Inégalité de Coffman-Kundu-Wootters et monogamie de l’intrication de

Dans le paragraphe précédent, nous avons discuté quelques aspects de la relation de mo- nogamie en utilisant le concept de l’entropie linéaire. Dans cette section nous discutons la relation de monogamie à trois qubits (Inégalité de Coffman-Kundu-Wootters), en quantifiant l’intrication à l’aide de la concurrence. Soit CA|B l’intrication partagée entre A et B (CA|B la

concurrence entre A et B). Nous considérons également l’intrication CA|C partagée entre A et

C et l’intrication CA|BC partagé entre A et le système composite BC. Dans cette notation, la

relation de monogamie est satsfaite si on a : C2

A|BC ≥C2A|B+C2A|C. (2.53)

Coffman, Kundu et Wootters ont prouvé que, pour un système de trois qubits, l’intrication bipartite entre le qubit A et la partition de deux qubits restant BC n’est jamais inférieure à la

somme de l’intrication bipartites A|B et A|C. Dans le cas d’un état pur de type |W i_ABC |W i = α|100i + β|010i + γ |001i (2.54) on a CA|B = 2 |αβ| , CA|C = 2 |αγ| et CA|BC = 2 |α|

q

|β|2 + |γ|2. Il vient alors

C2

A|BC =C2A|B+C2A|C (2.55)

et la relation (2.53) est évidemment satisfaite. La quantité

τABC ≡C2A|BC−C 2

A|B−C 2

A|C, (2.56)

n’est jamais négative et rend compte de la relation de monogamie [118]. Par conséquent, la quantification de l’intrication tripartite peut être obtenue en quantifiant l’intrication bipartite entre les sous-systèmes. On constate que l’intrication entre A et BC comprend l’intrication entre A et B, l’intrication entre A et C et l’intrication tripartite entre A, B et C. De plus pour

N particules, la relation de monogamie est également satisfaite [119].

Au cours de la dernière décennie, de nombreuses mesures d’intrication ont été introduites. Mais, il n’y a que quelques mesures d’intrication connues jusqu’ à présent qui sont monogames, comme l’entropie de formation [118].

La concurrence a effectivement été présentée comme une mesure intermédiaire pour obtenir l’entropie de formation. C’est une fonction monotone [82, 84]. Pour trois qubits, l’intrication totale qui peut être partagée est limitée par l’inégalité de CKW. Dans le cas de l’entropie de la formation E, l’inégalité suivante n’est pas satisfaite

EA|BC ≥EA|B+EA|C. (2.57)

Ceci indique que l’entropie de formation viole la relation de monogamie. Il est intéressant de constater que la relation (2.53) fait intervenirC2 _{au lieu de C. L’entropie de formation E viole}

la relation de monogamie mais il est important de noter que si on remplace E par E2_{, on a la}

relation suivante

E2

A|BC ≥E2A|B+E2A|C, (2.58)

2.2.8 Conclusion

2.8

Conclusion

Il est bien connu que les différentes mesures des corrélations quantiques ne sont pas iden- tiques et conceptuellement différents. L’analyse des corrélations quantiques dans un système multipartite constitue un thème central de recherches en information quantique et la comparai- son des différentes mesures des corrélations est une tâche relativement ardue. Tout d’abord, il n’existe pas d’étude comparative de toutes ces mesures de corrélations. De plus il est important de souligner que les expressions des mesures des corrélations quantiques sont basées sur des systèmes bipartites.

Dans ce chapitre, nous avons présenté les mesures des corrélations quantiques pour deux classes des variables quantiques : discrètes et continues. Nous avons aussi discuté la discorde quantique qui permet de classifier les états selon leurs degrés d’intrication et nous avons donné la version géométrique de cette dernière. Nous avons discuté la notion de la discorde quantique gaussienne qui a fait l’objet d’une attention particulière dans le domaine des variables continues, en particulier dans le domaine du codage de l’information dans des états gaussiens. Finalement, nous avons discuté la notion de la monogamie d’intrication.

Chapitre 3

Les états cohérents

3.1

Introduction

Récemment un intérêt considérable a été dévoué dans la littérature aux applications et aux généralisations des états cohérents et en particulier leurs intrications car ils constituent une ressource importance en information quantique. Les états cohérents, ont été introduits par Schrödinger en 1926 [124]. Les états cohérents jouent un rôle important dans le domaine de l’optique quantique. Ces états ont la particularité de ressembler étroitement à ceux d’un os- cillateur classique. La superposition des états cohérents a été analysée en détail par Yurke et Stoler [125, 126]. Les études portant sur les superpositions d’états cohérents pour un seul mode du champ électromagnétique, les productions de tels états, les propriétés et les extensions pour les états cohérents généralisés sont détaillées dans les références [127–133]. Peu de temps après l’introduction des superpositions monomodes des états cohérents, les états cohérents intriqués (ou superpositions multimodes des états cohérents) sont devenus un champ d’investigation très en vogue dans le domaine de l’information quantique. Ces superpositions des états cohérents multimodes ont apparu indépendamment dans plusieurs travaux [135–137]. Il faut noter qu’à l’heure actuelle les superpositions des états cohérents sont difficiles à produire expérimentale- ment [134] et fondamentalement cela pourrait être dû à une sensibilité extrême à la décohérence environnementale.

Le terme " d’état cohérent intriqué " a été introduit par Sanders dans une étude relative à la production des états cohérents intriqués en utilisant un interféromètre non linéaire de Mach- Zehnder [138]. Peu après, la création des états cohérents intriqués à deux-mode a été réalisée

dans le domaine de l’électrodynamique quantique en cavité [139]. L. Davidovich a proposé une superposition quantique d’états cohérents de champ de micro-ondes situés simultanément dans deux cavités (réalisation de l’intrication entre un état cohérent dans un mode et le vide dans l’autre mode). Des travaux sur des états cohérents intriqués bipartites montrent la violation de l’inégalité de Bell [140, 141]. Dans ce contexte, les états cohérents présentent un intérêt spécial vu qu’ils peuvent encoder de l’information pour achever des protocoles quantiques. Ils ont été utilisés dans le domaine de la téléportation quantique [142–145]. Dans ce sens, les états cohé- rents intriqués ont plusieurs applications, ils peuvent servir aussi comme une ressource pour les réseaux quantiques [146]. La superposition de deux états cohérents est utilisée dans le cadre de codage logique quantique [147] et pour le calcul quantique universel [148]. Les états cohérents intriqués jouent également un rôle important dans le traitement quantique d’information [149]. Ils ont aussi un rôle important dans le domaine de la métrologie quantique [148, 150, 151].

Ce domaine de recherche qui est assez vaste demande la collaboration de chercheurs entre eux et avec la récente génération d’états cohérentes intriqués [152] et leur importance poten- tielle dans le traitement quantique de l’information [153], de nombreuses nouvelles découvertes seront attendus dans un avenir proche. Ce chapitre fournit un aperçu de la recherche des états cohérents intriqués et leurs généralisations, implémentations et applications.