Mécanique quantique relativiste en présence d’une longueur minimale

Texte intégral

(1)REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE FERHAT ABBAS SETIF 1 FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE. N° d'ordre : Série: THESE. Présentée pour obtenir le diplôme de DOCTORAT EN SCIENCE Spécialité: PHYSIQUE THEORIQUE. Par. Betrouche Malika Thème. Mécanique quantique relativiste en présence d’une longueur minimale Soutenue le: …/02/2014 Devant le jury : Président. :. A. Boucena. Prof. Université Ferhat Abbas Setif. Rapporteur. :. M. Maamache. Prof. Université Ferhat Abbas Setif. N. Mebarki. Prof. Université Constantine 1. L. Chetouani. Prof. Université Constantine 1. J. R. Choi. Dr. Daegu Health College Korea. A. Benslama. Prof. Université Constantine 1. Examinateurs :.

(2) Remercîments Toute ma gratitude et ma connaissance vont à Mr Maamache Mustapha, Professeur à l’université de Setif, qui m’a donné la chance de préparer cette thèse sous sa direction. C’est grâce à ses encouragements, sa patience et ses conseils que j’ai pu réaliser ce travail. Je remercie Mr. Kheireddine Nouicer, Professeur à l’université de Jijel, de m’avoir proposé ce thème ainsi que pour l’aide et les longues discussions que nous avons eu. Je tiens à remercier également le Docteur Jeong Ryeol Choi, Department of Radiologic Technology, Daegu Health College, Republic of Korea, pour sa collaboration efficace afin de finaliser cette thèse. Je remercie Mr Boucena Ahmed, Professeur à l’université de Setif pour l’honneur qui me fait en présidant ce jury. Mes vifs remercîments vont à : Mr Mebarki Noureddine, Professeur à l’université de Constantine. Mr Chetouani Lyazid , Professeur à l’université de Constantine. Mr Benslama Achour, Professeur à l’université de Constantine et à Mr Jeong Ryeol Choi pour l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail et de m’avoir honoré en acceptant de le juger. Je remercie également tous ceux qui m’ont encouragé !!.

(3) Dédicaces Je dédie ce travail à mes chers parents, à mes deux chères filles, à tous mes frères et s urs et à tous ceux qui m’ont encouragé sincèrement !!!.

(4) Table des matières 1 Introduction générale.................................................................................................. . 2 Principe de l'Incertitude d'Heisenberg Généralisé …. ………………………. . 2.1 Le choix de la représentation en présence de distance minimale…………………………………. . 2.2 Relation d'incertitude minimale………………………………………………………………… 2.3 Exemples de nouvelle limite pour des quantités relativistes……...................................... 3 Relations de commutation généralisées….……………………………………. . 3.1 Algèbre déformée non-covariante de Kempf à 3 dimensions……………………………. . 3.2 Algèbre déformée covariante de Lorentz à (3+1) dimensions……………………………. . 3.2.1 Les transformations déformées de Poincaré………………………………………. . 3.2.1.1 Les transformations infinitésimales de Lorentz……………………………. . 3.2.1.2 Les translations infinitésimales……………………………………………. . 4 L'oscillateur de Dirac à 3 dimensions en présence de distance minimale.……….. . 4.1 L'oscillateur de Dirac à 3 dimensions en mécanique quantique ordinaire………………… 4.2 Solution exacte de l'oscillateur de Dirac à 3 dimensions par l'algèbre déformée de Kempf. . 4.2.1 Les fonctions propres…………………………………………………………….

(5). 4.2.2 Le spectre d'énergie…………………………………………………………………

(6) 4.2.2.1 Le cas sans déformaion……………………………………………………. . 4.2.2.2 La limite non-relativiste…………………………………………………. . 4.3 Conclusion………………………………………………………………………………. . 5 L'oscillateur de Dirac à (3+1) dimensions en présence de distance minimale….... . 5.1 Solution exacte de l'oscillateur de Dirac à (3+1) dimensions par l'algèbre déformée covariante de Lorentz……………………………………………………………………...……. . 5.1.1 Les fonctions d'ondes……………………………………………………………. . 5.1.2 Le spectre d'énergie…………………………………………………………………

(7) 5.2.1.1 Les caractéristiques du spectre…………………………………………..

(8) . 5.2.1.2 Définitions de nouvelles limites……………………….……

(9) 5.3 Conclusion…………………………………………………………………………………..

(10) . 6 L'équation de Dirac à (3+1) dimensions dans un champs magnétique constant en. présence de distance minimale……………………………………………………….…

(11) 6.1 Résolution de l'équation de Dirac en (3+1) dimensions en présence de distance minimale..

(12) 6.1.1 Les niveaux d'énergie……………………………………………………..……….

(13).

(14) 6.1.1.1 Le cas non-déformé……………………………………………………… 6.1.1.2 Le cas non-relativiste……………………………………………………. . 6.1.2 Propriétés thermodynamiques…………………………………………………….. . 6.1.2.1 La densité d'états d'une particule………………………………………… 6.1.2.2 Le potentiel thermodynamique……………………………………….. . 6.2 Conclusion…………………………………………………………………………………. . 7 Conclusion générale………………………………………………………………………….…. . Annexe…………………………………………………………………………………………... Bibliographie……………………………………………………………………………….

(15). .

(16) 0.1. Introduction générale. La mécanique dans sa version classique suppose quil est possible de concevoir à chaque instant des valeurs précises des coordonnées et des composantes de quantité de mouvement dune particule. Par contre la mécanique quantique basée sur le principe dincertitude dHeisenberg X P . ~ 2. montre clairement que les deux opérateurs de. position X et dimpulsion P ne peuvent pas avoir un ensemble commun de vecteurs propres donc ne sont pas simultanéments mesurables avec précision. Lintroduction de la géomètrie non-commutative à travers la généralisation du principe dincertitude dHeisenberg X P . ~ 2. 1 +

(17) (P )2 + mène à une précision non arbitraire en. mesures des opérateurs X et P , ce qui a été à lorigine de la dé nition de lincertitude. minimale non-nulle. La géomètrie non-commutative en théorie quantique conduit à une profonde compréhension de la géométrie de lespace-temps et ainsi à une nouvelle connection entre la gravité et la théorie quantique. Cependant, pour la mesure de grande distance, la courbure de lespace-temps devient signi cative et la notion donde plane est perdue ce qui impose une limite de précision de mesure en impulsion P: En outre, la mesure de petites distances ( de lordre de léchelle de Planck lp = p. G~=c3 10. 35. m ) nécessite des hautes énergies ce qui pertube le¤et gravitationnel. doú une limite de précision de mesure en position est indispensable X , donc cest un cuto¤ e¤ectif en petite distance ( lincertitude de mesure dune observable

(18) A dans létat propre jai est (A)2 = ha

(19) (A.

(20) ha jAj ai)2

(21) ai). Doù provient une. régularisation de linfrarouge et de lutraviolet aux deux extrémités des échelles. La limite à la résolution en petites distances a été prouvée par les expériences de gedanken 1.

(22) 2 [1; 2] :La gravité quantique et la théorie des cordes expliquent profondément ce qui se manifeste à cette échelle:Par exemple en théorie des cordes [3; 4], les particules utilisées pour résoudre les petites distances ayant une énergie de lordre de léchelle de masse de Planck. p. ~c=G 1019 GeV; possèdent une petite longueur donde comparée. à léchelle de lespace ce qui va le perturber. Et le fait daugmenter lénergie ne fait quélargir les dimensions de la corde même (qui représente une particule). La distance minimale peut être considérée ainsi comme la partie oue de lespace où une conséquence du caractère non ponctuel des particules élémentaires c-a-d que la physique devient inaccessible au dessous de cette longueur. Le concept de distance minimale joue un role important pour décrire complétement des domaines de recherche comme la théorie des cordes [3; 4; 5; 6; 7] ; la gravité quantique ( loop gravity) [8] ; la géométrie non-commutative [9] ; la théorie des champs non-commutative [10; 11; 12] et la physique des trous noirs [13; 14] : Une formulation standard de la mécanique quantique en présence de distance minimale commence avec lalgèbre modi ée dHeisenberg basée sur des relations de commutations déformées entre les opérateurs de position et dimpulsion, qui résultent de la non-commutativité intrinsèque des géométries [15; 16] : Sans pour cela écarter dautres champs de recherche [17; 18; 19; 20; 21] où se manifeste la notion de distance minimale à léchelle de Planck. Lintroduction de la mécanique quantique déformée basée sur des relations de commutation modi ées entre les opérateurs de position et dimpulsion a été réalisée dune manière remarquable par Kempf et ses collaborateurs dans plusieurs travaux. Citons par exemple [22; 23; 24; 25] ou se manifeste lincertitude non-nulle en position qui provient de la généralisation du principe dincertitude dHeisenberg, qui nest autre.

(23) 3 que le principe dHeisenberg ordinaire plus des corrections dues à la déformation de lespace. Plusieurs problèmes quantiques relativistes ou non-relativistes ont été solutionnés dans le cadre de lapplication de lalgèbre déformée de Kempf en présence de distance minimale comme la résolution de léquation de Schrödinger dans lespace des impulsions. Pour loscillateur harmonique en D dimensions [23; 24; 26] ; le potentiel coulombien a été aussi traité en une et trois dimensions dans les références [27] et [28; 29; 30] respectivement. Lidée de quanti er lénergie en présence de distance minimale a été appliquée pour le problème de la force de Casimir pour un champ éléctromagnétique [31; 32] ; la magnétization de lélectron [33] ; le problème de la constante cosmologique [34; 35] et la résolution de léquation de Pauli pour une particule chargée de spin 1=2 soumise à un champ magnétique constant avec la détermination de ses propriétés thermodynamiques à hautes températures [36]. Dans le cas relativiste, le problème de loscillateur de Dirac a connu énormément dapplications en physique des particules et en gravité quantique. De ce fait il a été traité dans lespace des impulsions par la technique des fonctions de Green [37; 38] et par lapproche des états cohérents [39]. En parrallèle à ces travaux, lintroduction de lalgèbre déformée de Kempf pour létude de ce système relativiste révèle des modi cations qui sont des corrections concernants le spectre dénergie et les fonctions propres à une dimension dans [40] avec létude de certaines propriétes thermodynamiques en présence de distance minimale: Dans le même contexte et en trois dimensions le problème était solutionné dans le cadre de la mécanique quantique supersymétrique (SUSYQM) [16] : On sest intéressé également à résoudre le problème de loscillateur de Dirac en (1+1) dimensions par Quesne et Tkachuk [41; 42] en introduisant une algèbre déformée covariante.

(24) 4 qui préserve la symétrie de Lorentz, et issue de lalgèbre déformée de Kempf. Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à traiter le problème de loscillateur de Dirac à 3 et (3+1) dimensions via lalgèbre déformée de Kempf et via lalgèbre déformée covariante de Lorentz respectivement dont la représentation est dans lespace des impulsions. La technique standard utilisée est basée sur des transformations de variables appropriées qui nous a conduit vers de nouvelles données concernant le spectre comparées à celles fournies par la littérature. En e¤et, le premier travail a produit un spectre dune forme plus générale que celui établit par [16] coincidant avec des résultats déja xés dans certaines limites. Dans le deuxième problème, on a introduit une nouvelle algèbre déformée dite covariante de Lorentz pour le même cas généralisé à (3+1) dimensions en soulevant ensuite les di¤érences qui caractérisent le spectre déduit et celui déterminé via lalgèbre de Kempf à 3 dimensions. Dans un troisième problème, lextension de lapplication de lalgèbre covariante de Lorentz a touché le problème de léquation de Dirac en présence dun champ magnétique constant ou on a tenté de déterminer quelques propriétés thermodynamiques en présence de distance minimale. Le deuxième chapitre sera consacré à présenter le principe dincertitude dHeisenberg généralisée à travers lintroduction du concept de distance minimale. Alors quau troisième chapitre, on a exposé la représentation de lalgèbre déformée de Kempf et lalgèbre déformée covariante de Lorentz dans lespace des impulsions. Le quatrième chapitre, traite le problème de loscillateur de Dirac à 3 dimemsions via lalgèbre déformée de Kempf suivi dun cinquième chapitre conçernant le même problème résolu par lalgèbre déformée covariante de Lorentz à (3+1) dimensions ou les paramètres.

(25) 5 de déformations

(26) = = 0: Le sixième chapitre comprend la résolution de léquation de Dirac pour une particule de spin1=2 soumise à un champ magnétique constant à travers lalgèbre déformée covariante de Lorentz à (3+1) dimensions et en n un septième chapitre ou on conclut par nos résultats les plus importants..

(27) 6. 0.2. Principe de lIncertitude dHeisenberg Général-. isé (GUP) 0.2.1. Le choix de la représentation en présence de distance. minimale Lalgèbre ordinaire dHeisenberg obéissant à la relation de commutation [x; p] = i~ est représentée dans lespace de vecteurs détats dont les états propres des opérateurs x et p sont les fonctions de Dirac et les ondes planes et. ( (x) = hx j i. (p) = hp j i) qui ne sont pas de carré sommable. Donc elles nappartiennent. pas à lespace de Hilbert, c-a-d quil nexiste pas de particules dans des états propres dopérateurs de position et dimpulsion, ils ne représentent pas des états physiques, ou les mesures en x et p sont de précision arbitraire. Ce problème est plus au moins surmonté en théorie des groupes quantiques actuelle [43] en interaction avec le principe dHeisenberg généralisé, ou en plus de la non-commutativité des opérateurs de position et dimpulsion, ces derniers ne commutent pas avec eux mêmes, par le fait dabandonner la représentation de lespace de con guration et dimpulsion pour une représentation de lespace de base adéquate comme la base des fonctions de Bargmann Fock ( espace de Hilbert ) ou la précision de mesure des X et P nest plus arbitraire. Il sest con rmé que pour des raisons techniques, la régularisation de lutraviolet ne peut être réalisé par cette approche et par conséquent plusieurs travaux [22; 23; 24; 25] ont consideré seulement le cas dexistence de lincertitude minimale en position Xmin.

(28) 7 qui en plus présente une realité physique comme la nature non-ponctuelle des particules [43] en utilisant la représentation de lespace des impulsions marqué par sa continuité.. 0.2.2. Relation dincertitude minimale. Pour simpli er la représentation de la relation dincertitude minimale généralisée qui va mener à X0 lincertitude minimale en position, on considérera le cas dune dimension pour les deux opérateurs position et impulsion, alors:. X P . ~ 1 +

(29) (P )2 + 2. (2.1). ou

(30) et sont deux paramètres positifs indépendants de X et P mais qui peuvent dépendre de la valeur moyenne des opérateurs X et P ( paramètres de déformation ), on peut noter que dans le cas ou ces quantités sont nulles on retombe sur la relation dincertitude dHeisenberg de la mécanique quantique ordinaire ou commutative:. XP . ~ 2. (2.2). qui explique le caratère arbitraire de la variation de X et P (laugmentation de X implique la diminution de P ). Par contre, la dépendance de la relation (2:1) en

(31) (P )2 montre que X ne peut prendre nimporte quelle petite valeur dune façon arbitraire doù lapparition de lincertitude minimale en mesure de position X0 ..

(32) 8 En se basant sur la relation générale dincertitude entre deux observables A et B symétriques dans le domaine de A2 et B 2. A B . ~ jh[A; B]ij 2. (2.3). on peut déduire la relation de commutation généralisée entre les opérateurs de position et dimpulsion. [X; P ] = i~ 1 +

(33) P 2 avec =

(34) hP 2 i :. . (2.4). Daprés la référence [23] et aux limites de la courbe X = f (P ) de la relation dincertitude minimale généralisée dHeisenberg (2:1),. X P = ~

(35). s. X ~

(36). 2. 1

(37). hP i2. (2.5). il se trouve quune proportionnalité existe entre lincertitude en impulsion P et lincertitude en position X qui se concrétise dans la correspondance UV/IR. Cette interaction apparait dans di¤érents contextes comme à la correspondance ADS/CFT [44] ; à la théorie des champs non-commutative [10] et dans lapplication de la physique à courte distance pour des problèmes en cosmologie [45; 46; 47] : De ce fait, lincertitude minimale en position serait. p q Xmin (hP i) = ~

(38) 1 +

(39) hP i2 et par conséquent la plus petite valeur de Xmin est non nulle. (2.6).

(40) 9. X0 = ~. p.

(41). (2.7). cest la limite à la résolution possible de distances à léchelle de Planck, au dessous de laquelle lespace est décrit de ou, ce qui prouve la non localisation des particules élémentaires dans lespace de position et encourage à labandonner vers lespace dimpulsions. La manière théorique dexploiter cette longueur a été introduite par Kempf et ses collaborateurs dans plusieurs travaux récents [22; 23; 24; 25] .. 0.2.3. Exemples de nouvelle limite pour des quantités relativistes. Incertitude minimale ou distance minimale, qui est de lordre de la longueur de Planck 10. 35. m, est une conséquence du caractère "ou" (fuzzy) de lespace-temps ou aussi. elle peut être décrite dune limite exprimant la nature non- ponctuelle des particules élémentaires. Lintroduction de cette longueur élémentaire a apporté des corrections aux résultats de problèmes traités déjà en mécanique quantique ordinaire. Ainsi et selon la relativité restreinte la longueur X dune particule qui se déplace a une vitesse V par rapport à un repère dinertie ( tel que X0 est sa longueur propre et c est la vitesse de la lumière ) se contracte en. X = X0. s. 1. V2 c2. . (2.8). A partir de ce qui découle de lintroduction du concept de la longueur minimale [48], on acceptera que toute longueur doit être supérieure ou égale à Xmin ;donc.

(42) 10. X0. s. V2 c2. 1. . (2.9). Xmin. p si on se met dans le cas ou la valeur Xmin = ~

(43) D = 1;

(44) = 0 , la vitesse de. la particule se limitera à. Vlim c. s. ~2

(45) X02. 1. . (2.10). La nouvelle limite à la vitesse dune particule relativiste induit une limite à limpulsion de cette dernière qui sera donnée par lexpression suivante. Plim. mVlim =q = m2 c2 2 Vlim 1 c2. !. X0 p ~

(46). 2. 1. ". (2.11). Et par conséquent lénergie de la particule sera bornée également et égale à. Elim = q. m 0 c2 2 Vlim c2. 1. = m0 c. 2. . X0 p ~

(47). . (2.12). ce qui est équivalent à cette condition. . Elim c. 2. . 1

(48). (2.13). Dans le cadre de la relativité restreinte, la relation entre lénergie cinétique de la particule et son impulsion. Eclim =. 2 Plim = Elim 2m0. m 0 c2. (2.14). produit une autre limite conçernant la quantité dimpulsion qui est donnée par.

(49) 11. 2 Plim. = 2m0 c. 2. . 1 p. c

(50). m0. . (2.15). doù lapparition dune condition sur le paramètre de déformation

(51). p.

(52) . 1 m0 c. (2.16). ce résultat est en bon accord avec ce qui a été donné par [41; 42] pour justi er lexistence des états physiques en mécanique quantique relativiste non-commutative..

(53) 12. 0.3 0.3.1. Relations de commutation généralisées Algèbre déformée non-covariante de Kempf à 3 dimensions. Lextension du domaine de recherche lié au problème de lincertitude minimale pour des systèmes quantiques relativistes et non-relativistes a été surtout realisée par [16; 22; 23; 24; 25; 26] qui ont établit des relations de commutations généralisées selon les dimensions de lespace de représentation des impulsions. Ainsi, la généralisation en 3D de la relation de commutation de lalgèbre déformée de Kempf (2:4) prend la forme tensorielle suivante: [Xi ; Pj ] = i~ i;j 1 +

(54) P 2 +

(55) Pi Pj. (3.1). [Pi ; Pj ] = 0. [Xi ; Xj ] =. i~ 2

(56).

(57) + 2

(58) +

(59)

(60) P 2 i;j;k Lk. Xi , Pi sont les composantes des opérateurs vecteurs de position et dimpulsion respectivements avec i = 1; 2; 3 et. Li =. 1 i;j;k Xj Pk 1 +

(61) P 2. (3.2). qui sont les composantes du vecteur moment angulaire orbital. Les relations (3:1) ne brisent pas la symétrie par rapport aux rotations, ainsi le générateur de rotation Li et les opérateurs vecteurs de position et dimpulsion satisfont aux relations de.

(62) 13 commutations usuelles. [Li ; Xj ] = ii;j;k Xk. (3.3). [Li ; Pj ] = ii;j;k Pk [Li ; Lj ] = ii;j;k Lk

(63) et

(64) sont des paramètres de déformation positives de très petite valeur. Pour ce qui est de la relation dincertitude minimale généralisée en 3D Xi Pi ~ 2. jh[Xi ; Pi ]ij, lincertitude minimale en position est isotropique q X0 = X0i = ~ 3

(65) +

(66) . (3.4). prise dans le cas des états véri ants hPi i = 0 et Pi indépendant de i . A partir des relations de commutation généralisées (3:1) ; les opérateurs de position et dimpulsion dans lespace des impulsions se mettent sous la forme suivante:. Pi = p i Xi Li. (3.5) . @ @ = i~ 1 +

(67) P +

(68) Pi Pj + pi @pi @pj @ @ = ii;j;k pk = ii;j;k pj @pj @pk 2. . ou est une constante arbitraire qui a¤ecte la mesure du produit scalaire déformé dans lespace des impulsions a n dassurer lhermiticité de lopérateur de position par rapport à ce dernier [16; 26] :.

(69) 14. avec =. 0.3.2.

(70)

(71) +

(72) . . ' j' =. Z. d3 p 1 1 +

(73) +

(74) p2. '. (p) ' (p). (3.6). Algèbre déformée covariante de Lorentz à (3+1) dimensions. Lalgèbre déformée non-commutative de Kempf nest pas une algèbre relativiste, elle nest pas invariante par les transformations de Lorentz. Une généralisation de lidée fut initialement introduite par Snyder [49] qui a suggéré dabandonner la continuité de lespace-temps dans un cas particulier où D = 3 et

(75) = = 0: Pour convertir lalgèbre déformée non-covariante de Kempf en algèbre déformée covariante de Lorentz , les remplaçements suivants sont e¤ectués dans les travaux [41; 42] p2 ! p2. p0. p:x! p:x. 2. =. p0 :x0 =. p p. (3.7). p x. p , x et p , x sont des vecteurs contravariants et covariants respectivement dans lespace-temps de (3+1) dimensions avec ; = 0; 1; 2; 3 Ainsi lopérateur de position et lopérateur dimpulsion dans lalgèbre de Kempf (3:5) se convertissent par lalgèbre covariante de Lorentz à:. X = (1.

(76) p p ) x.

(77) p p x + i~ p ;. P = p. (3.8).

(78) 15 et les relations de commutation (3:1) aux relations covariantes suivantes. [X ; P ] =. i~. [X ; X ] = i~. .

(79) P P g . 1.

(80) P P. . 2

(81) +

(82)

(83) P P

(84) (P X 1

(85) P P . 2

(86). (3.9) P X ). [P ; P ] = 0. où la métrique g = Diag(1; 1; 1; 1):En e¤et, lopérateur moment angulaire déformé, générateur de rotation correspond à. L = [1.

(87) P P ]. 1. (P X P X ). (3.10). Les relations de commutations de lalgèbre déformée covariante (3:9) ne peuvent prendre la forme de celles réalisées dans le cadre de lapplication de lalgèbre noncovariante déformée de Kempf (3:1) dans la limite non-relativiste mais cela se fait seulement en supprimant p0 dans les relations (3:7) ce qui révèle la nouveauté de cette algèbre. Le produit scalaire dans lespace des impulsions (3:6) se transforme par lalgèbre déformée covariante de Lorentz en:. . ' j' =. ou = 2

(88) +

(89) . 1. Z. 1. 2

(90) + 5

(91) . d3 p ' (p ) ' (p )

(92) +

(93) p p. 2 :. (3.11). Il important de noter que la fonction poids ou la mesure ne représente pas de. singularités si les états physiques satisfont la condition:.

(94) 16. 2

(95) +

(96) p0 1. (3.12). et par conséquent lénergie E peut prendre une valeur en fonction de p0 qui obéit à la condition physique précédente (3:12). Lalgèbre covariante de Lorentz implique une modi cation au principe dincertitude généralisé déformé suite au remplacement p2 ! p2. 2. (p0 ) =. p p qui a¤ecte les. opérateurs de position et dimpulsion X i , P i (i = 0; 1; 2; 3), ainsi. X i P i . h D 2 E 2 2 i ~n P0 1

(97) 3j=1 P j + P j 2 h. i 2 io i 2 +

(98) P + P. (3.13). Si on admet que les incertitudes P i = P et si on prend les états physiques avec hP i i = 0; nous arriverons à la plus petite valeur dincertitude en position. (X)0 = X i. . 0. =~. q. 3

(99) +

(100) 1.

(101) (P 0 )2. (3.14). Comparé au résultat trouvé par lalgèbre non-covariante de Kempf dans léquation Ei h D 2 (3:4), il y a un terme additionnel 1

(102) (P 0 ) qui réduit encore cette longueur. minimale dans le formalisme de lalgèbre déformée covariante de Lorentz.. Les transformations déformées de Poincaré. Il est important de con rmer linvariance de lalgèbre déformée covariante (3:9) sous le¤et des transformations propres de Lorentz et de la translation à léchelle de Planck et de déterminer les nouveaux générateurs déformés de ces transformations.

(103) 17 Les transformations in nitesimales de Lorentz. Les transformations in nitési-. males standards de Lorentz données par [41; 42] des vecteurs de position et dimpulsion et qui conservent linvariance de lalgèbre (3:9) sécrivent. X = X + X . (3.15). P = P + P avec. X = ! X . (3.16). P = ! P et ! =. ! 2 R, tel que lopérateur moment angulaire générateur de ces. transformations est donné par. L = [1.

(104) P P ]. 1. (P X . P X ). (3.17). qui satisfait avec les opérateurs de position et dimpulsion dans lespace déformé des P lalgèbre suivante i ! L ; X 2~ i ! L ; P = 2~. X = P . (3.18). et des relations de commutation standards so(D; 1) ; tel que.

(105) = i~ g

(106) L + g L

(107) L ;L. g

(108) L. g L

(109). . (3.19).

(110) 18 Les translations in nitésimales. Les translations in nitésimales conservent aussi. linvariance de lalgèbre (3:9) représentées par lexpression. X = X + X . (3.20). P = P et comme les opérateurs X et P sécrivent en fonction des anciens opérateurs x et p de lespace-temps non déformé, il est utile de voir que. x = x. l. (3.21). p = p alors. X =. l. f (P P ) l P P . 2

(111).

(112) . (3.22). avec l 2 R et. f (P P ) =. [1. 2

(113) +

(114)

(115) P P

(116) P P ]2. (3.23). Et par conséquent lopérateur générateur de translation donné par. Pb = [1.

(117) P P ]. 1. P. (3.24). véri e avec les opérateurs de position et dimpulsion les relations de commutation déformées suivantes.

(118) 19. i i hb l P ; X ~ i i hb l P ; P = ~. X = P . (3.25). Les opérateurs déformés générateurs de rotation L

(119) et de translation Pb , obtenus par la réalisation de lalgèbre conventionnelle de Poincaré iso(D; 1) ; satisfont les relations. de commutation standards données par. h. L

(120) ; Pb. h. Pb ; Pb

(121). i. i. n = i~ g

(122) Pb = 0. g Pb

(123). o. (3.26).

(124) 20. 0.4. Loscillateur de Dirac à 3 dimensions en présence. de distance minimale Lidée de la quanti cation en présence de distance minimale en mécanique quantique a connu une extension vers des problèmes purement relativistes étant donné que le problème de loscillateur de Dirac était solutionné à une dimension [40] et à trois dimensions [16] dans lespace des impulsions en présence de distance minimale. Lintérêt porté à ce sujet revient au rôle que joue dans la description des problèmes à plusieurs corps relativistes, en mécanique quantique relativiste supersymétrique [50; 51; 52; 53; 54] et en chromodynamique quantique en lien avec des modèles de con nement de quark pour les mésons et les baryons [55]. Dans ce travail on va résoudre exactement léquation de loscillateur de Dirac à trois dimensions dans le cadre de la mécanique quantique relativiste en présence de distance minimale en utilisant une technique standard alors que le formalisme (SUSYQM) était appliqué par [16] pour le même problème. De nouvelles donnèes concernant le spectre dénergie ont été obtenues par rapport à la dépendance en nombre quantique principal n et à la dégénérescence des états quantiques. Ces nouveaux résultats ont fait lobjet dune publication [56] : De ce fait, nous allons étudier les corrections quapporteraient lalgèbre de Kempf à trois dimensions représentée dans lespace des impulsions et donnée par les équations (3:1) au spectre dénergie et aux fonctions dondes et nous allons tester nos résultats spectraux dans la limite non-relativiste et ou non-déformée. Et par conséquent, nous allons commencer ce chapitre par exposer loscillateur de Dirac.

(125) 21 à 3 dimensions en mécanique quantique ordinaire.. 0.4.1. Loscillateur de Dirac à 3 dimensions en mécanique quantique ordinaire. Si en plus de sa linéarité en vecteur dimpulsion, cette équation est linéaire en vecteur de position comme cela a été introduit par Ito et all [55], elle est décrite dOscillateur de Dirac en e¤ectuant la substitution p ! p. i

(126) m!r dans léquation de Dirac pour. obtenir. i

(127) m!r) +

(128) mc2. c (p. . (r; t) = W (r; t). (4.1). où ! est la fréquence classique de loscillateur. Si. 1;. 2. sont la grande et la petite composante de la fonction donde de Dirac. respectivement, la décomposition de léquation (4:1) en deux autres devrait être. mc2. W. W + mc2. . . 1. = c (p + i

(129) m!r). 2. = c (p. i

(130) m!r). (4.2). 2. 1. En utilisant ce couple déquations et quelques propriétés des matrices de Dirac, nous arriverons à formuler une seule équation en fonction de la composante. W2. m 2 c4. . 1. = c2 p 2 + m2 ! 2 r2. 3m!~. 2m!L. . 1. 1. (4.3). A la limite non-relativiste, deux approximations sont prises en considération W E + mc2 et E mc2 et leurs applications à (4:3) donne.

(131) 22. . 1 p2 + m! 2 r2 2m 2. 3 !~ 2. 2! SL ~. . 1. =E. 1. (4.4). ou S = ~2 . Les deux premiers termes représentent le même hamiltonien que celui de loscillateur harmonique, ce qui donne le nom dOscillateur de Dirac à ce genre de potentiel. Le troisième terme est une constante shift à tous les états dénergie sans inuence sur les fonctions dondes. Alors que le dernier terme exprime un très fort couplage spin-orbite [57]. Revenons à la détermination des fonctions donde et du spectre dénergie de loscillateur de Dirac. Selon [57] lopérateur du coté droit de léquation (4:3) commute avec le moment cinétique total J = L + S donc les fonctions prores sont données dans le système de coordonnées sphériques par le ket

(132)

(133) X

(134) 1

(135)

(136)

(137) N l 1 jm = l;

(138) jmi RN l (r) Yl (; )

(139) 2 2. (4.5). ;. hi : le coe¢cient de Clebsch-Gordan.. RN l (r) : la partie radiale de la fonction donde de loscillateur de Dirac à trois dimensions Yl (; ) : la fonction harmonique sphérique. : la fonction spin des deux projections =. 1 . 2. alors que les valeurs propres correspondantes sont:. W. 2. ~!mc2 [2N 2j + 1] mc = ~!mc2 [2N + 2j + 3] 2 4. l=j l=j+. 1 2 1 2. (4.6).

(140) 23. 0.4.2. Solution exacte de loscillateur de Dirac à 3 dimensions par lalgèbre déformée de Kempf e i

(141) m!r dans léquation de Dirac. La substitution de lopérateur dimpulsion p ! p. pour une particule libre dans lespace des impulsions donne léquation de loscillateur de Dirac [35]. . e c. . p. e e 2 i

(142) m!r +

(143) mc. (p) = W (p). m au repos et ! est la fréquence de loscillateur de Dirac. 0 est la masse 1 B B @. (p) C C sont les deux composantes spinorielles de la fonction donde A b (p). a. e représentent les matrices de Dirac suivantes et

(144) 0. 1. B 0 C C; e =B. @ A 0. 0. B 1 e=B

(145) @ 0. (4.7). (p) = e (p) et . 1. 0 C C A 1. (4.8). qui permet de découpler léquation (4:7) en deux autres données par les expressions. W. a. (p) = c (p + im!r). b. (p) + mc2. a. (p). (4.9). W. b. (p) = c (p. a. (p). mc2. b. (p). (4.10). La substitution de la formule de. b. im!r). (p) tirée de léquation (4:10) dans léquation. (4:9) nous mène à écrire une seule équation en fonction de la composante. a. (P) :.

(146) 24. W2. m2 c4. . a. b. (4.11). +im! [r; p] + i m2 ! 2 (r ^ r). - Dans ce qui suit, alors que. (p) = c2 p2 + m2 ! 2 r2. a. a. (p). (P) est la grande composante de la fonction donde [57]. (p) est la petite composante car à la limite non-relativiste (la vitesse de. la particule v c) la composante. b. (p) devra tendre vers zéro.. Lintroduction de lalgèbre déformée de Kempf à travers les relations de commutation modi ées tirées des équations (3:1) est nécessaire pour avoir le résultat du calcul suivant. [r; p] = i~ 1 + (

(147) +

(148) ) p. r^r=. i~ 2

(149). 2. . . 2L +3 ~. . (4.12).

(150) + 2

(151) +

(152)

(153) p2 L. (4.13). Si on revient et on remplace ces deux dernières expressions dans léquation (4:11) ; on obtient alors. (W 2. m2 c4 ) c2. a. (p) =. . p 2 + m2 ! 2 r2 +. + +m2 ! 2 ~ 2

(154). . 2m! 1 + (

(155) +

(156) ) p2. .

(157) + 2

(158) +

(159)

(160) p2 L. 3m!~ 1 + (

(161) +

(162) ) p2. . a. (p). (4.14). Ce quon peut remarquer cest que les deux premiers termes représentent lHamiltonien de loscillateur harmonique en 3 dimensions, alors que le troisième terme exprime la.

(163) 25 contribution du couplage spin-orbite dépendante de limpulsion et pour ce qui est du quatrième terme, il est une fonction shift dépendante de limpulsion aussi qui a¤ecte les niveaux dénergie. Il est possible de reproduire lécriture de léquation usuelle (4:3) de loscillateur de Dirac en 3D dans le cas sans déformation

(164) =

(165) = 0.. Les fonctions propres Dans le but dalléger les étapes du calcul a n de déterminer les fonctions propres de loscillateur de Dirac en présence de distance minimale, on décompose ces dernières en partie radiale et en partie angulaire dans lespace des impulsions comme 0. B (p) = B @. b= avec le vecteur unitaire p. 1. 0. m (p) { j. 1. (p) C B F (b p) C C=B C A @ A mj (p) (b p ) G (p) { b. a. p :Lexpression jpj. (4.15). du carré de lopérateur vecteur de posi-. tion doit être calculé dans lespace déformé en utilisant léquation (3:5). r. 2. (. 2 @ 2 = ~ + 1 + (

(166) +

(167) ) p + 2 (

(168) + ) p @p p @ L2 2 1 + (

(169) +

(170) ) p 2

(171) L2 3 2 @p p . + 3

(172) +

(173) +

(174) 2 L2 p 2 2. 2. (4.16). m. Laction de lopérateur (L) sur les fonctions spin-angulaires { j (p) est donnée par [57]. L{mj (b p) = ~{mj (b p). (4.17).

(175) 26 tel que le nombre quantique sera égale à [s(2j + 1). 1]. La susbstitution des équations (4:15) ; (4:16) et (4:17) dans léquation (4:14) permet de la réecrire en fonction de limpulsion p et de la composante radial F (p) dans la forme suivante. 1 W2 c2. m2 c4 + 2m!~c2 + 3m!~c2. 2. 2 2. m! ~. m2 ! 2 ~2 c2 2

(176). h. @ (1 + (

(177) +

(178) ) p2 ) @p.

(179) F (p) = i2. +. h i @ (1 + (

(180) +

(181) ) p2 ) @p +. +. 1 m!~. . 1 m2 ! 2 ~2. h. 2 p. L2 p2. + 2 (

(182) + ) p (2

(183) L2. + 3

(184) +

(185) + . (2 + 3) (

(186) +

(187) ). (4.18). . i. 3 )

(188) 2 L2. (2

(189) +

(190) )

(191) p2 F (p). Des remplacements et des changements de variables ont été e¤ectués a n de résoudre cette équation via une procédure standard. Ainsi commençons par introduire les paramètres. =p. 1 et = p arctan p m!~

(192) +

(193) . q.

(194) +

(195) . (4.19). et e¤ectuer les changements de variables p 2 (0; 1) en 2 0; 2p k tel que. =. p p 1 arctan p

(196) +

(197) et k = m!~ (

(198) +

(199) ) k. dans ce cas léquation (4:18) devient. (4.20).

(200) 27. F (p) = k2. # " p p @ 2m!~ 1 @2 2m!~

(201) +

(202) + p p + 2 tg

(203) +

(204) k 2 @ 2 @ k 2

(205) +

(206) k tg

(207) +

(208) p m!~ m!~ (

(209) +

(210) ) L2 cot g 2

(211) +

(212) 2

(213) L2 3 2 2 k k 1 m!~ + 3

(214) +

(215) +

(216) 2 L2 (4.21) + 2 2 2 2 k

(217) +

(218) m ! ~ p 1 2 (2 + 3) (

(219) +

(220) ) (2

(221) +

(222) )

(223) tg

(224) +

(225) F (p) + m!~. (. avec. =. W 2 m2 c4 + 2 + 3 m!~c2. m!~ 2

(226). Pour simpli er encore le calcul, on prendra.

(227) . (4.22). F = C + f (S). (4.23). S = sin (k) , C = cos (k). (4.24). ou S et C sont dé nis par. alors que est une constante qui sera déterminée ultérieurement mais =. :

(228) +

(229) . Maintenant le remplacement des équations (4:23) et (4:24) dans léquation (4:21) donne. 1 S f (2 + 1 + 2 (1 2 (2 1) L 3 + k2 2. . . )) S L2 + S2. 2 f S. (4.25).

(230) 28. . + . avec =. 2. (2 + 3) L ++ k2 2. (1 + 2).

(231) :

(232) +

(233) . 2. ( + 1) . 1 k4. . S2 C2. . f =0. Si on impose une condition sur la constante on pourra éliminer la. barrière centrifuge tel que léquation suivante sera véri ée. 2. (1 + 2). 2 L2 + +. (2 + 3) k2. 1 =0 k4. (4.26). (2 + 3) 1 + ( + 1) + 4 2 k k. (4.27). ( + 1) . Les deux racines correspondantes obtenues sont alors. 1 + 2 = 2. s. (1 + 2)2 + 2 L2 4. Pour pouvoir faire avancer encore les calculs, un changement de variable est nécessaire dé ni par la relation z = 2s2. 1 en ayant le choix de prendre f (s) = sl g (s) ;. alors léquation (4:25) sécrira comme. 1. z 2 g(z) + [(b. 1 + 4 k2. 2L. 2. a). (a + b + 2) z] g (z). (2l + 3) + l (2. . 1) g (z) = 0. (4.28). A n de résoudre cette équation di¤érentielle en solution polynômiale, il faut prendre. 1 4 k2. 2L. 2. (2l + 3) + l (2. . 1) = n n + a + b + 1. . (4.29).

(234) 29 où les paramètres a, b et n sont de nis par. a = +. 1 ; 2. . b=. 1 n l + l et n = : 2 2. (4.30). Léquation (4:29) est une condition spectrale doù on peut tirer le spectre dénergie alors que a est en fonction de + , ce qui sera justi é dans les étapes suivantes. Revenons à léquation (4:28) qui sécrira. 1. z 2 g(z) + [(b. (a + b + 2) z] g (z). a). +n n + a + b + 1 g (z) = 0. (4.31). dont la solution est donnée en terme de polynômes de Jacobi. (a;b). g (z) = N Pn. (z). (4.32). avec N est la constante de normalisation Compte tenu de quelques changements de variables réalisés auparavant, la grande composante radiale de la fonction donde de loscillateur de Dirac en fonction de la variable z est alors. F (z) = N 2. a +b + + 2. (1. z). 1 a + + + 2 2. (1 + z). (b. 1 2. ). 2. écrite en fonction de lancienne variable dimpulsion p comme. (a;b). Pn. (z). (4.33).

(235) 30. . . F (p) = N. 2. . q. a +b + + 2. 1+

(236) +

(237) p $ ! 2 1 p

(238) +

(239) (a;b) Pn ;

(240) +

(241) p2 + 1. .

(242) +

(243) p. b. 1 2. (4.34). et en n on arrivera à déterminer la grande composante de la fonction donde de loscillateur de Dirac. a. . . (p) = N. 2. . a +b + + 2. b q

(244) +

(245) p. 1+

(246) +

(247) p $ ! 2 1

(248) +

(249) p (a;b) Pn {mj (b p) : 2

(250) +

(251) p +1. Pour calculer la petite composante de la fonction donde. b. 1 2. (4.35). (p) à partir de léquation. (4:10) qui donne. b. (p) =. c (p im!r) W + mc2. a. (p). (4.36). il faut se servir de quelques relations importantes entre la matrice et les opérateurs de position r et dimpulsion p [16] en présence de distance minimale dans lespace des impulsion. r = @ = @pi @ i p i pj = @pj @ p = @p i. . @ @ +

(252) pi pj + pi i~ i 1 +

(253) p @pi @pj L+2 L @ @ + p = p @p p @p p @ @ @ = p2 p = p p2 (:p) p @p @p @p @ p @p 2. . (4.37).

(254) 31 ou p =. :p , p. b. alors on aboutit à lexpression suivante de. (p) =. c p [p + m!~ W + mc2 @ 1 +

(255) +

(256) p2 @p. b. (p). (4.38) ~ + ( p.

(257) ~ ) p. . a. (p). A n de parvenir à calculer la petite composante radiale de la fonction donde G (p) ; on a à utiliser cette propriété:. p) = p {mj (b. {. mj . (b p). (4.39). et cela ramène à avoir lexpression de G (p). m!~c G (p) = W + mc2. . 1 + m!~. @

(258) ~ p + 1 +

(259) +

(260) p2 @p. ~ F (p) (4.40) p. A cette étape de la manipulation du calcul, nous avons à considérer les transformations suivantes. 1 f p 1 G (p) = f p F (p) =. + 2. 1. + 2. 1. R1 (p) ;. (4.41). R2 (p). qui permettent de déterminer exactement G (p) et ensuite la constante de normalisa tion N avec la mesure f (p) = 1 +

(261) +

(262) p2 .. En comparant léquation (4:34) à son équivalent dans (4:41), on détermine R1 (p). R1 (p) = N. q. b .

(263) +

(264). 1 2. 1. pb+ 2 f. a +b +1 2. (a;b). Pn. (z). (4.42).

(265) 32 dans ce cas le calcul de R2 (p) à partir de lexpression de R1 (p) est évident et exige la distinction entre les états à spin contraire s = 12 et s =. 1 à 2. laide des propriétés des. polynômes de Jacobi citées en [58] i) s =. 1 2. R2 (p) =. p b m!~c N

(266) +

(267) W + mc2 1. a +b +1 2. 3. a +b +3 2. pb+ 2 f = = ii) s =. 1 2. @ 1 f + @p m!~.

(268) ~ p. ~ p. . (4.43). (a;b). Pn (z) p b 12 a +b +1 1 d (a;b) 2m!~c N

(269) +

(270) 2 pb 2 f (1 + z) Pn (z) 2 W + mc dz p b 12 2m!~c

(271) +

(272) a + b + n + 1 N

(273) +

(274) W + mc2. pb+ 2 f. (a+1;b+1) 1. Pn. (z). 1 2. R2 (p) =. = =. p b 12 m!~c N

(275) +

(276) 1 @ +

(277) ~ ( + 1) p (4.44) f W + mc2 @p m!~ ~ ( + 1) b+ 1 a +b +1 (a;b) 2 p 2f Pn (z) p p b 21 a +b +1 d 2m!~c N

(278) +

(279) (a;b) b 12 2 p f (1 + z) + b Pn (z) W + mc2 dz p b 12 2m!~c b + n N

(280) +

(281) a +b +1 1 (a+1;b 1) 2 pb 2 f Pn (z) 2 W + mc. Si on revient maintenant au calcul de la constante de normalisation N , la relation de fermeture doit être modi ée dans lespace des impulsions en présence de distance minimale.

(282) 33. Z. 1. 0. dp jR1 (p)j2 + jR2 (p)j2 = 1 f (p). (4.45). et son utilisation avec les expressions de R1 (p) et R2 (p) tirées des équations (4:42) et (4:43) ; (4:44) détermine éxactement la grande et petite composante radiale de la fonction donde en fonction du polynôme de Jacobi. F (p) =. . G (p) = avec. A(n ) (a; b) =. 1 1 W + mc2 2 (n) A (a; b) pb 2 f 2W 1 W mc2 2 ne e eb " A e a; b p 2W. !. 1 (a+b++) 2. 1 2. f. 1 2. (a;b). Pn. (z). (4.46). (ea+eb++) P (ea;eb) (z) n e. b+1 $ 12 a + b + 2n + 1 n! a + b + n + 1 2

(283) +

(284) (a + n + 1) (b + n + 1) eb = b + 2s. e a = a+1. ou n = 0; 1; 2; ::; à lexception ou s =. 1 2. n e = n. et " =. s. 1 2. =. W jW j. (4.47). 1 on a n = 1; 2; 3:::. - Pour justi er maintenant le choix de + , on se base sur lexplication donnée dans la référence [23] qui con rme que la condition de normalisation seule ne guarantie pas lexistance des états physiquements acceptables mais en plus de cela il faut quils soient dans le domaine de p, autrement dit, cest avoir une incertitude en impulsion p nie. Donc cest la véri cation de cette la condition. 2 p = ou. Z. 0. 1. p2 dp jR1 (p)j2 + jR2 (p)j2 h1 f (p). (4.48).

(285) 34. Z. 1. 0. p2 dp jR1 (p)j2 h1 f (p). et. Z. 0. 1. p2 dp jR2 (p)j2 h1 f (p). (4.49). A partir de ces dernières conditions, on voit que lintégrale de la petite composante radiale ce comporte comme p. (2 2 1). pour p ! 1; ce qui véri e que i + 12 et cela est possible avec le choix. de + issue de léquation (4:27) : En contre partie, si = + , lintégrale de la grande composante radiale se comporte comme p exige que + i . 1 2. (2+ 2+1). , ainsi le critère de convergence. et cest satisfait automatiquement dans notre travail.. - Si on revient maintenant à la limite non-relativiste de léquation de loscillateur de Dirac (4:14) ; on impose que W = mc2 + E avec E mc2 et par division en 2m; on arrive à. E. . p2 1 + m! 2 r2 a (p) = 2m 2. SL (p) L. 3 ~! 1 + (

(286) +

(287) ) p2 2. . a. (p). (4.50). avec. SL (p) =. ! ~. 1 + (

(288) +

(289) ) p2. . !2 2

(290) 4.

(291) + 2

(292) +

(293)

(294) p2. (4.51). On remarque que les deux premiers termes représentent lHamiltonien de loscillateur harmonique en 3D en plus dun terme aditionnel qui dépend maintenant de la déformation de lespace, alors que dans le cas non-déformé vu dans léquation (4:3) ;il était constant. Dans le troisième terme apparait la force du couplage spin-orbite dépendante de limpulsion donnée par SL (p) (4:51) :Cette interaction spin-orbite dépendante des paramètres de déformation

(295) et

(296) est produite par un potentiel scalaire qui.

(297) 35 peut provenir dun champ gravitationnel créé lors de la perturbation de lespace en présence de distance minimale.. Le spectre denergie La substitution des expressions des paramètres n,a, b; + et données par les équations (4:30) ; (4:27) et (4:22) dans léquation (4:29) permet dobtenir le spectre dénergie W de loscillateur de Dirac en 3D et en présence de distance minimale. W2. v " # 2 u u + 3

(298)

(299) 3 t1 + (m!~)2 +

(300) 2 L2 m2 c4 = m!~c2 2 n + 2 4 +m!~. ".

(301) +

(302). avec. 1 2. . . . 3 n+ 2. 2. +

(303). . .

(304). 2 = 3 1 + m!~

(305) +

(306) 3 2 m!~ 2

(307) = 3 1+ 3 . . 9 L + 4 2. . 3 +

(308) 2. 2. m2 ! 2 ~2

(309) 2

(310) +

(311) . 1 (4.52). . (4.53).

(312) . qui représentent à nouveau le couplage spin-orbite en présence de distance minimale. Le spectre dénergie dépend quadratiquement du nombre quantique principal n. Cette propriété exprimant un con nement dur est due à ce que le problème sest convertit dans une étape du calcul à un problème de mouvement dune particule ponctuelle autour de la surface dune sphère qui est un mouvement dans un puits de potentiel dont les barrières sont localisées a 0 et =2. p m!~ (

(313) +

(314) 0 ):.

(315) 36 Le cas sans déformaion Le développement du premier ordre en

(316) et

(317) du spectre dénergie donné par léquation (4:52) se met sous la forme suivante. W. 2. pour j = l +. W. et j = l. 2. 1 m!~

(318) 1 = m c + m!~c 2 n j + 1+ n j+ 2 2 2 9 m!~

(319) n+j+ + m!~

(320) ( 4n 2nj 3) + 2 2 2 4. 2. (4.54). 1 2. 3 m!~

(321) 3 = m c + m!~c 2 n + j + 1+ n+j+ 2 2 2 m!~

(322) 7 + n j+ + m!~

(323) ( 2n + 2nj 3) 2 2 2 4. 2. (4.55). 1 2. On remarque que dans le cas ou

(324) = 0; les expressions données par les équations (4:54) et (4:55) respectivement coincident exactement avec celles obtenues par [16] dans le cadre du formalisme (SUSYQM). La di¤érence qui se présente lorsque

(325) 6= 0 est considérée liée à la technique utilisée où on distinguait entre grande et petite valeurs de j. - Si on supprime la déformation de lespace

(326) ;

(327) ! 0 et on se met dans lespace ordinaire avec la représentation des impulsions, on retrouve le spectre de loscillator de Dirac habituel [57]. W. 2. W2. 2 4. mc. m2 c4. = 2m!~c n j + 2 = 2m!~c n + j + 2. 1 ; 2 3 ; 2. j =l+ j=l. 1 2 1 2. (4.56).

(328) 37 qui révèle la dégénérescence des états pour j = l + un entier, et aussi les états pour j = l. 1 avec 2. 1 2. avec n q et j q où q est. n q et j q:Cette caractéristique a. complétement disparue en introduisant le concept de distance minimale avec

(329) 6= 0 et

(330) 6= 0 comme le montre dailleurs lexpression du spectre dénergie dans léquation (4:52) et le con rme la gure 1 où les niveaux dénergie dégénérés en absence de

(331) sont séparés en présence de ce paramètre de déformation, et lécart de séparation croit avec la croissance de la valeur de

(332) :. La limite non-relativiste - A n de tester notre résultat concernant le spectre dénergie en présence de la distance minimale donné par léquation (4:52) pour la limite non-relativiste, on admet quil véri e la supposition W = mc2 + Wnr avec Wnr mc2 . Et après un calcul simple nous obtenons cette expression de lénergie Wnr. v " # 2 u + 3

(333)

(334) 3 u t1 + (m!~)2 +

(335) 2 L2 = ~! n+ : 2 4 " 2 9 m!~ 3 2

(336) +

(337) n+ +

(338)

(339) L + + + 2 2 4 8 <. 1 # 3

(340) 2. (4.57) 2 2. ). - Il est intéressant dignorer la contribution des termes du couplage spin-orbite 1 et 2 pour pouvoir découvrir quon retrouve le même spectre dénergie que celui de loscillateur harmonique en 3D en présence de distance minimale établit par [26]. Cest un autre résultat qui con rme lexactitude du calcul du spectre dénergie en plus de celui trouvé pour le cas non-déformé donné par le couple déquations (4:56) : - Dans le but de visualiser exactement le comportement du spectre dénergie dans une limite non-relativiste et dans le cas non-deformé, on procède par un développe-.

(341) . Figure 1 : Rupture de la dégénérescence des énergies en présence de . Les valeurs de (n,l) considérées sont (2,1), (3,2), (4,3), (5,4) et (6,5) à partir de la première ligne en . haut avec , et

(342)

(343) (Des quantités prises sans dimensions). .

(344) 38 ment du premier ordre en

(345) and

(346) Wnr. . 1 m!~

(347) 1 = ~! n j+ 1+ n j+ (4.58) 2 2 2 3 9 1 m!~

(348) n+j+ m!~

(349) 2n + nj + ; j =l+ + 4 2 2 2. et. Wnr. 3 m!~

(350) 3 1+ n+j+ = ~! n+j+ 2 2 2 3 7 m!~

(351) n j+ m!~

(352) n nj + ; j=l + 4 2 2 . (4.59) 1 2. Si on supprime la déformation

(353) = 0 and

(354) = 0 dans les équations (4:58) et (4:59) ; on retrouve la quanti cation standard de loscillateur de Dirac dans la limite non-relativiste. . Wn = ~! n. 1 j+ 2. . . 3 Wn = ~! n + j + 2. ; j =l+. . ; j=l. 1 2. (4.60). 1 2. Ainsi la valeur moyenne entre lénergie des deux états à spin down et spin up est donnée par . fn = ~! 2n + l + 1 W 2 . . (4.61). avec n = 2n + l , qui est di¤érente de celle qui caratérise loscillateur harmonique en 3D par la valeur ~! ce qui revient au couplage spin-orbite. En présence de distance minimale, cette valeur propre moyenne sera.

(355) 39. fn = ~! W. . 1 2n + l + 2 . 1 m!~

(356) 1+ 2n + l + 2 2. m!~