UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL
STABILITÉ DES BARRAGES-POIDS : UNE APPROCHE PROGRESSIVE CONSIDÉRANT LES INCERTITUDES SUR LES PARAMÈTRES DE RÉSISTANCE ET LES
CHARGEMENTS
MATHILDE CORDIER
DÉPARTEMENT DES GÉNIES CIVIL, GÉOLOGIQUE ET DES MINES ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
MÉMOIRE PRÉSENTÉ EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLÔME DE MAÎTRISE ÈS SCIENCES APPLIQUÉES
(GÉNIE CIVIL) AVRIL 2017
UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL
ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
Ce mémoire intitulé :
STABILITÉ DES BARRAGES-POIDS : UNE APPROCHE PROGRESSIVE CONSIDÉRANT LES INCERTITUDES SUR LES PARAMÈTRES DE RÉSISTANCE ET LES
CHARGEMENTS
présenté par : CORDIER Mathilde
en vue de l’obtention du diplôme de : Maîtrise ès sciences appliquées a été dûment accepté par le jury d’examen constitué de :
M. GOULET James-A., Ph. D., président
M. LÉGER Pierre, Ph. D., membre et directeur de recherche M. BEN FTIMA Mahdi, Ph. D., membre
REMERCIEMENTS
Je tiens tout d’abord à remercier sincèrement mon directeur de recherche, M. Pierre Léger, pour m’avoir ouvert la porte de cette « grande famille » des passionnés de l’ingénierie hydraulique, et proposé ce sujet qui m’a beaucoup intéressée. Particulièrement, son implication et son encadrement attentif, sa disponibilité auprès des étudiants, ainsi que ses nombreux commentaires constructifs tout au long de l’avancée de mon projet de maîtrise, ont contribué à rendre ce travail enthousiasmant et plaisant.
J'aimerais remercier le Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Génie (CRSNG) du Canada ainsi que les Fonds de Recherche du Québec - Nature et Technologies (FRQNT) pour le financement de mon travail de recherche.
Merci aux examinateurs de mon mémoire de maîtrise, M. James Goulet et M. Mahdi Ben Ftima, d’avoir accepté d’évaluer et commenter ce travail.
Mes remerciements s’adressent également aux étudiants aux cycles supérieurs du Groupe de Recherche en Structure (GRS) pour leur bonne humeur, leurs encouragements et les agréables mois que nous avons partagés au Québec.
Finalement, je remercie profondément ma famille et mes amis d’ici, de là-bas et d’ailleurs, avec qui je grandis chaque jour, pour leur soutien, leur humour, et ce goût de la vie que nous partageons et qui me donne l’envie d’avancer toujours plus loin.
RÉSUMÉ
La stabilité au glissement des barrages-poids est évaluée par la satisfaction ou non d’un état-limite binaire, exigeant que la capacité de résistance au cisaillement, R, soit supérieure à la charge en cisaillement, L. Afin de se prémunir contre les incertitudes aléatoires et épistémiques, d’importants facteurs de sécurité sont requis par les guides déterministes, appliqués dans la majorité des pays pour l’évaluation de la stabilité des ouvrages hydrauliques. Ces facteurs de sécurité requis sont parfois arbitrairement diminués lorsque des tests matériels ont été effectués, par exemple passant de 3.0 à 2.0 (CDA 2007). En revanche, les valeurs requises ne sont pas justifiées par la propagation des incertitudes. Une justification mathématique de la stabilité des barrages en considérant les incertitudes est possible grâce aux analyses probabilistes, par exemple par simulations de Monte Carlo. Les probabilités de défaillance obtenues sous forme de courbes de fragilité en fonction du niveau d’eau, utilisées avec des modèles d’exposition, aléas, demande, conséquences, permettent une prise de décision à partir d’une appréciation du risque. Les exigences sociétales de transparence et les enjeux économiques conduisent à privilégier de plus de plus les analyses de risques. Cependant, les résultats d’analyses probabilistes sont sensibles au choix des variables aléatoires, densités de probabilités, bornes ; et leur application est complexe, nécessitant une expertise peu commune. Un besoin d’une méthode fiabiliste simplifiée, robuste, est alors identifié, afin de rationaliser les critères de stabilité par rapport aux incertitudes. Le format Reliability Based Safety
Factor (RBSF) s’appuie sur le calcul fiabiliste d’un facteur de sécurité requis, FSreq, à comparer à un facteur de sécurité adaptable en fonction des incertitudes propres à chaque ouvrage, AFS, répondant ainsi à la justification du critère de stabilité par rapport aux incertitudes, et conservant le format universel des facteurs de sécurité. Une méthodologie progressive est proposée, et appliquée à un barrage-poids de 80 m. Elle consiste à combiner quatre formats d’évaluation de complexité croissante, dont les caractéristiques sont examinées : tout d’abord, une (i) analyse déterministe est essentielle pour obtenir les efforts de résistance et de chargement. Une (ii) analyse semi-probabiliste peut être entreprise afin de différencier les incertitudes sur la cohésion, C, de celles sur le coefficient de friction, tanϕ. Le (iii) format RBSF, permettant de rationnaliser la propagation des incertitudes mais simple d’utilisation et d’interprétation, est étudié en détails pour déterminer sa précision et ses conditions d’applications. Ses résultats approchent ceux d’une référence probabiliste (Monte Carlo) avec une précision de 10%, satisfaisante pour une méthode
simplifiée. Une (iv) analyse probabiliste plus complexe pourra être envisagée en complément. Finalement, l’incertitude sur la poussée hydrostatique est également examinée.
ABSTRACT
Structural sliding stability of gravity dams is assessed by satisfying or not the binary limit-state such that the shear resistance, R, has to be larger to the driving shear load, L. Large safety factors are required to guard against aleatory and epistemic uncertainties, from deterministic guidelines used in most countries to assess hydraulic structures’ stability. These required factors of safety are sometimes arbitrarily decreased when material tests have been done, for instance evolving from 3.0 to 2.0 (CDA 2007). Yet, the required values do not rely on the propagation of uncertainties. A mathematical justification of dam stability considering uncertainties is possible while using probabilistic analyses, for instance Monte Carlo simulations. Probabilities of failure are presented with fragility curves, functions of water levels. Employed with models for exposure, hazard, demand, consequences, they allow risk based decision making. Societal need for transparency and economical concerns drive to opt more and more for risk assessments. Nevertheless, probabilistic analyses results are sensitive to the selection of random variables, probability density functions, bounds; and their application is complex and challenging for practical use. A simplified, robust, reliability based safety assessment procedure is thus required, to rationalise stability criteria accounting for uncertainties. A Reliability Based Safety Factor (RBSF) format is based on the probabilistic computation of a required factor of safety, FSreq, to compare with an Adjustable Factor of Safety, AFS, adjusted according to uncertainties specific to each dam. This method answers the justification of stability criterion by considering uncertainties, and keeps the universal format of factors of safety. A progressive methodology is suggested and applied to an 80 m-high gravity dam. It consists in combining four safety evaluation formats of increasing complexity for which characteristics are examined: first, (i) deterministic analysis is necessary to obtain resistance and load. (ii) A semi-probabilistic analysis may be undertaken to separate uncertainties in cohesion, C, or friction coefficient, tanϕ. (iii) The RBSF format is easy to use and interpret, and rationalises propagation of uncertainties; this is why the accuracy and range of application of this method is studied in details. Its results are close to those from a Monte-Carlo probabilistic reference, with a 10% precision, satisfactory for a simplified approach. (iv) A comprehensive probabilistic analysis may be considered to complete the assessment. Finally, uncertainties on hydrostatic thrust are also examined.
TABLE DES MATIÈRES
REMERCIEMENTS ... III RÉSUMÉ ... IV ABSTRACT ... VI TABLE DES MATIÈRES ...VII LISTE DES TABLEAUX ... XI LISTE DES FIGURES ... XIII LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS ... XVII LISTE DES ANNEXES ... XXIII
CHAPITRE 1 INTRODUCTION ... 1 1.1 Contexte ... 1 1.2 Problématique ... 1 1.3 Objectifs ... 3 1.4 Méthodologie ... 4 1.5 Contenu du mémoire ... 6
CHAPITRE 2 REVUE DE LA LITTÉRATURE : FORMATS D’ÉVALUATION DE LA STABILITÉ DES BARRAGES-POIDS ... 7
2.1 Introduction ... 7
2.2 Sécurité des barrages soumis à la submersion ... 9
2.2.1 Barrage-poids ... 9
2.2.2 Crues ... 10
2.2.3 Mécanismes de défaillance ... 11
2.2.4 Méthode de gravité ... 11
2.3 Approche progressive d’évaluation de la stabilité structurale ... 17
2.4 Analyse déterministe ... 18
2.5 Coefficients partiels de réduction des paramètres de résistance ... 23
2.6 Méthode semi-probabiliste ... 25
2.7 Analyse probabiliste ... 26
2.7.1 Méthodes ... 26
2.7.2 Besoin et utilisations ... 32
2.7.3 Choix des paramètres ... 34
2.7.4 Courbes de fragilité et incertitudes ... 37
2.7.5 Fiabilité d’un système ... 39
2.7.6 Analyse de risque ... 40
2.7.7 Relations entre probabilité de défaillance et facteur de sécurité ... 41
2.8 Méthode du Facteur de Sécurité Adaptable (AFS) ... 42
2.9 Conclusion ... 44
CHAPITRE 3 DÉMARCHE DE L’ENSEMBLE DU TRAVAIL DE RECHERCHE ... 45
3.1 Objectifs ... 45
3.2 Méthodologie ... 46
3.3 Pertinence de l’article ... 47
3.4 Contributions originales ... 48
CHAPITRE 4 ARTICLE 1 : STRUCTURAL STABILITY OF GRAVITY DAMS: A PROGRESSIVE ASSESSMENT CONSIDERING UNCERTAINTIES IN SHEAR STRENGTH PARAMETERS ... 49
4.1 Abstract ... 49
4.2 Introduction ... 50
4.4 Quantitative requirements in safety evaluation formats ... 54
4.4.1 Deterministic ... 54
4.4.2 Semi-probabilistic ... 56
4.4.3 Probabilistic ... 58
4.4.4 Reliability based safety factors ... 61
4.4.5 Progressive approach to introduce uncertainties ... 63
4.5 Application of progressive safety assessment ... 64
4.5.1 Description of the gravity dam for applications ... 64
4.5.2 Deterministic stability evaluation ... 67
4.5.3 Probabilistic safety evaluation ... 68
4.5.4 Semi-probabilistic stability evaluation ... 70
4.5.5 Reliability based safety factors – AFS ... 71
4.6 Discussion ... 73
4.6.1 Results from different safety evaluation formats ... 73
4.6.2 Comparisons of different safety evaluation formats ... 75
4.7 Conclusions ... 79
4.8 Acknowledgements ... 80
4.9 References ... 80
4.10 Appendix 1 – ICOLD Benchmark material data ... 85
CHAPITRE 5 RÉSULTATS ET DISCUSSIONS COMPLÉMENTAIRES ... 86
5.1 Résolution de l’étude de cas du Benchmark de l’ICOLD ... 86
5.1.1 Méthode déterministe ... 86
5.1.2 Méthodes MCFOSM et FOSM ... 87
5.2 Réduction de l’utilisation de trois variables (C, tanϕ, Hw) à deux (R, L) lors d’analyses
probabilistes ... 93
5.2.1 Ajustement de la densité de probabilité de la résistance R ... 93
5.2.2 Validation de l’hypothèse de calcul de cR dans le format ... 94
5.2.3 Etude de la corrélation entre R et L ... 96
5.2.4 Simulations de Monte Carlo (R, L) ... 96
5.3 Évaluation de stabilité avec incertitudes sur le chargement hydrostatique ... 98
CHAPITRE 6 DISCUSSION GÉNÉRALE ... 105
6.1 Caractéristiques de l’approche progressive d’évaluation de la stabilité ... 105
6.2 Avantages ... 106
6.3 Inconvénients ... 107
CHAPITRE 7 CONCLUSIONS ET RECOMMANDATIONS ... 109
BIBLIOGRAPHIE ... 112
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 2.1. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis sans considération de l'état de connaissance des paramètres ... 19 Tableau 2.2. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis selon la connaissance des
paramètres (CDA 2007) ... 19 Tableau 2.3. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis selon la connaissance des
paramètres (ANCOLD 2013) ... 20 Tableau 2.4. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis selon des conséquences d'une
défaillance (FERC 2002) ... 21 Tableau 2.5. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis selon les conséquences d'une
défaillance et la connaissance des paramètres (USACE 2005) ... 22 Tableau 2.6. Coefficients partiels de réduction des paramètres de résistance selon Rocha (1974) ... 23 Tableau 2.7. Coefficients partiels de réduction des paramètres de résistance selon IS (1984-1998) ... 23 Tableau 2.8. Coefficients partiels de réduction des paramètres de résistance selon SPANCOLD
(2003) ... 24 Tableau 2.9. Coefficients partiels selon ANCOLD (1991) ... 25 Tableau 2.10. Coefficients partiels selon CFBR (2006-2012) ... 26 Tableau 2.11. Types d'incertitudes selon leur origine et coefficients associés pour la méthode AFS ... 42 Table 4.1. Required deterministic factors of safety without any explicit consideration of
uncertainties ... 55 Table 4.2. Required deterministic factors of safety depending on the level of knowledge of strength
parameters ... 56 Table 4.3. Semi-probabilistic partial safety coefficients ... 58 Table 4.4. Material test data statistics for friction and cohesion at the dam-foundation interface 66
Table 4.5. Sliding FS from safety formats: (i) deterministic (CDA 2007), (ii) semi-probabilistic (CFBR 2013), (iii) three criteria of RBSF method, (iv) probabilistic ... 76 Tableau 5.1. Paramètres utilisés pour les analyses Monte Carlo et AFS ... 98 Tableau 5.2. Paramètres utilisées pour les analyses de l'ouvrage, avec Hw = 80 m ... 100 Tableau 5.3. Paramètres utilisés pour les formats probabiliste et AFS, pour trois niveaux d’augmentation des incertitudes sur R et L, pf* = 10-4 ... 102 Tableau G.1. Calcul des fractiles 5% des lois lognormales utilisées... 120
LISTE DES FIGURES
Figure 2.1. Profil type d'un barrage trapézoïdal ... 10
Figure 2.2. Actions s'appliquant à l'ouvrage ... 12
Figure 2.3. Processus itératif de calcul de la longueur de fissuration ... 13
Figure 2.4. Critère de rupture de Mohr-Coulomb ... 14
Figure 2.5. Fractile à 5% d'une loi normale ... 16
Figure 2.6. Approche progressive d'évaluation de la stabilité structurale ... 17
Figure 2.7. (a) densités de probabilité fR et fL (en rouge) et densité de probabilité conjointe fRL (surface) en fonction des variables de résistance r et de chargement l ; (b) projection normale de fRL et domaine de défaillance défini par « r > l » en fonction des variables de résistance r et de chargement l ; adapté de Peyras et al. (2010a) ... 28
Figure 2.8. Représentation du problème de fiabilité (Melchers 1999) ... 29
Figure 2.9. Simulations de Monte Carlo : tirages aléatoires x = {r, l} suivant la densité de probabilité conjointe fRL représentés en fonction de r et l ; domaine de défaillance défini par « r > l » ... 30
Figure 2.10. Approximation linéaire de la surface d'état-limite - Concept utilisé pour les méthodes FORM et SORM (Melchers 1999) ... 31
Figure 2.11. Solutions proposées par les participants au Benchmark de l'ICOLD en 2011 pour le barrage drainé évalué par simulations de Monte Carlo (Escuder-Bueno et al. 2011) ... 33
Figure 2.12. Exemple de courbe de fragilité pour l’intensité de la sollicitation décrite par le niveau d’eau appliqué ... 38
Figure 2.13. Concept "ALARP" ; adapté de CDA (2007) ... 41
Figure 2.14. Concept du Facteur de Sécurité Adaptable – Définitions des paramètres (Kreuzer et Léger 2013) ... 43
Figure 4.2. Dispersion in fragility curves computed for the ICOLD Benchmark for a 80 m-high gravity dam (Fig. 5); ϕ is the friction angle, C the cohesion, R the global resistance of the dam defined in Eq. 2; N = normal distribution, LN = lognormal distribution; selected bounds are indicated. Fcurves1 to 7 are from participants in the ICOLD Benchmark, Fcurves 8 to 12 are our solutions to the Benchmark ... 60 Figure 4.3. Definition of the six uncertainty coefficients in the Reliability Based Safety Factor
format: (i) cR = σR/μR, (ii) kR, (iii) αR, (iv) cL = σL/μL, (v) kL, (vi) αL ... 62 Figure 4.4. Progressive approach for dam safety assessment: parameters, sources of uncertainties
and performance indicators ... 63 Figure 4.5. Geometry, load, L, drainage, and resistance, R, (friction and cohesion) properties of the
gravity dam analysed ... 65 Figure 4.6. Maximum allowable water level according to deterministic CDA (2007) dam safety
guidelines ... 67 Figure 4.7. Fragility curves comparing unbounded N-PDF and LN-PDF, variables (C, tanϕ) or R,
computed with MC; and Hw according to probabilistic analysis for a target failure probability pf* = 10-5... 69 Figure 4.8. Fragility curves comparing bounded N-PDF and LN-PDF at the 5% and 95% fractile
values, variables (C, tanϕ) or R, computed with MC; and maximum allowable water level according to probabilistic analysis for a pf* = 10-5 ... 70 Figure 4.9. Maximum allowable water level according to semi-probabilistic CFBR (2013) dam
safety guidelines ... 71 Figure 4.10. RBSF method: deterministic FSdet; required FSreq for pf* = 10-5 and unbounded LN-PDF for R; and AFS for (i) kR = 1.39, (ii) kR = 2, (iii) kR = 3 ... 72 Figure 4.11. RBSF method: deterministic safety factor FSdet; required safety factor FSreq for
pf* = 10-5 and bounded LN-PDF for R; AFS and FSreq for (i) kR = 1.39, (ii) kR = 2, (iii) kR = 3 ... 73 Figure 4.12. Maximum allowable water level for different safety formats: (i) deterministic, (ii)
(v) probabilistic MC simulations with random variables (C, tanϕ), (vi) probabilistic MC simulations with random variable R. LN-PDF is used for RBSF and probabilistic methods. In boxes are Demand/Capacity ratios ... 75 Figure 4.13. Demand/Capacity ratios for RBSF as compared to MC, for varying PDF bounds in
MC simulations (ml) and RBSF (kR) ... 78 Figure 5.1. Facteurs de sécurité déterministes du barrage drainé et non drainé, variables (C, ϕ) et
(C, tanϕ) ... 87 Figure 5.2. Courbes de fragilité obtenues par les analyses MCFOSM et FOSM du barrage drainé
et non drainé, variables aléatoires (C, ϕ) ... 88 Figure 5.3. Courbes de fragilité obtenues par les analyses MCFOSM (et FOSM : mêmes résultats
car fonction de performance linéaire) du barrage drainé et non drainé, variables aléatoires
(C, tanϕ) ... 89
Figure 5.4. Ajustement de la cohésion C aux PDF normal et lognormal ... 90 Figure 5.5. Ajustement du coefficient de friction tanϕ aux PDF normal et lognormal ... 91 Figure 5.6. Courbes de fragilité obtenues par les simulations Monte Carlo utilisant pour les
variables (C, ϕ) et (C, tanϕ) des densités de probabilité normales, du barrage drainé et non drainé ... 91 Figure 5.7. Courbes de fragilité obtenues par les simulations Monte Carlo Carlo utilisant pour les
variables (C, ϕ) et (C, tanϕ) des densités de probabilité lognormale pour C et normale pour
ϕ ou tanϕ, du barrage drainé et non drainé ... 92
Figure 5.8. Ajustement de la densité de probabilité pour la résistance à Hw = 80 m, données issues de tirages MC variables (C, tanϕ, Hw) ... 94 Figure 5.9. Coefficient de variation cR de la résistance R, (i) calculé à partir de l’hypothèse du
format RBSF, (ii) issu des simulations Monte Carlo ... 95 Figure 5.10. Coefficient de corrélation entre R et L obtenu par simulations Monte Carlo, variables
(C, tanϕ, Hw) ... 96 Figure 5.11. Probabilité de défaillance obtenue par simulations de Monte Carlo (i) variables (C,
Figure 5.12. Tirages Monte Carlo de la variable aléatoire multivariée {R, L} et domaine de défaillance pour Hw = 80 m ... 99 Figure 5.13. Courbe de fragilité : probabilité de défaillance en fonction du niveau d’eau ... 99 Figure 5.14. Niveaux d’eau autorisés par les critères (i) probabiliste (Monte Carlo), (ii) AFS
kR = kL = 1, (iii) AFS kR = kL = 2, (iv) déterministe. ... 101 Figure 5.15. Niveaux d’eau autorisés par les méthodes (i) probabiliste (Monte Carlo) et (ii) AFS,
pour trois niveaux d’incertitudes indiqués dans le Tableau 5.3, pour pf* = 10-4 ... 103 Figure E.1. Calcul de FSreq………118 Figure F.2. Calcul de pf sans incertitude sur la charge………...119
LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS
Sigles2D Bidimensionnel
3D Tridimensionnel
ACB Association Canadienne des Barrages AFS Adjustable Factor of Safety
ALARP As Low As Reasonably Possible
ANCOLD Australian National Committee on Large Dams
BCR Béton Compacté au Rouleau BCV Béton Conventionnel Vibré CDA Canadian Dam Association
CFBR Comité Français des Barrages et Réservoirs CMP Crue Maximale Probable
EPRI Electric Power Research Institute
Fcurve Fragility curve
FERC Federal Energy Regulatory Commission
FORM First Order Reliability Method
FOSM First Order Second Moment
HCS Hazard Classification System
ICOLD International Commission on Large Dams
IS Indian Standards
ISO International Organization for Standardization
JCSS Joint Committee on Structural Safety
MC Monte Carlo
MCFOSM Mean Centred First Order Second Moment
N Distribution normale
NA Non autorisé
PDF Probability Density Function
PMF Probable Maximum Flood
RBSF Reliability Based Safety Factor
SF Safety Factor
SORM Second Order Reliability Method
SPANCOLD Spanish Committee on Large Dams USACE United States Army Corps of Engineers
USBR United States Bureau of Reclamation
Symboles
A Aire de la section horizontale
Ac Aire en compression
C Cohésion
c Coefficient de considération des incertitudes physiques (AFS)
cL Coefficient de variation de la variable L, coefficient de considération des incertitudes physiques pour la variable L (AFS)
cR Coefficient de variation de la variable R, coefficient de considération des incertitudes physiques pour la variable R (AFS)
cX Coefficient de variation de la variable X D Domaine de défaillance
e Distance du centre de la section à l’extrémité amont ou aval de l’ouvrage fc’ Résistance en compression du béton
FL Densité de probabilité cumulative de la variable L fL Densité de probabilité de la variable L
FR Densité de probabilité cumulative de la variable R fR Densité de probabilité de la variable R
fRL Densité de probabilité conjointe des variables R et L
FRL Densité de probabilité cumulative conjointe des variables R et L FS Facteur de sécurité
FSdet Facteur de sécurité déterministe FSreq Facteur de sécurité requis ft Résistance en traction du béton
FX Densité de probabilité cumulative de la variable X fX Densité de probabilité de la variable X
g Accélération de la pesanteur
G Fonction de performance
Hw Niveau d’eau
I Moment d’inertie
k Coefficient de considération des incertitudes statistiques (AFS)
kL Coefficient de considération des incertitudes statistiques pour la variable L (AFS) kR Coefficient de considération des incertitudes statistiques pour la variable R (AFS) L Chargement global en cisaillement
l Réalisation de la variable aléatoire L
L’ Chargement global en cisaillement pondéré par des coefficients de sécurité partiels semi-probabilistes
Lk Valeur caractéristique du chargement global en cisaillement M Moment au centre de la section
m Nombre d’écarts-types auquel est bornée une densité de probabilité
ml Nombre d’écarts-types auquel est bornée une densité de probabilité à gauche mr Nombre d’écarts-types auquel est bornée une densité de probabilité à droite n Nombre de tirages (simulations Monte Carlo)
pf Probabilité de défaillance pf* Probabilité de défaillance cible
pfMC Probabilité de défaillance estimée par simulations de Monte Carlo r Réalisation de la variable aléatoire R
R Résistance globale en cisaillement
R’ Résistance globale en cisaillement pondérée par des coefficients de sécurité partiels semi-probabilistes
Rk Valeur caractéristique de la résistance globale en cisaillement tanϕ Coefficient de friction
U Sous-pressions
u Transformée de x dans l’espace normal centré réduit u* Point de conception dans l’espace normal centré réduit URL Coefficient réducteur appliqué à FSdet pour obtenir AFS V Résultante des efforts normaux
w5LN Fractile 5% de la loi LN w5N Fractile 5% de la loi N W Poids propre de l’ouvrage Ww Poids de l’eau sur la crête
X Variable aléatoire
x* Point de conception dans l’espace original
Z Marge de sécurité
z Réalisation de la variable aléatoire Z
α Coefficient de considération des incertitudes épistémiques (AFS)
αL Coefficient de considération des incertitudes épistémiques pour la variable L (AFS) αR Coefficient de considération des incertitudes épistémiques pour la variable R (AFS) β Indice de fiabilité
γC Coefficient de sécurité partiels semi-probabiliste pour le paramètre C γtanϕ Coefficient de sécurité partiels semi-probabiliste pour le paramètre tanϕ δX Coefficient de variation de la variable X
μL Moyenne de la variable L μR Moyenne de la variable R μX Moyenne de la variable X
μX’ Valeur nominale de la variable X ρc Masse volumique du béton
ρCtanϕ Coefficient de corrélation entre deux variables C et tanϕ ρCϕ Coefficient de corrélation entre deux variables C et ϕ ρRL Coefficient de corrélation entre deux variables R et L ρw Masse volumique de l’eau
ρXY Coefficient de corrélation entre deux variables X et Y σ Contrainte normale amont ou aval
σC Écart-type de la variable C σL Écart-type de la variable L
σR Écart-type de la variable R σtanϕ Écart-type de la variable tanϕ σX Écart-type de la variable X
LISTE DES ANNEXES
ANNEXE A – Analyse déterministe : calcul de la longueur de fissuration ... 114 ANNEXE B – Analyse probabiliste : FOSM ... 115 ANNEXE C – Analyse probabiliste : simulations de Monte Carlo ... 116 ANNEXE D – Analyse probabiliste : intégration directe ... 117 ANNEXE E – Analyse RBSF : calcul de FSreq ... 118 ANNEXE F – Analyse RBSF : sans incertitude sur la charge ... 119 ANNEXE G – Statistiques : calcul du fractile 5% pour une densité de probabilité lognormale . 120
CHAPITRE 1
INTRODUCTION
1.1 Contexte
Les barrages sont des ouvrages majeurs de génie civil, dont la rupture est un évènement extrêmement rare mais implique des conséquences désastreuses sur les plans économique, social, et environnemental, à cause du volume d’eau déversé à l’aval intervenant parfois sur des centaines de kilomètres. Les barrages-poids sont particulièrement sensibles à la submersion, en raison de l’importante poussée hydrostatique qui s’exerce alors sur le parement amont du barrage et l’augmentation associée des sous-pressions. En effet, cela met en défaut la capacité de résistance en cisaillement du barrage, réalisée grâce à la sollicitation de la friction et de la cohésion avec la fondation ou le corps du barrage, par le poids propre de l’ouvrage (FERC 2014). La durée de vie des barrages étant de plusieurs décennies, le vieillissement de l’ouvrage, les modifications de son environnement, une précision améliorée des méthodes de prévision des crues, rendent nécessaires des réévaluations régulières de la stabilité de l’ouvrage, souvent sous l’égide d’une agence de régulation gouvernementale. Or, la nature des ouvrages hydrauliques qui sont des systèmes hydro-géo mécaniques uniques, et leur évolution au cours de leur durée de vie, introduisent d’importantes
incertitudes épistémiques et aléatoires quant à la détermination des paramètres qui gouvernent
leur capacité de résistance.
1.2 Problématique
Pour satisfaire la stabilité au glissement, l’ouvrage doit vérifier l’état binaire tel que la résistance globale en cisaillement R soit strictement supérieure à la charge globale en cisaillement L. Afin de se prémunir des incertitudes associées à R et L, d’importants facteurs de sécurité FSdet sont requis. Selon des guides et recommandations, ces facteurs peuvent dépendre de la connaissance acquise sur les paramètres de résistance de l’ouvrage : par exemple, CDA (2007) requiert un facteur de sécurité de 3.0 lorsqu’aucun test n’a été effectué, et de 2.0 lorsque des essais sont disponibles. La marge de sécurité diminue ainsi lorsque la fiabilité des paramètres utilisés augmente. Néanmoins, ces valeurs sont issues de l’expérience et ne sont pas mathématiquement justifiées. Dans un contexte sociétal de réclamation de transparence, il importe alors de rationnaliser la
considération des incertitudes afin de justifier les facteurs de sécurité requis qui assurent la
sécurité des personnes et des biens.
Le format probabiliste permet de considérer les incertitudes de manière mathématique. Son produit est une probabilité de défaillance, 𝑝𝑓, conditionnelle à un niveau de chargement, propre à l’ouvrage et considérant les incertitudes associées aux paramètres, à comparer à une probabilité de défaillance requise, 𝑝𝑓∗, dépendant de l’importance du barrage. Ce format répond aux exigences sociétales de transparence, et peut être lié au concept de risque et à la prise de décision basée sur l’analyse de risque, si des démarches supplémentaires sont menées (modèles d’exposition, de demande, de conséquences). Cependant, l’utilisation de méthodes probabilistes, par exemple de simulations de Monte Carlo, est complexe car les résultats sont sensibles aux hypothèses concernant le nombre de variables, les données statistiques, les bornes, les densités de probabilités (Probability Density
Functions – PDF) ; elle requiert une expertise et des ressources souvent non disponibles dans la
pratique.
Il s’agit alors de développer, valider et vérifier une procédure simplifiée qui permette de comparer un facteur de sécurité similaire à FSdet, ajusté en fonction de la connaissance de l’ouvrage, à un facteur de sécurité requis FSreq dépendant des incertitudes et du niveau de fiabilité souhaité pour le barrage, évalué à partir de ces méthodes probabilistes. La marge de sécurité requise devient fonction des incertitudes sur les paramètres de résistance de l’ouvrage. Cette méthode simplifiée se veut robuste, efficace en temps de calcul, comprenant un nombre limité de variables, d’interprétation facile, et elle pourrait être intégrée aux guides existants pour une évaluation complète de la stabilité des ouvrages.
Dans ce contexte, ce projet vise à établir une approche progressive d’évaluation de la stabilité
des barrages-poids, combinant les formats d’évaluation existants (i) déterministe, (ii) du Facteur
de sécurité adaptable (Adjustable Factor of Safety – AFS), (iii) probabiliste, afin de considérer rationnellement la propagation des incertitudes, principalement sur les paramètres de résistance au cisaillement (coefficient de friction et cohésion).
1.3 Objectifs
L’objectif général de ce projet de maîtrise est la définition d’une approche d’évaluation de la stabilité des barrages-poids en intégrant des formats d’évaluation existants de complexité croissante, afin de rationaliser la considération des incertitudes.
Ce travail est divisé selon les objectifs spécifiques suivants :
1. Effectuer une revue critique de la littérature à propos des formats d’évaluation de la stabilité des barrages : (i) déterministe, (ii) semi-probabiliste, (iii) méthode fiabiliste du facteur de sécurité adaptable (AFS), (iv) probabiliste ; et particulièrement de la considération des incertitudes sur les paramètres de résistance et de chargement pour chacun de ces formats, 2. Comparer les critères de stabilité des différents formats d’évaluation pour un barrage de référence, en augmentant progressivement le niveau d’eau de la retenue jusqu’à atteindre un état ne satisfaisant plus le critère de stabilité considéré. Il s’agit d’un barrage-poids de 80 m, proposé pour l’atelier comparatif de l’ICOLD en 2011 sur l’estimation de la probabilité de défaillance d’un barrage-poids pour le mécanisme de défaillance du glissement (International Benchmark Workshop on Numerical Analysis of Dams, (Escuder-Bueno, Altarejos-Garcia, and Serrano-Lombillo 2011)),
3. Particulièrement, examiner le champ d’applicabilité, les avantages, les inconvénients, de l’évaluation de sécurité avec le format AFS par rapport aux méthodes probabilistes (simulations de Monte Carlo),
4. Caractériser l’influence des incertitudes sur la cohésion C et le coefficient de friction tanϕ, sur l’évaluation de stabilité de l’ouvrage par chacun des formats de sécurité employés, 5. Étudier la réduction du problème de fiabilité de deux variables (C : cohésion, tanϕ :
coefficient de friction) à une variable (R : résistance globale),
6. Proposer une approche progressive d’évaluation de la stabilité des barrages-poids qui rationnalise la prise en compte des incertitudes liées aux paramètres de résistance au cisaillement, définir son champ d’applicabilité, ses avantages et inconvénients,
8. Formuler des recommandations sur la mise en œuvre de l’approche progressive pour la pratique.
1.4 Méthodologie
La réalisation d’une revue critique de la littérature est une étape primordiale de ce projet. Elle comprend l’étude des formats existants d’évaluation de la stabilité des barrages, leurs caractéristiques, avantages, inconvénients, champs d’application.
• La reproduction d’exemples issus de la littérature permet tout d’abord de se familiariser avec l’évaluation de la stabilité des ouvrages hydrauliques.
• Le barrage de l’atelier comparatif de l’ICOLD en 2011 sur l’estimation de la probabilité de défaillance d’un barrage-poids pour le mécanisme de défaillance du glissement (International Benchmark Workshop on Numerical Analysis of Dams, (Escuder-Bueno et al. 2011)) est choisi pour être utilisé pour les applications, en raison des comparaisons possibles avec les participants du Benchmark.
• Les différentes théories avancées concernant la considération des incertitudes sur les paramètres sont particulièrement considérées.
Des outils de calcul sont développés sous les logiciels MATLAB® (The MathWorks 2016) et Excel® (Microsoft 2016) et validés par comparaisons avec d’autres logiciels, et avec les résultats d’autres auteurs sur les mêmes exemples.
• Pour les analyses déterministes, la méthode de gravité est employée ; un algorithme de calcul itératif de la longueur de fissuration est construit et validé par des comparaisons avec le logiciel CADAM2D (Leclerc et Léger 2014).
• Pour les analyses semi-probabilistes, une feuille de calcul Excel® est utilisée.
• Pour les analyses probabilistes, des évaluations de la probabilité de défaillance par les méthodes MCFOSM et FOSM sont réalisées. Également, des simulations de Monte Carlo, ainsi qu’un calcul d’intégration directe pour le problème bivarié de fiabilité, sont effectués sous MATLAB®.
• Une option permettant de ne considérer que les incertitudes de résistance et non en chargement est ajoutée à l’existant format d’évaluation de l’AFS avec le logiciel MATLAB®, et le critère d’acceptation de l’AFS est enrichi des variantes (critères « FSdet ≥ FSreq » et « AFS ≥ 1 ») afin d’appréhender l’influence des coefficients relatifs aux incertitudes.
L’application des différents formats d’évaluation à un barrage-poids de référence permet ensuite de comparer les critères de validation de la stabilité. Le niveau d’eau de la retenue est progressivement augmenté, et donc la poussée hydrostatique et les sous-pressions, jusqu’à atteindre un état non-satisfaisant selon le critère considéré.
• La méthode de gravité et le calcul itératif de la longueur de fissuration sont employés pour obtenir le facteur de sécurité déterministe FSdet pour chaque niveau d’eau. Les critères déterministe et semi-probabiliste sont appliqués.
• Les méthodes probabilistes FOSM et Monte Carlo sont utilisées et les résultats validés par la comparaison avec les participants de l’atelier comparatif de l’ICOLD en 2011. Les simulations de Monte Carlo sont privilégiées car la fonction de performance utilisée ne requiert pas de performances de calcul contraignantes.
• Les résultats obtenus avec le format AFS sont comparés aux résultats obtenus par les simulations de Monte Carlo, avec et sans incertitudes sur le chargement.
• Des études de sensibilités sur les paramètres de résistance et les incertitudes associées sont menées afin de caractériser l’influence des incertitudes sur l’évaluation de stabilité de l’ouvrage avec chacun des formats employés. Particulièrement, la répartition des valeurs expérimentales (écart-type), les bornes, les PDF, les coefficients du format AFS sont étudiés.
• Des courbes de fragilité représentant la probabilité de défaillance en fonction du niveau d’eau dans la retenue, sont construites à l’issue de ces analyses.
• Également, des histogrammes permettent de comparer les niveaux d’eau autorisés par les critères de stabilité examinés.
Une approche progressive est définie, se proposant de rationaliser la considération des incertitudes, et comprenant des recommandations pour son application dans les pratiques professionnelles. Un
article scientifique est rédigé et soumis pour publication à la revue Georisk: Assessment and
Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards.
1.5 Contenu du mémoire
Ce mémoire est divisé en sept chapitres, incluant cette introduction. Le second chapitre présente la revue critique de la littérature faisant état des connaissances à propos des formats d’évaluation de la stabilité des barrages, et particulièrement la considération des incertitudes sur les paramètres de résistance des ouvrages. Le troisième chapitre résume la démarche qui a été employée pour ce travail de recherche, et introduit l’article scientifique soumis qui constitue le quatrième chapitre. Le cinquième chapitre comprend les résultats complémentaires étudiés lors du projet. Une discussion générale est menée dans le sixième chapitre, et les conclusions et recommandations complètent ce mémoire dans le septième chapitre.
CHAPITRE 2
REVUE DE LA LITTÉRATURE : FORMATS
D’ÉVALUATION DE LA STABILITÉ DES BARRAGES-POIDS
2.1 Introduction
Les barrages sont des ouvrages majeurs de génie civil, dont la rupture est un évènement extrêmement rare mais implique des conséquences désastreuses sur les plans économique, social, environnemental, à cause du volume d’eau déversé à l’aval intervenant parfois sur des centaines de kilomètres. La documentation des ruptures de barrage-poids de Deroo et Jimenez (2011) montre qu’une crue intervient dans la majorité des accidents – d’autres ruptures ont lieu lors du remplissage du réservoir. En effet, la submersion de l’ouvrage entraîne une poussée hydrostatique très importante et de fortes sous-pressions, qui mettent en défaut la capacité de résistance d’un barrage-poids exercé par frottement sur la fondation (FERC 2014). Malgré que plusieurs accidents dus à une submersion à l’orée du vingtième siècle, comme la rupture du barrage de Bouzey en 1895 en France et celle du barrage d’Austin en 1911 aux États-Unis, aient permis de connaître l’importance des sous-pressions et de dimensionner les ouvrages adéquatement – notamment en intégrant un système de drainage performant à inspecter régulièrement – le risque de rupture reste lié à l’occurrence d’une forte crue.
Le risque est défini comme le produit de (i) la probabilité de défaillance du barrage par (ii) les conséquences de la rupture (Bury et Kreuzer 1985). En génie civil, les structures comme les ponts, les bâtiments, sont désormais évaluées grâce aux méthodes probabilistes ou semi-probabilistes, qui sont alors liées au concept de risque acceptable grâce à la probabilité de défaillance des ouvrages. La définition d’une probabilité de défaillance cible est un enjeu, puisque se pose alors la question :
à partir de quand un ouvrage est-il suffisamment sécuritaire ?
Les barrages sont en service pour une durée de plusieurs décennies. Au cours de la durée de vie de l’ouvrage, les méthodes d’évaluation des évènements hydrologiques peuvent évoluer et la nouvelle crue de conception peut devenir plus importante que l’originale, ce qui rend nécessaire une réévaluation de la stabilité. Or, le vieillissement du barrage peut impliquer un endommagement de la structure de l’ouvrage, de la fondation, des équipements mécaniques. La réévaluation compte donc de nombreuses incertitudes liées aux paramètres de résistance et de chargement, que les traditionnelles méthodes d’évaluation déterministes ne permettent pas de considérer. Pour
connaître les incertitudes, leurs effets, et leurs sources – afin de préciser les risques associés à l’ouvrage, et optimiser la réduction des incertitudes – une évolution des pratiques est alors
nécessaire.
L’analyse déterministe est utilisée dans de nombreux pays (ANCOLD 2013; CDA 2007; FERC 2002; Ruggeri 2004; USACE 1995, 2005; USBR 1976), mais d’autres formats d’évaluation de la sécurité des ouvrages existent d’ores et déjà : (i) méthodes probabilistes (FERC 2014; ISO 2015; JCSS 2008; SPANCOLD 2013; Westberg Wilde et Johansson 2016), (ii) semi-probabilistes (ANCOLD 1991; CFBR 2006-2012, 2010-2015; IS 1984-1998; Peyras et al. 2008; SPANCOLD 2003), (iii) Facteur de Sécurité Adaptable en fonction des incertitudes propres à l’ouvrage (Adjustable Factor of Safety (AFS)) (Kreuzer et Léger 2013). Ils sont actuellement à l’étude pour leur application aux ouvrages hydrauliques, et font l’objet de nombreuses publications. Les thèmes portant sur les méthodes probabilistes des Ateliers comparatifs internationaux sur l’analyse numérique des barrages (International Benchmark Workshops on Numerical Analysis of Dams) d’ICOLD en 2011 et 2017 prouvent l’intérêt grandissant que la profession accorde à ces alternatives au modèle déterministe traditionnel (Escuder-Bueno et al. 2011). Les méthodes semi-probabilistes sont déjà appliquées dans les pratiques professionnelles (CFBR 2006-2012), et les méthodes probabilistes peuvent être employées pour justifier la stabilité d’un ouvrage dans des situations particulières (ISO 2015). Notamment, aux Pays-Bas, dans le cadre du projet de l’Analyse Nationale du Risque d’Inondation pour les Pays-Bas (the National Flood Risk Analysis for the
Netherlands), des recherches sont menées depuis 2006 afin d’évoluer d’une analyse déterministe
vers une analyse de risque généralisée en 2017, utilisant les méthodes semi-probabiliste et probabiliste, adaptée aux systèmes et scenarii définis sur le territoire hollandais (Jongejan et Maaskant 2013; Vergouwe 2016). Par ailleurs, le concept de courbes de fragilité construites à la suite d’une analyse probabiliste a été développé à l’origine pour les structures nucléaires soumises au risque sismique, mais peut être utilisé pour la sécurité hydraulique des barrages. La probabilité de défaillance de l’ouvrage est alors représentée en fonction du niveau d’eau, et l’on peut l’utiliser pour comparer plusieurs possibilités de renforcement ou réhabilitation : il s’agit d’un outil intéressant pour la prise de décision (Ellingwood et Tekie 2001), assurant une optimisation des coûts et une meilleure quantification des marges de sécurité dans un contexte sociétal d’exigence de transparence. Également, les courbes de fragilité pourront être combinées à un modèle de conséquences afin de quantifier le risque (Porter 2017).
Dans cette revue de littérature, seront abordés les concepts généraux intervenant dans l’évaluation de la stabilité des barrages. Puis, les différents formats d’évaluation seront détaillés, et nous étudierons en particulier la manière dont sont considérées les incertitudes à travers ces différents formats d’évaluation présentés.
2.2 Sécurité des barrages soumis à la submersion
2.2.1 Barrage-poids
Un barrage-poids est un ouvrage de retenue d’eau dont la résistance à la poussée hydrostatique, aux sous-pressions et autres actions, est assurée par son poids propre (Degoutte 2002). Les autres types de barrages couramment utilisés sont les barrages voûtes, qui résistent à la poussée hydrostatique par l’action en compression des arcs sur les rives ; et les barrages en remblai, plus économiques mais plus sensibles au déversement que les barrages rigides. Un barrage-poids est nécessairement implanté sur une fondation rocheuse de bonne qualité, afin de supporter la rigidité de l’ouvrage. Aussi, son drainage doit être étudié attentivement, car les sous-pressions jouent un rôle important pour la stabilité de l’ouvrage.
Trois catégories de barrage-poids sont établies à partir des matériaux les constituant :
• Maçonnerie : matériau de construction très utilisé jusqu’au début du XXème siècle, qui nécessite une importante main d’œuvre ; il est encore aujourd’hui employé dans certains pays pour des ouvrages de petite taille,
• Béton conventionnel vibré (BCV) : au cours du XXème siècle, cette technique a été employée pour un grand nombre d’ouvrages de toutes tailles et utilisations ; le béton est constitué de gros granulats et de ciment fortement dosé,
• Béton compacté au rouleau (BCR) : à partir des années 1980, les ouvrages en BCR ont progressivement remplacé le BCV grâce à l’avantage majeur qu’est la rapidité d’exécution par des engins de terrassement ; la quantité de ciment a pu être réduite avec le compactage de fines couches afin de limiter l’exothermie.
On observe trois profils de barrage-poids : arqué, trapézoïdal, symétrique. Le profil trapézoïdal est le plus largement utilisé (Peyras et al. 2010b, Figure 2.1).
Figure 2.1. Profil type d'un barrage trapézoïdal
Les barrages-poids sont ensuite catégorisés selon leur hauteur et le volume d’eau contenu dans la retenue (Gouvernement du Québec, 1996).
2.2.2 Crues
Lorsque les précipitations sont trop importantes sur un bassin hydrographique, le sol n’absorbe plus, le ruissellement s’intensifie, et le débit transporté par les cours d’eau augmente. Ces épisodes de crue peuvent être saisonniers ou exceptionnels. Afin de prévoir la quantité d’eau, des modèles mathématiques sont mis en place ; ils utilisent les débits de crue historiques, les mesures de précipitations enregistrées. Une analyse fréquentielle des débits permet d’obtenir un débit de pointe correspondant à une période de retour ou une fréquence prédéterminée, ou la Crue Maximale Probable (CMP – Probable Maximum Flood (PMF)). Par exemple, au Québec, selon leur classement, les barrages sont conçus pour supporter sans dommage (grâce au laminage par la retenue et au débit évacuable par l’évacuateur de crues) une crue de période de retour 100, 1 000, 10 000 ans, ou bien la CMP : la probabilité qu’une crue d’un tel débit se produise est, chaque année, de 1/100, 1/1 000, 1/10 000 (Gouvernement du Québec, 1996). Des modélisations plus précises utilisent des simulations de précipitations et d’écoulement pour calculer ces débits ainsi que le niveau d’eau dans la retenue correspondant.
Seulement, avec les données historiques dépassant rarement plus d’un siècle, et des périodes de retour recherchées extrêmement longues, il est complexe de déterminer précisément les crues de conception : des incertitudes sont donc associées au niveau d’eau prévu. D’autre part, bien qu’exceptionnelles, de telles crues peuvent se produire : alors leur prise en compte dans l’historique qui a servi à projeter les crues de conception précédentes, vient rehausser les estimations. Ce fut le cas au Saguenay en 1996, lorsqu’une crue de période de retour comprise entre 1 000 et 10 000 ans,
et peut-être même plus, causa la rupture d’un barrage en terre et vint endommager plusieurs ouvrages civils dont la centrale hydroélectrique de Chicoutimi (Léger et al. 2000).
2.2.3 Mécanismes de défaillance
Plusieurs mécanismes de défaillance distincts peuvent entraîner la rupture d’un barrage. Sont couramment étudiés pour les barrages-poids :
• Le glissement,
• La fissuration excessive,
• L’écrasement du béton en compression, • Le renversement.
Également, peuvent intervenir selon la configuration du site : • Des débris flottants,
• L’érosion à l’aval.
Ces mécanismes sont étudiés séparément, puis combinés afin de former des scenarii de défaillance susceptibles de se produire lors de l’évènement défavorable considéré – une crue.
2.2.4 Méthode de gravité
La méthode de gravité est couramment employée pour l’étude de stabilité des barrages-poids, pour lesquels on désire se prémunir contre le glissement de l’ouvrage, la fissuration excessive, l’écrasement du béton en compression, le renversement de l’ouvrage. Il s’agit en premier lieu d’identifier la géométrie du barrage ainsi que les surfaces de rupture potentielles (joints de reprise, interface béton-rocher). Une modélisation bidimensionnelle classique consiste à étudier l’ouvrage par sections de 1 m de largeur, en négligeant les effets tridimensionnels. Un calcul en 3D peut aussi être réalisé si la géométrie de l’ouvrage est complexe, ou s’il est souhaitable de préciser les résultats de l’étude 2D.
La méthode de gravité consiste à :
i. Calculer les contraintes normales pour évaluer la longueur de fissuration et pour valider la résistance en compression du béton,
ii. Évaluer la résistance au glissement de l’ouvrage pour en déduire une marge ou un facteur de sécurité, et positionner la résultante des forces pour vérifier une condition de non-renversement.
Les efforts s’appliquant sur l’ouvrage, considéré comme un solide indéformable, sont étudiés en premier lieu. Il s’agit du poids propre, de la poussée hydrostatique amont, de la poussée hydrostatique aval, des sous-pressions, de la poussée des sédiments, de l’action des ancrages en post-tension etc. (Figure 2.2).
Figure 2.2. Actions s'appliquant à l'ouvrage
Les contraintes normales amont et aval sont calculées grâce à la théorie des poutres, selon la formule :
𝜎 =𝑉𝐴±𝑀𝑒𝐼 , Où :
𝑉 est la résultante des actions verticales,
𝐴 est l’aire de la section horizontale considérée, 𝑀 est le moment au centre de la section,
𝑒 est la distance du centre de la section à l’extrémité amont ou aval de l’ouvrage, 𝐼 est le moment d’inertie de la section.
Si la contrainte amont excède la résistance à la traction de l’ouvrage, la longueur de fissuration est obtenue de manière itérative (cracked base analysis, Figure 2.3).
BARRAGE-POIDS EN BETON Fam Ww Géométrie ρc Drainage Hw ρw W Longueur de fissuration U N, T σam σam<0 σam>0 Longueur de fissuration Facteur de sécurité au glissement
Contrainte en compression
Itération
Figure 2.3. Processus itératif de calcul de la longueur de fissuration
La résistance au cisaillement est due à la cohésion au joint étudié, et aux frottements sollicités par le poids propre de l’ouvrage. Elle est évaluée avec le critère de rupture de Mohr-Coulomb (Figure 2.4) :
𝑅 = 𝑉𝑡𝑎𝑛𝜑 + 𝐴𝑐𝐶, Où :
𝑉 est la résultante des actions verticales, 𝐴𝑐 est l’aire en compression,
𝑡𝑎𝑛𝜙 est le coefficient de frottement, 𝐶 est la cohésion.
Figure 2.4. Critère de rupture de Mohr-Coulomb
La résistance au cisaillement, R, doit, pour assurer la stabilité au glissement de l’ouvrage, excéder la résultante des actions horizontales L. La différence, ou rapport, entre R et L, est utilisée pour les évaluations : déterministe et AFS (facteur de sécurité), semi-probabiliste (coefficients partiels), probabiliste (fonction de performance).
2.2.5 Définition des paramètres de résistance
Les barrages sont des ouvrages en relativement faible nombre, dont les caractéristiques sont spécifiques aux terrains d’implantation. De plus, il est difficile de reproduire ces conditions de terrain en laboratoire, donc d’obtenir des modèles réduits représentatifs sur lesquels on peut effectuer des essais destructifs; et il est difficile d’obtenir une connaissance pertinente de l’ouvrage à partir de tests non-destructifs sur les barrages existants à cause de l’hétérogénéité des paramètres dans la structure. Les incertitudes associées aux paramètres de résistance sont ainsi souvent importantes. D’autre part, les conditions de construction du barrage sont primordiales pour choisir les paramètres de résistance à utiliser dans les analyses, mais souvent anciennes et mal documentées ; et le vieillissement de l’ouvrage modifie les paramètres de résistance initialement considérés, ce qui propage également des incertitudes.
Comme la plupart des guides recommandent l’utilisation de l’analyse déterministe pour évaluer la stabilité des barrages, le choix des paramètres est effectué à partir des essais précédemment cités, mais sans considérer les incertitudes associées – par exemple, le très faible nombre d’essais ou leur faible représentativité – et du jugement de l’ingénieur en fonction de l’expérience dans la profession.
Les principaux paramètres entrant en jeu dans la résistance de l’ouvrage sont la cohésion 𝐶, le coefficient de frottement 𝑡𝑎𝑛𝜙, la résistance à la traction 𝑓𝑡, et la résistance à la compression 𝑓𝑐′. La méthodologie et les essais couramment utilisés pour déterminer les propriétés de résistance mécanique de la fondation, des joints rocheux, du corps du barrage et des reprises de bétonnage sont détaillés dans CFBR (2006-2012); Peyras et al. (2010b).
À partir des valeurs obtenues de plusieurs essais, nous pouvons calculer les indicateurs statistiques des paramètres voulus sous MATLAB® (The MathWorks 2016).
Considérons {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁} les 𝑁 valeurs prises par la variable aléatoire discrète 𝑋 (notre paramètre à l’étude) lors d’observations.
La moyenne ou espérance mathématique de la variable 𝑋 est définie par :
𝜇𝑋 = 𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥𝑖𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑁
𝑖=1 La variance de 𝑋 est :
𝑣(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸[𝑋])2] = 𝐸[𝑋2] − (𝐸[𝑋])² L’écart-type de la variable 𝑋 est définie comme :
𝜎𝑋 = √𝑣(𝑋)
Dans la pratique, on utilisera pour calculer l’écart-type de nos observations la formule :
𝜎𝑋 = √ 1
𝑁 − 1∑(𝑥𝑖− 𝜇𝑋)² 𝑁
𝑖=1
Le coefficient de variation de 𝑋 est :
𝛿𝑋 = 𝑐𝑋= 𝜎𝑋 𝜇𝑋
Nous utiliserons aussi des valeurs nominales et caractéristiques de la variable 𝑋.
La valeur nominale de la variable 𝑋 est sa valeur moyenne, minorée ou majorée d’une quantité pour tenir compte des incertitudes physiques s’exerçant sur ce paramètre :
𝜇𝑋′ = 𝜇
Où :
𝑘𝑋 est un coefficient issu du jugement de l’ingénieur ou de l’expert.
La valeur caractéristique de la variable 𝑋 est définie à partir des observations et du jugement de l’ingénieur. Il s’agit d’une estimation prudente de la valeur moyenne, ou du fractile à 5% d’un paramètre de résistance, et fractile à 95% d’un paramètre de chargement (CFBR 2006-2012), c’est-à-dire que respectivement 5% et 95% des valeurs distribuées du paramètre sont inférieures à la valeur caractéristique 𝑅𝑘 ou 𝐿𝑘 (Figure 2.5).
Figure 2.5. Fractile à 5% d'une loi normale
Lorsque les essais sont peu nombreux, non réalisables ou non représentatifs, les valeurs utilisées pour les calculs sont couramment des estimations prudentes des indicateurs statistiques – par exemple valeurs nominales ou caractéristiques –, ou bien des valeurs types issues d’ouvrages similaires, choisies par l’ingénieur expérimenté. La surveillance et l’auscultation du barrage, régulière ou non, est prise en compte pour déterminer les incertitudes associées au vieillissement de l’ouvrage et modifier en fonction les valeurs considérées. Lors de l’application de méthodes probabilistes, l’approche bayésienne est utilisée pour obtenir les valeurs à employer.
Finalement, l’efficacité du drainage intervient également dans l’étude de stabilité du barrage. Elle dépend beaucoup de l’âge de l’ouvrage et de son entretien. Elle est choisie selon les recommandations en vigueur dans le pays de localisation.
2.3 Approche progressive d’évaluation de la stabilité structurale
Il existe différents formats d’évaluation de la stabilité structurale des barrages-poids : il est ainsi possible d’établir une approche progressive, en appliquant successivement ces méthodes de la plus simple à la plus complexe, afin de préciser les résultats et de considérer au mieux les incertitudes associées aux paramètres d’entrée (Figure 2.6). Nous étudions par la suite en détail les caractéristiques des formats proposés.2.4 Analyse déterministe
L’analyse déterministe est traditionnellement utilisée pour évaluer la stabilité des barrages ; les normes et recommandations en usage dans de nombreux pays prônent son utilisation (Ruggeri 2004). Elle consiste à appliquer la méthode de gravité précédemment présentée, et à comparer la caractéristique du mécanisme de défaillance à l’étude – facteur de sécurité pour la résistance au cisaillement, longueur de fissuration, résistance à la compression, position de la résultante des forces - à la quantité requise pour assurer une marge de sécurité adéquate par les recommandations ou normes en vigueur.
Le facteur de sécurité déterministe au glissement est défini par : 𝐹𝑆 = 𝑅/𝐿,
Où :
𝐿 est la charge appliquée sur l’ouvrage,
𝑅 est la résistance au cisaillement, évaluée avec le critère de rupture de Mohr-Coulomb pour la méthode de gravité.
Les quantités requises dépendent de la combinaison des chargements considérée. Pour des événements rares, une marge de sécurité moins importante est autorisée.
Par exemple, l’Association Canadienne des Barrages (ACB – Canadian Dam Association (CDA)) définit trois combinaisons de chargement associées au niveau d’eau : usuelle, exceptionnelle, extrême – crue (CDA 2007).
Afin de conserver la cohérence entre les coefficients présentés provenant de différentes sources, nous utilisons ces trois combinaisons de chargement, même si dans les documents étudiés elles sont réparties dans des catégories propres à chaque document. Notamment, nous considérons ici uniquement les combinaisons liées au niveau d’eau, et non aux séismes par exemple. De même, nous nous intéressons aux coefficients à appliquer lors de l’étude de l’interface
barrage-fondation, bien que certains documents préconisent des coefficients différents lors de l’étude d’une
rupture en fondation ou dans le corps du barrage.
Certains documents requièrent un facteur de sécurité global, pour chaque combinaison (Tableau 2.1).
Tableau 2.1. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis sans considération de l'état de connaissance des paramètres
Combinaison de chargement
Facteur de sécurité requis
USBR (1976) USACE (1995)
Usuelle 3.0 2.0
Exceptionnelle 2.0 1.7
Extrême – crue 1.0 1.3
D’autres documents distinguent les niveaux de connaissance des paramètres de résistance du barrage. C’est le cas de CDA (2007) qui diminue le facteur de sécurité requis si des tests ont été effectués (Tableau 2.2).
Tableau 2.2. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis selon la connaissance des paramètres (CDA 2007)
Combinaison de chargement
Facteur de sécurité requis
Cohésion nulle
Cohésion et friction – avec tests de
matériaux
Cohésion et friction – sans test de matériaux
Usuelle ≥ 1.5 ≥ 2.0 ≥ 3.0
Exceptionnelle ≥ 1.3 ≥ 1.5 ≥ 2.0
ANCOLD (2013) requiert des facteurs de sécurité au glissement en considérant la résistance maximale (ou « de pic »), et la résistance résiduelle. La connaissance des paramètres de résistance est prise en compte par la catégorisation des valeurs « bien définies » ou non (Tableau 2.3). Tableau 2.3. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis selon la connaissance des paramètres (ANCOLD 2013)
Combinaison de chargement
Facteur de sécurité requis
Cohésion et friction résiduelles Cohésion et friction maximales – bien définies Cohésion et friction maximales – non-bien définies Usuelle ≥ 1.5 ≥ 2.0 ≥ 3.0 Exceptionnelle ≥ 1.3 ≥ 1.5 ≥ 2.0 Extrême – crue ≥ 1.1 ≥ 1.3 ≥ 1.5
Enfin, certains documents catégorisent les barrages selon les conséquences qu’une rupture engendrerait, faisant ainsi le lien avec les concepts de probabilité de défaillance et de risque. FERC (2002) distingue les ouvrages à risques faibles de ceux à risques modérés à élevés, c’est-à-dire que les facteurs de sécurité requis sont plus importants lorsqu’une défaillance de l’ouvrage introduit de graves conséquences à l’aval. En revanche, les facteurs de sécurité requis sont identiques que des essais afin d’avoir une meilleure estimation des paramètres de résistance du barrage aient été réalisés ou non (Tableau 2.4).
Tableau 2.4. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis selon des conséquences d'une défaillance (FERC 2002)
Combinaison de chargement
Facteur de sécurité requis
Cohésion nulle (1) Cohésion et friction
Risques faibles Usuelle ≥ 1.5 ≥ 2.0
Exceptionnelle ≥ 1.3 ≥ 1.25
Risques élevés Usuelle ≥ 1.5 ≥ 3.0
Exceptionnelle ≥ 1.3 ≥ 2.0
(1) Dans le cas où la cohésion est considérée nulle, la combinaison de chargement « usuelle » est la combinaison statique la plus défavorable, et la combinaison de chargement « exceptionnelle » est le cas de crue.
USACE (2005) différencie les structures normales des structures critiques : les structures sont dites critiques lorsqu’une rupture conduirait à la perte de vies humaines. Sont également distingués les niveaux de connaissance des paramètres de résistance du barrage, en fonction des essais réalisés et de la documentation sur les conditions de conception des barrages existants. Une faible connaissance n’est pas autorisée pour les structures critiques (Tableau 2.5).
Tableau 2.5. Facteurs de sécurité déterministes au glissement requis selon les conséquences d'une défaillance et la connaissance des paramètres (USACE 2005)
Combinaison de chargement
Facteur de sécurité requis Bonne connaissance Connaissance ordinaire Connaissance limitée Structure normale Usuelle ≥ 1.4 ≥ 1.5 ≥ 3.0 Exceptionnelle ≥ 1.2 ≥ 1.3 ≥ 2.6 Extrême – crue ≥ 1.1 ≥ 1.1 ≥ 2.2 Structure critique Usuelle ≥ 1.7 ≥ 2.0 NA (1) Exceptionnelle ≥ 1.3 ≥ 1.5 NA Extrême – crue ≥ 1.1 ≥ 1.1 NA (1) NA : non autorisé
Les tests matériels permettent de diminuer les incertitudes quant aux valeurs des paramètres intervenant dans la résistance du barrage (cohésion et angle de friction). Il est reconnu, par la diminution des facteurs de sécurité requis si des tests ont été effectués, qu’une marge de sécurité plus importante doit être respectée lorsque le niveau d’incertitude est élevé. En revanche, les valeurs des coefficients de sécurité déterministes requis sont issues de l’expérience (Kovarik 2000), et n’ont pas de justification mathématique.
2.5 Coefficients partiels de réduction des paramètres de résistance
Aux paramètres entrant en jeu dans la capacité de résistance d’un ouvrage, sont reliés plusieurs niveaux d’incertitudes. Par exemple, le poids propre de l’ouvrage variera peu et peut-être déterminé aisément, alors que la détermination des sous-pressions est beaucoup plus imprécise. Il est alors intéressant d’associer différents coefficients de sécurité aux paramètres — notamment, concernant la résistance de la fondation, à la cohésion et le coefficient de frottement — plutôt que de considérer un facteur de sécurité global (Rocha 1974, Tableau 2.6). Le coefficient de sécurité à appliquer dépendra de la valeur choisie du paramètre : il peut s’agir d’une valeur moyenne, ou bien de la valeur caractéristique.Tableau 2.6. Coefficients partiels de réduction des paramètres de résistance selon Rocha (1974)
Combinaison de chargement
Coefficient diviseur à appliquer
tanϕ C
Non précisée 1.5 - 2 3 - 5
Plusieurs pays ont adopté cette méthode des coefficients de sécurité partiels des paramètres de résistance, notamment l’Inde (Tableau 2.7) et l’Espagne (Tableau 2.8).
Tableau 2.7. Coefficients partiels de réduction des paramètres de résistance selon IS (1984-1998)
Combinaison de chargement
Coefficient diviseur à appliquer
tanϕ C
Usuelle 1.5 3.6
Exceptionnelle 1.5 3.6
Tableau 2.8. Coefficients partiels de réduction des paramètres de résistance selon SPANCOLD (2003)
Combinaison de chargement Coefficient diviseur à appliquer
tanϕ C
A : Structure critique Usuelle 1.5 5.0
Exceptionnelle 1.2 4.0 Extrême >1.0 3.0 B : Structure introduisant de faibles risques Usuelle 1.4 5.0 Exceptionnelle 1.2 3.0 Extrême >1.0 2.0
Il est ainsi reconnu que l’influence des incertitudes de la cohésion (C) sur la résistance est plus importante que celles du coefficient de frottement (tanϕ).
Cependant, les valeurs recommandées pour les coefficients de sécurité partiels dans les codes ayant adopté cette pratique sont basées et ajustées sur l’expérience, et l’on ne peut pas quantifier le niveau de sécurité qu’ils assurent en termes de probabilités de défaillance cible.
