Sujet 2015 et correction

Devoir commun 2014-2015 secondes générales et technologiques.

La calculatrice est autorisée et aucun autre document. Toutes les réponses seront justifiées sauf dans le QCM.

Le sujet comporte 2 pages recto-verso à rendre avec votre copie.

Bon courage…

Nom et Prénom :

Classe : Seconde ……….

Exercice 1 (3 points)

Le tableau ci-dessous indique la durée (en minutes) de connexion Internet par jour de 43 familles :

Durée en

minutes 40 60 80 120 180 200 240 300 Total

Effectif 2 9 11 7 5 2 4 3

1°) Déterminer en détaillant vos calculs la médiane de cette série.

2°) A l’aide de votre calculatrice graphique déterminer les quartiles de cette série. 3°) Représenter la boite à moustaches de cette série, unité : 0,5cm/10minutes. 4°) Compléter les phrases ci-dessous :

4 1

des familles se connectent moins de ……… minutes par jour.

25% des familles se connectent plus de …………..…. minutes par jour.

Exercice 2 (4 points)

On se propose de résoudre l’inéquation x x x x I ≥ + + 3 4 3 : ) (

1°) Quelle condition doit-on poser à x pour que cette inéquation ait un sens ? 2°) Démontrer que résoudre I(x) équivaut à résoudre : 0

3 ) 2 )( 2 ( _≥ + + − x x x .

3°) Faire en fonction x un tableau de signes de l’expression :

3 ) 2 )( 2 ( + + − x x x

4°) En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquationI(x).

Exercice 3 QCM à rendre avec votre copie (5 points)

Répondre sans justifier, en entourant la bonne réponse (une seule réponse par question)

Une bonne réponse vaut 1 point, une mauvaise réponse vaut -0.5 point, une absence de réponse vaut 0 point, si la note à ce QCM est négative elle sera rapportée à 0.

Questions Réponse A Réponse B Réponse C

1°) Soit I le milieu de [MN]. Alors _IM =_{IN MI} = _{NI NI} =_IM

2°) On considère les points A(2 ;−3), B(6 ;−1), C(7 ;2) et

D(3 ;0). Calculez les coordonnées de ABet BC .

) 2 ; 4 ( AB ) 3 ; 1 ( BC ) 4 ; 8 ( − AB ) 1 ; 14 ( − BC ) 2 ; 4 ( − AB ) 5 , 0 ; 7 ( − BC

3°) Les points A, B et C sont

alignés car BC AB=−2 alignés car ABet BC sont colinéaires non alignés.

4°) ABCD un parallélogramme car _AB=_{CD AB}+ _AD= _{AC AD= AB}

5°)

Sur la figure ci-dessus on considère le repère(A;AB;AD). Dans ce repère les coordonnées des points A, B, C et D sont :

A(0 ;0) B(0 ;1) C(1 ;1) D(1 ;0) A(1 ;1) B(1 ;0) C(-1 ;-1) D(0 ;1) A(0 ;0) B(1 ;0) C(1 ;1) D(0 ;1)

Nom et Prénom :

Classe : Seconde ……….

Exercice 4 (8 points)

On souhaite clôturer une surface rectangulaire ABCD à l’aide d’une clôture qui mesure 120 m. (voir schéma ci-contre).

On pose x= AB la largeur de ce rectangle.

On note P

( )

x le périmètre du rectangulaire ABCD et A

( )

x l’aire de ce rectangle.

Partie A géométrie et calcul d’aire (1 point)

1°) Démontrer que la longueur BC peut s’exprimer en fonction de x par BC=60−x. 2°) A quel intervalle de nombres réels appartientx ?

3°) Exprimer l’aireA

( )

x en fonction dex, développer le calcul.

Partie B variations et représentation graphiques (4,5 points)

On considère la fonction f définie sur

[

0;60

]

par : f

( )

x =−x²+60x. 1°) Démontrer que : f

( ) (

x =− x−30

)

2 +900

2°) Déterminer le maximum de f, en quelle valeur de x ce maximum est-il atteint ? 3°) Etudier les variations de f sur

]

0;30

]

4°) Etudier les variations de f sur

[

30;60

[

5°) Etablir un tableau de variations de f sur

[

0;60

]

. 6°) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x 0 10 20 30 40 50 60

Partie C lecture graphique et tableau de signe (3,5 points)

On donne, ci-dessous, la représentation graphique de la fonction f.

1°) Comparer l’expression de l’aireA

( )

x trouvée dans la partie A et l’expression de la fonction f de la

partie B.

2°) Résoudre graphiquement : f(x)=500, justifier. 3°) Résoudre graphiquement : f(x)<500 , justifier.

Correction devoir commun secondes générales

Exercice 1 :

1°) Effectif total 43. Il y a un nombre impaire de valeurs donc la médiane est la 22ème valeur : 80.

2°) Q₁ =60etQ₃ =180.

3°)

4°)

4 1

des familles se connectent moins de 60 minutes par jour. 25% des familles se connectent plus de 180 minutes par jour.

La moitié des familles se connectent plus de 80 minutes par jour.

Exercice 2 :

1°) Cette inéquation a un sens si x+3≠0 ; donc x≠−3. 2°) 0 3 3 ² 3 4 3 0 3 ) 3 ( 3 4 3 0 3 4 3 3 4 3 ≥ + + − + + ⇔ ≥ + + − + + ⇔ ≥ − + + ⇔ ≥ + + x x x x x x x x x x x x x x x x

(

)(

)

₀ 3 2 2 0 3 ² ² 2 0 3 ² 4 0 3 3 ² 4 3 ≥ + + − ⇔ ≥ + − ⇔ ≥ + − ⇔ ≥ + − − + ⇔ x x x x x x x x x x x

Donc résoudre A(x) équivaut à résoudre 0 3 ) 2 )( 2 ( _≥ + + − x x x .

3°) Tableau de signes de l’expression : 3 ) 2 )( 2 ( + + − x x x 2 0 2 = ⇔ = − x x . 2 0 2 − = ⇔ = + x x 3 0 3 − ≠ ⇔ ≠ + x x x _{-∞ - 3 -2 2 +∞} 0 2−x= + + + - 0 2+x= - - + + 0 3= + x - + + + 3 ) 2 )( 2 ( + + − x x x + - + -

4°) En déduire l’ensemble de solution de l’inéquation x x x x A ≥ + + 3 4 3 : ) ( .

]

; 3

[ [

2;2

]

: −∞ − ∪ − S

Exercice 3 :

1°) Réponse C. 2°) Réponse A. 3°) Réponse C. 4°) Réponse B. 5°) Réponse C.

Exercice 4 :

Partie A(1 point)

1. 2 2 120 60 2 120 x BC ou x x BC = − = − = −

2. x=

]

0;60

[

. Accepter intervalle fermé ou semi-fermé 3. Aire_ABCD =x

(

60−x

)

=−x²+60x.

Partie B (4,5 points)

(0,25 point ; 0,75 points ; 1,5 points ; 1 points; 0.5 point; 0,5 point) 1. Démontrons que : f

( ) (

x =− x−30

)

2 +900.

(

x−

)

+ =−

(

x − x+

)

+ =−x + x− + =−x + x= f

( )

x

− 30 2 900 ² 60 30² 900 ² 60 900 900 ² 60

2. Déterminons le maximum de f :

(

−30

)

2 ≤0 − x

(

−30

)

2 +900≤900 − x 900 ) ( ≤ ⇔ f x

Donc le maximum de f est égal à 900.

D’autre part f(30)=−

(

30−30

)

2 +900=900 donc ce maximum est atteint en x=900 3. Etudions les variations de f sur

]

0;30

]

Soient a et b deux réels de

]

0;30

]

avec a < b. 0 30 30 30 30 0<a<b≤ ⇔− <a− <b− ≤

(

2 6

) (

² 2 6

)

² 0 900> − > − ≥

⇔ a b L’ordre car la fonction carré est décroissante sur ]−∞;0[ ou inverse l’ordre… ⇔−900<−

(

a−30

)

²<−

(

b−30

)

²≤0

(

30

)

² 900

(

30

)

² 900 0 900 900 900+ <− − + <− − + ≤ + − ⇔ a b

( ) ( )

900 0< f a < f b ≤ .

L’ordre est conservé donc f est croissante sur

]

0;30

]

4. Etudions les variations de f sur

[

30;60

[

Soient a et b deux réels de

[

30;60

[

avec a < b. 30 30 30 0 60 30<a<b≤ ⇔ <a− <b− ≤ .

(

30

) (

² 2 30

)

² 900 0< − < − ≤ ⇔ a ⇔0>−

(

a−30

)

²>−

(

2−30

)

²≥−900

(

30

)

² 900

(

2 30

)

² 900 0 900>− − + >− − + ≥ ⇔ a

( ) ( )

0 900> f a > f b ≥

L’ordre est inversé donc f est décroissante sur

[

30;60

[

5. Tableau de variations de f .

6. Remplir le tableau de valeurs en annexes

x 0 10 20 30 40 50 60

f(x) 0 500 800 900 800 500 0

Partie C lecture graphique et tableau de signe (2.75 points)

(0.25 point ; 1 point ; 1,5 points ; 0,5 points) On donne, en annexe, la représentation graphique de la fonction f.

1. A(x)= f(x)

2. f(x)=500 ; S:

{

10;50

}

ou x=10 et x=50se sont les abscisses des points dont l’ordonnée est égale à 500.

3. f(x)<500 S:

]

0;10

[ ]

∪ 50;60

[