PC & PC∗
Polynômes et nombres de Bernoulli
Durée : 4 heures
Dans la première partie de ce problème, on définit les polynômes de Bernoulli afin de calculer les sommes
p
X
k=1
knpour deux entiers p et n donnés. Dans la deuxième partie de ce problème, on introduit les nombres de Bernoulli afin d’exprimer les sommes
+∞ X
k=1
1
k2n pour tout entier n > 1. Enfin, la troisième partie de ce problème prouve que la somme obtenue pour
n = 1 est irrationnelle. La troisième partie peut être traitée indépendamment des deux premières.
Dans tout le problème on conviendra de confondre polynôme et fonction polynomiale associée.
Partie I.
Polynômes de Bernoulli
Dans l’espace R[X] des polynômes à coefficients réels, on considère le sous-espace vectoriel H défini par
H = P ∈ R[X] Z 1 0 P(x) dx = 0
et on note D : H → R[X] l’application linéaire qui à tout polynôme P de H associe son polynôme dérivé P0 : ∀P ∈ H, D(P) = P0.
Question 1.
a) Soit P ∈ R[X]. À l’aide de l’égalité P = P− Z1 0 P(x) dx + Z1 0
P(x) dx, montrer qu’il existe un unique couple (Q, λ) ∈ H×R tel que P = Q + λ.
b) En déduire que D est surjectif. c) Montrer que D est un isomorphisme.
On note désormais φ = D−1l’isomorphisme réciproque. Ainsi, si A ∈ R[X], le polynôme B = φ(A) est l’unique polynôme dans H tel que B0= A.
Question 2. Soit P ∈ R[X]. On note Q la fonction polynomiale définie par :
∀x ∈ R, Q(x) = Z x 0 P(t) dt + Z1 0 (t − 1)P(t) dt. a) Montrer que Q ∈ H. b) Montrer que Q = φ(P).
On considère la suite de polynômes (Bn)n∈Ndéfinie par B0= 1 et la relation de récurrence Bn+1= φ(Bn).
Question 3.
a) Calculer B1, B2et B3.
b) Préciser le degré et le coefficient du terme de plus haut degré de Bn.
c) Montrer que pour tout n > 2, Bn(0) = Bn(1).
Question 4. On pose pour tout n ∈ N, Cn(X) = (−1)nBn(1 − X).
a) Montrer que pour tout n ∈ N, Cn+1= φ(Cn).
b) En déduire que pour tout n ∈ N, Bn(X) = (−1)nBn(1 − X). Qu’en déduit-on concernant la valeur de Bn(0) lorsque n est
un entier impair supérieur ou égal à 3 ?
Question 5. Pour tout entier n ∈ N, on pose Rn(X) = Bn+1(X + 1) − Bn+1(X).
a) Montrer que pour tout n ∈ N, pour tout x ∈ R, Rn+1(x) =
Zx 0
Rn(t) dt.
b) Exprimer alors le polynôme Rn en fonction de n et de X.
c) En déduire que pour tout p ∈ N, pour tout n ∈ N,
p X k=1 kn= n!Bn+1(p + 1) − Bn+1(1) . d) Exprimer la valeur de p X k=1
k2en fonction de p, en justifiant votre réponse.
e) L’entier n étant fixé, montrer que, lorsque p tend vers +∞,
p X k=1 kn ∼ p→+∞ pn+1 n + 1.
Partie II.
Nombres de Bernoulli
On pose pour tout entier n ∈ N, bn= Bn(0).
Question 6.
a) Démontrer que l’on a pour tout n ∈ N, Bn(X) = n X k=0 bn−k Xk k!.
b) Déduire de la question 3c que la suite (bn)n∈Nest définie par les relations :
b0= 1 et ∀n ∈ N ∗ , bn= − n X k=1 bn−k (k + 1)!. c) Montrer que pour tout entier k > 1, on a b2k+1= 0.
d) Rédiger en Python une fonctionbernoulli(p)qui prend pour argument un entier p est renvoie le tableau [b0, b1, . . . , bp]
des p + 1 premières valeurs de la suite (bn).
Question 7. Montrer que pour tout entier naturel n ∈ N∗, on a :
∀t ∈ ]0, 1[ , 1 + 2 n X k=1 cos(2kπt) =sin (2n + 1)πt sin(πt) .
Question 8. Soit f : [0, 1] → R une fonction de classeC1. Montrer que lim
n→+∞
Z 1 0
f (t) sin(πnt) dt = 0. (On pourra effectuer
une intégration par partie, et remarquer que f et f0sont bornées sur [0, 1].) Question 9. Pour n ∈ N∗, on définit sur ]0, 1[ la fonction fnen posant :
∀t ∈ ]0, 1[ , fn(t) =Bn(t) − Bn(0) sin(πt) .
a) Montrer que fnest prolongeable par continuité sur [0, 1]. On admettra que ce prolongement est continûment dérivable.
Pour k et n dans N∗, on pose In,k=
Z 1 0
Bn(t) cos(2kπt) dt.
b) Calculer I1,ket I2,k.
c) Trouver une relation de récurrence liant In,ket In−2,ket en déduire, que pour tout p > 1, I2p,k=
(−1)p−1
(4k2π2)p et I2p−1,k= 0.
d) Déterminer pour n ∈ N∗une expression de Z1 0 f2p(t) sin (2n + 1)πtdt en fonction de p, n et b2p. e) En déduire que +∞ X k=1 1 k2p = (−1)p−14pπ2p 2 b2p. f) (Re)trouver alors la valeur de
+∞ X
k=1
1
k2.
Partie III.
L’irrationalité de π
2Dans cette partie, pour tout entier n ∈ N∗on considère le polynôme Pn(X) =
Xn(1 − X)n
n! .
Question 10.
a) Montrer l’existence de n + 1 entiers relatifs en, en+1, . . . , e2ntels que Pn(X) =
1 n! 2n X k=n ekXk.
b) Montrer que pour tout entier naturel k, Pn(k)(0) et Pn(k)(1) sont des entiers relatifs. On pourra remarquer que Pn(X) =
Pn(1 − X).
On souhaite démontrer que π2est un nombre irrationnel, et pour cela on raisonne par l’absurde. On suppose donc que π2=a
b où a et b sont deux entiers naturels non nuls.
Question 11. On pose, pour tout entier n ∈ N∗, Qn(X) = bn
π2nPn(X) − π2n−2P (2) n (X) + π2n−4P (4) n (X) + · · · + (−1)nP (2n) n (X) . a) Montrer que Qn(0) et Qn(1) sont des entiers relatifs.
b) On pose, pour tout entier naturel non nul n et tout x réel,
fn(x) = Q 0 n(x) sin(πx) − πQn(x) cos(πx) et An= π Z1 0 anPn(x) sin(πx) dx.
Montrer que fn0(x) = π2anPn(x) sin(πx), et en déduire que Anest un entier relatif.
Question 12. On pose, toujours pour le même entier a, un=
an n!.
a) En considérant le quotient un+1
un
, montrer que lim un= 0.
b) Justifier l’existence d’un entier naturel n0tel que pour tout entier n > n0,
an n! <
1 2. c) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], 0 6 Pn(x) 6
1
n!.
d) Montrer alors que pour tout entier n > n0, An∈]0, 1[, et conclure que π2est irrationnel.
e) Le réel π peut-il être rationnel ?
