Temps locaux et pénalisations browniennes

(1)

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Temps locaux et pénalisations browniennes

Joseph Najnudel

To cite this version:

Joseph Najnudel. Temps locaux et pénalisations browniennes. Mathématiques [math]. Université

Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2007. Français. �tel-00157111�

(2)

Produit par le CCSd - 25 Jun 2007

Thèse de do torat

pour l'obtention du titre de

Do teur de l'Université Paris VI

Spé ialité : Mathématiques

présentée par : Joseph NAJNUDEL

Titre :

Temps lo aux et pénalisations

browniennes

Soutenue le 27 juin 2007 devant le jury omposé de :

M. Jean BERTOIN, examinateur M. Philippe BIANE, examinateur M. Erwin BOLTHAUSEN, rapporteur M. Jean-François LE GALL, examinateur

M. Bernard ROYNETTE, rapporteur M. Mar YOR, dire teur de thèse

(3)

(4)

Je tienstoutd'abord àexprimertoute magratitudeauprofesseur Mar Yor,sansqui e travail n'auraitpu voirlejour. Je leremer ie parti ulièrement pour ladisponibilité onstante dont il a faitpreuve durant esquatreannées, ainsique pour tous les onseils s ientiques qu'il a pume donner,etqui m'ont été uneaide pré ieuse.

Je suis trèsre onnaissant à Erwin Bolthausen età Bernard Roynetted'avoira epté de rédiger unrapportsurmontravail,etd'avoireuave moidesdis ussionsmathématiquesenri hissantes, élargissant mesperspe tivesde re her he.

Je suis également très honoré que Jean Bertoin, Philippe Biane etJean-François Le Gall aient a epté d'être membres de monjury de thèse. Je remer ie en parti ulier JeanBertoin et Jean-FrançoisLe Gallpour le rle qu'ilsont eu dansmon apprentissage des probabilités, à l'ENS et enDEA.

J'adresseaussimesremer iementsauxmembresdel'équipeadministrativeette hnique du labo-ratoirepourleurdisponibilitéetleure a ité,quim'ontpermisdetravaillerdanslesmeilleures onditions.

Je remer ie les parti ipants et organisateurs du groupe de travail WIP, qui m'ont permis d'-exposerrégulièrement mestravauxdere her he,toutengardant onta tave d'autresdomaines desprobabilités.

Mer i également aux thésards du laboratoire, en parti ulier à Arvind (qui partage mon bu-reau),Anne-Laure,Guillaume,Nathalie, Olivier,Paul,Sophie,pourlesmomentsdedétenteque nousavonspassés ensemble.

Jevoudraisaussiremer ierd'an iensthésardsdeMar Yorquim'ontapportéleuraide:Ashkan, Jan,Mar ,Roger,Sa ha,ainsiqued'autresmembresdulaboratoireave quij'aipuavoirdes dis- ussions interessantes, mathématiques ou autres;en parti ulier Nathanaël Enriquez, Jean-Paul Thouvenot,Lorenzo Zambotti.

Enn, je n'oublie évidemment pas ma famille et mes amis. J'ai une pensée parti ulière pour ma mère et mon frère Jean-Samuel, qui m'ont onstamment soutenu et en ouragé durant es quatreannéesde thèse.

(5)

(6)

1 Introdu tion 7

1.1 Tempslo auxettemps lo auxd'interse tiondu mouvement brownien . . . 8

1.1.1 Cas de ladimension 1 . . . 8

1.1.2 Cas desdimensions 2et3 . . . 11

1.2 Pénalisations dumouvement brownien unidimensionnel et de l'araignée brownienne 12 1.3 Etude dumodèle d'Edwards . . . 15

1.4 Plan delathèse . . . 20

2 Integrationwithrespe ttotheself-interse tionlo altimeofaone-dimensional Brownian motion 21 Introdu tion. . . 21

2.1 Constru tion of theintegrationwithrespe tto self-interse tionlo altime . . . . 22

2.2 An appli ation . . . 28

3 Pénalisations de l'araignée brownienne 31 3.1 Présentation du problèmeetdesprin ipaux résultatsobtenus . . . 31

3.1.1 Introdu tion. . . 31

3.1.2 Quelques rappelsetdénitions . . . 32

3.1.3 Dénition des pénalisations étudiées et énon é des théorèmes prin ipaux de l'arti le . . . 33

3.1.4 Interprétationheuristique desdiérents asduThéorème 3.2 . . . 35

3.1.5 Un petitguide de le turedel'arti le . . . 36

3.2 Etude del'expression

W

(x,k)

[exp(α

N

t

X

t

+ γL

t

)]

. . . 36

3.2.1 Enon é desrésultatsobtenus . . . 36

3.2.2 Preuve de laProposition3.2.1 . . . 38

3.2.3 Preuve de laProposition3.2.2 . . . 39

3.3 Preuve del'existen e de lamesure

(α,γ)

_W

(∞)

. . . 43

3.3.1 Quelques lemmes te hniques. . . 43

3.3.2 Preuve duThéorème 3.1 . . . 46

3.4 Etude dupro essusasso iéà

(α,γ)

_W

(∞)

. . . 47

3.4.1 Cas où

γ

≥ α

m

pour tout

m

et

γ > 0

. . . 47

3.4.2 Cas où

max

{α

m

, m

∈ E} > max(γ, 0)

. . . 47

3.4.3 Cas où

γ < 0

et

α

m

≤ 0

pour tout

m

∈ E

. . . 51

3.4.4 Cas où

γ = 0

et

α

m

≤ 0

pour tout

m

∈ E

. . . 54

(7)

Introdu tion. . . 57

4.1 Notations and statement of the maintheorem . . . 58

4.2 An approximationof thefun tionals oflo al times . . . 61

4.3 Majorization of theerrorterm . . . 66

4.4 An estimation ofthequantity:

E

[F ((L

y

t

)

y∈R

)]

. . . 72

4.5 Proof ofTheorem 4 . . . 74

4.6 Examples . . . 77

5 Généralisation des pro essus de Westwater et modèle d'Edwards modié en dimensions 1 et 2 85 5.1 Introdu tion . . . 85

5.2 Existen edu temps lo ald'interse tionmodié . . . 87

5.3 Constru tion de J.Westwater . . . 90

5.4 Appli ation de la onstru tion de J.Westwater à lapreuve du Théorème5.1.2 . . 93

(8)

Introdu tion

Le mouvement brownien est un pro essus qui intervient dans la modélisation de nombreux phénomènes(mouvement de parti ules,formation despolymères, évolution des oursboursiers, et ...), du fait de ses nombreuses propriétés mathématiques : 'est à la fois un pro essus de Markov, un pro essusde Lévy, un pro essusgaussien, un pro essusauto-similaire, une martin-gale ontinue, et .

Cependant, les traje toires du mouvement brownien ont un omportement parti ulier qui ne orrespondpasné essairement à e quel'onattend desphénomènesque l'onétudie :par exem-ple,endimension inférieureouégaleàtrois, ellesont presquesûrementdespointsdoubles,alors qu'onpeutvouloirmodéliserdespolymèresquinesere oupent pas;ellessont nonbornéesalors qu'onpeutvouloirmodéliser lemouvement d'atomes qui restent dansunvolume ni, et .

Ilpeutdon êtrené essairede hangerlaloidumouvementbrownien,d'unemanièrequipermette demodier ertainespropriétés importantesde sestraje toires,toutenen onservant d'autres: onpeutvouloir onstruireunmouvement brownien planauto-évitant,unmouvementbrownien onditionné àrester dansun ompa t, ou un mouvement brownien réel, onditionné à avoir un supremumni,inférieur à unevaleur donnée.

Unedesmanièresde onstruire detels pro essusestd'ee tuer,àpartir delaloidumouvement brownien, equenousappelleronsdespénalisations, 'estàdiredes hangementsdeprobabilité absoluments ontinus (i.e.obtenusvia unedensitédeprobabilité) suivisd'unéventuelpassage àlalimite.

Plus pré isément, le prin ipe des pénalisations browniennes est le suivant : on ommen e par onsidérer unefamille de mesures de probabilité (le plussouvent indexéepar un paramètre réel positif),dénies par leurs densités par rapportà lamesurede Wiener.

Sous es mesures,lepro essus anonique admetles mêmespropriétés presquesûres quele mou-vement brownien. En revan he, on peut, dans de nombreux as, dénir une mesurelimite pour ettefamilledeprobabilités,et ettemesurelimiteestsouventsingulièreparrapportàlamesure deWiener:onadon modiéradi alementle omportementdestraje toiresdupro essus anon-iqueen faisant le hangement de probabilité orrespondant.

Il est en fait possible de onstruire e type de mesures dans un adre plus général que elui delamesurede Wiener;pour ela,on onsidèreun espa ede probabilité

(Ω,

F, P)

,munid'une ltration

(

F

s

)

s≥0

,etunefamille

(Γ

t

)

t≥0

devariablesaléatoirespositivesd'espéran enieet non nulle.

(9)

Ensuite, on dénitlafamille de probabilités

(P

t

)

t≥0

parleur densitépar rapportà

P

:

P

_t

₌

Γ

t

E

P

[Γ

_t

]

_s

₎

_→

t→∞

P

∞

(Λ

s

)

Si la mesure

P

∞

existe, l'étape suivante onsiste à étudier ses propriétés et à les omparer à elles de

P

.

Le as des pénalisations browniennes orrespond à

Ω =

C(R

+

, R)

,

F

t

= σ

{X

s

, s

≤ t}

(

X

étant lepro essus anonique) et

P

= W

(mesure de Wiener);dans e as, le omportement de

P

_∞

est donné parl'étude de latraje toire de

(X

s

)

s≥0

sous ette nouvelle mesure.

Une grande partie des pro essus que nous onstruisons rentre dans e adre; ependant, il y a deux exemples pour lesquels nous aurons besoin de pénalisations plus générales : elui des mesuresasso iéesàl'araignéebrownienne(unpro essuspouvants'interpréter ommeun mouve-mentbrownien surunensemblenidedemi-droites on ourantes),et eluidumodèled'Edwards (voir[Edw65 ℄), quiestun modèlede polymère oùl'on pénalise latraje toired'unmouvement brownien

d

-dimensionnel (

d

∈ {1, 2, 3}

) par ses interse tionsave elle-même.

D'autre part, les pénalisations que nousétudions dans ette thèse étant liéesà lamesure d'o - upation destraje toires browniennes, ainsiqu'à leurs pointsdoubles, ilnousa paru important d'in luredansnotretravailuneétude on ernantlespropriétésdestempslo auxetdestemps lo- auxd'interse tiondumouvement brownien, mêmesi etteétudeest, dansune ertainemesure, indépendante dela questiondespénalisations.

Notre travail on erne don troistypesdeproblèmes :

- Lesproblèmesliésauxtempslo auxetauxtempslo auxd'interse tiondumouvement brown-ien (endimension inférieureou égale àtrois).

- Lespénalisations browniennes unidimensionnelles, etleurs généralisationsà l'araignée browni-enne.

- Le modèle d'Edwards etses généralisations(endimension inférieure ouégale à trois).

1.1 Temps lo aux et temps lo aux d'interse tion du mouvement brownien

1.1.1 Cas de la dimension 1

En dimension 1,la mesure d'o upation de latraje toire brownienne jusqu'àun temps xé est absolument ontinue par rapport à la mesure de Lebesgue. Il en résulte qu'on peut dénir les temps lo aux

(L

a

(10)

toutefon tion réellemesurable bornée

f

) :

Z

R

f (a)L

a

_t

da =

Z

t

0 f (B

s

)ds

Onremarque que ette formulepermetd'étendrel'intégrale :

Z

t

0 f (B

s

)ds

au as où la fon tion

f

est rempla ée par une mesure nie, mais omme on le voit dans N. Eisenbaum [Eis00 ℄, N. Bouleau et M. Yor [BY81 ℄, on peut faire en ore mieux en utilisant les propriétés destemps lo auxetde l'intégralesto hastique.

Plus pré isément, les temps lo aux sont

α

-höldériens par rapport à la variable d'espa e pour toutindi e

α

stri tement inférieur à 1/2,maisils ne sontpasdérivables.

Lorsque

f

estune fon tion lo alement de arré intégrable, onpeutnéanmoinsdonner unsens à l'expression

Z

R

f (a)d

a

L

a

t

(où

d

a

L

a

t

désigne formellement la variation innitésimale de temps lo al :

L

a+da

t

− L

a

t

) de la manièresuivante :on pose

Z

R

f (a)d

a

L

a

t

= 2

Z

t

0 f (B

s

)dB

s

−

Z

B

_t

B

0 f

aprèsavoir montré que ette dénition est ompatible ave ladénition naturelle dumembre degau he lorsque

f

estune fon tion en es alier.

De plus, si

f

est lo alement de arré intégrable et si

g = f

′

est sa dérivée au sens des dis-tributions,on peuté rire (grâ eà une intégrationpar partie formelle) :

Z

t

0 g(B

s

)ds =

−

Z

R

f (a)d

a

L

a

t

aprèss'être assuré que ette égalité estvraie dansle as où

g

est une fon tion lo alement inté-grable,etquelese ond membre nedépend pasdu hoix de

f

ommeprimitive de

g

.

Cettedénitionpermetenparti ulier de donnerunsens à l'expression:

Z

t

0 g(B

s

)ds

lorsque

g

est lavaleurprin ipale de

1/x

ou lapartieniede

1/x

α

+

pour

α < 3/2

(voirPh.Biane etM.Yor [BY87℄, T. Yamada[Yam96 ℄).

L'objet du Chapitre 2 de ette thèse est d'obtenir des résultats analogues pour les temps lo- auxd'interse tion

(α

a

t

)

t≥0,a∈R

dumouvement brownien

B

,dénisparl'égalitésuivante(valable pour toutefon tion

f

mesurablebornée) :

Z

t

0 du

Z

u

0 ds f (B

s

− B

u

) =

Z

R

f (a)α

a

_t

da

(11)

La quantité

α

0 t

,formellement obtenue par ette égalité en remplaçant

f

par lamesurede Dira en zéro, orrespond intuitivement au temps passé par le mouvement brownien à se re ouper lui-même;on aégalement :

α

0 _t

=

1

2 Z

R

(L

a

_t

)

2 da

Parailleurs, onmontrequ'à

t

xé,ilexisteune versionde

(α

a

t

)

a∈R

quiadmet presquesûrement, sur

R

∗

,unedérivée par rapport à

a

donnée par laformulesuivante:

β

_t

a

= 2

t1

a<0

−

Z

t

0

1 _B

s

−B

u

>a

ds

−

Z

t

0 L

a+B

u

dB

u

Cetteformulepermetdeposer,lorsque

f

estunefon tion lo alement de arréintégrableetbien dénie en zéro, l'égalitésuivante :

Z

R

f (a)d

a

β

a

t

= 2

Z

t

0 (f (B

s

− B

t

)

− f(0))ds + 4

Z

t

0 Z

B

0 −B

u

0 f +

Z

u

0 f (

_−B

_s

(u)

)dB

_s

(u)

dB

u

ave

B

(u)

s

= B

u

− B

u−s

, après avoir vérié la ompatibilité de ette formule ave la dénition naturelle du membre degau he lorsque

f

esten es alier.

De plus,lorsque

f

est laprimitivese onde d'unefon tion lo alement intégrable, ona :

Z

R

f (a)d

a

β

t

a

=

Z

t

0 du

Z

u

0 ds f

′′

(B

s

− B

u

)

résultat qui permet, àl'aide dumembrede gau he,de dénir :

Z

t

0 du

Z

u

0 ds g(B

s

− B

u

)

lorsque

g = f

′′

est ladérivée se onde,au sens desdistributions, d'unefon tion

f

lo alement de arré intégrable, dont lavaleuren zéroest xée.

Le as où

g

est la valeur prin ipale de

sgn(x)

|x|

β

rentre dans e adre pour

β < 5/2

; si ette ondition estvériée, ilpermetd'étudier le omportement de l'intégrale :

Z

t

0 du

Z

u

0 ds

sgn(B

s

− B

u

)

|B

s

− B

u

|

β

1 |B

s

−B

u

|>ǫ

lorsque

ǫ

tendvers zéro.

A present, il serait peut-être intéressant de faire une étude analogue des temps lo aux d'in-terse tion d'ordre plusélevé

(α

a

1 ,...,a

k

t

)

a

1 ,...,a

k

∈R

,dénis pour tout

k

≥ 1

par laformule:

Z

t

0 dt

1 Z

t

1

0 dt

2 ...

Z

t

_k

0 dt

k+1

f (B

t

2 − B

t

1 , ..., B

t

k+1

− B

t

k

) =

Z

R

k

f (a

1 , ..., a

k

) α

a

t

1 ,...,a

k

da

1 da

2 ... da

k

(12)

Endimension

d

∈ {2, 3}

,lamesured'o upationd'unmouvement brownien

B

estétrangèreàla mesuredeLebesgue :iln'est don paspossiblede dénir destemps lo auxdans e as.

Cependant, la situation est diérente pour les temps lo aux d'interse tion, qu'il est possible de onstruire moyennant quelquespré autions.

L'unedes méthodes de onstru tion onsiste à montrer que, lorsque

t > 0

est xé, il existe une famille ontinue de variables aléatoires

(α

a

t

)

a∈R

d

_\{0}

telle que pour toute fon tion

f

mesurable bornéedéne sur

R

d

,nulle au voisinage dezéro :

Z

t

0 du

Z

u

0 ds f (B

s

− B

u

) =

Z

R

d

_\{0}

f (a) α

a

_t

da

(voirD.Geman, J.Horowitz etJ.Rosen[GHR84℄, M.-B.Mar uset J.Rosen[MR06℄,pour une dis ussiongénéralesurles mesuresd'o upation asso iéesau mouvement brownien).

Onpeutprouverqueletempslo ald'interse tion

α

a

t

tendpresquesûrementversl'inniquand

a

tendvers zéro;de e fait, onnepeutpasdire tement donnerunsens àlaquantité

α

0 t

, formelle-ment déniepar :

α

0 _t

=

Z

t

0 du

Z

u

0 ds δ(B

s

− B

u

)

où

δ

est lamesurede Dira en zéro.

En dimension 2, on peut néanmoins donner une solution à e problème grâ e à une te hnique appelée renormalisation (voirS. Varadhan[Var69 ℄), etqui onsiste à onsidérer,pour

a

6= 0

,la quantité :

γ

_t

a

= α

a

_t

_{− E[α}

a

_t

]

obtenue enenlevant au temps lo ald'interse tionsapropre espéran e.

Il est alors possible de montrer qu'on peut dénir

γ

0 t

omme étant la limite presque sûre (et également danstousles espa es

L

p

) de

γ

a

t

quand

a

tendverszéro:on peut onsidérer que 'est ette variable aléatoire qui mesure le temps que le mouvement brownien plan

B

passe à se re- ouperlui-même.

Demanièrepurement formelle,on pourrait é rire:

α

0 _t

= γ

_t

0 + E[α

0 _t

]

où

E

[α

0 t

]

estune onstante innie de normalisation.

La renormalisation de Varadhan peut aussi être généralisée au as des points d'ordre

k

≥ 3

de la traje toire brownienne; on peut don également donner un sens à la dénition formelle suivante:

γ

_t,k

0 =

Z

t

0 dt

1 Z

t

₁

0 dt

2 ...

Z

t

_k−1

0 dt

k

δ(B

t

2 − B

t

1 ) ... δ(B

t

k

− B

t

k−1

)...

...

_{− E[δ(B}

t

2 − B

t

0 t

en dimension 3.

Il existe également une autre onstru tion de temps lo aux d'interse tion (en dimensions 2 et 3), où au lieude faire tendre lavariabled'espa e

a

verszéro, onprenddire tement

a = 0

eton réduitledomained'intégrationsurlequelonobservelesauto-interse tionsdelatraje toirede

B

. Plus pré isément, on onsidère un domaine d'intégration

A

de la forme

]v, w[

×]x, y[

(

0 < v <

w

_{≤ x < y < t}

), et une suite

(δ

n

)

n∈N

de densités de probabilité onvergeant étroitement (au sens des mesuresasso iées) versla mesurede Dira en zéro. On peutalors prouverque lasuite de variables aléatoires:

α

0 _A,δ

_n

=

Z

A

du ds δ

n

(B

A

.

En dimension 2, on peut renormaliser tous les temps lo aux d'interse tion obtenus pour une famille d'ensembles

A

re ouvrant (à un ensemble de mesure nulle près) l'ensemble des ouples

(s, u)

tels que

0 < s < u < t

;lasommede tous estemps lo aux d'interse tion renormalisésest égale à laquantité

γ

0 t

déniepré édemment.

Enrevan he,sionee tue ettedémar heendimension3,onobtientunesommequine onverge pas.

Nous retrouverons es dis ussions sur les temps lo aux d'interse tion dans l'étude du modèle d'Edwards.

1.2 Pénalisations du mouvement brownien unidimensionnel et de l'araignée brownienne

Ungrandnombrede asdepénalisationsdumouvement brownienendimension1ontétéétudiés par B. Roynette, P.Vallois,M. Yor(voir[RVY06 ℄,[RVY03℄,[RVY06a℄,[RVY05℄,[RVY06b℄).

Rappelonsquedansle adregénéraldéniplushaut, espénalisationssontappliquéesàl'espa e

(14)

onvergen e uniforme surles ompa ts, etdelaltration

(

F

s

)

s≥0

déniepar :

F

s

= σ

{X

u

, u

≤ s}

X

étant lepro essus anonique.

La question posée est alors elle de la onvergen e de la famille de mesures de probabilités

(W

t

)

t≥0

dénie par :

W

_t

₌

Γ

t

E

W

[Γ

_t

]

.W

où

(Γ

t

)

t≥0

estunefamilledevariablesaléatoirespositives

F

-mesurables,d'espéran enieetnon nulle.

A tuellement, il n'existe pas de onditions vraiment générales sur

Γ

impliquant ette onver-gen e; néanmoins, un grand nombre de as parti uliers ont été résolus par B. Roynette, P. Vallois etM. Yor.

Dansles exemplessuivants, lamesurelimite

W

∞

existebien :

1)Pour une fon tion

φ

d'intégrale nieetnon nulle sur

R

+

,on pose:

Γ

t

= φ(S

t

)

où

S

t

désigne lesupremum(unilatéral) de

X

surl'intervalle

[0, t]

. 2)Pour une fon tion

V

de

R

dans

R

+

,vériant :

0 <

Z

R

(1 +

_{|y|)V (y)dy < ∞}

onpose:

Γ

t

= exp

−

Z

t

0 V (X

u

)du

3)Pour unréel quel onque

λ

,onpose:

Γ

t

= e

λL

0 t

où

L

0 t

estletemps lo alen zérode

(X

s

)

s≤t

.

La démonstration de l'existen e de

W

∞

s'ee tue de manière un peu diérente dans haque asparti ulier, maisdans tousles as, on abesoin d'une étude asymptotiquede l'espéran e de

Γ

t

.

L'existen e de nombreux exemples (dont les deux premiers ités i i) pour lesquels ette es-péran e dé roît en

1/

√

t

laisse supposer que l'on pourrait trouver un théorème de pénalisation plus général que les résultats onnus a tuellement, dans les as où on observe ette vitesse de dé roissan e.

Plus pré isément, il semble exister toute une lasse de familles de densités

(Γ

t

)

t≥0

, s'é rivant souslaforme :

(15)

où

Φ

est unefon tionnelle déniesur l'ensemble destraje toires ontinues surun intervalle

[0, t]

(

t > 0

),pour lesquelleson a l'équivalen e :

E

W

[Γ

_t

]

∼

t→∞

1 √

2πt

W[Φ((X

s

)

s≥0

)]

où

Φ((X

s

)

s≥0

)

estlalimite de

Φ((X

s

)

s≤t

)

quand

t

tendversl'inni,et

W

estune mesure

σ

-nie ne dépendant pasde

Φ

et

Γ

.

De plus,la mesure

W

vérie l'égalitésuivante:

W =

Z

∞

0 dl (

W

+

(l)

+

W

(l)

−

)

où

W

(l)

+

(resp.

W

(l)

−

) estlaloi d'unpro essus

(Z

l,+

t

)

t≥0

(resp.

(Z

l,−

t

)

t≥0

) pour lequelil existe un mouvement brownien

(B

s

)

s≥0

etunpro essusde Besselde dimension3 indépendant de

B

s

≤ τ

l

(

τ

l

étantl'inverse dutemps lo al en

l

de

B

),et

Z

l,+

τ

l

+u

= R

u

(resp.

Z

l,−

τ

l

+u

=

−R

u

) si

u

≥ 0

.

L'intervention de ette mesure

σ

-nie est liée à la formule suivante, donnée (sous une forme un peudiérente)dansC.Leuridan [Leu98 ℄(voirégalement Ph. BianeetM. Yor [BY88 ℄):si

δ

a

est lederniertemps d'atteinte de

a

dupro essus

|X|

,on a:

Z

∞

0 dt E

W

[Φ((X

_s

)

_s≤t

)] =

Z

∞

0 da

_W[Φ((X

s

)

s≤δ

a

)]

Bien que nous ne onnaissions pas de résultat impliquant l'équivalen e asymptotique donnée i-dessuspourune lassevraiment généraledefon tionnelles

Φ

,nousobtenons etteéquivalen e, ainsiquel'existen edelamesurelimite

W

∞

,dansle asparti ulieroùilexisteunefon tionnelle

F

,vériant ertaines onditions dedomination (malheureusement assez omplexesà exprimer), ettelle que:

Φ((X

s

)

s≤t

) = F ((L

y

t

)

y∈R

)

(L

y

_t

)

_y∈R

désignant lafamille destemps lo aux de

(X

s

)

s≤t

(voir leChapitre 4).

Par ailleurs, on a parfoisl'existen e de la mesure

W

∞

,sans que l'espéran e de

Γ

t

dé roisse en

1/

√

t

.Les asren ontrés leplus souvent sont alors eux d'une roissan e oùd'une dé roissan e exponentielle par rapport à

t

; on obtient e type de omportement dans le troisième exemple donné plus haut,lorsque leparamètre

λ

eststri tement positif.

Plus généralement, B. Roynette, P. Vallois et M. Yor ont prouvé, dans [RVY05℄, l'existen e de lamesurelimite

W

∞

pour toute pénalisation de laforme:

Γ

t

= e

λL

0 t

+µ|X

t

|

ou (voir l'équivalen e de Lévy):

Γ

t

= e

λS

t

+µ(S

t

−X

t

)

les réels

λ

et

µ

étant quel onques.

Ilest ependantévidentqueselonlesvaleursde

λ

et

µ

(etenparti ulierleursigne),le omporte-ment dupro essus anonique souslamesure

W

(16)

l'araignéebrownienne, qui,rappelons-le,estunpro essuspouvant informellement être onsidéré ommeunmouvement brownienàvaleursdansunensemblededemi-droites on ourantes (pour diérentes études sur l'araignée brownienne, voir M. Barlow, J. Pitman et M. Yor [BPY89a ℄, J.-B.Walsh[Wal78 ℄, B.Tsirelson[Tsi97 ℄, B.de Meyer [dM99 ℄, S.Watanabe [Wat99 ℄).

Dans et arti le, nous retrouvons des distin tions de as analogues à elles de [RVY05℄, mais plus omplexesetamenant àdes al uls pluslourds.

On retrouve également une étude de as du même type dans Y. Hariya et M. Yor [HY04℄, oùl'on pénalise unmouvement brownien ave drift par l'intégralede sonexponentielle.

Lesexemples de pénalisations unidimensionnelles dé rits dans ette se tion permettent de on-struire de nouvelles mesures de probabilité, le plus souvent singulières par rapport à la mesure deWiener.

De plus, dans tous les as pré édemment étudiés et tels que la mesure

W

∞

est bien dénie, ilexiste une martingale

(M

s

)

s≥0

telle quepour tout

s > 0

ettout

Λ

s

∈ F

s

,on a:

W

_∞

_(Λ

_s

_{) = W(M}

_s

1 _Λ

s

)

Grâ eauxpénalisations,onren ontredon touteunefamilledemartingales, onstruitesàpartir d'unmouvement brownien ou d'unearaignée brownienne.

Unexemple typiquede e genrede martingales (sous lamesurede Wiener)est lesuivant :

M

s

= φ(S

s

)(S

s

− X

s

) +

Z

∞

S

s

φ(y) dy

où

φ

estunefon tionpositiveetintégrablesur

R

+

Γ

t

= exp

− sup

y∈R

L

y

_t

!

Pour lemodèled'Edwards, on ne sait pass'ilexiste une mesure

W

∞

vériant les onditions de onvergen e données pré édemment; néanmoins, des résultats intéressants ont été obtenus sur emodèlepar d'autresmoyens:nousverrons ela danslase tionsuivante.

1.3 Etude du modèle d'Edwards

Le modèle d'Edwards

d

-dimensionnel (

d

∈ {1, 2, 3}

), sur un intervalle ni

[0, t]

, orrespond à une pénalisation de la mesure de Wiener

W

(d,t)

par le temps lo al d'interse tion du pro es-sus anonique; on her he don à dénir une mesure

W

˜

(d,t,g)

sur

C([0, t], R

d

₎

(17)

˜

W

(d,t,g)

₌

exp

_−g

R

t

0 du

R

u

0 ds δ(X

s

− X

u

)

W

(d,t)

h

_exp

_−g

R

t

0 du

R

u

0 ds δ(X

s

− X

u

)

i .

W

(d,t)

δ

étant lamesurede Dira en zéroet

g

unparamètre réel stri tement positif.

La onsidération de e modèle onduit auxdeuxquestionssuivantes:

- Comment donnerune dénitionrigoureuse de lamesure

W

˜

(d,t,g)

?

- En admettant qu'on ait résolu e problème, quel est le omportement du pro essus anon-ique sous

W

˜

(d,t,g)

etqueseproduit-il lorsque

t

tendvers l'inni?

Nous allons étudier es questions dans la suite de ette se tion, en distinguant les diérents as possibles(

d = 1

,

d = 2

,

d = 3

).

1.3.1 Cas de la dimension 1

Dans le asdeladimension1,laréponseàlapremière questionpeutêtre donnéefa ilement,en utilisant l'existen ede lafamille destemps lo aux

(L

y

t

)

y∈R

et elle destempslo aux d'interse -tion

(α

a

t

)

a∈R

, dénisdanslaSe tion 1.1. On peuten eetposer:

˜

W

(1,t,g)

₌

exp(

−gα

0 t

)

W

(1,t)

_[exp(

_−gα

0 t

)]

. W

(1,t)

=

exp

−

g

2 R

R

(L

y

t

)

2 dy

W

(1,t)

exp −

g

2 R

R

(L

y

t

)

2 dy

.

W

(1,t)

Cette dénitiona bienunsens arledénominateur

W

(1,t)

_[exp(

_−gα

0 t

)]

estni etnon nul. De plus, on remarque que la mesure asso iée au modèle d'Edwards est absolument ontinue par rapportà ellede Wiener:les propriétéspresque sûresdestraje toiressont don lesmêmes sous esdeux mesures.

En revan he, si l'on fait tendre

t

vers l'inni, on obtient un hangement du omportement des traje toires :R. van der Hofstad,F. den Hollander etW. König (voir [vdHdHK97 ℄) ont prouvé qu'il existe une onstante

c

telle que la loi de

X

t

/t

sous

W

˜

(1,t,g)

tend vers

(δ

cg

1/3

+ δ

_−cg

1/3)/2

quand

t

tendversl'inni(

δ

x

étantlamesuredeDira en

x

),etque

(

|X

t

| − ct)/

√

t

onvergeenloi versune variablegaussienne entrée,dontlavarian eestbiendéterminée (stri tementinférieure à un).

Le omportement du modèle d'Edwards en dimension 1 est don asymptotiquement de type linéaire (balistique), ommepour lemouvement brownien ave drift.

Il est à noter que le résultat donné dans [vdHdHK97 ℄ on erne uniquement la valeur termi-nale du pro essus anonique sousla mesure

˜

W

(1,t,g)

et non lepro essus anonique toutentier : on n'a jusqu'à présent pas réussi à onstruire une mesure sur

C(R

+

, R)

pouvant s'interpréter omme étant lalimite desmesures

W

˜

(1,t,g)

(18)

Pour onstruire le modèle d'Edwards en dimension 2, on est amené à utiliser de nouveau les tempslo auxd'interse tion,et onpeutêtretenté de poser:

˜

W

(2,t,g)

₌

exp(

−gα

0 t

)

W

(2,t)

_[exp(

_−gα

0 _t

_)]

. W

(2,t)

Malheureusement, ettedénitionn'est pasen ore rigoureuse arendimension 2,letemps lo al d'interse tion

α

a

t

n'est pasdénipour

a = 0

.

Cependant,on observe queladénition pré édenteest formellement équivalente à :

˜

W

(2,t,g)

₌

exp(

−g(α

0 t

− W

(2,t)

[α

0 t

]))

W

(2,t)

_[exp(

_−g(α

0 t

− W

(2,t)

[α

0 t

]))]

. W

(2,t)

La renormalisation de Varadhan (dé rite dans la Se tion 1.1) permet alors de rempla er ette formulepar :

˜

W

(2,t,g)

₌

exp(

−gγ

0 t

)

W

(2,t)

_[exp(

_−gγ

0 t

)]

. W

(2,t)

où

γ

0 t

estle temps lo ald'interse tionrenormalisé.

Ilaétédémontré(voirS.Varadhan[Var69 ℄,J.-F.LeGall[LG85 ℄,R.-F.BassetX.Chen[BC04 ℄, J.Pitman et M. Yor [PY96℄) que

γ

0 t

admet desmomentsexponentielsde tout ordre inférieur à une ertaine onstante stri tement positive,eten parti ulier desmomentsexponentiels négatifs detoutordre :on endéduit queladénition pré édente de

W

˜

(2,t,g)

a bienun sens.

On a ainsi onstruit le modèle d'Edwards en dimension 2, et la mesure asso iée est, omme endimension 1,absolument ontinue par rapportàlamesuredeWiener:lespropriétés presque sûresasso iéesà esmesuressontde nouveau identiques.

Une fois le modèle d'Edwards onstruit, on a her hé à étudier son omportement asympto-tiquepour

t

tendant versl'inni.

Des simulations numériques, ainsi que ertains arguments heuristiques (voir R. van der Hofs-tad[vdH98 ℄, N.MadrasetG. Slade[MS93 ℄)semblent suggérerle résultatsuivant :

˜

W

(2,t,g)

_[

_||X

_t

_{|| ] ∼}

t→∞

Dg

1/4

_t

3/4

où

D

estune onstante.

Cependant, on est à e jour très loin d'avoir prouvé ette onje ture, puisque des résultats nettement plusfaibles telsque :

lim

t→∞

1 t

W

˜

(2,t,g)

_[

_||X

t

|| ] = 0

ou

lim

t→∞

1 √

t

˜

W

(2,t,g)

_[

_||X

_t

_{|| ] = ∞}

n'ont même pasétédémontrés.

La onnaissan e a tuelle du modèle d'Edwards en dimension 2 est don nettement plus lim-itéequ'en dimension 1.

(19)

En dimension 3, la renormalisation de Varadhan n'a pas lieu, omme nous l'avons vu dans la Se tion 1.1.

Cependant, dans [Wes80℄ et [Wes82℄, J. Westwater donne une onstru tion du modèle d'Ed-wards tridimensionnel, qui fait appel à la te hnique de pénalisation que nous avons dé rite au débutde ette introdu tion.

n

, k

∈ N

∗

, k

≤ 2

n

}

(

X

étant lepro essus anonique), etdelamesure deWiener

Z

R

m

du ds δ(X

s

− X

u

)

où

R

]v, w[

×]x, y[

(

0 < v < w

≤ x < y < t

).

J. Westwater onstruitalors lamesurelimite

W

˜

(3,t,g)

_{= W}

(3,t,g)

∞

,quivérie,pour tout

n

∈ N

et tout

Λ

n

∈ F

n

:

W

(3,t,g)

_m

_(Λ

_n

₎

_→

m→∞

˜

W

(3,t,g)

_(Λ

_n

₎

Comptetenu dela onstru tion pré édente,ilestnaturel d'asso ier ettemesurelimiteau mod-èle d'Edwardstridimensionnel.

Onpeutmontrerque ontrairementà equiseproduitendimensions1et2,lesmesures

˜

W

(3,t,g)

sont singulièresparrapportàlamesuredeWiener

W

(3,t)

,etsingulièresentreelleslorsqu'onfait varier

g

.

Il en résulte qu'en un ertain sens,le pro essus asso ié au modèle d'Edwards a moins d'auto-interse tions quele mouvement brownien.

Cependant,X.-Y.Zhouamontrédans[Zho92 ℄queladimensiondeHausdordespointsdoubles des traje toires reste in hangée (égale à 1) lorsqu'on passe du mouvement brownien au modèle d'Edwards:enparti ulier,lapénalisation orrespondantenesutpasàproduiredestraje toires auto-évitantes.

D'une manière générale, on observe qu'il est né essaire de se pla er en dimension 3 pour que le modèled'Edwards produise,en temps ni,destraje toires diérentes destraje toires brown-iennes.

(20)

waterdans [Wes80℄ et[Wes82 ℄impliquent l'existen e de modi ations dumodèled'Edwards en dimension1et2,pourlesquelleslamesureasso iée estsingulièrepar rapportà elledeWiener.

Pluspré isément, ette mesureestformellement déniepar :

¯

W

(1,t,g)

₌

exp

−g

R

t

0 du

R

u

0 ds

δ(X

u

−X

s

)

u−s

W

(1,t)

h

exp

−g

R

t

0 du

R

u

0 ds

δ(X

u

−X

s

)

u−s

i .

W

(1,t)

endimension 1,etpar :

¯

W

(2,t,g)

₌

exp

_−g

R

t

0 du

R

u

0 ds

δ(X

u

−X

s

)

√

u−s

W

(2,t)

h

_exp

_−g

R

t

0 du

R

u

0 ds

δ(X

u

−X

s

)

√

u−s

i .

W

(2,t)

endimension 2.

Laraisonpourlaquellenousavonsmodiélemodèled'Edwardsde ettemanièreestlasuivante: pour

d

∈ {1, 2}

,on a formellement l'égalité :

Z

t

0 du

Z

u

0 ds

δ(X

(d)

u

− X

s

(d)

)

(u

− s)

(3−d)/2

= (2π)

(3−d)/2

W

(3,t)

Z

t

0 du

Z

u

0 ds δ(X

u

− X

s

)

|X

(d)

où

X

(d)

estlaproje tion sur

R

d

du pro essus anoniquetridimensionnel

X

.

Cetteégalitéformelle,quenousjustionsauChapitre 5,permetde relierdire tement lemodèle d'Edwards en dimension 3à notremodèle modié.

La onstru tion que nous donnons de e modèle repose en grande partie sur e lien, et elle utilise demanièreessentielle lesrésultatsde J.Westwater, dontlapreuveest trèslongue et très te hnique.

C'est pourquoi il serait interessant de trouver une méthode plus simple pour dénir

W

¯

(1,t,g)

et

¯

W

(2,t,g)

.

Une des dire tions possibles de re her he est de s'inspirer des travaux d'E. Bolthausen, qui a réussiàsimpliertrèsnettement la onstru tion originaledumodèled'Edwardstridimensionnel (voir[Bol93℄).

On pourrait également essayer de onstruire d'autres modi ations du modèle d'Edwards, par exempleenremplaçant,dansl'expressionformelle i-dessus,l'exposant

(3

−d)/2

parunexposant

α

quel onque. Pour

α < (2

− d)/2

, on peut vérier qu'il est possible de dénir dire tement le temps lo al d'interse tion modié ( omme pour le modèle d'Edwards unidimensionnel); pour

(2

− d)/2 ≤ α < (3 − d)/2

, larenormalisationde Varadhana lieu( omme pour lemodèle d'Ed-wards bidimensionnel); le as

α = (3

− d)/2

est elui qui est étudié au Chapitre 5;enn, pour

α > (3

_{− d)/2}

nousn'avons a tuellement pasd'idée pré isesur e quiseproduit.

(21)

tridimensionnel quand

t

tendl'inni.

Onn'est a tuellement pasplusavan ésur eproblèmequ'en dimension2;demanièreanalogue, on onje turequ'il existe unréel

ν

tel que:

˜

W

(3,t,g)

_[

_||X

_t

_{|| ] ∼}

t→∞

Dg

2ν−1

_t

ν

Certains arguments heuristiques suggèrent que

ν

est égal à

3/5

; ependant, les simulations numériques semblent orrespondre à une valeur légèrement inférieure, de l'ordre de

0, 588

(voir R.van derHofstad[vdH98℄).

Ce désa ordsurlavaleur de

ν

onrmel'extrême di ulté de l'étudedumodèled'Edwardsen dimension 3.

En dimension supérieure ou égale à 4, il n'est pas né essaire de dénir e modèle : en eet, les traje toires browniennes n'ont plus de pointsdoubles et lanotion de temps lo al d'interse -tion n'aplusde sens.

En revan he, on pourrait peut-être onstruire un modèle qui for erait le mouvement brown-ien quadridimensionnelà sere ouperlui-même.

Parailleurs,onremarquequ'ilestpossibled'étudier,entoutedimension,unanaloguedis retdu modèled'Edwards (appelémodèledeDomb-Joy e), obtenuen onsidérant unemar healéatoire simple à lapla edu mouvement brownien.

En dimension inférieure ou égale à 3,le omportement asymptotique de e modèledis ret sem-ble analogue à elui du modèle ontinu, et desrésultats allant dans e sens ont été prouvésen dimension 1 (voir R.van derHofstad [vdH98℄).

1.4 Plan de la thèse

La suitedelathèse omportequatrearti les(voirJ.Najnudel[Naj07b ℄,[Naj07 ℄,[Naj07a℄pour les troispremiers d'entre eux).

Dans le premier, nous dénissons l'intégrale d'une fon tion par rapport à la dérivée spatiale du temps lo ald'interse tiond'unmouvement brownien unidimensionnel.

Dans le deuxième,nous généralisons àl'araignée brownienne ertains résultats de pénalisations obtenus par B.Roynette,P.Vallois etM. Yor.

Dans le troisième, nous étudions les pénalisations du mouvement brownien par une fon tion-nelle de ses temps lo aux.

Enn,dansledernierarti le,nousétudionsdesmodi ationsdumodèled'Edwardsendimension 1 et2,qui présentent ertaines analogies ave lemodèled'Edwards tridimensionnel.

Remarque: Lesquatrearti les,qui orrespondentauxChapitres2,3,4et5,sontindépendants les uns desautres.

(22)

Integration with respe t to the

self-interse tion lo al time of a

one-dimensional Brownian motion

Introdu tion

For any lo ally square-integrable fun tion

f

, it is possible to dene the expression

R f (a)d

a

L

a

t

bythefollowing equality:

Z

f (a)d

a

L

a

t

= 2

Z

t

0 f (B

s

)dB

s

− (F (B

t

)

− F (B

0 ))

where

F

isaprimitive of

f

,and

L

a

t

isthe lo altimeat

a

ofaone-dimensionalBrownian motion on

[0, t]

, denotedby

(B

s

)

0≤s≤t

.

Morepre isely,it has been proven (see N. Bouleau and M. Yor [BY81℄, N.Eisenbaum [Eis00 ℄) thatiftheprevious denition is taken,

Φ : f

→

R f (a)d

a

L

f

isthe primitive ofa lo allyintegrable fun tion

f

′

:

Z

f (a)d

a

L

a

t

=

−

Z

t

0 f

′

(B

s

)ds

Thisequality allows us to dene

R

t

0 g(B

s

)ds

if

g

is the derivative of a lo ally square-integrable fun tion,inthe sense ofthe distribution theory.

For example, we an dene the previous integral if

g

is the prin ipal value of

1/x

, or the nite partof

1/x

α

+

for

α < 3/2

(see Ph Biane and M. Yor [BY87℄, A.-S.Cherny[Che01 ℄, T. Yamada [Yam96 ℄).

In this hapter, we prove that it is possible to do approximately the same thing withthe self-interse tionlo altime.

To dene this self-interse tion lo al time, we onsider a one-dimensional Brownian motion on

[0, t]

(denoted by

(B

s

)

0≤s≤t

);inthese onditions,thereexistsa.s.a ontinuousfun tion

a

→ α

a

t

su hthat:

Z

t

0 du

Z

u

0 dsf (B

s

− B

u

) =

Z

f (a)α

a

_t

da

(23)

for any lo ally integrable fun tion

f

. By denition, the self-interse tion lo al time at

a

of

(B

s

)

0≤s≤t

is equal to

α

a

t

(here, as in J. Rosen [Ros05℄, we onsider only the one-dimensional self-interse tionlo altime;therearealotofpapersaboutinterse tionlo altimesindimensions 2 and3,for example,seeJ.Bertoin[Ber89 ℄,J.-F. LeGall[LG85℄,J.Westwater[Wes80 ℄,M.Yor [Yor86 ℄).

In Se tion 2.1, we show that

a

→ γ

a

t

= α

a

t

+ 2ta

−

is derivable, and that if

δ

a

t

is its deriva-tive, itispossible togive ameaning to theexpression :

Z

f (a)d

a

δ

t

a

for anylo ally square-integrablefun tion.

In other words, it is possible to do the same integration for the derivative of self-interse tion lo altimeasfor the lo altime.

Thisintegration will allowus to extendthedenition of

R

t

0 du

R

u

0 ds g(B

s

− B

u

)

to distributions

g

whi h arenot ne essaryintegrablefun tions.

Finally,inSe tion 2.2, we willusethe results of Se tion 2.1to study thebehaviourof :

Z

t

0 du

Z

u

0 ds h(B

s

− B

u

)1

_|B

s

−B

u

|>ǫ

where

h

is anoddfun tion whi h satisessome onditions of domination.

2.1 Constru tion of theintegrationwithrespe t toself-interse tion lo al time

In this se tion,westudy the behaviour ofthe self-interse tionlo al time.

Todothat,weuseaversionofFubini'stheorem,whi hisavailableforsto hasti integrals.More pre isely,we have the following proposition (for

t

∈ R

+

,

a, b

∈ R

,

a < b

) :

Proposition2.1.1: Let

(B

s

)

0≤s≤t

be aBrownianmotiononaprobabilityspa e

(Ω,

A, µ)

,

P

the predi table

σ

-algebra on

[0, t]

×Ω

,and

A

a

B([a, b])⊗P

-measurable fun tionfrom

[a, b]

×[0, t]×Ω

to

R

, su h that :

Z

b

a

dx

Z

t

0 du E[A(x, u)

2 ] <

∞

If

(x, ω)

→ Z(x)(ω)

is a

B([a, b]) ⊗ A

-measurable fun tion on

[a, b]

× Ω

, su h that for any

x

,

Z(x) =

R

t

0 A(x, u)dB

u

, then

R

b

a

Z(x)dx

and

R

t

0 R

b

a

A(x, u)dx

dB

u

existand are a.s.equal.

The proofof this propositionisessentiallygiven inP.Protter ([Pro90 ℄,Theorem46, p.160),so weomit it.

Now, let

(B

s

)

s≥0

be a one-dimensional Brownian motion, and

f

a lo ally integrable fun tion. The following equality holds:

Z

t

0 ds

Z

t

s

du

_|f(B

s

− B

u

)

| =

Z

t

0 ds

Z

(24)

where

L

t

( ˜

B

(s)

) = L

B

t

s

−a

(B)

− L

s

B

s

−a

(B)

(withthe ontinuousversionoflo altime), therefore:

Z

t

0 ds

Z

|f(a)|L

−a

t

( ˜

B

(s)

)da

≤

Z

t

0 ds

Z

|f(a)|L

B

s

−a

t

da

where

L

B

s

−a

t

= 0

if

|a| > 2 sup

u≤t

|B

u

|

.Consequently :

Z

t

0 ds

Z

|f(a)|L

−a

t

( ˜

B

(s)

)da

≤ t sup

b∈R

L

b

_t

Z

2 sup |B|

−2 sup |B|

|f(x)|dx < ∞

Hen e,we an apply Fubini's theorem:

Z

t

0 du

Z

u

0 dsf (B

s

− B

u

) =

Z

t

0 ds

Z

t

s

duf (B

s

− B

u

) =

Z

t

0 ds

Z

f (a)L

−a

_t

( ˜

B

(s)

)da

=

Z

daf (a)

Z

t

0 ds L

−a

_t

( ˜

B

(s)

) =

Z

f (a)α

a

_t

da

where

α

a

t

=

R

t

0 dsL

−a

t

( ˜

B

(s)

)

. Be ause of the previous equality,

α

a

t

is the self-interse tion lo al timeat

a

of

(B

s

)

0≤s≤t

.Now, we have a.s.:

L

−a

_t

( ˜

B

(s)

) = 2

(B

t

− B

s

+ a)

−

− a

−

+

Z

t

s

1 _B

u

−B

s

<−a

dB

u

Therefore, by applying Proposition 2.1.1, we prove that for all

a

, the following equality holds a.s.:

α

a

_t

= 2

Z

t

0 ((B

s

− B

t

− a)

+

− (−a)

+

)ds + 2

Z

t

0 dB

u

Z

u

0

1 _B

s

−B

u

>a

ds

Ifwe dene

γ

by

γ

a

t

= α

a

t

+ 2ta

−

,we obtain :

γ

_t

a

= 2

Z

t

0 (B

s

− B

t

− a)

+

ds +

Z

t

0 dB

u

Z

u

0

1 _B

s

−B

u

>a

ds

Hen e,for every

a

,

b

(

a < b

),we have a.s.:

γ

_t

b

− γ

a

t

= 2

Z

t

0 Z

b

a

(

−1

B

s

−B

t

>x

)dx

ds +

Z

t

0 dB

u

−

Z

b

a

L

x+B

u

-measurable and ontinuouswith respe tto

(x, u)

. On the other hand, there exists a ontinuous version of

x

→

R

t

0 L

x+B

u

dB

u

(this is a onse-quen eof Burkholder'sinequality andKolmogorov's riteria).

Moreover,for all

u

∈ [0, t]

,

x

∈ [a, b]

,

E

_[(L

x+B

u

)

2 ] = E[(L

−x

u

(B

(u)

))

2 ]

≤ Cu

where

B

(u)

_{: v}

_{→ B}

u

− B

u−v

is astandard Brownian motion on

[0, u]

and

C > 0

isa onstant. Consequently :

Z

b

a

Z

t

0 E

_[(L

x+B

u

)

2 ]dudx <

∞

(25)

and we an apply Proposition2.1.1 to prove thatfor any

a

,

b

,we have a.s:

γ

_t

b

_{− γ}

_t

a

=

₋₂

Z

b

a

dx

Z

t

0

1 _B

s

−B

t

>x

ds +

Z

t

0 L

x+B

u

dB

u

=

Z

b

a

δ

x

_t

dx

where

δ

_t

x

=

₋₂

Z

t

0

1 _B

s

−B

t

>x

ds +

Z

t

0 L

x+B

u

dB

u

Weobservethat

a

→ γ

a

t

is ontinuous (be ause

α

a

t

=

R

t

0 dsL

−a

t

( ˜

B)

). Consequently,it isalmost surethatthe previous equality(about

γ

b

t

− γ

t

a

) istrue for all

a

,

b

. Therefore,

a

→ γ

a

t

= δ

a

t

+ 2t1

a<0

), and we an resume ourresults inthe following proposition:

Proposition2.1.2: Let

(B

s

)

0≤s≤t

be aone-dimensional Brownianmotion.Itsself-interse tion lo al time

(α

a

t

)

a∈R

is given by :

α

a

_t

= 2

Z

t

0 ((B

s

− B

t

− a)

+

− (−a)

+

)ds +

Z

t

0 dB

u

Z

u

0

1 _B

s

−B

u

>a

ds

Moreover,

a

→ α

a

t

+ 2ta

−

is dierentiable on

R

, andits derivative is given by :

δ

a

_t

=

−2

Z

t

0

1 _B

_s

_−B

_t

_>a

_{ds +}

Z

t

0 L

a+B

u

dB

u

Remark : The derivability of

a

→ γ

a

t

is a parti ular ase of a more general study about derivability ofself-interse tionlo al timefor stablepro esses(see J.Rosen[Ros05℄).

We an also remark that:

δ

_t

0 =

−2

Z

t

0

1 _B

_s

_>B

_t

_{ds +}

Z

t

0 L

B

u

dB

u

so

δ

0 t

isstrongly relatedto thequantity

A(t, B

t

) =

R

t

0

1 B

s

<B

t

ds

. In fa t, itis possible to prove that

t

→ δ

0 t

hasa

4/3

-variation whi h is nite anddierent from zero, so

A(t, B

t

)

isnot asemimartingale (seeL.-C.-G. Rogersand J.-B. Walsh [RW91℄).

Now, let usprove the following proposition:

Proposition 2.1.3: If

f =

P

i

λ

i

1 ]a

i

,b

i

]

isa step fun tion,let

R f (a)d

a

δ

a

t

be dened by :

P

i

λ

i

(δ

b

i

t

− δ

a

t

i

)

.

In these onditions, there exists a unique linear and ontinuous appli ation from

L

2 _(R)

to

L

2

whi h oin ides with

R f (a)d

a

δ

a

t

if

f

is a step fun tion. Proof : For all

u

∈ [0, t]

,

s

→ B

(u)

s

= B

u

− B

u−s

is a Brownian motion (from

[0, u]

to

R

), andfor all

A

∈ R

,the following equalityholds a.s.: