THÈSE
Pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS UFR des sciences fondamentales et appliquées
Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers) (Diplôme National - Arrêté du 25 mai 2016)
École doctorale : Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges) Secteur de recherche : Mathématiques et leurs interactions
Présentée par :
Carlos Augusto León Gil
Sur l'intégrabilité algébrique des systèmes de Bogoyavlenskij-Itoh déformés à 5 particules
Directeur(s) de Thèse : Pol Vanhaecke
Soutenue le 10 décembre 2020 devant le jury Jury :
Président Alessandra Sarti Professeur, LMA, Université de Poitiers
Rapporteur Guido Carlet Professeur, Université de Bourgogne, Dijon
Rapporteur Andrew Hone Professor, School of Mathematics, University of Kent, Canterbury
Membre Pol Vanhaecke Professeur, LMA, Université de Poitiers
Membre Enrica Floris Maître de conférences, Université de Poitiers
Membre Moulay Barkatou Professeur, Université de Limoges
Membre David Blazquez Sanz Profesor, Universidad nacional de Colombia, Bogota Membre Vladimir Salnikov Chargé de recherche CNRS, Université de la Rochelle
Pour citer cette thèse :
Carlos Augusto León Gil. Sur l'intégrabilité algébrique des systèmes de Bogoyavlenskij-Itoh déformés à 5 particules [En ligne]. Thèse Mathématiques et leurs interactions. Poitiers : Université de Poitiers, 2020. Disponible sur
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✸ ❯♥ ❢❛✉① ❡s♣♦✐r r❡s✉❧t❛ ❞✉ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡ P♦✐ss♦♥✱ q✉✐ é♥♦♥❝❡ q✉❡ ❧❡ ❝r♦❝❤❡t ❞❡ P♦✐ss♦♥ ❞❡ ❞❡✉① ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s ❡st ✉♥❡ ✐♥té❣r❛❧❡ ♣r❡♠✐èr❡✳ ➚ ♣r✐♦r✐✱ ❝❡ t❤é♦rè♠❡ ♣❡r♠❡t ❞❡ ❝♦♥str✉✐r❡ t❛♥t ❞✬✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s q✉❡ ❧✬♦♥ ✈❡✉t✱ ♦r r✐❡♥ ♥❡ ❞✐t q✉❡ ❧❡ ❝r♦❝❤❡t ❞❡ ❞❡✉① ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s ♥❡ s♦✐t ♣❛s ♥✉❧✱ ♦✉ ❝♦♥st❛♥t✱ ♦✉ ❞é♣❡♥❞❛♥t ❞❡s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s ❞♦♥t ❡❧❧❡ ❡st ❧❡ ❝r♦❝❤❡t✳ ▼❛✐s ❛✈❡❝ s♦♥ t❤é♦rè♠❡✱ P♦✐ss♦♥ ♣ré❞✐s❛✐t ❧✬✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ❡♥ ✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❞✉ ❝r♦❝❤❡t q✉✐ ♣♦rt❡ s♦♥ ♥♦♠✳ ❈✐t♦♥s ✐❝✐ ❏❛❝♦❜✐✱ q✉✐ ✈✐♥❣t ❛♥s ❛♣rès P♦✐ss♦♥✱ ♠♦♥tr❛ q✉❡ ❧❡ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡ P♦✐ss♦♥ ✲ q✉❡ ❝❡ ❞❡r♥✐❡r ♦❜t✐♥t ♣❛r ❞❡s ❝❛❧❝✉❧s ❧♦♥❣s ❡t ❢❛st✐❞✐❡✉① ✲ ❡st ✉♥❡ ❝♦♥séq✉❡♥❝❡ ✐♠♠é❞✐❛t❡ ❞✬✉♥❡ ✐❞❡♥t✐té ❝é❧è❜r❡ q✉✬✐❧ ✐♥✈❡♥t❛ à ❝❡tt❡ ♦❝❝❛s✐♦♥✳✳✳ ❧✬✐❞❡♥t✐té ❞❡ ❏❛❝♦❜✐ ✦ ■❧ ❛ ❢❛❧❧✉ ❛tt❡♥❞r❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ♣♦✉r q✉❡ ❧❡ rô❧❡ ❡ss❡♥t✐❡❧ ❞✉ ❝r♦❝❤❡t ❞❡ P♦✐ss♦♥ ❞❛♥s ❧✬✐♥✲ té❣r❛❜✐❧✐té ❞❡s s②stè♠❡s ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥s s♦✐t ❝❧❛✐r❡♠❡♥t ét❛❜❧✐✳ ■❧ ♠♦♥tr❛ q✉❡ ♣♦✉r q✉✬✉♥ s②stè♠❡ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥ s♦✐t ✐♥té❣r❛❜❧❡ ♣❛r q✉❛❞r❛t✉r❡s ♦♥ ♥✬❛ ♣❛s ❜❡s♦✐♥ ❞❡ 2n − 1 ✐♥✲ té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡s✱ ♠❛✐s q✉❡ n t❡❧❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s F1, . . . , Fn s✉✣s❡♥t✱ à ❝♦♥❞✐t✐♦♥ q✉❡ ❧❡✉r ❝r♦❝❤❡t ❞❡ P♦✐ss♦♥ s♦✐t ♥✉❧✱ {Fi, Fj} = 0 , ♣♦✉r 1 6 i < j 6 n . ❖♥ ❞✐t ❛❧♦rs q✉❡ ❝❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s s♦♥t ❡♥ ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❡t ♦♥ ♣❛r❧❡ ❞✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❛✉ s❡♥s ❞❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧❡✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ❛ ♠♦♥tré q✉❡ ✭s♦✉s ❝❡rt❛✐♥❡s ❤②♣♦t❤ès❡s t♦♣♦❧♦❣✐q✉❡s✮ ❧❡s ✜❜r❡s ❞❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✱ ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ❧❡s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s✱ s♦♥t ❞❡s t♦r❡s✱ s✉r ❧❡sq✉❡❧s ❧✬é✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ s②stè♠❡ ❡st q✉❛s✐✲♣ér✐♦❞✐q✉❡ ❀ ❝❡ q✉✐ ❡①♣❧✐q✉❡ ❛✉ss✐ ♣♦✉rq✉♦✐ ❧❛ ❝♦♥❞✐✲ t✐♦♥ ❞❡ s✉♣❡r✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❡st ❜❡❛✉❝♦✉♣ ♣❧✉s ❢♦rt❡ q✉❡ ❝❡❧❧❡ ❞✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❛✉ s❡♥s ❞❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧❡✳ ●râ❝❡ ❛✉ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧❡✱ ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ s②stè♠❡s ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥s ❝♦♥♥✉s s✬❛✈ér❛✐❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡s ❀ ❜❡❛✉❝♦✉♣✱ ♠❛✐s ♣❛s t♦✉s ✦ ❇✐❡♥ ❛✉ ❝♦♥tr❛✐r❡ ✿ ❛✉ t♦✉r♥❛♥t ❞✉ s✐è❝❧❡✱ P♦✐♥❝❛ré ♠♦♥tr❛ q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ à tr♦✐s ❝♦r♣s ♥✬❡st ♣❛s ✐♥té❣r❛❜❧❡ ✭❛✉ s❡♥s ❞❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧❡✮ ✦ ❆❧♦rs ❧❡s r❡❝❤❡r❝❤❡s ❡♥ ♠é❝❛♥✐q✉❡ s❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛✐❡♥t ❞és♦r♠❛✐s ❛✉① ❛s♣❡❝ts ❞②♥❛♠✐q✉❡s ❡t q✉❛❧✐t❛t✐✈❡s ❞❡s s②stè♠❡s ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥s✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❧❛ ♠é❝❛♥✐q✉❡ q✉❛♥t✐q✉❡ ❝♦♠♠❡♥ç❛✐t à s❡ ❞é✈❡❧♦♣♣❡r✱ ❛✉ ❞étr✐♠❡♥t ❞❡ ❧❛ ♠é❝❛♥✐q✉❡ ❝❧❛ss✐q✉❡✱ ❡t ❧❛ q✉❡st✐♦♥ ❞✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❞❡ s②stè♠❡s ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥s ♥✬ét❛✐t ♣❧✉s ❞✬❛❝t✉❛❧✐té✳
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▲❡ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ à n ♣❛rt✐❝✉❧❡s
▲❡ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ❡st ✉♥ s②stè♠❡ ❞❡ ▲♦t❦❛✲❱♦❧t❡rr❛ ❜✐❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ❞♦♥t ❧✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❛ été ❞é♠♦♥tré❡ ♣❛r ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥ ❡t ■t♦❤ ❬✸✱✹✱✶✷✱✶✸❪✳ ❘❛♣♣❡❧♦♥s ✭✈♦✐r ❧❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ✸❝✐✲❞❡ss♦✉s ♣♦✉r ♣❧✉s ❞✬✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s✮ ❧❛ ❢♦r♠❡ ❣é♥ér❛❧❡ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❞❡ ▲♦t❦❛✲❱♦❧t❡rr❛✱ q✉❡ ❧✬♦♥ ♣❡✉t ❝♦♥s✐❞ér❡r s✉r Rn ♦✉ Cn ✿ ˙xi = ǫixi+ n X j=1 Ai,jxixj , ♣♦✉r i = 1, . . . , n . ✭✶✳✸✮ ❉❛♥s ❝❡s éq✉❛t✐♦♥s✱ ❧❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ǫ1, . . . , ǫn s♦♥t ❞❡s ❝♦♥st❛♥t❡s s❝❛❧❛✐r❡s ❝♦♠♣❧❡①❡s ❡t A = (Ai,j) ❡st ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ❝❛rré❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡ n✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✐t ❛♥t✐s②♠étr✐q✉❡✱ ❧❡s ǫi s♦♥t s✉♣♣♦sés ♥✉❧s ❡t A ❡st s✉♣♣♦sé❡ ❛♥t✐s②♠étr✐q✉❡✳ ✭✶✳✸✮ ❡st ❛❧♦rs ✉♥ s②stè♠❡ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥✱ ❛✈❡❝ ✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❞❡ P♦✐ss♦♥ q✉❛❞r❛t✐q✉❡ ✭❞✐t❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧❡✮ ❞é✜♥✐❡ ♣❛r {xi, xj} = Ai,jxixj , ♣♦✉r i, j = 1, . . . , n , ❡t ❛✈❡❝ H := x1+ x2+ · · · + xn= n X j=1 xj ❝♦♠♠❡ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✉ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤✱ n = 2k + 1 ❡st ✐♠♣❛✐r✱ ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ A ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r Ai,j := ( 1, s✐ i < j ≤ min{i + k, 2k + 1}, −1, s✐ min{i + k, 2k + 1} < j ≤ 2k + 1, ❡t ✭✶✳✸✮ ♣r❡♥❞ ❧❛ ❢♦r♠❡ s✐♠♣❧❡ ❡t s②♠étr✐q✉❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ ˙xi = xi k X j=1 (xi+j − xi−j), ♣♦✉r i = 1, . . . , n . ✭✶✳✹✮ ❉❡s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧❡s s♦♥t ❝♦♥str✉✐t❡s ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ▲❛① ✭✈♦✐r ✭✸✳✽✮✮ ❡t ❡❧❧❡s s♦♥t ❡♥ ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥✱ ❝❡ q✉✐ ♣r♦✉✈❡ ❧✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❞✉ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ❛✉ s❡♥s ❞❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧❡✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❞❡s str✉❝t✉r❡s ❞❡ P♦✐ss♦♥ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡s✱ ✉♥❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥té❣r❛❜❧❡ ❞✉ s②s✲ tè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ❛ été ❝♦♥str✉✐t❡ ❞❛♥s ❬✽❪✳ ▲❡ s②stè♠❡ ❞é❢♦r♠é ❡st ❞♦♥♥é ♣❛r ˙xi = xi k X j=1 (xi+j− xi−j) + εi, ♣♦✉r i = 1, . . . , n , ✭✶✳✺✮ ♦ù ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ εi s♦♥t ❞❡s ❝♦♥st❛♥t❡s ❝♦♠♣❧❡①❡s ❛r❜✐tr❛✐r❡s ❞❡ s♦♠♠❡ ♥✉❧❧❡✱ ε1 + ε2 + · · · + εn = 0✳ ▲❡s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s ❞✉ s②stè♠❡ ❞é❢♦r♠é s♦♥t ❞❡s✻ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥s ❞❡s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s ❞✉ s②stè♠❡ ♥♦♥ ❞é❢♦r♠é✱ ❡t s♦♥t ♦❜t❡♥✉❡s ❞❡ tr♦✐s ❢❛ç♦♥s ❞✐✛ér❡♥t❡s ✿ ❡♥ ❞é❢♦r♠❛♥t ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ▲❛①✱ ♣❛r ✉♥ ♣✐♥❝❡❛✉ ❞❡ str✉❝t✉r❡s ❞❡ P♦✐ss♦♥ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡s✱ ❡t ♣❛r ✉♥ ♦♣ér❛t❡✉r ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧✱ ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❛ss♦❝✐é à ❧❛ str✉❝t✉r❡ ❞❡ P♦✐ss♦♥ ✭❞é❢♦r♠é❡✮✳ P♦✉r n = 5✱ ❧❡ s②stè♠❡ ❞é❢♦r♠é ✭✶✳✺✮ ❞❡✈✐❡♥t ˙x1 = x1(x2+ x3− x4− x5) + ε1, ˙x2 = x2(x3+ x4− x5− x1) + ε2, ˙x3 = x3(x4+ x5− x1− x2) + ε3, ˙x4 = x4(x5+ x1− x2− x3) + ε4, ˙x5 = x5(x1+ x2− x3− x4) + ε5, ♦ù ♦♥ r❛♣♣❡❧❧❡ q✉❡ ❧❛ s♦♠♠❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ εi ❡st ③ér♦✳ ❈❡❝✐ ♣❡r♠❡t ❞✬✐♥tr♦❞✉✐r❡ ❞❡ ♥♦✉✈❡❛✉① ♣❛r❛♠ètr❡s q✉✐ ❛ ❧❡✉r t♦✉r ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞❡ ❞é♠♦♥tr❡r q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡ ❞é❢♦r♠é✱ q✉✐ ♥✬❡st ♣❧✉s ✉♥ s②stè♠❡ ❞❡ ▲♦t❦❛✲❱♦❧t❡rr❛✱ ❡st t♦✉❥♦✉rs ✉♥ s②stè♠❡ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥✳ ❈❡s ♣❛r❛♠ètr❡s s♦♥t ❞é✜♥✐s ✭à ✉♥❡ ❝♦♥st❛♥t❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ♣rès✮ ♣❛r εi = βi,i+2− βi−2,i, ♣♦✉r i = 1, . . . , 5 , ❡t ❧❛ str✉❝t✉r❡ ❞❡ P♦✐ss♦♥ ❞é❢♦r♠é❡ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡ P♦✐ss♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ 0 x1x2 x1x3+ β1,3 −x1x4 − β4,1 −x1x5 −x2x1 0 x2x3 x2x4+ β2,4 −x2x5− β5,2 −x3x1− β1,3 −x3x2 0 x3x4 x3x5 + β3,5 x4x1+ β4,1 −x4x2− β2,4 −x4x3 0 x4x5 x5x1 x5x2+ β5,2 −x5x3− β3,5 −x5x4 0 . ▲❡ s②stè♠❡ ❞é❢♦r♠é ❛❞♠❡t ❧❡s tr♦✐s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s s✉✐✈❛♥t❡s ✿ H1 = 5 X i=1 xi, H2 = 5 X i=1 xi−2xixi+2+ 5 X i=1 (βi+1,i−2+ βi+2,i−1) xi, H3 = 5 Y i=1 xi+ 5 X i=1
βi−1,i+1xi−2xixi+2+ 5 X i=1 βi+1,i−2βi+2,i−1xi. ❊❧❧❡s s♦♥t ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡s ❡t ❡♥ ✐♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❀ ♣✉✐sq✉❡ ❧❛ str✉❝t✉r❡ ❞❡ P♦✐ss♦♥ ❡st ❞❡ r❛♥❣ ✹✱ ❡❧❧❡s s♦♥t ❡♥ ❜♦♥ ♥♦♠❜r❡ ♣♦✉r ❛ss✉r❡r ❧✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❛✉ s❡♥s ❞❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ❞✉ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ à 5 ♣❛rt✐❝✉❧❡s✳ ▲❛ q✉❡st✐♦♥ ❛❜♦r❞é❡ ❞❛♥s ❝❡tt❡ t❤ès❡ ❡st ❞♦♥❝ ❧✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞❡ ❝❡ s②stè♠❡✱ ❡t ❝❡❝✐ ♣♦✉r t♦✉t❡s ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ✭♣❛s s❡✉❧❡♠❡♥t ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❣é♥ér✐q✉❡s✮ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥✳
✼
▲❡ t❤é♦rè♠❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡t q✉❡❧q✉❡s é❧é♠❡♥ts ❞❡ ❧❛ ♣r❡✉✈❡
▲❡ ❝÷✉r ❞✉ ♣rés❡♥t ♠❛♥✉s❝r✐t rés✐❞❡ ❞❛♥s ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ❞❡ ❧✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞✉ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ❞é❢♦r♠é à 5 ♣❛rt✐❝✉❧❡s✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❞♦♥❝ ❧✬✐♥t❡♥t✐♦♥ ❞❡ ♠♦♥tr❡r q✉❡ ❧❛ ✜❜r❡ ❣é♥ér✐q✉❡ ❞❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠♦♠❡♥t ❞❡ ❝❡ s②stè♠❡ ✲ q✉✐ s❡ ❝♦♥str✉✐t ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s H1✱ H2 ❡t H3 ✲ ❡st ✉♥ ♦✉✈❡rt ❞✬✉♥ t♦r❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ s✉r ❧❡q✉❡❧ ❧❡ ✢♦t ❞❡s ❝❤❛♠♣s ✐♥té❣r❛❜❧❡s ❡st ❧✐♥é❛✐r❡✳ ❆✉tr❡♠❡♥t ❞✐t✱ ♥♦✉s s♦✉❤❛✐t♦♥s ♠♦♥tr❡r q✉❡ ♣♦✉r ✉♥❡ ✈❛❧❡✉r ❣é♥ér✐q✉❡ ❞❡ κ = (κ1, κ2, κ3) ∈ C3✱ ❧❛ ✜❜r❡ ❣é♥ér✐q✉❡ Hκ := H−1({κ}) = 3 \ i=1 {x ∈ C5| H i(x) = κi} ❞❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠♦♠❡♥t ❞✉ s②stè♠❡ ❡st ✐s♦♠♦r♣❤❡ à ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❛✣♥❡ ❞✬✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❛❜é❧✐❡♥♥❡ T2 κ✱ ❡t q✉❡ ❧❡s ❝❤❛♠♣s ❞❡ ✈❡❝t❡✉rs ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥s XH1✱ XH2 ❡t XH3 s♦♥t ❝♦♥st❛♥ts s✉r ❝❡ t♦r❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡✳ P♦✉r ❝❡ ❢❛✐r❡✱ ♥♦✉s ✉t✐❧✐s♦♥s ❝❡ q✉❡ ❧✬♦♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❧✬❛♥❛❧②s❡ ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é ❞✉ s②stè♠❡ ❡♥ q✉❡st✐♦♥✳ ❖♥ ♠♦♥tr❡ q✉❡ ❧❡ ❝❤❛♠♣ ❞❡ ✈❡❝t❡✉rs XH1 ❛❞♠❡t ❝✐♥q ❢❛♠✐❧❧❡s ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ ▲❛✉r❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡s ❞é♣❡♥❞❛♥t ❞❡ q✉❛tr❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ❧✐❜r❡s ✭❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❞❡s ❜❛❧❛♥❝❡s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡s✮ ❡t ❞✐① ❛✉tr❡s ❢❛♠✐❧❧❡s ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ ▲❛✉r❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡s ❞é♣❡♥❞❛♥t ❞❡ tr♦✐s ♣❛r❛♠ètr❡s ❧✐❜r❡s ✭❧❡s ❜❛❧❛♥❝❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s✮✳ ❯♥❡ ❞❡s ❜❛❧❛♥❝❡s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡s ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ✿ x1(t) = a + a2− 2ac + ε1t + O t2,x2(t) = −ε2t + (−2a3 + 3a2b + 6a2c − ab2− 4ac2− 4abc − 2d)
− (2ε1− 2ε2+ ε3) a + (ε1 − ε2) b + (2ε1− ε2) c) t2 + O t3, x3(t) = b + b2− 2ab + 2bc + ε3 t + O t2, x4(t) = 1 t + c + 1 3 4ab − 2b 2+ c2− 4bc+ 1 3(2ε2− 2ε3+ ε4) t + O t2, x5(t) = − 1 t + (b + c − a) + 1 3 −3a 2− b2 − c2+ 2ab + 6ac − 2bc −1 3(2ε1− 2ε2− ε5) t + dt2+ O t3. ❯♥❡ ❢♦✐s ❧❡s ❜❛❧❛♥❝❡s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡s ❞ét❡r♠✐♥é❡s✱ ♥♦✉s ♣r♦❝é❞♦♥s à ❧❛ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❞✬✉♥ ✓ ❜♦♥ ✔ ♣❧♦♥❣❡♠❡♥t ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t❡ ❛✣♥❡ Hκ ❞❛♥s ❧✬❡s♣❛❝❡ ♣r♦❥❡❝t✐❢ P24 ✿ ✐❧ ❡st ❝♦♥str✉✐t ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ✉♥❡ ❜❛s❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ♣♦❧②♥ô♠✐❛❧❡s ❤♦♠♦❣è♥❡s ❛②❛♥t ❛✉ ♣✐r❡ ✉♥ ♣ô❧❡ s✐♠♣❧❡ ❧♦rsq✉❡ ❧✬♦♥ ② s✉❜st✐t✉❡ ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧❧❡ ❜❛❧❛♥❝❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡✳ ◆♦✉s ✈ér✐✜♦♥s ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❞✬❛❞❥♦♥❝t✐♦♥ ♣♦✉r ❧❡ ♣❧♦♥❣❡♠❡♥t ❞♦♥♥é✱ ♥♦✉s r❛ss✉r❛♥t q✉❡ ❧❡ ♣❧♦♥❣❡♠❡♥t ❞♦✐t êtr❡ ✓ ❜♦♥ ✔ ❡t ♥♦✉s ❞ét❡r♠✐♥♦♥s ❧✬✐♠❛❣❡ ❞❡s ❝✐♥q ❝♦✉r❜❡s ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é ❛❜str❛✐t❡s ❞❛♥s P24✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡✉rs s✐♥❣✉❧❛r✐tés✳ ◆♦✉s ♠♦♥tr♦♥s q✉❡ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡
✽ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ ♥✉❧s ❡st✱ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ s✉r♣r❡♥❛♥t❡✱ é❣❛❧ ❛✉ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣♦✐♥ts ❞❡ t❛♥❣❡♥❝❡ ❞❛♥s ❧❛ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❣é♦♠étr✐q✉❡ ❞❡s ❝♦✉r❜❡s ♣❧♦♥❣é❡s✳ ◆♦✉s ✈ér✐✜♦♥s ❡♥s✉✐t❡ q✉❡ t♦✉t ♣♦✐♥t ♣❛rt❛♥t ❞❡ D(i) κ ❡st ❡♥✈♦②é ✐♠♠❡❞✐❛t❡♠❡♥t ♣❛r ❧❡ ✢♦t ❞✉ ❝❤❛♠♣ ❞❡ ✈❡❝t❡✉rs XH1 ❞❛♥s ❧❛ ♣❛rt✐❡ ❛✣♥❡ Hκ✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❡♥✜♥ ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❆r♥♦❧❞✲▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ✭❚❤é♦rè♠❡ ✭✷✳✸✳✼✮✮ ♦♥ ♠♦♥tr❡ q✉❡ ♣♦✉r κ ❣é♥ér✐q✉❡✱ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t❡ ❛✣♥❡ Hκ s❡ ❝♦♠♣❧èt❡ ❡♥ ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❛❜é❧✐❡♥♥❡✳ ▲❡ ♣❧♦♥❣❡♠❡♥t q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝♦♥str✉✐t ❡st ❞♦♥❝ ❜✐❡♥ ✉♥ ♣❧♦♥❣❡♠❡♥t ❞✬✉♥ t♦r❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡✱ q✉✐ ❡st ♦❜t❡♥✉ ❡♥ ❛❥♦✉t❛♥t à ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❛✣♥❡ Hκ ❧❡ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é ❞é❝r✐t ❝✐✲❞❡ss✉s✱ ❝♦♥st✐t✉é ❞❡ ❝✐♥q ❝♦✉r❜❡s ❞❡ ❣❡♥r❡ 2✱ q✉✐ s❡ r❡♥❝♦♥tr❡♥t s❡❧♦♥ ✉♥ ♠♦❞è❧❡ q✉✐ ❞é♣❡♥❞❡♥t ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥✳ Pré❝✐sé♠❡♥t✱ ♥♦✉s ❞é♠♦♥tr♦♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t ✭✈♦✐r ❧❡s t❤é♦rè♠❡s ✭✹✳✽✳✶✮ ❡t ✭✹✳✾✳✼✮✮ ✿ ❚❤é♦rè♠❡✳ ▲❡ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ❞é❢♦r♠é à ✺ ♣❛rt✐❝✉❧❡s ❡st ❛❧❣é❜r✐q✉❡✲ ♠❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡ ♣♦✉r t♦✉t❡s ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥✳ P♦✉r κ = (κ1, κ2, κ3) ∈ C3 ❣é♥ér✐q✉❡✱ ❧❛ ✜❜r❡ Hκ ❞❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♠♦♠❡♥t ❡st ✐s♦♠♦r♣❤❡ à ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❛✣♥❡ ❞❡ ❧❛ ❥❛❝♦❜✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ Γκ✱ ♦ù Γκ ❡st ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❛✣♥❡ ❧✐ss❡ ❞❡ ❣❡♥r❡ ❞❡✉①✱ ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ❧✬éq✉❛t✐♦♥ F (a, b) :=a3b2+ a2b3− κ1a2b2+ p2,1(β, κ) a2b + p1,2(β, κ) ab2+ p1,1(β, κ) ab + p1,0(β, κ) a + p0,1(β, κ) b + p0,0(β, κ) = 0, ♦ù ❧❡s pi,j s♦♥t ❞❡s ♣♦❧②♥ô♠❡s ❡♥ ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ β = (β1,3, β2,4, β3,5, β4,1, β5,2) ❡t ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❣é♥ér✐q✉❡ κ = (κ1, κ2, κ3)✳ ▲❡ ❞✐✈✐s❡✉r à ❛❥♦✉t❡r ♣♦✉r ❝♦♠♣❧ét❡r ❧❛ ♣❛rt✐❡ ❛✣♥❡ ❡♥ ✉♥❡ ✈❛r✐été ❛❜é❧✐❡♥♥❡ ❝♦♥s✐st❡ ❞❡ ❝✐♥q ❝♦♣✐❡s ❞❡ Γκ q✉✐ ❢♦r♠❡♥t ✉♥❡ ❞❡s s❡♣t ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s✱ ❞é♣❡♥❞❛♥t ❞✉ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ q✉✐ s♦♥t ♥✉❧s ❡t ❧❡✉r ❝♦♥t✐❣✉✐té✳ ❚♦✉s ❧❡s εi s♦♥t ♥♦♥ ♥✉❧s ✿ (·, ·, ·, ·, ·) D(1)κ D(2)κ Dκ(3) D(4)κ D(5)κ P1 P 2 P3 P4 P5 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 P5 Q5 P2 Q2
✾ ❯♥ εi ♥✉❧ ✿ (0, ·, ·, ·, ·) D(5)κ Dκ(1) D(2)κ Dκ(3) D(4)κ P5 P1 P2 P3 P4 Q1 Q2 Q3 Q4 P4 Q4 P1 Q1 ❉❡✉① εi ♥✉❧s ❡t ❝♦♥t✐❣✉s ✿ (0, 0, ·, ·, ·) D(3) κ D(4)κ D(5) κ D(1)κ D(2) κ P3 P5 P4 P1 P2 Q3 Q4 Q2 P2 Q2 P4 Q4 ❉❡✉① εi ♥✉❧s ❡t ♥♦♥ ❝♦♥t✐❣✉s ✿ (0, ·, 0, ·, ·) D(5)κ D(1)κ D(2)κ D(3)κ D(4)κ P5 P2 P1 P3 P4 Q3 Q1 Q4 P4 Q4 P1 Q1 ❉❡✉① εi ♥♦♥ ♥✉❧s ❡t ❝♦♥t✐❣✉s ✿ (·, ·, 0, 0, 0) D(3) κ D(4)κ D(5) κ D(1)κ D(2) κ P3 P2 P5 P4 P1 Q5 Q1 P2 P4 ❉❡✉① εi ♥♦♥ ♥✉❧s ❡t ♥♦♥ ❝♦♥t✐❣✉s ✿ (·, 0, ·, 0, 0) D(1)κ D(2)κ D(3)κ D(4)κ D(5)κ P1 P2 P3 P4 P5 Q5 Q2 P2 Q2 P5 Q5
✶✵ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❚♦✉s ❧❡s εi s♦♥t ♥✉❧s ✿ (0, 0, 0, 0, 0) D(1)κ D(2)κ D(3)κ Dκ(4) D(5)κ P1 P2 P3 P4 P5 P2 P5 ❈❡s ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ♣❡✉✈❡♥t é❣❛❧❡♠❡♥t êtr❡ r❡♣rés❡♥té❡s ♣❛r ❧❡ ❣r❛♣❤❡ s✉✐✈❛♥t ✿ (·, ·, ·, ·, ·) (0, ·, ·, ·, ·) (0, 0, ·, ·, ·) (0, ·, 0, ·, ·) (·, ·, 0, 0, 0) (·, 0, ·, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0)
❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❡t ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s
▲❡ ❢❛✐t q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ❞é❢♦r♠é à ✺ ♣❛rt✐❝✉❧❡s s♦✐t ❛❧❣é❜r✐q✉❡✲ ♠❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡ s✉s❝✐t❡ ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ q✉❡st✐♦♥s ❡t ♦✉✈r❡ q✉❡❧q✉❡s ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s ♣♦✉r ❞❡s r❡❝❤❡r❝❤❡s ❢✉t✉r❡s✳ ❱♦✐❝✐ ✉♥❡ ❧✐st❡ ♥♦♥ ❡①❤❛✉st✐✈❡ ✿ ✭✶✮ ▲❡ rés✉❧t❛t✱ ♠❛✐s ♣❛s ❧❛ ♣r❡✉✈❡✱ ❞♦✐t s❡ ❣é♥ér❛❧✐s❡r à ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❛r❜✐tr❛✐r❡ ❞❡ ♣❛rt✐❝✉❧❡s✳ ❯♥ ❜♦♥ ✐♥❞✐❝❛t❡✉r ❡st q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡ ♥♦♥ ❞é❢♦r♠é ❡st étr♦✐t❡♠❡♥t ❧✐é ❛✉ s②stè♠❡ ❞❡ ❑❛❝✲✈❛♥ ▼♦❡r❜❡❦❡ ♣ér✐♦❞✐q✉❡ ✭♥♦♥ ❞é❢♦r♠é✮✱ ❞♦♥t ♦♥ s❛✐t q✉✬✐❧ ❡st ❛❧❣é❜r✐q✉❡♠❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡ ❬✾❪✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❧❛ t❡❝❤♥✐q✉❡ ✉t✐❧✐sé❡ ❞❛♥s ❬✾❪ ❞♦✐t s✬❛❞❛♣t❡r✶✶ ❛✉ ❝❛s ♣rés❡♥t✱ ❜✐❡♥ q✉❡ ❧❛ ♣rés❡♥❝❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ r✐sq✉❡ ❞❡ r❡♥❞r❡ ❝❡ ❝❛s ♣❧✉s ❝♦♠♣❧✐q✉é à tr❛✐t❡r✳ ✭✷✮ ❙❡❧♦♥ ✉♥❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✱ ❞✬❛❜♦r❞ ❢♦r♠✉❧é❡ ❞❛♥s ❬✶❪✱ ❧❡s ❝♦♠♣♦s❛♥t❡s ❝♦♥♥❡①❡s ❞❡s ✜❜r❡s ♥♦♥ ❣é♥ér✐q✉❡s ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡♠❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡ s♦♥t t♦✉t❡s ❞❡s ♦✉✲ ✈❡rts ❞✬✉♥ ❣r♦✉♣❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ✭❝♦♠♣❧❡①❡✮✱ s✉r ❧❡q✉❡❧ ❧❡ ✢♦t ❞❡s ❝❤❛♠♣s ✐♥té❣r❛❜❧❡s ❡st t♦✉❥♦✉rs ❧✐♥é❛✐r❡ ✭✐♥✈❛r✐❛♥t ♣❛r tr❛♥s❧❛t✐♦♥s✮✳ ▲❡s t❡❝❤♥✐q✉❡s ❞❡ ❧✐♥é❛r✐s❛t✐♦♥✱ ❞é✈❡❧♦♣♣é❡s ❞❛♥s ❬✷✶❪✱ ❞♦✐✈❡♥t ♣❡r♠❡ttr❡ ❞❡ ♣❛r❛♠étr✐s❡r ❧❡s ✜❜r❡s ♥♦♥ ❣é♥ér✐q✉❡s ❡♥ t❡r♠❡s ❞❡ ❞✐✈✐s❡✉rs s✉r ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ à ♣r✐♦r✐ s✐♥❣✉❧✐èr❡✱ ❝♦♠♠❡ ❝❡❧❛ ❛ été ❢❛✐t ❞❛♥s ❧❛ t❤ès❡ ❬✶✵❪✳ ❈❡❝✐ ✈❛❧✐❞❡r❛✐t ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ♣♦✉r ❧❡ ❝❛s ❞❡s s②stè♠❡s ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ❞é❢♦r♠és✳ ✭✸✮ ■❧ ② ❛ ré❝❡♠♠❡♥t ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞✬✐♥térêt ♣♦✉r ❧❡s ❞✐s❝rét✐s❛t✐♦♥s ✐♥té❣r❛❜❧❡s ❞❡s s②s✲ tè♠❡s ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥s ❬✼✱ ✶✺✱ ✶✾❪✳ ❯♥❡ ♠ét❤♦❞❡ ❣é♥ér❛❧❡✱ ❞✐t❡ ❞❡ ❑❛❤❛♥✱ q✉✐ s✬❛♣✲ ♣❧✐q✉❡ ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ❛✉① s②stè♠❡s q✉❛❞r❛t✐q✉❡s ✭♠❛✐s ❞♦♥❝ à t♦✉s ❧❡s s②stè♠❡s ❞❡ ▲♦t❦❛✲❱♦❧t❡rr❛✱ ② ❝♦♠♣r✐s ❧❡✉rs ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥s✮ ♣r♦❞✉✐t ❞❛♥s ♣❧✉s✐❡✉rs ❝❛s ✐♥tér❡s✲ s❛♥ts ✉♥❡ ❞✐s❝rét✐s❛t✐♦♥s ✐♥té❣r❛❜❧❡ ❀ ♣❛r❢♦✐s ❝❡ s♦♥t ❧❡s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s ❞✉ s②stè♠❡ ❝♦♥t✐♥✉ q✉✐ s♦♥t ❞❡s ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❞✉ s②stè♠❡ ❞✐s❝r❡t ❀ ♣❛r❢♦✐s ❧❡s ✐♥té❣r❛❧❡s ♣r❡♠✐èr❡s✱ ❡t ♠ê♠❡ ❧❛ str✉❝t✉r❡ ❞❡ P♦✐ss♦♥✱ ❞♦✐✈❡♥t êtr❡ ❞é❢♦r♠é❡s ♣♦✉r ❛❜♦✉t✐r à ❧✬✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❞✉ s②stè♠❡ ❞✐s❝r❡t✳ ▲❛ q✉❡st✐♦♥ s❡ ♣♦s❡ ❛❧♦rs ❛✉ss✐ s✐ ❧❡ s②stè♠❡ ❞✐s❝r❡t ❡st ✭r❡st❡✮ ❛❧❣é❜r✐q✉❡♠❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡✳ ✭✹✮ ▲❡ s②stè♠❡ ❞❡ ❑❛❝✲✈❛♥ ▼♦❡r❜❡❦❡ ✭♣ér✐♦❞✐q✉❡ ♦✉ ♥♦♥✮ s✬♦❜t✐❡♥t ♣❛r ✉♥❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ P♦✐ss♦♥✲❉✐r❛❝ ❞✉ rés❡❛✉ ❞❡ ❚♦❞❛ ❝❧❛ss✐q✉❡ ✭♣ér✐♦❞✐q✉❡ ♦✉ ♥♦♥✮✳ ■❧ ❡st ♥❛t✉r❡❧ ❞❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡r q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ♥♦♥ ❞é❢♦r♠é s✬♦❜t✐❡♥t ♣❛r ✉♥❡ ré❞✉❝t✐♦♥ s✐♠✐❧❛✐r❡ à ♣❛rt✐r ❞❡ ❋✉❧❧ ❚♦❞❛ ❬✻❪✳ ❖♥ ♣❡✉t ❛❧♦rs ❡s♣ér❡r q✉❡ ❧❡s ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥s ♣✉✐ss❡♥t êtr❡ r❡♠♦♥té❡s ❛✉ s②stè♠❡ ❞❡ ❋✉❧❧ ❚♦❞❛✱ ❞❡ s♦rt❡ q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡ ❞❡ ❇♦❣♦②❛✈❧❡♥s❦✐❥✲■t♦❤ ❞é❢♦r♠é s✬♦❜t✐❡♥♥❡ ❛✉ss✐ ♣❛r ré❞✉❝t✐♦♥ à ♣❛rt✐r ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ✐♥té❣r❛❜❧❡ ❞✉ t②♣❡ ❚♦❞❛✳
