" Le volume : un exemple d'approche didactique d'un problème récurrent" (quelques éléments pour un rapport de recherche à construire)

“ Le volume : un exemple d’approche didactique d’un problème récurrent”

(quelques éléments pour un rapport de recherche à construire)

Colette Andreucci ; Alain Mercier

I. ENTRE PSYCHOLOGIE ET DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES

A la recherche des situations didactiques pour l'enseignement d'une notion et des usages efficaces des notations associées

a) Le problème, en psychologie Piagétienne

b) Analyse a priori des questions mathématiques relatives au volume

c) Le choix pour début de cet enseignement, en France (aujourd’hui, en Sixième) d) D’autres chercheurs ont déjà étudié le problème didactique posé par le volume e) Observations préalables

f) Vers une ingénierie : Deux situations susceptibles de favoriser la différenciation volume vs encombrement

g) Description a priori d’un cours h) Une ingénierie non encore réalisée

II. LE VOLUME DES CORPS ET L’ENCOMBREMENT DES OBJETS

a) Compter des cubes n’est pas mesurer un volume

b) Les élèves de Sixième ne changeront pas facilement d’idée c) Un début d’interaction entre Professeur et Elèves :

d) Présentation d’un enseignement de Sixième raisonnablement étendu dans le temps e) Projet pour une poursuite possible

g) Les objets avec « des creux »

h) Quelques exemples d’interactions, dans une classe de Sixième

III- LE JEU DU PROFESSEUR

Essai de description du jeu du professeur avec les connaissances premières des élèves, à la recherche d'un parcours didactique.

I. ENTRE PSYCHOLOGIE ET DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES

A la recherche des situations didactiques pour l'enseignement d'une notion

et des usages efficaces des notations associées

a) Le problème, en psychologie Piagétienne

Il est de fait relatif à la conservation des quantités de matière (rappeler l’expérience des verres, avec deux verres). Il porte sur les rapports au « monde naturel » comme éléments de structuration des opérations de pensée relatives aux transformations : les opérations concrètes fondent les opérations formelles de type additif et multiplicatif et leurs réciproques, jusqu’aux structures de groupe d’opérateurs etc., et c‘est ici la notion de structure, mathématique et cognitive, qui est importante. Mais si l’on regarde les entretiens cliniques de Piaget, on peut remarque plusieurs matières à critique :

- 1) Il y a un contrat didactique qui vient transformer le contrat expérimental : ainsi non seulement les élèves tentent de répondre ce qu’ils croient que l’on attend d’eux (âge du capitaine), mais ils profitent de l’interaction pour tenter d’apprendre et parfois, ils y arrivent !

- 2) La contenance relative des verres fait problème, dans un verre très plein il y a plus que dans un verre peu rempli même si dans l’absolu, il y a autant dans les deux (expériences de Andreucci, années 80).

- 3) La question ne se traite donc pas tout à fait de même avec un liquide, un solide malléable, ou un solide qui l’est vraiment mais là, on ne peut pas évaluer directement l’égalité des volumes ! l’expérimentation naïve n’est plus possible.

- 4) Les élèves ont autant de pratique d’objets ou de corps qui n’ont pas de volume défini que d’objets qui en ont un : quel est le volume… d’un platane ? d’un parapluie ? d’une table en bois ? de trois tables gigogne ? d’un sac de sport ? d’une chemise ? Souvent, ces objets là sont des produits de l’ingéniosité humaine et on peut transformer leur encombrement pour les entreposer (travaux de Andreucci, années 90).

- 5) Mais alors, on est fondé à penser que le rapport aux objets et corps volumineux est autant déterminé par les techniques de rangement, qui en manipulent l’encombrement, que par les techniques de transformation de la forme des expériences piagétiennes sur le mou ou le liquide. Et par exemple, si l’on veut ranger de grands livres avec des petits dans des rayonnages on sait qu’il vaut mieux poser à plat les grands livres dans des rayonnages de faible hauteur et remplir avec de petits livres dans l’autre sens que de perdre une étagère que l’on ne remplira pas… Ainsi, l’encombrement d’un corps change sans que sa forme ne change… tous ceux qui ont un lit rabattable verticalement le savent ; l’encombrement d’un corps change avec sa position, pour une même orientation, tous ceux qui ont un lit superposé le savent... Par exemple encore, les petites tables gigogne n’ont pas de volume, tout comme les petites poupées russes, puisqu’elles se rangent dans la grande. Ou plutôt, elles n’ajoutent pas au volume global de la collection qui est celui de la plus grande, sinon de temps en temps…

- 6) On sait (on ne sait peut être pas) que les professionnels ont des techniques sophistiquées pour traiter de ces questions, avec des formules empiriquement établies (pour les arbres, le volume de bois dépend de leur hauteur ou du tour de leur tronc à la base et de leur espèce ; même rangés en stères, ils n’occupent pas tout l’espace (quelle proportion à votre avis, s’ils font des rondins bien rectilignes ayant été ébranchés avec soin ? et dans le cas de fagots ?) On sait aussi (on ne sait peut être plus) que les mathématiciens ont tout autant travaillé sur les formules permettant de connaître le

volume des bateaux que sur le rapport du périmètre du cercle à son diamètre (travaux d’Archimède, de Stevin, etc.)

- 7) Et on a bien sûr oublié une question tout à fait essentielle, qui a pourtant je crois été à l’origine des travaux de Lebesgue : un mouchoir repassé a la même surface qu’un mouchoir chiffonné dans la poche, mais on ne sait faire le calcul que dans le premier cas, avec les techniques de Riemann ! Il y a donc là derrière de grands et difficiles problèmes mathématiques…

Ainsi, et ce sera la conclusion de ma première partie, un enseignement du volume qui voudrait s’appuyer sur ce que les élèves savent et qui voudrait s’intégrer dans ce corps de connaissances devrait mettre au travail tous ces divers rapports - à l’espace et - aux objets qui sont dans l’espace et – aux manipulations de ces objets qui les transforment en laissant certaines grandeurs inchangées tandis que d’autres varient, en rendant certaines grandeurs inévaluables tandis que d’autres le sont...

b) Analyse a priori des questions mathématiques relatives au volume

Il est peut-être utile ici de poursuivre l’analyse a priori un peu sauvage que j’ai commencée, et qui est la méthode princeps en didactique parce qu’elle consiste à étudier une question d’enseignement non pas à partir des élèves ou du professeur, mais de la matière même à enseigner et étudier. J’ai fait référence à Lebesgue, ce qui engage un petit travail mathématique sur ce que c’est que mesurer une grandeur. Je répondrai en me fondant sur Brousseau N et G, 1996, où l’on expose huit « situations fondamentales » pour cette question.

- 1) Les objets qui sont les supports des caractères qui nous intéresseront et que ces caractères définissent dans leur singularité (une table, différente d’une autre par sa largeur, un oiseau, différent d’un autre par son envergure, une collection, différente d’une autre par sa quantité.)

- 2) Les grandeurs sont des propriétés de ces objets, qui se conservent avec ceux-ci, selon lesquelles on peut les comparer (égalité selon cette grandeur, supériorité selon cette grandeur, etc. ; on sait d’expérience quels objets ont les bonnes propriétés : les arbres ont une hauteur, les ??? ont un nombre… tiens, les quoi ? Lebesgue dit que « l’arithmétique s’applique quand elle s’applique, le reste est métaphysique »). La structure mathématique de ces opérations est celle des clans, tribus, etc. selon les opérations possibles (réunion, intersection, etc.) et les transformations conservant la grandeur (déplacement d’une règle, découpage d’un fil en deux parties, etc.)

- 3) La valeur de telle grandeur ou telle autre, sans tenir compte d’un système de quantification : la longueur d’une règle comme place qu’elle occupe dans l’espace, la masse d’une pomme comme effet d’attraction sur la terre, etc.) Alors on a des égalités de valeurs définissant des classes d’équivalence d’objets, égaux selon leur grandeur. Les surfaces quarrables sont superposables par isométrie. La longueur est la classe des règles qui coïncident avec cette règle, etc.) Attention ! Certaines opérations sur les objets produisent des objets réalisant des valeurs nouvelles de leur grandeur, des valeurs composées : on sait ajouter les longueurs, il est souvent difficile d’ajouter les hauteurs, donc ce que l’on sait sur les longueurs ne s’applique généralement pas aux hauteurs. Les objets de la géométrie ont sur ce point des propriétés idéales parce qu’ils résistent mieux à certaines transformations.

- 4) Il existe une application de G dans IN+ _{ou IR}+ _{qui associe un nombre positif à toute}

grandeur ayant les bonnes propriétés, le nombre 0 à la différence de deux grandeurs égales. Si cette fonction associe aussi le nombre somme des images de deux grandeurs à la grandeur composée de ces deux grandeurs, c’est une fonctionmesure. On appelle unité la grandeur à laquelle est associé le nombre 1, les nombres image d’une fonction mesure sont les mesures-imagedes grandeurs de l’espèce considérée, en telle unité. Les produits

et autres opérations sur les mesures de grandeurs produisent des grandeurs de types nouveaux que l’on dit grandeurs composées (la vitesse, le bénéfice, la résistance, etc.) - 5) La valeur de la mesure est un nombre positif, réel si les objets mesurés sont géométriques c’est-à-dire modélisés.

- 6) La mesure concrète est la valeur d la mesure associée à l’unité. Chevallard et Bosch ont montré la structure mathématique de cet objet, dans deux numéros récents de Petit x. Les opérations sur les mesures concrètes produisent de nouvelles grandeurs et des mesures composées (vitesse par quotient, bénéfice par différence, mètres cubes par produit, etc.)

- 7) Le mesurage est l’opération matérielle de production, pour un objet, un nombre et un intervalle de confiance. La métrologie et les statistiques sont des ensembles de méthodes mathématiques pour le mesurage d’objets de grandeur variable (la taille au garrot des chevaux).

- 8) L’évaluation des mesures , ordres de grandeurs, etc. est essentielle en pratique : ainsi, une souris de 10 cm au garrot est-elle très grande.

L’enseignement devrait distinguer tous ces objets pour que l’enseignant ne s’emmêle pas dans leurs propriétés diverses et pour qu’il puisse rendre compte de ce qu’il a effectivement enseigné. Comme on le voit, l’analyse a priori permet déjà de dire ce qui a été enseigné et ce qui ne l’a pas été : ce qui n’a pas été enseigné, il ne faut pas trop s’attendre à ce que tous les élèves l’aient appris !

Il y a au moins deux grands domaines à travailler : celui des objets et des grandeurs, celui des nombres et des opérations ; mais on ne peut travailler efficacement l’un sans référence à l’autre qui le fonde, parce que leur rapport est de système à modèle, il faut donc aussi s’intéresser aux applications qui permettent de passer de l’un à l’autre et qui doivent être des homomorphismes. C’est ainsi que les questions de dénombrement et de combinatoire ne peuvent être traitées sans travail sur les collections d’objets et les techniques de leur énumération (Grenier et Payan sur les pavages et la coloration).

c) Le choix pour début de cet enseignement, en France (aujourd’hui, en Sixième)

Ensuite, le professeur ne peut plus guère que donner une formule et passer aux exercices qui la mobilisent, seule ou avec celles des années précédentes. L’enjeu étant d’aboutir à la formule, ill fallait d’abord savoir comment la « démontrer »1_.

Dans les ouvrages d’enseignement, elle est le résultat d’une opération de dénombrement des cubes élémentaires (unités). C’est une manière intéressante parce qu’en principe elle est « naturelle » : en effet, elle correspond à l’idée que « mesurer un objet c’est compter combien de fois un objet unité y est compris ». Une manière qui permet de traiter les mesures comme des comptages, en nombres entiers... Car, lorsqu’un nombre entier d’unités ne fait pas le compte, on passe aux sous unités que l’on dénombre en décimales, c’est-à-dire toujours, en comptant… Apparemment, pas d’obstacle épistémologique dû à la continuité et s’il y en a un, cet enseignement le contourne gaillardement !

Ce sera pour le jour où le professeur de l’année suivante devra avouer que la formule ne correspond plus à un comptage : mais c’est à cause du cercle de base du cylindre et de PI, un cas à part bien identifié qui ne remet donc pas en cause tout ce que l’on sait. Ce sera pour plus tard : au moment du théorème de Pythagore et des racines carrées, Bon, voilà un nouveau cas pour lequel on ne va pas non plus se fâcher tant qu’on ne cherche pas une théorie reliant les objets de

1 _{On remarquera que personne ne démontre plus le cubage du prisme, du cylindre, de la pyramide, du cône, de la}

sphère : on ne s’intéresse à la démonstration que lorsque l’on dispose d’une démonstration supposée « naturelle », alors que tous les épistémologues savent qu’il y a là un des obstacles épistémologiques cruciaux qui a conduit les mathématiques à leur première « crise des fondements » (résolue par les Eléments d’Euclide : plus de nombres, tout est grandeur géométrique).

la géométrie et les nombres. Ce sera donc pour ceux qui feront des études en Seconde option sciences, peut-être, ou à l’université quand on définira les surfaces quarrables avant d’exposer l’intégrale de Riemann mais peut-être dans le cours de physique sur les champs magnétiques : dix à vingt pour cent d’une classe d’âge tout au plus, ou bien un à deux pour cent, peut-être même moins, ils devraient y arriver seuls, alors2_.

d) D’autres chercheurs ont déjà étudié le problème didactique posé par le volume

Les travaux antérieurs de Vergnaud, Rouchier, Ricco, Samurçay, Rogalski et alii (1983) étaient fondés sur la notion de proportionnalité qui était alors l’objet principal de cette équipe. Le volume conduisant à une proportionnalité multiple (un ordre pour chaque dimension) et non plus simple, l’exploration a porté sur les phénomènes associés à la manipulation des grandeurs multiples, en classe de Cinquième (septième année). L’enseignement a donc organisé trois séries de travaux : des manipulations matérielles d’objets permettant d’éprouver les notions de contenance des objets creux et de volume des objets pleins, durant plusieurs séances, des questions de pavage par des cubes unité (cette manipulation est devenue aujourd’hui passage obligé, mais elle est toujours évoquée, sa réalisation étant extrêmement coûteuse en temps et matériel !), puis un travail sur les mesures permettant d’éprouver les opérations de calcul nécessaires pour rendre compte de la variation du volume rapportée à la variation des dimensions.

Leurs résultats montrent ce que l’on sait par ailleurs et depuis (Mercier et Buty, 2004) c’est-à-dire que ce qui n’est pas enseigné n’est pas appris (et très peu d’élèves réussissent quelques unes des questions seulement) mais que lorsque l’on enseigne quelque chose, la réussite progresse. Même, ce sont les élèves qui ignoraient le moins qui progressent le plus3_{, ce que}

chacun sait depuis toujours mais dont personne ne tire jamais les conséquences, à l’école. En quelque sorte, on peut dire en première analyse (mais je ne dispose pas de résultats sur cette question, il faudrait le vérifier) que le volume n’est pas connu… parce qu’il n’est pas enseigné. On sait en effet (d’expérience professionnelle sur 25 ans de métier) que très probablement le volume n’est pas enseigné par la moitié des professeurs (étude à réaliser). C’est prévu par la théorie (les études en écologie des savoirs montrent qu’un objet n’est enseigné que si il appartient à une organisation de savoirs qui permet que les résultats de son enseignement nourrissent l’enseignement d’autres savoirs), car dans le curriculum cette notion n’ouvre pas sur quoi que ce soit d’autre (sur la proportionnalité multiple par exemple, ce qui a conduit à un enseignement expérimental de plusieurs semaines, ou sur la géométrie dans l’espace, qui ne supporte même pas la reprise de la géométrie plane, et sur les grandeurs composées, qui ne sont plus enseignées en mathématiques, ou sur les systèmes d’unités, qui ne sont parfois enseignés qu’au primaire.) Comme un enseignement efficace supposerait encore des manipulations matérielles de liquides, on trouve un dernier obstacle à tout enseignement efficace du volume en dehors de l’école élémentaire !

2 _{Nous sommes là à un autre niveau de l’analyse a priori de la transposition didactique, celui du curriculum dont}

la maîtrise appartient en France à des commissions de réflexion plus ou moins permanentes qui changent avec les ministres et regroupent des bonnes volontés de toutes origines autour d’une « personnalité » de confiance qui lui donne son nom (voyons, dit la personnalité devant sa liste de membres potentiels, on n’a pas assez de femmes et si cette femme était aussi parent d’élèves de la fédération minoritaire et universitaire en sciences physiques, ce serait parfait : on ne prend donc pas Untel).

3 _{Un phénomène mesurable : les élèves qui réussissent avant enseignement un quart des questions posées}

réussissent trois quarts après, tandis que les autres dépassent rarement la moitié (d’après des résultats obtenus dans le cas du volume par Rogalski, Samurçay, Ricco, 1983 ; mais le phénomène semble général d’après Llres 2000, qui a observé la proportionnalité au Collège) : les écarts se creusent d’abord et ils ne se réduisent que si l’on enseigne à tous (une deuxième fois) et que l’on enseigne alors… ce qui n’a pas été appris la première fois. On peut remarquer que ce deuxième enseignement peut consister en un usage systématique des savoirs initialement enseignés.

C’est d’ailleurs la conclusion didactique de cette étude, qui constate que les élèves de Troisième pourraient bien être encore enseignés sur le volume de la sphère (cette proposition a été reprise, Vergnaud ayant participé dans les années 90 à une des commissions de travail sur les programmes).

L’observation de Voulgaris et Evangelidou à Chypre (2004) travaille toujours sur les cubes unitaires et sur la conservation, tout en proposant des enseignements sur d’autres questions. La question principale est, pour cette équipe, relative à la notion de conservation qui suppose semble-t-il à la fois une représentation géométrique des volumes permettant de penser ensemble la surface et ce qu’elle enveloppe (la référence donnée sur ce point est Piaget, 1960), et une expérience de l’organisation intérieure des objets unitaires rangés dans un contenant pouvant fonder l’usage de la multiplication (avec le problème bien connu que crée cette opération : elle conduit à compter trois fois « le cube du coin » et les élèves résistent à l’admettre). Enfin, c’est la maîtrise de la multiplication même qui fait problème et qui interdit la réussite de certains élèves (Hart, 1989).

D’autres ont observé l’enseignement des formules de calcul des volumes dans une classe forte et une classe faible, afin de voir comment le professeur et les élèves s’adaptent les uns aux autres. Nous utiliserons leurs observations pour vérifier nos hypothèses sur la manière dont l’évolution spontanée de cet enseignement produit son étiolement rapide et pour voir si ce phénomène ne serait pas accéléré par un fait que nos analyses précédentes nous donnent à peser :

la multiplication des difficultés que rencontrent les élèves faibles pousse professeur et élèves à restreindre leurs ambitions aux formules de calcul, ce qui amplifie le phénomène : « moins on sait moins on est enseigné » renforcerait donc « plus on sait plus on apprend » (Menotti, 2002).

e) Observations préalables

Nous avons observé un « enseignement ordinaire », c’est-à-dire tel qu’un professeur l’avait préparé pour nous le montrer (la séance a eu lieu en toute fin d’année, parce que les professeurs de Collège ne s’intéressent à cette question que lorsqu’ils ont enseigné le reste du programme) nous avons commencé d’imaginer avec ce professeur comment il serait possible de transformer son enseignement sans trop sortir des contraintes de temps qu’il se donnait : pas plus de quatre séances, évaluation comprise soit, un peu plus d’une semaine pour traiter, en Sixième, du volume du parallélépipède rectangle ; en Cinquième (septième année), du volume du cylindre ; en Quatrième, (huitième année), du volume de la pyramide ; en Troisième (neuvième année), du volume de la sphère ; car tel est le découpage opéré par le programme actuel. Notre première observation nous a conduit à identifier un fait étonnant au premier abord :

Dans une classe de Sixième, les élèves ont un moment expérimental que nous avons proposé au professeur : ils doivent ranger dans un carton à ramettes de papier des livres de poche de la bibliothèque et des cassettes vidéo HI8, afin de déterminer combien de ces objets pourraient être rangés dans le carton. Lors de la leçon suivante, ils ont à utiliser la formule de calcul et Quentin, absent lors de la séance précédente, refuse la formule de calcul parce que, dit-il, elle ne donne pas un bon résultat : un pavé raisonnablement grand de 17 cm x25 cm x14 cm a en effet un volume de… 425 cm2 x14 cm = (4250+1700) cm3 = 5950 cm3, ce qui est un nombre énorme. Mais les autres le rabrouent : pour eux, qui ont trouvé que l’on pourrait ranger bien plus de 200 cassettes ou presque 100 ouvrages dans le carton, c’est un résultat plausible.

Cette année, on peut entendre un élève qui tout au long dune leçon relance le professeur sur le fait que le cube de 10 cm x10 cm x10 cm (ce n’est pas grand !) contient bien 1000 cm3 soit 1 dm3 ou… un litre (plier une feuille 21x29.7 pour montrer la taille)

Il semble que Cobb et alii (2001) et surtout Forrester et Pike (1998) aient trouvé le même phénomène : l’ordre de grandeur des mesures de volume est incroyablement grand. On comprend peut-être alors pourquoi on pratique du litre au mètre cube comme l’on saute du mètre au kilomètre : le rapport est toujours de 1 à 1000. Mille est le plus grand rapport entre deux nombres pour lequel on ait un nom : mille, million, milliard, etc. Cela correspond au rapport de volumes déterminés par des arêtes dont le rapport est minimal, de 1 à 10, un rapport qui produit les classes des grands nombres.

Une première forme de proposition a donc été la suivante :

Contrairement à la façon dont le calcul du volume semble habituellement enseigné (cf. G. Menotti, 2001 ; Volugaris & Evanglidou, 2004) il s’agira ici d’étayer cet enseignement sur les connaissances antérieures des élèves. Elle sont ici de trois registres de connaissances qu’il convient de distinguer quant à leur effet respectif dans la dynamique des apprentissages. C’est pourquoi d’ailleurs le scénario global que nous envisageons d’expérimenter devra sans doute être non seulement réajusté en fonction des réactions des élèves mais aussi, et vraisemblablement, scindé lors de l’expérience définitive en deux (ou trois) dispositifs distincts qui seraient spécifiquement dédiés à l’exploitation de chacun de ces registres de connaissances antérieures.

Le premier de ces registres a trait aux connaissances extra-scolaires que les élèves ont déjà formé au sujet de l’espace occupé à partir des tâches de la vie quotidienne qui mettent en jeu le volume des objets réels en tant que concept pragmatiquesoumis à l’action directe :

soit que le volume se présente alors en tant que propriété utile (« capacité ») et intrinsèque des objets de type « récipients » que l’enfant manipule dès son plus jeune âge soit qu’il se présente au titre de contrainte des objets (encombrement) qu’il est nécessaire de prendre en compte lors de leur transport ou de leur stockage dans l’environnement.

L’enquête préalable montre l’existence de ces deux formes de rapport aux volumes des solides comme quantité et comme encombrement irréductible.

Le second registre concerne également des acquisitions qui précèdent de fait et nécessairement l’entrée dans le calcul du volume bien qu’il s’agisse cette fois de connaissances antérieures de nature scolaire. Deux types de connaissances sont concernés :

- Les unes ont en principe été acquises peu de temps auparavant : il s’agit des connaissances qui ont trait à la géométrie des solides (en particulier celles du parallélépipèdes rectangle et du cube) que les élèves ont appris à décrire (nombre et forme des faces, nombre d’arêtes, de sommets). Les enseignants auraient donc tendance à repartir de ces connaissances dans la mesure où elles ne sont pas nécessairement consolidées mais ce n’est pas pour autant qu’ils sauraient comment faire sentir aux élèves en quoi ces deux chapitres (géométrie du pavé et du cube d’une part, mesure et calcul d’autre part ) s’articulent. La séance expérimentale devrait donc mettre l’accent sur ce passage d’une géométrie spatiale à une géométrie de la mesure.

- Les autres ont en revanche une antériorité plus importante. Elles concernent, en effet, ce que les élèves connaissent déjà des autres objets de la géométrie qui occupent de l’espace à une dimension (les lignes) et à deux dimensions (les surfaces) et de leur mesure. Du fait qu’on les suppose installées depuis plus longtemps, ces connaissances, contrairement aux précédentes, seraient généralement réactivées spontanément par les élèves sans que les enseignants n’y fassent appel ce qui aurait pour effet de rendre invisible la filiation et les ruptures que ces grandeurs spatiales entretiennent entre elles. Il s’agira donc de voir quel peut être l’effet de la mobilisation de ces connaissances dans le cas où le volume est abordé en tant figure géométrique à laquelle s’attache une (ou

deux) dimensions de plus (par exemple une surface qui repliée ou enroulée sur elle-même acquiert une épaisseur que l’on ne sait pas « voir » ou déterminer au départ) ce qui permettrait de faire le lien avec l’étymologie du mot volume (rouleau).

L’objectif principal est de permettre à l’élève de dissocier les différentes notions englobées sous la notion d’espace occupé en lui fournissant notamment les moyens d’isoler les propriétés propres à la notion d’encombrement (relativité, instabilité, indépendance des dimensions de l’objet entre elles, fixité fonctionnelle.) Il va donc falloir imaginer de traiter au plan didactique les principaux facteurs (langagiers, nature des objets, types de problèmes à résoudre) qui peuvent être des sources de confusion au niveau des conceptualisations en jeu.

f) Vers une ingénierie : Deux situations susceptibles de favoriser la différenciation volume vs encombrement

Première situation :

Prendre quatre blocs (pâte à modeler) de mêmes dimensions et demander aux élèves s’ils sont d’accord avec le fait qu’ils ont le même volume. Former deux pavés par assemblage de deux blocs et demander aux élèves s’ils sont d’accord avec le fait que ces assemblages ont à nouveau le même volume, qui vaut le double de chacun des blocs unitaires. Demander ensuite aux élèves de découper en long un des blocs unitaires en quatre parties égales dans le but de réaliser les pieds d’une table, l’autre bloc servant de plateau. Puis leur demander s’ils pensent que le volume de la table est le même que celui du bloc témoin. Engager un débat entre ceux qui pensent que le volume est le même et ceux qui pensent qu’il est différent.

Conclure sur le fait que chacun des camps a raison, selon que l’on se place du point de vue de la quantité de place occupée par la matière ou celle qu’occupe la table. Introduire la notion d’encombrement, qui revient à considérer que l’espace vide situé sous la table fait partie de la place qu’elle occupe. Puis voir en quoi la table se « démonte » et se ramène à la somme des deux pavés qui ont servi à la réaliser4_.

Remarque : cette situation ne limite pas le recours au pavage à des situations de remplissage qui mettent en jeu la contenance plutôt que l’encombrement, et permet de se fonder sur l’idée que le volume c’est « la mesure de ce qui et plein » : l’idée des élèves avant enseignement.

Seconde situation, plus connue

On prend quatre vases cylindriques identiques et on demande aux élèves s’ils sont d’accord sur le fait qu’ils ont forcément la même contenance du fait qu’ils ont la même hauteur le même diamètre et la même épaisseur On propose ensuite de remplir complètement deux de ces vases avec du sable et on demande aux élèves ce qu’ils pensent du volume de sable qu’on aura mis dans ces verres : est-ce qu’ils sont d’accord sur le fait qu’on a nécessairement le même volume de part et d’autre ?

On leur demande ensuite de comparer « à l’œil » le volume de différents couples d’objets en notant à chaque fois sur une feuille leur réponse (V1 = V2 ou V1 plus grand que V2) accompagnée de sa justification. On propose alors aux élèves de passer à la vérification de leurs pronostics en se mettant d’accord sur une technique de validation. Si la solution ne vient pas, faire la suggestion : si on met chacun des objets 1 et 2 au fond d’un vase ils vont y prendre de la place. Alors de deux choses l’une : soit ils ont le même volume ce qui veut dire qu’il va falloir un même volume de sable pour compléter le remplissage soit il y en a un qui occupe plus de place ce qui veut dire qu’il faudra moins de sable. Vérifier si tous les élèves sont d’accord avec ce

4 _{On va apprendre à déterminer par le calcul le volume du pavé et du cube ce qui permettra, par une}

décomposition de la table et une recomposition sous la forme de pavé, de calculer son volume (en quelque sorte, on range la table dans un pavé dont on calcule le volume).

raisonnement (difficile car il suppose une complémentation) puis procéder à la vérification des pronostics. Couples d’objets à comparer.

Un cube (4 x 4 x 4) et un pavé de même volume (8 x 4 x 2) Deux cylindres identiques dont l’un est plein et l’autre creux

Différents pavés de même volume dont le déséquilibre des dimensions est plus ou moins important (p.e: 6 x 5 x 4 vs 15 x 4 x 2 vs 8 x 7,5 x 2)

Etc.

Problème soumis ensuite à la discussion: comment expliquer que certains de ces objets ont apparemment le même volume contrairement aux prévisions faites par certains élèves .

g) Description a priori d’un cours

Il devrait commencer par l’énoncé de l’objectif de la séance : « On va s’intéresser au cours de cette leçon et de celle qui suit à la mesure du volume d’un solide, le pavé droit (ou parallélépipède rectangle). Alors qu’est-ce que cela veut dire par rapport au travail qu’on a déjà fait sur la géométrie des solides ? Et bien cela veut dire que maintenant on va s’intéresser à la façon dont on va pouvoir associer, à chaque volume, un nombre qui sera sa mesure. Ce qui va nous permettre par exemple d’ordonner différents solides entre eux, du plus petit au plus grand selon leur volume, de savoir si les volumes de deux solides sont égaux ou de savoir à quoi correspond le volume total formé par la réunion de deux solides. On va donc passer de la géométrie, qui est la science de l’espace, aux nombres qui mesurent les objets de l’espace, en s’intéressant aux pavés droits et aux cubes, pour commencer. Puis vous apprendrez à calculer le volume des prismes et des cylindres, ce sera ensuite le tour du volume des boules et enfin vous étudierez le volume des pyramides. »

L’idée est donc déjà ici de raccrocher sur des enseignements antérieurs (relatifs à la géométrie des solides) mais récents. Le but étant d’appeler les connaissances correspondantes afin que les élèves comprennent qu’il y a filiation ; et de signaler une rupture entre ce qui a déjà été enseigné et ce qui va l’être. Il paraît tout aussi important d’annoncer dès le départ aux élèves que l’étude du volume du parallélépipède rectangle aura des prolongements sur toute la scolarité du collège puisque d’autres types de solides seront étudiés. Le but recherché n’est évidemment pas de décourager les élèves d’avance mais de fixer d’emblée leur attention surla nature (géométrique) des objets concernés, ceci afin de démarquer la grandeur volume de l’encombrement qui s’applique plus généralement aux objets techniques ou de la contenance qui caractérise les récipients.

- Il faut exploiter l’inventaire des solides géométriques au programme pour inviter les élèves à réfléchir à la question : « Qu’ont en commun ces objets dont on va successivement apprendre à déterminer le volume ? » Ils appartiennent à la classe des objets géométriques et à la sous-classe particulière des objets géométriques qui occupent de l’espace à trois dimensions. Il sera intéressant de voir si les élèves sont capables de procéder à ces catégorisations : la notion de dimension semble inconnue de certains élèves. Il semblerait d’ailleurs qu’elle ne soit jamais enseignée explicitement et nous n’avons pas de situation correspondant à cette notion.

- Ces objets (parallélépipède rectangle ou pavé, cube, cylindre, cône, pyramide, boule ou sphère) ont en commun d’être des corps considérés selon leur forme propre (contrairement aux liquides) qui est ici régulière (contrairement à la plupart des objets techniques). Il faut comprendre enfin qu’à ces corps on associe des entités géométriques : les solides dont on parle sont des objets mathématiques c’est-à-dire des figures de la géométrie. Pour cette notion non plus nous n’avons pas de situation.

Pourtant, ces notions semblent être une condition pour que les élèves ne confondent pas le volume et l’encombrementqui se rapporte, quant à lui, non pas à des figures de la géométrie mais à des objets concrets dont on pourra calculer le volume à l’aide de formules mathématiques à

condition de pouvoir les décomposer pour les ramener à un ensemble de figures géométriques dont il s’agira ensuite d’additionner les différents volumes. Il semble donc important que les élèves sachent que le volume désigne au plan conceptuel une classe de figures de la géométrie particulière par rapport aux autres objets de la géométrie que sont les points, les lignes et les surfaces. D’ordinaire la géométrie du volume semble se limiter à une approche descriptive faite au cas par cas pour chaque type de solide ce qui ne permet pas de construire en compréhension le concept de volume. En conséquence, on peut imaginer de faire réfléchir les élèves à un certain nombre de questions : nous les avons posées en « évaluation a priori » ou pré-test,

Le professeur engage le travail par l’étude des réponses différentes que les élèves ont écrites. Il réalise les statistiques de ces réponses et indique des questions, à travailler : « Les objets dont on cherchera le volume sont-ils des figures géométriques ? ». « Pourquoi le volume du pavé plutôt que du rectangle, du cube plutôt que du carré ? » etc. Ces figures ne sont pas des objets produits par les technologues mais par des hommes, pour mesurer l’espace. Ce ne sont pas des objets de la nature comme les cailloux les arbres ou les volcans. Toutes ces figures géométriques sont des solides qui ont un volume. On les qualifie de solides parce que ces figures géométriques ont chacune une forme propre, qui est stable. En mathématiques on s’occupe du volume de figures géométriques qui ont des formes régulières.

Il ressort d’une discussion rapide que tous les professeurs ont le sentiment d’aborder habituellement ces différents aspects. En conséquence, il s’agirait simplement de voir en quoi ces aspects sont effectivement exploités dans les séances d’autres classes.

h) Une ingénierie non encore réalisée

Nous avons aussi imaginé un enseignement en Quatrième, dans le cadre de « l’atelier de mathématiques » qui vise à étudier des questions que l’on n’ose jamais poser parce q’on ne sait pas comment y répondre, ou des questions que l’on ne pose pas parce qu’on ne sait pas qu’une réponse simple peut être donnée. C’est ainsi que nous avons pensé traiter des questions suivantes : « Pourquoi n’y a-t-il pas de très petits mammifères ? » ; « Pourquoi n’y a-t-il pas de très gros insectes ? » ; mais aussi : « Comment évalue-t-on le volume de bois d’un arbre5 _{? » ; « Combien de}

5 _{Figure 4 : Principaux éléments de la forme des arbres}

Le volume v d'un arbre s'adresse en réalité à une partie de cet arbre qui est souvent la tige mais pourrait être tout aussi bien les branches ou le total tige+branches. En général, l'objet ainsi défini n'est cubé qu'entre certaines limites, des découpes, fixées en fonction de la hauteur, de la grosseur, ou de la qualité. Enfin, le mode de calcul de ce volume doit être précisé. Ainsi, on se référera souvent au "volume commercial" qui consiste à multiplier la longueur de la grume ou hauteur de la tige à la découpe par sa section médiane. Si h est la hauteur à la découpe, alors ce volume s'écrira :

v

=

π

.d

4

.h

v

=

d

d

.

π.d

4

.h

v

= f .g.h

symboles est la suivante :

• f coefficient de forme défini précédemment • g surface terrière individuelle

bois y a-t-il dans un stère ? » ; ou encore : « Comment des bateaux en acier ou en béton peuvent-ils flotter ? » Toutes questions relatives aux rapports entre volume et surface, je vous laisse ouvrir les enquêtes correspondantes, si vous ne savez pas les réponses. Voici l’état de notre travail :

Scénario des séances :

. collecte. des idées a priori sur le phénomène, issues de l'expérience individuelle,

. enregistrement des prédictions contradictoires de l'effet d'une manipulation d'une comparaison, etc. (ça dépend du tour où l'on est),

. expérimentation, en équipes, c'est-à-dire confrontation aux résistances de la matière, qui se transforme selon ses règles propres,

. formulation en classe entière des observations et confrontation aux prédictions, . travail en groupes pour la production de nouvelles idées et interprétations, . décision collective des nouvelles expérimentations à réaliser,

etc."

Développement de la séquence :

. On part de l'idée que "tous les objets ont un encombrement" qui correspond à "l'espace qu'ils occupent quand ils sont bien emballés, au plus près" (on peut comparer grossièrement l'encombrement de deux objets -un sapin de noël qu'on va jeter, une feuille de papier, un bol en faïence qu'on pourra casser, un emballage en carton ondulé, une serviette de toilette, l'eau d'un aquarium, par les trois dimensions de leur paquet parallélépipédique, et on peut faire la somme de ces trois longueurs, pour comparer : c'est moins encombrant si on range bien, logique). C'est la séance I. (une heure).

. Puis on expérimente le fait que l'encombrement de la plupart des objets peut se réduire et qu'on obtient le volume comme "l'encombrement minimum de la matière constituant l'objet". On réalise ainsi des "compressions" que l'on cherche les plus systématiques possibles (ce qui se fait par un rangement sans espaces libres et s'expérimente sur des feuilles de papier, des plaques de terre de différentes tailles, des toiles non froissées, des feuille d'arbre rangées une à une). C'est la séance II. (une heure).

. On lit aussi par exemple la réponse de l’ingénieur des forêts sur le stère et le cubage du bois et quelques éléments d'enquête sur internet. On cherche à comparer des encombrements et à faire des prédictions avec le technique de mesure par addition dont on dispose: mais ça ne va pas avec les sommes, quand on compare le volume que contient un grand carton avec celui de tous les ouvrages qu'il permet de ranger. C'est la séance III (une heure).

. L'encombrement-volume est alors apporté à celui du cube équivalent, qu'on approche matériellement par découpage et rangement. Et parce qu'on a besoin d'une opération plus précise que la somme des longueurs (on expérimente que cette somme diminue quand on rend l'objet plus cubique, on découvre que c'est le produit des trois longueurs qui est constant, par exemple avec un travail à la pâte à modeler, qui est donc "la bonne formule"). C'est la séance IV. (une heure) . Et l'ensemble des connaissances de Quatrième sur le volume est revu, on peut faire le cours sur le cylindre ou la pyramide quand on veut, en classe, en une heure maxi, puis attaquer les questions proposées comme emblèmes de l’atelier qui mettront au travail la question du rapport

• h hauteur à la découpe.

L'estimation du volume d'un arbre résulte en général de mesures des hauteur, grosseur et forme, qui sont ensuite entrées dans un barème, fondé sur une formule mathématique du type des formules ci-dessus. A l'inverse, dans les peuplements, on utilise des tarifs, établis à partir d'observations et moyennes statistiques.

L'estimation du volume d'un arbre peut se faire aussi à l'aide d'une des formules suivantes :

v

=

π

12.Δ

(d

_{− d}

)

v

π.h

24

(d

_{+ d}

_{+ 4.d}

)

volume/surface d’un corps. Le temps pour ce travail-là, impossible de l’anticiper : une demi-heure par semaine sur un trimestre, peut-être, avec recherches sur Internet, exposés, débats, etc. On peut préciser ce scénario des "situations anthropologiques artificielles de ce savoir" en donnant la suite des sous situations d'action, de communication des résultats, de validation et de vérification qu'il faut réaliser, pour chacune des quatre séances... mais on peut aussi tenter d'y aller "de chic" pour voir ce que cela donne sur la base d'une préparation personnelle.

II. LE VOLUME DES CORPS ET L’ENCOMBREMENT DES OBJETS

a) Compter des cubes n’est pas mesurer un volume

Compter les cubes pleins avec lesquels on a fabriqué un objet plein n’est pas équivalent à compter les cubes unités d’un cm de côté qui peuvent remplir un volume défini par ses faces et cela n’est pas non plus équivalent à calculer le volume en cm3 _{de ce volume…}

Une des huit séances sur le volume dans la classe de Sixième « forte » observée par Menotti (2002) confirme nombre de nos analyses a priori :

1) l’enseignement repose sur l’injonction de compter (page 1, compte des cubes d’un parallélépipède en DUPLO, selon trois entrées, les élèves voient la hauteur et nomment les dimensions moins visibles de la base, qu’ils multiplient pour avoir l’aire, à multiplier par la hauteur dit P qui écrit au fur et à mesure les résultats ; les élèves parlent de couche ou rangée (82) ou surface (108) et de côtés (117) pour les faces et P finit par demander (133) « Quelle est la formule de l’aire d’un volume ? » pour le volume du carré parce qu’il tente d’imposer ‘aire x hauteur’,

2) le fait que les élèves rechignent à penser qu’une multiplication par la troisième dimension donne le résultat du compte (comme page 3, 100 : P « … qui est-ce qui peut me donner la formule du volume ? » … 110 : LIO « Aire de la base plus la hauteur »). Mais en 159 : P « Non pas compter les carreaux, on est obligé de mesurer les dimensions, un point c’est tout. Et puis après, à travers cette formule là, on connaît le volume. » 161 : « Mais on copte les étages » répond l’élève. 162 : P « Mais les étages c’est pas précis. Donc on va prendre une unité de mesure… » et cette unité est unité de LONGUEUR ! On peut voir que P est obligé de faire un coup de force contre ce qu’il a péniblement mis en place, le compte des carreaux visibles et des couches de cubes. Pour autant il n’est pas sorti de l’ambiguïté, à voir l’activité préparée par le choix d’une fiche toute faite :

Volume d’un parallélépipède :

a) nombre de centimètres cubes

Imaginons une boîte ayant pour dimensions 17 cm, 10 cm et 6 cm remplie de morceaux cubiques d’un cm de côté. Combien y aura-t-il de morceaux dans la boîte ? Quel est, en centimères cubes, le volume de la boîte ?

b) formules

etc. Et si le calcul « aire fois hauteur » est donné par Serge pour le nombre de cubes, et si Serge dicte bien le calcul « dix fois dix-sept qu’il faut multiplier par six » Daniel répond « dix fois deux » pour le volume, « parce qu’il y a deux côtés » et Zoé répètera l’erreur.

La suite, qui porte sur les systèmes d’unités, nous intéresse moins. b) Les élèves de Sixième ne changeront pas facilement d’idée

1) Voici leurs réponses initiales à nos questions « de vocabulaire » faussement simples Ces réponses relèvent en effet de pratiques quotidiennes qu’ils évoquent et que l’on ne disqualifiera pas d’un mot ou d’un trait de langage :

Le volume d’un solide c’est

– ce qu’il contient, ce qu’il y a à l’intérieur du solide comme dans une bouteille d’eau : l’eau qu’il y a dedans

– l’aire du solide sauf que l’aire est mesurée en 2D alors que le volume est mesuré en 3 D – ce que contient un solide. C’est la profondeur du solide

– c’est l’épaisseur du rectangle (réponse illustrée par dessin) – la forme qui donne de l’effet a un solide (largeur, longueur)

– c’est l’intensité, c’est la grandeur de l’intérieur d’un solide ; l’unité de mesure d’un objet qui contient une unité de quelque chose à l’intérieur ; une unité de mesure. Grâce à cette unité de mesure nous pouvons mesurer le solide

– la grandeur et la largeur

– sa quantité ; la quantité d’une figure ; (ex : eau, sable) ; la quantité d’une figure géométrique dans l’espace

– je ne l’ai pas appris

Un solide c’est :

– quelque chose de dur qui contient une unité de quelque chose que l’on peut mesurer ; compact avec une forme ; pas arrondi pas mou ; une forme géométrique

– une figure plane qui est dure (on ne peut pas le plier) qui a six faces et 12 arêtes et 8 sommets – un solide peut contenir un volume , il a une épaisseur, une profondeur (une longueur et une largeur pour certains solides) il n’est pas liquide.

– une figure géométrique dans l’espace qui a une quantité ; si on veut obtenir un solide il faut de l’air et du volume un solide doit avoir obligatoirement des arêtes, des faces et des sommets ; un solide n’est pas creux ; quelque chose de cubique, de sphérique, rectangulaire, triangulaire mais qui est en 3D et rempli à l’intérieur de sa propre matière

– une figure ou un pavé qui est rempli et qui est en trois dimensions - ça peut être un rectangle, un rond, un carré ; quelque chose qui n’est pas creux à l’intérieur, qui est dans l’espace, qui n’est pas plane ; c'est-à-dire la chose doit être remplie

– objet en trois dimensions qui peut être formé de 6 faces rectangulaires ou carrées et qui est fermé (comme une boîte avec couvercle) exemples : un cube, un pavé droit, une sphère, une boîte, une balle, un casier

Les pavés droits, cubes, pyramides, sphère-boule, cylindre, cône sont-ils des objets biologiques, géométriques, technologiques, de la vie courante, mathématiques ? Explique ton choix (27 élèves). – objets mathématiques car on les voit le plus en math ; tous des objets géométriques car les pavés droits sont des rectangles, les cubes des carrés, les pyramides des triangles, les cylindres des cercles, la sphère boule un cercle et les cônes un triangle obtus

– objets courant car on les voit souvent ; objets de la vie courante comme une boîte qui a la forme d’un pavé droit, une balle, ou une bougie ; pas tous, certains comme le cône : glace, la sphère : ballon

– objets techno logiques comme dans les logiciels de travail ; objets mathématiques et technologiques car nous nous en servons beaucoup pour les maths et la techno

– objets technologique car en techno on peut les fabriquer et mathématiques car en maths cela est de la géométrie, géométriques car les faces sont des figures géométriques

– objets physiques, mathématiques comme les pavés droits que l’on a en ce moment

– toutes ces figures sont des objets physiques car ils sont remplis et ça a un rapport avec la matière

Objet…

Physiques Biologiques Technologique

De la vie courante Mathémat

ique

Pavé droit

6

3

10

11

18

Cube

6

2

9

8

18

Pyramide

5

1

10

10

16

Cylindre

6

1

11

10

17

Sphère-boule

7

5

10

12

16

Cône

6

3

9

11

16

- Car le rectangle est une figure plane ; le pavé droit est en trois dimensions et le rectangle est plat ; donc il ne contient rien ; le pavé droit est un objet en perspective et le rectangle (épais ?) n’a pas d’arête cachée ; un rectangle est une figure plane, il n’a pas d’intérieur.

- Parce qu’on étudie les volumes.

- Car c’est beaucoup plus simple ; c’est plus facile.

Nous retrouvons bien ici les éléments initiaux attendus. C’est donc avec eux que le professeur va tenter de travailler, dans le cadre de notre ingénierie. Mais ici, nous ne lui demandons pas de réaliser à la lettre ce que nous avons imaginé : il garde sa liberté de décision et c’est aussi l’enjeu de nos observations parce que nous voulons comprendre ce qui le contraint à enseigner comme il le fait et qui relève du savoir même.

c) Un début d’interaction entre Professeur et Elèves :

01 P – Ca c’est la perspective cavalière. Alors maintenant à partir de maintenant on va travailler sur la notion de volume. On va faire un travail qui va nous amener de … , de ces figures géométriques que sont les solides …(baisse la voix) dans l‘espace. C’est çà ? Les solides ce sont des figures géométriques dans l’espace ?

02 E – (un seul élèves réponse timide) Ben oui ! 03 P - Vous êtes convaincus ?

04 E – Et ils ont du volume. …/…

On remarquera ici la forme langagière par laquelle l’élève exprime ce qu’il comprend : le volume est quelque chose que les figures géométriques ONT, comme la forme par exemple.

09 P - Alors nous dans la leçon qu’on va faire là maintenant, pendant les quelques séances qui suivent, on va s’occuper de passer de cette figure géométrique, (plus bas) qui est dans l’espace, à un nombre qui va mesurer son volume. On a déjà fait des choses comme ça, hein. Pas exactement ça, mais…

10 Quentin – Avec des aires.

11 P – Avec des aires. On a déjà fait des choses comme ça avec les aires (5minutes écoulées) C’est à dire qu’on sait passer de la figure géométrique qu’est le rectangle au nombre qui mesurera son aire. A quelle condition ? (…) Vous comprenez ce que je raconte ?

12 Joy – Moi je comprends pas le volume. …/…

Le professeur trouve chez Quentin l’élève idéal, celui qui fait le lien et comprend la rupture. C’est pourtant celui-là qui dans deux séances va buter sur l’obstacle de l’ordre de grandeur des volumes.

13 P - Parmi toutes celles là il y en a dont on sait calculer l’aire et donc on a dit ben voilà tel rectangle a telle aire. Mais à quelle condition ? A quelle condition on a pu parler d’aire d’un rectangle ? (Quentin et fille devant lèvent le doigt)

14Joy - ?

15Joy – C’est si on veut savoir le périmètre

16P – Pas forcément. Pas forcément. Le périmètre ça mesure… ça mesure quoi ? 17Joy – La longueur et la largeur

…/…

Alors Quentin qu’est-ce que tu veux dire ?

22Quentin – Avant en fait pour mesurer les aires on mesurait deux dimensions, et maintenant pour les volumes on va mesurer les trois.

…/…

A l’évidence, Quentin suit l’affaire, ce qui n’est pas le cas de ses camarades de classe. Mais si l’on voit de grandes différences entre élèves, on peut assurer qu’elles ne sont pas toutes réduites en fin d’enseignement. Car Joy ne comprend pas le volume, mais pas non plus la surface qu’elle confond avec le périmètre qui mobilise aussi « longueur et largeur ».

Il y a là une difficulté essentielle, que nous ne savons pas bien traiter sinon en la faisant parler dans ce que j’appellerai tout à l‘heure des « jeux de langage » qui sont aussi des « jeux de pensée ». Mais ces jeux-là, c’est à Joy même de les conduire car elle ne peut pas plus rentrer dans les jeux de Quentin que dans ceux de P.

Voici encore ce que donne, dans une autre Sixième avec le même professeur, une séance en fin d’enseignement où l’on corrige des exercices standard (i.e. : pris dans un ouvrage à disposition des élèves) mais choisis par le chercheur en coopération avec le professeur.

d) Présentation d’un enseignement de Sixième raisonnablement étendu dans le temps Pré-test, et Première partie.

Avoir déposé sur la table des paquets de post-it. Avant l’entrée des élèves en classe, avoir collé une bande le long du mur (constituée des post-it d’un paquet collées les unes à la suite des autres, sans que les élèves n’aient d’autre rapport à la bande que de la voir… ils n’ont même pas cette information). P la leur présente et leur pose la question 1 ; ils répondent sur leur feuille, et P consigne les résultats sur le transparent puis les projette.

Question 1 : Est-ce que cette bande a un volume ? : 5 oui 17 non 3 je ne sais pas

P décolle ensuite la bande, la dépose sur une table en vrac (elle fait un gros tas mou) et pose la même question, Q2, transparent.

Question 2 :Est-ce que cette bande a un volume ? : 12oui 10 non 3 je ne sais pas

A l’oral : « Qui a changé d’avis ? Pourquoi ? »

Revoir la vidéo : peu de réactions

P fait un rouleau serré avec cette bande en parlant de l’étymologie du mot volume : en latin volumen signifie « chose roulée », (du verbe volvere, enrouler), et en particulier, rouleau de manuscrit, puis, manuscrit et volume dans le sens actuel de volume : livre.

Lorsque le rouleau est terminé, poser la question 3.

Question 3: Est-ce que ceci a un volume ? : 22 oui non 3 je ne sais pas

Montrer un paquet de post-it et poser la question 4 : « est-ce que ce paquet a un volume ? »

Question 4 : Est-ce que ce paquet de post-it a un volume ? :22 oui non 3 je ne sais pas

Si la remarque n’est pas encore venue, dire « j’ai fabriqué cette bande en collant bout à bout des post-it de ce type » Certains élèves l’avaient vu dès le début, ils voulaient compter ou savoir combien il y en avait ;

Remarques, voir vidéo

Poser la question 5. Noter la statistique sur le transparent.

Question 5 : A ton avis, combien de paquets de post-it ai-je utilisé pour fabriquer cette bande ?...

1 paquet : 11 2 paquets : 10 3 paquets :1 4 paquets : 1

Pour vérifier on va compter le nombre de feuilles : on déroule le rouleau, un élève à chaque bout et chacun compte. On compare avec le nombre de feuilles affiché sur le paquet. La réponse est « 1 paquet ». S’il y a eu d’autres réponses à la question 5, recueillir les réactions.

Le compte a donné 99 feuilles, les élèves ont été d’accord pour dire que c’était comme les 100 feuilles du paquet.

Pour les réactions, voir vidéo.

Puis : « alors, après ce que nous venons de faire que répondriez-vous à la question du début « cette bande a-t-elle un volume ? » Ecrivez votre réponse à la question 6. Consigner la statistique sur le transparent. « Qui a changé d’avis ? Pourquoi ? »

Question 6 : Est-ce que cette bande a un volume ? : 9 oui 7 non 8 je ne sais pas

Voir vidéo pour les réactions

Intermède : nous avons exposé le problème sur cette bande, (c’est un problème qui a fait longtemps chercher les mathématiciens), nous le laissons en suspens, et nous y reviendrons plus tard pour tenter de nous mettre d’accord sur ce sujet.

Deuxième partie

Nous nous intéressons aux corps dont on dit qu’ils ont un volume. On veut évaluer ce volume pour évaluer une grandeur, on se demande toujours si c’est grand, petit, plus grand ou plus petit qu’une autre.

P montre les paquets de post-it des deux tailles (si certains ont répondu non ou je ne sais pas à la question 4, j’affirme que ces paquets ont un volume.) et demande lequel a le plus grand volume, si ce volume est beaucoup plus grand, combien de fois plus grand ? Individuellement, ils répondent à la question 7 :

Question 7 : D’après toi, le volume du plus grand paquet de post-it est combien de fois plus grand que celui du plus petit paquet ? ………

1 fois plus grand : 1 2 fois plus grand : 3 3 fois plus grand : 10 4 fois plus grand : 7

Comment faire pour l’évaluer ? Si une formule est donnée, on la consigne et on la met de côté ; si une expérience est proposée, l’un dicte et un autre exécute.

Deux propositions d’abord (voir vidéo), pas de formule mais les deux groupes ont finalement fait la même manipulation, l’autre ayant été tout de suite abandonnée, finalement ils ont réussi à poser 6 petits paquets sur deux grands, et certains ont dit aussi que c’était pareil que deux petits paquet plus deux demis petits sur un grand : ça faisait soit six pour deux soit trois pour un. Des réponses du type : c’est le même volume (deux et six) parce que c’est la même surface, ont amené P à faire préciser, et on a abouti à une réponse plus complète consignée dans le cahier : « Les petits et les grand paquets ont la même épaisseur (pour le plus grand nombre d’élèves) ou la même hauteur (pour deux élèves). Six petits paquets ont la même surface que deux grands. Donc on peut dire que six petits ont le même volume que deux grands, donc le volume d’un grand est 3 fois plus grand que le volume d’un petit. »

Question 8 : Après cet échange dans la classe, d’après toi, le volume du plus grand paquet de post-it est combien de fois plus grand que celui du plus petit paquet ? ………

3 fois : 25 réponses,

Présenter maintenant une cassette vidéo et un bloc note blanc, et demander : pouvez-vous comparer les volumes de ces objets ?.

Question 9 : Certains disent qu’ils ne peuvent pas comparer car ce n’est pas la même forme, un pavé et un cube ; mais qu’ils pourraient comparer le volume de la cassette à celui d’un livre de classe ; on le fait et on ajoute la question 9bis :

Question 9bis : D’après toi, peux tu dire si le volume d’un de ces objets est plus grand que celui de l’autre ? oui non je ne sais pas

Si tu as répondu oui, complète la phrase : « le volume de ……….. est plus grand que celui de ……… »

Est-il beaucoup plus grand ? oui non je ne sais pas Combien de fois plus grand ?...

Pour vérifier (ou trancher), on vous propose une expérience : vous allez vous répartir en deux groupes, chaque groupe aura une boite vide comme celle-ci, l’un aura des cassettes, l’autre des blocs. Un groupe devra évaluer combien de cassettes et l’autre combien de blocs sont nécessaires pour remplir au plus juste cette boite. Dans chaque groupe, un élève sera désigné pour manipuler (fragilité des objets) et les autres lui donneront des conseils.

Le groupe des bloc a trouvé 14 et un peu plus

Le groupe des cassettes en a rangé 29 et un peu plus

Question 10 : D’après toi, peux tu dire si le volume d’un de ces objets est plus grand que celui de l’autre ? 18 oui non je ne sais pas

Si tu as répondu oui, complète la phrase : « le volume de …BLOC……….. est plus grand que celui de …CASSETTE……… »

Est-il beaucoup plus grand ? oui non je ne sais pas

Combien de fois plus grand ?..2 fois pour tous sauf un (Maël) qui dit 3 fois... Tout le monde est d’accord pour donner 15 et 30 comme résultats et le noter dans le classeur, avec la conclusion suivante : « On peut dire que le volume d’un bloc est deux fois plus grand que celui d’une cassette »

On recueille les réponses des deux groupes et on compare avec les réponses individuelles.

Maintenant on fait la même expérience avec les blocs de post-it, on change de manipulateur. Chaque groupe devra désigner un rapporteur pour donner la réponse du groupe à la question « combien ? » et aussi expliciter la méthode utilisée.

Les deux groupes ont été formés ; les idées ont immédiatement fusé, c’est donné pour la prochaine séance. En principe la formule devrait arriver, on la consignera sur le classeur en leçon Sinon…. Le professeur la donnera !

A la fin de l’enseignement , on reviendra à la bande du début, jusqu’à arriver à répondre à la nouvelle question : « Quelle est l’épaisseur de la feuille de papier à post-it qui constitue la bande ? »

e) Projet pour une poursuite possible

Il faut commencer la séance en ayant préparé le matériel pour quatre groupes, (deux fois deux groupes) en rappelant qu’on n’a pas assez de paquets de post-it pour remplir les boites et en demandant aux élèves d’évaluer le nombre de paquets nécessaires, et de le noter dans le classeur : « On nous a livré ces paquets dans ces boites et on ne se rappelle plus maintenant combien il y en avait ». Ces questions sont proches du travail de Fluckiger et Brun (2003).

« Je pense qu’il faut environ …paquets de petits / grands post-it pour remplir la boite » - Consigner la statistique sur transparent.

- Distribuer un transparent à chaque groupe pour qu’il décrive sa méthode (et, j’espère, ses résultats intermédiaires) afin de la communiquer à la classe.

On s’attend à des remarques à partir du fait qu’on sait déjà que l’un est trois fois plus volumineux que l’autre. Si c’est le cas, on s’en servira à la fin du travail de groupe pour qu’un groupe valide ou pas le résultat de l’autre en fonction du sien et de ce rapport 3. Relever que ce qui compte, quand on ne peut pas vraiment ranger, mais qu’il faut imaginer un rangement serré, c’est le rapport, pour chacune des trois dimensions, entre celle du bloc et celle de la boite ?

Puis qu’on fait le produit de ces rapports, pour le volume d’un pavé droit ce sont ses trois dimensions et il faut en faire le produit.

Selon la méthode proposée par chacun des groupes (l’idéal serait que certains calculent les volumes puis fassent le rapport, et d’autres calculent combien il en faut en hauteur en longueur

et en largeur), on passera de l’une à l’autre (rapport des volumes calculés et produit des rapports des dimensions), ça marche, ça confirme et le grand nombre et la formule. On écrit la formule dans le cahier. On annonce les unités de volumes sous la forme « un centimètre cube c’est le volume d’un cube d’un centimètre d’arête », notation, etc

f) Un choix d’exercices 1. Compte

a. Compter le nombre de cubes contenus dans l’empilement de la figure de gauche ci-dessus. Avant d’enlever des cubes, on avait réalisé un grand cube de quatre petits cubes d’arête. Combien a-t-on enlevé de cubes ?

b. Compter le nombre de cubes contenus dans l’empilement de la figure de droite ci-dessus. Avant d’enlever des cubes, on avait réalisé un grand parallélépipède rectangle en empilant quatre couches rectangulaires toutes formées de cinq rangées de quatre cubes. Combien a-t-on enlevé de cubes ?

2. Calcule le nombre de cubes de 5 cm d’arête que l’on peut disposer à l’intérieur d’un cube ayant 50 cm d’arête.

Calculer le volume d’un petit cube puis celui d’un grand cube. Comparer ces résultats. 3. Un pavé droit a pour longueur 14 cm, pour largeur 10 cm et pour hauteur 7 cm.

Parmi les calculs ci–dessous, retrouver celui qui permet de calculer le volume du pavé en n’oubliant pas d’indiquer l’unité.

Parmi les calculs ci–dessous, retrouver celui qui permet de calculer la longueur totale des arêtes du pavé en n’oubliant pas d’indiquer l’unité.

Parmi les calculs ci–dessous, retrouver celui qui permet de calculer l’aire totale des faces du pavé en n’oubliant pas d’indiquer l’unité.

4.Soit le corps dessiné ici :

Dans un cube d’arête 3 cm, on fait un évidement d’un pavé droit comme indiqué sur la figure. Sur la face de dessus, le carré qui correspond à cet évidement a pour côté 1 cm.

g) Les objets avec « des creux »

J’ai des pots de miel d’un kg : deux vides, avec couvercle, un plein. (Diamètre du couvercle : 11.5 cm

Diamètre du fond :9 cm Hauteur : 11,5 cm)

On présente les trois pots et leur demande combien d’après eux on pourrait en ranger dans la boite. Débat, pleins ou vides c’est pas pareil. S’ils étaient tous pleins : combien dans la boite ? S’ils étaient tous vides, idem ?

De là on différencie les notions d’encombrement de l’objet, de volume de la boite en plastique (on ne sait pas encore la calculer), de capacité : quel volume de miel ? Je peux annoncer un litre, comparer avec le volume d’un cube de même capacité (les dimensions et les ordres de grandeur s’y prêtent) et donner une équivalence entre les systèmes d’unité.

Exercices :

1.Un bidon d’huile de forme parallélépipédique a 20,4 cm de long, 5,6 cm de large et 22 cm de haut.

Calculer sa capacité en litre.

2. On a réalisé une cuve en béton en forme de pavé droit comme indiqué sur la figure ci-dessus. Les parois de béton ont une épaisseur de 10 cm..

Sachant que le volume intérieur de cette cuve est de 1 404 L, calculer la hauteur de cette cuve. Calculer le volume de béton nécessaire pour réaliser les quatre parois verticales de cette cuve. h) Quelques exemples d’interactions, dans cette classe de Sixième

Le professeur demande aux élèves un rappel de ce qu’on a appris dans la leçon précédente, on en est aux exercices.

6. Michel : pour trouver le volume d’un pavé droit il faut multiplier la longueur, la largeur et la hauteur ?

7. P : On l’a dit comme ça ? 8. Michel : Non.

9. P : ... il faut multiplier ? Lauriane.

10. Lauriane : les trois dimensions entre elles.

Une manière de demander l’usage du terme dimension, introduit ici explicitement parce que « ça veut dire qu’on se fiche pas mal de l‘ordre, ça correspond à la remarque de Franck. » C’est aussi une manière de dire que l’on travaille en trois dimensions et un élève le comprend : en énonçant ce qu’il a compris il vérifie l’exactitude.

12. E : Aussi quand c’est un cube on n’a pas besoin si on ne sait qu’une longueur on la multiplie trois fois par elle-même.