Etude de fonctions 3ème Sc Expérimentales
Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé , , .
Exercice 1
Soit la fonction définie sur ℝ par : = + 2 − 3 et soit sa courbe représentative. 1) a) Déterminer le domaine de dérivabilité de et calculer ′ .
b) Dresser le tableau de variation de .
c) Déterminer les points d’intersections de et l’axe des abscisses et de et l’axe des ordonnées. d) Montrer que la droite ∶ = −1 est un axe de symétrie de .
2) a) Donner une équation cartésienne de la tangente à au point d’abscisse −2. b) Calculer lim
→ ∞ et interpréter le résultat graphiquement.
c) Construire et dans un même repère.
3) Soit la droite ′: = −2 + où est un paramètre réel, déterminer en fonction de le nombre de points d’intersection de et ′.
Exercice 2
Soit la fonction définie sur ℝ par : = ! + " + # où !, " et # étant des réels et soit sa courbe représentative. On note $ −2 , −3 le sommet de . La courbe admet au point d’abscisse −1 une tangente dont une équation cartésienne est : = 2 .
1) Déterminer les réels !, " et #.
2) On suppose dans la suite que : = + 4 + 1. a) Dresser le tableau de variation de .
b) Montrer que la droite ∶ = −2 est un axe de symétrie de . c) Construire .
3) Soit & la fonction définie sur '( par : & = + 4| | + 1 et soit * sa courbe représentative. a) Montrer que la fonction & est paire.
b) Déduire de la représentation graphique de *. c) Dresser le tableau de variation de &.
Exercice 3
Soit et & les fonctions définies sur ℝ par : = + + 2 − 8 et & = -− 2 .
On désigne par et * les courbes représentatives de et & avec ‖/‖ = 2 # et ‖0‖ = 1 # . 1) Etudier les variations de et &.
2) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de et * avec l’axe des abscisses. 3) Construire et *.
Exercice 4
On donne ci-contre la courbe d’une fonction 1) Déterminer le domaine de définition de 2) a) Déterminer 2 b) lim →1 2 13 et lim →1 4 1
c) Déterminer le domaine de dérivabilité de 2) Déterminer lim
→1∞ et lim→ ∞
Exercice 5
Soit la fonction définie sur '( par courbe représentative.
1) Déterminer les réels ! " et # pour que point d’abscisse 0 passe par le point 2) On suppose dans la suite que : a) Dresser le tableau de variation de b) Préciser les extrema de .
3) a) Montrer que le point ' 0 ,1 est un centre de symétrie de b) Montrer que le point ' 0 ,1 est un point d’inflexion de 4) Déterminer les abscisses des points de
∆ ∶ 9 2 0. 5) Tracer .
Exercice 6
Soit la fonction définie par : 8 1) a) Etudier la continuité de en 1 b) Montrer que et continue sur 2) a) Etudier la dérivabilité de en b) Montrer que est dérivable sur c) Dresser le tableau de variation de 3) Existe-t-il un point 9 de la courbe 4) Tracer .
Exercice 7
Soit la fonction définie par :
1) Déterminer le domaine de définition
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contre la courbe d’une fonction . Déterminer le domaine de définition de .
13
Déterminer le domaine de dérivabilité de . lim
∞
: - ! " #, où ! " et # sont des réels et soit pour que admette des extrema en 1 et en 1 et que la tangente à passe par le point 9 1 , 4 .
- 3 1.
Dresser le tableau de variation de .
est un centre de symétrie de . est un point d’inflexion de .
Déterminer les abscisses des points de où la tangente en ces points est parallèle à la droite
8 13 3 2 :; < 1 3 :; = 1
> et soit sa courbe représentative. 1.
et continue sur ℝ. en 1.
est dérivable sur ? ∞ , 1@ et ?1 , ∞@ et déterminer sa fonction dérivé. Dresser le tableau de variation de .
de la courbe où la tangente en 9 est parallèle à la droite
A
-3 et sa courbe représentative.
Déterminer le domaine de définition de .
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sont des réels et soit sa
et que la tangente à au
où la tangente en ces points est parallèle à la droite
courbe représentative.
et déterminer sa fonction dérivé.
est parallèle à la droite ∆∶ 2 .
2) Déterminer trois réels !, " et # tels que : pour tout ∈ , = ! + " + C3
3) a) Etudier les limites en −∞ et en +∞ de la fonction & définie sur par : & = − + 1. b) Que peut-on en conclure pour et la droite ∆ ∶ = − 1.
c) Etudier la position de par rapport à ∆.
4) Montrer que le point ' −1 , −2 est un centre de symétrie de . 5) a) Etudier les variations de .
b) Tracer .
6) Soit ℎ la fonction définie par : ℎ =
A
-| -| 3
a) Etudier la parité de ℎ.
b) Déduire de la représentation graphique de E.
Exercice 8
Soit la fonction définie par : =
A1+ 13
1 et soit sa courbe représentative.
1) a) Déterminer le domaine de définition de .
b) Déterminer les limites de aux bornes de son domaine de définition. 2) Soient trois réels !, " et # tels que : pour tout ∈ , = ! + " + C
1
a) Calculer de deux manière lim
→ ∞ en déduire !.
b) Calculer lim
→ − 2 en déduire #.
c) Calculer 0 en déduire ".
d) Montrer que la droite ∆∶ = 2 est une asymptote à . 3) Dresser le tableau de variation de .
4) Montrer que le point ' 2 , 4 est un centre de symétrie de . 5) Etudier la position de par rapport à ∆.
6) Tracer ∆ et .
Exercice 9
Soit la fonction définie par : = 2√ − 4 et soit sa courbe représentative. 1) Montrer que est définie sur ?−∞ , 0? ∪ @4 , +∞@
2) Montrer que est dérivable sur ?−∞ , 0@ ∪ ?4 , +∞@.
c) Etudier la dérivabilité de à gauche en 0 et à droite en 4. d) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3) Montrer que la droite ∆∶ = 2 est un axe de symétrie de .
4) Montrer que les droites 3; = 2 − 4 et ; = −2 + 4 sont des asymptote à respectivement en +∞ et en −∞.
5) Calculer ′ pour tout ∈ ?−∞ , 0@ ∪ ?4 , +∞@ et dresser le tableau de variation de .
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6) Tracer ∆, 3, et .
7) soit la fonction & définie par & a) Montrer que & est définie sur ℝ b) Montrer que la fonction & est paire. c) Explique comment peut-on déduire
Exercice 10
Soit la fonction définie sur ℝ\J 2 1) Déterminer lim
→1∞ , lim→ ∞
2) Montrer que la droite ∆ ;
3) Montrer que le point ' 2 , 3 4) a) Calculer ′ pour tout ∈ ℝ b) Dresser le tableau de variation de 5) Tracer ∆ et .
6) Discuter suivant le paramètre réel
Exercice 11
I) On donne ci-contre la courbe d’une fonction Définie sur ? ∞ , 1? ∪ @1 , ∞@ par
& 2 K 1
1) Calculer &L √2M et &L√2M. 2) a) Déterminer graphiquement lim
→1
b) Déterminer graphiquement lim
→1
c) Déterminer graphiquement le signe de II) Soit la fonction définie sur ?
représentative.
1) a) Etudier la dérivabilité de à gauche en obtenus.
b) Calculer lim
→1∞ et lim→ ∞
c) Montrer que les droites 3; en ∞ et en ∞.
2) a) Montrer que pour tout ∈ ? ∞ b) Dresser le tableau de variation de
3) Montrer que le point ' 0 , 1 est un centre de symétrie de 4) Construire 3, et .
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| | 4 ℝ.
est paire.
on déduire * à partir de . Tracer *.
J 2N par : A 13 et soit sa courbe représentative. , lim
→1 2 et →1lim4 . 1 est une asymptote à . est un centre de symétrie de . ℝ\J 2N
Dresser le tableau de variation de .
Discuter suivant le paramètre réel le nombre de solution de l’équation : contre la courbe d’une fonction &
@ par : M
lim1∞& et lim→ ∞& lim132* 13 et lim
→34
* 1 13
e signe de & pour tout ∈ ? ∞ , 1? ∪ @1 , ? ∞ , 1? ∪ @1 , ∞@ par : √ A13
à gauche en 1 et à droite en 1. Interpréter graphiquement les résultats . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3 et ; 1 sont des asymptote à ? ∞ , 1@ ∪ ?1 , ∞@ ; ′ A*√ A13
Dresser le tableau de variation de .
est un centre de symétrie de .
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sa courbe représentative.
1 1 2 .
@ ∞@
1 et soit sa courbe . Interpréter graphiquement les résultats
. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
sont des asymptote à respectivement
