Optimisation des modes de Lamb à vitesse de groupe nulle engendrés par laser et évaluation locale de structures collées

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nulle engendrés par laser et évaluation locale de

structures collées

François Bruno

To cite this version:

François Bruno. Optimisation des modes de Lamb à vitesse de groupe nulle engendrés par laser et évaluation locale de structures collées. Physique [physics]. Université Sorbonne Paris Cité, 2017. Français. �NNT : 2017USPCC147�. �tel-02067884�

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Th`ese de doctorat

de l’Universit´e Sorbonne Paris Cit´e

Pr´epar´ee `

a

l’Institut Langevin

Ecole Doctorale 564 - Physique en ˆIle-de-France

Optimisation des modes de Lamb

`

a vitesse de groupe nulle engendr´

es par laser

et ´

evaluation locale de structures coll´

ees.

Par Fran¸cois Bruno

Th`

ese de doctorat d’acoustique physique

Dirig´

ee par Claire Prada

Pr´esent´ee et soutenue publiquement le 8 juin 2017

Pr´esident du jury : Bertrand Audoin, professeur des Universit´e, I2M - Bordeaux

Rapporteur : Frédéric Jenot, professeur des Universités, IEMN - Valenciennes

Rapporteur : Joseph Moysan, professeur des Universit´es, LMA - Marseille

Examinateur : Michel Castaings, professeur des Universit´es, I2M - Bordeaux

Examinateur : Christophe Coste, maˆıtre de conf´erence, LMSC - Paris VII

Directrice de th`ese : Claire Prada, directrice de recherche CNRS, IL - Paris

Membre invit´e : Mathieu Ducousso, ing´enieur chercheur Safran Tech

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that lies on the far side of silence, anti-noise, its shadowy decibels throttling the marker cries like a fall of velvet.

Terry Pratchett, Sourcery

Terry Pratchett met en valeur les nuances existant entre le son, le silence (l’ab-sence de son) et l’anti-bruit. Bien que méconnue, cette dernière notion est régulière-ment rencontrée mais sous le nom de « silence de plomb », ce qui porte à confusion. La suite expose une étude rigoureuse sur un exemple concret. Puisque le silence est

d’or, sa vitesse de propagation est de l’ordre de 3240 m/s alors que l’anti-bruit est bien

moins rapide en raison du plomb (2160 m/s). En outre, comme la parole est d’argent

(3700 m/s), il apparait logique qu’un calembourg soit d’abord suivi d’un silence poli,

puis d’un « silence » gˆenant : c’est l’anti-bruit qui parvient `a nos oreilles.

Dans certains cas, l’anti-bruit peut pr´esenter une r´esonance et l’orateur ne sait plus

où se mettre. Ce ressenti n’est en réalité qu’une illusion des sens. En effet, à l’inverse

d’une perturbation classique, c’est anti-perturbation correspond à la propagation d’une dilatation du temps et d’une contraction de l’espace, sans conservation de la quantité de matière. Le temps semble infiniment long et la déformation de l’espace peut avoir de graves répercussions sur la santé du sujet. Les symptômes les plus courants prennent la forme de fortes difficultés respiratoires, l’oxygène étant plus rare dans les poumons du fait de la compression spatiale, et de crises de rires hystériques, conséquences de la privation du cerveau son comburant pendant une durée prolongée. Les crises les plus aigus peuvent entraˆıner une fin douloureuse de l’orateur (la « mort de honte »), mais même les plus petites l’affaiblissent et à terme conduisent à l’apoptose de l’ensemble des cellules, démoralisées, du corps.

Ce problème de santé semble naissant, cependant il n’en est rien. Les anciens connais-saient déjà empiriquement l’anti-bruit et ses effets, et ils ont travaillé de nombreuses années à l’élaboration d’un remède. L’objectif est simple. Pour empêcher le mal de se propager, il faut être capable de convertir l’anti-bruit en silence. Autrement dit, il faut transformer le plomb en or par le biais de la pierre philosophale. Les alchimistes avaient donc compris depuis longtemps que la pierre philosophale permettait d’accroˆıtre la durée de vie. Maintenant, son mécanisme complexe est relevé. La recherche de la pierre n’est pas encore accomplie et de nombreux financements restent nécessaires à son obtention.

St

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Remerciements

En premier lieu, je tiens à remercier Claire Prada, ma directrice de thèse, pour l’opportunité qu’elle m’a offerte de travailler à ces côtés et pour son encadrement durant ces quelques années passées à l’institut. Je n’étais pas le plus légitime pour ce doctorat puisque je n’avais aucune formation dans ce domaine, alors je la remercie de m’avoir donné ma chance. Outre sa grande expertise scientifique qui n’est plus à démonter, je lui suis profondément reconnaissant pour ses qualités humaines, notamment son humilité et sa patience devant mes réflexions souvent (légèrement) absconses. Cela fut un plaisir de travailler avec toi.

Je tiens à remercier également Jérôme Laurent qui m’a encadré et formé au niveau expérimental en particulier, durant ces quelques années. Jérôme est un expérimenta-teur exceptionnel dont la curiosité n’a de comparable que son abnégation à obtenir les meilleurs résultats possibles. Un immense merci également pour tes qualités humaines qui font de toi une personne si attachante, parmi lesquelles ta simplicité, ta disponibilité (alors même que tu es débordé puisque tout le monde a besoin de toi et que tu te fixes également des objectifs très élevés), ton humilité, ta gentillesse et je m’arrête car une page n’y suffirait pas. Sans toi, rien ne serait possible dans l’équipe et l’ultra majorité du laboratoire serait, au moins, fortement ralenti. J’espère un jour atteindre ton niveau d’excellence scientifique et de joueur de squash.

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à Daniel Royer qui, malgré la retraite, continu à nous faire profiter de son expertise, de son immense culture scientifique et de sa sagesse, toujours de fa¸con très humble même face à un simple béotien. Après la

« bible Royer1

» tome 1 et 2, j’esp`ere pouvoir lire une potentielle suite sur les modes guid´es ?

Les rapporteurs de mon travail de thèse sont MM. les professeurs Frédéric Jenot et Joseph Moysan auxquels j’exprime ma gratitude pour le temps qu’ils y ont consacré. Mes remerciements s’étendent également à MM. les professeurs Bertrand Audoin, Michel Castaings et Christophe Coste pour m’avoir fait l’honneur de participer à mon jury. Je remercie également chaleureusement Mathieu Ducousso, notre contact et interlocuteur privilégié auprès de Safran, qui a montré un réel intérêt à toutes nos activités de recherches et qui s’est mis en quatre pour nous permettre de travailler sur des échantillons collés de qualité.

J’adresse également mes remerciements à Sylvain Mezil, Paul Jehanno, Samuel Raetz, Aurélien Baelde et Nicolas Bochud. Sylvain, en post-doc au sein de l’équipe avant et pendant ma première année de doctorat, est le premier avoir travaillé sur les problématiques du collage. Paul alors en stage de fin de 3ème cycle s’est attelé avec Jérôme à la compréhension et la modification du code de Balogun pour la modélisation de modes de Lamb engendrés par Laser. Samuel a réalisé un post-doc au laboratoire durant ma première année de doctorat et je lui dois notamment de m’avoir permis de répondre à une question de thermique lors de ma soutenance. Aurélien, doctorant et

1. Même des scientifiques Russes, certes peu orthodoxes, sont venus spécialement au laboratoire pour se faire dédicacer un exemplaire.

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contexte scientifique. Un petit merci pour nos discussions sur la SVD, Macron et la vie en général, et bon courage pour la soutenance à venir (car de chance tu n’as pas besoin !). Enfin, Nicolas, activiste suisse malgré lui, mais tout à fait charmant, est arrivé pour nous faire profiter de ces compétences en inversion et indirectement en archéologie ; je lui souhaite bien du courage à la lecture du chapitre 3 de ce manuscrit. Je suis reconnaissant à Michael Atlan pour m’avoir offert l’opportunité de travailler avec lui en tant qu’assistant ingénieur en holographie numérique, ce qui m’a permis de m’intégrer au sein du laboratoire et de trouver un sujet de doctorat.

Je remercie également Arnaud Tourin et Fabrice Lemoult pour m’avoir permis d’ef-fectuer une année d’ATER dans l’équipe d’enseignement « ondes et acoustique » de l’ESPCI, ce qui fut très enrichissant et m’a permis de terminer ma rédaction dans de bonnes conditions. Arnaud, directeur de l’institut Langevin et pédagogue supérieure, est une personne formidable qui malgré ses très grandes responsabilités et sa considérable charge de travail reste très disponible. Fabrice est également un excellent scientifique et un pédagogue de pur génie. C’est également pour l’ensemble de ces qualités humaines que je le considère comme un des grands maˆıtres de conférence en devenir de l’ESPCI. Il est en outre un excellent acolyte de bar toujours de bonne humeur et au rire facile.

J’adresse également de très sincères remerciements aux membres du pôle ges-tion/administration du laboratoire, actuels ou anciens, qui nous permettent de nous concentrer sur nos tâches scientifiques. En particulier, un grand merci à Patricia, Lau-rine, Lorraine, Christelle, et Marjolaine, ainsi qu’à Marion et Hélène du fonds ESPCI Georges Charpak.

J’en arrive à mes camarades, d’infortunes parfois, en thèse ou post-doctorat. Après plus de quatre ans au laboratoire, il y en a un certain nombre. Il est assez délicat et long de résumé les apports de chacun aussi, j’ai choisi de vous remercier au travers de quelques activités (non exhaustives) que nous avons partagées. Mentions spéciales pour la team sirène (Daria, Ariadna, Mimi, Nadège et Yannick qui tiennent toujours la forme), la team squash/tennis (Olivier dit « Toutoune », « la pince » et « le

p´eru-vien »2

, J´erˆome, Laura, Clotilde3

, ce cher Nathan, ...), l’équipe championne du monde de haxball/QPUC (Yannus, Céline, Charlie, Lermu, Papadacci, Fabien, Vincent, Nico-las...), la team JDR (Clément 129 dit « Sieur Dupuy » maˆıtre incontesté et trois fois béni, Marion dans le rôle d’Atticus le médecin avant qu’elle ne le devienne véritable-ment, Marc dans le rôle du saltimbanque « Eusèbe », Mai dans le rôle de Guillermo le courtisan légèrement lubrique et Gautier dans le rôle d’Honoré le gentilhomme bret-teur), les spécialistes fitness et politique (Aurélien, Elodie, Pierre, Ma¨ı, ...), l’équipe bricorama (Sam et Simon), la team ”bar après les TP” (Skimou, Juliette et Charles), la team joquenard (il ne vaut mieux pas cités les noms ?), l’équipe de choc de randonneurs (Nikos, Justine, pour ceux qui n’ont pas encore été cité), la team jeu de société (bien trop nombreux mais citons notamment Fran¸cois, Guillaume, Claire, Nancy,... ) et enfin Baptiste, LE breton photographe et l’homme au ukulele, mister Amir mon compagnon de galère capillaire, Martino dit « le roux » adulateur des nanars, la Maf’, Claudia, Vico, Jérôme, Charlotte, Guillaume, et j’en ai omet beaucoup. Je n’oublie pas mon

2. Cette fois c’est la bonne, aujourd’hui je te met une rˆacl´ee ou c’est moi qui paye..., et tellement plus que le squash

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souvenir des premiers contact avec l’autochtone Américain à la sortie du métro sera à jamais gravé en moi) et les vacances à Montréal (bisous à Alex au passage). Une petite pensée pour le bureau R30 qui a brillé pendant tant d’années par son exceptionnelle sociabilité (Big-up pour Olivier L., Thibaut W. et Vincent M.) avant l’arrivée des pe-tits nouveaux. Et enfin merci à Timmy pour ses petites attentions et ses tentatives souvent réussies pour me faire accélérer dans ma rédaction, ainsi qu’à Pierre et Sébas-tien, mes nouveaux co-bureaux dur R54. En bref, toutes ces personnes ont participé ou participent à la vie du laboratoire, et chacune joue encore un rôle particulier dans la mienne, et j’espère qu’elles continueront.

Je remercie aussi mes chers colocs Keke (Dr. Muon) et Doomy, auxquels j’ajoute Coco, pour ces fantastiques ann´ees et souvenirs depuis la rez de PC. Merci pour ces

journées, ces soirées, l’ouverture de la saison de la raclette fin août, la découverte des

chocapics au lait de chèvre par Kevin (n’essayez pas), les blaques quotidienne de la banane.com de Doom, ce superbe cadavre exquis mural, ... Sans vous ¸ca aurait été bien plus difficile. De manière égale, merci à Flo, Lulu, Marianne, et tous les copains de supop’ ! Merci au plus ou moins anciens extrémistes du nord, notamment Raff’ et Prudhi (pour m’avoir fait découvrir les soirées nanars sandwich). Je n’oublie pas les amis de longue date : Cupi, Rémi, Alex, Simon, Delou, Mag, Jota, Anne, Marie, Dédé, Cédric, Benji, Renaud, Mélissa, Chlo, Elise, Flo, Romu, Nolwenn, Guillaume, Nelly, Antoine, Johan, Céline, Magalie, Remy, sans oublier Mimi (alias Tatie Suze). C’est un euphémisme de dire que je n’ai pas toujours été présent ces dernières années et que j’ai raté quelques évènements, mais vous êtes quand même toujours là pour moi quand j’en ai besoin ou pas. Je sais ce que je vous dois et j’espère que je pourrais vous le rendre au centuple comme vous le méritez. Je vous aime.

Enfin, on dit souvent qu’à la différence des amis, on ne l’a choisie pas mais je ne vois pas comment j’aurai pu mieux tomber : merci à tutta la famiglia ! Et en particulier à mes parents pour m’avoir permis (et poussé) d’accomplir des études aussi longues, et soutenus financièrement comme moralement.

Enfin, je dédie cette thèse à ma p’tite grande soeur, Marianne, et à mon beau frère Eddy qui partage sa vie et la rend si heureuse. Tu ne te souviens peut-être pas de

nos jeux d’enfants où, en oracle, tu jouais à la maˆıtresse, et moi un élève du nom

de Quentin : cela s’est vérifié bien des années plus tard puisque tu es devenue une

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Introduction g´en´erale 1

1 Généralité sur les ondes guidées dans les plaques et modes ZGV 5

1.1 Ondes ´elastiques et r´esonance de plaque . . . 6

1.1.1 Modes de Lamb . . . 6

1.1.2 Modes complexes . . . 10

1.1.3 R´esonances d’´epaisseur . . . 12

1.1.4 R´esonances ZGV . . . 13

Lieux d’existence des modes ZGV . . . 13

Fr´equences de r´esonance ZGV . . . 15

Composantes du déplacement associées à une résonance ZGV . . 16

1.2 Techniques exp´erimentales . . . 17

1.2.1 G´en´eration optique . . . 17

1.2.2 D´etection optique . . . 19

Sonde BMI . . . 20

Sonde Bossa Nova TEMPO 1D . . . 22

1.2.3 Dispositif exp´erimental et validation exp´erimentale . . . 24

1.2.4 Validations - Mesures de r´esonances ZGV . . . 26

1.3 Mesures de courbes de dispersion . . . 27

Mesures par ultrasons laser . . . 28

Mesures par une sonde multi-´el´ement en contact . . . 29

1.4 Caract´erisation de structure planes `a l’aide des modes ZGV . . . 31

1.4.1 Caract´erisation d’une plaque ´elastique isotrope . . . 32

Mesure du coeﬃcient de Poisson . . . 32

Mesures de variations d’´epaisseur . . . 32

Mesures conjointes des vitesses et de l’´epaisseur absolue . . . 35

Plaque ´elastique anisotrope . . . 36

1.4.2 Caract´erisation de structures multicouches . . . 38

Détection de défaut de délamination . . . 39

Mesure de l’épaisseur d’une fine couche déposée sur un substrat 39 Caractérisation des interfaces d’un matériau bicouche . . . 40

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2.1 Modélisation de la génération thermoélastique dans les plaques . . . 47

2.2 Optimisation des paramètres géométriques d’une source : expressions théoriques analytiques et résultats des simulations . . . 52

2.2.1 Optimisation d’une source Gaussienne . . . 52

2.2.2 Optimisation d’une source annulaire `a proﬁl Gaussien . . . 54

Approximation par un produit de convolution . . . 55

Optimisation th´eorique . . . 57

2.2.3 Optimisation d’un faisceau ou d’une source annulaire `a proﬁl rectangle . . . 59

Faisceau `a proﬁl rectangle . . . 59

Anneau `a proﬁl rectangle . . . 60

2.2.4 Comparaison des sources optimales . . . 61

2.3 R´esultats exp´erimentaux . . . 64

2.3.1 Principe de caract´erisation des distribution de sources . . . 64

2.3.2 Faisceau Gaussien . . . 65

2.3.3 Sources annulaires . . . 67

Syst`emes optiques . . . 67

R´esultats exp´erimentaux - Anneau Gaussien . . . 73

R´esultats exp´erimentaux - Anneau rectangle . . . 75

2.4 Conclusion . . . 76

3 Modes ZGV d’une structure tricouche : Étude de l’influence des pa-ramètres élastiques et de l’épaisseur du couplant 79 3.1 Présentation du modèle tri-couche . . . 83

3.2 Etude param´etrique . . . 91

3.2.1 Dépendance des modes ZGV vis à vis de l’épaisseur de colle . . 91

3.2.2 D´ependances des fr´equences ZGV avec les vitesses . . . 96

´ Evolution selon cL2 à cT 2 fixée . . . 96

Evolution selon cL2 à cT 2 fixée . . . 99

3.2.3 D´ependances des fr´equences ZGV avec les raideurs d’interface . 102 ´ Evolution avec KL et KT . . . 102

´ Evolution selon KL pour une valeur de KT ﬁx´ee . . . 102

´ Evolution selon KT pour une valeur KL ﬁx´ee . . . 105

3.3 Observations sur les liens entre fréquences de coupure et fréquences ZGV105 3.3.1 Etudes sur les fréquences de coupure du tri-couche . . . 107

3.3.2 Conséquences sur les domaines d’existence des modes ZGV appariés114 3.3.3 Conséquences sur la sensibilité aux raideurs d’interface des modes ZGV . . . 116

3.3.4 Origine des autres r´esonances ZGV . . . 121

4 Mesures des raideurs d’interface dans des structures tricouche 125 4.1 Mesures sur ´echantillon avec une faible ´epaisseur de colle . . . 126

4.1.1 Estimation de raideurs d’interface avec épaisseur de joint connue 127 4.1.2 Estimation de raideurs d’interface avec épaisseur de joint inconnue131 4.1.3 Estimation de l’épaisseur et des vitesses dans la colle . . . 134

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4.2.1 Mesures spectrales dans les ´echantillons et interpr´etations

quali-tatives . . . 145

4.2.2 Inversion pour une comparaison quantitative . . . 151

Conclusion g´en´erale 157

Bibliographie 158

Annexes

A1

A Étude du Champ optique diffracté par le système lentille-axicon A1

A Calcul du champ apr`es l’axicon . . . A2

A.1 Cons´equences des conditions d’appartenance de P0(i) `a la pupille

d’entr´ee . . . A3

A.2 Conditions de validité du développement limité d’ordre 2 . . . . A4

B Calcul du champ apr`es la lentille . . . A5

B.1 Calcul de la contribution E2(2) . . . A6

Conditions d’une contribution non-nulle . . . A7

Conditions de validité du développement limité d’ordre 2 . . . . A8

B.2 Calcul de la contribution E2(1) . . . A8

Conditions d’une contribution non-nulle . . . A9

Conditions de validité du développement limité d’ordre 2 . . . . A9

B.3 Calcul du champ E2 . . . A10

B Coefficients des d´eterminants du TCI B1

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Les ondes élastiques peuvent être utilisées pour caractériser le milieu dans lequel elles se propagent. Toutefois, cette caractérisation nécessite de bien comprendre les in-teractions entre ces ondes et le milieu de propagation. La publication de textes majeurs

pour la géophysique, notamment par Rayleigh [1], Lamb [2] et Love [3], a offert à la fin

du dix-neuvième siècle de nouvelles perspectives par exemple pour le développement de méthodes de prospection. Lors de la propagation d’une onde élastique, les mesures de déplacement étant limitées à la surface terrestre, deux problématiques ont rapide-ment été soulevées : les problèmes directs, dont l’objectif est la compréhension et la prédiction du comportement des ondes acoustiques se propageant dans un milieu ; les problèmes inverses, dont le but est de remonter aux caractéristiques du milieu à partir de données limitées et mesurables, telles que le déplacement de la surface terrestre. Les avancées réalisées en géophysiques ont eu naturellement des retombées dans les applications industrielles et plus précisément le contrôle non destructif (CND) par ul-trasons. En effet, le CND qui vise à vérifier l’intégrité d’une pièce (détection des défauts ou inhomogénéités, caractérisation élastique, etc.) requiert la résolution de problèmes directs et inverses du même type qu’en géophysique.

Actuellement, le contrôle non destructif revêt une importance grandissante dans de nombreux domaines industriels. De plus, l’utilisation de nouveaux matériaux et de nouveaux procédés d’assemblage nécessitent le développement continu de nouvelles techniques. C’est le cas dans le secteur de l’aéronautique, pour les assemblages collés qui présentent de nombreux avantages. En effet, ce type d’assemblage permet d’assurer une répartition des contraintes plus homogène que dans les assemblages rivetés et de réduire le poids des structures (par rapport au soudage). De plus, il autorise des assemblages de géométries complexes. Néanmoins, les procédés de collage sont délicats car ils mettent en jeu de nombreux paramètres physiques et chimiques, particulièrement au niveau de l’interface adhésif/adhérent. Par exemple, une bonne mouillabilité de la pièce vis-à-vis de la colle est nécessaire pour une bonne liaison. Cela implique des préparations de surface exigeantes et un travail en environnement contrôlé, ce qui n’est pas forcément commode pour une mise en œuvre industrielle. Dans un domaine comme l’aéronautique

où le moindre défaut peut aboutir à une catastrophe aérienne, il est donc primordial

de pouvoir contrôler la qualité du collage après assemblage, et d’en suivre l’évolution en service.

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de recherches et des industriels sur de multiples projets. On peut citer par exemple, la conception de collage à tenue mécanique calibrée (en aluminium/aluminium, ti-tane/titane et titane composite), l’évaluation d’épaisseur de colle par ondes de Lamb fuyantes, la localisation et le dimensionnement de Kissing-Bond par ondes de volumes ou ondes guidées, et l’évaluation des collages par choc laser. Cette thèse, financée par la Chaire Safran ESPCI, s’inscrit dans ce contexte ; son objectif est de proposer et d’analyser une méthode de contrôle sans contact des plaques collées utilisant les modes de Lamb à vitesse de groupe nulle.

Les structures planes, et en particulier les plaques, supportent la propagation d’ondes guidées appelées ondes de Lamb. Pour certaines valeurs de la fréquence et du nombre d’onde, il existe des modes particuliers pour lesquels la vitesse de groupe

(∂ω/∂k) est nulle et la vitesse de phase finie. Ces modes sont qualifiés de modes à

vi-tesse de groupe nulle ou modes ZGV (« Zero Group Velocity modes »). Ils sont associés à des résonances étroites et localisées sur une distance de l’ordre de l’épaisseur de la plaque. Ces modes présentent des propriétés singulières qui ouvrent des perspectives intéressantes pour le contrôle non destructif. Par exemple, leur fréquence dépend très sensiblement de l’épaisseur de la plaque, de ses propriétés élastiques et des conditions aux surfaces. Pour engendrer et détecter les résonances ZGV, il est souhaitable d’utili-ser une méthode sans contact afin de ne pas modifier les conditions aux limites, ce qui a été réalisé au cours de cette thèse à l’aide des techniques ultrasons laser.

Le chapitre1propose un rappel des principales caract´eristiques des modes ´elastiques

guidés dans les plaques, puis se concentre sur les propriétés des résonances ZGV. Il décrit le dispositif de génération et de détection sans contact ainsi qu’une méthode de mesure des courbes de dispersion utilisant une barrette multiéléments. Enfin, à travers des résultats expérimentaux, les applications des résonances ZGV à la mesure de propriétés élastiques, d’épaisseur, de l’anisotropie, et la caractérisation de structures planes sont présentées.

Les techniques ultrasons laser offrent de multiples avantages comme une généra-tion sans contact et une large bande spectrale aussi bien pour la généragénéra-tion (lasers à impulsions courtes) que la détection. L’amplitude des modes de Lamb engendrés par laser croˆıt avec l’énergie déposée. Cependant, pour les applications non destruc-tives, il est souhaitable que la génération n’endommage pas le matériau et donc que la fluence reste inférieure à une énergie surfacique critique dépendant du matériau.

Ce régime de génération est qualifié de thermoélastique. Le chapitre 2 est consacré à

l’optimisation spatiale de la distribution d’énergie déposée afin d’améliorer la généra-tion thermoélastique d’un mode de Lamb. L’optimisagénéra-tion de quatre distribugénéra-tions est étudiée théoriquement : la source Gaussienne, la source disque (à profil rectangle), la source annulaire à profil Gaussien et la source annulaire à profil rectangle. Ces résultats sont confrontés à ceux de simulations semi-analytiques et à des mesures réalisées à la

fr´equence du mode ZGV S1S2 dans une plaque de Duralumin.

Dans les chapitres 3 et 4, après un bref état de l’art des techniques de contrôle

ultrasonore existant pour l’évaluation des structures collées, une nouvelle méthode de caractérisation quantitative du joint de colle et de l’interface adhérent/adhésif d’une structure tricouche est étudiée.

Le chapitre 3est consacré à l’étude du problème direct, c’est-à-dire à l’étude de la

sensibilité des fréquences de résonance ZGV aux différents paramètres d’une structure

tricouche décrite par un modèle rhéologique adhésif [4]. On s’intéresse particulièrement

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sur-faciques qui modélisent la qualité de l’interface adhésif/adhérent. Différentes méthodes de résolution du problème inverse, permettant de remonter aux paramètres du modèle à partir des fréquences des résonances ZGV, sont également proposées.

Le chapitre 4 présente les résultats expérimentaux obtenus dans deux types de

tricouche : un collage réalisé au laboratoire, dont l’étude a été débutée lors du post doctorat de Sylvain Mezil, puis un jeu d’échantillons à tenue mécanique contrôlée fourni par Safran Tech. Les méthodes d’inversion proposées dans le chapitre précédent sont employées pour caractériser « localement » l’épaisseur du joint de colle, les vitesses dans la colle et les raideurs d’interface.

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Généralité sur les ondes guidées dans les plaques et modes ZGV

Sommaire

1.1 Ondes ´elastiques et r´esonance de plaque . . . 6

1.1.1 Modes de Lamb . . . 6 1.1.2 Modes complexes . . . 10 1.1.3 Résonances d’épaisseur . . . 12 1.1.4 Résonances ZGV . . . 13 1.2 Techniques expérimentales . . . 17 1.2.1 Génération optique . . . 17 1.2.2 Détection optique . . . 19

1.2.3 Dispositif exp´erimental et validation exp´erimentale . . . 24

1.2.4 Validations - Mesures de r´esonances ZGV . . . 26

1.3 Mesures de courbes de dispersion . . . 27

1.4 Caract´erisation de structure planes `a l’aide des modes ZGV . . . 31

1.4.1 Caract´erisation d’une plaque ´elastique isotrope . . . 32

1.4.2 Caract´erisation de structures multicouches . . . 38

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Dans ce chapitre, les principales caractéristiques des modes élastiques guidés dans les plaques sont rappelées et les différentes résonances attendues sont discutées plus en détail. Le dispositif expérimental constitué d’un laser impulsionnel associé à un interféromètre hétérodyne est introduit dans un second temps. Enfin, des résultats expérimentaux seront présentés montrant des applications possibles des modes à vitesse de groupe nulle pour la caractérisation de structures planes ou le contrôle non destructif.

1.1 Ondes ´

elastiques et r´

esonance de plaque

Les plaques supportent la propagation d’ondes de Lamb, polarisées dans le plan de propagation. D’autres ondes guidées existent dans les structures planes telles que celles à composante transversale unique, les plus courantes étant les ondes dites transverse horizontale (TH) (dans les plaques) et les ondes de Love (à l’interface entre une couche et son substrat) ; et de manière analogue à l’onde de Rayleigh à une interface libre, les ondes de Stoneley sont des ondes guidées à l’interface entre deux solides, polarisées dans le plan sagittal. Ces ondes ne font pas l’objet de cette étude : les premières ne sont pas détectables par nos sondes qui mesurent uniquement la composante de déplacement hors-plan, les secondes nécessitent un accès à l’interface.

Dans cette partie nous limitons les rappels aux milieux isotropes dans lesquels les ondes de volumes longitudinales et transversales sont d´ecoupl´ees.

1.1.1 Modes de Lamb

Une interface impose des conditions limites mécaniques qui résultent dans une conversion partielle des ondes qui s’y réfléchissent. Par exemple, la réflexion d’une onde longitudinale, sur une surface libre s’accompagne d’une conversion partielle de

cette onde en une onde longitudinale (L) réfléchie et une onde transversale (TV )

(pour transverse verticale) convertie. La résolution simultanée des équations de propa-gation et des conditions limites mécaniques, sous la forme de contraintes imposées par la structure, conduit à l’obtention d’ondes guidées de différente nature.

La simple surface libre d’un solide constitue un guide pour l’onde de Rayleigh. Elle est polaris´ee dans le plan sagittal. Le vecteur d’onde associ´e est complexe : les

composantes parallèle à la surface et orthogonale sont déphasées de π/2. Ces deux

composantes ne dépendent que des vitesses des ondes volumiques, de leur fréquence et de leur nombre d’onde. Il en résulte que l’onde reste confinée dans une épaisseur d’en-viron deux fois la longueur d’onde proche de la surface. Cette onde est non dispersive et se propage à une vitesse inférieure à celles des ondes longitudinale et transversale. Pour les matériaux les plus communs le coefficient de Poisson est compris entre 0 et 0.5 et le rapport des vitesses de Rayleigh et transverse est compris entre 0.87 et 0.96.

Les composantes normales et tangentielles du déplacement sont déphasées de π/2. Le

d´eplacement d’une particule, `a une certaine profondeur, suit une ellipse (Fig. 1.1).

Une plaque est constituée de deux surfaces planes séparées par une distance, l’épais-seur, d. Une onde de Rayleigh est alors susceptible de se propager le long de chacune des deux faces. Considérons en une des deux. Si sa longueur d’onde est très petite devant l’épaisseur, on retrouve le cas d’un milieu semi-infini du point de vue de cette onde car son amplitude décroit exponentiellement dans l’épaisseur.

(20)

Déplacement (u.a.) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 1 2 3 _z/ rayleigh T L

Figure 1.1 : Valeurs normalis´ees des composantes longitudinale L (bleu) et transversale T (rouge)

du déplacement mécanique de l’onde de Rayleigh en fonction de la profondeur z à la surface dans le Duralumin.

d’atteindre la seconde surface libre et devra satisfaire ses conditions aux limites

méca-niques. Il en résulte une nouvelle famille d’ondes guidées appelées ondes de Lamb A0 et

S0. En consid´erant le coeﬃcient de Poisson du Duralumin∼ 0.34, le rapport de la vitesse

de Rayleigh `a la vitesse des ondes transverses est ∼ 0.93. Ce r´egime est alors atteint

pour un produit de la fr´equence et de l’´epaisseur f d< 3 × 0.93cT ∼ 8.7MHz.mm−1.

D’autres modes de Lamb existent à plus haute fréquence. Ils résultent des phéno-mènes de réflexion et de conversion partielle des ondes longitudinales et transverses

verticales entre les deux interfaces (Fig. 1.2). Toutes ces ondes ont leur vecteur de

propagation et leur polarisation contenus dans le plan sagittal.

L TV u

Figure 1.2 : Vue sch´ematique des ondes de Lamb. Les composantes longitudinale (L) et

trans-verse verticale (TV) contenues dans le plan sagittal se r´efl´echissent successivement et se convertissent partiellement sur chaque face [5].

La r´esolution des ´equations de propagations des ondes partielles ainsi que des

condi-tions aux limites aux deux interfaces d’une plaque d’´epaisseur d= 2h aboutit `a

l’´equa-tion de Rayleigh-Lamb (1.1). ω4 c4 T = 4k2 q2[1 − p tan(ph + α) q tan(qh + α)], α= 0 ou π/2, (1.1) o`u p2 = ω2 c2 L − k 2_, (a) q2 = ω2 c2 T − k 2_. (b) (1.2)

Du fait de la symétrie du système, les solutions se décomposent en deux familles

indépendantes : les modes symétriques (α= 0) et les modes antisymétriques (α = π/2).

(21)

et celles transversales sont oppos´ees pour les modes sym´etriques et inversement pour

les modes antisym´etriques (Fig.1.3).

Figure 1.3 : Allure des modes de Lamb (a) sym´etrique et (b) antisym´etrique [5].

Chacune des deux familles de symétrie S et A du système contient une infinité de

modes qui peuvent être classés et numérotés Sn et An selon un ordre qui sera explicité

plus loin dans ce chapitre (section 1.1.3). L’ensemble des solutions de l’´equation (1.1)

peut être calculé numériquement et représenté graphiquement sous la forme de courbes de dispersion. Dans l’ensemble de ce manuscrit, on utilisera majoritairement une

re-pr´esentation en f − k, i.e. de la fr´equence f = ω/2π en fonction du nombre d’onde de

chaque mode. Dans le cas d’une plaque, ce système de coordonnées peut être également normalisé de manière à être indépendant de l’épaisseur d en considérant le produit de

la fréquence par l’épaisseur f d/cT et le rapport de l’épaisseur sur la longueur d’onde

d/λ. Ce dernier rapport étant proportionnel au nombre d’onde k, on s’y référera sous

le même nom. Ces courbes de dispersion sont une signature unique des propriétés élas-tiques d’un matériau. Par exemple, les courbes de dispersion d’une plaque de Duralumin

(cL= 6.398mm/µs, cT = 3.122mm/µs) sont trac´ees sur la ﬁgure 1.4.

0 _0.5 _1.0 _1.5 _2.0 _2.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 fd/c T d/ S0 S1 _S 2 S3 S4 S6 S-1b S-3b A1 A0 A2 A3 A5

Figure 1.4 : Courbes de dispersion d’une plaque de Duralumin d’´epaisseur d, repr´esentant la

fréquence normalisée f d/cT en fonction du vecteur d’onde normalisée d/λ. Les modes symétriques

(bleu) sont dénommés Snet les modes antisymétriques (rouge), An, o`u n ⩾ 0 est déterminé relativement

au nombre de noeuds dans l’épaisseur que présente le déplacement à la fréquence de coupure (i.e. en 1/λ ∝ k = 0).

(22)

(i) Les courbes de dispersion d’une même famille (symétrie) de modes ne peuvent pas se croiser. Autrement dits, les modes ne sont pas indépendants. En revanche, les deux familles de modes sont par nature indépendantes : la branche d’un mode symétrique peut croiser celle d’un mode antisymétrique ;

(ii) La fr´equence des modes A0 et S0 tend vers 0 quand k tend vers 0 : ces modes

ne présentent pas de fréquence de coupure et ils sont apparentés aux ondes de Rayleigh lorsque la longueur d’onde est petite devant l’épaisseur ;

(iii) La notation est choisie relativement au nombre de nœuds dans l’´epaisseur que

présente le déplacement d’un mode à sa fréquence de coupure (i.e. en k = 0).

Comme on va le voir dans la section qui suit, l’ordre ne d´epend que du rapport

cL/cT.

Les pentes des branches S2 et S6 de la figure précédente présentent un changement

de signe. Pour S2, la pente de la branche est positive pour d/λ > 0.25 et devient

négative pour d/λ < 0.25, cette portion étant nommée S−1b. Ainsi, la vitesse de groupe

cg = ∂ω/∂k change de signe alors que la vitesse de phase cφ = ω/k reste positive. La

vitesse de phase et la vitesse de groupe des branches S1 et S2 sont repr´esent´ees en

fonction de la fr´equence sur la ﬁgure 11.5.

0.9 0.95 1 1.05 fd/cT -5 0 5 10 15 20 25 30 c /cT 0.9 0.95 1 1.05 fd/cT -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 cg /c T (a) (b) S2 S2 S1b S1b S1 S1 S-1b S-1b S1S2 S1S2 S1S2

Figure 1.5 : Courbes de dispersion (a) de la vitesse de phase normalis´ee et (b) de la vitesse de

groupe normalisée du premier mode symétrique de Lamb S2 `a proximité de la résonance ZGV S1S2

dans une plaque de Duralumin.

La branche S2, dont les modes ont une vitesse de phase positive, peut ainsi ˆetre

décomposée en une partie à vitesse de groupe positive, du même nom, et une partie à

(23)

est associée à des ondes rétropropagatives, c’est-à-dire dont la vitesse de groupe et la vitesse de phase sont de signes opposés. Le choix de nommer cette partie de branche

S_−1b plutôt que S2b n’est pas anodin et sera justifié dans la partie suivante où l’on

considère un ensemble de solutions plus général de l’équation de Rayleigh-Lamb (1.1).

1.1.2 Modes complexes

Les courbes de dispersion de la ﬁgure 1.4 ne repr´esentent que les solutions dites

homogènes de l’équation Rayleigh-Lamb, c’est-à-dire dont les nombres d’onde et les fréquences sont réels. Autrement dit, ce sont les modes propagatifs du guide. En réa-lité, cette équation admet également des solutions à nombre d’onde complexe, dites

inhomogènes, illustrées sur la figure 1.6, qui ont été étudiées en détail par Mindlin et

al. dans les ann´ees 50 [6] .

Fréquence (MHz)

Re(k) (mm-1

) Im(k)

(mm

-1₎

Figure 1.6 : Courbes de dispersion complexes avec la partie r´eelle de k positive dans une plaque

de Duralumin. Pour simplifier la figure, on représente la valeur absolue de la partie imaginaire de k (∣Im(k)∣). Les modes symétriques sont représentés en rouge, les antisymétriques en bleu.

Int´eressons-nous encore plus particuli`erement aux branches S1 et S2. Les trois

branches complexes S1, S2 et S−1 ainsi que leur projection respective dans les plans

réel et imaginaire sont tracées sur la figure 1.7. Les modes S1 et S2 sont à vitesses

de groupe positive alors que S₋₁ est `a vitesse de groupe n´egative1

et sym´etrique du

mode S1 selon l’axe k= 02. Sur cette ﬁgure, les nombres d’onde sont normalis´es de telle

sorte que kre= Re(kd/2π) et kim= Im(kd/2π). Il apparait que la branche S1b est reli´ee

de manière continue à la branche S1 par une boucle évanescente, i.e. dont les valeurs

de k associ´ees sont imaginaires pures. En revanche, la vitesse de phase de ce mode

change de signe ce qui justiﬁe l’appellation « backward » de S1b comme sa vitesse de

1. C’est pour cela qu’on l’indice avec le signe « − »

2. Les solutions aux nombres d’onde réels négatifs sont symétriques par rapport à l’axe k = 0 puisque (1.1) est fonction de k2

(24)

phase et sa vitesse de groupe sont de signes oppos´es. En outre, les parties imaginaires

des branches inhomogènes S1b et S2 sont bien égales et de signes opposés à la vitesse

de groupe (∂ω/∂kre) de sorte que les deux modes d´ecroˆıssent selon x > 0 `a mesure

qu’ils se propagent. Le mode S−1correspond au mode S1 de vitesse de groupe n´egative,

c’est-à-dire se dépla¸cant depuis la source dans la direction des x négatifs. La partie imaginaire de la branche correspondant aux modes inhomogènes est de signe opposé à

la vitesse de groupe, donc positive. Cette distinction des branches S2 et S−1b en deux

modes différents est confirmé lorsque l’on considère une plaque dans un milieu fluide

(Leaky lamb modes) ou de l’att´enuation [7,8]. Enﬁn, notons que pour le Duralumin

le coeﬃcient de Poisson ν > 1/3. Si ν < 1/3, la branche S1 est au-dessous de celle de

S2, c’est donc cette derni`ere qui portera la partie de branche r´etropropagative et on

l’appellera S2b.

0.4

0.6

0.8

0

1

1.2

1.4

1.6 -0.25

k

_im

0.6 k

re

0.4 -0.5

_0.2

0 -0.2

fd/c

T

Figure 1.7 : Courbes de dispersion complexes d’une plaque de Duralumin. Modes solutions de

l’équation de Rayleigh-Lamb (1.1) pour des nombres d’onde k complexes. kre désigne la partie réelle

du nombre d’onde normalis´e et kim sa partie imaginaire (kre= Re(kd/(2π)) et kim= Im(kd/(2π))).

Seules les solutions correspondant aux branches S1 et S2 `a vitesse de groupe positive et S₋₁`a vitesse

de groupe négative dans le demi-espace kim< 0 sont représentées.

Ainsi, la vitesse de groupe d’un mode de Lamb ne change pas de signe mais c’est la

représentation des modes propagatifs (i.e. aux nombres d’onde réels) de la figure1.4qui

ne permet pas d’en rendre compte. En toute rigueur, sur cette ﬁgure S_−1b correspond

bien à un mode rétropropagatif à vitesse de groupe négative et à vitesse de phase

positive [9–12], qui semble ´evoluer continument vers le mode S1. N´eanmoins, ce mode

est également le symétrique du mode S1b selon k = 0 qui lui est à vitesse de groupe

positive et `a vitesse de phase oppos´ee [13–16]. Dans tous les cas, vitesse de phase

et vitesse groupe sont opposées ; expérimentalement, c’est le référentiel centré sur la source, et la position du capteur dans ce dernier, qui fixe si ce sont des modes à vitesse

de groupe négative (s’éloignant de la source vers les x< 0) ou positive (s’éloignant de

(25)

les modes sur le demi-espace k ⩾ 0 sera conserv´ee car elle est plus compacte et reste suﬃsamment lisible.

Les branches rétropropagatives sont limitées par deux points remarquables. Le pre-mier, mentionné sous le nom de résonance d’épaisseur, correspond à l’intersection des

courbes de dispersion et de la droite k= 0. Le second est indiqué par des flèches sur les

ﬁgures1.4 et1.7. En chacun de ces points, la fr´equence passe par un minimum tandis

que la longueur d’onde est ﬁnie. En d’autres termes, la vitesse de groupe ∂ω

dk s’annule

et le mode est associé à une résonance dite à vitesse de groupe nulle ou, plus commu-nément, résonance ZGV (pour Zero-Group Velocity). Ces deux types de résonance font l’objet des deux prochaines sous-sections.

1.1.3 R´

esonances d’´

epaisseur

Les r´esonances d’´epaisseur apparaissent lorsque le nombre d’onde k s’annule. Les

nombres d’ondes p et q (1.2) sont respectivement ωc/cL et ωc/cT, c’est-`a-dire que ces

modes sont associés à des ondes volumiques longitudinale ou transversale se propageant perpendiculairement à la surface.

Les deux premiers modes A0 et S0 ne pr´esentent pas de fr´equence de coupure (ω→ 0

lorsque k→ 0). Tous les modes d’ordre supérieur présentent des fréquences de coupure

en k = 0 et sont associ´ees `a des modes stationnaires du guide d’onde. Ce sont des

résonances de cavité, analogues à celles d’un Fabry-Pérot en optique, non-propagatives selon la direction du guide d’onde et dont les vitesses de phase divergent. La fréquence

de coupure fc associée à chaque mode dépend de l’épaisseur d de la plaque et de la

vitesse d’une onde volumique du matériau. Ces résonances peuvent se décomposer par rapport à leurs symétries et à la parité de leur ordre selon la classification proposée par

Mindlin [6] :

Modes sym´etriques

Modes pairs S2n ∶ fc = n cT d , Modes impairs S2m+1 ∶ fc = 2m+ 1 2 cL d ,

Modes antisym´etriques

Modes pairs A2n ∶ fc = n cL d , Modes impairs A2m+1 ∶ fc = 2m+ 1 2 cT d , (1.3)

o`u n (resp. m) est un nombre entier strictement positif (resp. positif ou nul).

Les résonances d’épaisseur S2n et A2m+1 sont associées à des modes transverses et

les r´esonances S2m+1 et A2n `a des modes longitudinaux. L’ordre, i.e. le nombre entier,

associé à chaque résonance S ou A correspond au nombre de nœuds du déplacement

mécanique dans l’épaisseur de la plaque comme l’illustre la figure 1.8 pour les quatre

premiers modes de chaque famille.

Comme le nombre d’onde est nul, ces résonances sont associées à des longueurs d’onde infinies. Elles sont non-localisées à la manière d’ondes planes se propageant selon l’épaisseur et faisant vibrer en phase l’ensemble de la surface.

(26)

Modes Symétriques Pairs Impairs Modes Antisymétriques Pairs Impairs S0 S2 S1 S3 A0 A2 A1 A3

Figure 1.8 : Déplacements mécaniques [5] associés aux premières résonances d’épaisseur des modes

symétriques (à gauche) et antisymétrique (à droite).

1.1.4 R´

esonances ZGV

Une résonance ZGV est par nature très différente d’une résonance d’épaisseur. Briè-vement mentionnée par Mindlin, c’est Tolstoy et al. qui l’identifie en 1957 comme une résonance étroite et localisée : « This point must be associated with a sharp CW

reso-nance and ringing effects » [17]. Pour une plaque de Duralumin, elle est en effet présente

au minimum d’une branche (S2 ou S6 sur la ﬁgure 1.4) `a k≠ 0.

Consid´erons les vitesses de phase et les vitesses de groupe des deux modes S1 et

S2. Les vitesses de groupe de S2 et S1b (Fig.1.5(b)) sont de mˆeme signe et tendent

vers une valeur nulle au point o`u la fr´equence est minimale, alors que leurs vitesses de

phases sont oppos´ees (Fig.1.5(a)). En outre, les composantes du d´eplacement de ces

deux ondes sont identiques : elles peuvent donc interf´erer en ce point [15] et l’onde

stationnaire qui en r´esulte constitue un mode `a vitesse de groupe nulle que l’on nomme

S1S2 comme elle est le fruit des interactions des branches S1 et S2. De mani`ere plus

générale, un mode ZGV naˆıt donc du couplage entre deux points particuliers de deux branches de même symétrie dont l’une est rétropropagative.

L’existence d’un mode ZGV est donc corrélée à la présence d’une branche portant

des ondes r´etropropagatives. Ainsi dans son article de 1965 [13], `a l’instar de Mindlin [6],

Meitzler propose d’étudier numériquement la présence de la branche rétropropagative

S1b à partir de la fréquence de la résonance ZGV et en fonction du coefficient de Poisson

ν. Il observe que cette fréquence, normalisée par la fréquence de la première résonance

d’´epaisseur sym´etrique transversale S1, est une fonction croissante monotone du

coeﬃ-cient de Poisson (Fig.1.9). Toutefois, en utilisant la notation propos´ee par Mindlin qui

consiste à numéroter les ordres des modes en fonction de leur ordre d’apparition depuis la fréquence nulle à un coefficient de Poisson donné, Meitzler souligne le comportement

complexe des fr´equences de coupure. En eﬀet, la position des branches S1 et S2s’inverse

autour de ν = 1/3 (S1 est au dessus pour ν > 1/3 et en dessous pour ν < 1/3) dans le

large intervalle de coefficient de Poisson considéré en théorie (−1 ≤ ν ≤ 0.5). Avec la

numérotation que nous avons adoptée ce comportement complexe n’a plus lieu d’être. Lieux d’existence des modes ZGV

Mindlin et Meitzler se sont plus particulièrement intéressés à la résonance ZGV

S1S2, mais il en existe d’autres [9]. Contrairement aux r´esonances d’´epaisseur, ces

(27)

Figure 1.9 :Fréquences radiales Ω2, Ω3et Ω1normalisées (par l’épaisseur b et la vitesse transverse

vs) respectivement des r´esonances de coupure des modes L(2), des modes L(3) et de la premi`ere

r´esonance ZGV en fonction du coefficient de Poisson σ [6,13]. Dans la terminologie utilis´ee, pour

σ< 1/3 : L(2) (resp. L(3)) correspond `a S1 (resp. S2) ; pour σ > 1/3 les deux modes sont invers´es :

L(2) (resp. L(3)) correspond `a S2(resp. S1).

(0≤ ν ≤ 0.5), comme cela est montré sur la figure 1.10. Chaque résonance ZGV existe

sur un domaine de coeﬃcient de Poisson continu. Sur son domaine d’existence, comme le

mentionnait Meizler pour le mode S1S2, la fréquence d’une résonance évolue de manière

monotone avec le coefficient de Poisson à vitesse transversale et épaisseur fixées. Prada et al. proposent un jeu de règles de sélection fondées sur la répulsion entre

les modes [16] :

(i) Les modes symétriques et antisymétriques étant indépendants quel que soit le nombre d’onde, une résonance ZGV ne peut résulter que du couplage entre deux modes d’une même famille.

(ii) Les modes ZGV résultent de la répulsion entre deux modes de Lamb de parité

différente, c’est-à-dire entre les modes S2m+1 et S2n ou A2m+1 et A2n.

(iii) Pour les modes symétriques S2n et S2m+1, la répulsion, c’est-à-dire la différence

fc − fZGV o`u fc correspond `a la fr´equence de coupure du mode qui porte la

résonance ZGV, est maximale pour le coefficient de Poisson critique donné par :

ν= κ 2− 2 2(κ2− 1) où κ= cL cT = 2n 2m+1.

(iv) Pour les modes antisym´etriques A2n et A2m+1, la r´epulsion est maximale pour le

coeﬃcient de Poisson critique donn´e par :

ν= κ 2− 2 2(κ2− 1) où κ= cL cT = 2m+1 2n .

Shuvalov et al. proposent un crit`ere simple pour d´eterminer l’existence de certaines

résonances à vitesse de groupe nulle [18] : il suffit de déterminer le signe de la courbure

∂2

kωau voisinage de k = 0. En effet, la présence d’une branche rétropropagative garantie

l’existence d’un mode ZGV sur celle-ci. Il faut toutefois noter que dans certaines struc-tures (tricouche, tube rempli d’un liquide), il existe des modes ZGV sur des branches dont la courbure `a l’origine est positive.

(28)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 Coeﬃcient de Poisson ν 0 1 2 3 4 5 fd/c T S₁ S₃ S5 S₇ A₂ A₄ A₆ A₁ A₃ A5 A7 A₉ S₂ S4 S₆ S₈ S 1 S₁S₂ S₃S₄ S₃S₆ S₃S₈ S5S8 A2A3 A₂A₅ A₄A₇ A4A9

Figure 1.10 : Fréquences de résonance normalisées en fonction du coefficient de Poisson ν. Les

résonances ZGV symétriques (resp. antisymétriques) sont représentées en bleu (resp. rouge). Les fré-quences de coupure longitudinales (S2_n+1et A2_n) sont affichées en trait noir ; celles transversales (S2_n

et A2_n+1) sont affich´ees en tirets noirs.

Fr´equences de r´esonance ZGV

Un couple(ω,k) associé à un mode ZGV peut être déterminé en annulant

simulta-n´ement la fonction implicite G(ω,k) de l’´equation de Rayleigh-Lamb (1.1) ainsi que la

vitesse de groupe ∂kω = −∂kG/∂ωG. N´eanmoins, la fonction G est implicite et aucune

solution analytique ne permet d’obtenir ni la fréquence ni le nombre d’onde d’une ré-sonance ZGV. En pratique, celle-ci est évaluée à partir d’un coefficient correctif noté

β par rapport à la fréquence de coupure du mode S1 calculée numériquement. A

l’ori-gine, ce coefficient fut introduit comme facteur correctif empirique par les ingénieurs en génie civil, dans le cadre de la méthode Impact-Echo. Après une excitation brève

et ponctuelle, ils ont observé que la fréquence de résonance mesurée, f0, était toujours

inférieure à la fréquence de coupure fc du mode S1 (1.3) attendue, de sorte que

f0= βfc où β < 1.

Ce coefficient fut donc incorporé aux standards de l’American Society for Testing and Materials dans les années 90 pour obtenir des mesures d’épaisseur correctes à partir des fréquences mesurées. Ce n’est qu’en 2005 que Gibson et Popovics expliquent ce biais

(29)

dans le matériau considéré [19]. De manière plus global, un facteur β peut être attribué à chaque résonance. Par exemple, Clorennec et al. proposent de définir le coefficient

β2 associé à la résonance A2A3 comme le rapport de sa fréquence à la fréquence de

coupure du mode A3 de l’´equation (1.3) [20]. Toutefois pour rester coh´erent avec la

définition initiale du coefficient β1 introduite en génie civil, le coefficient β associé à

une résonance ZGV pourrait plutôt être défini comme le rapport de cette fréquence

`a la fr´equence de coupure d’un mode longitudinal (S2m+1 ou A2n), ce qui permet de

g´en´eraliser l’expression : fS2nS2m+1 = β S 2n,2m+1(2m + 1) cL 2d (1.4a) fA2nA2m+1 = β A 2n,2m+1n cL d (1.4b)

Ces facteurs peuvent être calculés numériquement en fonction du coefficient de

Poisson ν pour la plage usuelle de 0≤ ν ≤ 0.5 et lorsque le mode ZGV existe [20]. Par

exemple, les coeﬃcients βS

1,2 et β3S,6, associés aux résonances S1S2 et S3S6, sont tracés

en fonction du coeﬃcient de Poisson sur la ﬁgure1.11.

0 0.1 0.2 0.3 Coeﬃcient de Poisson ν 1 β S1S2 S₃S₆

Figure 1.11 : Coefficient β associ´e aux modes ZGV S1S2 (bleu) et S3S6(rouge) sur leur domaine

d’existence respectif de coefficient de Poisson ν.

Composantes du déplacement associées à une résonance ZGV

Les déplacements correspondant aux résonances d’épaisseur (Fig.1.8) sont

tangen-tiels (pour les r´esonances transverses A1, S2, A3, S4, ...), normaux (pour les r´esonances

longitudinales S1, A2, S3, A4, ...) `a la surface. Au contraire, comme illustr´e sur la

fi-gure 1.12, les modes ZGV présentent à la fois des composantes dans le plan et

hors-plan3

. Comme il sera vu par la suite, cette différence joue un rôle crucial pour la génération et la détection de ces deux types de résonances.

3. « dans le plan » et « hors-plan » font r´ef´erence au plan de la surface et les composantes sont bien contenues dans le plan sagittal

(30)

-1 0 1 Déplacements (u.a.) ux x z uz

Figure 1.12 : D´eplacements tangentiel ux (tiret) et normal uz (trait plein) du mode S1S2 en

fonction de l’´epaisseur dans une plaque de Duralumin.

1.2 Techniques exp´

erimentales

Dans cette partie, les outils et les techniques expérimentales qui ont été utilisés dans le cadre de nos travaux sont introduits.

Pour engendrer et détecter les résonances ZGV, il est souhaitable d’utiliser des méthodes sans contact aussi bien pour la génération que pour la détection des modes afin de ne pas modifier les conditions aux limites. Différentes techniques sans contact peuvent être envisagées :

(i) Transducteurs aériens : Holland et Chimenti ont montré qu’il était possible

d’engendrer et de mesurer des r´esonances ZGV `a l’aide de transducteurs

aé-riens [21,22]. Ces dispositifs présentent les inconvénients d’un faible couplage de

l’énergie du fait de la différence d’impédance entre l’air et un matériau solide ainsi que d’avoir une faible bande passante.

(ii) Transducteurs ´electro-magn´eto-acoustiques (E.M.A.T) : Cette technique

offre de bons résultats pour la mesure d’épaisseur [23]. Toutefois, elle nécessite

un échantillon métallique ainsi qu’une faible distance transducteur-échantillon. (iii) Ultrasons Laser : Elle repose sur l’utilisation d’un laser source (continu et

modulé en intensité, ou impulsionnel) pour la génération et d’un interféromètre pour la détection. L’échantillon doit être à la fois absorbant pour la génération et réfléchissant pour la détection.

Sauf mention contraire, dans cette thèse, les ondes élastiques sont engendrées et détec-tées par des techniques ultrasons Laser impulsionnel. Celles-ci sont brièvement décrites dans les sections suivantes.

1.2.1 G´

en´

eration optique

La génération optique d’une onde élastique dans un solide requiert un matériau absorbant. Une partie de l’intensité incidente est absorbée et, pour des durées d’im-pulsion de l’ordre de la nanoseconde ou supérieure, convertie en chaleur. Suivant la

(31)

densité de puissance, l’élévation de température peut conduire à la génération d’ondes

élastiques selon deux mécanismes [24] : thermoélastique prépondérant aux faibles

den-sit´es de puissance [25,26] ou de pression de radiation, dominant au-dessus du r´egime

dit d’ablation [27]. Dans le régime thermoélastique, l’état de surface n’est pas modifié.

L’échauffement local du matériau entraˆıne sa dilatation et provoque une contrainte. Pour un métal, l’onde électromagnétique pénètre sur une profondeur égale à l’épaisseur de peau, de quelques nanomètres seulement, et les forces engendrées sont

essentielle-ment parallèles à la surface (Fig.1.13(a)). Dans le régime d’ablation, l’énergie incidente

absorbée est suffisante pour provoquer la fusion puis la vaporisation d’une petite quan-tité de matière à la surface du matériau. Ce phénomène s’accompagne d’un transfert de quantité de mouvement provoqué par l’éjection des particules qui engendre une force

normale `a la surface (Fig. 1.13(b)).

Figure 1.13 : Deux régimes de génération photothermique. Extrait de [24].

De nombreux paramètres interviennent dans la génération d’ondes élastiques tant du point de vue de la source que du point de vue du matériau irradié. Royer dénombre ainsi :

Pour l’impulsion laser

• l’énergie incidente, absorbée, • la durée,

• la section de la zone irradiée, • la densité de puissance absorbée, • la longueur d’onde.

Pour le mat´eriau

• le coeﬃcient d’absorption,

• le coeﬃcient de dilatation lin´eaire, • la masse volumique,

• la capacit´e thermique massique, • la conductivit´e thermique,

• les constantes élastiques (de Lamé). Dans le cadre de cette thèse, la génération d’ondes élastiques est effectuée dans le régime thermoélastique en vue de possibles applications en contrôle non-destructif (CND), en particuliers sur des surfaces métalliques. Sur de telles surfaces, l’onde inci-dente lumineuse pénètre sur une longueur caractéristique γ appelée épaisseur de peau.

Elle fait intervenir la longueur d’onde λ0 du laser ainsi que la conductivit´e ´electrique

σ et la perméabilité µ du métal :

γ = ( λ0 πσcµ)

Dans le cas de l’aluminium (σ= 4 × 107

Ω−1m−1) et avec un laser Nd :YAG tel que

celui qui est employé (λ0 = 1064nm), l’épaisseur de peau est de l’ordre de 5nm. Même

(32)

peut être considérée comme surfacique. Les diagrammes de directivité d’une source

surfacique ponctuelle dans le régime thermoélastique sont présentés sur la figure 1.14.

Figure 1.14 : Diagrammes de directivit´e d’une source thermo´elastique ponctuelle. Extrait de [24].

Bien que la génération résulte d’un mécanisme de dilatation thermique, donc qu’elle n’engendre que des ondes de compression, la surface est à l’origine d’une conversion en ondes transversales. On observe également que dans ce régime la génération laser surfacique n’est pas bien adaptée à la mesure des résonances d’épaisseur longitudinales puisque le rayonnement des ondes longitudinales selon la normale à la surface est nul.

La source employ´ee est un laser laser Nd :YAG puls´e (Centurion, Quantel) : • Longueur d’onde : 1064 nm,

• Dur´ee : 8 ns avec une fr´equence de tir de 100 Hz,

• Energie incidente : 0.5− 40 mJ

• Diam`etre du faisceau de sortie :≈ 3 mm `a 1/e

La taille et la forme du spot peuvent être modifiées à l’aide de composants optiques.

L’adaptation du rayon d’une source Gaussienne fait d’ailleurs l’objet du chapitre2. Il y

sera démontré que pour engendrer de manière optimale un mode de Lamb de longueur

d’onde λ, il est judicieux de choisir un diam`etre de faisceau∼ 2λ/π. Pour les mat´eriaux

anisotropes ou pour la mesure de courbes de dispersion sans contact, l’utilisation d’une lentille cylindrique permet de produire une ligne source et favorise ainsi la g´en´eration d’ondes planes acoustiques dans un plan de propagation particulier.

Le mécanisme de génération thermoélastique produit des ondes élastiques de faible amplitude en comparaison des techniques en contact classique. La détection d’ondes guidées dans des matériaux fortement atténuants et très épais peut donc s’avérer com-plexe.

1.2.2 D´

etection optique

Un faisceau laser Ei = E0eiωLt de longueur d’onde λL (et de fr´equence

an-gulaire ωL) réfléchi par un point d’une surface soumis à un déplacement normal

uz(t) = u0sin(ωt + ψ) est modul´e en phase de telle sorte que le champ ´electrique ES

associ´e s’´ecrit

ES = E0ei[ωLt+φ(t)] (1.5)

o`u φ(t), la modulation de phase induite par le d´eplacement de la surface, est donn´ee

par

φ(t) = 4πuz(t)/λL (1.6)

La mesure de la phase du champ du faisceau laser permet donc de d´eterminer le

(33)

optique n’est assez rapide pour suivre les fluctuations de ce champ (la fréquence étant

de quelques centaines de T´erahertz). La mesure de l’amplitude du terme de phase φ(t)

nécessite donc des techniques interférométriques. Les deux sondes interférométriques qui ont été utilisées sont décrites de manière succincte dans les pages qui suivent : la sonde interférométrique hétérodyne développée par Royer et Dieulesaint, et

commercia-lis´ee par Thal`es (ex- BM-Industries) [28] et la sonde Tempo 1D de Bossa Nova (Sonde

interférométrique homodyne avec un cristal photoréfractif [29,30]). Ces deux sondes

permettent de mesurer le déplacement normal à la surface d’un échantillon.

Sonde BMI

La sonde BMI est constituée de deux parties : la sonde interférométrique hétérodyne qui permet de convertir le déplacement de la surface en intensité électrique et de le transposer dans le domaine des radiofréquences aussi bien en régime transitoire qu’en régime permanent ; la détection électronique cohérente qui permet de récupérer un signal proportionnel au déplacement mécanique.

La sonde optique est construite à partir d’un interféromètre Mach-Zender réalisé

en conﬁguration compacte (Fig.1.15). Le faisceau source est polaris´e horizontalement.

Il est ensuite divisé par le cube séparateur A en un faisceau sonde S et un faisceau référence R (inversés sur la figure mentionnée précédemment). Le faisceau référence est transmis à travers un prisme puis collecté sur une photodiode. Le faisceau sonde traverse un modulateur acousto-optique (MAO) et subit un décalage en fréquence de

±fB = 70MHz. Il est ensuite réfléchi par l’objet à travers une lame quart d’onde,

ce qui lui impose une rotation de polarisation de 90° (il traverse deux fois la lame) et lui assure d’être réfléchi par le cube séparateur polariseur B vers la photodiode. Un analyseur orienté à 45° des polarisations des faisceaux R et S, placé juste avant le capteur, leur permet d’interférer sur la photodiode. La lentille permet de focaliser plus précisément le faisceau sonde sur l’objet, ce qui offre deux avantages : la sonde est moins sensible à une légère inclinaison de l’échantillon et la réduction de la zone éclairée permet d’augmenter la quantité de lumière collectée lorsque la surface est légèrement diffusante.

Figure 1.15 :Sonde interférométrique hétérodyne : configuration optique compacte. Extrait de [31].

L’intensité résultant des interférences entre les champs électriques, supposés de

mˆeme amplitude E0/

√

(34)

à la fréquence angulaire ωS = ωL+ ωb par le MAO, est donnée par ER= E0/ √ 2ei[ωLt+ΦR]_, _(1.7a) ES = E0/ √ 2ei[ωst+ΦS+φ(t)]_, _(1.7b) I = (ER+ ES)(ER∗ + ES∗) = I0[1 + cos(ωbt+ ΦS− ΦR+ φ(t))], (1.7c)

o`u φ(t) est donn´ee par (1.6).

La photodiode enregistre donc une intensit´e ´electrique dont la partie alternative est

i(t) = sI0cos(ωbt+ ΦS− ΦR+ φ(t)) où s est le facteur de réponse du photodétecteur

(en mA/mW). Dans la suite on posera i0 = sI0. Il est d´esormais n´ecessaire d’extraire la

phase φ(t) des autres termes et notamment des variations ΦS− ΦR r´esultant des

fluc-tuations des chemins optiques LS et LR des deux bras de l’interféromètre (fluctuation

de température ou mécanique par exemple). Ceci est réalisé au moyen d’une détection électronique cohérente à une ou deux voies.

L’intensité is(t) peut être développée sous la forme d’une série de Jacobi-Anger :

is(t) = i0 +∞

∑

n=−∞

Jn(φ0)cos [(ωb+ nω)t + nψ + ΦS− ΦR], (1.8)

o`u φ0 = 4πu0/λL. Le spectre de i(t) comprend donc un pic central `a ωb puis des raies

latérales à ωb± nω dont les amplitudes sont données par les fonctions de Bessel de

pre-mière espèce Jn(φ0). Le signal peut alors être traité par une démodulation électronique

et/ou num´erique.

Pour de petits d´eplacements devant la longueur d’onde du laser, i.e. tels que

4πu0/λL ≪ 1, J0(φ0) ≈ 1, J±1(φ0) ≈ ±φ0/2 et les termes d’ordres sup´erieurs peuvent

être négligés, réduisant le spectre à

is(t) = i0 {cos(ωbt+ φS− φR)

+φ0cos[(ωb+ ω)t + ψ + φS− φR]

− φ0cos[(ωb− ω)t − ψ + φS− φR)]}

(1.9) Le rapport de la raie centrale à une des raies latérales fournit l’amplitude absolue du déplacement mécanique en régime permanent et indépendamment de l’intensité lumineuse réfléchie par la surface.

Le schéma de la détection cohérente à large bande utilisée pour la mesure des petits

déplacements en régime transitoire est décrit sur la figure1.16(a). Le signal est d’abord

préamplifié puis divisé en deux parties à l’aide d’un diviseur de puissance. L’une des

partie est filtrée autour de la fréquence de la porteuse ωb (en pratique 70 MHz± 7 kHz

puis déphasée de π/2 à l’aide d’une ligne à retard et mélangée à l’autre partie du

photocourant. Le signal est alors filtré deux fois : d’abord par un filtre passe-bas à

45 MHz pour couper les signaux à 2ωb, et par un filtre passe-haut (non représenté sur

le schéma) amovible afin de couper les fluctuations ΦS − ΦR induites, par exemple,

par un échauffement de l’air autour de la surface si la génération et la détection sont

réalisées au même point (Fig. 1.16(b)). On obtient alors signal

s(t) = is(t) × iF(t) ∝ i0sin[2φ0sin(ωt + ψ)], (1.10)

´egal `a :