Nombres complexes 3ème Mathématiques

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Nombres Complexes 3ème Mathématiques

Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct , , . Exercice 1

1) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : ; et 1 + 2) Marquer les points , et d’affixes respectives : 2 + 3 , 3 + et −1 −

3) a) Montrer que est un triangle rectangle en .

b) Trouver l’affixe du point tel que soit un rectangle. 4) a) On pose = ∗ , trouver l’affixe du point .

b) Déterminer les ensembles suivants :

= !" # /|# − 2 − 3 | = |# + 1 + |& et ' = !" # /|2# − 1 + 2 | = 5&. Exercice 2

Une seule des réponses proposées est exacte.

1) Soit # un nombre complexe, le conjugué de 1 + # est :

a) 1 − # b) 1 − # c) 1 + # 2) La forme algébrique de 1 + 2 − 3 est :

a) 6 − 4 b) 6 + 4 c) −6 − 4 3) La forme algébrique de +

+ est :

a) −2 + 3 b)2 + 3 c) 2 − 3

Exercice 3

On donne les nombres complexes suivants # = 2 − 3 + 2 + 3

# = 2 − 3 − 2 + 3 # =

,+ -.-/+ _, -.-/ Montrer que # est un réel et que # et # sont des imaginaires purs Exercice 4

On donne les points et d’affixes respectives : #₀ = +₊ et #₁= −3 + 4 _, 1) Ecrire #₀ et #₁ sous la forme algébrique.

2) Placer les points et dans le repère.

3) Déterminer l’affixe du point tel que 2 soit un carré.

4) Soit le point d’affixe 4 − 2 , montrer que est un parallélogramme. Exercice 5

1) Soient les points et d’affixes respectives #₀ = 2 − 2 et #₁ = 2 + 2 Soit ∆= !" # ∈ 5/| # − 2 − 2 | = |# − 2 − 2 |&

a) Déterminer de deux manières ∆ ( On pourra poser # = 6 + 7 avec 6 et 7 deux réels ) b) Construire l’ensemble ∆.

2) On pose # = 2 + 2 cos ; ; ; ∈ <0 , >?. Qu’elle est l’ensemble des points " lorsque ; décrit <0 , >?. Exercice 6

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1) a) placer les points , , et .

b) Vérifier que est le milieu du segment < ?.

2) Montrer que le triangle est isocèle. 3) Déterminer l’affixe #_B du point pour que soit un losange.

4) a) A tout point " d’affixe # ≠ 4 + 2 on associe le point "′ d’affixe : #E= F+G

F G

Montrer que : 2"′ = _@H0H

b) Montrer que si le point " décrit la médiatrice du segment < ? alors le point "′ décrit un cercle que l’on précisera.

Exercice 7

A tout " d’affixe # ≠ on associe le point "′ d’affixe #′ =F+

F et soient les points : −1 et .

1) a) Montrer que |#′| =0H_1H

b) En déduire l’ensemble ∆ des points " # tel que

|#′| = 1

a) Pour # ≠ ; donner la forme algébrique de

#′

b) En déduire = !" # ∈ 5/#′ ∈ ℝ& et = !" # ∈ 5/#′ soit imaginaire pur&. Exercice 8

1) Placer dans le plan complexe les points , , et d’affixes respectives : ; 1 − ; 5 + et 4 + 3 2) Montrer que est un rectangle.

3) A tout point " du plan d’affixe # distinct de 1 − on associe le point "′ d’affixe #′ = _{F +}F+

Montrer que |#′| =0H_1H et en déduire que si "′ appartient au cercle trigonométrique alors " appartiendra à une droite que l’on précisera.

4) a) Montrer que #′ − # − 1 + = 2 + et que "′ × " = √5

b) Montre que si " appartient à un cercle de centre et de rayon 1 alors "′ appartient à un cercle que l’on précisera.

Exercice 9

Une seule des réponses proposées est exacte. Soit et les points d’affixes #₀ = 2 et #₁ = 3 1) L’affixe du point tel que 2 est un rectangle est :

a) #_@ = 2 − 3 b) #_@ = 3 − 2 c) #_@ = 2 + 3 2) Soit 6 ∈ ℝ ; le nombre complexe V =W_W+ a pour module :

a) W_W+ b) 1 c) XW

-W-₊ 3) Si et sont deux points symétriques par rapport à l’axe 2 , Y alors :

a) #_@ = −#₁ b) #_@ = #₁ c) #_@ = −#₁ 4) La forme trigonométrique du nombre complexe −√3 − est :

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3 a) 2 cos −Z [ + sin − Z [ b) 2 cos ,Z [ + sin ,Z [ c) 2 cos − ,Z [ + sin − ,Z [ Exercice 10

Soient les nombres complexes # = −√2 + √2 et # = −√2 − √2 1) Mettre # et # sous forme trigonométrique

2) Placer alors les points , et d’affixes respectives 2, # et # 3) Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point = ∗ 4) Calculer 2 et une mesure de \ , 2]

5) Donner alors # sous forme trigonométrique et en déduire les valeurs de cos Z et sin Z Exercice 11

1) On donne # = 1 + , # = 1 − √3 et # = 1 − a) Ecrire # , # et # sous la forme trigonométrique. b) En déduire la forme trigonométrique de V = F/-×F

-F^^ 2) a) Ecrire V sous forme algébrique.

b) En déduire les valeurs exactes de cos_Z et sin_Z

3) Résoudre dans <0 , 2>< `√2 − √6a cos 6 + `√2 + √6a sin 6 = 2 Exercice12

Répondre par Vrai ou Faux.

1) Soit # = 2 − 3 donc # = 3 − 2 . 2) Soit # = −1 − donc |# | = 16

3) Soit # un nombre complexe de module 1 et dont un argument est Z_G donc # = −1. 4) Soit # un nombre complexe de module √2 et dont un argument est [Z

G donc # est imaginaire pur.

5) Soit # un nombre complexe dont un argument est −Z_[ et ayant une partie réelle égale à 4√3 donc |#| = 8. 6) Soit # un nombre complexe donc |# + 1 − | = |# + 1 + |.

7) Soit # et #′ deux nombres complexes si |#| = |#′| donc # = #′.

8) Soit # et #′ deux nombres complexes on a toujours |# + #′| = |#| + |#′|. Exercice 13

Donner la bonne réponse

1) Soit # un nombre complexe, le conjugué de # − 1 est :

a) # + 1 b) − # − 1 c) − # + 1

2) La forme trigonométrique du nombre complexe −2 cos c + sin c est : a) <−2 , c? b) d2 ,ef c) <2 , c + >?

3) Soit # un nombre complexe d’argument Z

[ alors un argument de F F est a) −,Z [ b) − Z c) − Z

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3) Soit # un nombre complexe de module 2 alors |## + 3 | = a) √13 b) 5 c) 1 Exercice 14

On donne les points , et d’affixes respectives : #₀ = 2 + 2 et #₁= 1 − √3 et

#_@ = −√ + 2 + 2

1) a) Donner la forme trigonométrique de #₁ b) Placer les points et .

2) a) Calculer #_@ et montrer que Fg Fh

Fi Fh =

b) En déduire la forme trigonométrique de _FFg Fh i Fh

c) En déduire que le triangle est isocèle rectangle.

3) Soient les point M et N d’affixes respectifs : #_@− #₁ et #₀− #₁ a) Montrer que 2j , 2"] ≡ Z <2>?.

b) Montrer que C est l’image de A par une rotation que l’on précisera. Exercice 15

On pose \ = 1 + √3 et Y = 1 + 1) Ecrire sous la forme algébrique \ × Y.

2) a) Ecrire \ et Y sous la forme trigonométrique. b) Ecrire \ × Y sous la forme trigonométrique. 3) En déduire cos_Z et sin_Z

Exercice 16

Soient les nombres complexes # = −√2 + √2 et # = −√2 − √2 1) Mettre # et # sous forme trigonométrique

2) Placer alors les points , et d’affixes respectives 2, # et # 3) Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point l = ∗ . 4) Calculer 2 et une mesure de `\ , 2 a.

5) Donner alors #_m sous forme trigonométrique et en déduire les valeurs de cos Z et sin Z . Exercice 17

Soient les points et d’affixes respectives : #₀ = 2 − 2 et #₁= 2 + 2 1) Placer et .

2) Qu’elle est la nature du triangle 2 .

) Soit le point d’affixe #_@ = + √ 2 − 2 . a) Ecrire

#

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4) a) Ecrire

#

5) a) Comparer 2 et 2 et donner une mesure de l’angle 2 ; 2] . b) En déduire la nature du triangle 2 .

Exercice 18

Soient les points , , et d’affixes respectives 2 , 1 + √3 , −2 et −√2 + √2 1) a) Ecrire sous la forme algébrique `−√2 + √2a

b) Résoudre dans ℂ l’équation # + 4 = 0

2) a) Montrer que les points , , et appartiennent à un même cercle de centre O dont on précisera le rayon

b) Ecrire sous la forme trigonométrique les nombres #₁ , #_@ et #_B c) Placer les points , , et

3) Soit o = #_B× #₁

a) Déterminer le module et un argument de o b) Ecrire o sous la forme algébrique

c) En déduire la valeur exacte de cos ,Z et sin ,Z 4) Soit le point d’affixe #_p = #₁+ #_B

a) Déterminer une mesure de `2 , 2 a b) Montrer que 2 est un losange c) En déduire un argument de #_p 5) Déterminer les ensembles suivants

∆= !" # /|# + 2 | = |# − 2|& et q = r" # /_F+F ∈ st Exercice 19

Une seule des réponses proposées est exacte. 1) Si # = 2 − 2 1 + 3 alors :

a) su # = 2 b) # = 2 + 2 1 + 3 c) v # = −2 2) Si z est un nombre complexe dont un argument est Z+ 2w> ; w ∈ ℤ

alors un argument de 1 − # est :

a) – > + 2w> ; w ∈ ℤ b) 0 + 2w> ; w ∈ ℤ c) –Z+ 2w> ; w ∈ ℤ 3) Si # = `√3 − a − 2 alors |#| est égale à:

a) 0 b) 2√3 c) 2 − 2√3 4) Un argument de `−2√3 − 2 a est:

a) −Z b) − Z c) Z

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Exercice 20

Soient les points et d’affixes respectives : #₀ = 2 − 2 et #₁= 2 + 2 1) Placer et .

2) Qu’elle est la nature du triangle 2 .

3) Soit le point d’affixe

#

= +

2 − 2

#

b) Ecrire

+

2 − 2

#

b) En déduire cos Z et sin Z

5) a) Comparer 2 et 2 et donner une mesure de l’angle 2 ; 2] . b) En déduire la nature du triangle 2 .

Exercice 21

Soient les points − , et −4 . A tout point " d’affixe # ≠ − on associe le point "′ d’affixe #′ = _F+F G

1) a) Montrer que si " ≠ alors on a : 2" =@H_0H

b) En déduire que si "′ est sur le cercle de centre 2 et de rayon 1 alors le point " varie sur une droite que l’on déterminera.

2) a) Montrer que si # ≠ − alors #′ − # + = −3 et en déduire que : " × "′ = 3.

b) Montrer alors que si le point " appartient au cercle ζ de centre et de rayon 2 alors le point "′ appartient à un cercle ζ’ dont on précisera le centre et le rayon.

3) a) Montrer que si " ≠ et " ≠ alors \ , 2"′] ≡Z+ " , "′] <2>?

b) En déduire que si " appartient au segment < ?\! , & alors "′ appartient à une droite que l’on précisera.

Exercice 22

On donne les points et d’affixes respectives # = 1 + √3 et # = 1 − 1) Ecrire # × # sous la forme trigonométrique et en déduire cos Z et sin Z 2) A tout point " ∈ 5\! & et d’affixe #, on associe le point "′ d’affixe #′ =F F_{F F}/

- a) Déterminer et construire l’ensemble des points " tel que #′ soit imaginaire pur. b) Déterminer et construire l’ensemble ' des points " tel que #′ soit réel.

c) Déterminer l’ensemble { des points " tel que |#′| = 1.

3) Soit le point d’affixe 1. Montrer que pour tout point ∈ 5\! & , "′ × " = 1 + √3. Que décrit le point "′ lorsque " décrit le cercle de centre et de rayon 1.