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Notion d'ordre, intervalles

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Academic year: 2021

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Texte intégral

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Notion d’ordre.

1°) Ordre et comparaison.

a) Comparaison

Comparer deux nombres réels a et b, c’est chercher à savoir quel est le plus grand (ou s’ils sont égaux). Dire que a > b équivaut à dire que a – b > 0.

Ainsi, comparer a et b revient à étudier le signe de a – b.

Exemple : Soient n et m deux nombres réels positifs, comparer n² + m² et (n + m)².

(attention si un des nombres est négatif tout change, par exemple : 2 et -3)

Soient 4 réels a, b, c et d.

b) Ordre et addition (ou soustraction : additionner l’opposé)

Propriété : Si a < b, alors a + c < b + c.

Propriété : Si a < b et c < d, alors a + c < b + d.

c) Ordre et multiplication (ou division : multiplier par l’inverse)

Propriété : Si a < b et c > 0, alors ac < bc. (exemple : 4<5 x3 ou x-3) Si a < b et c < 0, alors ac > bc.

Propriété : Si a, b, c et d sont des réels positifs tels que a < b et c < d, alors ac < bd.

d) Encadrement

Soient a, b et x trois nombres réels. On dit que a et b encadrent x lorsque a ≤ x ≤ b.

Exemple : 7 . 0 3 2 6 .

0   est un encadrement au dixième de 3 2 . 66 . 0 3 2 67 . 0    est un encadrement au c de 3 2  .

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2°) Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses

a) Passage au carré, à la racine carrée

Propriété : a et b étant deux nombres positifs distincts, a < b équivaut à a² < b².

Conséquence : deux nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même ordre.

Donc a < b équivaut à a < b.

b) Passage à l’inverse

Propriété : a et b étant deux nombres strictement positifs, a < b équivaut à 1/a > 1/b. Exemple : 2<5<10 ½>1/5>1/10 (0.5>0.2>0.1)

3°) Valeur approchée.

On coupe le nombre à la précision voulue et on regarde le morceau de droite: si il commence par 0, 1, 2, 3 ou 4, l'arrondi est égal au nombre coupé à la précision voulue. Sinon l'arrondi est égal au nombre coupé à la précision voulue, arrondi au supérieur.

Exemple: Soit m=67,9457162 L'arrondi au dixième de m est 67,9.

L'arrondi à 2 chiffres après la virgule de m est 67,95. L’arrondi à de m est 67.946

L’arrondi à l’unité de m est 68.

4°) Intervalles.

a) Intervalles finis

Considérons deux nombres réels a et b, tels que a<b.

L’ensemble des nombres réels compris entre a et b est un intervalle fini qui correspond à un segment sur une droite graduée.

On peut distinguer 4 cas selon que les nombres a et b sont ou non inclus dans l’intervalle.

1er cas : l’intervalle fermé [a,b] contient les nombres compris entre a et b, les nombres a et b étant inclus ;

c’est donc l’ensemble des nombres réels x tels a ≤ x ≤ b.

2ème cas : l’intervalle ouvert ]a,b[ contient les nombres compris entre a et b, les nombres a et b étant exclus

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3ème cas : l’intervalle [a,b[ contient les nombres compris entre a et b, le nombre a étant inclus, mais b étant

exclu; c’est donc l’ensemble des nombres réels x tels que a ≤ x < b.

4ème cas : l’intervalle ]a,b] contient les nombres compris entre a et b, le nombre a étant exclu, mais b étant

inclus; c’est donc l’ensemble des nombres réels x tels que a < x ≤ b.

Remarque : C’est le sens des crochets (ouvert ou fermé) qui indique si les extrémités sont ou ne sont pas

incluses dans l’intervalle. b) Intervalles infinis Considérons un nombre réel a.

L’ensemble des nombres réels supérieurs à a est un intervalle infini qui correspond à une demi-droite sur une droite graduée. C’est un intervalle dont l’une des borne est infinie.

On peut distinguer 4 cas selon que le nombre a est ou non inclus dans l’intervalle.

1er cas : l’intervalle [a,+∞ [ contient les nombres supérieurs ou égaux à a ; c’est donc l’ensemble des

nombres réels x tels a ≤ x.

2ème cas : l’intervalle ]a, +∞ [ contient les nombres strictement supérieurs à a ; c’est donc l’ensemble des

nombres réels x tels que a < x.

3ème cas : l’intervalle ]-∞, a ] contient les nombres inférieurs ou égaux à a; c’est donc l’ensemble des

nombres réels x tels que x ≤ a.

4ème cas : l’intervalle ] -∞, a [ contient les nombres strictement inférieurs à a; c’est donc l’ensemble des

nombres réels x tels que x < a.

Remarque : Les crochets sont toujours ouverts du côté de l’infini puisqu’on ne peut pas l’atteindre.

c) Réunion d’intervalles

Définition : la réunion de deux intervalles est l’ensemble des nombres qui sont dans un au moins l’un

des deux intervalles.

Exemple 1 : si on enlève le nombre 1 de l’intervalle R, l’ensemble obtenu est la réunion de deux

intervalles, qui sont

;1

et

1;

:

Cet ensemble est noté

;1

U

1;

(symbole pour « union »).

Exemple 2 :

d) Intersection d’intervalles

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Exemple 1 : I

;5

etJ

 

1; , IJ

 

1;5 .

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