la lumi ère et mieux observer la nature qui l’entoure. Ces outils ont permis de comprendre les comportements de la lumi ère comme la r éfraction, la r éflexion, la diffusion, etc. Au XXe si ècle, les exp ériences sur l’effet photo électrique ont permis de comprendre que la lumi ère se comporte comme des particules de lumi ère appel és photons [1]. Chaque photon poss ède sa propre énergie E qui est reli ée à sa fr équence ν gr âce à la constante de Planck : E = hν. Les ph énom ènes qui conservent l’ énergie de ces photons sont class és par les physiciens comme étant de l’optique lin éaire. À l’inverse, l’optique non-lin éaire est une classification qui regroupe tous les ph énom ènes de chimie des photons : deux photons identiques fusionnent ensemble pour n’en faire qu’un avec le double d’ énergie ou encore un photon de grande énergie se scinde en deux photons de moindre

´energie.

Une des premi ères d émonstrations th éoriques d’un effet non-lin éaire est l’absorption de deux photons par Maria G öppert-Mayer en 1931 [2]. L’absorption à deux photons est un processus o ù un électron est promu à un niveau sup érieur en absorbant l’ énergie de deux photons simultan ément. Cepen-dant, il a fallu attendre plusieurs ann ées avant la premi ère observation exp érimentale de l’optique non-lin éaire car la probabilit é d’occurrence d épend de la pr ésence de plusieurs photons au m ême moment, c’est- à-dire qu’il faut utiliser des sources lumineuses tr ès intenses pour pouvoir voir un effet non-lin éaire.

Ces sources tr ès intenses sont apparues avec l’av ènement du laser en 1960 [3] et ont permis la premi ère d émonstration exp érimentale de l’absorption à deux photons qui a ét é r éalis ée par Kaiser et al. [4]. De plus, pour la premi ère fois, il a ét é possible d’observer la g én ération d’une nouvelle fr équence [5]. Celle-ci était le double de celle du laser utilis é. Aujourd’hui, on appelle ce ph énom ène g én ération de seconde harmonique (GSH). La g én ération de seconde harmonique est l’ équivalent de l’absorption à deux photons sauf qu’elle se fait vers un état virtuel au lieu de r éel forçant ainsi une d ésexcitation instantan ée de l’ électron qui émet un photon avec le double d’ énergie. Par la suite, un ensemble de ph énom ènes non-lin éaires a ét é observ é, permettant d’acc éder à des fr équences inac-cessibles par amplification laser. Le d éveloppement de la technologie laser a grandement contribu é au d éveloppement de l’optique non-lin éaire en offrant des sources de plus en plus intenses.

Un de ces d éveloppements technologiques cl és dans l’histoire du laser est l’arriv ée du blocage de modes. Cette technique consiste à faire interf érer constructivement tous les modes longitudinaux

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qu’en favorisant leur propagation sous forme d’impulsion ultra-courte d’une dur ée inf érieure à la pi-coseconde [6]. Au fur et à mesure que le d éveloppement de la technologie permettait d’augmenter l’ énergie de ces impulsions ainsi que de diminuer leur dur ée, celles-ci sont devenues beaucoup trop intenses pour pouvoir être amplifi ées de façon conventionnelle sans endommager les cristaux d’am-plification. Pour contourner ce probl ème d’intensit é, l’amplification par d érive de fr équences a ét é invent ée [7]. Cette technique peut être d écrite sch ématiquement en trois étapes : a) l’impulsion est étir ée temporellement via l’ajout de dispersion. Pour cela, un couple de r éseaux de diffraction est utilis é. Ce dispositif est appel é étireur. b) Une fois étir ée, son intensit é pic est fortement diminu ée ; l’amplification est alors possible. c) L’impulsion amplifi ée est compress ée en compensant la disper-sion initialement ajout ée, via un second couple de r éseaux. Ce dispositif est appel é compresseur. L’amplification d’une impulsion laser par d érive de fr équences est illustr ée à la figure 1.1.

FIGURE1.1 – Sch ématisation de l’amplification par d érive de fr équences.

Un montage classique utilis é pour étirer des impulsions est le montage 4-f [8]. Celui-ci a la particu-larit é de disperser les diff érentes composantes spectrales d’une impulsion dans un plan appel é plan de Fourier. Cette propri ét é est utilis ée abondamment pour manipuler la phase et l’amplitude trale d’une impulsion [9–11] afin de g én érer le profil temporel. Cependant, cette manipulation spec-trale dans un 4-f n’a ét é que lin éaire jusqu’ à pr ésent. Dans le cadre de ce m émoire, le dispositif 4-f sera utilis é pour deux interactions non-lin éaires. Comme nous le verrons, la s éparation spatiale des diff érentes fr équences permettra de s’affranchir des contraintes usuelles de l’interaction non-lin éaire large bande. Ces deux interactions seront l’amplification param étrique optique (OPA, ang.) [12] et la GSH. On classifiera ces interactions comme étant de l’ ”optique non-lin éaire dans le domaine des fr équences.” Ce nouveau type d’interaction n’est pertinent que dans le domaine de l’optique ultra-court : il ne s’applique donc qu’aux impulsions larges bandes.

Tout d’abord, l’OPA et son compl ément, la g én ération par diff érence de fr équences (GDF), sont des outils indispensables en optique ultra-rapide. En effet, ils permettent d’atteindre des plages spectrales o ù aucun mat ériau d’amplification lin éaire est en mesure de g én érer des impulsions femtosecondes et énerg étiques. La figure 1.2 illustre que le nombre de milieux de gain laser supportant des bandes spectrales femtosecondes est tr ès faible et qu’il y a un trou important dans la gamme de l’infrarouge moyen. Il est à noter que cette figure n’est pas à jour sur les derniers milieux de gain et que des milieux à base de chalcog énure permettent de combler ce trou. Cependant, ceux-ci ne permettent pas encore des impulsions tr ès énerg étiques. Pour atteindre ces gammes spectrales avec des impulsions femtosecondes, il faut utiliser des processus non-lin éaires qui permettent de changer la fr équence du laser.

(21)

FIGURE1.2 – Milieux d’amplification laser. Image tir ´ee de [13].

nent en chimie et en physique ultra-rapide. Ces lasers sont utilis és pour la g én ération d’harmoniques d’ordre élev é dans les gaz [14–17] et dans les solides [18–20] de m ême qu’en spectroscopie vibra-tionnelle [21, 22]. Gr âce à la GDF, il est possible d’atteindre le moyen infrarouge et l’OPA permet d’augmenter l’ énergie de l’impulsion. Toutefois, des probl èmes d’intensit é dans les cristaux comme dans l’amplification lin éaire surviennent et la m ême strat égie d’amplification par d érive de fr équences est employ ée afin de les contourner. Cela donne lieu à un montage dit d’OPCPA [23]. Gr âce à cette m éthode, des impulsions dans le moyen infrarouge tr ès intenses ont ét é amplifi ées jusqu’au niveau du mJ et avec moins de trois cycles optiques [24–32]. Toutefois, d û à la nature limitative des cristaux non-lin éaire, des spectres plus larges et donc des impulsions plus courtes n’ont pas pu être am-plifi és directement par cette m éthode. Pour r éussir cet exploit, il a fallu avoir recours à des montages s équentiels d’OPCPA o ù chaque amplificateur amplifie sa propre bande spectrale [33–38]. Cepen-dant, ce genre de montage optique est souvent tr ès compliqu é et peu polyvalent. Dans ce m émoire, une m éthode plus simple et polyvalente est utilis ée pour remplir cette t âche et est appel ée OPA dans le domaine de Fourier (FOPA). En quelques mots, cette technique permet l’amplification parall èle des diff érentes composantes spectrales de l’impulsion gr âce à un 4-f permettant ainsi l’utilisation de plus d’un cristal à la fois.

La deuxi ème section de ce m émoire s’attarde à la GSH effectu ée dans un 4-f. En optique ultra-rapide, la GSH est un outil utilis é afin d’atteindre des fr équences dans le bleu jusqu’ à l’ultraviolet, des gammes spectrales qui sont inaccessibles avec des bandes spectrales femtosecondes par amplifi-cation lin éaire. Atteindre ces gammes spectrales est pertinent pour exciter des syst èmes atomiques et mol éculaires en spectroscopie [39, 40], pour imiter des ph énom ènes d’asym étrie de phases en combinant une onde fondamentale avec sa seconde harmonique [41, 42], pour g én érer des fais-ceaux à polarisation circulaire par g én ération d’harmoniques d’ordre élev é [43, 44] ou pour perturber la g én ération d’harmoniques d’ordre élev é et obtenir des harmoniques paires et ainsi contr ôler in situ la g én ération [19, 45]. En g én éral, ces faisceaux de seconde harmonique sont difficilement

(22)

manipu-lables car la plupart des mat ériaux absorbent dans cette r égion. D ès lors, il n’existe aucun montage permettant de mettre en forme une impulsion dans cette gamme spectrale. En effectuant la GSH dans un 4-f, ces faisceaux sont manipul és plus ais ément et il devrait être possible de transf érer directement toute la technologie de mise en forme d’impulsions dans l’infrarouge vers l’ultraviolet.

Afin de bien comprendre le fonctionnement de ces deux ph énom ènes non-lin éaires dans un montage 4-f, les bases de l’optique non-lin éaire ainsi que le fonctionnement d’un 4-f sont revus dans la premi ère section de ce m émoire. Puis, les r ésultats de ces deux exp ériences sont élabor és. Ce m émoire se conclut sur une discussion plus g én érale sur l’optique non-lin éaire dans le domaine des fr équences.

(23)

CHAPITRE

2 TH

EORIE

´

2.1 Susceptibilit ´e ´electrique

Cette section vise à expliquer les aspects th éoriques d’une onde électromagn étique se propageant dans un milieu polarisable de façon lin éaire et non-lin éaire. Les d émarches suivantes sont inspir ées de [46, 47].

2.1.1 D ´efinitions

Lorsqu’un champ électrique oscillant E(t) se propage dans un milieu, celui-ci d éplace les nuages électroniques et forme un dip ôle p(t) = qx(t), o ù q repr ésente la charge électrique et x le d éplacement du nuage électronique par rapport à sa position initiale. Si le champ électrique n’est pas trop in-tense, alors ce d éplacement est proportionnel au champ E(t) et le dip ôle se comporte comme un ressort. C’est cette dynamique qui r égit la propagation lin éaire de la lumi ère. Toutefois si le champ électrique devient trop intense, le d éplacement du nuage électronique n’est plus proportionnel à E(t) et des composantes anharmoniques commencent à apparaˆıtre. Ce sont ces composantes qui ex-pliquent l’optique non-lin éaire. Pour comprendre les effets macroscopiques de ces dip ôles, il faut introduire le vecteur polarisation du milieu ⃗P qui peut être repr ésent é comme étant une moyenne volumique des dip ôles ⃗pmicroscopiques. On exprime ce vecteur en fonction du champ électrique par un d éveloppement en puissance comme suit :

⃗ P = ϵ0

(

χ(1)· ⃗E(t) + χ(2)· ⃗E(t) ⊗ ⃗E(t) + χ(3)· ⃗E(t) ⊗ ⃗E(t) ⊗ ⃗E(t) + . . .), (2.1) o ù ϵ0 repr ésente la permittivit é du vide, χ les tenseurs de susceptibilit é électrique et ⊗ un produit

tensoriel. Le terme en χ(1) est responsable de ph énom ènes de propagation dits lin éaires tels que l’indice de r éfraction et l’absorption. Les termes χ d’ordres sup érieurs sont responsables des effets non-lin éaires. Les sections suivantes s’int éressent à ce vecteur polarisation du milieu dans son aspect lin éaire puis non-lin éaire. La suite du d éveloppement s’appuiera aussi sur les équations de Maxwell

(24)

qui sont rappel ´ees ici : ⃗ ∇ · ⃗D(t) = ρ(t) (2.2a) ⃗ ∇ · ⃗B(t) = 0 (2.2b) ∇ × ⃗E(t) = −∂ ⃗B(t) ∂t (2.2c) ∇ × ⃗H(t) = ⃗J (t) +∂ ⃗D(t) ∂t (2.2d) ⃗ D(t) = ϵ0E(t) + ⃗⃗ P (t) (2.2e) ⃗ B(t) = µ0( ⃗H(t) + ⃗M (t) ) (2.2f)

o ù ⃗Dest l’induction électrique, ρ est la densit é de charges électriques, ⃗B et ⃗H sont appel és champs magn étiques, ⃗J est la densit é de courant, µ0est la perm éabilit é du vide et ⃗M est l’aimantation. Dans

le reste de ce m émoire, on consid éra que ρ, ⃗J et ⃗M sont nulles. À partir des équations 2.2c et 2.2d, on peut d ériver l’ équation d’onde en utilisant l’identit é vectorielle ∇ ×(∇ × ⃗E)= ∇( ⃗∇ · ⃗E)− ∇2_E_⃗ _:

∇(⃗∇ · ⃗E) − ∇2E = −µ⃗ 0 ∂2D⃗ ∂t2 ∇2E = µ⃗ 0 ∂2D⃗ ∂t2 (2.3)

Notons que le premier terme (∇(⃗∇ · ⃗E)) est nul en optique lin éaire à cause des équations 2.2a et 2.2e (en assumant ρ = 0) et en optique non-lin éaire il est n égligeable face au deuxi ème terme ∇2E.⃗

2.1.2 Bir ´efringence

Pour commencer, consid érons uniquement la portion lin éaire du vecteur polarisation du milieu. Ainsi, l’ équation d’onde peut s’exprimer comme suit :

∇2E = µ⃗ 0ϵ0ϵr ∂2E⃗ ∂t2 = ϵr c2 ∂2E⃗ ∂t2 (2.4)

o ù c est la vitesse de la lumi ère dans le vide et ϵr = 1 + χ(1) est la permittivit é relative du milieu.

D’ordinaire, on pr ésente l’indice de r éfraction comme étant n = √ϵr. Toutefois, cette d éfinition est

uniquement valide pour des milieux isotropes. Si le milieu est anisotrope, l’indice de r éfraction d épend de la direction de l’onde électromagn étique car la permittivit é relative s’exprime comme un tenseur d’ordre deux, diagonalisable.

(25)

ϵr = ⎡ ⎢ ⎣ n2_x 0 0 0 n2_y 0 0 0 n2_z ⎤ ⎥ ⎦

Pour trouver l’indice de r éfraction pour une direction donn ée, on peut d ériver des équations de Max-well : l’ équation de Fresnel et l’ équation des modes. Pour ce faire, on suppose une onde avec un vec-teur d’onde ⃗k, une pulsation ω, une amplitude A et une polarisation ⃗e tels que ⃗E(t) = A⃗e expi(⃗k·⃗r−ωt). Par la suite, on utilise la relation de dispersion k/n = k0 = ω/cet l’ équation d’onde 2.3 qui devient

−(⃗k · ⃗E)⃗k + k2E = µ⃗ 0ϵ0ϵrω2E = k⃗ 02ϵrE⃗ (2.5)

En d éveloppant cette derni ère équation, on trouve l’ équation de Fresnel :

n2_xk_x2 n2_{− n}2 x + n 2 yky2 n2_{− n}2 y + n 2 zk2z n2_{− n}2 z = 0 (2.6)

o ù les ki repr ésentent les composantes i du vecteur d’onde k normalis é. Pour utiliser cette équation,

on se place dans la condition o `u une des composantes ki est nulle et on trouve l’ ´equation de deux

ellipses dont la distance entre l’origine et la surface repr ésente la valeur de l’indice de r éfraction. Le fait que le r ésultat de l’ équation de Fresnel donne deux ellipses est li é au fait que le champ électrique peut avoir deux polarisations diff érentes : chaque polarisation subit son propre indice de r éfraction. Si ces deux indices de r éfraction sont identiques pour toutes les directions de l’onde, on parle d’un milieu isotrope. Dans le cas contraire, on parle d’un milieu bir éfringent. Il existe deux familles de milieux bir éfringents. La premi ère est appel ée milieu uniaxial, o ù nz ̸= nx = ny. Si nz > nx = ny (resp.

nz < nx = ny), il s’agit d’un milieu uniaxial positif (resp. n ´egatif). La seconde famille est appel ´ee

milieu biaxial, o `u nz > ny > nx. Pour tous les milieux bir ´efringents, si la polarisation subit toujours

le m ême indice de r éfraction peu importe la direction de l’onde, on dit qu’elle subit un indice de r éfraction ordinaire. À l’inverse, s’il varie, on parle d’un indice extraordinaire. Il existe dans les milieux bir éfringents un axe o ù les deux polarisations subissent le m ême indice, on appelle cette direction l’axe optique. Dans un milieu uniaxial, cet axe est confondu avec l’axe z. Dans un milieu biaxial, il existe deux axes optiques qui sont situ és dans le plan xOz. On peut repr ésenter la variation de l’indice de r éfraction avec des surfaces, dites d’indices, comme à la figure 2.1.

Num ériquement, r ésoudre l’ équation de Fresnel pour trouver l’indice de r éfraction n’est pas ais é à cause de ses nombreuses singularit és. Cette t âche est plus ais ée en utilisant l’ équation des modes. Pour la d ériver, il faut repartir de l’ équation 2.5 et utiliser la d éfinition du champ électrique en fonction de l’induction électrique ⃗E = ϵ−1_r D/ϵ⃗ 0. Ainsi,

−n2k₀2(ˆk · ⃗E) ˆk + n2k₀2E = k⃗ ₀2D⃗ ϵ0

(26)

FIGURE2.1 – Surface d’indice pour un milieu a) uniaxial positif, b) uniaxial n ´egatif et c) biaxial

(I − Pk) · ϵ−1r · ⃗D =

⃗ D

n2 (2.7)

o ù, I est la matrice identit é et Pk = ˆk′· ˆkest la matrice de projection du vecteur ˆk. Cette équation est

une ´equation au valeur propre ( ˆH |ψ⟩ = λ |ψ⟩) dont les valeurs propres de la matrice (I − Pk) · ϵ−1r sont

1/n2. Une des trois valeurs propres sera toujours z éro, car un champ électrique ne peut avoir que deux polarisations orthogonales. Les vecteurs propres de cette équation sont les vecteurs ⃗Det indiquent la polarisation de l’induction électrique. Il est important de noter que dans un milieu bir éfringent le vecteur ⃗D n’est plus forc ément colin éaire avec ⃗E. On peut trouver, en manipulant les équations de Maxwell, que les él éments du triplet ⃗k, ⃗Det ⃗Bsont toujours orthogonaux. Par cons équent, le vecteur de Poynting ⃗S, qui est toujours perpendiculaire aux champs ⃗Eet ⃗B, n’est plus toujours colin éaire avec ⃗_{k. Cette situation apparaˆıt quand la lumi ère se propage avec une polarisation sur l’axe extraordinaire.} Comme le vecteur de Poynting repr ésente la direction du flux de l’ énergie, il est possible d’avoir deux faisceaux polaris és orthogonalement qui rentrent avec une incidence normale dans un milieu bir éfringent, mais qui en ressortent spatialement s épar és. On parle alors de double r éfraction telle qu’illustr é à la figure 2.2. Ce ph énom ène est nuisible en optique non-lin éaire, car il r éduit la longueur d’interaction sur laquelle deux faisceaux ont un bon recouvrement spatial. Pour éviter cet effet nuisible, il faut soit utiliser des cristaux plus courts ou bien des faisceaux plus larges.

2.1.3 Dispersion

Dans le vide, n(ω) = 1, la relation de dispersion est donc donn ée par k(ω) = ω/c et évolue lin éairement avec ω. Dans des milieux tels que l’air, l’eau ou n’importe quel milieu optique, des effets de dispersion apparaissent, amenant une d éformation de l’impulsion. Lorsque la variation de l’indice de r éfraction du milieu avec la pulsation est faible, on peut effectuer un d éveloppement limit é du vecteur d’onde k(ω)

(27)

FIGURE2.2 – Double r éfraction à travers un cristal de calcite, image tir ée de [48]

et de la phase spectrale ϕ(ω) = k(ω)L + ϕ0au voisinage de la pulsation centrale ω0 de l’impulsion :

ϕ(ω) − ϕ0 L = k(ω0) + dk dω ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ω0 (ω − ω0) + 1 2 d2k dω2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ω0 (ω − ω0)2+ 1 6 d3k dω3 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ω0 (ω − ω0)3+ . . . (2.8)

Le terme ϕ0 donne la phase de la porteuse du champ ´electrique au sommet de l’impulsion. Le

pre-mier terme d’ordre z éro est li é à la vitesse de phase vϕ = ω0/k(ω0) d’une impulsion. La vitesse de

phase repr ésente la vitesse avec laquelle la porteuse en dessous de l’enveloppe se propage. On verra dans une section suivante qu’en optique non-lin éaire, il est important de faire co¨ıncider les vi-tesses de phase des diff érentes impulsions. Ensuite, le terme de premier ordre est li é à la vitesse de groupe vg = dω/dk qui repr ésente la vitesse de propagation de l’enveloppe. C’est à cette vitesse

que l’ énergie dans l’impulsion est transport ée. Lors d’un processus non-lin éaire, il est n écessaire d’assurer que les diff érentes impulsions participant au processus aient la m ême vitesse de groupe, assurant ainsi un recouvrement temporel lors de l’interaction avec le milieu non-lin éaire. Ce terme n’a aucune cons équence sur la dur ée d’une impulsion. Par contre, les termes d’ordre sup érieur af-fectent la dur ée de l’impulsion. Le terme d’ordre deux, appel é dispersion de la vitesse de groupe, a pour effet d’affecter la phase temporelle d’une impulsion de façon sym étrique. Physiquement, on peut expliquer ce ph énom ène en remarquant que certaines longueurs d’onde se propagent à des vitesses de phase diff érentes dans le mat ériau. Si le mat ériau a une dispersion dite normale, les longueurs d’onde bleues se propageront plus lentement que les rouges à l’int érieur de l’impulsion et l’inverse pour une dispersion anormale. Si la dispersion initiale à l’int érieur m ême de l’impulsion est de signe oppos é à celle du mat ériau, il est possible de comprimer l’impulsion temporellement en la propageant dans le mat ériau. Finalement, le terme d’ordre trois étire une impulsion temporellement de façon asym étrique est g én éralement positif dans un mat ériau et difficile à compenser. Ces effets de la phase spectrale sur l’impulsion dans le domaine temporel sont illustr és à la figure 2.3.

(28)

FIGURE2.3 – Évolution d’une impulsion temporelle avec de la dispersion spectrale : a) sans dispersion, b) disper-sion du premier ordre, c) disperdisper-sion du deuxi ème ordre et d) disperdisper-sion du troisi ème ordre

2.1.4 M ´elange `a trois ondes

Dans cette section, on reprend l’ équation d’onde 2.3, mais en incluant le vecteur polarisation non-lin éaire du milieu ⃗PN L d’ordre deux de l’ équation 2.1.

∇2E −⃗ ϵr c2 ∂2E⃗ ∂t2 = 1 c2 ∂2P⃗N L ∂t2 (2.9)

Pour simplifier cette équation et comprendre les effets non-lin éaires en jeu, on approxime le champ électrique et le vecteur polarisation du milieu comme des ondes planes monochromatiques se d éplaçant en z, i.e. ⃗E = A⃗eei(kz−ωt) _{et ⃗}_{P = P ⃗}_e_ei(kz−ωt)_{. On consid ère également que l’enveloppe varie}

lentement par rapport `a la longueur d’onde : d_dz2A2 ≪ kdA_dz. `A cause de ces deux approximations,

ces équations sont tr ès mal adapt ées pour la propagation non-lin éaire d’impulsions ultra-courtes N éanmoins, ces approximations permettent d’obtenir un r ésultat analytique qui autrement devrait être trouv é num ériquement, comme cela a ét é fait par Brabec et Krausz [49]. En faisant les approxima-tions d écrites plus haut et en supposant que trois champs électriques (E1, E2 et E3) sont impliqu és

(29)

∇2E⃗3− ϵr c2 ∂2E⃗3 ∂t2 = 1 ϵ0c2 ∂2 ∂t2 ( χ(2)⊗ ⃗E1E⃗2 ) ∇2E⃗3+ ϵrω32 c2 E⃗3 = − ω2 3 c2 ( χ(2)⊗ ⃗E1E⃗2 ) [ ∂2 ∂z2 + 2ik3 ∂ ∂z − k 2 3+ k32 ] A3e⃗3ei(k3z−ω3t)= −k0,32 χ(2)⊗ ⃗e1e⃗2A1A2ei((k1+k2)z−(ω1+ω2)t) ⃗ e3 dA3 dz = ik0,3χ(2) 2n3 ⊗ ⃗e1e⃗2A1A2ei(∆kz−∆ωt) (2.10)

o ù on a introduit les param ètres ∆k = k1+k2−k3appel é l’accord de phase et ∆ω = ω1+ω2−ω3appel é

l’accord d’ énergie. Ces param ètres sont le reflet des principes physiques de la conservation de la quantit é de mouvement et de l’ énergie respectivement. D’ordinaire, on laisse tomber l’aspect vectoriel de cette équation en effectuant les produits avec le tenseur χ(2)/2 et on introduit le param ètre non-lin éaire effectif, def f, d éfini à l’ équation 2.11. Les paragraphes suivants vont d étailler cette équation

en d éveloppant les param ètres suivants : le param ètre non-lin éaire, l’accord d’ énergie, la relation des phases absolues et l’accord de phase.

def f = ⃗e3′· ( χ(2) 2 ⊗ ⃗e1e⃗2 ) (2.11)

Le tenseur χ(2) _{est le param ètre qui dicte l’efficacit é du processus non-lin éaire d’ordre deux. Dans}

la plupart des mat ériaux, ce tenseur est nul, car il faut que le milieu soit non-centrosym étrique : il existe une dissym étrie spatiale des charges. Cette condition exprime que le milieu poss ède une pr éf érence à être polaris é par un champ électrique positif par rapport à un champ n égatif. Si cette condition n’est pas remplie, l’onde non-lin éaire g én ér ée par le champ positif aura tendance à interf érer destructivement avec l’onde g én ér ée par le champ n égatif. Ainsi, les effets non-lin éaires d’ordre deux sont effectu és dans des cristaux ou dans des zones d’interactions tr ès fines pour éviter ce genre de ph énom ènes d’interf érences destructives. Cet argument est valide pour toute polarisation non-lin éaire d’ordre pair. Fait int éressant, une excitation sur un axe peut en g én érer une autre sur un autre axe car le tenseur d’ordre trois non-lin éaire d = χ(2)_/2_{poss ède des termes hors-diagonaux. Comme c’est}

un tenseur d’ordre trois, il faudrait 27 él éments pour le repr ésenter. Toutefois, à cause de la sym étrie du probl ème comme la permutation des champs électriques, il est possible de diminuer ce nombre à 18 él éments ind épendants. Ce nombre peut être encore r éduit en utilisant la sym étrie du cristal et usuellement un cristal n’a que deux ou trois él éments ind épendants. Typiquement, d est repr ésent é comme une matrice 3x6 o ù chaque ligne repr ésente les axes x, y et z et les colonnes repr ésentent deux champs polaris és en (1) x et x, (2) y et y, (3) z et z, (4) y et z, (5) x et z et (6) x et y. Ce tenseur est utilis é afin de d éterminer le vecteur polarisation du milieu à partir des champs électriques incidents comme pr ésent é à l’ équation 2.12. En étudiant ce tenseur, on peut savoir la force du ph énom ène non-lin éaire et les polarisations n écessaires pour le r éaliser. Par exemple, le param ètre d16= d21du BBO

(30)

des relations de polarisations comme il sera pr ésent é à la section sur l’accord de phase. ⎡ ⎢ ⎣ P3x P3y P3z ⎤ ⎥ ⎦= ϵ0 ⎡ ⎢ ⎣ d11 d12 d13 d14 d15 d16 d21 d22 d23 d24 d25 d26 d31 d32 d33 d34 d35 d36 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ E1xE2x E1yE2y E1zE2z E1yE2z+ E1zE2y E1xE2z+ E1zE2x E1xE2y+ E1xE2y ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.12)

Le prochain param ètre étudi é de l’ équation 2.10 est l’accord d’ énergie ∆ω. Pour ne pas obtenir une solution oscillante dans le temps, ce param ètre doit absolument être nul. Cependant, il existe diff érentes combinaisons qui permettent de remplir cette condition. En fait jusqu’ à pr ésent, nous n’avons consid ér é que des champs électriques complexes et avons omis son complexe conjugu é qui transporte une fr équence ”n égative”. En effet, un champ électrique est toujours r éel et donc il poss ède à la fois la fr équence positive et n égative. Cet ajout permet de classifier les effets non-lin éaires à trois ondes selon la fr équence g én ér ée. La figure 2.4 r ésume toutes ces possibilit és dans des diagrammes d’ énergie de Jablonski. La d éfinition des acronymes est la suivante : amplification param étrique optique (OPA, ang.), g én ération par diff érence de fr équences (GDF), g én ération de se-conde harmonique (GSH), g én ération par somme de fr équences (GSF), rectification optique (RO) et effet électro-optique (EEO).

FIGURE2.4 – Diagramme d’ énergie de Jablonski pour les m élanges à trois ondes

Finalement, le dernier param ètre de l’ équation 2.10 d évelopp é dans cette section est la relation de phase entre les ondes. Dans l’exemple donn é dans l’ équation 2.10, qu’on peut maintenant identifier comme étant une GSF, on voit que l’amplitude A complexe du champ 3 d épend du champ 1 et du champ 2 donc on peut écrire que la relation de phase est la suivante [51] : ϕ3 = ϕ1 + ϕ2 + π/2, o ù

π/2 provient du fait que les champs 1 et 2 sont multipli és par i. Pour g én éraliser cette équation aux autres ph énom ènes non-lin éaires, il suffit de changer le signe de ϕi à chaque fois qu’on utilise A∗i au

(31)

2.1.5 Accord de phase

L’accord de phase ∆k est le param ètre le plus important exp érimentalement de l’ équation 2.10. L’ac-cord de phase est un param ètre qui d écrit physiquement sur quelle distance les trois ondes restent en phase. Si l’accord de phase est non-nul, alors l’onde g én ér ée, en milieu de propagation, par effet non-lin éaire commencera à interf érer destructivement avec l’onde g én ér ée en d ébut de propagation. Comme pour l’accord d’ énergie, on va vouloir que ce param ètre soit nul avec une certaine tol érance. Si on d éveloppe l’accord de phase ∆k = 2π(n1/λ1+n2/λ2−n3/λ3) = 0, o ù k = n/λ, on remarque que

le seul param ètre libre pour r éussir l’accord de phase entre les trois ondes est l’indice de r éfraction, les longueurs d’onde sont fix ées par l’accord d’ énergie. À cause de la dispersion des mat ériaux ex-pos és à la section 2.1.3 il est quasiment imex-possible d’obtenir un accord de phase dans un milieu isotrope. La strat égie est alors d’utiliser des cristaux bir éfringents et de profiter du fait qu’ils ont deux courbes de dispersion. On oriente ces milieux de façon à ce que l’accord de phase soit r éalis é. Pour profiter de ces deux courbes de dispersion, il faut absolument qu’un des champs ait une composante orthogonale aux autres. On classifie les interactions non-lin éaires selon le sch éma des polarisations en jeu. Si les trois champs ont la m ême polarisation, on parle d’un type 0. Ce type d’interaction est impossible dans un milieu dispersif, donc il n’est pas possible d’utiliser le param ètre non-lin éaire d33

du LiNbO3 par ce genre de sch éma. Si la fr équence la plus élev ée est polaris ée perpendiculairement

aux deux autres, on parle d’une interaction de type I. Enfin, si les deux fr équences les plus faibles sont polaris ées perpendiculairement, on parle d’une interaction de type II. Il est à noter que l’accord de phase est en fait une relation vectorielle, il est donc possible de faire interagir des ondes dans des directions diff érentes tant que la somme vectorielle de l’accord de phase est nulle. Pour une interac-tion fortement non-colin éaire, le recouvrement spatial lors de la propagainterac-tion des diff érents faisceaux est faible. Cela limite la longueur effective de propagation non-lin éaire.

Une autre strat égie pour obtenir l’accord de phase est de venir changer p ériodiquement le signe du champ g én ér é exactement au moment o ù l’onde commence à interf érer destructivement. Pour r éussir à changer le signe du champ g én ér é, on inverse le signe du χ(2). Techniquement, on r éalise ceci en appliquant un fort champ statique sur un domaine du cristal, on r ép ète cette inversion de façon p ériodique pour obtenir un accord de phase dit par domaines invers és ou un quasi-accord de phase. On calcule le pas du domaine Λ tel que l’accord de phase soit nul : ∆k = k1+ k2+ k3+ 2π/Λ = 0.

Puisqu’on inverse le domaine tout juste avant que l’onde commence à interf érer destructivement, le coefficient non-lin éaire est l ég èrement moins efficace par un facteur π. La figure 2.5 pr ésente l’ évolution dans un plan complexe de l’onde g én ér ée pour les diff érentes strat égies d’accord de phase. En r ègle g én érale, l’accord de phase n’est parfaitement nul que pour une seule longueur d’onde. Or, une impulsion femtoseconde est large spectralement. Par cons équent, il faut d éfinir un param ètre pour d éfinir l’accord de phase sur une large bande spectrale. Ce param ètre est l’ épaisseur du cristal Lc et s’obtient et int égrant l’ équation 2.10 par rapport à z et en supposant que les enveloppes A1 et

(32)

FIGURE2.5 – Évolution de l’amplitude complexe du champ g én ér é quand a) il n’y a pas d’accord de phase, b) un accord de phase par bir éfringence et c) un accord de phase par domaines invers és. Chaque fl èche noire repr ésente une onde g én ér ée dans le cristal non-lin éaire sur une longueur infinit ésimal dz et la fl èche rouge repr ésente l’in-terf érence de toutes ces ondes.

A2 varient lentement par rapport l’exponentielle complexe. On obtient alors l’ ´equation suivante :

I3 ∝ sinc2

( ∆kLc

2 )

(2.13)

o `u I3 ∝ |A3|2est une intensit ´e. Typiquement, on dit qu’il y a encore accord de phase tant que la valeur

sinc2 _{est sup érieur à 0.5, ce qui correspond à une largeur spectrale de 70 fs pour doubler du 800nm}

pour un cristal de BBO épais de 0.5 mm. Pour obtenir une id ée de la largeur de bande spectrale, on peut faire un d éveloppement de Taylor de ∆k autour de ω.

∆k(ω) = ∆k(ω0) + d∆k dω ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ω0 (ω − ω0) + 1 2 d2∆k dω2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ω0 (ω − ω0)2+ . . . (2.14)

Le terme `a l’ordre z ´ero, ∆k(ω0), sera toujours nul et le terme du premier ordre impliquera des

ex-pression du type dk_dω qui est li é à la vitesse de groupe comme pr ésent é dans la section 2.1.3. De ce d éveloppement limit é, on comprend que la condition d’un accord de phase large bande repose sur l’accord des vitesses de groupe. Il est tr ès difficile d’avoir à la fois un accord de phase et un accord des vitesses de groupes dans un milieu dispersif pour une g éom étrie colin éaire. En OPA, on donne un l éger angle non-colin éaire entre les faisceaux pour que la projection des vitesses de groupe soient identiques et ainsi avoir un accord de phase large-bande ; on parle alors d’un NOPA (Noncollinear OPA)[52, 53]. La figure 2.6 pr ésente le sch éma d’un NOPA.

Finalement, une nouvelle technique a r écemment ét é d évelopp ée pour un accord de phase tr ès large-bande appel ée la conversion de fr équence par processus adiabatique [54]. Elle utilise un cristal avec des domaines invers és dont le pas du domaine varie tout le long du cristal. L’objectif est d’avoir un accord de phase qui varie lentement le long de l’axe de propagation du cristal passant d’une valeur n égative à positive. Il faut que l’accord de phase varie lentement le long de l’axe de propagation pour

(33)

FIGURE2.6 – Diff érence entre le sch éma d’un OPA et d’un NOPA. Chaque rectangle color é repr ésente une impulsion laser à une fr équence donn ée.

respecter le crit `ere d’adiabaticit ´e :

⏐ ⏐ ⏐ ⏐ d∆k dz ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ≪ (κ 2_{+ ∆k}2)3₂ |κ| (2.15)

o ù κ est le coefficient de couplage et est li é à def f. Pour respecter ce crit ère, des cristaux longs de

quelques cm sont utilis és. Cependant, les impulsions doivent être allong ées temporellement jusqu’ à plusieurs picosecondes afin d’ éviter des effets de vitesses de groupe qui r éduisent le recouvrement temporel entre les ondes. Bien que cette m éthode soit utilisable dans le cadre de cette maˆıtrise, elle n’a pas ét é étudi ée.

2.1.6 G ´en ´eration de seconde harmonique

La g én ération de seconde harmonique est le cas d ég én ér é des m élanges à trois ondes o ù deux ondes de m ême fr équence sont utilis ées pour g én érer une troisi ème avec le double de la fr équence. Quantiquement, deux photons de pompe fusionnent pour donner un photon deux fois plus énerg étique. L’ équation 2.10 peut donc se r é écrire comme suit :

dA2ω

dz =

ik2ωdef f

2n2ω

A2_ωei∆kz (2.16)

o ù les indices 2ω et ω font r éf érence aux faisceaux de seconde harmonique et de pompe respec-tivement. On peut écrire une équation similaire pour la variation de Aω. Cependant, on se place

g én éralement dans la condition de pompe non appauvrie et on approxime cette d ériv ée comme étant nulle. La condition de pompe non appauvrie correspond à la condition o ù l’ énergie de pompe est des ordres de grandeur sup érieure à l’ énergie du faisceau de seconde harmonique. Par cons équent, le transfert d’ énergie du faisceau de pompe au faisceau de seconde harmonique est n égligeable de-vant l’ énergie initiale du faisceau de pompe. Ainsi, l’ équation 2.16 se r ésout avec la condition initiale

(34)

A2ω(z = 0) = 0pour donner : A2ω = KA2ω· iz · sinc ( ∆kz 2 ) ei∆kz (2.17)

o ù K est un param ètre de couplage. On retrouve le sinc de l’accord de phase comme attendu. On remarque aussi que l’intensit é de la seconde harmonique d épend quadratiquement de la longueur du cristal et de l’intensit é du faisceau de pompe. Cette relation quadratique avec la pompe se com-prend par le fait que la GSH n écessite deux photons de pompe pour g én érer un photon de seconde harmonique.

2.1.7 Amplification param ´etrique optique

L’amplification param étrique peut être vue comme le processus quantique inverse de la g én ération de seconde harmonique ou plus g én éralement de la somme de fr équences : un photon de grande énergie est scind é en deux photons d’ énergie plus faible. Pour d éterminer avec quel ratio l’ énergie est distribu ée entre ces deux nouveaux photons, on utilise une autre onde comme intrant du syst ème. Cette deuxi ème onde, appel ée signal, est amplifi ée car elle gagne des photons aux d épens de la pompe. Par conservation de l’ énergie, une nouvelle onde est g én ér ée, celle-ci appel ée idler. Si on s’int éresse à l’amplification du signal, on dit qu’on fait de l’OPA, par contre si c’est la g én ération de l’idler qui importe, alors on dit qu’on fait de la GDF. Toutefois, ces deux processus sont indisso-ciables. Les équations du m élange à trois ondes pour ce ph énom ène peuvent s’ écrire sous la forme du syst ème d’ équations coupl ées suivant :

dAs dz = iksdef f ns ApA∗iei∆kz (2.18a) dAi dz = ikidef f ni ApA∗sei∆kz (2.18b) dAp dz = ikpdef f np AsAie−i∆kz (2.18c)

o ù les indices s, i et p font r éf érence au signal, à l’idler et la pompe respectivement. Pour uniformiser le syst ème d’ équations, on peut faire le changement de variables suivants Φi=√ni/ωiAi :

dΦs dz = iκΦpΦ ∗ iei∆kz (2.19a) dΦi dz = iκΦpΦ ∗ sei∆kz (2.19b) dΦp dz = iκΦsΦie −i∆kz _(2.19c)

(35)

κ = def f c √_ω pωsωi npnsni .

Φest l’ équivalent du flux de photons. Les int égrales premi ères, l’ équivalent des constantes du mou-vement en m écanique, de ces équations permettent de d ériver les relations de Manley-Rowe qui stipulent que :

mi = |Φp|2+ |Φs|2 (2.20a)

ms= |Φp|2+ |Φi|2 (2.20b)

o `u mi et mssont des constantes. Physiquement, ces constantes stipulent que le nombre de photons

doit rester constant : pour chaque photon de pompe scind é, il faut un photon de signal et un photon d’idler. Il est important de noter qu’en OPA, le processus de g én ération de somme de fr équences est aussi possible comme le d écrit l’ équation 2.19c. Dans cette situation, il faut qu’un photon de signal et un d’idler soient utilis és pour g én érer un de pompe. Ces deux processus, l’OPA et la GSF, sont toujours en comp étition et c’est l’intensit é relative des faisceaux qui d étermine lequel de ces deux ph énom ènes domine. Si la longueur de propagation le permet, l’intensit é de chacun des faisceaux oscille car le processus dominant change tout au long de la propagation. La figure 2.7 pr ésente ce genre d’oscillations. Ainsi, la longueur d’un cristal doit être judicieusement choisie pour éviter ces oscillations.

FIGURE2.7 – Oscillation de l’intensit ´e des faisceaux dans un OPA en fonction de la longueur pour un accord de phase parfait avec les conditions initiales d’une pompe beaucoup plus intense que le signal et un idler d’une intensit ´e nulle.

Un dernier point à noter à propos des équations coupl ées de l’OPA est la phase de l’idler. Comme on peut le voir dans l’ équation 2.19b, l’amplitude de l’idler g én ér ée est proportionnel à iΦpΦ∗s. Par

cons équent, la phase de l’onde g én ér ée peut s’ écrire comme ϕi = ϕp−ϕs+ π/2, o ù le pi/2 provient du

i. Cette relation est tr `es int ´eressante pour des impulsions de quelques cycles optiques car elle permet de stabiliser la phase de la porteuse sous l’enveloppe (CEP, ang.)[51]. En effet, si la phase du signal

(36)

de toutes fluctuations de la phase de la pompe en amont du processus de GDF. Pour s’assurer que la phase du signal reste une relation lin éaire de la phase de la pompe, il est important de stabiliser la g én ération du signal (souvent r éalis ée gr âce à un supercontinuum) et la diff érence de parcours optique entre ces deux ondes.

Les ´equations de l’OPA ne peuvent se r ´esoudre analytiquement sans faire des approximations. Nor-malement, on fait les approximations de la pompe non appauvrie dΦp

dz = 0 et de l’accord de phase

parfait ∆k = 0 et on utilise les conditions initiales Φs(z = 0) = Φs0 et Φi(z = 0) = 0pour r ´esoudre les

´equations :

Φs(z) = Φs0cosh (κ |Φp| z) (2.21a)

Φi(z) = iΦs0sinh (κ |Φp| z) (2.21b)

Comme on consid ère l’amplitude de pompe constante, il n’est pas possible de voir les oscillations de la figure 2.7. Par contre, on peut voir que dans le cas limite o ù z tend vers l’infini, les flux de photons sont similaires car l’apport initial de Φs0 devient n égligeable et que les photons de signal et d’idler

sont g én ér és en paires (conditions de Manley-Rowe).

Dans la situation o ù l’accord de phase n’est pas parfait, l’ équation a aussi une solution analytique, mais elle n’est pas simple à analyser. À la place, on peut refaire l’approximation qui m ène au sinc de l’ équation 2.13 et d évelopper le terme ∆k en s érie de Taylor :

0 = ∆k ≈ ∆k(ωs) + d∆k dωs · (ω − ω_s) + . . . 0 ≈ −dks dωs − dki dωs 0 ≈ −dks dωs − dki dωi dωi dωs 0 ≈ 1 vgi − 1 vgs (2.22)

Ainsi, pour r éaliser un OPA large bande, il faut que les vitesses de groupe du signal et de l’idler soient similaires. Cette situation est toujours vraie dans le cas d ég én ér é o ù ωs = ωi, mais cette situation

n’est pas tr ès int éressante parce que les deux ondes n’ont pas les m êmes phases et cela m ène à des probl èmes de stabilit é d û à des interf érences entre les deux ondes. Pour r éaliser cette condition, on utilise le fait que la relation de ∆k est une relation vectorielle et on donne un l éger angle non-colin éaire entre ces deux ondes de telle sorte que la projection de la vitesse de groupe selon l’axe z soit nulle. Cela donne lieu à un sch éma d’amplification NOPA comme pr ésent é à la figure 2.6. Techniquement, comme l’idler n’est pas inject é initialement, c’est un l éger angle non-colin éaire entre la pompe et le signal qui est r éalis é et on choisit un cristal avec un accord de phase de telle sorte que

(37)

Finalement, tout comme l’amplification laser lin éaire, la technologie OPA a d û évoluer pour faire face aux probl èmes d’intensit é des impulsions femtosecondes. La solution retenue pour contourner ce probl ème a ét é la m ême que pour les premiers lasers femtosecondes, la CPA. Lorsque cette tech-nique est utilis ée dans le cadre d’un OPA, on dit qu’on a un OPCPA [23]. En utilisant intelligemment les courbes de dispersions, des OPCPA amplifiant des impulsions de 10 fs ont ét é r éalis és [27, 37]. Cependant, contrairement à l’amplification laser lin éaire qui utilise des cristaux qui emmagasinent l’ énergie de pompe, l’amplification non-lin éaire poss ède un gain instantan é qui d épend du profil tem-porel de la pompe. Cette diff érence fait en sorte qu’en OPCPA, on peut voir apparaˆıtre un ph énom ène de r éduction de la bande spectrale par le gain. Comme la pompe a un profil temporel, le gain de l’OPCPA varie temporellement de telle sorte que les ailes de l’impulsion amplifi ée subissent moins de gain. Or, les ailes de l’impulsion sont aussi les ailes de son spectre d û à la dispersion d’ordre deux lors de l’ étirement. Cette situation est illustr ée à la figure 2.8 et a pour effet de diminuer la largeur spectrale et par cons équent d’allonger l’impulsion dans le domaine temporel apr ès recompression. Il est alors tr ès difficile d’amplifier des impulsions de quelques cycles optiques en OPA ou OPCPA. Pour r éussir cette t âche en OPCPA, on est oblig é de travailler proche du cas de d ég én érescence (ωp = 2ωs) afin que le signal et l’idler est la m ême vitesse de groupe.

FIGURE2.8 – Visualisation temporelle d’une amplification en OPCPA. On remarque que les ailes de l’impulsion `a amplifier, qui sont aussi les ailes spectrales, voient une intensit ´e de pompe plus faible.

2.1.8 M ´elange `a quatre ondes

Cette section traitera de deux ph énom ènes non-lin éaires d’ordre trois (voir équation 2.1) : l’automo-dulation de phase (SPM, ang.) et les r éseaux transitoires (RT). Ces ph énom ènes impliquent quatre ondes de m ême fr équence, donc toujours en accord d’ énergie et de phase. La susceptibilit é d’ordre trois est une propri ét é qui existe dans tous les mat ériaux ind épendamment de leur sym étrie,

(38)

contrai-son appellation de m ´elange `a quatre ondes.

On peut reprendre l’ équation 2.1 et d évelopper le terme à l’ordre trois pour la SPM et les RT :

P = ϵ0χ(3)E∗EEei(∆kz−∆ωt) (2.23)

Dans une situation compl ètement colin éaire entre ces quatre ondes et sachant que l’argument de l’exponentielle est nul, on peut faire apparaˆıtre une expression qui ressemble à la polarisation lin éaire. En effet, si on regroupe la polarisation lin éaire et d’ordre trois :

D = ϵ0E + P(1)+ P(3)= ϵ0

(

ϵr+ χ(3)|E|2

)

E, (2.24)

on obtient une expression de la permittivit é relative augment ée, dont on peut extraire l’indice de r éfraction via un d éveloppement de Taylor, qui donne n ≈ n0+ n2|E|2 o ù n2 = χ(3)/2n0 est l’indice

de r éfraction non-lin éaire. Ainsi, l’indice de r éfraction que voit l’onde d épend de l’intensit é de celle-ci : c’est ce qu’on appelle l’effet Kerr. Comme l’intensit é d’un faisceau n’est pas uniforme dans le temps et l’espace cela donne lieu à deux effets distincts. Dans l’espace, si le faisceau a un profil non-uniforme, disons Gaussien, alors l’indice de r éfraction vu par ce faisceau variera dans l’espace et cette variation aura un effet similaire à celui d’une lentille : le faisceau va commencer à s’auto-focaliser. On utilise ce ph énom ène pour r éaliser le blocage de modes dans un oscillateur femtoseconde : en plaçant un diaphragme dans l’oscillateur, on favorise la cr éation d’impulsions intenses qui s’auto-focalisent, car celles-ci subissent moins de perte en passant à travers le diaphragme. Dans le domaine temporel, l’effet Kerr agit sur l’impulsion via l’automodulation de phase (SPM). Puisque l’impulsion a un profil temporel, l’indice de r éfraction qu’elle subit varie dans le temps et cela affecte la phase accumul ée à l’int érieur m ême de l’impulsion.

ϕ = −ω0t + kz = −ω0t +

ω0

c (n0+ n2|E|

2_{) z} _(2.25)

On peut associer à cette phase une pulsation instantan ée ωi, d éfinie comme :

−dϕ dt = ωi = ω0− ω0n2z c d|E|2 dt . (2.26)

Par cons équent, de nouvelles fr équences apparaissent dans l’impulsion. Un d écalage des fr équences vers le rouge est observ é sur le front montant de l’impulsion, tandis qu’un d écalage des fr équences vers le bleu apparaˆıt sur le front descendant. Cela introduit une dispersion normale au sein de l’impul-sion. Ce ph énom ène de SPM est utilis é pour g én érer des nouvelles fr équences dans une impull’impul-sion. De plus, en compensant la dispersion à l’int érieur de l’impulsion, il est possible de raccourcir la dur ée des impulsions. Cette technique permet d’atteindre des dur ées d’impulsions de quelques cycles op-tiques.

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2.9. Au point de focalisation, l’intensit é est suffisamment élev ée pour r éaliser un effet non-lin éaire d’ordre trois et l’accord de phase est tel qu’un nouveau faisceau sera g én ér é dans le coin du carr é o ù il manquait un faisceau initialement. Une façon plus intuitive de comprendre ce ph énom ène est d’imaginer que les deux premiers faisceaux (un et deux dans la figure 2.9) interf èrent entre eux et forment un patron d’interf érence de franges lin éaires. Ce patron d’interf érence est assez intense pour subir de l’effet Kerr et un r éseau transitoire d’indice de r éfraction est alors g én ér é dans le milieu. Le troisi ème faisceau voit ce r éseau et diffracte pour cr éer un quatri ème faisceau. Cet effet sera utilis é pour cr éer une porte temporelle tr ès rapide car le r éseau n’est pr ésent que pendant la dur ée des impulsions un et deux.

FIGURE2.9 – Sch ´ema optique d’un r ´eseau transitoire

2.2 Mesure de dur ´ees par FROG

La mesure de dur ée d’impulsions femtoseconde n’est pas une t âche triviale. En effet, l’ électronique n’est pas en mesure de reconstruire une impulsion ultra-courte car la p ériode d’ échantillonnage est au mieux de quelques picosecondes, ce qui est largement insuffisant pour une impulsion femtoseconde.

`

A la place, il faut utiliser des m éthodes d’interf érence spectrale (ex : SPIDER ou WIZZLER) ou bien, comme il sera d évelopp é par la suite, des m éthodes d’auto-corr élation r ésolues spectralement.

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2.2.1 Fen êtrage optique r ésolu en fr équences

La technique FROG repose sur la technique d’auto-corr élation d’une impulsion optique avec elle-m êelle-me pour elle-mesurer sa dur ée. L’auto-corr élation d’un chaelle-mp s’exprielle-me coelle-melle-me suit :

∫ ∞

−∞

E(t)E∗(t − τ )dt (2.27)

o ù τ est le d élai entre deux impulsions. Exp érimentalement, on r éalise ce genre de mesure en utilisant un interf érom ètre de Michelson et en plaçant une photodiode ou tout autre d étecteur lent en sortie. On mesure l’ énergie totale E en fonction du d élai τ entre les deux impulsions :

Em(τ ) =

∫ ∞

−∞

|E(t) + E(t − τ )|2dt (2.28)

L’expression dans l’int égrale donne trois termes dont deux qui sont les intensit és des deux champs et un troisi ème qui est l’auto-corr élation de l’ équation 2.27. Cependant, l’auto-corr élation ne permet pas de connaˆıtre la dur ée d’une impulsion, car elle est en fait une mesure de la longueur de coh érence des champs et elle permet d’obtenir la dur ée de l’impulsion la plus courte que son spectre lui permet de supporter. On utilise cette mesure de longueur de coh érence pour obtenir la densit é spectrale de puissance de l’onde par transform ée de Fourier, c’est ce qu’on appelle le th éor ème de Wiegner-Khintchine. C’est le principe de base qui sous-tend la technique de spectroscopie par transform ée de Fourier.

Au lieu de r écup érer le signal de l’interf érom ètre de Michelson, on peut placer à la sortie un cristal doubleur et r écup érer le signal de GSH. Afin de r écup érer uniquement la contribution provenant des deux impulsions de l’interf érom ètre, on les fait interagir avec un l éger angle non-colin éaire. Le signal collect é provenant de l’interaction de ces deux impulsions s’exprime comme :

Em(τ ) = ∫ ∞ −∞ |E(t)E(t − τ )|2dt = ∫ ∞ −∞ I(t)I(t − τ )dt (2.29)

qui est le signal d’auto-corr élation en intensit é. Cette mesure permet d’obtenir le profil auto-convolu é d’une impulsion. Cependant, pour pouvoir d éconvoluer la mesure, il faut faire des approximations sur la forme de l’impulsion. Par exemple, si l’impulsion a un profil temporel gaussien, son auto-convolution sera plus large d’un facteur√2, alors que pour un profil de s écante hyperbolique au carr é (sech2_{) c’est}

un facteur 1.54. En utilisant un d étecteur lent à la sortie, il n’est pas possible de connaˆıtre ce profil, il manque des donn ées. Pour trouver ces informations suppl émentaires, il faut remplacer le d étecteur lent par un spectrom ètre et faire une mesure appel ée fen êtrage optique r ésolu en fr équences (FROG,