Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance mathématique

(1)

HAL Id: tel-00122883

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Submitted on 5 Jan 2007

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Contrôle stochastique et méthodes numériques en

finance mathématique

Romuald Elie

To cite this version:

Romuald Elie. Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance mathématique.

Mathéma-tiques [math]. ENSAE ParisTech, 2006. Français. �tel-00122883�

(2)

Contrôle optimal stochastique

et méthodes numériques

en finance mathématique

Romuald ELIE

(3)

Plan

Méthodes numériques probabilistes

(4)

Plan

Méthodes numériques probabilistes

Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux

(5)

Plan

Méthodes numériques probabilistes

Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux

Résolution d’EDSPR découplée avec sauts

(6)

Plan

Méthodes numériques probabilistes

Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux

Résolution d’EDSPR découplée avec sauts

Gestion de portefeuille et contrainte drawdown

(7)

Plan

Méthodes numériques probabilistes

Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux

Résolution d’EDSPR découplée avec sauts

Gestion de portefeuille et contrainte drawdown

Solution explicite en horizon infini

(8)

Plan

Méthodes numériques probabilistes

Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux

Résolution d’EDSPR découplée avec sauts

Gestion de portefeuille et contrainte drawdown

Solution explicite en horizon infini

(9)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

(10)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

Option de payoff actualisé

φ

(Z

_λ

0 )

(11)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

Option de payoff actualisé

φ

(Z

_λ

0 )

(12)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

Option de payoff actualisé

φ

(Z

_λ

0 )

Prix:

P (λ

0 _{) := E [φ (Z}

_λ

0 )]

Sensibilité:

β

0 :=

∇

_λ

E [φ (Z

_λ

0 )]

(13)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

Option de payoff actualisé

φ

(Z

_λ

0 )

Prix:

P (λ

0 _{) := E [φ (Z}

_λ

0 )]

Sensibilité:

β

0 :=

∇

_λ

E [φ (Z

_λ

0 )]

Comment calculer

β

₀

?

[LP94]

(14)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

Option de payoff actualisé

φ

(Z

_λ

0 )

Prix:

P (λ

0 _{) := E [φ (Z}

_λ

0 )]

Sensibilité:

β

0 :=

∇

_λ

E [φ (Z

_λ

0 )]

Comment calculer

β

₀

?

[LP94]

Différences finies

β

₀

_∼

1 _ǫ

P (λ

0 + ǫ)

_{− P (λ}

0 )

[BG96]

Pathwise

β

₀

_{= E[φ}

′

(Z

_λ

0 )

∇

_λ

Z

_λ

0 ]

(15)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

Option de payoff actualisé

φ

(Z

_λ

0 )

Prix:

P (λ

0 _{) := E [φ (Z}

_λ

0 )]

Sensibilité:

β

0 :=

∇

_λ

E [φ (Z

_λ

0 )]

Comment calculer

β

₀

?

[LP94]

Différences finies

β

₀

_∼

1 _ǫ

P (λ

0 + ǫ)

_{− P (λ}

0 )

[BG96]

Pathwise

β

₀

_{= E[φ}

′

(Z

_λ

0 )

∇

_λ

Z

_λ

0 ]

[BGP6]

Vraisemblance

β

₀

_{= E}

h

φ(Z

_λ

0 )

∇

λ

f

(λ

0 , Z

λ

0 )

i

(16)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

Option de payoff actualisé

φ

(Z

_λ

0 )

Prix:

P (λ

0 _{) := E [φ (Z}

_λ

0 )]

Sensibilité:

β

0 :=

∇

_λ

E [φ (Z

_λ

0 )]

Comment calculer

β

₀

?

[LP94]

Différences finies

β

₀

_∼

1 _ǫ

P (λ

0 + ǫ)

_{− P (λ}

0 )

[BG96]

Pathwise

β

₀

_{= E[φ}

′

(Z

_λ

0 )

∇

_λ

Z

_λ

0 ]

[BGP6]

Vraisemblance

β

₀

_{= E}

h

φ(Z

_λ

0 )

∇

λ

f

(λ

0 , Z

λ

0 )

i

(17)

Problème

&

Littérature

Z

_λ

v. a. de densité

f (λ, .)

dépendant d’un paramètre

λ

_{∈ R}

d

.

Option de payoff actualisé

φ

(Z

_λ

0 )

Prix:

P (λ

0 _{) := E [φ (Z}

_λ

0 )]

Sensibilité:

β

0 :=

∇

_λ

E [φ (Z

_λ

0 )]

Comment calculer

β

₀

?

[LP94]

Différences finies

β

₀

_∼

1 _ǫ

P (λ

0 + ǫ)

_{− P (λ}

0 )

[BG96]

Pathwise

β

₀

_{= E[φ}

′

(Z

_λ

0 )

∇

_λ

Z

_λ

0 ]

[BGP6]

Vraisemblance

β

₀

_{= E}

h

φ(Z

_λ

0 )

∇

λ

f

(λ

0 , Z

λ

0 )

i

[FLLLT99]

Malliavin

β

0 = E [φ(Z

_λ

0 )

π

]

(18)

Paramètre aléatoire

Prix

Sensibilité

β

0 E [φ (Z

λ

0 )]

E

h

φ(Z

_λ

0 )

∇

λ

f

(λ

0 , Z

λ

0 )

i

(19)

Paramètre aléatoire

Prix

Sensibilité

β

0 E [φ (Z

λ

0 )]

E

h

φ(Z

_λ

0 )

∇

λ

f

(λ

0 , Z

λ

0 )

i

v.a.

Λ

de densité

ℓ

donnée

et

Z

_Λ

tq

Z

_Λ

_{| Λ}

de densité

f

E

φ(Z

Λ

)

| Λ = λ

0 E

h

φ(Z

_Λ

)

∇

λ

f

(Λ, Z

Λ

)

| Λ = λ

0 i

(20)

Paramètre aléatoire

Prix

Sensibilité

β

0 E [φ (Z

λ

0 )]

E

h

φ(Z

_λ

0 )

∇

λ

f

(λ

0 , Z

λ

0 )

i

v.a.

Λ

de densité

ℓ

donnée

et

Z

_Λ

tq

Z

_Λ

_{| Λ}

de densité

f

E

φ(Z

Λ

)

| Λ = λ

0 E

h

φ(Z

_Λ

)

∇

λ

f

(Λ, Z

Λ

)

| Λ = λ

0 i

Simulation de

N

réalisations i.i.d. de

(Λ, Z

_Λ

)

Estimation non paramétrique: Noyau

K

, fenêtre

h

(21)

Estimateurs

Prix

Sensibilité

β

0 h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)K

λ

0 ₋

_Λ

i

h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)

∇

_λ

f

(Λ

i

, Z

i

)

K

λ

0 −

Λ

i

h

(22)

Estimateurs

Prix

Sensibilité

β

0 h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)K

λ

0 ₋

_Λ

i

h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)

∇

_λ

f

(Λ

i

, Z

i

)

K

λ

0 −

Λ

i

h

Trois estimateurs non paramétriques

On estime

∇

λ

f

(23)

Estimateurs

Prix

Sensibilité

β

0 h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)K

λ

0 ₋

_Λ

i

h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)

∇

_λ

f

(Λ

i

, Z

i

)

K

λ

0 −

Λ

i

h

Trois estimateurs non paramétriques

On estime

∇

λ

f

à l’aide d’un estimateur à noyau de

f

On laisse

N

_{→ ∞}

à

h

fixe

_→

_E

h

φ(Z)

∇

λ

f

(Λ, Z)K

λ

0 −

_Λ

h

i

(24)

Estimateurs

Prix

Sensibilité

β

0 h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)K

λ

0 ₋

_Λ

i

h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)

∇

_λ

f

(Λ

i

, Z

i

)

K

λ

0 −

Λ

i

h

Trois estimateurs non paramétriques

On estime

∇

λ

f

à l’aide d’un estimateur à noyau de

f

On laisse

N

_{→ ∞}

à

h

fixe

_→

_E

h

φ(Z)

∇

λ

f

(Λ, Z)K

λ

0 −

_Λ

h

i

Par une intégration par parties, ce terme est la limite de

ˆ

β

N

:=

h

−d−1

ℓ(λ

0 _)N

N

X

i=1

φ(Z

i

)

∇K

λ

0 − Λ

i

h

− hK

λ

0 − Λ

i

h

∇ℓ

ℓ

(Λ

i

)

(25)

Estimateurs

Prix

Sensibilité

β

0 h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)K

λ

0 ₋

_Λ

i

h

−d

N ℓ(λ

0 ₎

P

N

i=1

φ(Z

i

)

∇

_λ

f

(Λ

i

, Z

i

)

K

λ

0 −

Λ

i

h

Trois estimateurs non paramétriques

On estime

∇

λ

f

à l’aide d’un estimateur à noyau de

f

On laisse

N

_{→ ∞}

à

h

fixe

_→

_E

h

φ(Z)

∇

λ

f

(Λ, Z)K

λ

0 −

_Λ

h

i

Par une intégration par parties, ce terme est la limite de

ˆ

β

N

:=

h

−d−1

ℓ(λ

0 _)N

N

X

i=1

φ(Z

i

)

∇K

λ

0 − Λ

i

h

− hK

λ

0 − Λ

i

h

∇ℓ

ℓ

(Λ

i

)

(26)

Convergence

ˆ

β

N

:=

h

−d−1

ℓ(λ

0 _)N

N

X

i=1

φ(Z

i

)

∇K

λ

0 − Λ

i

h

− hK

λ

0 − Λ

i

h

∇ℓ

ℓ

(Λ

i

)

Hypothèse:

Régularité de

ℓ

et

f

et

N h

d+2

_{→ 0}







Biais

_{∼ Ch}

p

Variance

_∼

_{N h}

Σ1

_d+2

√

N h

d+2

ˆ

β

_N

_{− β}

0 _−→

loi

N →∞

N (0, Σ)

(27)

Convergence

ˆ

β

N

:=

h

−d−1

ℓ(λ

0 _)N

N

X

i=1

φ(Z

i

)

∇K

λ

0 − Λ

i

h

− hK

λ

0 − Λ

i

h

∇ℓ

ℓ

(Λ

i

)

Hypothèse:

Régularité de

ℓ

et

f

et

N h

d+2

_{→ 0}







Biais

_{∼ Ch}

p

Variance

_∼

_{N h}

Σ1

_d+2

√

N h

d+2

ˆ

β

_N

_{− β}

0 _−→

loi

N →∞

N (0, Σ)

• Equilibre

N

et

h

⇒

h

∗

∼ CN

−

⇒

Vitesse en

N

d+2p+2

p

1 d+2p+2

(28)

Convergence

ˆ

β

N

:=

h

−d−1

ℓ(λ

0 _)N

N

X

i=1

φ(Z

i

)

∇K

λ

0 − Λ

i

h

− hK

λ

0 − Λ

i

h

∇ℓ

ℓ

(Λ

i

)

Hypothèse:

Régularité de

ℓ

et

f

et

N h

d+2

_{→ 0}







Biais

_{∼ Ch}

p

Variance

_∼

_{N h}

Σ1

_d+2

√

N h

d+2

ˆ

β

_N

_{− β}

0 _−→

loi

N →∞

N (0, Σ)

• Equilibre

N

et

h

⇒

h

∗

∼ CN

−

⇒

Vitesse en

N

d+2p+2

p

1 d+2p+2

(29)

Convergence

ˆ

β

N

:=

h

−d−1

ℓ(λ

0 _)N

N

X

i=1

φ(Z

i

)

∇K

λ

0 − Λ

i

h

− hK

λ

0 − Λ

i

h

∇ℓ

ℓ

(Λ

i

)

Hypothèse:

Régularité de

ℓ

et

f

et

N h

d+2

_{→ 0}







Biais

_{∼ Ch}

p

Variance

_∼

_{N h}

Σ1

_d+2

√

N h

d+2

ˆ

β

_N

_{− β}

0 _−→

loi

N →∞

N (0, Σ)

• Equilibre

N

et

h

⇒

h

∗

∼ CN

−

⇒

Vitesse en

N

d+2p+2

p

1 d+2p+2

• Densité

ℓ

de largeur

h

⇒

Vitesse en

N

2 p+2

p

(30)

Convergence

ˆ

β

N

:=

h

−d−1

ℓ(λ

0 _)N

N

X

i=1

φ(Z

i

)

∇K

λ

0 − Λ

i

h

− hK

λ

0 − Λ

i

h

∇ℓ

ℓ

(Λ

i

)

Hypothèse:

Régularité de

ℓ

et

f

et

N h

d+2

_{→ 0}







Biais

_{∼ Ch}

p

Variance

_∼

_{N h}

Σ1

_d+2

√

N h

d+2

ˆ

β

_N

_{− β}

0 _−→

loi

N →∞

N (0, Σ)

• Equilibre

N

et

h

⇒

h

∗

∼ CN

−

⇒

Vitesse en

N

d+2p+2

p

1 d+2p+2

• Densité

ℓ

de largeur

h

⇒

Vitesse en

N

2 p+2

p

(31)

Call Digital Asiatique,

N=1 Million

0,0277

0,0282

0,0287

0,0292

0,0297

(32)

Call Digital Européen,

N=1 Milliard

0,016525

0,016529

0,016533

0,016537

0,016541

(33)

Plan

Méthodes numériques probabilistes

Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux

Résolution d’EDSPR découplée avec sauts

Gestion de portefeuille et contrainte drawdown

Solution explicite en horizon infini

(34)

Problème et littérature







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

avec

Γ

_s

:=

R

_E

U

_s

(e)γ(e)λ(de)

Hypothèses

W

MB et

µ

¯

mes. de Poisson indépendante compensée par

(35)

Problème et littérature







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

avec

Γ

_s

:=

R

_E

U

_s

(e)γ(e)λ(de)

Hypothèses

W

MB et

µ

¯

mes. de Poisson indépendante compensée par

ν(de, dt) = λ(de)dt

, avec

λ(E) <

_∞

(36)

Problème et littérature







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

avec

Γ

_s

:=

R

_E

U

_s

(e)γ(e)λ(de)

Hypothèses

W

MB et

µ

¯

mes. de Poisson indépendante compensée par

ν(de, dt) = λ(de)dt

, avec

λ(E) <

_∞

Tous les coefficients sont Lipschitz et

γ

est bornée

Littérature

(37)

Problème et littérature







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

avec

Γ

_s

:=

R

_E

U

_s

(e)γ(e)λ(de)

Hypothèses

W

MB et

µ

¯

mes. de Poisson indépendante compensée par

ν(de, dt) = λ(de)dt

, avec

λ(E) <

_∞

Tous les coefficients sont Lipschitz et

γ

est bornée

Littérature

Existence, unicité et lien avec EID

[TL94] [BBP97]

(38)

Algorithme







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

avec

Γ

_s

:=

R

_E

U

_s

(e)γ(e)λ(de)

(39)

Algorithme







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

avec

Γ

_s

:=

R

_E

U

_s

(e)γ(e)λ(de)

Approximation

Progressive

X

π

de

X

(40)

Algorithme







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

avec

Γ

_s

:=

R

_E

U

_s

(e)γ(e)λ(de)

Approximation

Progressive

X

π

de

X

_t

π

_i

₊₁

:= X

_ti

π

+

_n

1 µ(t

_i

, X

_ti

π

)+σ(t

_i

, X

_ti

π

)∆W

_t

_i

+

R

_E

β(t

_i

, X

_ti

π

, e)¯

µ(de, (t

_i

, t

_i+1

])

Approximation

Rétrograde

( ¯

Y

π

, ¯

Z

π

,

Γ

¯

π

)

de

(Y, Z,

Γ

)

¯

Y

₁

π

:= g(X

₁

π

)

et







¯

Z

_ti

π

_{:= n E}

h

Y

¯

_t

π

_i+1

∆W

_ti

_{| F}

_ti

i

¯

Γ

π

_t

_i

_{:= n E}

h

Y

¯

_t

π

_i+1

R

_E

γ(e)¯

µ(de, (t

i

, t

i+1

])

| F

t

i

(41)

Algorithme: de

Y

¯

_t

π

i+1

à

Y

¯

π

t

_i

Y

t

i

= Y

t

i+1

+

R

t

i+1

t

i

h (r, X

r

, Y

r

, Z

r

, Γ

r

) dr

−

R

t

i+1

t

i

Z

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

r

(e)¯

µ(de, dr)

(42)

Algorithme: de

Y

¯

_t

π

i+1

à

Y

¯

π

t

_i

Y

t

i

= Y

t

i+1

+

R

t

i+1

t

i

h (r, X

r

, Y

r

, Z

r

, Γ

r

) dr

−

R

t

i+1

t

i

Z

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

r

(e)¯

µ(de, dr)

Générateur constant,

(Z

π

, U

π

)

donné par représentation de

Y

¯

_t

π

_i+1

¯

Y

_t

π

_i

=

Y

¯

_t

π

_i+1

+

_n

1 h t

i

, X

_t

π

_i

, ¯

Y

_t

π

_i

, ¯

Z

_t

π

_i

, ¯

Γ

π

_t

_i

− R

t

i+1

t

i

Z

π

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

π

r

(e)

µ(de, dr)

¯

(43)

Algorithme: de

Y

¯

_t

π

i+1

à

Y

¯

π

t

_i

Y

t

i

= Y

t

i+1

+

R

t

i+1

t

i

h (r, X

r

, Y

r

, Z

r

, Γ

r

) dr

−

R

t

i+1

t

i

Z

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

r

(e)¯

µ(de, dr)

Générateur constant,

(Z

π

, U

π

)

donné par représentation de

Y

¯

_t

π

_i+1

¯

Y

_t

π

_i

=

Y

¯

_t

π

_i+1

+

_n

1 h t

i

, X

_t

π

_i

, ¯

Y

_t

π

_i

, ¯

Z

_t

π

_i

, ¯

Γ

π

_t

_i

− R

t

i+1

t

i

Z

π

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

π

r

(e)

µ(de, dr)

¯

Approximation dans

_L

2 (Ω

_{× [t}

i

, t

i+1

])

de

Z

π

et

Γ

π

=

R

E

U

π

_(e)

_γ(e)λ(de)

par des v.a.

_F

t

i

-mesurables

¯

Z

_t

π

_i

_{:= n E}

h

R

t

i+1

t

i

Z

π

r

dr

| F

t

i

=

_{n E}

h ¯

Y

_t

π

_i+1

∆W

t

i

| F

t

i

¯

Γ

π

_t

_i

_{:= n E}

h

R

t

i+1

t

i

Γ

π

s

ds

| F

t

i

=

_{n E}

h ¯

Y

_t

π

_i+1

R

_E

γ(e)¯

µ(de, (t

i

, t

i+1

])

| F

t

i

(44)

Algorithme: de

Y

¯

_t

π

i+1

à

Y

¯

π

t

_i

Y

t

i

= Y

t

i+1

+

R

t

i+1

t

i

h (r, X

r

, Y

r

, Z

r

, Γ

r

) dr

−

R

t

i+1

t

i

Z

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

r

(e)¯

µ(de, dr)

Générateur constant,

(Z

π

, U

π

)

donné par représentation de

Y

¯

_t

π

_i+1

¯

Y

_t

π

_i

=

Y

¯

_t

π

_i+1

+

_n

1 h t

i

, X

_t

π

_i

, ¯

Y

_t

π

_i

, ¯

Z

_t

π

_i

, ¯

Γ

π

_t

_i

− R

t

i+1

t

i

Z

π

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

π

r

(e)

µ(de, dr)

¯

Approximation dans

_L

2 (Ω

_{× [t}

i

, t

i+1

])

de

Z

π

et

Γ

π

=

R

E

U

π

_(e)

_γ(e)λ(de)

par des v.a.

_F

t

i

-mesurables

¯

Z

_t

π

_i

_{:= n E}

h

R

t

i+1

t

i

Z

π

r

dr

| F

t

i

=

_{n E}

h

Y

¯

_t

π

_i+1

∆W

t

i

| F

t

i

¯

Γ

π

_t

_i

_{:= n E}

h

R

t

i+1

t

i

Γ

π

s

ds

| F

t

i

=

_{n E}

h

Y

¯

_t

π

_i+1

R

_E

γ(e)¯

µ(de, (t

i

, t

i+1

])

| F

t

i

(45)

Algorithme: de

Y

¯

_t

π

i+1

à

Y

¯

π

t

_i

Y

t

i

= Y

t

i+1

+

R

t

i+1

t

i

h (r, X

r

, Y

r

, Z

r

, Γ

r

) dr

−

R

t

i+1

t

i

Z

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

r

(e)¯

µ(de, dr)

Générateur constant,

(Z

π

, U

π

)

donné par représentation de

Y

¯

_t

π

_i+1

¯

Y

_t

π

_i

=

Y

¯

_t

π

_i+1

+

_n

1 h t

i

, X

_t

π

_i

, ¯

Y

_t

π

_i

, ¯

Z

_t

π

_i

, ¯

Γ

π

_t

_i

− R

t

i+1

t

i

Z

π

r

dW

r

−

R

t

i+1

t

i

R

E

U

π

r

(e)

µ(de, dr)

¯

Approximation dans

_L

2 (Ω

_{× [t}

i

, t

i+1

])

de

Z

π

et

Γ

π

=

R

E

U

π

_(e)

_γ(e)λ(de)

par des v.a.

_F

t

i

-mesurables

¯

Z

_t

π

_i

_{:= n E}

h

R

t

i+1

t

i

Z

π

r

dr

| F

t

i

=

_{n E}

h

Y

¯

_t

π

_i+1

∆W

t

i

| F

t

i

¯

Γ

π

_t

_i

_{:= n E}

h

R

t

i+1

t

i

Γ

π

s

ds

| F

t

i

=

_{n E}

h

Y

¯

_t

π

_i+1

R

_E

γ(e)¯

µ(de, (t

i

, t

i+1

])

| F

t

i

Conditionnant la première expression

(46)

Algorithme







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

Approximation

Progressive

X

π

de

X

Approximation

Rétrograde

( ¯

Y

π

, ¯

Z

π

,

Γ

¯

π

)

de

(Y, Z,

Γ

)

¯

Y

₁

π

:= g(X

₁

π

)

et











¯

Z

_t

π

_i

_{:= n E}

h ¯

Y

_t

π

_i+1

∆W

_ti

_{| F}

_ti

i

¯

Γ

π

_t

_i

_{:= n E}

h ¯

Y

_ti+1

π

R

_E

γ(e)¯

µ(de, (t

_i

, t

_i+1

])

_{| F}

_ti

i

¯

Y

_ti

π

_{:= E}

h ¯

Y

_ti+1

π

_{| F}

t

i

(47)

Algorithme







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

Approximation

Progressive

X

π

de

X

Approximation

Rétrograde

( ¯

Y

π

, ¯

Z

π

,

Γ

¯

π

)

de

(Y, Z,

Γ

)

¯

Y

₁

π

:= g(X

₁

π

)

et











¯

Z

_t

π

_i

_{:= n E}

h ¯

Y

_t

π

_i+1

∆W

_ti

_{| F}

_ti

i

¯

Γ

π

_t

_i

_{:= n E}

h ¯

Y

_ti+1

π

R

_E

γ(e)¯

µ(de, (t

_i

, t

_i+1

])

_{| F}

_ti

i

¯

Y

_ti

π

_{:= E}

h ¯

Y

_ti+1

π

_{| F}

t

i

+

_n

1 h t

i

, X

_ti

π

, ¯

Y

_ti

π

, ¯

Z

_ti

π

,

Γ

¯

π

_t

_i

(48)

Algorithme







X

t

= x +

R

t

0 µ(s, X

s

)ds +

R

t

0 σ(s, X

s

)dW

s

+

R

t

0 R

E

β(s, X

s−

, e)¯

µ(de, ds) ,

Y

t

= g(X

1 ) +

R

1 t

h(s, X

s

, Y

s

, Z

s

,

Γ

s

) ds

−

R

1 t

Z

s

dW

s

−

R

1 t

R

E

U

s

(e)¯

µ(de, ds)

Approximation

Progressive

X

π

de

X

Approximation

Rétrograde

( ¯

Y

π

, ¯

Z

π

,

Γ

¯

π

)

de

(Y, Z,

Γ

)

¯

Y

₁

π

:= g(X

₁

π

)

et











¯

Z

_t

π

_i

_{:= n E}

h ¯

Y

_t

π

_i+1

∆W

_ti

_{| F}

_ti

i

¯

Γ

π

_t

_i

_{:= n E}

h ¯

Y

_ti+1

π

R

_E

γ(e)¯

µ(de, (t

_i

, t

_i+1

])

_{| F}

_ti

i

¯

Y

_ti

π

_{:= E}

h ¯

Y

_ti+1

π

_{| F}

t

i

+

_n

1 h t

i

, X

_ti

π

, ¯

Y

_ti

π

, ¯

Z

_ti

π

,

Γ

¯

π

_t

_i

(49)

Convergence

Erreur d’approximation

Err

_n

:=

sup

_t

_i

_E

|Y

_t

_i

_{− ¯}

Y

_ti

π

_|

2 + P

n

_i=1

R

_ti

ti+1

_|Z

_s

_{− ¯}

Z

_ti

π

_|

2 ds +

_|Γ

_s

_{− ¯Γ}

π

_ti

_|

2 ds

1

2

(50)

Convergence

Erreur d’approximation

Err

_n

:=

sup

_t

_i

_E

|Y

_t

_i

_{− ¯}

Y

_ti

π

_|

2 + P

n

_i=1

R

_ti

ti+1

_|Z

_s

_{− ¯}

Z

_ti

π

_|

2 ds +

_|Γ

_s

_{− ¯Γ}

π

_ti

_|

2 ds

1

2 Représentation et régularité

(51)

Convergence

Erreur d’approximation

Err

_n

:=

sup

_t

_i

_E

|Y

_t

_i

_{− ¯}

Y

_ti

π

_|

2 + P

n

_i=1

R

_ti

ti+1

_|Z

_s

_{− ¯}

Z

_ti

π

_|

2 ds +

_|Γ

_s

_{− ¯Γ}

π

_ti

_|

2 ds

1

2 Représentation et régularité

Y

_t

s’écrit

y(t, X

_t

)

avec

y

lipschitz

(52)

Convergence

Erreur d’approximation

Err

_n

:=

sup

_t

_i

_E

|Y

_t

_i

_{− ¯}

Y

_ti

π

_|

2 + P

n

_i=1

R

_ti

ti+1

_|Z

_s

_{− ¯}

Z

_ti

π

_|

2 ds +

_|Γ

_s

_{− ¯Γ}

π

_ti

_|

2 ds

1

2 Représentation et régularité

Y

_t

s’écrit

y(t, X

_t

)

avec

y

lipschitz

U

partie saut de

Y

_⇒

U

_t

(e) = y(t, X

_t−

+ β(t, X

_t−

, e))

_{− y(t, X}

_t−

)

(53)

Convergence

Erreur d’approximation

Err

_n

:=

sup

_t

_i

_E

|Y

_t

_i

_{− ¯}

Y

_ti

π

_|

2 + P

n

_i=1

R

_ti

ti+1

_|Z

_s

_{− ¯}

Z

_ti

π

_|

2 ds +

_|Γ

_s

_{− ¯Γ}

π

_ti

_|

2 ds

1

2 Représentation et régularité

Y

_t

s’écrit

y(t, X

_t

)

avec

y

lipschitz

U

partie saut de

Y

_⇒

U

_t

(e) = y(t, X

_t−

+ β(t, X

_t−

, e))

_{− y(t, X}

_t−

)

Z

, dérivée de Malliavin de

Y

, solution d’une EDSR linéaire

Vitesse

Coefficients Lipschitz

_⇒

_Err

_n

_{≤ C}

_ε

_n

−

_1/2+ε

(54)

Convergence

Erreur d’approximation

Err

_n

:=

sup

_t

_i

_E

|Y

_t

_i

_{− ¯}

Y

_ti

π

_|

2 + P

n

_i=1

R

_ti

ti+1

_|Z

_s

_{− ¯}

Z

_ti

π

_|

2 ds +

_|Γ

_s

_{− ¯Γ}

π

_ti

_|

2 ds

1

2 Représentation et régularité

Y

_t

s’écrit

y(t, X

_t

)

avec

y

lipschitz

U

partie saut de

Y

_⇒

U

_t

(e) = y(t, X

_t−

+ β(t, X

_t−

, e))

_{− y(t, X}

_t−

)

Z

, dérivée de Malliavin de

Y

, solution d’une EDSR linéaire

Vitesse

Coefficients Lipschitz

_⇒

_Err

_n

_{≤ C}

_ε

_n

−

_1/2+ε

(55)

Put avec risque de défaut du vendeur

• Temps de défaut

τ

_{∼ E(c)}

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1) True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8 True U1 (c = 0,1)

Estimated U1 (c = 0,1)

True U1 (c = 0,5)

Estimated U1 (c = 0,5)

(56)

Put avec risque de défaut du vendeur

• Temps de défaut

τ

_{∼ E(c)}

τ >

T

g

1 (X

T

) = [5

− X

T

]

+

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8 True U1 (c = 0,1)

Estimated U1 (c = 0,1)

True U1 (c = 0,5)

Estimated U1 (c = 0,5)

(57)

Put avec risque de défaut du vendeur

• Temps de défaut

τ

_{∼ E(c)}

τ >

T

g

1 (X

T

) = [5

− X

T

]

+

τ < T

g

₀

(X

_T

) = g

₁

(X

_T

)

_{∧ 0.5}

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8 True U1 (c = 0,1)

Estimated U1 (c = 0,1)

True U1 (c = 0,5)

Estimated U1 (c = 0,5)

(58)

Put avec risque de défaut du vendeur

• Temps de défaut

τ

_{∼ E(c)}

τ >

T

g

1 (X

T

) = [5

− X

T

]

+

τ < T

g

₀

(X

_T

) = g

₁

(X

_T

)

_{∧ 0.5}

• Prix:

u

₀

_{(t, x) := E [g}

₀

(X

_T

) /X

_t

= x]

u

₁

_{(0, x) := E}

h

g

₁

(X

_T

)e

−

cT

+

R

₀

T

u

₀

(s, X

_s

)ce

−

cs

ds /X

₀

= x

i

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8 True U1 (c = 0,1)

Estimated U1 (c = 0,1)

True U1 (c = 0,5)

Estimated U1 (c = 0,5)

(59)

Put avec risque de défaut du vendeur

• Temps de défaut

τ

_{∼ E(c)}

τ >

T

g

1 (X

T

) = [5

− X

T

]

+

τ < T

g

₀

(X

_T

) = g

₁

(X

_T

)

_{∧ 0.5}

• Prix:

u

₀

_{(t, x) := E [g}

₀

(X

_T

) /X

_t

= x]

u

₁

_{(0, x) := E}

h

g

₁

(X

_T

)e

−

cT

+

R

₀

T

u

₀

(s, X

_s

)ce

−

cs

ds /X

₀

= x

i

• EDP:

L u

0 = 0 , u

0 (T,

·) = g

0 L u

1 + c(u

0 − u

1 ) = 0 , u

1 (T,

·) = g

1

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8 True U1 (c = 0,1)

Estimated U1 (c = 0,1)

True U1 (c = 0,5)

Estimated U1 (c = 0,5)

(60)

Put avec risque de défaut du vendeur

• Temps de défaut

τ

_{∼ E(c)}

τ >

T

g

1 (X

T

) = [5

− X

T

]

+

τ < T

g

₀

(X

_T

) = g

₁

(X

_T

)

_{∧ 0.5}

• Prix:

u

₀

_{(t, x) := E [g}

₀

(X

_T

) /X

_t

= x]

u

₁

_{(0, x) := E}

h

g

₁

(X

_T

)e

−

cT

+

R

₀

T

u

₀

(s, X

_s

)ce

−

cs

ds /X

₀

= x

i

• EDP:

L u

0 = 0 , u

0 (T,

·) = g

0 L u

1 + c(u

0 − u

1 ) = 0 , u

1 (T,

·) = g

1

1 2 3 4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8 True U1 (c = 0,1)

Estimated U1 (c = 0,1)

True U1 (c = 0,5)

Estimated U1 (c = 0,5)

(61)

Plan

Méthodes numériques probabilistes

Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux

Résolution d’EDSPR découplée avec sauts

Gestion de portefeuille et contrainte drawdown

Solution explicite en horizon infini

(62)

Problème

Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial

x

et peut

investir

θ

dans un actif risqué:

dS

_t

= σS

_t

(dW

_t

+ λdt)

(63)

Problème

Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial

x

et peut

investir

θ

dans un actif risqué:

dS

_t

= σS

_t

(dW

_t

+ λdt)

consommer

C

: verser des dividendes aux investisseurs

(64)

Problème

Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial

x

et peut

investir

θ

dans un actif risqué:

dS

_t

= σS

_t

(dW

_t

+ λdt)

consommer

C

: verser des dividendes aux investisseurs

Richesse:

X

_t

x,C,θ

=

x

₋

R

₀

t

C

_r

dr +

R

₀

t

σ

θ

_r

(dW

_r

+ λdr)

Pour rassurer ses investisseurs, il s’impose une

(65)

Problème

Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial

x

et peut

investir

θ

dans un actif risqué:

dS

_t

= σS

_t

(dW

_t

+ λdt)

consommer

C

: verser des dividendes aux investisseurs

Richesse:

X

_t

x,C,θ

=

x

₋

R

₀

t

C

_r

dr +

R

₀

t

σ

θ

_r

(dW

_r

+ λdr)

Pour rassurer ses investisseurs, il s’impose une

Contrainte drawdown :

X

_t

x,C,θ

_{≥ α X}

x,C,θ

∗

_t

(66)

Littérature

Richesse:

X

_t

x,C,θ

= x

₋

R

₀

t

C

_r

dr +

R

₀

t

σθ

_r

(dW

_r

+ λdr)