Rabat N° d’ordre : 2844
THÈSE DE DOCTORAT
Présentée par
KAYDI Wiam
Discipline : Physique
Spécialité : Physique mathématique
Mesure, quanti
fication et caractérisation des corrélations quantiques
dans des systèmes d’états cohérents multipartites
Soutenue le
05 Mars 2016
Devant le jury:
Président :
SAIDI El Hassan
PES, Faculté des Sciences de Rabat.
Examinateurs :
BENNAI Mohamed
PES, Faculté des Sciences Ben M’Sik, Casablanca.
DAOUD Mohamed
PES, Faculté des Sciences d’Agadir.
EZ-ZAHRAOUY Hamid PES, Faculté des Sciences de Rabat.
JELLAL Ahmed
PES, Faculté des Sciences d’El Jadida.
ZEROUAOUI Jamal
PES, Faculté des Sciences de Kenitra.
AHL LAAMARA Rachid PA, CRMEF, Meknès.
Faculté des sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat-Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax: +212 (0) 37 77 42 61, http:/www.fsr.ac.ma
Remerciement
Ce travail de thèse a été réalisé au sein du Laboratoire de Physique des Hautes Energies, Modélisation et Simulation (LPHE-MS) de la Faculté des Sciences de Rabat, sous la direction de Monsieur El Hassan SAIDI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, l’encadrement de Monsieur Mohammed DAOUD, Professeure à la Faculté des Sciences d’Agadir et le co-encadrement de Monsieur Rachid AHL LAAMARA, Professeur au CRMEF, Meknès.
Je tiens dans un premier temps à remercier mon directeur de thèse Monsieur El Hassan SAIDI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat qui m’a ouvert les portes pour faire ma thèse au sein du laboratoire qu’il dirige et qui m’a fait l’honneur d’être le président de mon Jury de thèse.
Toute ma gratitude et mes sincères remerciements à mon encadrant Monsieur Mohammed DAOUD, Professeure à la Faculté des Sciences d’Agadir, que j’ai eu la chance de rencontrer durant ma formation. Je le remercie pour son aide précieuse, ses idées, sa patience et sa persé-vérance dans le suivi de mon travail et ses précieux conseils et aussi pour avoir toujours été là pour m’encourager, pour me soutenir, et pour m’avoir permis de reprendre confiance et m’avoir laissé la liberté nécessaire à l’accomplissement de mes travaux. Je le remercie aussi pour son enseignement durant la préparation du master avec une très grande compétence.
Ma reconnaissance s’adresse aussi à mon co-encadrant le professeur Rachid
AHL-LAAMARA de CRMEF de Meknès qui m’a aidé toujours par des conseils et des
J’adresse mes remerciements les plus profonds à Monsieur Hamid EZ-ZAHRAOUY profes-seur à la Faculté des Sciences de Rabat, pour avoir accepté d’être rapporteur et examinateur de ma thèse. Veuillez recevoir, Monsieur, l’expression de mon respect et de ma profonde gratitude.
Je remercie aussi Monsieur BENNAI Mohamed, Professeur à la Faculté des Sciences Ben M’Sik, Casablanca, qui m’a fait l’honneur d’être un rapporteur et un examinateur de ma thèse, aussi pour l’enseignement de haut niveau durant ma formation de Master.
Un grand merci à Monsieur JELLAL Ahmed professeur à la Faculté des Sciences d’El Jadida pour sa participation à mon jury de thèse en qualité d’examinateur de mon travail. Qu’il trouve ici l’expression de ma profonde gratitude.
Je vous remercie et j’exprime mon profond respect à Monsieur Jamal ZEROUAOUI à Fa-culté des Sciences de Kenitra pour avoir accepté d’être un examinateur de ma thèse. Veuillez recevoir, Monsieur, l’expression de ma profonde gratitude.
Je tiens à remercier également toutes les personnes qui ont travaillé avec moi au sein du la-boratoire. Je remercie en particulier Hanane ELHADEFI pour les échanges et les discussions, je souhaite a elle beaucoup de réussite. Ma reconnaissance va enfin à tous mes compagnons de lutte : Fatima Zahra RAMADAN, Fadoua ELYAHYAOUI, Kawtar SADKI, Nour-ddine RKHIOUI, Karim DOUHOU, Mohsin DRISSI ElBOUZAIDI, Fatima SABER, Rim ESSA-BER, Elhossine ZAAMA, Sanae DOWAMA pour tous les bons moments passés ensembles. Je souhaite également remercier les autres chercheurs et tous les membres du laboratoire de physique des hautes énergies simulation-modélisation. En particulier je te remercie monsieur Abdrrazzak Hamama avec qui j’ai eu la chance de travailler durant mon master.
Finalement, un grand Merci chaleureux et de tout mon coeur à mes parents "Mohamed KAYDI" et "Fatima BENRAOUANE", sans qui je ne serais absolument pas où j’en suis au-jourd’hui. Je les remercie sincèrement pour leur soutien inconditionnel et constant, pour m’avoir donné du courage et de l’espoir, pour être toujours présents même à distance. Je leur dois ce que je suis. Aussi un merci de tout mon coeur à mon mari "Ayyoub BEKKOUS" pour leur soutien et mes chères soeurs "Nihale et Manal", mon frére "Omar" et ma cousine "Ouidad" et aussi "Mohamed Riyad". Je vous remercie de tout mon coeur. Enfin, je remercie toutes les personnes, qui de loin ou de près ont contribué à l’aboutissement de cette étude.
Résumé
Résumé
L’adjonction des outils de la mécanique quantique et de la théorie classique de l’information conduit à la naissance d’un nouveau champ de recherche pour le traitement de l’information codée dans des systèmes quantiques. L’ingrédient clé pour ce type de traitement consiste en l’utilisation de l’intrication quantique qui est une ressource fondamentale indispensable pour les nouvelles applications de la physique quantique.
Cette thèse porte essentiellement sur la mesure, la caractérisation et la quantification des corrélations quantiques dans des systèmes quantiques multipartites. Dans ce travail, nous avons discuté le concept de l’intrication quantique. De plus, des différentes mesures des corrélations quantiques sont étudiées pour faire la distinction entre les états intriqués et les états séparables. Les notions de la concurrence, l’entropie de formation, la négativité logarithmique ont été uti-lisées dans ce sens et pour quantifier les corrélations qui sont de nature purement quantique nous avons introduit la discorde quantique et sa version géométrique. A cause de l’importance des systèmes multipartites dans la théorie de l’information quantique nous avons étudié les corrélations quantiques pour un système des états cohérents de spin multipartites ainsi que pour un système des états non-orthogonaux tripartites. Nous avons présenté également une approche unificatrice des différentes corrélations (quantiques et classiques) en utilisant la no-tion de l’entropie relative linéaire et nous avons discuté aussi une seconde approche unificatrice des corrélations quantiques pour un système quantique bipartite en utilisant la mesure géomé-trique de la discorde quantique. Finalement, nous avons étudié l’évolution de l’intrication au cours du temps dans le cadre du formalisme des états gaussiens qui sont décrits par des va-riables continues dans un espace de phase non-commutatif en contact avec un système externe pour comprendre bien la perte des corrélations nécessaires pour implémenter des outils et des protocoles quantiques performants en comparaison avec leurs analogues classiques, aussi pour chercher à comprendre la relation entre la non-commutativité et l’intrication quantique.
Mots clés : Corrélation quantique, intrication, discorde quantique, état cohérent, état
Abstract
The addition of the tools of quantum mechanics and classical information theory led to the birth of a new field of research for the treatment of the information encoded in quantum systems. The key ingredient to this type of treatment is the use quantum entanglement as a fundamental resource for new applications of quantum physics.
This thesis focuses on the measurement, characterization and quantification of quantum cor-relations in multipartite quantum systems. In this work, we discussed the concept of quantum entanglement. In addition, various measures of quantum correlations are studied to distinguish between the entangled and separable states. The concepts of concurrence, entropy of formation, negativity logarithmic were used in this sense. For quantify the quantum correlations we intro-duced the quantum discord and its variant geometric. In other hand, the multipartite quantum systems is a challenging subject that trigged off a lot of interest during the last decade in the quantum information theory. In this sense, we studied the multipartite quantum correlations in even and odd spin coherent states. We also presented the explicit analytical expressions of different correlations using the linear relative entropy. We explained how the scheme based on linear relative entropy can be used systematically to derive the pairwise geometric correlations based on Hilbert-Schmidt distance. Finally, we studied the evolution of entanglement over time of gaussian states described by continuous variables in a non-commutative phase space system in contact of external system for understand the relationship between non-commutative and quantum entanglement.
Keywords : quantum correlation, entanglement, quantum discord, coherent state,
Table des matières
Table des figures v
Introduction générale 1
1 Eléments de la théorie de l’information quantique 7
1.1 Introduction . . . 7
1.2 Notion de théorie de l’information de Shannon . . . 8
1.2.1 Notion de la théorie des probabilités . . . 8
1.2.2 Entropie de Shannon . . . 9
1.2.3 Entropie conjointe et l’entropie conditionnelle . . . 10
1.2.4 Information mutuelle . . . 11
1.3 Quelques notions fondamentales de la mécanique quantique . . . 12
1.4 Notion de bit quantique . . . 15
1.4.1 Bit quantique . . . 15
1.4.2 Portes logiques quantiques . . . 16
1.5 Intrication quantique . . . 18
1.5.1 Intrication des systèmes bipartites . . . 19
1.5.2 Critère de séparabilité . . . 19
1.6 L’entropie de von Neumann . . . 21
1.7 Conclusion . . . 22
2 Mesure des corrélations quantiques 23 2.1 Introduction . . . 23
2.2 Mesure de l’intrication . . . 24
2.2.1 Entropie d’intrication . . . 24
2.2.2 Entropie de formation et concurrence . . . 25
2.3 Discorde quantique . . . 26
2.4 Mesure géométrique de la discorde quantique . . . 28
2.5 Négativité logarithmique . . . 30
2.6 Discorde gaussienne . . . 30
2.7 Monogamie de l’intrication . . . 32
2.7.1 Concept de monogamie de l’intrication . . . 33
2.7.2 Monogamie de l’intrication dans un système à trois qubits . . . 34
2.7.3 Inégalité de Coffman-Kundu-Wootters et monogamie de l’intrication de formation . . . 37
2.8 Conclusion . . . 39
3 Les états cohérents 41 3.1 Introduction . . . 41
3.2 Etats cohérents . . . 42
3.2.1 Définition des états cohérents . . . 42
3.2.2 Superpositions des états cohérents . . . 43
3.3 Etats cohérents de Lie . . . 45
3.3.1 Etat cohérent de SU(2) . . . 45
3.3.2 Etat cohérent de SU(1,1) . . . 47
3.4 Application des états cohérents . . . 48
3.5 Conclusion . . . 49
4 Intrication et monogamie des états cohérents de spin 51 4.1 Introduction . . . 51
4.2 Mesure des corrélations quantiques multipartites . . . 52
4.2.1 Corrélations quantiques bipartites . . . 53
4.2.2 Corrélations quantiques multipartites . . . 54
4.3 Etats cohérents pairs et impairs de spin . . . 55
4.4 Corrélations quantiques bipartites des états cohérents de spin SU (2) . . . . 57
4.5 Etat cohérent de spin tripartites . . . 60
4.5.1 Etats purs bipartites . . . 60
Table des matières
4.6 Entropie de formation . . . 62
4.6.1 Entropie de formation . . . 63
4.6.2 Entropie de formation globale . . . 63
4.6.3 Monogamie de l’entropie de formation . . . 64
4.7 Discorde quantique des états cohérents de spin . . . 66
4.7.1 Discorde quantique . . . 66
4.7.2 Les corrélations quantiques multipartites . . . 69
4.7.3 Monogamie de la discorde quantique . . . 71
4.8 Conclusion . . . 73
5 Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de monoga-mie 75 5.1 Introduction . . . 75
5.2 Etats tripartite non-orthogonaux . . . 76
5.3 L’entropie de formation et la discorde quantique . . . 78
5.4 Discorde quantique géométrique . . . 81
5.4.1 Mesure géométrique de la discorde quantique des états bipartites purs . . 81
5.4.2 Mesure géométrique de la discorde quantique pour des états bipartites mixtes . . . 82
5.5 Illustration : Etats chat de Schrödinger tripartites . . . 83
5.5.1 Etats chat de Schrödinger tripartites . . . 83
5.5.2 Corrélations quantiques globales et la relation de monogamie . . . 84
5.5.2.1 Concurrence . . . 84
5.5.2.2 Entropie de formation et discorde quantique . . . 85
5.5.2.3 Discorde quantique géométrique . . . 87
5.6 Conclusion . . . 90
6 Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques 91 6.1 Introduction . . . 91
6.2 Schéma unificateur des corrélations classiques et quantiques . . . 92
6.2.1 L’ensemble des états quantiques et classiques . . . 92
6.2.2 Corrélations dans un état quantique . . . 94
6.3 Quantification des corrélations basées sur l’entropie relative linéaire . . . 95
6.3.1 Corrélation basée sur l’entropie relative . . . 95
6.3.3 Relation d’additivité des corrélations géométriques et entropiques . . . . 98
6.4 Expressions analytiques des corrélations . . . 99
6.4.1 Corrélation totale et l’état produit le plus proche . . . 100
6.4.1.1 Etat produit le plus proche . . . 100
6.4.1.2 Corrélation totale . . . 101
6.4.2 Corrélation quantique et état classique le plus proche . . . 103
6.4.2.1 Discorde quantique . . . 103
6.4.2.2 Etat classique le plus proche . . . 104
6.4.3 Corrélation classique . . . 106
6.4.4 Mesure des corrélations par la norme de Hilbert-Schmidt . . . 108
6.5 Conclusion . . . 111
7 Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de phase non commutatif 113 7.1 Introduction . . . 113
7.2 L’espace de phase Non-commutatif . . . 114
7.2.1 Géométrie non commutative . . . 114
7.2.2 L’oscillateur harmonique dans l’espace de phase non-commutatif . . . 115
7.3 L’équation maîtresse . . . 116
7.3.1 Equation de Langevin quantique . . . 117
7.3.2 Dérivation de l’équation maîtresse . . . 119
7.3.2.1 Approximation de Born . . . 120
7.3.2.2 Equation maîtresse quantique . . . 120
7.4 Intrication et les variables continues . . . 122
7.5 L’évolution d’un état gaussien de deux particules dans l’espace de phase non commutatif . . . 123
7.6 Discussion des résultats . . . 128
7.7 Conclusion . . . 130
Conclusion générale 133
Table des figures
1.1 Entropie de Shannon binaire en fonction de p. . . . 10 1.2 Diagramme de Venn à deux variables X et Y . . . . 12 1.3 Sphère de Bloch . . . 16 4.1 Entropie de formation E = Ej1,j2 en fonction de p lorsque (j1 =
3 2, j2 =
1 2) et
(j1 = 1, j2 = 1) pour m = 0 . . . . 59
4.2 Entropie de formation E = Ej1,j2 en fonction de p lorsque (j1 =
3 2, j2 =
1 2) et
(j1 = 1, j2 = 1) pour m = 1 . . . . 59
4.3 La fonction ∆E en fonction de p lorsque j1 = j2 = j3 = 12 pour m = 0 et m = 1. 64
4.4 La fonction ∆E en fonction de p lorsque (j1 = 12, j2 = 12, j3 = 1) et (j1 = 1, j2 = 1
2, j3 = 1
2) pour m = 0. . . . 65
4.5 La fonction ∆E en fonction de p lorsque (j1 = 12, j2 = 12, j3 = 1) et (j1 = 1, j2 = 1
2, j3 = 1
2) pour m = 1. . . . 65
4.6 Les corrélations quantiques multipartites pour j = 3 en fonction de p pour m = 0. 70 4.7 Les corrélations quantiques multipartites pour j = 3 en fonction de p pour m = 1. 70 4.8 Laf onction∆D en fonction de p lorsque j1 = j2 = j3 = 12 pour m = 0 et m = 1. 71
4.9 La fonction ∆D en fonction de p lorsque (j1 = 1, j2 = 12, j3 = 12) et (j1 = 12, j2 = 1
2, j3 = 1) pour m = 0. . . . 72
4.10 La fonction ∆D en fonction de p lorsque (j1 = 1, j2 = 12, j3 = 12) et (j1 = 12, j2 = 1
2, j3 = 1) pour m = 1. . . . 72
5.1 E = Ei|jk en fonction de p pour m = 0 et m = 1. . . . 86
5.3 Corrélation quantique Tripartite en fonction de p pour m = 1. . . . 89
6.1 Les états quantiques-classiques . . . 93
6.2 Schéma des Corrélations dans un état quantique . . . 94
6.3 Corrélation Total T2 en fonction de c1 pour différentes valeurs de α = c1+ c2. . . 102
6.4 Discorde quantique D2 ≡ Dg en fonction de c1 pour α ≤ 12. . . 106
6.5 Discorde quantique D2 ≡ Dg en fonction de c1 pour α ≥ 12. . . 106
6.6 Corrélations classiques C2 en fonction de c1 pourα ≤ 12. . . 108
6.7 Corrélations classique C2 en fonction de c1 pour α ≥ 12. . . 109
7.1 Un système couplé à l’environnement par l’intermédiaire de l’hamiltonien d’in-teraction. . . 117
7.2 Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de E. Pour B = 0, T = 1, m = 1, s = 1 2, d = 2, les valeurs de E sont : rouge E=0, bleu E=0.1, bleu vif E=0.25, vert E=0.5 . . . 128
7.3 Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de B. Pour E = 0, T = 1, m = 1, s = 1 2, d = 2, les valeurs de B sont : rouge B=0, bleu B=0.1, bleu vif B=0.25, vert B=0.5 . . . 128
7.4 Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de s. Pour B = 0, T = 1, m = 1, d = 2, les valeurs de s sont : rouge s=0.5, bleu s=1, vert s=2. . . 129
Introduction générale
Information is physical. Rolf Landauer [1]
A la fin du 19ème siècle, la physique que l’on appelle classique reposait sur deux fameux piliers fondamentaux, la mécanique Newtonienne et la théorie de l’électromagnétisme. Mais, certains faits restaient mal compris, et les lois classiques de ces deux dernières cessent d’être capables d’expliquer de nouvelles observations expérimentales. L’analyse des observations expé-rimentales allait conduire à l’établissement d’une nouvelle description de la matière à l’échelle microscopique. Ceci a conduit à la formulation de la théorie de mécanique quantique[2] qui a modifié en profondeur des concepts de base de la physique. Cette théorie donne les lois d’évo-lution des constituants microscopiques de la matière. A l’heure actuelle, la théorie quantique s’avère essentielle pour comprendre la physique des particules, la physique moléculaire, en pas-sant par la physique des matériaux et d’autres branches de la physique moderne. Cependant, en défit de ces succés indiscutables, la mécanique quantique suscite toujours des débats quant à sa formulation et sa conceptualisation.
Depuis le début de sa formulation, des problèmes d’interprétation ont surgi en mécanique quan-tique. En d’autres termes, toute tentative de compléter la mécanique quantique par une théorie réaliste locale était vouée à l’échec. Mais à cause de sa puissance analytique et prédictive, la physique quantique a permis de prévoir des effets ayant plusieurs applications. Le nombre de technologies disponibles actuellement reposant sur la nouvelle physique s’est tellement mul-tiplié qu’il serait fastidieux d’en dresser une liste. Citons seulement certains développements
révolutionnaires comme l’électronique moderne, l’imagerie médicale et le laser. La théorie de la mécanique quantique dans son formalisme actuel s’est faite très rapidement entre 1925 et 1927, et apparaît comme le fruit de la conjonction exceptionnelle des talents physiciens et mathéma-ticiens du 20 ème sciècle comme Schrödinger [3], Heisenberg, Bohr, Dirac, Pauli, Hilbert, et von Neumann [4]. Cependant, malgré ses prédictions vérifiées expérimentalement, son caractère non local constituait un sujet de débat permanent. Dans ce sens, en 1935, dans un article célèbre [5], Einstein, Podolsky et Rosen (EPR) ont été amené à conclure que la mécanique quantique est fondamentalement incomplète et que l’univers est décrit par une théorie plus fondamentale (théorie des variables cachées) en soulignant le caractére subtil et paradoxal de l’intrication quantique. Depuis quelques années, cette propriété quantique extraordinaire est mise à pro-fit dans les travaux des nombreaux physiciens qui ont conduit à la théorie de l’information quantique.
L’information quantique [6, 7] est l’un des domaines les plus dynamiques de la physique quantique actuelle. Elle est un nouveau champ de recherche dont l’objectif d’utiliser les possibi-lités offertes par la mécanique quantique pour traiter l’information d’une manière plus efficace et plus performante. Elle pourrait conduire à des réalisations technologiques nouvelles. Il faut aussi signaler que le développement de l’électronique va trouver ses limites en raison des ef-fets quantiques, qui vont devenir incontournables à l’echelle du nanométre, en vertu de la loi de Moore qui traite l’évolution de la puissance des ordinateurs classiques. Lorsque la loi de Moore aura atteint ses limites, il faudrait penser à des technologies radicalement différentes, complémentaires pour la transition de la microélectronique aux nanotechnologies. Pour cela la thèorie quantique de l’information est le nouveau champ, qui remplacera la thèorie classique pour manipuler l’information, basée sur les lois de la physique quantique.
L’idée d’utiliser les propriétés étranges de la mécanique quantique qui sont la superposition et l’intrication fut proposée par Richard Feynman [8]. Il a observé que la puissance des outils mathématiques de la physique microscopique peuvent être exploité pour simuler des systèmes quantiques. Cette nouvelle discipline utilise les lois régissant le monde quantique et les concepts de la théorie de l’information classique. A l’heure actuelle, elle porte essentiellement sur deux thèmes majeurs. Le premier est la conception d’un ordinateur quantique capable d’exécuter rapidement certains calculs qui nécessitent un temps exponentiellement long sur un ordinateur classique. Le second concerne l’utilisation des objets quantique pour crypter l’information dans l’objectif d’effectuer des communications privées très sécurisées en comparaison avec leur ana-logue classique. Les protocoles quantiques garantissent la confidentialité des communications grâce aux lois de la physique quantique. Dans ce contexte il y a maintenant une vingtaine d’année dans les coulisses des laboratoires à travers le monde tentent de faire converger les
Introduction générale
sciences de l’information (calcul, codage, ...) et la physique quantique. Malgré ces difficultés, l’information quantique passionne des centaines de chercheurs à travers le monde : des progrès considérables ont été achevés et des expériences ont été réalisées. Malheureusement, la concep-tion de l’ordinateur quantique se heurte à l’extrême fragilité des bits quantiques qu’une telle machine devrait manipuler car la moindre perturbation fausserait le calcul. On parle ici d’un phénomène qui induit l’émergence d’un monde classique à partir du monde quantique : la décohérence. Elle constituera vraisemblablement un obstacle majeur pour la réalisation d’une machine quantique. La décohérence empêche dans l’heure actuelle de maintenir, controler, ma-nipuler un qubit dans un temps suffisamment long jusqu’à ce qu’on exécute le calcul souhaité. C’est un véritable cauchemar pour les expérimentateurs ! Une autre question importante qui interesse les thèoriciens concerne le concept d’intrication : comment la mesurer et la manipuler pour construire des objets quantiques qui seront utiles pour concevoir une machine quantique puissante et pour développer le domaine de l’information quantique ?
L’intrication quantique est un phénomène quantique dans lequel, l’état quantique d’un en-semble de deux objets doit être décrit globalement sans pouvoir séparer un objet l’un de l’autre bien qu’ils puissent être spatialement séparés. En physique classique, le principe de localité connu également sous le nom du principe de séparabilité, stipule que des objets distants ne peuvent avoir d’influence l’un sur l’autre. Il y a contradiction entre intrication et non-localité. Cependant, avant l’intrication, deux systèmes physiques sans interaction sont dans des états quantiques indépendants mais après l’intrication ces deux états sont en quelque sorte "emmêlés" et il n’est plus possible de décrire ces deux systèmes de façon indépendante. C’est pourquoi, des propriétés de non-localité font leur apparition et la mesure sur l’un des systèmes influence instantanément l’autre système, même s’il est situé à des années de lumière. L’intrication quan-tique est au coeur des fameuses expériences dites du paradoxe EPR et du chat de Schrödinger. A ce niveau, il faut signaler que les travaux de Schrödinger et de EPR n’ont pas succité l’intérêt qu’ils méritaient à temps. Près de 30 ans plus tard (1964), John Bell a conçu une expérience de la pensée [9] qui devrait se révéler être le moyen de régler cette discussion une fois pour toute, et faire place à un nouveau champ de recherche. Le théorème de Bell démontrant que l’incomplétude de la théorie quantique soupçonné par EPR n’était pas possible qui peut être vu de plusieurs façons assez différentes. Initialement, il a été conçu par son auteur comme un prolongement logique de théorème EPR. La nécessité de répondre au problème de l’incomplé-tude de la mécanique quantique et pour tenter de violer ces inégalités de Bell, les premières expériences de production d’états intriqués ont été réalisées à la fin des années 1970. Ces expé-riences démontrent clairement que l’interprétation d’EPR ne pouvait être correcte. Parmi ces expériences on trouve les fameuses expériences du groupe d’Alain Aspect d’Orsay entre 1980
et 1982 [10]. Ces expériences montrent sans aucun doute la violation de l’inégalité de Bell. Aujourd’hui, en 2015, nul ne peut contester le caractère non local de la physique quantique. La non localité est l’origine du phénomène de l’intrication dans un système quantique multipartite. Il est donc tout à fait naturel de se pencher sur la question de la mesure de l’intrication afin de quantifier les corrélations quantiques et les distingues des corrélations classiques.
La caractérisation des corrélations présentent dans un état quantique est un problème fonda-mental ayant généré des efforts intenses des chercheurs au cours des deux dernières décennies [11, 12]. Certains résultats ont montré que les corrélations quantiques ne peuvent pas être seulement limitées à l’intrication, car les états quantiques séparables peuvent aussi avoir des corrélations non classiques au-delà de l’intrication quantique, qui sont responsables de l’amé-lioration de certaines tâches quantiques qui ne peuvent être atteintes par des moyens classiques [13–17]. Les premières tentatives pour introduire les corrélations quantiques ont été faites par Ollivier et Zurek [18] et par Henderson et Vedral [19], qui ont étudié les corrélations quantiques dans une perspective de mesure et introduisent la discorde quantique comme une mesure de corrélations quantiques [20–30].
En effet, la discorde quantique a attiré beaucoup d’attention dans le domaine de la théorie de l’information quantique [31–37]. Elle quantifie les corrélations non classiques dans un état quantique. En outre, elle coïncide avec l’intrication de la formation pour les états purs qui sont considérés comme une ressource pour le calcul quantique [31]. Elle a été généralisée aux systèmes des variables continues [38]. Pour une classe limitée des états à deux qubits, une expression analytique est obtenue [39–41]. Ainsi, la discorde quantique pour un système mul-tipartite est étudiée aussi dans plusieurs articles [33, 42–47]. Récemment, la dynamique de la discorde quantique est largement étudiée dans différents contextes [48–50]. De plus une inter-prétation géométrique de la discorde a été discutée par Yao et al. [51]. On trouve aussi une version géométrique de la discorde quantique qui quantifie les corrélations non classiques dans un état quantique comme étant la distance minimale entre cet état et un état purement clas-sique (un état qui ne possédent pas la propriété) [52]. Les preuves expérimentales peuvent être vues dans les références [53–55].
La thèorie de l’information quantique vise d’abord à comprendre et exploiter les possibili-tés offertes par la mécanique quantique à des fins de traitement d’information. L’information quantique et le calcul quantique ont récemment attiré beaucoup d’intérêt sur le plan théorique. Dans ce contexte, il est nécessaire de développer de nouveaux protocoles utilisant les ressources de la physique quantique (superposition ou bien l’intrication). Il faut vaincre le phénomène de la décohérence quantique, qui est le principal ”ennemi” du calcul quantique car elle induit des erreurs et elle limite le temps de calcul. Le maîtrise du phénomène de la décohérence est une
Introduction générale
condition pour atteindre les objectifs de la théorie de l’information quantique. Le but essentiel de cette thèse est l’étude des corrélations des états quantiques dans les systèmes quantiques multipartites. Cette étude permet de comprendre comment le phénomène de la décohérence entre en jeu et détruit l’information quantique.
Ce manuscrit est divisé en sept chapitres :
Dans le premier chapitre, nous passerons en revue l’essentiel de la théorie classique d’infor-mation introduite par Claude Shannon. Cette rétrospective nous permet de mieux comprendre l’origine de la théorie de l’information où les états quantiques d’un système à deux niveaux remplacent les bits ordinaires. Quelques éléments de la mécanique quantique utiles pour la suite de notre propos, sont également introduits. Dans le second chapitre, nous introduisons les mesures que nous utilisons pour quantifier les corrélations quantiques dans des systèmes quantiques multipartites. Nous discutons particulièrement la notion de concurrence, l’entropie de formation, la discorde quantique. A ce niveau, on signale que ces mesures sont des mesures qui utilisent la notion de l’entropie de von-Neumann. Nous discutons également la discorde quantique géométrique qui utilise la norme de Hilbert-Schmidt pour mesurer la distance entre les états d’un système bipartite. Dans des systèmes à trois qubits et plus, la distribution des corrélations quantiques entre les différents constituants du système suit une relation assez res-trictive. Il s’agit de la relation de monogamie que nous discutons à la fin de ce chapitre.
Le troisième chapitre porte sur le formalisme des états cohérents d’un système quantique. L’intérêt pour cette catégorie d’états a été récemment motivé par la possibilité de coder l’in-formation dans ces états qui ont des propriétés à la limite entre le monde quantique et clas-sique. Pour cela, nous discutons et nous définissons les états cohérents de Glauber (états semi-classiques du champ radiatif quantifié) et les états cohérents de quelques groupes de Lie tel que SU(2) et SU(1,1).
Le chapitre quatre est dédié à l’étude des corrélations quantiques dans des superpositions particulières des états cohérents de spin. Nous dérivons les expressions explicites des corréla-tions quantiques bipartites par le biais de différentes mesures que nous comparons. Les mesures utilisées sont l’entropie d’intrication et la discorde quantique. Nous intéressons aussi à la dis-tribution des corrélations quantiques dans un état cohérent de spin j vu comme assemblage de 2j qubits. Cette distribution des corrélations nous a permis d’établir les conditions de respect ou violation de la relation de monogamie dans de tels systèmes.
Dans le même sens d’idées, nous examinons dans le cinquième chapitre, la relation de mono-gamie dans un système tripartite dont chaque partie est décrite par un qubit arbitraire. Cette relation de monogamie est analysée pour trois différentes mesures : l’entropie de formation, la discorde quantique et sa version géométrique basée sur la mesure de Hilbert-Schmidt. A titre
d’illustration, nous analysons les états chat de Schrödinger tripartite définis en termes des états cohérents de Glauber.
Le sixième chapitre traite une approche unificatrice des différentes corrélations (classiques ou quantiques) dans des systèmes quantiques multipartites. Ce Schéma unificateur repose sur le concept de l’entropie linéaire qui est une variante linéarisée de l’entropie de von-Neumann. Une relation d’additivité des différentes corrélations présentes dans un système multipartite est établie. Des expressions analytiques des corrélations classiques et quantiques sont obtenues.
Le dernier chapitre porte sur un modèle où l’information est codée dans des variables conti-nues. Nous présentons un modèle de deux particules évolues dans un espace non-commutatif. Afin de comprendre l’effet de la non-commutativité (où l’action d’un champ électromagnétique sur ce système bipartite), nous évaluons la négativité logarithmique pour étudier l’intrication quantique. Le couplage du système introduit via la structure non commutative un modèle qui décrit la phénomène de la décohérence d’un système bipartite.
Chapitre 1
Eléments de la théorie de l’information
quantique
1.1
Introduction
Aujourd’hui la théorie classique de l’information fondée par Claude Shannon s’applique dans le domaine des communications et aussi dans d’autres disciplines, tels que, le mathématique, la physique statistique et l’informatique. La théorie classique de l’information porte sur l’en-codage, la transmission et la quantification de la quantité d’information. De plus, la théorie de Shannon est connue en statistique par sa célèbre formule de l’entropie qui est analogue à la formule de l’entropie de Boltzmann. Avant d’introduire le concept mathématique de l’in-formation il est utile de poser la question : qui est-ce que l’inl’in-formation ? L’inl’in-formation est l’action d’informer, de donner la connaissance d’un fait, d’une nouvelle sur quelque chose ou quelqu’un. Cette information peut être parlée, écrite ou perçue. Cependant, il faut rappeler que l’information est relative aux propriétés physiques de la matière. Dans ce sens, l’information est physique. Il en résulte que l’information peut être encodée dans les états quantiques et donc on peut traiter de l’information quantique. La théorie quantique de l’information repose sur les concepts fondamentaux de la théorie de la mécanique quantique. Pour introduire cette nouvelle théorie, nous allons rappeler quelques notions de la théorie de l’information classique [56, 57] et quelques éléments de la mécanique quantique. En particulier la notion de bits quantiques supports indispensables pour coder l’information dans les états d’un système quantique
l’infor-mation classique dont nous avons besoin pour construire la théorie de l’inforl’infor-mation quantique. Nous présentons la définition de l’information mutuelle introduite par Claude Shannon, et aussi la notion de l’entropie de Shannon. Avant d’exposer la version quantique de cette der-nière, nous présentons les formalismes quantiques utiles pour introduire la théorie quantique de l’information. Nous définissons l’opérateur densité, le bit quantique qui est la plus petite unité de stockage de l’information quantique et nous donnons quelques portes logiques quan-tiques élémentaires. Dans le même esprit, nous définissons l’intrication et nous discutons les formalismes mathématiques de l’intrication dans les systèmes bipartites, en utilisant quelques critères de séparabilité.
1.2
Notion de théorie de l’information de Shannon
Dans ce paragraphe nous introduisons les notions de base de la théorie de l’information classique afin de pouvoir les utiliser ensuite dans le cadre quantique. La définition de la mesure de l’information a été donnée la première fois par Hartley en 1928 [58]. Sa mesure de l’entropie est donnée par la formule :
H(x) = logs, (1.1)
où s est le nombre de valeurs possibles pour chaque symbole du message x transmit. En ef-fet, selon la formule proposée par Hartley, tous les symboles du message contiennent la même quantité d’information. Autrement dit, cette mesure d’entropie est basée sur l’hypothèse que tous les événements sont équiprobables, hypothèse régulièrement mise en défaut dans les ap-plications de télécommunication ou de traitement de signal. Cette mesure d’information a été modifiée par Claude Shannon qui a donné en 1948 une définition plus rigoureuse de la quan-tité d’information [57]. En théorie de l’information, l’entropie mesure la quanquan-tité d’incertitude d’une quantité inconnue ou aléatoire. Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une grandeur mathématique. La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle des variables aléatoires. Pour for-maliser ces concepts, il est intéressant de commencer ce paragraphe par un rappel de quelques éléments de théorie des probabilités, pour ensuite définir l’entropie de Shannon.
1.2.1
Notion de la théorie des probabilités
Soit Ω un ensemble fini et P (Ω) l’ensemble de ses parties. Le couple (Ω, P (Ω)) s’appelle un espace probabilisable. On appelle espace probabilisé définie sur cet espace, toute application P de P (Ω) dans [0, 1] qui vérifie P (Ω) = 1.
1.1.2 Notion de théorie de l’information de Shannon
Si A et B sont deux évènements incompatibles, alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
On appelle variable aléatoire tout nombre aléatoire dont la valeur dépend du résultat d’une expérience probabiliste.
Une variable aléatoire X est entièrement définie par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre dans Ω, que nous supposons être un ensemble fini, et sa distribution de probabilité est donnée par {pX(x)}x∈Ω. La valeur de pX(x) est la probabilité que la variable aléatoire X prend la
valeur x. ainsi que la distribution de probabilité : pX : Ω → [0, 1] doit satisfaire à la condition
de normalisation
X
x∈Ω
pX(x) = 1
L’indépendance est une notion importante pour la théorie de l’information. Intuitivement, l’indépendance de deux variables aléatoires signifie que leur comportement est autonome, c’est à dire qu’il n’existe pas de lien statistique entre elles, ou encore que la connaissance de l’une de ces variables n’apporte aucune information sur l’autre. On dit que les variables X et Y sont indépendantes si et seulement si leur loi jointe vérifie :
pX,Y(x, y) = pX(x)pY(y). (1.2)
1.2.2
Entropie de Shannon
Le concept de l’entropie est introduit en thermodynamique par Clausius. Il a été utilisé aussi par Boltzmann en théorie cinétique des gaz. Boltzmann a décrit l’entropie comme une mesure du désordre d’un système. La notion de l’entropie est considérée comme un concept curieux dans la théorie de l’information. L’entropie d’une variable aléatoire est une mesure quantitative de l’incertitude associée aux valeurs prises par la variable aléatoire. Ainsi la quantité d’information dépend plus de la distribution de probabilité d’un événement x particulier. Par conséquent l’entropie HX d’une variable aléatoire X avec la distribution de probabilité p(x) est défini
comme :
HX = −
X
x∈X
p(x) log p(x). (1.3)
On prend comme convention 0 log20 = 0, de sorte que les événements de probabilité nuls ne sont pas comptabilisés dans la somme. L’unité de l’entropie dépend de la base choisie pour le logarithme : ( log2 : bit (binary unit), loge: nat (natural unit), log10 : (decimal unit)).
Notez bien que HX ne dépend que de la loi de X. C’est une quantité définie positive. De plus
HX est maximale lorsque X est munie de la loi uniforme.
p(0) = p et 1 avec la probabilité p(1) = 1 − p. L’entropie de Shannon est
H(p) = −p log p − (1 − p) log(1 − p).
La figure 1.1 représente l’entropie de Shannon binaire en fonction de p, quand p = 1/2, la valeur de l’entropie est maximale et égale à 1 et que pour p = 1 et p = 0 nous obtenons la valeur minimale zéro.
Figure 1.1 –Entropie de Shannon binaire en fonction de p.
1.2.3
Entropie conjointe et l’entropie conditionnelle
Si X et Y sont deux variables aléatoires, l’entropie conjointe H(X, Y ) c’est l’entropie du couple (X, Y ) donnée par :
H(X, Y ) = −X
x,y
p(x, y) log2(p(x, y)). (1.4) Notons que l’entropie conjointe ne dépend pas de l’ordre des variables. Autrement dit, l’entropie conjointe est symétrique :
H(X, Y ) = H(Y, X). (1.5)
Elle verifié l’inégalité
1.1.2 Notion de théorie de l’information de Shannon
Si les variables X et Y sont indépendantes, on a H(X, Y ) = H(X) + H(Y ). L’entropie condi-tionnelle a beaucoup d’importance en théorie de l’information. En effet, on s’intéresse souvent à l’incertitude sur X compte tenu de l’information représentée par Y . Alors l’entropie condi-tionnelle est définie par
H(X | Y ) = −X
x,y
p(x, y) log2(p(x | y)), (1.7)
H(X | Y ) représente une incertitude moyenne sur l’entrée lorsque la sortie est connue. En
d’autres termes, il s’agit de l’information qui serait encore nécessaire pour caractériser X quand
Y est connue. Elle satisfait la propriété suivante :
H(X, Y ) = H(X) + H(Y | X) = H(Y ) + H(Y | X). (1.8) La démonstration de cette relation est immédiate à partir de la définition de l’entropie conjointe,
p(x, y) = p(y | x)p(x) : H(X, Y ) = −X x,y p(x, y) log2p(x, y) = −X x,y p(x, y) log2p(x)p(y | x) = −X x,y p(x) log2p(x) −X x,y p(x) log2p(y | x) = H(X) + H(Y | X).
1.2.4
Information mutuelle
L’information mutuelle est une grandeur qui mesure un rapport entre deux variables aléa-toires échantillonnées simultanément. Elle est la réduction de l’entropie de la variable aléatoire
X, apportée par la connaissance de la variable aléatoire Y . En particulier, elle mesure la
quan-tité d’information communiquée, en moyenne, entre les deux variables aléatoires X et Y . Soient deux variables aléatoires X et Y . La distribution conjointe est définie par
X
xy
p(x, y)log2
p(x, y)
p(x)p(y). (1.9)
L’information mutuelle I(X : Y ) mesure la quantité d’information moyenne sur X que l’on peut espérer récupérer lorsqu’on connaît Y . Elle mesure donc la quantité d’information commune
entre X et Y . Elle est donnée par
I(X : Y ) = H(X) + H(Y ) − H(X, Y )
= H(X) − H(X/Y ) = H(Y ) − H(Y /X).
Il est facile de vérifier l’équivalence de ces trois formules. La quantité de l’information mutuelle est positive et s’annule si et seulement si X et Y sont indépendantes.
Le diagramme de Venn ci dessous 1.2 résume, pour le cas de deux variables aléatoires, les relations entre les différentes entropies H(X), H(Y ), H(X, Y ), H(X/Y ) , H(Y /X) et de l’information mutuelle I(X : Y ).
Figure 1.2– Diagramme de Venn à deux variables X et Y .
1.3
Quelques notions fondamentales de la mécanique
quan-tique
Afin d’introduire les outils de base de la théorie de l’information quantique, il paraît inté-ressant de rappeler quelques notions fondamentales de la mécanique quantique. Les différentes représentations utilisées en mécanique quantique pour la description des états d’une particule ou d’un système de particules utilisent les espaces de Hilbert. L’espace vectoriel de Hilbert de dimension n qu’on note (Hn ) est l’espace vectoriel linéaire complexe menu d’un produit
sca-laire hermitien défini positif. Le produit scasca-laire hermitien de |Ψ1i par |Ψ2i est noté hΨ2 | Ψ1i.
1.1.3 Quelques notions fondamentales de la mécanique quantique – La symétrie hermitienne : (hΨ2 | Ψ1i)? = hΨ1 | Ψ2i . (1.10) – La linéarité hΨ1 | AΨ2+ BΨ3i = A hΨ1 | Ψ2i + B hΨ1 | Ψ3i . (1.11) – La positivité kΨk =qhΨ | Ψi ≥ 0. (1.12)
Dans le cadre de la théorie de l’intrication quantique les systèmes quantiques composés jouent un rôle important. Pour un système composé de deux sous-systèmes A et B l’espace de Hilbert HAB c’est le produit tensoriel de sous espace de Hilbert HA ⊗ HB. La dimension de l’espace
composéHAB est le produit des dimensions des sous-systèmes : dimHAB = dimHA× dimHB.
Les ingrédients essentiels pour le traitement de l’information quantique se trouvent dans la description des états quantiques décrits par les espaces de Hilbert, en outre l’état englobe notre connaissance du système physique. En mécanique quantique, si le système est isolé et si nous avons toutes les informations sur ce système, on le décrit par un vecteur d’état. Mais dans de nombreux cas que l’on rencontre en étudiant des systèmes physiques, la situation est différente et on ne peut avoir qu’une partie de l’information sur le système. Par exemple lorsqu’un système interagit avec son environnement, l’information sur ce dernier n’est pas globale (incomplète). Par conséquent l’opérateur, ou la matrice densité est le nouveau outil qui remplace le vecteur d’état et permet de résoudre ce problème. La notion de l’opérateur donne un intérêt fondamental aux résultats des mesures quantiques. Cet opérateur décrit l’état du système par un ensemble de vecteurs d’états. C’est l’outil le plus immédiat et le plus pratique pour décrire un état quelconque. Autrement, on dit que l’état est pur lorsque la quantité maximale d’information sur le système physique est disponible. Un système quantique dans l’état pur peut être décrit correctement par un vecteur d’état dans un espace de HilbertH.
Comme nous l’avons vu ci-dessus, un état quantique pur dans un espace de Hilbert H et la description du système se fait par le biais d’un vecteur |Ψi que nous développons ici sur la base des {|uni} qui engendre H
|Ψi =X
n
Les coefficients Cn sont les amplitudes de probabilité. Tout état pur peut être identifié par
l’opérateur densité
ρ = |Ψi hΨ| . (1.14)
La majorité des systèmes ne sont pas dans un état pur, ils sont en réalité dans des états mixtes, car tout système physique interagit inévitablement avec l’environnement. Ainsi, dans le cas général où le système est dans un mélange d’états, l’opérateur densité de système est donné par ρ =X i piρi X i pi = 1, et 0 ≤ pi ≤ 1,
avec ρi = |Ψii hΨi| c’est l’opérateur densité correspondant à l’état |Ψii . L’opérateur densité a
des propriétés caractéristiques parmi lesquelles nous pouvons notamment citer – ρ est un opérateur hermétique ρ†= ρ,
– ρ est un opérateur positif : hφ | ρ | φi ≥ 0, ∀ | φ >∈H,
– ρ est un opérateur de projection ρ2 = ρ dans le cas des systèmes purs,
– T r(ρ) = 1.
La matrice densité et la matrice densité réduite sont des outils utiles pour étudier des systèmes quantiques composites et en particulier l’intrication entre deux sous systèmes. Autrement dit, la description de sous-systèmes d’un système quantique composite est fournie par l’opérateur de densité réduite. Il est donc indispensable dans l’analyse des systèmes quantiques composites. Considérons le cas d’un système composite constitué de deux parties A et B décrits par deux espaces de Hilbert complexes HA et HB et l’espace composé HAB est un espace bipartite. La
trace partielle de l’opérateur densité est définie par
ρA = TrBρAB.
L’opérateur densité réduite décrit un sous-système d’un système quantique composé. Plusieurs propriétés importantes d’un système quantique sont complètement déterminées à travers les valeurs propres de la matrice densité réduite du système. De plus, il détermine complètement le résultat de toute mesure effectuée seulement par un sous-système. Ces idées vont être clarifiées après qu’on ait introduit la notion de l’intrication quantique.
1.1.4 Notion de bit quantique
1.4
Notion de bit quantique
L’information codée dans des sous systèmes quantiques conduit à des propriétés plutôt contre-intuitives. Elle ne peut être ni copiée ni lue sans être détruite et elle peut prendre plu-sieurs valeurs à la fois. Ce sont des propriétés toutes particulières qui motivent la recherche sur l’information quantique et qui promettent une révolution que certains auteurs appellent la seconde révolution de la mécanique quantique comparable à l’avènement du transistor. La théorie de l’information quantique pourrait permettre de fabriquer des ordinateurs capables de résoudre plus rapidement certains problèmes qui demandent aujourd’hui l’aide de super-calculateurs. Cette idée d’exploiter les lois quantique pour concevoir des algorithmes de calcul rapides, fut proposée par Feynman en 1982 [8]. Dans cet esprit, il faut disposer non pas de bits mais bien de quantum bits (qubits) d’informations. Le bit quantique est l’unité fondamentale d’information quantique.
1.4.1
Bit quantique
En théorie de l’information, un bit est la quantité minimale d’information transmise par un message. Il constitue à ce titre l’unité de mesure de base de l’information en informatique. La théorie de l’information quantique utilise une entité quantique pour coder l’unité élémentaire d’information : les systèmes à deux niveaux. Les systèmes à deux niveaux ont gagné extrême-ment d’intérêt au cours des dix dernières années, en raison des perspectives fascinantes dans la manipulation de l’information quantique [60, 61] et le calcul quantique [62, 63]. Ces systèmes quantiques à deux niveaux sont maintenant appelés qubits [59]. On peut par exemple réaliser un qubit en considérant les deux états de polarisation d’un photon ou les deux états de spin d’un électron : up et down . Un qubit c’est la plus petite unité de stockage de l’information quantique on le nomme aussi un bit quantique (quantum+bit), l’état pur d’un qubit, définie comme une superposition linéaire des états de base de calcul, par convention notés 0 et 1, il est représenté par le vecteur suivant
|ψi = α |0i + β |1i ,
avec α et β sont des nombres complexes et |α|2+ |β|2 = 1. La caractéristique probabiliste du monde quantique se reflète dans la description non intuitive des états et des transformations associées à des systèmes quantiques. Dans le cas de qubit, le vecteur d’état qui est composé par une combinaison de deux états 0 et 1, est généralement représenté par un point sur la sphère de Bloch (1.3).
Figure 1.3 – Sphère de Bloch . suivante |ψi = cosθ 2|0i + sin θ 2e iφ|1i . (1.15)
Cette équation présente une image de l’espace des états d’un qubit. Le vecteur de Bloch pour l’état pur d’un qubit dans un espace euclidien tridimensionnel −→r = (x, y, z) est donné par les
coordonnées suivantes :
x = sin θ cos φ, y = sin θ sin φ, z = cos θ.
La matrice densité du système d’états purs |ψi est exprimée à l’aide des matrices de Pauli usuels −→σ = (σx, σy, σz) et du vecteur de Bloch −→r :
ρ = |ψi hψ| = 1
2(I + xσx+ yσy+ zσz) = 1
2(I + − →r −→σ ).
1.4.2
Portes logiques quantiques
Tout calcul quantique peut se ramener à une série de manipulation d’un ou deux qubits dans des « portes logiques quantiques ». La façon la plus simple de faire un calcul est de commencer avec un état initial puis réaliser des portes logiques élémentaires pour pouvoir obtenir un résultat. Le calcul quantique est une extension du mode de fonctionnement des ordinateurs classiques où un bit est remplacé par un qubit.
1.1.4 Notion de bit quantique Définition : On appelle porte logique quantique une opération unitaire qui change l’état
d’un ou plusieurs qubits.
Les portes quantiques à un qubit peuvent être représentées sur la sphère de Bloch par des rotations autour d’un vecteur de la sphère. Parmi les portes à un qubit usuelles, on cite la porte de Hadamard. C’est une porte agissant sur un qubit et représentée par la transformation
H = √1 2 1 1 1 −1 .
Les portes à deux qubits sont des portes logiques qui agissent sur deux qubits. Un exemple classique serait la porte AN D, qui retourne 1 si les deux bits valent 1 et 0 sinon. Commençons par décrire les portes quantiques élémentaires permettant d’intriquer les qubits et qui utilisent un qubit de contrôle. Le qubit de contrôle détermine l’action de la porte quantique sur l’autre qubit, appelé qubit cible. Si le qubit de contrôle est dans l’état |0i, alors le qubit cible est inchangé, si le qubit de contrôle est dans l’état |1i, alors la porte quantique agit sur le qubit cible.
On présente la porte CN OT [64], qui est sans doute la plus populaire. Elle échange les états |0i et |1i du qubit «cible» seulement si le qubit «contrôle» est dans l’état |1i.
CN OT = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 .
La porte quantique CN OT est l’une des portes quantiques à deux qubits les plus utilisées avec la porte Cphase. La porte contrôle-Phase est donnée par
Cphase = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 eiφ ,
dans la base de calcul {|00i , |01i , |10i , |11i}.
De façon générale, un ensemble universel de portes quantiques doit être composé des portes permettant la construction générale des opérations à un qubit, et d’une porte à deux qubits permettant l’intrication [65, 66]. Le problème de la réalisation pratique des portes logiques est
trop compliqué. Les systèmes physiques utilisés pour représenter les qubits doivent satisfaire des conditions très sévères, et doivent être protégés contre le phénomène de la décohérence. Pour construire des portes logiques, il y a des expériences à l’aide de l’électrodynamique quantique en cavité [67–70]. L’interaction atome-cavité permet, au choix, soit de préparer un état intriqué, soit de réaliser une porte quantique. L’électrodynamique quantique en cavité réalise le système matière-rayonnement le plus simple : un seul atome couplé à un seul mode du champ contenant quelques photons. Dans le régime de «couplage fort», l’interaction cohérente atome/champ do-mine la décohérence et peut donc être utilisée pour générer de l’intrication. Pour vaincre la décohérence et atteindre le rêve de l’ordinateur quantique, des recherches intenses aux niveaux expérimentales et théoriques sont menées dans différents groupes à travers le monde pour pou-voir mesurer, contrôler et aussi manipuler l’intrication quantique. Le phénomène de l’intrication joue un rôle essentiel en théorie quantique de l’information et en calcul quantique.
1.5
Intrication quantique
Il nous semble que la meilleure manière de se familiariser avec la notion de l’intrication quan-tique avant de passer à sa formulation mathémaquan-tique rigoureuse, c’est de comprendre l’origine de ce phénomène étrange du monde quantique. Ce phénomène a émergé des débats entre les fameux physiciens de l’époque Bohr et Einstein sur l’interprétation de la mécanique quantique. Selon Einstein la mécanique quantique est incomplète contrairement à Bohr. En 1935, Einstein, Podolski, et Rosen ont essayé de montrer ce caractère incomplet de la mécanique quantique à partir d’une expérience de pensée [5]. Dans cette expérience Einstein, Podolsky et Rosen énoncent : ( Si, sans pour autant perturber un système, nous pouvons prédire avec certitude, c’est à dire, avec une probabilité égale à l’unité, la valeur d’une grandeur physique, alors il existe un élément de la réalité physique correspondant à cette grandeur physique). Voulant mettre à défaut la mécanique quantique, la réflexion d’Einstein a conduit à la naissance du concept d’intrication quantique. C’est une exploitation caractéristique de la physique quantique qui n’a pas d’analogue en mécanique classique. Elle mesure les corrélations non locales entre les dif-férentes parties d’un système quantique. Dans ce qui suit nous allons décrire certains aspects préliminaires de l’intrication quantique.
L’intrication est la corrélation quantique entre les différents sous-systèmes d’un système com-posite. Si on effectué une mesure sur une partie d’un système quantique intriqué cette mesure peut affecter instantanément l’autre partie de ce système, quelle que soit la distance qui sépare les deux parties.
1.1.5 Intrication quantique
1.5.1
Intrication des systèmes bipartites
Nous allons se limiter dans un premier temps aux systèmes composites qui sont constitués de deux parties, c’est à dire, les systèmes bipartites. Soient |ψiA et |ψiB des états définis dans les espaces de HilbertHAetHB. Un état pur |ψi ∈HAB est un état séparable si et seulement
si il peut être écrit comme le produit de deux états |ψi = |ψiAO
|ψiB. (1.16)
Dans le cas contraire l’état est non factorisable : C’est à dire l’état est intriqué. Les états séparables ne contiennent que des corrélations d’origines classiques. Les états non séparables contiennent des corrélations de nature quantique. Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que les états purs. Mais fréquemment, l’état d’un système quantique peut être mixte.
Les états mixtes sont des mélanges statistiques des opérateurs de densité des états purs. Soit HA et HB deux espaces de Hilbert, on note par ρ l’opérateur densité de l’état de HA⊗HB.
Mathématiquement, un état mixte ρ est appelé séparable s’il peut être écrit comme :
ρ =Xpi i
ρAi ⊗ ρB i ,
Autrement, l’état mixte est intriqué. A titre d’exemple, les états intriqués les plus célèbres sont les états de Bell, qui sont des états maximalement intriqués :
|ψ±i = |00i ± |11i , (1.17)
|φ±i = |01i ± |10i .
Ces états sont appelés aussi les pairs EPR qui forment une base orthonormée de l’espace d’état de deux qubits. Grâce à une transformation unitaire locale sur l’un des sous-systèmes, on peut transformer un état en l’autre.
1.5.2
Critère de séparabilité
Après avoir rappelé les définitions fondamentales de séparabilité et d’intrication, nous sommes maintenant prêt à discuter brièvement certains critères standards pour décider si un état quan-tique donné est intriqué ou non. Comme mentionné précédemment, l’intrication est souvent décrite comme un phénomène non local dans le sens que, pour un état intriqué, la mesure sur un sous-système affecte instantanément le résultat d’une mesure de l’autre sous-système.
Géné-ralement, le problème de décider si l’état est séparable ou pas est difficile. Dans le cas des états purs bipartites, il existe une méthode efficace pour détecter l’intrication ( la décomposition de Schmidt). Les critères de séparabilité donnent des conditions habituellement nécessaires mais non suffisantes pour la séparabilité.
Décomposition de Schmidt : Pour étudier les corrélations qui sont présentées dans un système bipartite, on peut considérer la décomposition de Schmidt [71, 72]. Considérons un système bipartite AB dans l’espace de Hilbert HAB. Comme on le voit à partir de l’équation
(1.16), la définition de l’intrication d’un état bipartite ne fournit aucun critère constructif pour décider si l’état est séparable où intriqué. En fait, la décomposition de Schmidt est un outil très utile et efficace pour vérifier si l’état pur bipartite est séparable où intriqué. Soit |ψABi un état
pur bipartite et dA et dB sont les dimensions des sous-systèmes,
|ψABi = r X i q λi|aii |bii , r ≤ min(dA, dB), (1.18)
|aii et |bii sont les bases orthonormales du sous système A et B respectivement,
√
λi est le
coefficient de Schmidt avec Pr
i=1λi = 1. Les coefficients de Schmidt
√
λi correspondent aux
racines carrées des valeurs propres de l’une des matrices densités réduites
ρA = X i=1 λi|aii hai| , ou ρB = X i=1 λi|bii hbi| .
En outre, le nombre de Schmidt r, est donné par le nombre des valeurs propres non nulles de ρA ou ρB. A partir de l’équation (1.18) il devient clair que les états séparables sont ceux
qui ont exactement un nombre de Schmidt r = 1. Généralement, la décomposition de Schmidt ne peut pas être étendue de manière simple aux systèmes avec plus de deux sous-systèmes. Malheureusement pour les états mixtes, il n’y a pas d’analogue à la décomposition de Schmidt.
Critère de Peres-Horodecki Le critère de la transposition partielle positive [73–75] (PPT) ou le critère Peres-Horodecki utilise l’opération de transposition partielle où la matrice transpo-sition usuelle est T (ρ) = ρ>est appliquée à un seul sous-système d’un état composite. Horodecki [96] a montré que le critère de PPT est nécessaire et suffisant pour les états quantiques ρAB de
l’espace de HilbertHA⊗HB où les dimensions de HA etHB sont dA= dB = 2. Par exemple,
on considère la matrice densité générale ρ bipartite
ρ =X
ikjl
1.1.6 L’entropie de von Neumann
La transposition partielle par rapport au premier sous-système A est donnée par
TA(ρ) = ρ>A =
X
ikjl
ρikjl|jki hil| .
Si un état ρ bipartite est séparable, alors l’opérateur ρ>A est semi-défini positif. Inversement,
si ρ>A
0, alors l’état est intriqué.
1.6
L’entropie de von Neumann
Nous rappelons qu’un état pur d’un système quantique est appelé intriqué s’il est non fac-torisable. Un état mixte est intriqué s’il ne peut pas être représenté comme un mélange d’états purs factorisables. Pour distinguer entre ces deux cas, on a besoin du concept de l’entropie quantique. Dans ce cas, la notion d’entropie de Shannon a un analogue quantique en théorie quantique de l’information pour mesurer l’intrication quantique. Dans les dix dernières décen-nies, un travail considérable a été consacré à la recherche des mesures de l’intrication quantique qui utilisent l’entropie de von-Neumann.
L’entropie de von-Neumann est donnée par la formule
S(ρ) = −T rρ ln ρ.
Supposons que le système quantique est préparé dans un mélange d’états {λi, |ψii} de sorte
que la matrice densité est ρ =P
iλi|ψii hψi| . L’entropie de von Neumann devient
S(ρ) = −X
i
λiln λi.
La dernière équation est exactement la même que l’équation de l’entropie de Shanonn où les valeurs propres de ρ sont remplacées par des probabilités classiques. Lorsqu’on considère un état purs ρ = |ψi hψ| , l’entropie de ρ est égale à
S(|ψi hψ|) = 0.
L’entropie de von Neumann satisfait les propriétés suivantes :
– Dans un espace de Hilbert de dimension d, l’entropie est égale à log d si est seulement si le système est dans un état complètement mixte.
réduites sont égales, S(A) = S(B).
– Si U une transformation unitaire, S(ρ) = S(U ρU†) – L’entropie de von Neumann S est concave.
– L’entropie de von Neumann S est additive, alors pour les densités réduites ρA et ρB des
des sous systèmes A et B, on a S(ρA⊗ ρB) ≤ S(ρA) + S(ρB).
1.7
Conclusion
Dans ce premier chapitre, nous avons introduit quelques éléments essentiels pour discuter les corrélations quantiques. Nous avons insisté sur le principe de la théorie classique de l’information (qui utilise l’entropie de Shannon) à sa version quantique (où l’information est quantifiée à l’aide de l’entropie de von Neumann) Nous avons également discuté l’intrication quantique et la notion de séparabilité. Ce dernier aspect sera développé d’avantage dans les chapitres qui sont suivre.
Chapitre 2
Mesure des corrélations quantiques
2.1
Introduction
L’intrication, à savoir les corrélations entre les parties des systèmes composites qui n’ont pas d’analogues classiques, constitue une ressource importante en information quantique, En effet, l’intrication qui est considérée comme la clé du traitement quantique de l’information, joue un rôle important dans nombreux protocoles quantiques [76]. Traditionnellement, l’intrication a été considérée comme synonyme de corrélations quantiques. Depuis fort longtemps, les chercheurs dans ce domaine, pensaient que les états séparables, sont inutiles pour le traitement de l’infor-mation quantique. Mais, récemment, il a été constaté que certains états séparables contiennent des corrélations non classiques. Par conséquent, l’intrication quantique n’est pas le seul type des corrélations quantiques utiles dans le domaine du traitement quantique de l’information [15, 77, 78]. Le concept des corrélations quantiques est donc plus général que l’intrication. Ce constat a été prouvé à la fois théoriquement [14, 16, 17, 27, 31, 79–81] et expérimentalement [53]. Parmi les différentes mesures des corrélations quantiques, on trouve la discorde quantique introduite la première fois dans [18, 19]. En 2008, B.P. Lanyon et al [53] ont montré que les états séparables peuvent être utilisés pour mettre en œuvre un calcul quantique déterministe avec un qubit. Plus tard, d’autres mesures de discorde quantique ont été proposées [33, 52]. Dans le présent chapitre, nous exposons les mesures qui nous permettent de distinguer entre les états qui contiennent des corrélations purement quantiques de ceux contenant uniquement des corrélations de nature classique. Ce chapitre présentera quelques mesures des corrélations quantiques. Dans la suite, on introduit la notion de l’entropie d’intrication qui est basée sur la
notion de la concurrence introduite par Wooters [82, 83]. On s’intéresse plus particulièrement à la définition de la discorde quantique entropique. Vu les difficultés analytiques que l’on ren-contre avec cette définition de la discorde entropique, on introduit la version géométrique de la discorde quantique basé sur la norme de Hilbert-Schmidt. On introduit aussi des mesures d’intrication pour les variables continues : la négativité logarithmique et la discorde quantique gaussienne. On termine ce chapitre avec le concept de la monogamie de l’intrication.
2.2
Mesure de l’intrication
2.2.1
Entropie d’intrication
L’entropie d’intrication est une mesure d’intrication utilisée lorsque le système est préparé dans un état pur. Elle s’exprime en terme de l’entropie de von Neumann donnée par
S(ρ) = −T rρ log ρ. (2.1)
On considère un état quantique |ψiAB composé de deux sous-systèmes A et B. Pour chaque état pur, l’entropie d’intrication [84] E(|ψi) est définie par
E(|ψi) = −TrρAlog ρA= −TrρBlog ρB. (2.2)
Il est généralement admis que l’intrication d’un état pur bipartite est quantifiée par l’entropie d’intrication E qui est exprimée par les matrices densités réduites ρAet ρB. On dit que l’état est
séparable si la valeur de l’entropie d’intrication est égale à zéro. Lorsque l’entropie d’intrication est maximale, l’état est dit maximalement intriqué. Elle atteint la valeur E(|ψi) = ln(N ) si
pi = N1 ∀i, N est la dimension de la matrice densité réduite. Considérons à titre d’exemple
l’état de spin √1
2(|↑↓i + |↓↑i). La matrice densité réduite ρAdu spin A obtenue par la trace sur
la partie B. Elle est donnée par
ρA = 1/2 0 0 1/2 , (2.3)
dans ce cas E(|ψABi) = ln(2). Cette mesure d’intrication est insuffisante lorsque l’état est
mixte. En effet, elle devient incapable de faire la distinction entre les corrélations quantiques et classiques. Dans ce cas, la discorde quantique est la mesure adéquate pour quantifier un état intriqué donné.
