Espaces vectoriels normés (complément pour 5/2)
Exercice 1 Soit a ∈ R et A la matrice de Mp(R) dont tous les coefficients sont égaux à a. Donner une condition
nécessaire et suffisante portant sur a pour que la suite (An)
n∈Nconverge.
Exercice 2 Soit k · k une norme sur Mp(C).
a) Soit A ∈ Mp(C) une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont de module strictement inférieur à
1. Montrer que la suite (An)n∈Nconverge.
b) Soit A ∈ Mp(C) telle que la suite (An)n∈Nconverge, et λ ∈ C une valeur propre de A. Montrer que |λ| 6 1. Que dire
de A lorsque |λ| = 1 ?
Exercice 3
a) Soit M ∈ Mp(C) telle que pour tout k ∈ ~1, p, tr(Mk) = 0. Montrer que M est nilpotente.
b) Soient A et B deux matrices de Mp(C) telle que pour tout t ∈ C, A est semblable à A + tB. Montrer que B est
nilpotente.
c) Soit (Mn) une suite de matrices semblables entre elles, telle que lim Mn= 0. Montrer que M0est nilpotente.
d) Soit M0 une matrice nilpotente. Montrer l’existence d’une suite de matrices (Mn) semblables à M0 telle que
lim Mn= 0. Exercice 4 Soit M ∈ Mn(R), et E = n P−1MP P∈ GLn(R) o
. Montrer que l’ensemble E est borné si et seulement si M est la matrice d’une homothétie.
