AMU
Master 2 de recherche – Mathématiques et applications Spécialité : Enseignement et formation en mathématiques Parcours : Didactique des Mathématiques
Mémoire de recherche en didactique des mathématiques
présenté par Nadine Castellani Labranche
Le travail à la maison :
un système didactique porteur d'inégalités.
Directeur de mémoire : Yves Matheron
Jury :
Pierre Arnoux,
professeur des universités, Aix-Marseille UniversitéMichèle Artaud,
maître de conférence, Aix-Marseille UniversitéTeresa Assude,
professeur des universités, Aix-Marseille UniversitéYves Chevallard,
professeur des universités émérite, Aix-Marseille UniversitéYves Matheron,
professeur des universités, Institut Français de l'éducation – ENS LyonRemerciements
Je remercie Yves Matheron, mon directeur de mémoire pour m'avoir donné la motivation pour me lancer dans cette recherche, pour ses précieux conseils, son écoute et sa grande disponibilité.
Je remercie tous les enseignants pour les apports théoriques et méthodologiques dont ils m'ont fait bénéficier et pour le plaisir intellectuel ressenti pendant leurs cours.
Merci aux étudiantes avec qui j'ai partagé ces deux années difficiles mais si enrichissantes humainement.
Un grand merci à tous les élèves de seconde qui ont participé à cette enquête et à mes collègues pour leur coopération sans laquelle ce travail n'aurait pu être possible. Merci également aux chefs d'établissement qui m'ont apporté leur soutien dans cette démarche.
Enfin, une mention spéciale à mon mari Jean-Claude pour son soutien inconditionnel. Ce cycliste, m'a permis d'atteindre mon objectif sans que je chute au sprint.
Résumé
Ce mémoire a pour objet de déterminer les conditions et les contraintes qui influent sur le travail à la maison, c'est à dire qui le favorisent ou au contraire peuvent l'empêcher et qui aboutissent à ce que ce travail contribue à renforcer les inégalités scolaires et sociales. Une enquête, avec une approche clinique, a été réalisée auprès d'élèves de seconde et de leurs enseignants de mathématiques à l'aide d'un questionnaire et d'entretiens. Elle a permis de recueillir des informations sur les habitudes de travail et les gestes de l'étude des élèves en mathématiques pour le travail à la maison. L'analyse des traces obtenues concernant ce système didactique ainsi que celle des fonctions didactiques des devoirs à la maison, par les outils apportés par la TAD, mettent en lumière des effets différenciateurs du travail à la maison. On dégagera alors des pistes pour créer des conditions plus favorables à l'étude personnelle hors la classe des élèves.
Mots clés : approche clinique – gestes de l'étude – TAD – système didactique fonctions didactiques – devoirs à la maison
Abstract :
The purpose of this thesis is to evaluate what conditions and constraints determine schoolwork at home, whether they favor it or, on the contrary, prevent it, and if they lead to the fact that homework contributes to intensify academic and social inequalities. An investigation in accordance with clinical methodology was carried out on 10th grade students and their mathematics teachers, using a
survey and interviews. Data were collected on studying habits and studying process students have while doing their homework. The analysis of the traces we obtain regarding this didactic system and that of homework didactic functions, using the theoretical tools provided by ATD, highlight the differentiating effects of homework among students. Some ideas will be drawn on how to create more favorable conditions for personal study outside the classroom.
Key words: clinical methodology – studying process – ATD – didactic system – didactic functions – homework
Sommaire
Résumé...4
Introduction...7
Chapitre 1 : Cadre théorique et présentation de l’étude...14
1. Le cadre théorique...14
1.1 Devoirs à la maison : définition et enjeux …...14
1.2 Les consignes de l’institution …...19
1.3 Les fonctions didactiques du travail personnel hors la classe des élèves...21
1.3.1 Les outils théoriques …...22
1.3.2 Analyse des fonctions didactiques des travaux écrits hors la classe …...23
1.3.2.1 Les exercices d’entraînement …...23
1.3.2.2 Les travaux individuels de rédaction …...26
1.3.2.3 Conclusion...29
1.4 Les gestes de l’étude des élèves en mathématiques …...29
2. Problématique...34
3. Méthodologie …...38
3.1 Choix des établissements …...38
3.2 Choix du niveau de la classe...40
3.3 Recherche 1 : entretiens avec les élèves...40
3.4 Recherche 2 : entretiens avec les enseignants …...42
3.5 Recherche 3 : questionnaire...43
Chapitre 2 : Résultats des recherches …...45
1. Quelques éléments descriptifs...45
3. Les habitudes de travail en mathématiques en dehors de la classe...48
3.1 Temps passé pour le travail personnel hors la classe en mathématiques...48
3.2 Lieu pour le travail personnel hors la classe en mathématiques...49
3.3 Aide pour le travail personnel hors la classe en mathématiques...49
3.4 Le travail à faire en mathématiques en dehors de la classe...54
3.5 Conclusion...56
4. Le DM : un travail écrit hors la classe...56
4.1 DM et organisation mathématique...57
4.1.1 L’organisation mise en place par les enseignants...57
4.1.2 Intérêts des élèves pour les DM, perception des enjeux...60
4.2 Les gestes de l’étude pour un DM...63
4.3 Médias et milieux...68
4.3.1 Utilisation du manuel de la classe...68
4.3.2 Utilisation du cours et des exercices vus en classe...71
4.3.3 Utilisation d’Internet...72
4.3.4 Utilisation d’autres supports...73
4.3.5 Conclusion...74
Conclusion...74
Annexes...79
Introduction
Enseignante depuis 1991 dans l’Éducation nationale, j'ai commencé à exercer en tant que maîtresse auxiliaire, puis PLP Maths sciences en lycée professionnel. Depuis 2001, année où j'ai obtenu le CAPES interne de mathématiques, je poursuis ma carrière en lycée général et technologique.
Au cours de mon activité professionnelle, j'ai pu observer le comportement des élèves face au travail personnel en mathématiques et la façon dont ils l'appréhendent suivant leur niveau scolaire, suivant leur milieu social, familial et culturel, suivant l'établissement scolaire fréquenté. En dehors du fait que le travail demandé peut être source de tensions en classe entre le professeur et les élèves jusqu'à représenter un objet de négociation, le travail à la maison semble poser problème à certains élèves. Pour les élèves en difficultés, il apparaît comme trop difficile à effectuer et peut être vécu presque comme une « souffrance supplémentaire ». Deux attitudes semblent se dégager : celle qui consiste à essayer de « s'accrocher » en s'acquittant coûte que coûte de ce travail prescrit, même de façon partielle ou celle qui se résume globalement à « laisser tomber ». En revanche, les « bons » élèves pour qui le travail à la maison semble avoir un peu plus de sens, le vivent comme une occasion de s'entraîner, réviser voire pour certains comme un plaisir de faire des mathématiques. En tous les cas, ils remplissent cette dimension des attentes dirigées envers les élèves.
De plus, j'ai pu constater que l'attitude face à ce travail pouvait être différent suivant l'établissement fréquenté par l'élève. Dans un établissement relevant de l'éducation prioritaire1
à contexte social défavorisé ou très défavorisé, malgré des politiques d'établissement volontaristes pour aider les élèves, les habitudes de travail à la maison ne sont pas toujours établies que ce soit par faute d'investissement familial, d'incompréhension des enjeux ou plus concrètement par manque de temps car d'autres aspects de la vie quotidienne sont sources de préoccupation. Dans les établissements mixtes socialement où la présence des parents est souvent plus marquée, les élèves considèrent plus facilement ce travail à la maison comme faisant partie de leur « travail d'élève » et donnent l'impression de mieux comprendre les attentes de l'institution. Ceci se vérifie encore plus dans les établissements à contexte social favorisé.
1 Aujourd'hui seuls des écoles et des collèges peuvent relever de l'éducation prioritaire sous le sigle REP. Les
lycées qui en dépendaient, sont sortis de ce dispositif en 2016 mais peuvent faire encore l'objet en remplacement d'un accompagnement spécifique décidé par le rectorat.
Si aujourd'hui le travail personnel hors la classe se fait pour la grande majorité des élèves « à la maison », historiquement il n'a pas toujours été externalisé vers la sphère privée de l’élève. A l'école primaire républicaine, créée en 1881 et fréquentée par des élèves issus majoritairement des classes populaires et externes, le temps en classe est consacré à faire des exercices et à apprendre les leçons. Le maître est alors « le seul garant de la réalisation du
travail scolaire et de son évaluation ». Un autre temps après l'école coexiste pourtant avec des
devoirs à réaliser et des leçons à étudier à la maison. La loi du 30 octobre 1886 y fait référence comme un temps « que les élèves peuvent consacrer, soit à domicile, soit dans les
études surveillées à la préparation des devoirs et des leçons » . Dès lors, des études
surveillées ont été organisées par des mairies avec le concours des instituteurs. Plus tard pendant l'entre-deux guerre, les instituteurs s'investissent dans les garderies, les colonies de vacances, les centres de loisirs pour apporter un accompagnement éducatif, sorte « d'antichambre de l'école ». Apparaît aussi un encadrement extrascolaire par le biais des mouvements d'éducation populaire, un « troisième lieu éducatif autre que l'école, et la
famille ». (Kherroubi, 2009)
Parallèlement à cette « école du peuple » existe l'enseignement secondaire, fréquenté par des
élèves issus pour la plupart de classes sociales favorisées. Au XIXe siècle, le temps de travail personnel des élèves est organisé dans les lycées sous la responsabilité de maîtres d'études appelés par la suite répétiteurs. Leur mission consiste à aider les élèves à travailler leurs leçons et à vérifier les devoirs. Cette organisation pédagogique est facilitée par la présence d'un internat dans l'établissement (Kherroubi, 2009). Au niveau de l'organisation didactique, la séance en classe correspond à un « point de rendez-vous entre deux temps d'étude » pour la correction des devoirs et la donnée de nouveaux devoirs (Cirade, 2006). Selon Antoine Prost (1968) cité par Yves Chevallard, « l’étude est plus importante que la classe ».
Par la suite l'apparition des cours magistraux vers 1880, qui avec le lycée moderne en 1902 se plieront au format d'une heure d'enseignement, enclenche le processus d'externalisation du travail personnel hors la classe. Pour expliquer le changement d’organisation de l’étude qui en découle, Yves Chevallard (2002) caractérise le cours magistral ainsi : « Le cours magistral est
ainsi l’analogue, dans le processus d’étude, de ce qu’est la reconnaissance de l’étape du lendemain dans le tour de France : lorsque celle-ci a été faite, l’étape reste encore à courir ! […] Ainsi, lorsque le cours s’achève, l’étude stricto sensu peut commencer ».
Pour autant ce travail personnel continuera à s’effectuer dans les activités scolaires de l'élève et dans son emploi du temps sous forme d'études surveillées. Les devoirs deviennent alors des compléments du cours (Cirade, 2006).
Avec les instructions de 1946, une nouvelle organisation de l'étude voit le jour qui demande que certains travaux hors la classe fassent partie intégrante de l'activité de l'élève dans la classe. L'enseignant doit donc diriger une partie de l'étude dans la classe. Il devient un « directeur d’étude » ou « aide à l’étude » (Cirade, 2006). La classe devient elle-même un lieu pour l’étude avec les gestes didactiques afférents.
Dans les années soixante et soixante-dix, les tâches à accomplir en dehors de la classe sont appelées « travail à la maison ». Et la massification de l'enseignement secondaire, suite à la réforme Berthoin2 de 1959, entraîne l'abandon quasi total de l'organisation des temps d'études
par l'institution. L'externalisation de ce temps d'études devient alors effective, renvoyant la responsabilité de ce temps d'apprentissage à l'élève et sa famille et pouvant de ce fait accroître les inégalités entre élèves dans l'apprentissage, selon les classes sociales des familles ; les classes moyennes et supérieures mettent alors en œuvre des stratégies pour pallier à ce désengagement de l'institution scolaire (Kherroubi, 2009). Antoine Prost (cité par Chevallard) constate : « L’institution se soucie d’organiser les cours, elle en fixe le temps et l’espace, mais
elle n’organise pas le travail des élèves : il n’a ni lieu, ni temps. Ou plutôt, il est rejeté aux marges de l’institution : des permanences peu studieuses, des centres de documentation surchargés, du temps « à la maison », sans soutien et sans guide. » (Prost, 1992)
Depuis les années quatre-vingt, plusieurs dispositifs pour accompagner les élèves voient le jour dans les écoles et les établissements. Il est à noter que l’histoire de l’accompagnement éducatif s’est confondue pendant longtemps avec celle des études dirigées. La première circulaire date de 1981, avec la création d'études assistées en école élémentaire avant celle de 1986 qui invite à la création d’études surveillées et d’études dirigées (soutien didactique, aide méthodologique, stimulation psychologique).
Rentrée 2008 la circulaire n° 2008-081 du 05 juin 2008 prévoit la création pour les écoles élémentaires en éducation prioritaire de l’accompagnement éducatif qui vise à promouvoir l’égalité des chances ; il est organisé tout au long de l’année, à raison de 4 jours par semaine
et - à titre indicatif - de 2 heures par jour, après la classe, dans les locaux scolaires. Il propose trois domaines d'activité : l’aide au travail scolaire, la pratique sportive, la pratique artistique et culturelle. Pour les collèges, ce même accompagnement éducatif est mis en place officiellement en 2007 ((BO n° 28 du 19 juillet 2007), tout d'abord les collèges de l'éducation prioritaire puis en 2008 (BO, encart au n° 25 du19 juin 2008) dans tous les collèges. L'objectif est « d’accueillir, en milieu scolaire et après les cours, des élèves volontaires afin de
contribuer à leur réussite scolaire ».
En lycée, quand elle existe, l'aide aux devoirs est souvent incluse dans la politique de l'établissement à travers le projet d'établissement dans son volet « réussite scolaire » ou se concrétise par une aide ponctuelle apportée en salle de permanence par des assistants d'éducation.
Rentrée 2017, un nouveau dispositif est mis en place en collège : il s'agit du programme « devoirs faits ». Sur le site de l’Éducation nationale, on peut trouver l'explication donnée par le ministre Jean-Michel Blanquer pour la mise en place de ce programme :
« Le travail personnel est important pour la réussite de la scolarité. Pourtant, les devoirs sont une source d'inégalité entre les enfants et pèsent souvent sur la vie de famille. [... ] Jusqu'à aujourd'hui, il y a une querelle stérile entre ceux qui affirment que :
− les devoirs sont indispensables à une qualité de l'apprentissage ...
− .. et ceux qui y voient un risque d'accroissement des inégalités sociales.
Les deux ont évidemment raison. Chaque enfant doit travailler individuellement, au calme, pour faire ou refaire des exercices, apprendre ou réapprendre ses leçons, exercer sa mémoire, travailler son sens de l'analyse.
Dépasser cette querelle demande une ligne claire : il peut y avoir des devoirs ; ils doivent pouvoir être faits, gratuitement et si les familles en formulent la demande, au sein de l'établissement grâce à un temps d'études accompagné. »
Cette analyse pointe la question qui va faire l'objet de ce mémoire. Le travail personnel des élèves hors la classe contribue-t-il à renforcer les inégalités scolaires voire à en engendrer ?
Tout d'abord, ce mémoire n'aura pas pour objet de trancher un débat sur la nécessité ou non de donner du travail aux élèves à faire hors la classe. D’une part, ce débat est ancien comme le rappelle Glasman et Besson dans un rapport établi à la demande du Haut conseil de l'évaluation de l'école (2004) :
« […] un ensemble d’arguments et de justifications s’affrontent donc sur le bien fondé ou les risques des devoirs à la maison. Cette problématique liée au travail scolaire hors de
articles consacrés aux devoirs à domicile dans le périodique « l’éducateur » par Capolarello et Wunsche (1999), a permis de mettre en exergue l’ancienneté du débat : dés 1865, les devoirs font l’objet de réflexion : plus de 70 numéros de cette revue traitent du sujet entre 1865 et 1900. Les devoirs à domicile semblent ainsi être un sujet de longue date qui resurgit régulièrement. »
D'autre part, diverses études ont été menées sur l'efficacité ou la non efficacité des devoirs maison et leur impact sur la réussite scolaire. Glasman et Besson (2004) rapportent ainsi que l'impact des devoirs à la maison semble plus important pour des niveaux scolaires plus élevés :
« Entre primaire et secondaire, une efficacité variable
La première nuance évoquée par les chercheurs est celle liée au niveau de la scolarité des élèves. En effet, les études évoquent une relation entre le degré d’enseignement et les effets des devoirs à la maison : l’impact est important pour les niveaux scolaires les plus élevés mais une régression progressive est constatée au fur et mesure que le niveau diminue.
« Pour les jeunes, les devoirs ne semblent pas avoir un impact sur l'apprentissage » (Bedard Hô, rapporté par Goupil, 1997). La plupart concède aujourd'hui que les devoirs n'améliorent pas la réussite scolaire en élémentaire. S'il est pertinent de faire un lien à partir de la 6ème année entre les devoirs à la maison et la réussite scolaire, il en va autrement pour les premières années. C'est en effet en primaire que l'efficacité des devoirs est surtout questionnée et critiquée. »
Concernant l'accroissement des inégalités sociales dont parle le ministre Blanquer, l’École « égalitaire » voulue lors de l'instauration du collège unique par la réforme Haby du 11 juillet 1975, « lieu où doit se réaliser l'égalité des chances » comme le déclare le ministre Christian
Beullac3 en 1978, n'échappe toujours pas, quarante ans plus tard, au constat d'un lien fort
entre réussite scolaire et appartenance sociale des élèves . Ce constat, dénoncé dans les années soixante, notamment par Bourdieu (1964), pour qui la réussite scolaire est liée à l'héritage culturel familial, continue de se vérifier malgré la démocratisation opérée et la politique des zones d'éducation prioritaire menée à partir de 1981 pour en réduire les effets.
Selon une étude de l'INSEE de 20144, 44% des jeunes dont l'origine sociale se situe parmi les
cadres et les professions intermédiaires, sortent de la formation initiale avec un diplôme supérieur à bac+2, quand ils ne sont que 18% pour les jeunes, enfants d'employés ou d'ouvriers. A l'inverse, ils sont 18% parmi ces derniers à ne pas avoir obtenu de diplôme ou
3 Christian Beullac, ministre de l'éducation nationale 1978-1981
4 Étude INSEE : Diplôme des sortants d'études initiales selon le sexe et l'origine sociale en 2014, champ
France hors Mayotte.
Remarque : l'origine sociale est appréhendée par la catégorie socioprofessionnelle du père si elle est renseignée, celle de la mère sinon. La catégorie socioprofessionnelle du père (resp. mère) correspond à celle de l'emploi qu'il (resp. elle) occupait au moment où la personne terminait ses études ou à celle du dernier emploi occupé s'il (resp. elle) était au chômage ou inactif à cette date.
être sortis du système éducatif avec un CEP5 ou le brevet des collèges, alors que la proportion
parmi la première catégorie évoquée est de 8%. Ainsi statistiquement, l'origine sociale des élèves a un impact sur leur réussite scolaire et la question du renforcement des inégalités sociales à l’École se pose. Car les inégalités scolaires ne se comprennent pas seulement sur le plan économique, social ou du fait de l'héritage culturel familial. Il convient de s'interroger sur le rôle que peut jouer l'institution scolaire par rapport à ces inégalités constatées.
Élisabeth Bautier, Jacques Crinon et Jean-Yves Rochex (2011) ont étudié la production des inégalités scolaires en matière d'apprentissages et d'accès aux savoirs et ont tenté de « comprendre, au sein même de la classe les mécanismes de fabrication des inégalités
scolaires » en cherchant « à mettre au jour certains des processus par lesquels les pratiques des enseignants s'avèrent inégalement efficaces mais surtout socialement inégalitaires ».
Mais qu'en est-il du travail hors la classe prescrit par les enseignants ?
Philippe Meirieu (1987) alerte sur les « dangers du travail à la maison » car il est pour lui un « renvoi systématique aux inégalités sociales et familiales », avec un environnement familial
qui lui paraît déterminant en la matière. L'OCDE6 relève que « les devoirs peuvent s'avérer
particulièrement difficile pour les élèves défavorisés » et qu'ainsi ils « peuvent alors avoir comme conséquence involontaire de creuser l'écart de performance entre les élèves issus de milieux socio-économiques différents »7. A ce sujet, Patrick Rayou (2009) dresse aussi le
constat que « l'exportation du travail hors l'école est porteuse de profondes inégalités » car les « familles ne sont pas également dotées pour aider les enfants dans leurs devoirs. » Mais il teste également « l'hypothèse de différentiations importantes dans les manières de prescrire
et d'accompagner le travail hors la classe des élèves dans des milieux socialement différenciés ».
Ainsi, au-delà de l'impact de l'environnement social et familial, il est important de s'interroger sur le rôle et la responsabilité de l'institution scolaire dans le travail personnel de l'élève hors la classe. Pour Corine Castela (2011), une partie de l'étude personnelle (au moins à partir du lycée) n'est pas encadrée par le système didactique et tous les élèves ne sont pas préparés de manière égale à « investir le territoire du travail autonome » de par leur histoire personnelle 5 CEP : Certificat d’Études Primaires
(scolarité antérieure et éducation familiale). Christine Félix (2002), en étudiant les gestes de l'étude requis et mis en œuvre par les élèves pour le travail à la maison, met également en avant des effets différenciateurs entre les diverses catégories d'élèves en fonction de leur niveau scolaire. Si le milieu familial peut influencer les gestes de l’étude de l'élève, le système scolaire et l'organisation didactique mise en place dans les classes auraient un impact sur le travail personnel de l'élève.
La première partie de ce mémoire, après s'être intéressée à la définition et aux contenus des devoirs à la maison, analyse les fonctions didactiques des travaux écrits hors la classe en mathématiques et interroge les gestes de l'étude des élèves afférents à ce type de travaux en s'appuyant pour cela sur la théorie anthropologique du didactique. Afin de vérifier les hypothèses émises dans la première partie, une étude de terrain qualitative a été menée auprès d'élèves de seconde issus de trois établissements à contexte social différent. La seconde partie présente et interprète les données alors recueillies sur les habitudes de travail en mathématiques de ces élèves en dehors de la classe, ainsi que les gestes de l'étude dans lesquels ils disent s’engager ou non. Sont-ils influencés par le milieu social et familial de l'élève, sont-ils différenciés suivant le niveau scolaire de l'élève ? Le système scolaire organise t-il le travail personnel hors la classe de l'élève ?
Chapitre 1 : Cadre théorique et présentation de l'étude
1. Le cadre théorique
1.1 Devoirs à la maison : définition et enjeux
Faisant partie du travail personnel des élèves, les « devoirs à la maison » sont souvent caractérisés comme des travaux pour l'école s'effectuant par l'élève en dehors de la classe. Dans le nouveau dictionnaire de pédagogie et d'instruction primaire Ferdinand Buisson (1911), on trouve une définition des « devoirs scolaires » : « On nomme ainsi tout travail
écrit que l'élève doit exécuter comme suite et comme application d'une leçon exposée ou dirigée par le maître. » Si l'on remet cette définition dans le contexte, il s'agit d'une définition
concernant l'enseignement primaire qui porte sur les devoirs effectués dans ou hors la classe et qui montre une continuité avec le travail effectué en classe.
Pour Cooper, cité par Glasman et Besson (2004), les devoirs sont des « tâches demandées aux
élèves par leurs professeurs qui doivent être faites en dehors des heures de cours ». Patrick
Rayou (2009) complète cette définition en expliquant que le « travail hors la classe » correspond à des tâches orales et écrites données par les enseignants à leurs élèves et effectuées hors de leur regard et de leur soutien direct, que ce soit dans l'école (études surveillées, aide aux devoirs...) ou hors de l'école (dans les familles ou au sein d'associations ou d'organismes privés). Cette définition rejoint la vision de Philippe Meirieu (2004), pour qui les devoirs scolaires sont les devoirs faits à la maison, sans supervision d’un professeur, en l’absence d’accompagnement pédagogique.
Deux idées traversent ces définitions. La première idée caractérise le lieu où les devoirs ne doivent pas s'effectuer : ils ne doivent pas se réaliser dans la classe mais hors la classe, ce qui en affirme l'externalisation.
La deuxième idée est que ce travail se fait en l'absence du professeur ce qui donne à l'élève le signal qu'il s'agit bien d'un travail autonome. Il est alors « en autonomie
didactique accomplissant des tâches dont il est l’unique acteur, et dont l’ensemble constitue par définition son topos, ce lieuoù, psychologiquement, il éprouve le sentiment d’être seul à
la barre et de ne devoir compter que sur ses propres forces » (Chevallard, 2002). Cette vision
est bien sûr à modérer en ce qui concerne les devoirs à la maison suivant que l'élève est« aidé » ou non mais on pourrait aussi s'interroger sur la nature de l'aide à l'étude et son efficacité pédagogique dans l'apprentissage de l'élève.
Samuel Johsua et Christine Félix (2002) rappelle que « l'aide à l'étude ne peut jamais
remplacer l'étude elle-même » car c'est l'élève qui doit trouver son propre « chemin d'étude ».
Pour eux, l'investissement personnel est donc indispensable, il a une forme publique mais aussi privée. « Mais, ce privé reste social. Les règles sociales établies en classe (les termes du
contrat didactique par exemple) continuent à faire sentir leur effet même en l'absence du regard du professeur et même hors la classe. »
Patrick Rayou (2009) donne une précision sur les fonctions que doivent remplir les devoirs à la maison, en citant Anne Barrère (1997) et Dominique Glasman (2005) : « Les devoirs à
effectuer à la maison sont présentés comme un ensemble de tâches dont l'objectif affiché est à la fois de permettre l'appropriation des notions déjà présentées en classe et la réception de nouvelles notions. »
Or l’appropriation et la réception de notions renvoient au rapport personnel de l'élève aux objets de savoir enseignés par le professeur. Yves Chevallard définit d'une part le rapport institutionnel à un objet de savoir et d'autre part le rapport personnel à ce même objet. Le rapport institutionnel à un objet de savoir est ce que l'institution ici le système éducatif par l'intermédiaire de la classe est en droit d''attendre de l'élève. Par exemple, en fin de classe de seconde, un élève doit savoir « donner le sens de variation d'une fonction affine » (BO n°30 du 23 juillet 2009). Le rapport personnel correspond à ce que l'élève sait réellement sur cet objet de savoir. Outre que les rapports personnels pour un élève sont les fruits de l'histoire de ses assujettissements institutionnels passés et présents (Chevallard, 2002), ils ont aussi une dimension publique et une dimension privée. Le rapport public de l'élève concerne ce que l'élève dévoile au sein de la classe en tant qu'institution, par exemple lors d'une évaluation ou de sa remise à l'enseignant d'un devoir traité à la maison. Or le rapport personnel de l'élève au savoir évolue au cours de l'enseignement, afin qu'au final il coïncide, dans sa composante publique avec le rapport institutionnel attendu (Matheron, 2000). Quant au rapport privé,
l'institution n'y a pas accès et « n’est pas en lui- même, un enjeu didactique (même si ses
Mais pour autant comment l'élève s'y prend-il pour s'approprier des notions, pour faire évoluer son rapport personnel aux objets de savoir enseignés et notamment lorsqu’il se retrouve dans un cadre privé, hors de la présence de l'enseignant ? Quels sont les outils donnés à l'élève par l'institution, à supposer qu'ils existent, pour y parvenir ?
Cette conception des devoirs en tant que travaux hors la classe se retrouvent dans d'autres pays. En Belgique par exemple, on trouve une définition des travaux à domicile dans une
circulaire8 (108, 13 mai 2002) ayant pour objet la « Régulation des travaux à domicile dans
l’enseignement fondamental » :
« Les travaux à domicile sont ainsi définis : activité dont la réalisation peut être demandée à l’élève, en dehors des heures de cours, par un membre du personnel enseignant. Cette définition englobe donc tous les travaux que selon les écoles, on nomme devoirs, leçons ou encore activités de recherche ou de préparation, ... . Les dispositions prévues concernent donc bien toutes ces activités et pas uniquement ce qu’il est coutumier d’appeler « devoirs.»
Ailleurs, d'autres concepts sont expérimentés, comme en Inde où les élèves étudient le cours à la maison, le temps de classe étant consacré à l'échange sur ce cours et au travail des techniques. Cette façon d’étudier se rapproche du principe de la « classe inversée », dont on peut trouver des expérimentations également en France et qui semble renouer quelque peu avec l’organisation connue avant l’avènement du cours magistral, fin du XIXe.9 Cependant, à
cette époque, l'étude était organisée par l'institution comme le rappelle Martine Kherroubi (2009) : « Si les lycéens travaillaient beaucoup hors des cours, ils avaient des lieux pour le
faire et ce travail était strictement encadré. » En revanche, en ce qui concerne « la classe
inversée », l'étude du cours s’opérant hors la classe, l'organisation pédagogique de ce temps d'étude est de fait renvoyé à l'élève et sa famille.
En Suisse, une école de Genève10 a mis en place en 1991 une nouvelle forme de travail à la
maison. Concrètement les enseignants alternent entre des TTM (Temps de Travail à la Maison) imposés et des TTM à choix parmi une liste proposée par les enseignants et que les élèves devront présenter à la classe. Un des objectifs visés par les enseignants de cette école est « de permettre aux élèves de se prendre en charge, de s’organiser seuls et de présenter à
la classe des compétences valorisantes » (Glasman et Besson, 2004). Ce dispositif a donc été
8Circulaire faisant suite au décret voté le 27 mars 2001 par le parlement de la communauté française de
Belgique.
pensé pour développer l'autonomie des élèves, en allant plus loin que le simple fait de demander aux élèves de s'habituer à travailler seuls. Mais qu'en est-il de son efficacité sur l'apprentissage des élèves ?
Si l'autonomie des élèves est l'un des objectifs recherchés par les enseignants à travers le travail à la maison, bien d'autres raisons les poussent à en donner. Valérie Caillet et Nicolas Sembel (2009), à partir d'une enquête réalisée entre 2005 et 2007 auprès d'enseignants du primaire ont identifié « les finalités déclarées du travail hors la classe » : « des aspects
cognitifs, pédagogiques et sociaux cohabitent et remplissent des fonctions tant explicites qu'implicites». Concernant les finalités cognitives : « Pour les enseignants, l'objectif central du travail hors la classe consiste à « fixer » les apprentissages, à stimuler l'appropriation des différents savoirs via un travail régulier de mémorisation, en vue d'exploiter les connaissances abordées en classe.[...]. Les enseignants déclarent aussi se servir du travail hors la classe pour identifier les difficultés des élèves. » Les aspects pédagogiques relevés par
les enseignants vont de la socialisation à l'autonomie : « Le travail hors la classe est présenté
comme un moyen de s'adapter à l'évolution de la forme scolaire : on dévolue de plus en plus à l'élève l'organisation temporelle de son travail. » L'aspect social qui est mis en avant est
celui de la communication avec les parents. Il s'agit de « susciter l'implication des parents » dans le travail à la maison, une sorte de « contrats des parents en fin de journée ». Pour les enseignants interrogés, le travail à la maison peut donc remplir plusieurs fonctions : pédagogiques, sociales mais aussi didactiques comme par exemple repérer des difficultés. Mais de quelles difficultés s'agit-il et en quoi le travail à la maison permet-il de les identifier ? Le travail à la maison n'est-il pas lui-même source de difficultés ?
Donner des devoirs à la maison pour les enseignants et faire ses devoirs pour un élève font
partie intégrante du contrat didactique. Ainsi, Christophe Michaut (2013) rappelle que les
« devoirs à la maison » constituent une composante essentielle du « métier d'élève » (Perrenoud, 2004 ; Rayou, 2009) et sont souvent présentés comme la condition sine qua non de la réussite scolaire. Dominique Glasman et Leslie Besson (2004) indiquent :
« Une étude transculturelle (Bédard, 1994) montre que c'est dans les sociétés où la réussite
scolaire est valorisée que les parents et le personnel enseignant considèrent les devoirs comme un outil d’apprentissage indispensable à la réussite des élèves. Contrairement à la Chine ou au Japon, les États Unis n’accordent pas une grande valeur aux devoirs en tant que processus d’apprentissage. En conséquence, les élèves de première année en Chine font 10 fois la quantité de travail demandé aux États Unis. De plus, les élèves asiatiques disent davantage apprécier faire les devoirs et y consacrer du temps (Solomon, Warin, Lewis, 2002). »
Ainsi par exemple au Japon, les élèves poursuivent leur journée d'école dans des écoles privées le soir et le week-end, appelées « jukus » qui ont pour objectif la préparation au concours d'entrée d'un excellent collège ou lycée privé pour atteindre par la suite une grande université. Ils ont alors non seulement leurs devoirs de l'école « normale » de la journée mais aussi du travail prescrit par le juku. Ce travail prend alors une dimension dans la réussite scolaire et par là même dans la réussite sociale.
La réussite scolaire se situe donc dans un contexte plus large qui est celui de la réussite sociale et professionnelle. : « Les enjeux qui entourent la réussite académique créent, chez de
nombreuses familles, de l’anxiété pour l’avenir de leur enfant. » Glasman et Besson (2004)
Une étude de l'INSEE11 s'intéressant au rapport entre le diplôme obtenu et l'insertion
professionnelle justifie cette préoccupation en signifiant qu'« en 2010, parmi les jeunes actifs
sortis du système éducatif depuis moins de cinq ans, 11 % des diplômés du supérieur sont au chômage, contre 23 % des diplômés du secondaire et 44 % de ceux non diplômés ou diplômés uniquement du brevet des collèges.».
En France, les devoirs à la maison sont souvent controversés, comme le rappelle Glasman et Besson (2004) :
« Objet de polémique, le travail à domicile laisse rarement indifférentes acteurs directement ou indirectement concernés par cette tâche scolaire. Comme le soulignent Favre et Steffen (1988), cette pratique est à la fois « désirée et rejetée, nécessairement inutile, efficace et inefficace, sécurisant et source de tension ». Ainsi, comme dans chaque débat, partisans et opposants s’affrontent sur le sens, l’utilité, les caractéristiques du travail à la maison. »
Mais ils font aussi l'objet d'une sorte d'« accord social entre partenaires » (Bautier et Rayou, 2009), que sont les élèves, les parents et les enseignants. C’est pourquoi ils trouvent toute leur place dans les consignes officielles de l’Éducation Nationale.
Ainsi, les devoirs à la maison donnés par l'institution scolaire présentent un enjeu didactique important. En effet, en tant que travaux externalisés hors la classe, ils renvoient à une étude personnelle de l'élève dans sa forme privée et remplissent des fonctions didactiques qui méritent d'être étudiées de façon plus approfondie. Mais ils sont également au cœur d'enjeux sociaux parce qu'ils sont montrés comme liés à la réussite scolaire et la réussite professionnelle, et ce lien est à interroger pour en connaître la nature et les conséquences. 11 Diplômes et insertion professionnelle
1.2 Les consignes de l'institution
En France, l'institution scolaire dote les enseignants de textes officiels concernant les travaux personnels des élèves hors la classe.
A l'école primaire, une circulaire du 29 décembre 1956, réactualisée en 1994, et encore en vigueur aujourd'hui indique : « aucun devoir écrit, soit obligatoire, soit facultatif, ne sera
demandé aux élèves hors de la classe ». Le travail donné aux élèves doit donc se limiter à un
travail oral comme des leçons à apprendre. C’est d’ailleurs dans cette circulaire de 1956 et
seulement dans celle-là comme le rappelle l'IGEN dans un rapport de 200812, que l’on trouve
la définition du mot devoir :
« Le mot devoir doit être entendu dans sa définition courante. Le « devoir » se distingue de « l’exercice » en ce que, tandis que celui-ci permet de s’assurer sur le champ si une leçon a été comprise, celui-là permet, en outre, de mesurer l’acquis de l’élève et de contrôler ses qualités de réflexion, d’imagination et de jugement. Il exige de l’enfant un effort personnel et soutenu, une mise en forme et « au propre » utiles à sa formation – à celle de son esprit comme à celle de son caractère [...] »
Par la suite, au milieu des années 1990, le terme « devoir » sera souvent remplacé par des expressions telles que « travaux écrits » ou « travaux de rédaction ».
A partir du collège, on voit apparaître les travaux écrits dans le travail personnel des élèves. Dans une note du 27 mars 1997 (reprise en 2011) de l'inspection générale de l’Éducation nationale (groupe mathématique), intitulée « Les travaux écrits des élèves en mathématiques au collège et au lycée », il est rappelé les objectifs suivants :
- au collège :
« Le travail personnel des élèves en classe, en études ou à la maison est essentiel à leur formation. Il a des fonctions diversifiées :
·la résolution d'exercices d'entraînement, combinée avec l'étude du cours, permet aux élèves d'affermir leurs connaissances de base et de les mettre en œuvre sur des exemples simples ;
·les travaux individuels de rédaction sont nécessaires au développement des capacités d'expression écrite et de la maîtrise de la langue ;... » ;
- pour les élèves de lycée :
« Les travaux proposés en dehors du temps d'enseignement, à la maison ou au lycée, jouent un rôle primordial ; ils ont des fonctions diversifiées :
12 Rapport n°2008-086, octobre 2008 de l'inspection générale de l'éducation nationale (groupe de l'enseignement
primaire), intitulé « Le travail des élèves hors la classe. États des lieux et conditions d'efficacité. » proposant des éléments de réponse à la question : : « Faut-il - et, si oui, comment - travailler en dehors de la classe
- La résolution d'exercices d'entraînement, combinée avec l'étude du cours, permet aux élèves d'affermir leurs connaissances de base et d'évaluer leur capacité à les mettre en œuvre sur des exemples simples ;
- L'étude de situations plus complexes, sous forme de préparation d'activités en classe ou de problèmes à résoudre et à rédiger, alimente le travail de recherche, individuel ou en équipe, et permet aux élèves d'évaluer leur capacité à mobiliser leurs connaissances dans des secteurs variés ;
− Les travaux individuels de rédaction (solution d'un problème, mise au point d'exercices étudiés en classe, rapport de synthèse sur un thème d'étude, analyse critique d'un texte…) visent essentiellement à développer les capacités de mise au point d'un raisonnement et d'expression écrite ; vu l'importance de ces objectifs, ces travaux de rédaction doivent être fréquents, mais leur longueur doit rester raisonnable ;... ».
Plus précisément le texte indique pour les devoirs écrits hors la classe :
« Il convient dans ce domaine de distinguer les exercices d'entraînement et les travaux individuels de rédaction :
- Les exercices d'entraînement, dont la résolution, en étude ou à la maison, est assortie d'une rédaction sur un cahier spécialisé et d'une correction au tableau, font partie intégrante de l'apprentissage. En tant que tels, ils doivent, en règle générale, accompagner toutes les séances de mathématiques ;
« Les travaux individuels de rédaction (et notamment les « devoirs à la maison »), dont les fonctions sont multiples […] peuvent et doivent prendre des formes variées (résolution individuelle ou en petits groupes, d'un problème comportant éventuellement des questions ouvertes et aboutissant à une rédaction individuelle, compte rendu et synthèse d'une séance de travaux dirigés, recherche d'exemples, constitution d'un dossier sur un thème donné, mise au point et rédaction de solutions d'exercices dont l'étude a été engagée en classe,...). »
Les travaux écrits doivent donc être diversifiés, il est même indiqué dans les circulaires qu’ils doivent être courts et fréquents contrairement à l’ancienne structure didactique avant les années 1980 qui privilégiait les « gros » devoirs, c'est à dire plus longs, et donnés tous les 15 jours (Cirade, 2006).
On note que le DM (Devoirs à la maison) trouve aujourd’hui une nouvelle appellation dans les consignes académiques des inspecteurs de mathématiques: DTL qui signifie Devoir en temps libre. Il s’agit certainement de signifier que le travail hors la classe ne s’effectue pas forcément à la maison.
1.3 Les fonctions didactiques du travail personnel hors la classe des élèves
On constate à travers ces consignes que les devoirs écrits hors la classe et en particulier les « DM » ou « DTL » remplissent diverses fonctions didactiques. Ce constat rejoint celui de Gisèle Cirade (2006) qui analyse en effet le « DM » comme une structure « totipotente » supposée capable d'assumer toutes les fonctions didactiques essentielles. Ainsi pour faire avancer le temps didactique, le DM pourrait servir de « révisions », d'approfondissement, voire permettre de traiter une partie du programme ou de compléter le cours. Il peut être aussi donner pour préparer une activité pour la classe, pour la recherche d'une question ouverte ou d'un problème, mais aussi en guise d'entraînement à des techniques vues en classe, ou pour la finalisation d'un travail fait en classe. Dans bien des cas, le DM peut s’apparenter à un désengagement didactique permettant de faire soit un retour en arrière dans le temps didactique soit d’accélérer le temps didactique. En tout cas, il s’agit bien d’un « réservoir de temps didactique ». (Cirade, 2006)
Mais dans ces conditions, le DM s’intègre-t-il dans une organisation mathématique d’ensemble ? Gisèle Cirade (2006) considère que cette intégration ne va pas de soi, puisque les DM ont en quelque sorte pour les enseignants « l’image d’un dispositif à fort pouvoir
d’attraction didactique, capable de tout permettre… ». Elle est d’autant moins réalisée à en
regarder la façon dont s’effectue souvent la correction d'un DM. Si à une époque, cette correction représentait une part très importante du travail en classe, voire « l'essentiel de
l'activité du professeur en présence des élèves » (Ibid), le temps qui lui est consacré en classe
est réduit. La tentation, plus particulièrement peut-être en lycée, est d'externaliser ce travail afin de gagner du temps didactique par diverses stratégies : distribution d’un corrigé sur feuille assortie de quelques explications, correction de quelques points qui ont posé problème aux élèves, correction à rédiger par les élèves eux-mêmes, tout ceci contribuant à transférer la responsabilité aux élèves de « travailler » le corrigé. Toutes ces pratiques que Gisèle Cirade a pu relever, contribuent là aussi, à un désengagement didactique de la part des enseignants. Ces derniers le justifient souvent par le manque de temps et par le fait que les élèves s’ennuient ou n’écoutent pas pendant les corrections, ce qui peut être révélateur de « l’absence de projet
1.3.1 Les outils théoriques
Pour analyser les fonctions didactiques de chacun de travaux écrits prescrits dans les consignes, nous utiliserons les outils de la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD). Lorsque les élèves étudient en dehors de la classe et notamment lorsqu’ils ont à s'acquitter de travaux écrits, ils sont confrontés à des objets de savoir enseignés en classe, pour lesquels ils ont construit des rapports personnels. Mais ces rapports personnels dépendent des organisations mathématiques mises en place par l'enseignant par rapport à ces objets de savoir. Il convient ainsi de pouvoir analyser cette organisation mathématique. Pour cela, la TAD nous fournit un cadre théorique à travers la notion de praxéologie.
L'étude d'une question en vue de créer ou recréer une réponse nécessite l'élaboration d'une organisation praxéologique. Cette organisation se note de la façon suivante : [T/τ/θ/Θ].
T désigne un type de tâches, une notion qui suppose un objet précis comme par exemple « dessiner la représentation graphique d'une fonction dans un repère orthonormé du plan » ; t correspond à une tâche relevant d'un type de tâches T. On note τ une technique associée à une tâche t, c'est à dire une manière d'accomplir t. [T/ τ] constitue un bloc nommé bloc pratico-technique qu'on peut identifier comme un savoir-faire. θ représente la technologie. Elle a pour première fonction de justifier la technique utilisée en assurant qu'elle permet bien d'accomplir le type de tâches T mais elle sert aussi à expliquer la technique, la rendre intelligible et l'éclairer ou encore à produire d'autres techniques. La théorie Θ joue ces mêmes rôles de justification, d'explication et de production vis à vis de la technologie. Le bloc constitué par [θ, Θ] se nomme bloc technologico-théorique, et est identifié comme un savoir. L’organisation mathématique en tant qu’enjeu de l'étude, nécessite une organisation qui permette l’étude du savoir : c'est l'organisation didactique. En effet, l'élève, lorsqu'il étudie, passe par des « moments », où il accomplit tel ou tel geste d'étude, quel que soit le cheminement suivi. Ces moments didactiques rencontrés au cours de l'étude, appelés moments de l'étude, ont été modélisés par Yves Chevallard. Ils sont au nombre de six, sans ordre chronologique et ne sont pas tous réalisés dans une organisation didactique Il est à préciser que dans une organisation didactique, tous les moments ne sont pas forcément rencontrés.
Le premier moment est celui de la première rencontre avec l’organisation mathématique qui est l’enjeu de l’étude à travers un ou plusieurs types de tâches. Le deuxième moment correspond au moment de l’exploration de type de tâches et de l’élaboration d'une technique relative à ce type de tâches. Le troisième moment permet la constitution de l'environnement technologico-théorique relatif à la technique élaborée. Le quatrième moment est celui du travail de la technique, qui est un moment de mise à l'épreuve de la technique permettant d'en accroître la maîtrise et de la rendre plus fiable. Le cinquième est le moment de l’institutionnalisation qui vient mettre en forme l'organisation mathématique élaborée. Le moment de l’évaluation constitue le sixième moment, qui est un moment de réflexivité où l'on fait le point en évaluant d'une part la maîtrise par l'élève de l'organisation mathématique et d'autre part en évaluant également l'organisation mathématique construite et institutionnalisée.
1.3.2 Analyse des fonctions didactiques des travaux écrits hors la classe
A l'aide des outils théoriques présentés précédemment, nous allons procéder à l’analyse praxéologique de travaux donnés en classe de seconde et déterminer les moments par lesquels les élèves sont susceptibles de passer lors de l’étude. Cette analyse de l’organisation didactique permettra de dégager les fonctions didactiques de chacun des travaux analysés. Dans les consignes officielles, on trouve donc deux types de travaux écrits : les exercices d'entraînement et les travaux individuels de rédaction qui peuvent prendre différentes formes dont la forme DM (ou DTL).
1.3.2.1 Les exercices d'entraînement
Exemple 1 : exercices d'entraînement, classe de seconde
Ces exercices ont été donnés à l'issue d'une séance ayant pour objectif : « Passer d'un tableau de variation à une courbe » dans le chapitre « Sens de variation- Fonctions affines ». La correction s’étant effectuée en classe à la séance suivante, ils s'intègrent donc dans l'organisation mathématique mise en place par le professeur.
Les éléments technologiques à disposition des élèves sont : la définition d'une fonction strictement croissante et celle d'une fonction décroissante. Les techniques « lire
graphiquement le sens de variation d'une fonction », « résumer le sens de variation d'une fonction dans un tableau de variation », « tracer une courbe à partir d'un tableau de variation donné » ont été institutionnalisées en classe.
Énoncés :
Exercices tirés du manuel de la classe (maths'x, ed.Didier, 2010, p70)
Les types de tâches rencontrées dans l'exercice n°27 sont successivement :
Tdéf : « A partir d'un tableau de variation, donner
l'ensemble de définition d'une fonction f »
Tvar : « A partir d'un tableau de variation, décrire
le sens de variation d'une fonction f »
Tcourbe : « A partir d'un tableau de variation, tracer
une courbe représentant f »
De même pour l'exercice n°31, on retrouve le type de tâches Tcourbe .
Seuls les exercices n°29 et n°30 ont été donnés. Les élèves peuvent ainsi se servir de la correction de l'exercice n°28 qui se trouve dans le livre. Les types de tâches rencontrées dans l'exercice n°29 sont :
T'var : « A partir de la courbe donnée d'une
fonction f, décrire le sens de variation de f » Ttab : A partir de la courbe donnée d'une fonction
f, dresser le tableau de variation de f ».
On remarquera que le type de tâche Ttab est en fait
une technique associée à T'var.
Les moments rencontrés par les élèves en travaillant ces exercices sont d'une part un moment de travail des techniques qui leur permet d'en accroître la maîtrise puis un moment d'évaluation lors de la correction en cours.
Ces exercices ont donc comme fonction didactique l’entraînement à des techniques vues en classe.
Exemple 2 : exercice d'entraînement donné en DM en classe de seconde
Cet exercice se situe dans une séquence sur les inéquations et l'étude de variations des fonctions affines. La détermination du signe de l'expression ax +b à partir de la représentation graphique de la fonction affine f(x)= ax + b ou algébriquement fait partie du milieu ainsi que l'étude du signe d'un produit ou quotient de deux facteurs.
Le type de tâches demandé dans cet exercice est Tsigne : « étudier le signe d'une expression
algébrique A écrite sous la forme d'un produit ou quotient d'expression de la forme ax+b » La technique τ associée est donnée en partie dans l'énoncé, puisqu'il fait référence au tableau de signes. On peut résumer τ par : « étudier le signe de chacune des expressions de la forme
ax+b en fonction de la valeur de x , puis à l'aide d'un tableau signe, déterminer le signe de
l'expression algébrique A en faisant le produit des signes des expressions composant A »
Avec cet exercice, les élèves vont rencontrer un moment de travail de la technique pour les expressions a), b) et d). Pour l'expression c) qui est un produit de trois facteurs et pour l'expression e) qui présente à la fois un quotient et un produit de facteurs, les élèves seront
peut-être dans un moment d'exploration du type de tâche Tsigne qui demandera l'élaboration
d'une technique à partir de celle institutionnalisée en cours. Les élèves devraient rencontrer un moment d’institutionnalisation de cette nouvelle technique lors de la correction en classe.
La fonction didactique de cet exercice sera d'une part un entraînement à une technique institutionnalisée en classe, mais aussi un élargissement de la technique avec des exercices plus complexes, ce qui constitue un approfondissement.
En conclusion, les exercices d'entraînement vont à priori s'inscrire dans un moment de travail de la technique qui sera l'occasion pour l'élève d'accroître sa maîtrise d'une ou des techniques présentes dans l'organisation mathématique construite en classe. Mais des exercices plus complexes peuvent engager l’élève dans un moment d’exploration de type de tâches avec nécessité d’élaborer une technique.
La principale fonction didactique des exercices d'entraînement est donc de travailler des techniques présentent dans l'organisation mathématique. Mais ils peuvent aussi remplir une fonction d’approfondissement voire de complément de cours.
1.3.2.2 Les travaux individuels de rédaction
La mise au point d'exercices étudiés en classe, un compte rendu et synthèse d'une séance de
travaux dirigés, vont correspondre pour les élèves à un moment d’institutionnalisation. Mais ce sera aussi l'occasion pour eux de retravailler des techniques élaborées en classe.
Les fonctions didactiques réalisées par ces types de travaux, liés directement à l'organisation mathématique mise en place dans la classe, permettent alors de poursuivre la séance de cours en faisant au passage avancer le temps didactique : travail de techniques, finalisation d'un travail fait en classe. Une fois, ces travaux effectués par les élèves, il reste à savoir comment ils seront repris dans l'organisation mathématique.
L'étude et la résolution d'un problème
Exemple 3 : problème donné en classe de seconde dans un DM.
Cet exercice est situé par le professeur dans le thème « statistiques ». Les élèves connaissent la définition de la moyenne arithmétique et ont à leur disposition la technique pour la calculer. Le type de tâches à réaliser est: « trouver trois nombres a, b et c connaissant leur moyenne arithmétique, la moyenne arithmétique de a et b et celle de b et c ».
Une des techniques possibles pour la réaliser est τsyst : « former un système de trois équations
à trois inconnues a, b et c puis résoudre ce système ». Cette technique τsyst demande que les
élèves connaissent une autre technique qui permette de résoudre ce type de systèmes. Or au regard des programmes de collège et de seconde, cette technique n'est pas à la disposition des élèves. Ils auront donc à l'élaborer sauf si elle a été déjà institutionnalisée en classe.
On peut remarquer que le titre annoncé « un peu de statistiques » va impliquer pour beaucoup d'élèves une recherche parmi les savoirs en statistique. Si la définition d'une moyenne se retrouve dans ce thème, il reste que le problème posé est plutôt un problème d'arithmétique qui peut se résoudre par l'utilisation de l'algèbre.
Les moments susceptibles d'être traversés par les élèves pendant l'étude de cet exercice seront successivement un moment de première rencontre avec le type de tâches, un moment d'exploration du type de tâche et d'élaboration d'une technique. Ils pourront être suivis en classe d’un moment technologico-théorique relatif à la technique élaborée et d’un moment d'institutionnalisation de la nouvelle technique.
Les fonctions didactiques de cet exercice sont d’une part la recherche d'un problème, mais peut-être aussi un travail d'approfondissement en algèbre qui ne sera pas forcément assumé par tous les élèves sauf si dans le cadre de la classe, cet objet de savoir a été enseigné par le professeur.
En conclusion, l'étude d'un problème demande l'utilisation de techniques. Si celles-ci existent dans l'organisation mathématique développée en classe, les élèves aborderont un moment de travail de la technique. Mais la résolution d'un problème peut impliquer d'élaborer une technique à partir de plusieurs techniques vues en classe c'est à dire un moment d'exploration de type de tâches avec élaboration d'une technique. Pour autant, la façon dont sera poser le problème constituera peut être un moment de premier rencontre pour les élèves.
Les fonctions didactiques d’un problème donné en travail à la maison peuvent être diverses : entraînement aux techniques apprises en classe, révisions, recherche d’une question avec élaboration d’une technique.
La question ouverte dans un DM ou en activité préparatoire sera à priori vécue en premier
comme un moment de première rencontre. Charge alors aux élèves de la rattacher à des objets de savoirs connus. Tous les moments vont être traversés jusqu'à l'institutionnalisation et l'évaluation de l'organisation mathématique mise en jeu lors de la recherche de cette question.
Exemple 4 : exercice sous la forme d'une question ouverte posé dans le cadre d'un DM de classe de seconde
La situation se trouve dans le cadre de l'étude de configurations planes.
Pour réaliser cet exercice, les élèves peuvent faire appel à plusieurs techniques telles que l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique, la représentation dans le plan de la figure géométrique avec essais erreurs ou bien une modélisation .
Pour les élèves, le type de tâche va être difficilement identifiable. Lors de l'étude de cette question, ils vont rentrer dans un moment de premier rencontre, puis un moment d'exploration du type de tâches avec élaboration d'une technique pour émettre une conjecture. Selon l'attente de l'enseignant (simple conjecture avec ou sans traces de recherche, conjecture avec démonstration pour la valider), d'autres moments pourront intervenir comme celui du travail
de la technique. Aucune indication ne figure dans le texte de l'exercice mais des consignes ont pu être données à cet effet aux élèves et ils seront tenus par le contrat didactique de la classe dont les termes peuvent être : on ne donne pas une solution sans la justifier ou encore seules des traces montrant la recherche sont importantes, peu importe le résultat etc.
La fonction didactique de cet exercice est donc la recherche d'une question, voire un travail de la technique.
1.3.2.3 Conclusion
Les travaux écrits hors la classe peuvent remplir diverses fonctions didactiques dont certaines ont pu être identifiées à l'aide d'exemples. Si pour certains travaux comme les exercices d'entraînement, la ou les fonctions didactiques sont bien identifiées, elles le sont beaucoup moins pour d'autres. Ainsi l'étude et la résolution de problème ou la recherche d'une question assument plusieurs fonctions didactiques. Ce type de travaux sont souvent présents dans les DM, ce qui en fait une structure « totipotente » demandant aux élèves de développer une organisation personnelle de l'étude plus poussée. Cet aspect explique l'intérêt particulier qui sera porté sur les DM par la suite.
1.4 Les gestes de l'étude des élèves en mathématiques
Dans cette partie, nous continuerons à nous appuyer sur la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD) développée par Yves Chevallard.
Dans le dispositif scolaire et pédagogique que nous connaissons, Yves Chevallard identifie ce qu'il appelle des cellules de base, appelés systèmes didactiques S(X ; Y ; Q) où Q est une question à étudier, X l'ensemble de ceux qui étudient, Y l'ensemble de ceux qui aident à l'étude ou qui dirigent l'étude. Dans le cadre d'une classe, X est l'ensemble des élèves de cette classe, Y se réduit le plus souvent à y, le professeur.
La TAD situe l'étude d'une question Q à travers le schéma suivant, appelé schéma herbatien, ici dans sa forme semi-developpée [S(X ; y ; Q) ➦ M] ➥ R♥.
Le système didactique S(X ; y; Q) se constitue un « milieu pour l'étude », noté M et avec celui-ci, il produit une réponse R♥ à la question Q. Yves Chevallard définit tout d'abord le
milieu comme un « ensemble d'objets institutionnels » tels que « les rapports institutionnels soient localement stables ». En 1989, Yves Chevallard présente le milieu de la façon suivante : « Au cours de l’évolution temporelle de l’institution des sous-systèmes du système général, des objets institutionnels vont se stabiliser durablement, en ce sens que les rapports institutionnels à ces objets vont, sur une période assez longue, cesser d’évoluer, se révéler « robustes » … et se naturaliser en devenant transparents aux acteurs de l’institution … de tels sous-systèmes d’objets vont assumer, pour les acteurs de l’institution, une fonction de Milieu, celui-ci apparaissant doué d’une objectivité échappant au contrôle et à l’intentionnalité de l’institution ».
Yves Chevallard (2007) définira par la suite le milieu comme « tout système qu'on peut
regarder comme dénué d'intentions dans la réponse qu'il peut apporter, de manière explicite ou implicite, à telle question déterminée ». Le milieu est constitué d’œuvres (Oj), de réponses
toutes faites (Ri◊) « estampillées » et validées par l'institution et de questions (Qk). Ainsi tout
document issu d'un livre ou récupéré sur internet, des travaux scientifiques ou autres, des expériences ou résultats d'expériences, ou encore des questions font partie du milieu pour l'étude. Mais l'accès à des réponses s'opère via des médias.
Alors que le milieu est un système dénué d'intention didactique par rapport à la question étudiée, le média est « un système de mise en représentation d'une partie du monde naturel ou
social à l'adresse d'un certain public » (Chevallard, 2008). Un média porte donc une
intention: celle d’informer, de communiquer (Matheron, 2017). Les médias sont donc susceptibles d'apporter des matériaux pour la construction de réponses. Ainsi pour Yves Matheron (2017), les médias et les milieux constituent les deux pôles d’une dialectique dont le processus d’alternance assure par dépassement l’avancée dans la production d’éléments de réponses. C'est ce que Yves Chevallard appelle la dialectique des médias et des milieux, essentielle dans le cadre de l'étude :
« L’existence d’une dialectique vigoureuse (et rigoureuse) entre médias et milieux est une condition cruciale pour qu’un processus d’étude et de recherche ne se réduise pas au recopiage acritique d’éléments de réponse épars dans les institutions de la société. »
Yves Chevallard précise qu'« un média peut, à propos de telle question particulière être
regardé comme un milieu et être utilisé comme tel ». Pour Yves Matheron (2017), « Dans une institution soumise à un contrat didactique, la frontière entre médias et milieux devient ténus pour certains de ses sujets. »
Cependant, Yves Matheron (2017) constate que :
« sous la forme scolaire dominante, (...) une organisation pédagogique assez générale confine les élèves en classe dans une position où ils sont dépourvus d'accès aux médias. » et que « une telle situation au sein de laquelle le recours aux médias « traditionnels » est soit impossible, soit empêché est celle dans laquelle se trouvent en France les élèves des classes mathématiques, ainsi que de nombre de disciplines scolaires ».
Il précise alors :
« les moments consacrés à la consultation de médias, s’ils existent, relèvent de l’extérieur de la sphère temporelle et spatiale de la classe. C’est un temps non interrogé, celui de l’étude personnelle privée laissée, au nom de l’autonomie, à la libre initiative de chacun, et sur lequel l’institution ne porte pas son regard : temps passé en bibliothèque scolaire, en consultation de manuels, en recherche d’aide auprès de personnes de son entourage proche » (Matheron, 2017)
Cours du professeur, manuel, et plus rarement d'autres manuels parascolaires sont traditionnellement les médias fréquentés par les élèves. Pourtant pour Yves Chevallard (2004) : .
« Ce monde étriqué contraste avec l’univers des médias que l’on s’imposera ordinairement de parcourir pour y traquer les réponses R, en se soumettant alors à ce qu’on peut, de manière parodique, appeler la dialectique du parachutiste et du truffier : contre le double habitus scolaire de la rareté documentaire et de la recherche de l’adéquation immédiate du document au projet, on devra en effet souvent, à l’instar du parachutiste, « ratisser » de vastes zones, où l’on saura a priori devoir ne pas trouver grand-chose, mais où pourra advenir de l’inattendu, et où, à la façon d’un chien truffier, on apprendra à repérer les rares « pépites », souvent peu visibles, qui feront progresser la recherche ».
Mais que se passe-t-il en termes de milieu pour l'étude qui s'effectue hors de la classe ?
Le travail en classe est un Système Didactique Principal (SDP) S(X ; y ; Q) qui engendre des Systèmes Didactiques Auxiliaires (SDA) venant en aide au SDP. Le travail personnel des élèves à la maison est un de ces systèmes didactiques auxiliaires.
