Décomposition et Agrégation dans la conduite optimale d'un grand réseau de distribution d'eau

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Décomposition et Agrégation dans la conduite optimale

d’un grand réseau de distribution d’eau

Pierre Carpentier

To cite this version:

Pierre Carpentier. Décomposition et Agrégation dans la conduite optimale d’un grand réseau de

distribution d’eau. Automatique / Robotique. École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 1983.

Français. �pastel-00833999�

THESE

présentée à

L'ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS

par

Pierre CARPENTIER

en vue de l ' obtent ion

DU TITRE DE DOCTEUR INGENIEUR EN

MATHEMATIQUES ET AUTOMATIQUE

Décomposition et Agrégation dans la conduite optimale d'un grand réseau de distribution d'eau

Soutenue le 5 Décembre 1983 devant le jury composé de

Messieurs Pierre BERNHARD Président

Guy COHEN Rapporteur

Bernard CONTE Examinateur

Jean Michel LASRY Examinateur

Eva VEpO, K'UP~ Ba'Y'Ye~ L~ EvavEpO, KPVO VEpO

, ,

,

KL am» noueeKaTEPaLVEl Ba'Y'Y E~ l~P.OV rra Lvep.~V11i

REMERC IEMENTS

Ces remerciements s'adressent en premier lieu àMons ieur Pierre Bernhard, tout d'abord pour m'avoir accueilli au Centre d'Automatique et d'Informatique de l'Ecole des Mines de Paris lorsqu'il en était directeur, puis pour m'avoir fait l'honneur d'examiner ce travail et d'accepter la présidence de mon jury de soutenance.

Je tiens ensuite à remercier tout particulièrement Mon-sieur Guy Cohen pour avoir dirigé ce travail et pour m'avoir permis, par ses conseils et ses encouragements, de le mener àbien. Qu'il trouve ici l'expression de toute ma reconnaissance.

Je remercie également Monsieur Bernard Conte, ingénieurà la Société Lyonnaise des Eaux et de l'Eclairage, qui fut pour cette étude le partenaire industriel idéal, et qui m'a fait le plaisir d'accepter de faire partie de mon jury.

Je remercie enf in Messieurs Jean Michel Lasry et Ernest lrv ing qui m'ont fait l ' honneur de pr endr e partà ce jury.

Je voudrais également exprimer ma gratitude à tous collégues du C. A. 1. pour leurs conseils, tant dans le domaine des mathématiques que de l'informatique, et pour leur gentillesse.

Enf in, je remercie Madame Altirnira pour avoir, malgrè l'absence de clarté de mes manuscr its et un système de traitement de texte adverse, réalisé ce document.

SOMMAIRE

INTRODUCT 1 ON

CHAPITRE 1 : Descr iption et modélisation du problème.

1.1. Caractéristiques générales des réseaux de distri-but ion d'eau

1.2. Caractéristiques du réseau concerné par l'étude. 1.3. Modélisation mathématique du problème de commande. 1.4. Difficultés de la résolution et solutions envisagées.

CHAPITRE II : Méthodes de décomposition-coordination.

II.1. Introduction.

II.2. Fondements théoriques de la décomposition-coordi-nation.

11.3. Application au cas d'une interaction en débit-pres-sion.

II.4. Application au cas des vannes télécommandées.

CHAPITRE III : Méthodes d'agrégation-désagrégation.

111.1. Introduction. 111.2. La Désagrégation. 111.3. Agrégation exacte.

111.4. Agrégation basée sur la notion de cohérence. 111.5. Résultats obtenus par ces méthodes.

CHAPITRE IV :Mise en oeuvre ; résultats ; conclusions.

IV.1. Description du processus complet d' optimisation. IV. 2. Résultats obtenus sur une journée-test. IV. 3. Conclusions.

INTRODOCTION

Nou s présento n s dan s cette étude un ensemble de méthod es et de techniques pour la ré s olut i on du problème de la commande opt ima le d'ungra nd syst émedyn am i q u e compLexe , .,\sa vo i r un réseau de distributio nd'eaupotab l e a l'échelled'un e régi on, en Fr anc e.

Précisons tout de suite ce t te no ti o n de "Gr and Système Comp l e ll e" : il s'a g it dans le ca s qui nous intéresse d'un sy s t ème dont lescaract éristiquessonttellesqu ela résolutio n du probl ème d'optimisat i on correspondant par des mé thod es cla s s iq u e s s' a v é -rerai t impraticable sur tout. ca lculat e ur (t.emp s -c a l c u l exces si f, ou/et stocka g e tro p imp o r t a n t). De plus, ce système, qu i s'est. constitué au cours du temps par l 'int erc onn e ll ion de rëe eeu x de distribution d'eau de pl us petite tai l l e , se présent e comme un en s e mb l e hété rog è ne, chacun des sou s - s y s t èmes a.yant ses carac-t.éristiques pro p res, nécessitant dell mé tho d esde réso lution a

dap-t.ée a a ch a qu eca s.

Les mét hodes que no u s nou s prop o s o n s d' a ppliqu e r se réfèrent. aux deux grands cou r ant s d' idées de l'Aut omat i q u e des grands systè mes: il s'agit es s en tie lleme nt de e notion s de déc om-posit ion -coo r di nationet d'a g r ég ation-déeag régation. L'un e des ori-ginalité s, pensons nous, de ce trav a i l est d'avoi r ut i l i s é si mul-ta.nément ces deux id é es,quiac n t, entait. compl éme n t.a ir e s l'une de l'aut r e.

Le ré s e au de dist.ri b utiond'eau ayantserv i de supportà ce t t e étu d e es t ce luide la régi on parisienneouest de la Soci été Lyonn a isedes Eaux et de l' Eclairage (SU E). Il s'éten ddee port.ee de Par is jusqu'à Auberg enville, soit environ une quarantaine de kilomèt res à l'Oue s t , et al imente en eau potable tant des ao n e e rur al e s (Feucher olles , Ch ambo u rcy,...) que des zone s torte men t urbanisé es (Le Pe cq, Poissy, ... ), voire de gro s consommateurs in d u s t r i e lsoud'aut re s compag n i e s dedistributiond'e a u.Autot a l , ce réseaudesse r t une populat ion d'e nvi r o n unmil liond'hab itants,

répartis sur les départe ments de s Yvelines et des Haut s-d e - Seine, et la productionann uelleest del' or dre de cent millionsde mè t r es cubes. Il comporte une vingtai ne d'usin esdeproductionpr inc ipa l es refoulant dh::e c t emen t dans le réseau, ains i qu ' un e tre ntaine de réservoirs.

La structure de ce réseau est co n s tit ué e par une ar t.ere principale (en fai t, une canal i sat i on d'un mètre quarant e de diamèt re) alimentée par l' u s i ne d'Aube r g e nv i l l e, et traversant d'Oue s t en Est toutelarég i on des ser vie.Su r ce t teartèr e viennen t se branc he r d'a ut r e s canalisations pe r mett an t de four ni r, pa r un ensemb le de vannes télécommandées, de l' e a uaUll autres part i e s du réseau. Ces autres parties, appelées ecue-œeeeeux përiphérrqcee , ont engéné ral des ressourcesenea u et dee eepe erce e de st o c k a g e propres.

Ceré e eau estactuellement cont rO léde ma nié recent r alis é e parunopér ateur hUma i n:àpartird'uncentr ede dispatchingoù son t rame néestoutes lesme su r e s effect uéesentemps-réel sur le réseau (ni v e a ux desré s er v o irs, débit s des va n nes, état des usi nes) et où l'on pe ut agir sur chaq ue organe de commande (mise en marche de pompe s , modit'ication du débit transitant dans le s vannes), cet op éra t e ur, n' uti lisant qu e son ex pé r ience, che rche a conduire l'ense mble des ins t a ll at i o ns du résea u, en respectantun ce rtain nombre de ré gI e s de fonctionne ment.

Le but de cette étud e s' ins c rit dans le ca d r e futur de l'automatisation de la comma nd e du ré s eau et vise à produ ir e un logiciel opéra tionnel capab le de four n i r en temps- réel des con -sLqnea de fonctionne ment de s installatio ns derefo ulement de l'ea u et des vanneeeffect u a nt l8e transfe rtsd'eaU entr e les différentes part ies du réseau , co ns i g ne s minim i s ant le coa t; d'exploitati o n global encour u su r le ré se a u, à savo ir la somme du cout. de traitementde l'e a u et du cout;élec t r iquené cess a ireà80 n pompage, tout en respectant l'ensembledes cont r aint e s de fo n c t ion ne me nt, portant, par exemplesur le s ni v e au xde l'e au dans le s réservoirs, la press iondans les canalieations, la puissanc eélectriq ue totale dispo n ib l e pour une usine de ref ou lement , le volumeglo b ald'eau a

fourni r quot id i e n n emen t a un client •. . .. Dans unpremi e r te mps. ce logicielne do i t être utili8è que comme une aide a.la déci8ion de l'op é r a t e u r. ce derni e r ayant toujou rs la possibil it é de ne pas su i v r e les consig nes de comman d e s fournies par le programme. Cependa nt. rien n'interdit de pens er qu 'àterme, etdansla me s u r e où.le compo r tementdes solut ion s fou r n i e sparlelogiciel s'a vè rera satisfaisant, les conaigne eca l c ulée s aoient directe me ntep pLrqueee aux organe e de commande e. vi a le e lignes de télé-tranemieeione eervantdéj à à l'acquisition desmesu resef fectu éessur le rés e au .

Plu sieurs pro j e t s por t ant sur la comman de de ce type de résea uon t été traités. Parmiceu x-ci . me n t i on n onstou t d'a b or d la seule réal i s at i o n existant e (a notre co n na is s a n c e) pour l ' ali-mentation du ré s eau d'eau de la région de Cambridge (Gr ande Bretagne). oùunor d in at eu rpi lotedeman ièr eauton ome le s insta l-lations du réseau (Fal l side and Perry (1975» . Cepe nd a n t . cette étude a utili8é de manière cruciale certaines ceract.er istiques n'exis t antpasdansle pro blè me qu i motiveno t r e travail.commepar exe mp l e le fait que l'on peut re t e n ir commemodèle du réseau un mo d èl e linéari séautour d'un pointde fonctio n n eme nt moyen (c e qui n'es t pas envisageabledansnotreca s oulesensde circulation de l'ea udan s les tuyau xpeut s'inverser su i v a n t les command es que l'on applique), ou encorelefait que le s pompes présent e s su r le réseau ecne a. vi t ess e varLabLe, et que les var ia bles de command e s eeeeccteee (dé b i t s refou lé s) eontde nature contin ue (alors qu e le ré seau dela SLEE ne poe aëde pratiq uementque de spompes en "tout ou rie n ", les variablesde commandes associées -nomb re de pompes en ma rc h e - étant alors de nature discrète). Tout ceci permet une modélisation simple du pr ob l ème . ee lim i tan t aux équations de débit, alore qu'une mod él i sat i on en déb it-press i on pa rait indis-pensabledans le cas du réseau oueet.de la SU E.

L'au t r e étude que noue mentionnerons iciest ce l l e effec -tuée surlapa r tierive- dr oit ede laSeinedu rése a ude distribution d'eau de la SUE en rég i on paris ien n e sud (J o all an d (197 8)) . Ce pro j e t est beaucou pplus prochedu no treque leprèeéd e rrt,,et nous a d'ailleurs servi de premi è r e exp é r ren ee pour l'applic ation des mé t h o d e s de décompos i tio net d'agrégation aucas desré se a u xd'e a u:

les ce receer re e rqce e physiques de ce s ré s ea UJll: sont as s e z proche s , et dans le s de ux ca s, on est amené a manipuler des mo d è l es non linéaire s en débit -press i onpour re p r ése n te r co r r e c t e me n t la ré a-lité. Cependant, le p r cbLèmepo sépa r l 'optimisationdu rée e eu de la ré g i onparisienn e sud sesit u ait bienen deç a de no t re proj e t. qu i s'i n t éresse a un ense mble bien plus vaste et bien plus ece pLe x ee in di q uons simplement , pour fiJll:er le s id é es , qu' il exi.ste dans le ré s e au eueat; des souS-r éS8 &\.I:I[ pér iphériqueedont la complexité est plus grande que cel l e du réseau sud r ive-droite tou t entier1De plus, le but de notr e ét ude est de fournir des cons ignee de fonctionnement en tempe-reel, ce qui n' était pas le cas de la précéde nte.

Dans le premierchapitrede ce mémoir e, nou sdécr ir o n s le pro blème posé, sa modéli sati on ma thé mati q u e. les difficultés sou -le v é e s pin sa ré s o l ut i o n ainsi qu'une descript i on ecceince des solutione retenues.

Le second chapitr e sera consac ré au x mé th o d e s de déc om-pos i t i on-c oordination,toutd'abord expe e e e eda na un cadre gén ér al, puis appliquées aucae qui nOU8in t ére s s e.

Dans le trois ième chapitre. nous montrerons comment uti -lis e r Lee notions d'agrégat ion et de cohérence pour par v eni r a rés oudre avec une précis ion satisfaisante les sous-pr oblèmes les pl u e complexes issu sde la décomposit iondu pr o blème globa l.

Le qua trLèmechapi t r e seratou t d'abor dcon s a c r é aux deux points suiv a nts: d'une par t l' examen de la maniére dont eo n t imbr rq u e e e les deux méthodes pré céd entes au sein du process u s d' o p t im i sat ion complet ains i que la façon dont ont été traitée s certai ne s diff i c ultés , düee soit a la nature du problé melui-méme , soit au x méthodesde résolution mises en oeuvre; d'autre par t les dé v e lo p p eme n t s qui ontétéapport é s pour perme t tr e l'u t i l i sat i o n en

temps-réel des r eeu.ï.tat.e re eue de l 'opt im i sation. Pui s nous pr é -sente ro n s ces ré s u l ta t s obtenus sur quelques je u r në e e -uee t; de foncti on ne men t et noust ire ronsfinalementqu e l quescon c l u s i o n s sur cet t e étude.

CHAPI TRE 1 DESCRIPTION ETMODEL I S AT I ON DUPROBLEME

1.1. Caractér istiques général e s des réseaux de di str ibut i on d'eau

De maniè r et.ré e générale, unréeeaude dietribution d'eau est const i t ué d'unense mblede ca na l isat i o n s dedi v er s longueurset diamètres formant un gra phe mai l l é . Aux noeuds de ce graphe sont localisées les conso mmations des abonnés. En fait, ce s co

n-sommatio ns sont reparties le long de s can a lis ations , ma i s , le manque tota l de connaissance que l'on a de ce t t e répartit ion fa i t qu' i l paraIt li c i t e de localiser les conso mmatio ns aux no eu d s du réseau. En certains de ces noeuds se trouve nt des ré s er v o i r s per me t ta nt de stocker l'eau, des po mpe s qui permettent soit d'inj ect e r de l'eaudans le réseau a pa rti r de res s o ur ces ex t e r ne s auré s e au (bâ c he s alimentéespar desforag es puisantdans desna p p e s ph ré a t i q u es ou des ri v i è r e s ) , soit de fair e franchir à l'eau un étag e de pression en t re deux part i e s du réseau, dans le sens croissan t des pr es s i on s . Ces pompes peuven t soit être a vite ss e variab l e,auq ue l cas on maitris edi r ec t e me n t ledéb i t refoulépar la pompe, soit être en "tout ou rien". Dans ce dernier cas, ledé b i t re f oul é par la pompe dépend des con d i t ion s de pre s si on dans le résea u et n'est pa s connu a l' av a nce. On peu t enfin effect u e r des

transferts d'eau entre différentespa rtiesdu ré s e a udans le se ns décroissant en utilisant des réduc teu rs de pression, comme par exempl e, des détende urs ou des van ne s. Cee vannes peuvent elles-mêmesêtreen tout ou rien,ou contrOlées endé b i t.

Le rOl e du réseau est de pouvoir satisfaire a chaque ins t ant l'ensemble des consommat eurs. Ceci peut être réalisésoit en ut i l i san t les capacitésde produ c ti on , soit en utilisant l'eau stockéedans lesré s e r v o i r s . Onvoit doncqu e l'int6r6t ëconermque des réservoirsest dou ble: ils permetten t defaire face aux pointes

de la consommationsans faire appe l au xressources les plus chères (c'est a dire les pompes dont lerend emen t électriq ue est le mo ins

l'énergieélectr ique es t bonmarche (n euree cr e u ses EDF. do nui t ). ea u utilisée ensuite dans les pertcdee taz1fah:ee chéres. Ce dernier point expliqu e que l'une des contrai nt e s ue ue Lte e de fonctionne ment su r un ré s ea u soit l'oblig a tio n fa i t e d'avoir to u s le s ré s e r voirs remplis en fi ndenu i t .

y

.

...

~"

~

1

- Figure l

-Le mo d é l e mathémat i que pe r me t tant la re p r é s e n t atio n d'un rése a u d'eause compose de de u x ens emb l e s d'équa t i ons .Lepremierde ce s en s emb les eat consti t ué par lea équations différent ie l le s donn a nt l ' év ol ut i o n du niv eau de s rés e r v oi r s (une équation par réser voir) .de la fo rme:

dxk(t ) Sk( 'xk ) . ~ - qk( t )

où qk( t ) est le débi.t al gé br iqueentran t danslak- i è me

ré servoir à l' i n s tantt

xk( t) est le ni v e au à l'i.nstantt du k-ièmerés e r v o i r

Sk( Xk ) eatla surface de la sec t i o ndu rés ervo i r k à laha ute ur xk'

Le s dé bit sqk(t) sont déter mi n és pal: la résol ut io n du deu x reee ensemb l e d'é qu a tions, donna n t à chaque instan t le s co n-ditionsd'équili b r einst ant an é dane le réseau , en suppos a ntconnu es

les consomma tio n s,l' ét at de mar c h e des pomp e s et l'é tatde svann es. Cette réso l ution fo u rn i t en tait la press i o n en ch aqu e noeud du ré s eau (saufaux no eudsoù son t loca l is és les rése r v o irs , et où la pres s i on estdonc déj à con nue ) et les débitstrans i tantau traver s de ch aq ue élément (tuyaux,pompes, vannes)et donc, en particul ier, les débits d'e nt r é e des ré s er v oirs co n trib u ant à la partiedyn

a-mique du modè le. Leséquations sont le s sui v a ntes :

• Equ a t io n s de cons e r v a tion de la mass e

En chaquenoeuddu rése a u , la somme algé b riqu e des déb i ts

en t r a n t etBo r t a n t est égale à la consommation en ce noeud:

121

où: J (i) désigne l' e n s e mbl e desno eu ds du réseau adjacen t s

aunoeud i

qij est le débit transi tant da n s l 'é lémentliantle s

noeuds i et j

ci est la con somma t ion au noeud i

• Equ atio nsde pertede charg e

El les car a ct é ri sent la dis si pati on ou l 'accro isse men t d' é n e r g i e mé c an iquedans les élémen t s du rés e a u:

où:

potentiel, généralement exprimé par la hauteur d'une co lo n n e d'eau(SOU8en tend uq~icréeraitla même pression âsa base)mes uréeparra p port âun niveauderé f é r e nc e -ce lu i de la mer, par exemple-.

•Pij est la relation, ca r a c t é r i s t i q ue de l'élément connec-tantle s noeuds i et j, relian t déb i t et pr e s s i o n.Da n s le casd'un tuyau, la formeretenue pour Pij est:

,Rij étant un coer r i.cient; dépendant de la longueur, du diamètre et de la rugosité du tuyau.

Dans le ca s d'une pompe en fonctionnement, une bonne approxima tion co n s i s t e à utillser une fonction para -bolique,

appelée courbe caractéristique de la pompe. Bien év i-demment, laco u r b e caractéristique d'unepompe à l'arrêt correspond à:

Po u r le s vannes , ou autres dispositifs spéciaux (d é t e n-deurs,••). des relations de méme type peuvent être utilisées. Cependant,pourles vannes té l é c o mma n d é e s ,on supposera quec' e st le débitqij qu r est directement imposé (ce cipeut êt r e obtenu, soit parun asservissement local, soi t par l'actionmanuellede l'opérateur). On voit donc apparaltreles variables de comma n d e s so i t so u s for me cont inue (ch o i x de dé b i t ), so i t so u s forme dis c r èt e (choix d'Une courb e caractérist iqu e corres pondant à chaque co mb i n a i s o n de pompes, à l'arrêt ou en fonctionnementenun pointdonnédu réseau). Nousy reviendrons un e nouvellefois plus lo i n.

Noto n sen f i n quela pressi onHi est supposé e lor s q u e l'on tr o uv e au no eu d i du rëeeeu unreeervo rz ou la bâche d'ali men t ationd'une us i n e.

On consta te donc que le modèle dé cr i.t est celui d'un ey etèrce dynamique creeefque , avec comme va riab l e s d'état les niv eau x xk des rése r v oi r s , comme va ri a b l e s de comman d e ce l les associées auxpompe s et aux vannes, et soumis a des per tu r batio n s ext érie u r e squ i sont lesconeo mma tio n eCi en ch a q u e noeu d. Ce -pe nd ant. et c'est là une difficul tè réelle dans le pro blème de la commande dee réseauxd'eau,le ca lculde la dér rv ëedel' é t a t pas s e par la résolution de l'ensemble de s équ a t i on s st a t iq u e s no n l inéai r e s décrit e s ci-d e s su s , et cette tâche peut s'avérer tr ès co ùt. e u e e en temps calcul.Disp o e er d'U n e méthode rapi d e et efficace pour cet t e résol u tio n set donc fon dam ental. Plusieurs solutions eae rer are en e ee exi stent: cert aines découle n t de la méthode de Newton app liquéeà l'ens e mbl e deséqu a tio n s [2] et [3] (Ra o et al. (19 74») , d'aut resramènentle prob lèmeàunprobl ème d'op t i mis at ion sou s contra intee li n é a i r e s qu i est rés o l u ité r ativ e men t en l inéa-risant le critère, pour pouvo ir utilise r de s algor i t hme s de flot min imum ra pi d e s (Collins et al. (19 8 3) ) . Une aut r e cl asse de mé t h o d e s , enfin,ch erc h eàne trav ai ll er que sur unnombr e réduit de variablee: ontrouveradans (Ja r ri ge, (1983) ) une comp a r aisond'un cert a i nnomb re de ce s mé t h o de s.

La méth od e que noue avo ns ut i l is é e appa rtient à ce t t e dernièrecatégori e et eet; bien connu ede s hy d rauli ci e n s 1I0UII le nom de mé th o d e de Hardy- Cr o s s. El le consi s te à se définir un ce rta i n no mbre dechemins in d é p e nd a n t s dans leré s eauet àfair eva ri e r le débit le lon g de ces chemins par un e méthode de Newton relaxée (c ' e s t a dire en tr a v a i l l an t sé q ue n tiel lement sur de e quantit êe ecalairss). ju squ'a la conv e r g e n ce . El le pré s en t e le e avantagee d'être l'une des mé thod e s le s pl u s rapide s (pour vu que l 'on se conte n t e d'une pré c i si onassez fai b le ). de nené ce s sit er qu e peude stocka g e (p ui s q u'o n tr a v a i l le su rdes variab l esré d u i te s ) etd'è t r e enfintrèsfacile à programme r. On tro uvera dan e (Dup o n t, (197 1) unede e c rip tio n ex haustive de la mé th od e et dans (Joal land, (1978) une programmationde cell e-ci.

1.2. Car a ctéris t l q ues du réseau concerné par l'é t ude

Outre satrèsgr an d e ta i l l e , déjâ.pr é c é d emme nt mentionnée. le réseau considéréepr ésenteune structure particulière, que l'on peut qualifierde "et.r uct.ure en étoi l eM_{avecun sous-ré s e au cent r al}

.lI.uquel sontconnectésdes sous-ré s ea ux périphériqu es CPigure 2) . Le sou s- ré s eaucentr alest essentiellement constitu é d'une impo r t ant e usine (d' un débithor aire maxi mumde 6.000 m3) ref ou lant directeme nt dans de gros réservoirs se trouvan t pratique me nt au po int le pl us élev é de l'ense mble du réseau . A partir de ces réser voirs pa rt une conduite de fort diamètre qu a permet d' al i

-menter par un syst èmede vannestélécommandée sla plupartdes sous -réseaux périphér iquee. Cetteconduite peu t. ence r t a i n s endroits, être réa lime nté e à pa rtir des sous-réseaux pé riph é r ique s par des pompe s.En bout deco nduite setro uv e un réservoir al i menté, ent re autre s, pa r ce lle -c i. avecla particularité quele tota l du débit journal i e r fo urn i à ce rés e rvoi r par la conduite est fixé par con t rat , toute lat i t ude étant la is s é e po ur la répar tit i o nau cours de lajo urné e(d ansla li mi t e,bieneür, du débit max imumque peut laisse r transiter deman i èr e instantanéelavanne cor res po nd ant e); c'est ce que nou s appe ler ons un contrat journalier de fournitu r e d'eau. Ce so us-ré seau cent r a l n'est pas maillé, et ne compt e pra tique men t pas de conso mmateurs. La réso l utio n des éq uatio n s co r respo nda nt aumodèle associé estdonc exces si v e me nt simple .

-Le e ecue- œëaeeux périphériques son t denaturetrèsva J:: re e, couvr a nt dee zonee géographiques assez d1!!éJ::en tes: rurales, urba i n e s. ind ustriel le e. Chacun d'euxpeutcont e nirunouplusieurs

ceeeevcir e, des pompes int e r n e s et un ré s eau maillé . Le plus comp l exe d'entr eeu xco mpor t e quatre réservo irs, septusi neset une douzai ne de mail les . alor s qu e cer t a i n s sous- r éseaux ne compo rte qu'un reeervctr sans ressou rce s propres . Outre leurs éventu e l l e s

rn eeeeennextone pat" vannee et pompe s au e oue -Ϗeeeu centt"al .

certainssous-rése au x périphériquessontreliéedirec tementl'unâ.

l'autre, le cas le plu s cour an t étant ce Lui où un e usrne de

production re foule da ns de ux sous-rés eaux distinc ts, ave c une contrainte (évent u e l lement dynam ique ) sur la pecauec rcn max.i mal e

totale de l'Usi ne. Le schéma globa l d'i nter c onn ex i on (F i g ur e 3) re pré s e n t e chaque sou s - r é s e a u et ses lien s ave c le reste de l' e n s emble.

Une aut re ca r a c t ér i e tiq u e de ce réseaues t que la quasi

-tot a li t é despompe s quiy eont présentes. sont de e pomp e e en tout ou ri en, les v a riable e de commandeassoc iée s ét an t lenombrede pompes en acti on (et non le débit z ef ouLé, qui ne peut étr e déterm i né

qu'après laré e o l ut i oncomplétedes équat i onsde l'hyd J:: a uliq u e [2] et [3 ] du réseau) , ce qui fait que le prob léme de comman de as s o cié

ré seause trouveêtre un problèmeen nombres ent ie rs . A l'opposé, toutes les vanne s ex istan tes ecn t; tél

é-commandées en dé b i t. de tel le sorteque le e va ri a bles de commandes eee ccrëe eeont;les déb itseux mëmeeet sontdonc cont inuel'. Onvoit

do nc que les comman d e e du r eeeau ecnt, A la foisde na.ture dr eczèt,e

et contin ue. Remaz quone pour conclure que le e comme nd es discrètes

sont plutO t Icceireeee à l'i nt érieur des ecce-œee e e ux, et donc sero n t les pe remèt.r es d'optimie atio n de s 8ou8 - pro b l éme s lo caux cor re spon d ants. alors que Le e comma nde econtinues ae trouvent aux r rcnt.teree entr e les ecueeree ee u x, et conet i tue ntain s i la grande maj or ité de s inter c o nn exio n s . Cet te r ema rque permettra de jus-tifie r l' applic a tio n dee mét.hodea de déc ompositon- coor d i n at ionau

- Fig u re3

-m

-m

-m

Le but gl oba lde l'opérateur con d u1san t lereee e ueet donc de partager la res source co mmu n e pr ovenant du ee u e -eeeee u cent r a l entre le s soua-réseaux pér1phériques et de gérer lee r ee eourcee 1n t e r n e e de ch ac un de ce s sous-r éseaux , cette gest 10n dé p end ant b1eneür de l ' 1ntene1 té deséc h a ng esef f ec t u és avec leec u a - œëe e eu

cent z a 1. L' objec t1f vteë est b1enentendude m1n1mi ser les ccut.e de

fonct1o n n e me nt (du mo1ne ceu x qui eont, directement vari a b les la produ ct i on ) encou r ue su r l'ens embl edes ueane e du réeeau, Nou s pr ec reercn e plue loinlast r uc t u r e de ces ccüt, e•

l.3 . Mo d él isa ti o n mathématiquedu problèmede commande

Nous avene déja me n t i onné le fa i t qu'une de s cont r aintes dtex pLcLt.at. Lon étai t de remplir les réserv oirs du rëe eeuen fi n de nu it. L'ét at du sy stème étant précisément les ni veaux de ces

rése rvoi rs. 11 appar a i t que cette cont rai n t e d'explo it at i on dé -cou pl e le probl ème dans le temps par pér iode de 24 heure s. Le probl ème d'optimi s atio n pou r ra donc être formulécommeun prob lème de commandeoptimale

a.

horiz o ntrnr , sur unepèriode de24 heur es, avec état final imposé (ré s e rvo i r s pleins ). La seule exc e ption

a.

cela a lieu pour les péri od e s de finde semain e . puisque po u r la jou r n ée du Dimanc h e entière . le tarif électri q ue en vigu e u r ee t, un i f o r me , et da n s ce COle; le pro b l è me de comman d e opt i mal formulésur un horiz onde 48 he u re s Apartirdu Samedimatin.

Le problème de comman d e a de plus été for mu l é en temp s dis cret . Th éo r i q u e me n t. il fau d r ai t conaidérer que le s arrèts -dé marra ges de pompes peuv en t ët .re ef fectués à n'i mpo r t e quel

in stant. et mettr e un coOt imp ul s i o nne l eur chaque ch a n g e me nt de command e pou r évi t e r desmodi f i cations trop rapides, irr é a lisab l es par l'op é r a t eu r et préj u d ic iab l es aux installat ions. Ma is ce t te fo rmulat i o nass o cie une nouvel le variabled'étatbinairepar pompe etcon d uitàun problèmeinsolubl evu le très grand nombr ede pompes exist an t su r le réseau (p l u s de cent !) . C'e st pour qu oi il a été déc id é de n' auto r i s e r les ch ang emen t s de con fig u r a tio ns de pompe s qurë certai n s imltanttl prédétermi n és.cequiind u i t unefor mu l at ion du problème en te mps di s cr et. ave cde s pas de temps de l'or d rede l'h e u re.Ce l are streint un pe u lacla ss e descomman desautoriséeset se traduit donc par un cert a i n de g ré de soue-optimali te eee so l ut i o ns prop o s é e s . mais on peut espérergue cettedégrad ation de perfo r ma nc e r eet.e faible grâc e à un chaix judici e ux des pa s de

temps. respectan t bi en . par exe mp l e. la st ru c ture ta rif ai re élec -tr iguede la jour né e.

Les ccne omma tione aux noeuds du réseau eont supposées

a.

l'avance pour chaq u e pas de temp s de la pér iode

d'optimi 8 ati on . El les ecrie en f",it rcuenree pa r un programme de p rédjct.Lcn in t é g r a nt le s con s ommat i o n s de s jour8 pré céd e n t s et.

ce rt a i n e s vari able s mét é or o l og iques, mais la qualité de cett e

prédict i onest tr ès moyenn e, pouvant pré s en t er ave c la réali tédee éc a rts del'or d r e de 15\. alla ntex cepti o nne l l e me ntjU8q u'A20 \.

Nou s pouvon s alors mo dél i s e r le prob l ème complet. Nou s désignons parTle nombre de pointeded18c rét1 81ltionde la période d'op t i mi s a t ion, et par N lenombretotal de s so us- rés eaux (cent r al etpërLp hèriq ue s) formantle ree eeu global.

Nou s appeloneUl'e n8 e mbl e descomma n des despompee du réseau . et m le nombr ed'usinesde refoulement . Soit hj le nombredeco mb i n a isons

de gro u p e s depompe s pouvantrefouleràl'usinen-j.numérot é s de l

à Sj'

la ve.ï.eu r nullepourUj signifiant qu'aucune pompe ne refoule à l'us 1n e j.q( Uj) et 'l(Uj ) son t respectivement le débit et la

con s o mma tionélect r i q u eàl'usinej pour la commande Uj' Remarquons tout de sui te qu e l 'ens e mbl e Use décomposepar rapport aux sous -rëee euxenU... Ulx...x~. l'ensembleUs regroup antles commandesdes

usine s se trouv an t dan e le ec u e-œéee eue; m8'écr1t alor 8:

Soit n le nombre derés er v oirs et x"'(x l•.. .,x i •. . .,xn) l 'é tat du syst è me . :li:1désignant la hauteur d'eau dans le r ee e r vc ir t. Nous noter onsde mani è re généraleS(x i)le volumed'eaudans le réservoir i corres pond an t /lUni v e a u xi'

Demême que po ur les us ines. le vecteurd'étatx se décompose par rap port au ecua- œëe e eu x. ns' éc ri t alors :

et

Soi t encoreWl'ensemble desco mma n d e e des vannee duréseau.et ple

nomb r e de ce evann e s télécommandéee .Nous noteronswket

Wk

les

valeur s minimales et max Ime Lee du débit que peut l-;Tsser pae ee r la vannek, et no us avons do nc:

w- (w/w" (w1•. •. ,wk•.. .,,.,p) • w_k E:{~k.;;k J} En touteri g u e u r . lesbor n e s eupèrteuree

Wk

dépendent des

clit i on s locales de pressi on , puisqu'alors, e11 8 a cor r es po nd e nt

111mp leme nt auxdébi tstrans i tantdans 188 tuyaux lorsqueles vanne e eont gr and ouvertes. Cependant, noue contenterons re 1 de bor n es app r o x i ma t i v e s . éventuellement plue sévères. mai s co ns -tan tes.

Nousnoteronsee l'ensembledes indices des vannes

connec-tées ausous-réseau8. W8 dé s ignant alors le vecteurdes débi te de s

vannesassociéesetWS l'ense mbl e des commandes asso c i ée s; Nous not ero ns encoreysl'appl i cat i onqui , auvec teur compl etde sdé b i ts dea vannesw, asso c i esares t r iction au sous-réseau15:

.,

a :

W-,

se

WS _"S(w )

Dans leca d redu reeeau étudi é, cc toutes les vannes sont teeu ee du sous-r ése au ce nt r al, noua supposeron s (moy e nn a nt une renumérot a tio n des vanne s et l'int r od uc t i o n de vanne s fictives ne pouvantdon nerqu'un déb it nul)po ur simplif ier lesnotationsque le sous-réseau cent r a les t lesous-réseaunumér oN,et quech a q ue S

OU8-rés e a upéri phé rique s (H:s~N-l)est connectéau sous-r é sea uce n tr a l par la vanne numér o s. Le ve cteurdes débita de van nesa alor s N-l compo s ant e s (do nt N-p-l ficti ve s) et nou s avon s :

ecue- œëe e eupé t:iph ét:iqu ee ec ue-œee e e u cerrtraï,N : Nous avone donc : Ws ~ {ws/ws. ws,Ws €( '!!!s'WaJ} ,.s (w) •W_s eN ...(1,•• .,N-1)

'ff

-

w; wN- (w1 ' · ··,w_{N_ 1 )} ,.N• Id_w w_

,.l

x ••• x

""

-1 -

""

Dan s la suite ,nousr eep.ï.ec e xcn esouv ent,.S (w) pa t:wS,

eecnen t;quveLcre,les vaziablesWS ne sont pa s indé pendante s entr e ell es.

Enfin, nOU8 not e ron s c le vecteur des consommations en chaque noeu d durés eau , quipeut de mêmeët. r e écla t épat: rappo zt;

a-la décompo s i t i onen ecue -rëeeeu:

ouCS est le ve cteu r des consommat i ons en cha q ue noeud du 5

0US-réseaus.

t désigne t:a l' i ndi ce du pa s de temps, t€ {O,..•, TJ. Cet

indi c e est susceptible d'étt:8 ajouté

a-

toute s les no ta ti ons

défin ies préc éd e ramen t;, et ne doit pas être confond u avec lee

inde xatio ns uti l isées dan s la numéro tat i ondes réeervotre , us i n e e, va nn e s,.. ..

*

La modé l is at i on du eyecee edynamique a dé jà étéévoq u ée

[4gJ

t € {O,••. ,T- Il

enco re, en Ltécri vant pourch a q u e sou s -réseau:

[4dl t € {O, .• •,T-l}

15- 1,.. . ,N

* La lDOdél i ea.t i on des cont J:: a.int es: cel l es ci sont de

na tu retr è s diverse :

- La sati sfaction des consommat i o ns est automati que me nt

as suréepar la résolu tionde s équations [2J et [3]du réseau.

- En toutnoeud du réseau, la pr e s s i on statiquePdans la

canali s a t i ondoit être su p é r i eur e à un ce r t a i n seuil (p o u r évi t e r

le s ef fets de ca v i t at ion) et inf ér i eur e à un autre seu i l (po ur

évi t er le s ruptures de cond uite)

P e [P1'lIin, Pm&.X] [5]

- Lee ni v e aux des réservoirs ne doivent pasdescendre

dessous d'un niveau minimum (r adi e r du réservoir augmenté d'une

réserve de sécu r i t é) et ne pe uv e n t excéder le trop-plein. Ceci

s' exprime sur le vec teurd'étatxpa r :

~<x<

x

ou encore, au niveaude chaq ue sous-réseau:

'!os <xe <;s, 15=1,.. .,N

[6 g]

Nous voyons donc surgir une diff iculté pour l'optimisation, à savoir la présence de contraintes sur les var iables d'état.

- Les réservoirs doivent être remplis à la f in de la

pér iode d'optimisation. Nous ne pouvons cependant choisir une cible

finale ponctuelle car les commandes du problème sont partiellement

discrètes, et le problème n'aurait presque sürement pas de

salu-t ions. C'est pour quo i nous nous déf inissons une c ible- intervalle:

[7g]

avec C= _{[Xlmi n' x Imax]X ... x [xnmin '}Xn max ]

xST e Cs, s=l, . . . ,N [7 dl

- La puissance électr ique instantanée appelée à une us ine

de refoulement doit toujours être inférieure à la puissance

maximale souscrite pour l'usine, qui dépend elle-même de la période de tari fi cat ion électr ique:

11t(Uj)~11t , j-l, . . . ,m [8] t=O, . . . ,T-l

- Enfin, nous avons déjà mentionné que le total du débit

journalier fourni par certaines vannes était imposé, sa répartition à chaque pas de temps étant libre:

[9]

* Le critère à optimiser regroupe tous les coùts de

fonctionnement des installations du réseau liés directement à

l'exploitation. En particulier, les dépenses dùes au personnel et

aux dépenses fixes (entretien, . . . ) ne sont pas comptabilisées. Ces coùts sont de trois origines:

- coût dû à la consommation électr ique des pompes de r e rou.Lemerrt , notée 71t(Uj) à l'usine j et dépendant des conditions de pression sur le réseau à l'instant t.

- coût dû à la consommation électr ique des Ineta.Ll.at.i one

se trouvant dans les usines, mais autres que les pompes

de refoulement: exhaure, éclairage, traitement

spéci-figue. Cette consommation est évaluée et ramenée au

volume d'eau r ef oulé par l'usine. La consommat ion uni-tair e ser a notée ,u,j pour l'us ine n° j _

- coût dû aux traitements physico-chimiques assurant la

pot.ab Ll Lt.é de l'eau refoulée _ Ce coût est ramené volume d'eaurefouLéeet est noté: Vj àl'us ine j_

Sion note aj, t le coût du kilowatt-heure à l'us ine j au pas de

temps t, le critère s'écrit:

T-l m

J = t:o j:l[aj,t_71(Uj,t)+aj,toJLj-q(Uj,t)+Vj-q(Uj,t)] [10 g]

et doit être minimisé par rapport aux var iables Uj, t qui

appa-raissent explicitement dans le critère et par rapport aux variables Wk,t qui interviennent dans ladynamrque .

Nous pouvons de même faire apparaitre la décomposition géographique en sous-r éseaux:

N J = z JS

s=l

[10 d]

Finalement, le problème deLadétermination des commandes opt.ImaLes

(PB) Min {J}

sous les contraines: [4],[5],[6],[7],[8],[9]

Remarque: Pour alléger les notations, on écr ir a les critèr es:

et

T-l J = t:o

4.

(Xt , Ut)

1.4. Diff icultés de la résolution et solutions envisagées

La résolution du problème de commande optimale décr it

ci-dessus présente de nombreuses diff icultés, que nous rappelons:

a) IlYa des contraintes sur les var iables d'état. b) La plupart des variables de commandes sont discrètes. c) La relation liant la commandeà l'état est implicite et

sa résolution nécessite dans des cas standards des

temps-calcul de l'ordre de la seconde.

d) Le nombre de variables d' état du système est élevé.

Les trois premières difficultés mentionnées ci-dessus

semble dés igner la Programmation Dynamique Discrète (PDD) comme

étant la seule méthode de résolution adéquate. De plus, cette

méthode a l'avantage de fournir des commandes en boucle fermée, ce

qui parait être important puisque nous savons que le manque de

précision des prévisions de consommation introduira des écarts

entre les résultats de l'optimisation et la réalité du réseau,

écarts qu'il faudra savoir compenser en temps réel. Mais alors, la

taille du problème que nous envisageons de traiter, et qui constitue

la quatr ième diff iculté, conj uguée avec le temps-calcul nécessaire

à la résolution de la relation implicite commande-état, rend

l'application de cette méthode impensable, puisque elle nécessite

autant d'évaluations de cette relation implicite qu'ilYa de points

à explorer dans l'espace "temps x etat x commande", et que ce nombre

de points dépend exponentiellement du nombre de var iables d' état.

Signalons simplement que dans le cas du réseau que nous devons

étud i er (et qu i compte env iron vingt var iables d'état), l '

appli-cation brutale de cette méthode sur un calculateur, même très

rapide, conduirait, pour simplement obtenir les commandes du réseau

sur les prochaines 24 heures, à des temps-calcul gigantesques, se

chiffrant à plusieurs millions de siècles (extrapolation d'un

résultat réel observé avec un réseau maillé de taille modeste, seulement deux réservoirs).

En prat ique, donc, la méthodePOOne peut s'appliquer qu'a de peti ts résea ux, compo r t ant un seul réservoir et qu e l q u e s mai l l es , ou éventuellement de ux réservoi rs ,mais sans mailles (po ur avoir un modèle dynamique expli c i te) . C'est pou rquo i une id é e

naturelle consiste à tirer partie de la structure en étoile du

réseaua étudier, et de n'appliquer la méthode de POO qu'au nive a u

des sous-réseaux pris is ol ément , dans la mesur e ou lesdits sous

-réseaux sont eux-même suff iSéUl\lllent simple s pou r que cette

appli-ca tion so it possible. Cec i correspond donc à un pr ocessus de déco mpo si tio n (spatiale dans ce cas), perme t t an t de co nd ui r e l'o pt i mi s a t i on des commandes inte rnes de cha q ue sous -réseau . Ce

processus doit être complété par une phase de coor d i n a tio n,

dest inée d'une part à assurer le respec t des conditi ons de co mp at i bi l i t é entrele s sous-réseaux, et d'autrepartà détermi ner

les va l e ur s optimalesdes inter actions en t r e les sous-réseaux (qui

peuvent être de s commandes de vannes). La coordination est en général ef fe ct Ué en ut i li s a nt une méthode de type variationnel.

Nous voyonsdonc que,bien que la programmationdynamique fournisse

des co mma nd e s en boucle fermée lo calement ,une partiedela commande

sera obtenue enbo ucle ouverte, ce qui nousob lig e r aàeffectueren li g n e un traitementspéc ial po ur pouvoi r, le cas échéant, modifier

comma nd e s en bou cle ouver te.

Ce t t e dé compo s i t i o n spatiale s' avèr e cependant encore

insuff i sante, etil reste certains sous-réseauxtr o p complexes pou r qu' on puisse envisagerde leur appliquer la PDD. Il se r a i t certes

po s siblede ré itérer la décompo si t i onspat i a lede ce s eoua-œèeeeux ,

en les scindant, artif ic ie llement ce tte fo is , les int e r a c t i o n s

étant alor s le s débitset le s pressions auxpoints-frontière ainsi

cré ée. Malhe ur e useme nt , l'expé rience qu e nous avons de ce type

d' inter acti o n par pl usi eu r s points est néga t ive, la conver g e n c e

danscertainsca sne pouvant êt r e assurée (Joa l l an d, (19 7 8 )).C'est pourquoi nous avons préfèrétent e r de simplifier laré s o l u t i o n de ce s sou s-réseaux en ut i l i santdes idées d'agrégatio nbasées sur la

sé pa r a tio n des modes le nts etra pide s des phénomènes dynamiques s'y

développan t. La méthode qui en estdér ivéesimplif ie le modèle du sous -ré seaudede ux manièr es : el l e agr èg e les ré se r vo ir s présentant des compo r t eme nt s dynamiques proc he s, et donc diminue le no mbr e de

variables d'état; elle réduit le nombre d'équations statiques

représentant l'équilibre instantané du sous-réseau, jusqu1àne 'plus

garder que des équations que l'on peut résoudre explicitement. Le modèle agrégé résultant pour le sous-réseau peut alors servir de

base à un calcul de programmation dynamique, envisageable dans la

mesure où le nombre de réservoirs agrégés n'excède pas deux. Les

fonctions de Bellman issues de ce calcul peuvent alors servir à

déterminer les commandes cherchées sur le modèle complet du

sous-réseau. L'ensemble de cette procédure introduit bien sür un certain

degré de sous-optimalité dans les résultats obtenus, mais suff

i-samment faible pour que ces résultats restent parfaitement accep-tables.

Rappel des notations:

nombre de pas de temps nombre de sous-réseaux nombre de réservoirs nombre de pompes nombre de vannes T-l N N-l indice courant : t indice courant indice courant indice courant : j indice courant xi niveau du i0 réservoir Uj commande de laj0 us ine Ws débit de la s0 vanne

vecteur d'état du s0 sous-réseau

US vecteur commandes des pompes du SO sous-réseau

WS _{vecteur débits des vannes du} SO sous-réseau

CHAPI TRE Il METHODES DE DECOMPOSiTI ON-COORDINATION

Nous all on s présente r dans ce ch a pitre les méth odes de décompos it ion-coo rdination que no us avons ut i li sé es po ur la réso-lutio n de notre problème

Il. 1. Introduction

On peut dhst i ngu erde mani è r e classique tra is princ ipales mé tho des de décompo siti on. d' inte r pr ét ation intuitive simple. Ce eont :

- La mé t h ode d'al l o cati on de re ssource s, encore ap pelée mét h ode primal eou mét ho dede co o rdi nation par les quantité s, qui consiste, dans le cas si mple du problème ec plu sieurs agents se par t a g ent une res s ou r ce commu n e,

a.

rép art ir cett e ressour ce ent re

les dif f ér e nt s agents, et à faire év oluer la répart it ion vers

l'opti mu men calcu lantdes infor matio ns de sensi bilitédu coat; de

ch aq ue agen t a cet te ré parti tion.

- La mé thode de coordina t ion par les prix, ou mé t h ode duale, qui consiste. sur le même exemple que ci-dessus, à la is s er chaque agent déter miner la quan t i té de ressourc es qu'il veut

ut ili s e r,ma is en la lui faisant payer un prix tel qu e laso mmedes qu a n tit é s consomméespa r lesag en tsres p e c te la res sou rcegl ob ale di8ponible.

- La méthod ede coordinat ionpa r prédiction, qui consiste A laisser tous les agents sa uf un déterm iner la quantité de ressourcee qu' i ls veu l en t uti l iser . Le derni e r agent. alo rs, n'utilise que le compl éme nt re s t ant par rap po rt à la re s sour c e globale. etca lcul e ls pr ix marginal co rr espo ndant

a.

cette uti l i -ea ti on. C'es t à.ce prix mar g inal que les autres agen t s peuv ent ee procurer la ressourcecommu ne.

En fait, ces trois méthodes peuvent être plongées dans une théor ie formelle plus générale des algor ithmes d'optimisation par décomposition-coordination, dans le cadre de l'optimisation convexe

dans les espaces de Hilbert (Cohen, (1978)). L'intérêt de ce

plongement est qu1il permet d'étendre le champ d'application de ces méthodes class iques, aux cas, par exemple, où les fonctionnelles

manipulées sont non additives, voir non différentiables. Par

contre, l'exposé de ces méthodes dans le cadre de cette théor ie ne

fait plus ressortir leur signification économique évidente, et

masque donc les idées sous-j acentes. C' est pour quo i nous avons pr is

le parti de faire la présentation de la décomposition-coordination

de notre problème dans le cadre de ces trois méthodes class iques.

Chaque fois cependant qu'il faudra étendre ces méthodes à des cas

non c las s iques, nous fer ons réf ér ence au cadr e théor ique j us.tif i ant

cette extension.

Nous allons donc tout d'abord présenter certains aspects

utiles dans notre application de cette théor ie formelle, que l'on

trouvera exposée de manière complète dans (Cohen, (1983)). Ensuite,

nous détaillerons sur un exemple tiré des réseaux d'eau le

fonctionnement des méthodes classiques de coordination, ce qui

expliquera par quelles heur istiques sont traitées certaines inter-actions directes entre les sous-réseaux. Enf in nous montrerons par

quelle méthode ont été traitées les interconnexions par vannes

II.2. Fondements théoriques de la Décomposition-coordination

Soit U et C deux espaces de Hilbert. Uf un sous-ensemble

convexe fermé de U; on note<.,.> (resp.(.,.» le produit scalaire

sur U (resp. C) et 11 la norme associée. C est un cône convexe

fermé de C,c* son dual. On s'intéresse aux deux problèmes suivants:

(MFl) Min {J(u)} f ueu (MP2) Min {J(u) } f ucn soumis à

avec les hypothèses suivantes :

HAl :

8(U) €

-c

J est une fonctionnelle de U à valeurs dans R, convexe,

propre, s.c.L, sous différentiable sur un ouvert 0

con-tenant uf. J est lipschitz ienne sur tout ouvert borné

contenu dans O. Si uf n' est pas borné, J est supposée

coercive sur uf

HA2

8 est une fonctionnelle de Uà valeurs dans C, que l'on suppose C-convexe, et lipschitzienne de constante T sur 0

vér if iant une condition de qualif ication des contraintes.

On sait alors que, sous les hypothèses HAl (resp. HAl et HA2), le

problème (MF1) admet un ensemble de solutions U* (resp. le

lagrangien du problème (MF2) admet un ensemble de pOints-selle U* X

II.2.a) Le cas dHt'eren t i able

Dans le ca s oula fon c tion ne lle J es t differen tiab le,

algori t hme po ur réso ud r e le problème (MFl) est :

Alg or ithme l :

(a) choisir 1,10.-ut sposerk• 0

(b) Résoud rele pr oblèmeauxil iaire

(PAk) : Mi n t' (Xk(U) +<EkJ'(uk) _ K'(Uk) ,u, ) ueu

Soit uk+l la solut ionobt enue

(c) Stopper 81 IJ(uk+l) _ J(Uk)1ouJuk+l - ukJ est infér ie u r àun seui l don n é e; sinon, tair e k(-k+1et aller en (b)

avec Ek étant unesuite de nombrespo sit1t'set Kk sui te de fonct i on n e l lesde Uf dansR, dépendantde l' i ndi ce d' itérat ion k.

Si onaup poae en plue de HAl que :

HBI:

La aerrv e ede J eet lipschit z i e nne, de con st an te A

HB2

Leet'onct i onn n eis Kk sont t'or tement ccn v e xea de cons t antes bk• ecercrvee,diff érentiables ,de dérivéeslipschitzie nne s de constan t e s Bk

HB3

alors,lasuit e{J( u k ) } est str i ctement décro issante , conver g e ant ver s J(u·)et tout point d'adhéren cede la suite (uk ) au sens de la

Si de plus J est supposée fortement convexe, alors, la suite {u k}

converge fortement vers u*, seul élément de U*.

L'intérêt de cet algorithme est que le critère initial J

n'intervient plus que sous forme linéarisée. Il suffit de choisir

alors les noyaux Kk additifs par rapport à une décomposition de

l'ensemble

tf:uix ...

xu~,

pour avoir à résoudre à l'étape (b) de l'algorithme N problèmes

indépendants au lï'eu du problème global.

Signalons une variante à cet algorithme, où l'étape (b) est

remplacée par:

* Résoudre le problème (PAk) avec €k - 1; soit~k+l la solution

* Calculer uk+ l ,.pk~k+l + (l-pk)uk, pk > 0

et qui converge sous les mêmes hypothèses que l' algor ithme pré-cédent.

Toujours dans le cas différentiable, on donne deux

algo-rithmes pour résoudre le problème (MP2). En notant L(u,p) le

lagrangien du problème sous contraintes: L(u,p) - J(u) + (p,e(u» et

"(u, p) .. K(u) + (p,n(u» le noyau (fonctionnelle auxiliaire à

choisir par l'utilisateur), on a :

Algorithme 2.1 : (dit·àun nLveau'")

(b) Résoudre le problème auxiliaire (PAk)

Minf{K(u)+(€J' (Uk)_K' (Uk),u> -

cl,

(€e' (Uk)_n' (Uk))u» ueu

Soit uk+ l la solution et pk+l le multiplicateur optimal associé

(c) Stopper sur un test d'arrêt; sinon, faire k (- k+l et aller

(b) •

La preuve de convergence de cet algor ithme n'a été obtenue

que dans le cas de contr aintes égal i tés, J et K étant des

fonctionnelles quadratiques et 8 etnétant aff ines (nous renvoyons

le lecteur à Cohen (1980) ou (1983) pour les conditions de

convergence). C'estàpartir de cet algor ithme que l'on retrouve la

méthode de coordination par prédiction, ou encore la méthode

d'allocation de ressources (Cohen, (1978». Pour obtenir la

décom-position du problème auxiliaire (PAk), il faudra non seulement

choisirKadditive par rapportàla décomposition de U, mais, aussi

n

"bloc-diagonale" par rapportà une décomposition de Uet

c.

Si maintenant, nous choisissons pour noyau du problème la

fonction: "(u,p)a K(u) - 1/2 Ip12, et en considérant

séquen-tiellement les opérations portant sur u et p, on obtient l '

algo-r ithme suivant:

Algorithme 2-2 : (dit"à2 niveaux")

(a) Choisir (uo,po) E

u

f X C* :Poser ka 0

(b) Résoudre le problème auxiliaire (PAk) Minf{K(u) +<EJ '(Uk) - K'(Uk),u> + E(pk,8(U»

UEU

Soit uk+ l la solution

où Il désignelaprojection sur le cône dual C*

(c) Stopper sur un test d'arrêt; sinon faire k (- k+l et alleI:

Si on suppose vér if iées, outre les hyptohèses HAl et HA2:

HBl :

La dérivée de J est lipschitzienne, de constante A.

HB2

La fonctionnelle K est fortement convexe de constante b ,

coercive, différentiable, de dérivée lipschitzienne de

constante B.

HB4

J est fortement convexe, de constante a, et on a:

o

<e<

~

0 <P <

~~

alors la suite {uld obtenue converge fortement vers u"', unique

solution de (MP2). La suite {pk) converge faiblement vers un

multiplicateur optimal

p,

et (us ,p) est un point-selle du

La-grangien L.

Nous voyons donc que cet algor ithme est une extension de

celui d'Uzawa, base de la méthode de décomposition par les prix.

Remarquons que l'on obtient des résultats analogues en remplaçant

dans le critère le terme €(pk,6(u» par €(pk'6' (u k) .u) lorsque 6 est

II.2.b) Le cas sous-différentiable

Dans le cas où la fonctionnelle J est simplement

différentiable en tout point u de Uf, nous noterons OJ(u) le

différentiel de J au point u.

Par définition, on dira qu'une suite de réels {€k} est de

typeasi: , 1: k€N k € '"+00 , 1: k€N

Un premier algorithme de résolution du problème (MP1) est:

Algor ithme 3-1

(a) Choisir UO €uf ; poser k - 0

(b) Résoudre le problème auxiliaire:

Min {K(u) +<€krk - K'(Uk) , u>}

u€U f

où rk est un élément quelconque de ~J(Uk)

Soit uk+ l la solution obtenue.

(c) Stopper sur un critère d'arrêt, sinon, faire k (- k+l et aller

en (b)

Si on suppose, en plus des hypothèses HA, que

Hc2

K est une fonctionnelle fortement convexe, differentiable.

HC3

La suite {€k} est de typea

alors, la suite (J(u k)} converge vers J(uk), et la suite (u k)

converge faiblement vers une solution de (MPl).

Si, de plus, J est fortement convexe, la suite {u k} converge

fortement vers u ", unique solution du problème (MFl)

Cet algor i thme est le pendant de l' algor i thme l dans le cas

différentiable, mais avec un noyau K fixe. Il existe une

var iable de cet algor ithme 3-1 avec des noyaux Kk dépendant de

l'indice d'itération k , moyennant une hypothèse sur la vitesse de

déformation des noyaux Kk, et une autre var iante où le noyau K est

simplement sous-différentiable, mais où l'on doit être capable de

choisir des éléments particuliers dans les sous-différentiels de K

aux points successifs uk. Indiquons enf in la possibilité suivante

qui consiste à "garder intacte" une partie de la fonction coût

originale dans le problème auxiliaire (ceci sera utilisé au S II.4.b

ci-dessous) .

Supposons que J soit la somme de JI et J2' On garde pour Jl toutes

les hypothèses faites sur Jpour l ' algor ithme 3-1, mais, on suppose

simplement que J2 est convexe, propre, s.c.L, lipschitzienne sur

tout ouvert borné contenu dans 0 (pas d' hypothèse de

différentiabilité de J2)' On a alors l'algorithme suivant:

Algor i thme 3- 2

(a) Choisir UO€uf ; faire k - 0

(b) Résoudre le problème auxiliaire Min {K(u) +(Ek.rk_K,(Uk) ,u>+ €k J

2(u»)

(c) stopper sur test d'arrêt; sinon faire k (- k+l et aller en (b).

dont on trouvera les conditions exactes de convergence dans Cohen,

(1983) .

Pour la résolution du problème (MP2) dans le cas

différentiable, on dispose d'un algorithme ·àdeux niveaux·.

Algorithme 4

(b) Résoudre le problème auxiliaire (PAk) Min

f {K(U) + <ekr

k_{-K' (U}k)_{,u> + ek(pk, e(u»}, r}k

e~J(Uk)

uetr

soit uk+ l la solution

Ilétant la projection sur C

(c) stopper sur un test d'arrêt, sinon, faire k (- k+l et aller

en (b)

Sous les hypothèses HAl, HA2, HCl, HC2, HC3, avec de plus

* J est fortement convexe

* la suite {ek }est non-croissante

*

Pveri fi e : a <p <2a/i 2

alors, la suite {u k} converge fortement vers u*, unique solution de

(MP2) •

Cet algor ithme peut être étendu au cas où e est

fortement convexe. Le cas J non fortement convexe oblige à

introduire dans la phase de miseàjour du pr ixpkun paramètre pk

(au lieu dep) tel que la suite{pk} soit de type a, età faire une

hyptohèse de "stabilité" sur le Lagrangien L (voir paragraphe

suivant) .

Le cas e sous-différentiable sert en décomposition lorsque e n ' est pas additive: ou remplace le terme ek(pk, e(u)

par ek(pk,ek.u ) où e k e de(u k) (on trouvera cette notion de

sous-differentiel dans Cohen, (1983» si bien que le problème auxiliaire

redevient additif par rapport à une décomposition donnée de U,

II.2. c) Le cas du Lagrang ien Augmenté

Nous avons dit que l'utilisation des algor ithmes 2-2 ou 4

nécess i te, dans le cas où la fonctionnelle J n' est pas fortement

convexe, une hypothèse de "stabilité" du Lagrangien L(U,p), à

savoir: si on note U* x p* l'ensemble des points-selle de L, et U(p)

l'ensemble des solutions du problème: Min {L(u, p) }

f ueu

alors, 1<

*

/\

1<

Vp € P , U ( P ) - U

De plus, la non forte convexité du J peut entrainer la non

différentiabilité de la fonctionnelle duale 1':

1'(p) - Min (L(u,p)}

U€Uf

et nous oblige doncàremettreàjour les paramètres duaux pk

des "petits pas" pk (de type a) tendant vers zero.

Outre le fait que l'hypothèse de stabilité du lagrangien

n'est pas aiséeàvér if ier, le fait d'utiliser les pas pk de type a

nuità la vitesse de convergence de l'algorithme (par raportà des

"grands pas" P simplement astreints à ne pas dépasser une borne

donnée) .

Une solution à ces difficultés est apportée par

l'uti-lisation des Lagrangiens augmentés. Malheureusement, ceux-ci ne

sont pas additifs par rapportàu , si bien que l'on est amenéà leur

appliquer des algor ithmes de décompos iton spécifLques .

Nous allons présenter un algorithme dans le cas spécifique des contraintes égalité, sachant que la théor ie est disponible dans

le cas de contraintes inégalité.

Nous nous intéressons donc au problème:

(MP3): Min {J(u)}

ueuf

soumis à : ecu)

où J et e véri fient les hypothèses HAl et HA2.

Le lagrangien augmenté de ce problème est, pour c

>

0:

L_c( u , p) .. J (u) + (P ,

e

(u) +

~

1

e

(u)1

~

et on note

On peut alors montrer que L etLc ont le même ensemble de

pOints-selle, soit U* x p*, que Lc est stable enudès que c >0 et

que '-c est différentiable.

Un algorithme de résolution du problème (MP3) est alors:

Algorithme 5

(b) Resoudre le problème auxiliaire (PAk)

Min {K(u) +<ekrk- K' (Uk),u>+ekC(e(Uk),e(u»} ueuf

Soit uk+l la solution obtenue, rke dJ(uk)

(c) stopper

en (b)

un test d'arrêt, sinon, faire k (- k+l et aller

Sous les hypothèses HAl, HA2, Hcl, HC3, avec de plus:

*

la suite {e k} est non croissante

*p vérifie 0 <P<2 c

la suite {Uk} est bornée, et tout point d'adhérence au sens de la

topologie faible est élément de U*.

Cet algor ithme peut être étendu au cas au a est une

fonctionnelle sous-différentiable: les termes du critère dépendant

de

a,

à savoir:

sont remplacés par :

On dispose alors d' un algor ithme permettant une décompos ition

suivant l'espaceU(par un choix judicieux du noyau K) alors queJ

et a ne sont pas additives par rapport à cette décompos ition, J

étant non fortement convexe.

Si, par exemple, on décomposeuf

et si on suppose K de la forme :

N

K (u ) -

t

Ki(ui ) , ui e

ui

l'étape (b) de l'algorithme revient à minimiser les N

Min

f {Ki(u i) +

<Ekr~

-

Ki(U~),ui>

+ E k q i ' u i> uiEU i où r~e

d

UiJ(u k)

(sous-différentiel partiel par rapport à u i)

et où fi dés igne les composantes sur Ui de l'élément de U déf

11.3. Application au cas d'une interaction en débit-pression

Dans la descr iption faite du réseau que nous étudions,

avons mentionné le fait que les sous-réseaux pér iphér iques

pouvaient être connectés au sous-réseau central par l'intermédiaire de vannes d'une part, par l'intermédiaire de pompes d'autre part (vo ir même êtr e d ir ectement connectés entr e eux par une pompe, un

détendeur, une simple canalisation). Lorsque l'on cherche par une

méthode de décomposition à séparer les sous-réseaux, il suff it,

dans le premier cas, d'écrire au niveau de chaque point

d'inter-action une équation de continuité du débit (nousy reviendrons au

§.II-4).Sinon, une équation de continuité de la pression est

éga-lement nécessaire. Remarquons que dans le cas de la connexion par

une pompe, la différence de pression aux points situés de part et

d' autr e de la pompe, cons idér és chacun comme appartenantàl'un des

sous-réseaux, intervient dans le coüt; d'utilisation. Ainsi, pour

une pompe à vitesse var iable situéeà une interconnexion,

l'équa-tion de continuité de pression n'est plus nécessaire (puisque la

vitesse du moteur s'adapte, àdébit donné, à la perte de charge),

mais le couplage par la pression réapparait au niveau du critère. Dans le cas d'une vanne téléconunandée, le coût; d'utilisation est nul, ce qui fait complètement disparaitre les phénomènes de

press ion. Par contre, lorsque la pompe à l'interconnexion est à

vitesse fixe (ce qui est presque systématiquement le cas sur notre

réseau), débit d'interaction et différence de pression sont liés

par la courbe caractérLa t Lque de la pompe, et l' écr iture de

l'équation de continuité de la pression est alors indispensable.

Nous allons nous intéresser dans ce paragraphe au cas des interactions nécessitant la prise en compte des conditions de débit

et de press ion, en étudiant le cas de deux sous-réseaux

inter-connectés par une conduite, en appelant A le point d'interaction.

Reprenant les notations du chapitreï, avec seulement deux sous-réseaux, le problème se formule ainsi :

Min J _ Jl+J2 _

(U~'U~)

soumis à l'ensemble des contraintes locales

aux dynamiques locales

aux deux contraintes couplantes d'interaction au point A, à

savoir:

- ve •

Q~

- Q:

(égalité des débits au point A) [a]

- Vt,

H~

'"

H~

(égalité des pressions au point A) [Pl

NOUS remarquons que les seuls couplages entre les deux

sous-réseaux proviennent des contraintes [a] et [,8].

Décrivons alors les trois méthodes classiques de

II.3 _a) Coordination par allocation de ressources.

Cette méthode cons iste, au pas k de l' algor ithme, à fixer

des trajectoires (Q lt)k_(Q2 t)k du débit au point A et (Hlt)k"'(H2t)k

de la pression en ce même point, puis, à résoudre indépendamment les deux sous-problèmes avec ces conditions aux bords, enf inàcalculer

pour chaque sous-réseau les trajectoires des "prix marginaux"

(piQ,t>k du débit et (piH,t>k de la pression au point A, égaux, au

signe près, au gradient du coüt, optimal de chaque sous-réseau par

rapport à ces valeurs imposées (Qit)k et (Hit>k. Il suffit alors de

remettre à jour les débits et les pressions d'interaction, par des formules du type:

jusqu'à observer la stabilisation des différentes trajectoires.

En pratique, cette méthode est inapplicable dans ce cas,

elle revient à imposer en un point des réseaux, à la fois le

débit et la pression. Or, le fait que les commandes des pompes

soient des variables discrètes fait que, en tout point du réseau, le

nombre des relations pouvant lier débit et pression est fini (à

niveaux de réservoirs fixés et autres conditions aux limites

imposées), de telle sorte que si l'on impose la pression (resp. le

débit) en un point, alors le débit (resp. la pression) ne peut

prendre qu'un nombre fini de valeurs, et il est alors fort

improbable que la valeur du débit (resp. de la pression) imposée par la méthode d'allocation coincide avec l'une des valeurs réa-lisables.

II.3.b) Coordination par les prix

Cette méthode, duale de la précédente, cons isteà laisser

libre de toutes contraintes les sous-problèmes, mais à les résoudre

avec des cr itères modif iés. Plus précisément, au pas k de

l'algo-rithme, on dispose de trajectoires (PQ,t)k et (PH,t)k pour les

multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes [a] et [.8] et

on résoud les sous-problèmes locaux en remplaçant les cr itères JI et J2 par: JI +T-l_1:

_{(pQ,t)kQ~

_{+ (PH, t) k}

_H~}

[')'-1] t-o J2 T-l

_{(pQ,t)kQ~

_{+ (PH,t)k}

_H~}

et

-

1: [')'-2] t-o

les var iables par rapport auxquelles s' effectue la minimisation

étant non seulement les commandes locales ult et u2t' mais auss i les

couples (Qlt,Hld et (Q2 t,H2 t) (en fait, on a déjà vu que fixer l'un

des éléments de ces couples et la conunande locale Ut déterminai t

complètement l'autre élément de ces couples).

Les résolutions des deux sous-problèmes fournissent, entre autres,

des trajectoires (Qlt>k+l, (Hlt)k+l, _{(Q2 t)k+l, (H2dk+l.} On remet

alors à jour les multiplicateurs de Lagrange par des formules du

type:

L' algor ithme est arrêté lorsque les contraintes sont vér if iées de

Remarquons enf in que cet algor i thme s' appar ente à l'algo-rithme 2-2, dit à deux niveaux, du paragraphe précédent.

Sa mise en oeuvre pratique se heurte à une diff iculté

majeure. Comme nous l'avons déjà signalé, le calcul des équations

formant le modèle dynamique est une opération très col1teuse en

temps-calcul. Or, cette méthode donne à chaque sous-réseau un degré

de liberté supplémentaire, qui est le choix d'une des deux variables

de débit ou de pression, ce qui signifie, au niveau de

l'opti-misation, une forte augmentation du nombre des commandes àexplorer

(pu isque l'ensemble des valeurs po s s ibles pour la var iable laissée

libre se combineà l'ensemble des commandes locales), et donc une

forte augmentation du temps-calcul nécessaire àl'optimisation, ce

qui détruit en partie le gain de temps procuré par la décompositon.

Cet inconvénient n'existant pas avec la troisième méthode exposée

ci-dessous, c'est celle ci que nous préféreronsàla méthode par les

II.3. c) Coordination par prédiction

Cette méthode nécessite d' introduire, en plus de la

décompas ition de l'espace des décisions (séparation en

sous-réseaux), une décomposition de l'espace des contraintes cohérente

avec la première (opération qui est à relier au choix de la

"contrainte auxiliaire" n de l'algorithme 2-1). Dans le cas des deux

sous-réseaux traité ici, les seules contraintes qui posent problème

sont les contraintes [al et [.8l, puisque les autres sont purement

locales et ne peuvent donc qu1être affectées au sous-réseau où elles

agissent. Il faut donc décider quelles contraintes allouer à chaque

sous-problème.

Pour des raisons déjà évoquées au paragraphe II.3. a, il

est impossible d'allouer les deux contraintes [al et [.8] au même

sous-réseau. Il ne reste plus alors que deux possibilités. Nous

allons examiner le cas où la contrainte [ala été attr ibuée au

sous-problème l (la contrainte [.8] étant alors au sous-problème 2). Au

pas k de l'algorithme, on dispose de la trajectoire de débit(Q2dk

"prédite" par le sous-réseau No-2, ainsi que de la trajectoire

(PH,t)k du "prix marginal" de la pression au point d'interconnexion

A. On résoud alors le sous-problème correspondant au sous-réseau

No-l, a savoir:

et aux contraintes locales

Le sous-réseau l travaille donc à débit d'interaction fixé, et la

pressiond'interactionHlt y est libre, mais, en fait entièrement

déterminée par le choix des commandes internes du sous-réseau. De

plus, le cr itère à optimiser dans ce sous-problème a été modif ié par

dépendant de la pression d' interaction Hl

t qUI est censée refléter

la var iation du coüt; de l'autre sous-réseauàdes var iations de la

press ion d' interaction.

Parmi les résultats issus de l'optimisation, on trouve la

trajectoire (Hlt)k de la pression d'interaction. De plus, on peut

obtenir la trajectoire (PQ,t>k du multiplicateur de Lagrange

associéà la contrainte portant sur le débit d'interaction dans ce

sous-problème (c'est simplement l'opPosé du gradient du cout,

opt imal par r apport au niveau de la contr ainte de déb i t, c'est à

dire (Q2 t) k) .

On résoud alors le sous-problème correspondant au

sous-réseau No-2, àsavoir:

et aux contr aintes locales

Le sous-réseau No-2 travaille donc à pression d'interaction

im-posée, avec un critère modifié pour tenir compte de la sensibilité

du coüt, optimal du premier sous-réseau au niveau du débit d'

inter-action.

La résolution de ce sous-problème fournit, entre autres,

la trajectoire optimale (Q2 t)k+l du débit d'interaction, ainsi que

celle du multiplicateur de Lagrange (PH,t)k+l associé à la

con-trainte portant sur la pression d'interaction.

L'algorithme est arrêté lorsque les trajectoires des

var iables d'interaction sont stabilisées.

Au point de vue théorique, cet algorithme (présenté ici

dans sa version Gauss-Seidel) se rattacheà l'algorithme 2-1, dità