Théorème central limite

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3.15 Théorème central limite

Référence :H. Queffélec, C. Zuily, Éléments d’analyse, Dunod, 2002. Leçons concernées : 218, 260, 261, 262, 263.

Théorème 1 (Central limite). Soit pXnqn une suite de variables aléatoires indépendantes

et identiquement distribuées admettant un moment d’ordre 2. On note m “ ErX1s et 2 “

VarpX1q. Alors si Sn“∞nk“1Xn,

Sn´ nm

?n ›Ñ XL où X „ N p0, 1q.

Lemme 2. Soit pznqn une suite de nombres complexes de limite z P C, alors

´ 1`zn n ¯n ›Ñ nÑ`8e z. Démonstration. Pour n • 0, on a, exppznq ´ ´ 1`zn n ¯n “`8ÿ k“0 znk k! ´ n ÿ k“0 ˆ n k ˙ ´z n n ¯k “ `8ÿ k“0 apnqk znk où apnqk “ # 1 k! k• n ` 1 1 k! ´ 1´npn´1q¨¨¨pn´k`1qnk ¯ k§ n ainsi apnqk • 0 pour tout n, k, et donc,

ˇ ˇ ˇexppznq ´ ´ 1`zn n ¯nˇˇ ˇ § `8ÿ k“0 apnqk |zn|k“ expp|zn|q ´ ˆ 1`|zn| n ˙n . Enfin, avec pour x • 0, lnp1 ` xq • x ´x2

2 et 1 ´ e´x § x, ˇ ˇ ˇexppznq ´ ´ 1`zn n ¯nˇˇ ˇ § expp|zn|q ´ exp ˆ n ln ˆ 1`|zn| n ˙˙ § expp|zn|q ´ exp ˆ n ˆ |zn| n ´ |zn|2 2n2 ˙˙ “ expp|zn|q ˆ 1´ exp ˆ ´|z2nn|2 ˙˙ § expp|zn|q|zn| 2 2n . 96

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On peut alors conclure : ˇ ˇ ˇexppzq ´´1`zn n ¯nˇˇ ˇ § | exppzq ´ exppznq| ` ˇ ˇ ˇexppznq ´ ´ 1`zn n ¯nˇˇ ˇ § | exppzq ´ exppznq| ` expp|zn|q|zn|

2

2n n›ÑÑ`80.

Démonstration (Théorème). On peut sans perte de généralité se ramener au cas m “ 0 et “ 1. On utilise le théorème de Lévy et on cherche donc à montrer que '?Sn

nptq Ñ e

´t2{2

pour tout t P R.

On note ' :“ 'X1. Puisque X1 admet un moment d’ordre 2, ' est de classe C

2et vérifie :

'1p0q “ EriX1s “ 0 et '2p0q “ Er´X12s “ ´1. On a donc, par développement de Taylor à

l’ordre 2 en 0, pour tout t P R,

'ptq “ 1 ´t

2

2 ` opt

2q.

On a d’autre part, par indépendance et identique distribution, 'Sn? nptq “ E « n π k“1 eitXk{?n ff “ n π k“1 E”eitXk{?nı “ E”eitX1{?nın“ ' ˆ t ? n ˙n . Ainsi, d’après le développement limité de ' en 0,

'?Sn nptq “ ˆ 1´ t 2 2n` op 1 nq ˙n . et on conclut avec le lemme.

Application 3. On a, lim nÑ`8e ´nÿn k“0 nk k! “ 1 2.

Démonstration. Soit pXiqi une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi de Poisson Pp1q, et

Sn“ X1` ¨ ¨ ¨ ` Xn qui suit donc une loi de Poisson Ppnq. On a ErX1s “ VarpX1q “ 1 et

on applique le théorème central limite pour obtenir : Zn“

Sn´ n

?n ›Ñ Z „ N p0, 1q.L

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Or on remarque que e´n n ÿ k“0 nk k! “ n ÿ k“0 PpSn“ kq “ PpSn§ nq “ PpZn§ 0q

et donc par convergence des fonctions de répartitions on obtient lim nÑ`8e ´n ÿn k“0 nk k! “ limnÑ`8PpZn§ 0q “ PpZ § 0q “ 1 2 puisque Z est symétrique.

Proposition 4. Si X „ N p0, 1q, alors pour tout t P R, 'Xptq “ e´t

2{2 . Démonstration. On a 'Xptq “ 1 ? 2⇡ ª Re ´itxe´x2{2 dx.

On applique alors le théorème de dérivation sous l’intégrale pour obtenir que 'X est de

classe C1 sur R, et que

'1Xptq “ ?1 2⇡ ª R´ixe ´itxe´x2{2 dx ?1 2⇡ ª Rie ´itxp´xe´x2{2 qdx “ ´?t 2⇡ ª Re ´itxe´x2{2 dx par intégration par parties. Ainsi 'X vérifie '1Xptq ´ t'Xptq “ 0 pour tout t P R et donc

'Xptq “ e´t

2{2

puisque 'Xp0q “ 1.

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