Etude de fonctions 3ème Mathématiques
Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé , , .
Exercice 1
Soit la fonction définie sur ℝ par : = + 2 − 3 et soit sa courbe représentative. 1) a) Déterminer le domaine de dérivabilité de et calculer ′ .
b) Dresser le tableau de variation de .
c) Déterminer les points d’intersections de et l’axe des abscisses et de et l’axe des ordonnées. d) Montrer que la droite ∶ = −1 est un axe de symétrie de .
2) a) Donner une équation cartésienne de la tangente à au point d’abscisse −2. b) Calculer lim
→ ∞ et interpréter le résultat graphiquement. c) Construire et dans un même repère.
3) Soit la droite ′: = −2 + où est un paramètre réel, déterminer en fonction de le nombre de points d’intersection de et ′.
Exercice 2
Soit la fonction définie sur ℝ par : = ! + " + # où !, " et # étant des réels et soit sa courbe représentative. On note $ −2 , −3 le sommet de . La courbe admet au point d’abscisse −1 une tangente dont une équation cartésienne est : = 2 .
1) Déterminer les réels !, " et #.
2) On suppose dans la suite que : = + 4 + 1.
a) Dresser le tableau de variation de .
b) Montrer que la droite ∶ = −2 est un axe de symétrie de .
c) Construire .
3) Soit & la fonction définie sur '( par : & = + 4| | + 1 et soit * sa courbe représentative.
a) Montrer que la fonction & est paire.
b) Déduire de la représentation graphique de *. c) Dresser le tableau de variation de &.
Exercice 3
Soit la fonction définie sur '( par : = ++ ! + " + #, où ! " et # sont des réels et soit sa courbe représentative.
1) Déterminer les réels ! " et # pour que admette des extrema en −1 et en 1 et que la tangente à au point d’abscisse 0 passe par le point - −1 , 4 .
2) On suppose dans la suite que : = +− 3 + 1.
a) Dresser le tableau de variation de . b) Préciser les extrema de .
3) a) Montrer que le point ' 0 ,1 est un centre de symétrie de . b) Montrer que le point ' 0 ,1 est un point d’inflexion de .
4) Déterminer les abscisses des points de où la tangente en ces points est parallèle à la droite ∆ ∶ 9 − + 2 = 0.
5) Tracer .
Exercice 4
Soit la fonction définie par : = 0 +
1 et sa courbe représentative. 1) Déterminer le domaine de définition de .
2) Déterminer trois réels !, " et # tels que : pour tout ∈ , = ! + " + 3 1
3) a) Etudier les limites en −∞ et en +∞ de la fonction & définie sur par : & = − + 1. b) Que peut-on en conclure pour et la droite ∆ ∶ = − 1.
c) Etudier la position de par rapport à ∆.
4) Montrer que le point ' −1 , −2 est un centre de symétrie de . 5) a) Etudier les variations de .
b) Tracer .
6) Soit ℎ la fonction définie par : ℎ =| | 10 + a) Etudier la parité de ℎ.
b) Déduire de la représentation graphique de 5.
Exercice 5
Soit la fonction définie par =6 0 7 1
8 avec ! et " deux réels. On désigne par sa courbe représentative
1) a) Déterminer le domaine de définition de
b) Montrer que ∀ ∈ ℝ\;2< on a : ′ = 6 08=6 8 781 8 0 .
c) Déterminer alors ! et " pour que admette en - 1 , −1 une tangente parallèle à la droite d’équation y=-2x+3.
2) On admet dans la suite que = 088 1
a) Montrer que la droite ∆∶ = + 1 est une asymptote oblique à au voisinage de +∞ ?@ − ∞. b) Déterminer l’autre asymptote à .
3) a) Dresser le tableau de variations de
b) Soit le point ' 2 , 3 Montrer que ' est un centre de symétrie pour c) Construire .
d) Soit AB = C + D .Déterminer l’équation de Cf dans R’= ( ', AB, D .
− + 1 + 2 + 1 = 0.
b) Dans le cas où la droite E: = coupe la courbe en deux points distincts M’ et M’’, on pose K milieu de [M’M’’].
Quel est l’ensemble F des points K lorsque m varie ?
c) Déterminer les réels tel que OM’M’’ soit rectangle en O. 5) Soit la fonction g définie par & = | | + 1 +| |8+ .
a) Déduire la courbe * représentative de g à partir de . b) Etudier graphiquement la dérivabilité de g en 0 . c) Retrouver le résultat par le calcul.
Exercice 6
Soit la fonction définie par : = 08= 81
8 et soit sa courbe représentative. 1) a) Déterminer le domaine de définition de .
b) Déterminer les limites de aux bornes de son domaine de définition. 2) Soient trois réels !, " et # tels que : pour tout ∈ , = ! + " + 3
8 a) Calculer de deux manière lim
→ ∞ en déduire !. b) Calculer lim
→ − 2 en déduire #. c) Calculer 0 en déduire ".
d) Montrer que la droite ∆∶ = 2 est une asymptote à . 3) Dresser le tableau de variation de .
4) Montrer que le point ' 2 , 4 est un centre de symétrie de . 5) Etudier la position de par rapport à ∆.
6) Tracer ∆ et .
7) a) Montrer que pour tout réel coupe la droite ∶ = en deux points distincts G1 et G b) Déterminer les coordonnées du point ' = G1∗ G en fonction de
c) En déduire l’ensemble des points I lorsque varie 8) Soit & = −| | construire * à partir de
Exercice 7
1) Soit la fonction définie par =6 08=81 I J , K ∈ '( et soit sa courbe représentative a) Déterminer le domaine de définition de
b) Calculer ∀ ∈ et en fonction de J et K ′
c) Déterminer les réels J et K pour lesquels admette un extremum égal à 2 en 3
2) On prend par la suite J = 1 et K = 7 a) Dresser le tableau de variation de b) Préciser la nature des extrema de .
c) Montrer que le point ' 1 , −2 est un centre de symétrie de .
3) a) Déterminer trois réels ! ," et # tel que ∀ ∈ ; = ! + " + 3 81
b) Montrer que ∆∶ = − 3 est une asymptote oblique à au voisinage de +∞ et −∞ c) Etudier la position de par rapport à ∆.
4) Tracer ∆ et .
5) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel le nombre des solutions de l’équation − 4 + + + 7 = 0
Exercice 8
Soit la fonction définie par : = 2√ − 4 et soit sa courbe représentative. 1) Montrer que est définie sur P−∞ , 0P ∪ R4 , +∞R
2) Montrer que est dérivable sur P−∞ , 0R ∪ P4 , +∞R.
c) Etudier la dérivabilité de à gauche en 0 et à droite en 4. d) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3) Montrer que la droite ∆∶ = 2 est un axe de symétrie de .
4) Montrer que les droites 1; = 2 − 4 et ; = −2 + 4 sont des asymptote à respectivement
en +∞ et en −∞.
5) Calculer ′ pour tout ∈ P−∞ , 0R ∪ P4 , +∞R et dresser le tableau de variation de . 6) Tracer ∆, 1, et .
7) soit la fonction & définie par & = | | + 4 a) Montrer que & est définie sur ℝ.
b) Montrer que la fonction & est paire.
c) Expliquer comment peut-on déduire * à partir de . Tracer *.
Exercice 9
Soit la fonction définie par = 08 T
81 On désigne par sa courbe représentative
1) a) Vérifier que pour tout ∈ ℝ\;1< on a = − 1 + =
81 b) Dresser le tableau de variation de
2) a) Montrer que ∶ = – 1 est une asymptote à au voisinage de − ∞ et au voisinage de + ∞ b) Etudier la position de et la droite
c) Montrer que le point ' 1 , 0 est un centre de symétrie pour la courbe d) Tracer la courbe
3) a) Montrer qu’ils existent deux tangentes 1 et à la courbe qui sont parallèles à la droite d’équation = − 3
b) Donner des équations réduites de 1 et
b) Donner une équation cartésienne de et la tracer
4) Soit la droite E ∶ = − 1 où est un paramètre réel
a) Discuter suivant les valeurs de le nombre de points d’intersection de la courbe et la droite E b) Dans le cas où la droite E coupe la courbe en deux points distincts G et G′, donner les
coordonnés du point V milieu de RGG′P puis déterminer l’ensemble des points V lorsque varie 5) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre de solutions de l’équation :
− + 1 + + 4 = 0
6) Soit g la fonction définie sur P1 , +∞R par & = W a) Montrer que & est dérivable sur ]1 ; +∞[
b) Dresser le tableau de variation de & c) Calculer lim
→ ∞ *
Interpréter graphiquement ce résultat.
Exercice 10
On considère un cercle C de centre X et de rayon 1 et les points - 1 , 0 et Y −1 , 0
Soit Z un point d’abscisse du segment R-YP et distinct de - et Y. La perpendiculaire à -Y passant par Z coupe le cercle C en deux point G et [
On désigne par la fonction définie sur R−1 , 1P par = 1 − √1 − 1) On pose abscisse du point Z
a)Déterminer l’intervalle à lequel appartient puis montrer que XZ = | | b)On désigne par A l’aire du triangle -G[
Montrer que pour tout ∈ P−1 , 1R on a : A =
2) a) Etudier la dérivabilité de à droite en −1 et à gauche en 1 et interpréter les résultats graphiquement b)Montrer que est dérivable sur P−1 , 1R et que ∀ ∈ P−1 , 1R on a \ = 81 1
√18 0 c)Dresser le tableau de variation de
d)Montrer que si l’aire A est maximale alors le triangle -G[ est équilatéral 3) Tracer courbe représentative de
4) Tracer Soit ] = ;G , ∈ ^/ = − 1 − 1 − = 0<
a)Montrer que ] = ∩ ′ où ′ est une courbe que l’on précisera b)Tracer ] dans le même repère que
