Étude de portails scalaires dans une théorie supersymétrique

Étude de portails scalaires dans une théorie

supersymétrique

Étude de portails scalaires dans une théorie

supersymétrique

Mémoire

Shanny Pelchat-Voyer

Sous la direction de:

Résumé

Malgré le succès apparent du modèle standard (SM), il semble évident que ce dernier soit incomplet. La supersymétrie, qui associe à chaque fermion connu un partenaire bosonique (et vice-versa), résout d’une façon élégante différents problèmes inhérents au SM et semble être le meilleur candidat pour la physique à l’échelle du TeV. Si la supersymétrie s’avère être une description adéquate de la nature, elle doit être spontanément brisée afin d’expliquer le fait qu’aucun superpartenaire n’a été découvert. Toutefois, la phénoménologie est a priori impossible à respecter si la brisure provient directement du modèle standard supersymétrique minimal (MSSM). Ceci nécessite donc l’introduction d’un secteur caché faiblement couplé avec le MSSM, dans lequel la supersymétrie y est d’abord brisée, puis transmise au MSSM. Dans cet ouvrage, on analyse le mécanisme de transmission de la brisure de supersymétrie dans le contexte de la médiation de jauge générale (GGM) appliquée au couplage direct re-normalisable le plus général possible pour des superchamps chiraux. Ceci permet d’exprimer les corrections au secteur visible en terme de fonctions de corrélation d’opérateurs du secteur caché. Ces dernières sont ensuite exprimées comme une somme de valeurs moyennes d’opéra-teurs locaux grâce au formalisme du développement en série d’opérad’opéra-teurs (OPE). La forme des OPEs, étant grandement contrainte par le fait que le secteur caché développe une symé-trie superconforme dans l’UV, permet d’obtenir des conclusions intéressantes du point de vue phénoménologique et permet de faciliter la construction de modèles.

Abstract

Despite the apparent success of the standard model (SM), it seems obvious the latter is incomplete. Supersymmetry, which associates to each known fermion a bosonic partner (and vice-versa), solves multiple inherent SM problems in an elegant fashion. It thus appears to be the best candidate for TeV physics. If supersymmetry is to be an adequate description of nature, it must be spontaneously broken to explain the fact that no superpartner has yet been discovered. However, the phenomenology is impossible to respect if the breaking comes directly from the minimal supersymmetric standard model (MSSM). A hidden sector weakly coupled with the MSSM, in which supersymmetry is broken then transmitted to the MSSM, is thus required

In this master’s thesis, we analyze the transmission mechanism of supersymmetry breaking in the context of general gauge mediation (GGM). We analyze the most general renormalizable direct couplings for chiral superfields. This allows to express visible-sector corrections in terms of hidden-sector correlation functions, which are then expressed by their operator product expansion (OPE). The fact that the hidden sector develops a superconformal symmetry in the UV gives powerful constraints on the structure and coefficients of the OPE. Therefore, the method is useful to obtain phenomenological results and could be used to develop models in a systematic way.

Table des matières

Résumé iii

Abstract iv

Table des matières v

Liste des tableaux viii

Liste des figures ix

Notation x Remerciements xii Introduction 1 1 Supersymétrie 6 1.1 Motivations . . . 6 1.2 Notions de base . . . 9 1.2.1 Spineurs de Weyl . . . 9 1.2.2 Transformations supersymétriques . . . 11 1.2.3 Algèbre . . . 12 1.2.4 Superespace . . . 14 1.3 Superchamp chiral . . . 15

1.3.1 Contraintes sur un superchamp général . . . 15

1.3.2 Superpotentiel et potentiel de Kähler. . . 16

1.4 Brisure de la supersymétrie . . . 18

1.4.1 Brisure spontanée et supertrace . . . 18

1.4.2 Brisure explicite . . . 21

1.5 Modèle standard minimal supersymétrique (MSSM) . . . 22

2 Corrections au secteur visible 25 2.1 Secteur caché . . . 25

2.1.1 Médiation par gravité . . . 26

2.1.2 Médiation de jauge et GGM. . . 27

2.2 Corrections au secteur visible pour les portails scalaires . . . 31

2.2.1 Interactions au premier ordre . . . 32

2.2.2 Interactions au deuxième ordre . . . 33

3 Formalisme 41

3.1 Théorie conforme des champs (CFT) en 4D . . . 43

3.1.1 Algèbre et primaires conformes . . . 43

3.1.2 Fonctions de corrélation . . . 44

3.1.3 OPEs dans une CFT . . . 45

3.2 Théorie superconforme des champs (SCFT) N = 1 en 4D . . . 45

3.2.1 Algèbre et représentations . . . 45

3.2.2 Décomposition d’un primaire superconforme en primaires conformes 47 3.3 Fonctions de corrélation superconformes . . . 49

3.3.1 Quantités homogènes. . . 50

3.3.2 Fonction à deux points . . . 52

3.3.3 Fonctions à trois points . . . 53

4 OPEs des fonctions de corrélation 56 4.1 Analyse des opérateurs présents dans l’OPE . . . 56

4.2 Coefficients de Wilson dans une SCFT . . . 58

4.2.1 Gérer les descendants . . . 59

4.3 Résultats pour les OPEs . . . 62

4.3.1 OPE O_i(x)O_j(0) . . . 64 4.3.2 OPE QαOi(x)Oj(0) . . . 64 4.3.3 OPE QαOi(x)QαOj(0) . . . 65 4.3.4 OPE Oi(x)O†j(0) . . . 66 4.3.5 OPE Q2Oi(x) ¯Q2O†j(0) . . . 67 4.4 Résultats physiques. . . 68 4.4.1 Relations de dispersion . . . 68

4.4.2 Corrections explicites au secteur visible . . . 71

4.4.3 Approximations. . . 72

4.5 Analyse phénoménologique . . . 72

Conclusion 74 A Conventions 76 A.1 Métrique et matrices de Pauli . . . 76

A.2 Identités de base des spineurs . . . 76

A.3 Identités de Fierz . . . 77

A.4 Calcul de Grassmann. . . 78

B Algèbre 79 B.1 Dérivation . . . 79

B.2 Résultats . . . 81

B.3 Identités . . . 81

C Opérateurs primaires 83 C.1 Contamination des descendants . . . 84

C.1.1 Le coefficient . . . 84

C.1.2 Remarques . . . 86

C.2 Fonction à deux points de champs composantes . . . 86

C.2.2 Expansion de COx−2¯_¯12qx−2q_¯21 . . . 87 C.2.3 Résultat . . . 89

C.3 Décomposition d’un superchamp conforme de spin quelconque . . . 90

Liste des tableaux

1 Abréviations couramment utilisées. . . x

1.1 Degrés de liberté pour les éléments d’un multiplet chiral . . . 12

1.2 Charge R de différents objets pour une théorie invariante sous U (1)R . . . 14

1.3 Contenu en champs du MSSM. . . 23

3.1 Multiplets courts d’une théorie unitaire. . . 50

4.1 Analyse des opérateurs présents dans les OPEs chiral-chiral.. . . 57

4.2 Combinaisons linéaires pour l’OPE OiOj avec le superchamp Ok(0,0). . . 60

4.3 Combinaisons linéaires pour l’OPE Q_αOiOj avec le superchamp Ok(0,0). . . 60

4.4 Combinaisons linéaires pour l’OPE OiOj avec le superchamp Ok(1,0). . . 61

4.5 Combinaisons linéaires pour l’OPE QαOiOj avec le superchamp Ok(1,0). . . 61

4.6 Combinaisons linéaires pour l’OPE O_iOj avec le superchamp Ok(1,1). . . 61

Liste des figures

1.1 Divergence quadratique du Higgs causée par une boucle de fermions

apparte-nant au SM.. . . 6

1.2 Corrections aux Higgs selon divers scénarios avec de nouveaux champs massifs. 7

1.3 Potentiel scalaire pour un minimum supersymétrique et non supersymétrique. . 21

2.1 Communication de la brisure de supersymétrie à partir du secteur caché vers

le MSSM grâce à une interaction quelconque entre les deux secteurs. . . 26

2.2 Corrections radiatives de champs du MSSM causées par les champs messagers

du secteur caché. . . 29

2.3 Interaction au deuxième ordre pour αabcd et au troisième ordre ou plus pour la

correction à deux champs bab. . . 35

3.1 Description schématique du rayon de convergence de l’OPE. . . 41

3.2 Flot du groupe de renormalisation à partir d’une SCFT approximative dans

l’UV vers un bris des symétries dans l’IR. . . 42

3.3 Représentation du groupe superconforme . . . 47

3.4 Décomposition d’un multiplet superconforme général en termes de ses

compo-santes primaires conformes . . . 49

Abréviations

Le projet présenté dans ce mémoire utilise en abondance le vocabulaire de la supersymétrie, des théories (super)conformes et de ce qui en découle. De nombreuses abréviations utilisées dans la littérature sont également employées dans cet ouvrage1. On consigne ici les plus importantes afin de faciliter la lecture de ce document.

Signification (anglais) Traduction

CFT Conformal field theory Théorie conforme des champs

GMSB Gauge mediated susy breaking Brisure de supersymétrie par médiation de jauge

IR Infrared physics Physique à basse énergie

LCS Left chiral superfield Superchamp chiral gauche

LHC Large hadron collider Grand collisionneur de hadrons

LSP Lightest susy particle Particule supersymétrique la plus légère

MSSM Minimal susic standard model Modèle standard supersymétrique minimal

OPE Operator product expansion Développement en série d’opérateurs

PMSB Planck mediated susy breaking Brisure de supersymétrie par médiation de gravité

QCD Quantum chromodynamics Chromodynamique quantique

QED Quantum electrodynamics Électrodynamique quantique

QFT Quantum field theory Théorie quantique des champs

SCFT Superconformal field theory Théorie superconforme des champs

SM Standard model Modèle standard

UV Ultraviolet physics Physique des hautes énergies

vev Vacuum expectation value Valeur moyenne dans le vide

Tableau 1 – Abréviations couramment utilisées.

1. Le masculin est utilisé tout au long de ce travail pour l’acronyme vev. Les autres cas respectent le genre de leur traduction. Également, pour faciliter la compréhension, les abréviations sont accordées au pluriel telles que OPEs et vevs, afin d’améliorer la clarté.

Continuous effort–not strength or intelligence–is the key to unlocking our potential.

Remerciements

La maîtrise a été une belle aventure au cours de laquelle plusieurs personnes m’ont apporté leur appui. Je tiens d’abord à remercier mon directeur de recherche Prof. Jean-François Fortin qui m’a permis d’explorer le monde mystérieux de la physique théorique et qui a su me guider à travers de multiples embuches. Sans lui, ce projet ne serait pas ce qu’il est aujourd’hui. De plus, je tiens à remercier Prof. Pierre Mathieu et Prof. Luc Marleau pour avoir aimablement accepté d’évaluer ce projet.

Également, un merci spécial à mes collègues et amis Jean-Samuel Leboeuf et Maxime Tré-panier avec qui j’ai partagé cet épisode qu’a été la maîtrise en physique théorique. Merci également à mes amis Félix Blais et Guillaume St-Onge qui ont su rendre notre local de travail temporaire (qui ne l’était pas du tout) un lieu plus agréable.

Évidemment, j’aimerais également remercier mes parents, Guy et Nathalie, qui ont toujours su m’aider et me soutenir dans ce long parcours que sont les études graduées.

Finalement, un grand merci à mon conjoint Jérôme, qui a su m’encourager dans les mo-ments difficiles et qui a toujours été présent pour moi, avec son optimisme et sa confiance inébranlable.

Introduction

Le formalisme de la théorie quantique des champs (QFT) est l’un des plus grands accomplis-sements de la physique moderne, alliant de façon élégante la relativité restreinte ainsi que la mécanique quantique. En traitant les particules comme des états excités de champs sous-jacents, la QFT fournit des outils essentiels à la physique nucléaire, la physique atomique, la matière condensée et l’astrophysique [42]. Le point culminant de ce formalisme est vrai-semblablement le modèle standard (SM) introduit par Glashow, Weinberg et Salam dans les années 60 et 70, qui unifie les interactions fortes et électrofaibles, ainsi que toute la matière connue sous une théorie de jauge non abélienne basée sur le groupe SU (3)c× SU (2)L× U (1)Y. Le crédit que l’on accorde à cette théorie s’est d’autant plus raffermit depuis la découverte récente du boson de Higgs en 2012 [1], car il permet de rendre compte de façon appropriée des différentes masses des particules élémentaires par le mécanisme de Higgs. Certains paramètres de ce modèle, comme la constante de structure fine, qui est calculable par des processus per-turbatifs en électrodynamique quantique (QED), s’accordent jusqu’à 8 chiffres significatifs avec l’expérience [42], montrant le niveau de précision incroyable de la théorie.

Malgré son succès apparent, le SM rencontre de nombreuses difficultés et est encore considéré aujourd’hui comme une théorie incomplète, même à une échelle d’énergie aussi basse que celle des interactions électrofaibles (∼ 100 GeV) [31]. Tout d’abord, le SM échoue à considérer la gravité, ce qui suggère évidemment qu’il est tout au plus une théorie efficace caractéristique de notre échelle d’énergie. De plus, il ne peut rendre compte du phénomène d’oscillation des neu-trinos [41], ou encore, il ne contient aucun candidat pour la matière et l’énergie sombre [15]. On note également la présence d’un problème d’ordre esthétique que l’on nomme problème de la hiérarchie, qui examine les suppressions délicates qui doivent survenir dans les corrections quantiques afin d’obtenir la valeur appropriée pour certains paramètres, rendant le SM extrê-mement sensible à une nouvelle physique à haute énergie. Finalement, on peut remarquer qu’il serait singulièrement surprenant qu’entre l’échelle de Planck (2.4 × 1018GeV), où les effets de gravité quantique deviennent importants (ce qui nécessite l’ajout d’une nouvelle physique), et l’échelle électrofaible qui correspond grossièrement au niveau d’énergie présentement ac-cessible au Large Hadron Collider (LHC), il n’y ait absolument aucun nouveau processus physique à découvrir.

Il s’avère que l’ajout d’une symétrie supplémentaire au SM, qui permet de transformer les champs bosoniques en champs fermioniques (et vice-versa), propose des pistes de solutions encourageantes aux problèmes énoncés ci-haut. Cette symétrie, qui est la base du paradigme de la supersymétrie, est pour l’instant la meilleure option pour la physique à l’échelle du TeV. Elle permet, entre autres, d’introduire plus naturellement la gravité et contient des candidats pour la matière sombre grâce à la stabilité de la particule supersymétrique la plus légère (LSP) [31]. De manière encore plus extraordinaire, la supersymétrie (non brisée) répond naturellement au problème de la hiérarchie, puisque l’ajout des différents bosons et fermions permet de supprimer ordre après ordre les divergences qui surviennent normalement dans les corrections quantiques [28]. Pour répondre à différents besoins phénoménologiques, on s’attend à observer les premiers superpartenaires très bientôt au LHC, si cette description s’accorde bel et bien avec celle de la nature.

Cependant, malgré un début prometteur, la supersymétrie rencontre elle aussi de nombreux problèmes, notamment dans la construction d’un modèle standard minimal supersymétrique (MSSM) viable. Plus précisément, les principaux enjeux sont de trouver un mécanisme de brisure de supersymétrie, ou de façon encore plus importante, de trouver la méthode de com-munication de la brisure au MSSM. Répondre à ces questions en respectant la phénoménologie est une tâche ardue qui occupe certains physiciens théoriciens depuis déjà près de quatre dé-cennies. En effet, lorsque la supersymétrie est impliquée, le principe de supertrace nulle, qui sera plus amplement discuté dans la prochaine section, intervient et oblige certains superpar-tenaires à obtenir des masses plus petites que celle de leur partenaire, ce qui n’est évidemment pas observé. Conséquemment, il est nécessaire de contourner d’abord cette complication, avant toute chose, dans la construction d’un modèle viable. Une façon standard d’éviter cette diffi-culté est d’introduire ce qu’on appelle des termes soft dans le Lagrangien du MSSM qui ont comme caractéristique de briser explicitement la supersymétrie tout en préservant l’attrait premier de celle-ci, soit la suppression des divergences quadratiques. Pour contourner adé-quatement le problème de la supertrace, les termes soft ne peuvent être construits dans des interactions de type arbre (tree-level) à partir du MSSM, mais doivent plutôt apparaître de façon indirecte ou radiative. Ceci nécessite l’introduction d’un secteur caché qui contient la brisure de symétrie, par opposition au secteur visible dans lequel se trouve le MSSM, qui est presque entièrement découplé de ce dernier.

La communication de la brisure de supersymétrie entre les secteurs est donc un aspect très important pour mieux comprendre la phénoménologie. Il existe différents mécanismes de com-munication, dont par exemple, les méthodes de médiation par anomalies [25], par ajout de dimensions [35], par gravité [5, 9,27] ainsi que par interaction de jauge [10,11,12]. La mé-diation par gravité, qui est l’approche la plus minimale, a extensivement été utilisée dans la littérature pour des applications phénoménologiques [24], en contournant le problème de supertrace grâce à des potentiels non renormalisables. Cependant, il est connu qu’un tel type

de médiation brise la symétrie des saveurs, rendant difficile la construction d’un modèle ac-ceptable. D’autre part, la médiation de jauge est une méthode alternative qui permet de résoudre naturellement ce dernier problème. Elle utilise des interactions invariantes de jauge entre des superchamps vecteurs du MSSM et des superchamps messagers du secteur caché. Ces messagers sont à la fois couplés à la brisure de supersymétrie caractérisée par hF i et au groupe SU (3)c× SU (2)L× U (1)Y. Les termes soft apparaissent alors dans le MSSM par le biais de corrections radiatives. L’étude de la médiation de jauge peut toutefois se complexi-fier par le fait qu’il existe une très grande variété de modèles possibles, rendant difficile la distinction des conséquences générales, caractéristiques du type de médiation, par rapport à celles spécifiques à un modèle. C’est pour répondre à un besoin de généralisation, face à cette multitude de modèles possibles, qu’est né le formalisme de médiation de jauge général (GGM) [6,34]. Dans le cadre initial de cette théorie, l’utilisation d’un calcul perturbatif autour de la constante de couplage (reliée au groupe de jauge) permet d’obtenir les termes soft du MSSM sous la forme de fonctions de corrélation d’opérateurs de courant appartenant au secteur ca-ché. Toutefois, tel que mentionné par les auteurs de [29] et [34], il est nécessaire de faire une extension de la méthode originale afin de pouvoir amorcer une réflexion sur le problème µ/B_µ. Il est en fait essentiel d’ajouter des termes de couplages directs dans un superpotentiel, qu’on appelle généralement portails, entre les Higgs et les messagers du secteur caché. Comme pour la méthode standard, on obtient les corrections au secteur visible en termes de fonctions de corrélation d’opérateurs du secteur caché grâce à un développement autour des constantes de couplage des portails. La méthode de GGM est particulièrement intéressante, puisqu’elle permet d’avoir un secteur caché tout à fait arbitraire et par conséquent, le formalisme permet même que ce dernier soit fortement couplé, la dynamique étant complètement encodée dans les fonctions de corrélation.

Dans le cadre de ce projet, on s’intéresse à la caractérisation des effets de la transmission de la brisure de supersymétrie au secteur visible, à partir d’un secteur caché le plus général possible. En ce sens, le formalisme de la GGM semble être un point de départ approprié, puisque notre méconnaissance du secteur caché est paramétrisée dans les fonctions de corrélation. Toutefois, si on est à la recherche de résultats quantitatifs pour ces fonctions de corrélation, la méthode perturbative usuelle tombe à court si le secteur caché est fortement couplé. C’est pourquoi, dans ce projet, on se tourne vers le formalisme du développement en série d’opérateurs (OPE) pour approximer ces fonctions de corrélation. Dans ce formalisme, on peut exprimer un produit non local d’opérateurs comme une somme infini d’opérateurs qui encodent la dynamique à basse énergie avec des coefficients appropriés qui sont calculables dans l’UV. Le fait que l’OPE soit une expansion asymptotique valide dans une QFT (seulement dans la limite x → 0) a déjà été abondamment utilisé dans les QCD sum rules afin d’obtenir des résultats quantitatifs en chromodynamique quantique [48]. Également, on sait que dans une théorie conforme des champs (CFT), cette expansion est exacte. Loin de l’échelle de brisure de supersymétrie, dans les hautes énergies du secteur caché, il s’y développe naturellement une théorie superconforme

des champs (SCFT). Ainsi, on peut utiliser le fait que le secteur caché soit contraint dans l’UV par cette symétrie supplémentaire afin d’établir des classes d’opérateurs du secteur caché pouvant participer aux corrections du visible et trouver leurs coefficients. L’utilisation d’une telle contrainte a déjà donné ses preuves en reproduisant par le formalisme OPE des résultats connus pour un modèle faiblement couplé pour les gauginos [19], en utilisant une méthode de diagramme avec des insertions [37]. Également, certains travaux ont été effectués afin de rendre systématique la méthode pour trouver les coefficients des OPEs de primaires conformes à partir des superchamps [30]. Cette méthode permet, en travaillant à partir du superespace, d’obtenir directement toutes les OPEs pour les primaires conformes (qui sont primaires ou descendants superconformes). C’est cette méthode qu’on cherche à améliorer et systématiser davantage dans ce travail. En effet, les travaux entamés par [30] ne permettent pas d’entrevoir toute la puissance et la généralité de la méthode, d’abord puisqu’ils se concentrent sur un exemple spécifique, celui d’un portail de Higgs avec des champs messagers doublets sous

SU (2), puis parce qu’ils utilisent une méthode approximative pour trouver les coefficients

d’OPEs non triviaux, alors qu’une solution exacte est facilement accessible.

Le cas à l’étude est donc le suivant : on propose d’analyser le superpotentiel le plus gé-néral possible contenant des portails renormalisables de superchamps scalaires (chiraux) et d’appliquer le formalisme de GGM, pour écrire les corrections au secteur visible comme des fonctions de corrélation d’opérateurs du secteur caché. On utilise ensuite le fait que la théorie soit superconforme dans l’UV pour contraindre la forme des OPEs qui servent à décrire ces fonctions de corrélation. De plus, on propose une méthode pour trouver les coefficients de ces OPEs, aussi appelés coefficients de Wilson, à partir de relations entre les fonctions de corré-lation conformes et superconformes qu’on trouve par une décomposition des superchamps en termes des coordonnées du superespace. Le choix d’analyser seulement les portails scalaires n’est évidemment pas le choix optimal pour une analyse complète du MSSM, mais reste tout de même un premier pas vers une telle analyse. On peut noter que la généralité des portails de départ permet de retrouver les résultats de [30] en plus de pouvoir caractériser d’autres modèles, comme par exemple celui d’un portail de Higgs avec des champs messagers singulets sous SU (2).

Cet ouvrage est donc présenté comme suit. Le chapitre 1introduit les notions de supersymé-trie nécessaires à la réalisation de ce projet. On s’attarde plus spécifiquement à la brisure de la supersymétrie et aux difficultés qui l’entourent. On retrouve également une brève introduc-tion au MSSM ainsi qu’aux problèmes de type µ/Bµ, afin de faciliter une discussion sur les retombées phénoménologiques du projet.

Le chapitre2discute plus en détails des méthodes de médiation de la brisure de supersymétrie, dont plus particulièrement le formalisme entourant la GGM. Également, on commence à s’attaquer directement à la problématique en posant la forme exacte de nos portails scalaires et en intégrant les différents champs du secteur caché, afin d’obtenir des corrections au secteur

visible en termes de fonctions de corrélation du secteur caché.

Dans le chapitre 3, on s’intéresse plus particulièrement à la méthode des OPEs et à ce qui l’entoure. Conséquemment, diverses notions de CFT et de SCFT y sont traitées. On y présente, entre autres, la forme des fonctions de corrélation à deux et trois points (super)conformes, la notion de primaires et descendants (super)conformes puis le concept de supermultiplets longs et courts.

Finalement, le chapitre 4 expose la méthode appropriée afin de calculer les coefficients de Wilson d’opérateurs primaires conformes lorsque ces derniers sont reliés entre eux par la sy-métrie du superchamp auxquels ils appartiennent. On obtient le résultat pour toutes les OPEs contribuant aux corrections du secteur visible, puis on analyse les relations de dispersion né-cessaires afin d’utiliser les OPEs ailleurs que dans l’UV. Enfin, on discute de la façon dont cette méthode permet de jeter un regard nouveau sur des problèmes d’ordre phénoménologique.

Chapitre 1

Supersymétrie

1.1

Motivations

Tel que souligné précédemment, la supersymétrie est la meilleure option disponible pour la physique à l’échelle du TeV. En associant à chaque particule connue de spin s un superparte-naire de spin s ± 1₂, la supersymétrie permet de supprimer de façon spectaculaire, ordre par ordre, toutes les divergences quadratiques. Ce phénomène peut en fait être démontré formel-lement et porte le nom de théorème de non-renormalisation [46]. Ce dernier constitue l’un des aspects les plus attrayants de la théorie. Grâce à ces différentes suppressions, la supersymétrie semble être une bonne avenue pour régler le problème de la hiérarchie, qui est caractérisé par une sensibilité déraisonnable du SM aux hautes énergies.

En effet, le Higgs est extrêmement sensible aux processus virtuels. Par exemple, si on considère les fermions du SM, on obtient une contribution à une boucle pour le Higgs qui procure une correction quadratique en Λ_UV1(figure1.1).

H H ψ ¯ ψ ∼ 2 λ2_ψ Z _d4_k (2π)4 k2+ m2_ψ (k2_{− m}2 ψ)2 ∼ −λ 2 ψ 8π2Λ 2 UV+ · · ·

Figure 1.1 – Divergence quadratique du Higgs causée par une boucle de fermions appartenant au SM. Les points de suspension représentent des termes finis ou divergent logarithmiquement, qui sont proportionnels à m2

ψ.

1. L’échelle ΛUV est celle d’une coupure (cutoff ) sur les moments dans l’ultraviolet qu’on utilise pour

régulariser les intégrales de boucles. De manière générale, on peut choisir ΛUV comme l’échelle à laquelle une

Ceci signifie que sans la présence d’un ajustement fin (fine-tuning) extrême, la masse du Higgs et son vev sont naturellement très élevés. Ce phénomène s’explique par le fait que l’échelle naturelle la plus petite du SM est tout de même élevée car ΛUV∼ ΛGUT, où ΛGUTest l’échelle

hypothétique de la grande unification. En effet, la soustraction entre la partie divergente et le contre-terme (counter term) doit s’accorder jusqu’à 24 chiffres significatifs pour expliquer une si faible masse (d’ordre 102 GeV) si on a ΛGUT∼ 1016 GeV [31].

La solution semblerait alors être de choisir un ΛUV plus petit, mais ceci implique

nécessaire-ment l’ajout d’une nouvelle physique à partir de cette échelle. Dans ce cas, on doit supposer l’existence de particules massives qui n’ont pas été découvertes, pouvant se coupler de façon directe ou indirecte avec le Higgs. D’une part, on pourrait imaginer une particule scalaire massive φ qui aurait un terme de couplage direct avec le Higgs de type L = λ_φ H†Hφ†φ

(figure 1.2a). Dans ce cas, même s’il a été possible d’enlever la dépendance

∆m2_H ∼ λφ 16π2Λ

2

UV, (1.1)

du diagramme1.2agrâce à une régularisation dimensionnelle, on reste tout de même au prise avec un terme proportionnel à un m2_φ naturellement élevé. De plus, même si on suppose qu’il n’existe aucun couplage direct entre le Higgs et des particules massives, l’existence de fermions pouvant acquérir un terme de masse directement dans le Lagrangien2 de type L =

mXXX , peuvent intervenir via des interactions à deux boucles causées par des interactions¯ de jauge commune. Encore une fois, le diagramme de boucles (figure 1.2b) a une dépendance en m2_X (avec une régularisation dimensionnelle appropriée), ce qui fournit une correction naturellement élevée au Higgs.

H H

φ

∝ λφm2φ+ · · ·

(a) Scalaire massif φ interagissant directe-ment avec le Higgs

H H

X

∝ g4_m2

X + · · ·

(b) Fermion massif X interagissant avec le Higgs via une interaction de jauge

Figure 1.2 – Corrections aux Higgs selon divers scénarios avec de nouveaux champs massifs. Une régularisation dimensionnelle appropriée est utilisée, expliquant l’absence de termes en Λ_UV.

Conséquemment, l’absence d’une dépendance quadratique à l’échelle de coupure est une condi-tion nécessaire, mais non suffisante au problème de la hiérarchie, car le Higgs reste sensible quadratiquement aux masses élevées, même dans un couplage minimal ou indirect au Higgs. Il est important de souligner que malgré le fait que ces types de corrections ne s’appliquent

2. Par abus de language, le terme Lagrangien est utilisé indifféremment du terme approprié densité Lagran-gienne tout au long de cet ouvrage, comme c’est le cas dans la littérature.

qu’au Higgs, tout le SM s’en trouve affecté puisque les masses des quarks, des leptons et des bosons de jauge électrofaibles Z0 et W±sont obtenues à partir de hHi. Donc, à moins de faire l’hypothèse que le Higgs ne se couple à absolument rien au delà de l’échelle d’énergie déjà explorée, on doit supposer que ces divergences quadratiques s’annulent par un mécanisme systématique, ce qui suppose l’existence d’une symétrie supplémentaire. La nature de cette symétrie est en fait suggérée par la divergence causée par des fermions à la figure1.1 et celle pour des bosons à l’équation 1.1 dans la correction du Higgs. En effet, on voit que si on a deux bosons pour un fermion (ou un boson complexe) et qu’on a la condition λ2_ψ = λ_φ, les divergences quadratiques peuvent s’annuler naturellement, motivant ainsi la recherche d’une symétrie entre bosons et fermions. Il s’avère que pour une supersymétrie non-brisée3, cette annulation se produit exactement ordre par ordre. Pour cette raison, la supersymétrie avec brisure à basse énergie a longtemps été la candidate idéale pour résoudre le problème de la hié-rarchie. Cependant, puisqu’aucun superpartenaire n’a encore été découvert au LHC, l’échelle de la brisure de supersymétrie atteint un point où la solution au problème de hiérarchie semble moins prometteuse. Toutefois, la possibilité d’une brisure de supersymétrie dynamique [2], qui génère naturellement de petits nombres, reste une option envisageable.

Continuant dans la lignée des motivations à la supersymétrie, on peut mentionner un motif supplémentaire à cette dernière, soit l’existence de candidats adéquats pour la matière sombre. Dans une théorie supersymétrique, il existe des particules stables, qu’on appelle les particules supersymétriques les plus légères (LSP). Si la LSP de la théorie est électriquement neutre et interagit peu avec le SM, alors cette particule possède les caractéristiques nécessaires pour être identifiée comme la matière sombre [15]. De manière générale, la LSP peut correspondre au neutralino4 le plus léger, ou au gravitino, le superpartenaire du graviton, ce qui est le cas dans les modèles avec médiation de jauge [33].

Également, comme mentionné dans l’introduction, la gravité peut être naturellement intro-duite en supersymétrie en rendant le paramètre de la transformation local. Ceci permet de retomber naturellement sur les équations de la relativité générale [36]. Cependant, le fait que le champ de jauge ajouté, le gravitino, soit de spin 3/2, et que le graviton soit de spin 2, empêche que les interactions soient renormalisables dans une théorie des champs quan-tiques conventionnelles. C’est pourquoi beaucoup de physiciens théoriciens se sont tournés vers la théorie des cordes, qui elle permet des interactions renormalisables pour la gravité en étendant le point ponctuel d’interaction sur un objet en 1-D. Toutefois, la supersymétrie est encore essentielle en théorie des cordes pour permettre l’existence de fermions, ce qui fournit une raison de plus pour étudier cette dernière. Finalement, on peut souligner que la super-symétrie est également pertinente dans des domaines de recherche actifs tel que l’étude de la

3. La supersymétrie non-brisée est cependant inintéressante au niveau phénoménologique puisqu’aucun superpartenaire n’a été détecté.

4. Le neutralino correspond à une combinaison linéaire des superpartenaires des Higgs neutres et des bosons de jauge.

correspondance AdS-CFT [3] et celle de la dualité Seiberg-Witten [47].

1.2

Notions de base

La supersymétrie est une transformation qui permet de passer d’états bosoniques à fermio-niques (et vice-versa), qu’on peut écrire de façon schématique comme

Q|fermioni = |bosoni, Q|bosoni = |fermioni, (1.2) où Q est un générateur de la supersymétrie qui est introduit plus formellement dans les sections suivantes. On dit que le fermion et le boson reliés par la charge Q sont éléments d’un même multiplet et que la particule hypothétique est le superpartenaire de l’autre. Plus précisément, on parle de multiplet chiral lorsqu’un multiplet est composé d’un scalaire complexe et d’un spineur de Weyl, alors qu’on parle d’un multiplet de jauge lorsqu’il est composé d’un vecteur de jauge et d’un spineur de Weyl.

Cette section vise à établir les bases nécessaires à la construction d’une théorie supersymé-trique en explorant la notation, les transformations et l’algèbre des générateurs. Également, on introduit la notion de superespace, qui est un formalisme très riche pour construire des théories supersymétriques de manière systématique.

1.2.1 Spineurs de Weyl

Lorsque la supersymétrie est impliquée, une notation en termes de spineurs de Weyl à 2 com-posantes est beaucoup plus avantageuse que l’utilisation de spineurs de Dirac ou de Majorana. Ceci s’explique par le fait que la plus petite représentation irréductible de la supersymétrie est le multiplet chiral qui contient un spineur de Weyl à 2 composantes. En terme de repré-sentation5 (j/2,¯/2) du groupe de Lorentz, la représentation (1_{/2, 0) est celle du spineur de}

chiralité gauche η_α, alors que (0,1_{/2) correspond à celle de chiralité droite ¯χ}α˙_{. Ce sont les}

premières représentations non triviales du groupe de Lorentz. Leur somme directe permet en fait d’obtenir le spineur de Dirac usuel

Ψ = ηα ¯

χα˙

!

, (1.3)

dont la représentation s’écrit simplement (1_{/2, 0) ⊕ (0,}1_{/2). Pour construire un Lagrangien}

viable à partir des spineurs de Weyl, il est d’abord nécessaire de construire des quantités qui transforment de façon bien définie sous le groupe de Lorentz. On considère une transformation de la forme Λ = exp−i

2ωµνJ

µν

(j/2,¯/2) 

, où J_{(j/2,¯/2)}µν est le générateur des transformations pour une représentation donnée. Pour les spineurs de Weyl gauche et droit, les générateurs peuvent

s’écrire explicitement comme h J₍µν1_/2,0) i β α = 1 4(σ µ_σ¯ν_{− σ}ν_σ¯µ₎ β α ≡ σ µν β α , h J_(0,µν1_/2) iα˙ ˙ β = 1 4(¯σ µ_σν_{− ¯σ}ν_σµ₎α˙ ˙ β ≡ ¯σ µν ˙α ˙ β,

où les σµsont les matrices de Pauli définies à l’AnnexeA. On aimerait d’abord construire un invariant du groupe, ou plus précisément un élément qui transforme comme un scalaire, car c’est un terme susceptible d’appartenir à un Lagrangien. On peut vérifier que la quantité

χψ = χaψa= abχbψa, (1.4) où ab est un tenseur antisymétrique invariant sous su(2)6_{, transforme bel et bien comme un}

scalaire. En effet, une transformation près de l’identité nous donne

χψ → χ0ψ0= abχ0_bψ_a0 = ab  χb− i 2ωµνσ µν c b χc   ψa− i 2ωµνσ µν c a ψc  = χψ − i 2 ab_ω µν χbσµν ca ψc+ σµν cb χcψa
+ · · · = χψ − i 2ωµν χ a_σµν c a ψc+ ψbσµν c_b χc
+ · · · ,

où à la dernière ligne on utilise l’antisymétrie de ab et le fait que ψ_aet χ_csont deux spineurs anticommutants. En utilisant ensuite l’antisymétrie de σµν (voirA.14), on obtient directement

(χψ)0= χψ, (1.5)

tel qu’attendu pour un scalaire. On retrouve de la même façon le résultat analogue pour les spineurs droits ¯η˙aψ¯˙a ≡ ¯χ ¯ψ. On remarque que par convention, dans les contractions, les

indices sans point sont descendants alors que ceux avec point sont montants, pour définir un produit positif de spineur. Pour construire un Lagrangien à partir de ces spineurs, on aura également besoin d’une quantité qui transforme comme un vecteur (qui pourra évidemment se contracter avec un terme de dérivée ∂µpour donner un invariant). Sans démonstration, on a les quantités suivantes

χασµα ˙αψ¯α˙ ≡ χσµψ¯ et χ¯α˙σ¯ααµ˙ ψα ≡ ¯χ¯σµψ, (1.6)

qui transforment comme des vecteurs. Ces quantités nous permettent d’écrire un Lagrangien supersymétrique en termes de spineurs de Weyl.

Dans le cadre de ce projet, on est confronté à des calculs assez techniques concernant les spi-neurs de Weyl. Entre autre, une quantité phénoménale7 d’identités de Fierz doivent être uti-lisées pour extraire les composantes appropriées des fonctions de corrélation superconformes. Ces identités, ainsi que les détails entourant la notation utilisée, se retrouvent à l’annexe A.

6. On rappelle que l’algèbre de Lorentz so(1, 3) est isomorphe à su(2) ⊗ su(2). 7. Un code Mathematica a été développé pour l’application de ces diverses identités.

1.2.2 Transformations supersymétriques

Soit un champ scalaire complexe φ et son partenaire supersymétrique le spineur de Weyl gauche ψ, assemblés dans le Lagrangien sans interaction

L = φ†∂2φ + i∂µψ ¯¯σµψ. (1.7)

On s’intéresse à construire une transformation qui nous permette de passer d’un champ à l’autre tout en laissant le Lagrangien invariant. Plus précisément, le Lagrangien doit être invariant à une dérivée totale près, tel que

δL = ∂µG(f ), (1.8) où G est une fonction de tous les champs f de la théorie. On peut d’abord tenter une trans-formation qui nous permette de passer de φ vers ψ de la forme

δφ ∼ ζψ, (1.9) où ζ est le paramètre de la transformation. Étant donné que [φ] = 1 et [ψ] =3_{/2, on constate}

que la dimension8 de ζ doit être [ζ] = −1_{/2. Également, ζ doit être un spineur de Weyl gauche}

pour que chaque côté de l’équation transforme de la même façon sous le groupe de Lorentz. Pour faire la transformation de ψ vers φ, on peut supposer une transformation de la forme

δψ ∼ ζφ, (1.10) qui transforme comme un spineur de Weyl gauche des deux côtés. Cependant, les dimensions ne s’accordent pas. On doit ajouter du côté droit un élément de dimension 1 qui ne modifie pas la représentation du groupe de Lorentz. On doit donc ajouter un objet du type σ_{α ˙}µ_α∂µ et changer le spineur gauche pour un droit, afin qu’au final l’indice libre soit celui d’un spineur gauche (sans point). On s’attend donc à ce que la transformation prenne la forme

δψα∼ (σµζ)¯ α∂µφ. (1.11)

Il ne reste qu’à vérifier que le Lagrangien1.7est laissé invariant sous les transformations1.9et

1.11comme dicté par1.8. C’est effectivement le cas lorsqu’on fixe correctement les constantes proportionnelles aux transformations. Toutefois, on peut entrevoir une problématique appa-raître lorsqu’on compte les degrés de liberté (ddls) virtuels (off-shell) et réels (on-shell) pour un scalaire complexe et un spineur de Weyl (tableau1.1). On voit que pour les degrés virtuels, le spineur de Weyl est un objet complexe à deux dimensions, ce qui lui confère 4 ddls, alors que pour les degrés réels, seuls les 2 ddls associés aux états de spins physiques survivent. Toutefois, le scalaire complexe possède 2 ddls en toute circonstance. Il manque donc 2 ddls bosoniques virtuels pour que la transformation d’un scalaire vers un spineur (et vice-versa) se

8. Toutes les dimensions peuvent être exprimées en termes d’unité de masse grâce à l’utilisation des unités naturelles.

virtuels réels

Weyl gauche 4 2

Scalaire complexe 2 2

Tableau 1.1 – Degrés de liberté pour les éléments d’un multiplet chiral

fasse naturellement. La réponse à ce problème est connue et est en fait suggérée par la phrase précédente : on ajoute à la théorie un champ auxiliaire bosonique complexe F . On ajoute donc un terme F†F au Lagrangien9 1.7, qui n’ajoute évidemment aucun ddl réel puisque l’équation du mouvement est simplement donnée par F = F†= 0. En procédant comme précédemment, on trouve les transformations supersymétriques suivantes pour un multiplet chiral,

δφ =√2 ζαψα, (1.12) δψα= i √ 2 σ_{α ˙}µ_αζ¯α˙∂µφ + √ 2ζ_αF, (1.13) δF = i√2 ¯ζα˙σ¯µ ˙αα∂µψα, (1.14) où on explicite les divers indices spinoriels. On remarque que le terme F transforme comme une dérivée totale, ce qui est un fait important pour la construction d’un Lagrangien super-symétrique.

1.2.3 Algèbre

Selon le théorème de Noether, pour chaque symétrie continue, il existe un courant conservé. Ce dernier possède un indice spinoriel en supersymétrie tel que

∂µJαµ= 0, (1.15)

puisque le paramètre de la transformation est un spineur. En fait, ce courant nous permet de trouver la charge, soit la quantité conservée associée à l’intégrale

Qα=

Z

d3~xJ_α0. (1.16)

Cette charge Q, augmentée de son équivalent droit ¯Q, sont les générateurs des

transforma-tions supersymétriques. L’algèbre, définie par ces charges, a la particularité de contourner le théorème No-Go de Coleman-Mandula (C-M) [8], en se liant de façon étroite aux générateurs de l’algèbre de Poincaré. En effet, le théorème C-M démontre que dans une algèbre de Lie, les générateurs Ta d’un groupe de jauge ne peuvent être mélangés de façon non triviale avec les générateurs de symétries d’espace-temps, tels P_µ et M_µν, sans rendre la matrice de diffusion S triviale. L’algèbre supersymétrique contourne ce problème en étant une algèbre définie par

9. On doit ajouter un terme tel F†F plutôt que F F ou F†F† puisque le Lagrangien doit être réel afin que la théorie soit invariante sous CPT . Également, on constate que la forme de F†F implique que [F ] = 2,

des anticommutateurs plutôt que des commutateurs. Il est possible de montrer que l’algèbre supersymétrique est en fait la seule possibilité de contourner le théorème10 [26]. En fait, on peut montrer que la seule relation d’anticommutation non triviale entre deux supercharges nous est donnée par

{Qα, ¯Q_β˙} = 2 σ_{α ˙}µ_βPµ, (1.17)

dans la notation de [51] avec N = 1, où N est le nombre de charges supersymétriques. Égale-ment, on note que les supercharges commutent avec le générateur Pµ. Connaissant l’algèbre des supercharges, il est possible de montrer un résultat très pertinent en supersymétrie, soit le fait que le nombre de bosons N_B et le nombre de fermions N_F doivent être le même dans un multiplet donné. Pour ce faire, on définit l’opérateur (−1)F qui anticommute avec les charges

Q et où F est un opérateur qui compte le nombre de fermions. On prend ensuite la valeur

moyenne sur tous les états en agissant avec (−1)F. Ceci est équivalent à prendre la trace Tr[(−1)F 2σµ α ˙βPµ] = Tr[(−1) F_{Q α, ¯Q_β˙}] = Tr[(−1)FQαQ¯_β˙+ (−1)FQ¯_β˙Qα] = Tr[(−1)FQαQ¯_β˙− ¯Q_β˙(−1)FQα] (anticommutation) = Tr[(−1)FQαQ¯_β˙− (−1)FQαQ¯_β˙] (cyclicité) = 0.

Donc, pour un multiplet avec un moment Pµ quelconque, on doit avoir

Tr[(−1)F] = 0, (1.18)

ce qui signifie que N_B = N_F, tel qu’on voulait démontrer.

Pour utiliser toute la puissance de l’algèbre pour les différents calculs de ce projet, on a également besoin des relations entre les charges supersymétriques et les champs éléments d’un multiplet chiral. Il est possible d’obtenir ces relations à partir de

[ζQ + ¯ζ ¯Q, f ] = −iδf, (1.19)

où f = {φ, ψ, F }. Le calcul des ces différentes relations est effectué à l’annexe B, avec les δf définis aux équations 1.12,1.13 et1.14. Les résultats sont les suivants

[Qα, φ] = −i √ 2ψα {Qα, ψβ} = i √ 2_αβF [Qα, F ] = 0 [ ¯Qα˙, φ] = 0 { ¯Qα˙, ψα} = − √ 2σµ_{α ˙α}∂µφ [ ¯Qα˙, F ] = − √ 2σµ_{α ˙α}∂µψα.

10. C’est le cas une fois qu’on ajoute les charges centrales de l’algèbre, qui apparaissent dans une théorie supersymétrique étendue, c.-à-d. une théorie avec plus d’une charge Q et ¯Q.

Également, on peut mentionner la présence d’une charge supplémentaire dans l’algèbre su-persymétrique qui résulte de la présence d’une symétrie globale U (1)_R. Cette symétrie est caractérisée par le fait que les variables θ et ¯θ transforment sous une charge inverse

θ → eiαθ, θ → e¯ −iαθ.¯ (1.20) Ceci implique directement que les générateurs de la supersymétrie ne commutent pas avec cette charge

[R, Q] = −Q, [R, ¯Q] = ¯Q. (1.21)

Lorsqu’on cherche à construire une théorie invariante sous cette symétrie globale, on se re-trouve avec une charge R associée à chacun des champs. On regroupe dans le tableau 1.2les charges R de différents objets utiles pour les différents calculs de ce projet.

θ θ¯ Q Q¯ d2θ W φ ψφ Fφ

U (1)R +1 −1 −1 +1 −2 2 rφ rφ− 1 rφ− 2

Tableau 1.2 – Charge R de différents objets pour une théorie invariante sous U (1)_R [33]. Les indices φ sont présents pour indiquer que ces champs proviennent d’un même multiplet.

Cette charge R a un rôle important à jouer dans ce projet, puisqu’elle intervient comme contrainte sur la forme des solutions données par les OPEs superconformes.

1.2.4 Superespace

Pour faciliter les différents calculs en supersymétrie, il est possible d’introduire le concept de superespace [45], qui utilise le fait que la supersymétrie transforme de façon non triviale avec les coordonnées d’espace-temps. On introduit donc des coordonnées de Grassmann définies comme θ = θ1 θ2 ! , θ =¯ ¯ θ˙1 ¯ θ˙2 ! , (1.22)

ainsi que la coordonnée supersymétrique

yµ= xµ+ iθσµθ.¯ (1.23)

Ces variables rendent possible l’introduction de la notion de superchamp, qui nous permet de contenir en un seul objet les différentes composantes d’un même multiplet11 en utilisant les coordonnées du superespace. Par exemple, le superchamp chiral contient le champ scalaire complexe, le spineur de Weyl ainsi que le champ auxiliaire. Le superchamp est une quantité

particulièrement intéressante, car les variables de Grassman étant nilpotentes, il est possible d’écrire la forme générale d’une fonction F (xµ, θ, ¯θ) par un développement en série de Taylor

fini. La forme la plus générale pour un superchamp nous est donnée par

F (x, θ, ¯θ) = f (x) + θφ(x) + ¯θ ¯χ(x) + θ2m(x) + ¯θ2n(x) + θσµθv¯ µ(x)

+ θ2θ¯¯λ(x) + ¯θ2θψ(x) + θ2θ¯2d(x), (1.24) où les différents f (x), φ(x), etc., peuvent être obtenus grâce à la formule de Hausdorff

eAeB = eA+B+12[A,B]+··· et l’élément de groupe eiθQ+i¯θ ¯Q = eiθQei¯θ ¯QeθPµσµθ¯. Comme il est montré à la prochaine section, cette forme peut par la suite être contrainte afin de construire des multiplets connus. Dans la littérature, on note souvent l’ensemble des coordonnées du superespace avec z = {xµ, θ, ¯θ}, et ce travail n’en fait pas exception. On écrit donc F (z)

plutôt que F (x, θ, ¯θ) lorsqu’on fait référence à un superchamp. La prochaine section montre

la puissance du formalisme en termes de superchamps pour la construction de Lagrangiens supersymétriques grâce à l’utilisation du calcul de Grassmann. Pour plus de détails au sujet du calcul de Grassman, le lecteur est prié de se référer à l’annexe A.

1.3

Superchamp chiral

Lors de ces travaux, on a surtout porté un grand intérêt aux différents portails scalaires qui relient le secteur visible au secteur caché. En ce sens, le champ d’intérêt est le superchamp chiral gauche (LCS)12introduit brièvement au début de la section1.2. Malgré ce que son nom sous entend, ce champ est un scalaire de Lorentz pour lequel seulement une des composantes du superchamp est un chiral gauche.

1.3.1 Contraintes sur un superchamp général

À partir du superchamp scalaire le plus général possible donné par 1.24, on peut appliquer des contraintes permettant de restreindre la forme. Pour obtenir un LCS, ou plus précisé-ment un superchamp indépendant de ¯θ même après l’application des diverses transformations

supersymétriques1.12,1.13,1.14, on cherche un opérateur ¯Dα˙ tel que

¯

Dα˙F = 0. (1.25)

Pour obtenir la solution, on peut d’abord vérifier quelle genre de contraintes une transforma-tion supersymétrique impose sur ¯Dα˙

¯

Dα˙F0 = ¯Dα˙(1 − iaµPµ− iζQ − i¯ζ ¯Q)F , (1.26) = −i ¯Dα˙(aµPµ+ ζQ + ¯ζ ¯Q)F , (1.27)

12. Dans le reste de cet ouvrage, s’il n’y a aucune indication sur le sens de la chiralité, on sous entend qu’on a un LCS.

où on a utilisé la contrainte 1.25. La dernière ligne nous indique que si ¯Dα˙ commute avec Pµ et qu’on a { ¯Dα˙, Qβ} = { ¯Dα˙, ¯Q_β˙} = 0, alors la contrainte 1.25 nous informe que le champ

transformé répond lui aussi à la contrainte ( ¯Dα˙F0 = 0). La première condition est simple

à satisfaire : on choisit un ¯Dα˙ tel qu’il est indépendant des variables d’espace-temps. Pour

les anticommutateurs, on utilise la forme différentielle (dans la notation de [51])13 pour les charges supersymétriques Qα = ∂ ∂θα (1.28) ¯ Qα˙ = − ∂ ∂ ¯θα˙ + 2i θ α_σµ α ˙α ∂ ∂yµ. (1.29)

On peut vérifier que la contrainte ¯Dα˙ = −_{∂ ¯}∂_θα˙ permet aux anticommutateurs d’être nuls. Pour obtenir un superchamp chiral droit, le résultat est légèrement plus complexe à obtenir, mais similaire.

La contrainte pour le superchamp chiral gauche permet de simplifier le superchamp général. Pour un LCS, la forme la plus simple est

O(z) = O(y) +√2θψ(y) + θ2F (y), (1.30)

où y est la coordonnée définie précédemment. Pour obtenir le résultat en termes de la coordon-née x, il faut simplement faire le développement en série de Taylor. On montre à la prochaine section que cette forme simplifiée peut être suffisante, mais qu’il peut être nécessaire de faire le développement.

1.3.2 Superpotentiel et potentiel de Kähler

L’avantage du superespace réside avant tout dans le fait qu’on peut construire un Lagrangien supersymétrique de façon simple et systématique. Pour les termes d’interactions, la construc-tion d’un tel invariant à partir de superchamps se fait naturellement grâce à de ce qu’on appelle un superpotentiel W(Φ₁, Φ2, · · · ), qui est une fonction holomorphe de superchamps

chiraux. Plus précisément, on construit les invariants en prenant la projection en θ2 de W, ce qui revient à prendre l’intégrale de Grassmann suivante

Lint= Z

d2θ W(Φ1, Φ2, · · · ) ≡ W(Φ1, Φ2, · · · )|F. (1.31) Dans la littérature, on qualifie souvent cette intégrale de terme F , d’où la seconde égalité, en référence au champ auxiliaire F , qui est proportionnel à θ2 dans le superchamp 1.30. La raison pour laquelle ce terme donne un invariant supersymétrique est en fait directement reliée au fait que la transformation supersymétrique du terme F donnée à l’équation 1.14

est une dérivée totale, ce qui signifie que le Lagrangien est laissé invariant par l’ajout d’un

13. La notation de [51] change en cours de route. Ces opérateurs différentiels sont ceux qui apparaissent dans les définitions du chapitre 5 de Wess & Bagger.

tel terme. Également, il est possible de démontrer que le produit d’un nombre quelconque de superchamps chiraux gauches donne également un superchamp chiral gauche [31]. Ceci permet de conclure que le terme en θ2 d’un produit de LCS permet toujours d’introduire un terme d’interaction supersymétrique au Lagrangien. Toutefois, si on s’intéresse à une théorie renormalisable, il est nécessaire de restreindre davantage cette condition. Sachant que [d2θ] =

1, on voit directement qu’il faut avoir [W] = 3 pour obtenir un terme de dimension 4 dans le Lagrangien. On est donc limité au produit de superchamps Φ_iΦ_jΦ_k, puisque [Φ_i] = 1. Pour illustrer la méthode, on montre ici comment aller chercher le terme F dans le superpotentiel W = mΦO, soit Lint = Z d2θ mΦO = Z d2θ m (φ +√2θψ_φ+ θ2Fφ)(O + √ 2θψ_O+ θ2FO) = m (φFO+ OFφ− ψφ· ψO), (1.32)

où Φ et O sont des LCS et m est un terme qui a une dimension de masse. On note que tant qu’on considère seulement le terme F , il est superflu de faire le développement de la variable y en termes x et ¯θ, puisque le résultat est équivalent. Ainsi, tous les termes de 1.32

sont invariants sous les transformations supersymétriques 1.12,1.13et1.14par construction. Toutefois, on rappelle qu’un Lagrangien doit être réel (L = L†), et par conséquent, on doit également ajouter le conjugué hermitien pour former un Lagrangien viable.

On s’intéresse ensuite à générer de façon systématique les différents termes cinétiques d’un Lagrangien supersymétrique. Cette fois-ci, sachant que le terme cinétique d’un champ scalaire complexe a la forme ∂µ_φ∂

µφ†, on sait qu’on s’attend à devoir mélanger des superchamps de chiralité gauche et droite, c.-à-d. des combinaisons de la forme Φ†Φ. De plus, comme on cherche à obtenir des termes de dérivée, il est cette fois-ci essentiel de faire le développement en série pour la variable y. Ceci nous donne la forme

Φ(z) = φ(x) + iθσµθ∂¯ µφ(x) + 1 4θ 2_θ¯2_∂2_{φ(x) +}√_{2θψ(x) −√}i 2θ 2_∂ µψ(x)σµθ + θ¯ 2F (x). (1.33) Ce développement, combiné avec le développement équivalent pour le conjugué hermitien, nous permet de voir que pour obtenir un terme contenant deux dérivées partielles, on doit faire la projection des termes en θ2θ¯2. Par analogie avec le terme F , on appelle cette projection le terme D, puisqu’il correspond à la même puissance en θ que le champ auxiliaire D pour un superchamp de jauge14. On peut ainsi obtenir le terme cinétique de n’importe quel produit de superchamps en allant chercher le terme D. Cependant, si on s’intéresse à une théorie renormalisable, le seul terme possible est

Llibre= Z

d2θd2θ K(Φ) =¯

Z

d2θd2θ Φ¯ †Φ ≡ Φ†Φ|D, (1.34)

14. Contrairement au champ F qui est un champ scalaire complexe de dimension 2, le champ D est un champ scalaire réel de dimension 1. Il permet d’ajouter un ddl bosonique virtuel permettant d’égaliser les ddls virtuels bosoniques (3 pour un vecteur de jauge) et fermioniques (4 pour un spineur complexe).

où le K(Φ) est ce que l’on nomme potentiel de Kähler renormalisable pour le superchamp Φ. Ce terme étant déjà réel, aucun terme supplémentaire n’est nécessaire dans le Lagrangien.

1.4

Brisure de la supersymétrie

La première chose à prendre en considération pour construire une théorie supersymétrique du SM est que les différents éléments d’un même supermuliplet ont la même masse. En effet, on peut d’abord constater que l’équation 1.30 peut être réécrite en utilisant l’algèbre de la section 1.2.3de la façon suivante

O(z) = O(y) + iθQO(y) +1 4θ

2_Q2_{O(y). (1.35)}

Ceci met en évidence le fait que les superpartenaires sont reliés entre eux par l’action des supercharges sur la composante zéro15du supermultiplet. Sachant que Q commute avec Pµ, on en conclut que la valeur propre PµPµ= −m2 n’est pas modifiée par l’action des supercharges et donc que O(y), ψ(y) et F (y) doivent avoir la même masse. De plus,comme les supercharges

Q et ¯Q commutent avec les générateurs des transformations de jauge, il va de soi que chaque

élément d’un supermultiplet vit dans la même représentation du groupe de jauge : on a donc les mêmes nombres quantiques pour caractériser les superpartenaires [33]. Cependant, il est clair qu’aucun superpartenaire respectant ces critères n’a été observé. Par exemple, il n’existe évidemment aucune particule scalaire de la charge et de la masse de l’électron. Il est donc nécessaire que la supersymétrie soit brisée. Le fait qu’une symétrie doive être brisée pour qu’une théorie soit viable ne nous est pas inconnu. On sait, par exemple, que la symétrie électrofaible du SM doit être brisée spontanément par le mécanisme de Higgs afin de donner une masse aux différentes particules. Cependant, il s’avère qu’il est beaucoup plus complexe de briser la supersymétrie d’une façon viable.

Comme aucun superpartenaire n’a été découvert, les masses de ces derniers doivent toutes être exclusivement plus élevées que leur partenaire connu. Une simple brisure spontanée provenant du MSSM, comme il est montré, ne permet pas de réaliser un tel phénomène. Il est donc nécessaire de se tourner vers une brisure explicite. Cependant, une telle brisure doit être effectuée avec précaution pour ne pas détruire les aspects attrayants de la supersymétrie, dont la suppression des divergences à tous les ordres.

1.4.1 Brisure spontanée et supertrace

De façon générale, pour briser une symétrie de manière spontanée, on veut que le Lagrangien soit invariant sous la symétrie mais que l’état de vide (ground state) ne le soit pas. Dans le cas de la supersymétrie, ceci implique qu’on a les conditions suivantes lorsqu’on applique une

15. On réfère à la composante scalaire du multiplet chiral comme la composante zéro, comme c’est fait dans la littérature.

transformation sur le vide

Q|0i 6= 0, Q|0i 6= 0.¯ (1.36) Également, il est possible de montrer que cet état du vide doit être strictement positif. En utilisant l’algèbre 1.17

{Q_α, ¯Qα˙} = −2σα ˙0αP0+ 2σiα ˙αPi, (1.37) puis en utilisant le fait que P0 = H et que seule la matrice σ0 a une trace non nulle, on peut isoler l’hamiltonien en prenant la trace de chaque côté

{Q₁, ¯Q_˙1} + {Q₂, ¯Q_˙2} = 4H. (1.38)

En prenant la valeur moyenne, on obtient alors de façon explicite h0|H|0i = 1

4(|| ¯Q˙1|0i||

2_{+ ||Q}

1|0i||2+ || ¯Q˙2|0i||2+ ||Q2|0i||2) > 0, (1.39)

qui est clairement une quantité strictement positive si l’espace de Hilbert a une norme positive et que la supersymétrie est brisée. On a donc la condition h0|H|0i > 0 à respecter pour avoir un bris de supersymétrie. Si on peut négliger le présence de condensats et des configurations de champs avec une topologie non triviale, alors la condition devient h0|V |0i > 0, où V est le potentiel scalaire16. On peut montrer que ce potentiel scalaire a la forme

Vscalaire = Fi†Fi+ 1 2D

a_Da_{, (1.40)}

où les Fi et Da sont respectivement les champs auxiliaires des supermultiplets chiraux et de jauge pour lesquels on résout l’équation du mouvement. On voit donc que pour briser la supersymétrie, il faut avoir Da 6= 0, Fi 6= 0, ou une théorie qui ne permet pas d’obtenir simultanément Da = 0 et Fi = 0. Dans un premier temps, il est possible d’avoir un bris de symétrie causé par le terme D si on ajoute au potentiel scalaire un terme linéaire L_FI= −ξD. C’est ce qu’on appelle le mécanisme de Fayet-Iliopoulos [16]. Pour qu’un tel terme linéaire apparaisse dans le Lagrangien, il est nécessaire que le groupe de jauge contienne une symétrie

U (1). Toutefois, il est possible de montrer que ce type de brisure ne peut survenir à travers

le U (1)Y du MSSM. Également, même si on suppose l’existence d’une symétrie U (1) à haute énergie et qu’on brise la supersymétrie avec le mécanisme de Fayet-Iliopoulos, il est très difficile de retomber sur les masses appropriées pour le MSSM.

Un type de brisure plus intéressant pour respecter la phénoménologie est la brisure de type F , donnée par la condition Fi6= 0. Toutefois, il n’est pas trivial d’obtenir un modèle qui permet une telle brisure. Par exemple, si on prend le superpotentiel avec un seul superchamp Φ

W = 1

2mΦ

2_{, (1.41)}

16. Le potentiel des fermions ne peut évidemment pas apporter à la théorie un vev non nul sans briser l’invariance de Lorentz.

et qu’on cherche l’équation du mouvement pour F† à partir des interactions L_int =

Z

d2θ W = mφF + fermions, (1.42) et du terme cinétique F†F , on trouve F†= −mφ, qui donne évidemment F = F† = 0 pour la valeur φ = 0 (ce qui correspond à la figure 1.3a où la supersymétrie est préservée). Pour illustrer comment le mécanisme de type F fonctionne, on utilise le modèle de O’Raifeartaigh [38], qui est probablement le modèle le plus simple permettant une telle brisure. On a donc le superpotentiel WO’R= −kΦ1+ mΦ2Φ3+ y 2Φ1Φ 2 3, (1.43)

avec les Φ des superchamps chiraux. On obtient le potentiel scalaire avec

V (φi, φ†i) = |F1|2+ |F2|2+ |F3|2. (1.44)

Les différents F_i sont obtenus à l’aide de l’équation du mouvement ∂Lint

∂F = ∂Lint ∂F† = 0 avec, Lint= Z d2θWO’R= −kF1+ m(φ2F3+ φ3F2− ψ2ψ3) + y(φ1φ3F3+ 1 2F1φ 2 3− 1 2φ1ψ3ψ3− φ3ψ1ψ3) + h.c., ce qui nous donne pour les F_i† suivants,

F₁†= k −y 2φ 2 3 (1.45) F₂†= −mφ₃ (1.46) F₃†= −mφ₂− yφ₁φ3. (1.47)

Très clairement, on voit qu’il est impossible d’obtenir F₁† = 0 et F₂† = 0 simultanément, ce qui brise la supersymétrie spontanément (figure 1.3b). Pour confirmer que cette dernière est bel et bien brisée, on peut vérifier le spectre des différentes particules de la théorie.

Sans démonstration, on obtient pour un régime particulier de paramètres les masses suivantes pour les 6 ddls bosoniques [31]

0, 0, m2, m2, m2− yk, m2+ yk. (1.48)

En contrepartie, on peut montrer que

0, m2, m2, (1.49)

sont les masses carrées pour les 3 spineurs de Weyl à 2 composantes. Ainsi, on voit en compa-rant1.48et1.49que la dégénérescence sur les masses des superpartenaires est levée. Toutefois, on peut déjà entrevoir un problème au niveau phénoménologique avec cette brisure. Parmi les

φ V (φ, φ†)

(a) Minimum supersymétrique pour le po-tentiel scalaire

φ V (φi, φ†i)

P

i|Fi2|

(b) Minimum non supersymétrique pour le potentiel scalaire

Figure 1.3 – Potentiel scalaire pour un minimum supersymétrique et non supersymétrique sans bris de symétrie interne. La symétrie U (1)R est préservée par ces potentiels.

masses 1.48, on retrouve la masse carrée m2− yk qui est inférieure à celle du fermion. Ceci est bien évidemment interdit par l’expérience. Le modèle de O’Raifeartaigh ne semble donc pas approprié pour briser la supersymétrie. Il s’avère en fait que cette conséquence est une caractéristique générale des modèles de brisure par le terme F . Ceci s’explique par le fait que pour toute interaction en type d’arbre, la supertrace définie par,

STr(M2) = X

particules

(−1)2s(2s + 1)m2, (1.50)

doit toujours être nulle, si on suppose la conservation des saveurs [33]. On peut d’ailleurs vérifier que c’est bien le cas pour les masses précédentes. La seule façon de contourner adé-quatement17cette règle est de supposer que la supersymétrie est brisée, possiblement par un terme F , mais dans un secteur autre que celui du MSSM, ce qu’on appelle le secteur caché. La brisure est ensuite transmise de manière radiative ou indirecte au MSSM. C’est ce qui est étudié au prochain chapitre.

1.4.2 Brisure explicite

Il est donc évident qu’on ne peut briser la supersymétrie directement dans le secteur du MSSM sans obtenir des masses problématiques pour les superpartenaires. Ceci implique qu’on doit supposer que la supersymétrie est brisée dans un secteur caché, puis transmise d’une manière quelconque au secteur visible. Toutefois, sans même s’attarder au mécanisme de brisure et de transmission, il est possible de paramétriser notre ignorance par l’ajout d’une brisure explicite au Lagrangien du MSSM par ce que l’on appelle des termes soft. Ces termes doivent bien sûr être contraints à plusieurs niveaux pour préserver la suppression des divergences quadratiques à tous les ordres. On peut montrer que les termes respectant les critères suivants,

17. Il est toujours possible d’introduire des termes de mixage qui brise la symétrie des saveurs, mais il devient très difficile de construire un modèle viable [33].