Approximation par projections et simulations de Monte-Carlo des équations différentielles stochastiques rétrogrades.
220
0
0
Texte intégral
(2)
(3)
(4) "!
(5) #%$'&)( *"+-,.#/*10324* &5$607*98:$60<;=( * &)>@?@ACB6+-* D FE HGI%EJ KLEJ MNOP
(6) MN QE RTSVUWYX8)Z\[^]_[a`b`cS@0dSVegf<h. i. jkjkl=monqpYr -pYr. sut@pvmxw. kYs t@pvmwk. ks t@pvmwk. j.syl. q|. jkl=m{z}|~t@pvmxwk. mw1t/|6. kpT l=|w1t=pv|Yv|. sl%vm. q|. 6t=m~ksx6t@p q|. l t/l@myxl@sxq|. N :C @H!EN3 -DKL ¡!. ¢£EV¤¦¥c "§¨"© ª¬«3O3© ¯ D "°d±g²"O ³¨"©´ °cK6K}EN ¶µ ¨"§¬°c ¸ E¹º!=«O"I=O °7¯P° ¯PE!
(7) FE6¨"©"¢O ¯° µ" ¥TO3µ° ¸ ¥7
(8) -¥d³¨ °7³ »"E£V ¬¼O ³´¦¯. |t. c¥ !N!
(9) ®¢ P D D"!" P D·
(10) 3!" ³3E ³ E 3 P D·
(11) 3!".
(12) .
(13) -kr . ª "" EJ P!" EJ KLEJ '! MNQE ! N VD QEJ MN ¤ E! _°7 ¸ ³
(14) QE ¬ D· ¬ KH EJ
(15) !I@·¤¦ª¬E
(16) ±¶3°7 ¸ ³ N QE !QE
(17) !KH K6\! K6V! EJ C) QE D ¶HKLEJ KLEJ MNQED c EPJE EJ H7 FE D
(18)
(19) 3! V!
(20) c!
(21) E
(22) QE EJ K6 EN !
(23) ! ! E K6¬ 3 LDED E
(24) VD EJ¬
(25) K6 QE V
(26) ¬ ¬' KL E
(27) K63!¬ QE ¤ EJKL· cd6 QEJ7!! D EJ :6K6 h !dQEJ7! aD· c·d6
(28) KH M !5 K:
(29) FE !LI@·¤¦ª¬E Y¯3¡ E " FE-D D}!
(30) 6D E K6:EJ MN!3 3! 3 aD /!
(31) D QE EK6 ±Y: :! : · E )' K6· EJN: EH! ^E LJEJ ) K:
(32) EJ KLN) QE EK6 c!QE
(33) d d!
(34) c
(35) D 6EJ EJ K6N 7K6V! D- K6 :E 4K5}!QE
(36) 5
(37) /! KL- E ¯5EQE : E®D D=!-D YE K6" !H# E !P!
(38) D
(39) MN!
(40) "EJ MN V¤ QE EK6 MNP·K6 ¬ ! 3! $ PE¡
(41) : KL QE % E DE K6HEJ D£E"!°7 ¸ ³ ¤ & D
(42) MN v KL·N!"K6V! QE ¬ KL
(43) K6P!" D£E }! "
(44) EK6 DE P' QED Q¯K6 ¬ E K6MN"!QED E DE# '
(45)
(46) $ ®
(47) E!PD MV
(48) !®D£E D \!:I@E ECV Q!PV !)DN D:
(49) ( Q MND E ¬!QE ! =
(50) K6 QEJ °c) Q !E
(51) QE ¡NKL MV
(52) <
(53)
(54) !D /! EP!. aD· D /E ! = E K6%!QE/! = EJ $ \
(55) /! EJ ! d EPJE EJ H KH E ¬!c QE EJKL· c!# E K6¬E Q5!JE ! K6 ¤ MNK6 3! 3 · EJ !QE
(56) 3 E:! KL¡ QE Q¯3
(57) 3 J E 4K5- 6!6 K6 * QQEJD 6 £EJ 56 6!
(58) 5KL ·V! !5!
(59) D · EJ
(60) ¡ :DE¡! °7 ¸ ³x & D MN cDKL
(61) ¡D H L!QE
(62) ¡ FE KLP QE uf-,/.10]aS324.gG MNQE '!
(63) T N 6VD QE MV
(64) - E! KLEJ KLEJ MN5QE¤ D $
(65) KL ·V!!I=N·¤ ª¬EJ ) E MV
(66) ¤º QE EKL · MN $ / E E !% aD· $ +.
(67)
(68) i. .6t/l%sy~gt. !£EJ =)EJ KLEJ = cED E !® VD QE D! T FEJ YMNQE ¤ ^§ ¸ ° ¡ @ $ ¤ E!I@ ¤ ª¬E @K6·V! \OP)§ ¸ ° E LE@a 7V D FE L QQE
(69) D FEJ K}EK}E D ¬ ¬E/ KL EJN
(70) D:!¡6D N3E K6 a ¬ E KLEJ ´ 'E QEJ P EJ'E K 6 N !L v QE EJKL· GVE¡ KL 3a
(71) D dQE¬EJ! I@N ¤ ª¬EJ KH FEJ ! ! a 7
(72) h M E 4' K O7 7!
(73) ! J E o7KLC · E
(74)
(75) PEJ K c QE EKL ¤ 3}ED ·HE ®EDD ED -K6V! - Q E K %ELD!® QE $ ¼¡V
(76) 3! ¡
(77)
(78) !
(79) $ < :D MN bV¤ QE EK6 DP E D$ ´ E- ! QE $ E : E K -5D£EJ6 & D·!§ ¸ °
(80) D E " -
(81)
(82) D ) 5 OKL D£E/
(83) $ ¼ EJ : QE3 / QE D E ¬DE$ < T ¤ P5! ¡· 3
(84) !$ QN- LI%E E£V -D£EJ D ¬D MV
(85) $ ´ L3VK6 D£EJ Q QE
(86)
(87) D 7D D vQE aD· d L ! 7 cE K :E D£E $ ¬ 7 KH EJ
(88) JE FEJ H 3EJ
(89) K QE EK6 HKL
(90) D£EJ :E !QEJP
(91) !!
(92) !- LPD!/ E V ¡ "E 4K £E QQEJD E
(93) EK6 ¡EJ! H / ¡!
(94) D · EJ ®K6·¤
(95) V! a & D·!=§ ¸ P°oE!'K6 DE 45DK6 QE
(96) K9)PP !/ }P ! QE . @S )f<h .@Gb§¬EJD¬EJ !VD QEJ DL! T FEJ 7MVEJ QED FE 7KLEJ
(97) KLEJ D$\I@N·¤ ª¬E 5K6V!Q¤º QE EK6 DP E D$
(98)
(99) £E ¬ $ aD· /QE $.
(100)
(101) |r. |ol@~pv|r. |w1t@. ¢ FEJ P! E !% KL D °7K6KLEV bµ" 3%
(102) D£E!
(103) K6EL QE ¤ DbE®DK6 b: KLE MN) ) N E
(104) dMN'
(105) H )MN dE/ KL5DEJD $ ¶ £EJD)!5 ECE D 6!6
(106) MN 7N KL d!!
(107) MN ¬! \
(108) MN E'! KLKLN$ ª · <! dTED ¢ K6 D $ E KLN ¯3 D 3°7 T²¡E <! E£
(109) L } K EDD c!QE} FE¤ EJ E MN3
(110) 7D 7! D ac 7 N E :! FEP c MNQEJ
(111) ! ¬VD QE MV
(112) 3 · E!
(113) $ ¢ E 3ED E D @!= E£JE !g°7 xECD@»"E£ 5¼EJ 7MN5@ K6 D ) D QE K6N!
(114) E)D) <E
(115) D ¬!P'
(116)
(117) ! MN T K KL ! £E D· ¡ECD"£E
(118) D /! E
(119) TMN" ¬/ N }NKL MV
(120) ¬ E 4¤ C + + MV
(121) ¶ K NED @ V ¶!QE
(122) 3 E: QEJ "NKL MV
(123) ¢g K6 D gD QE K6N % EJ ¥c ¥7 % ¸ EJ¹ !u«PEJK}E!
(124) ! EC }EJDD
(125) ®!% =D·% ¢% 6 L
(126) D %MN¢£EV¤¦¥c @§ D QEJ! ¯PEJ! FE5¨ !E¡·PK6 MN¡¥c D£E !@EJ 3EDD
(127) !% ^E QE "!
(128) ®¢
(129) I@ D !/ MN 5!
(130) 6 FE-
(131) MN6I%EJ
(132) KLEJ MV
(133) ¤ ³3D D 6!}ª ·JE b)¢ E £EJD
(134) E KL ¡ ! ) E !)D· H!QEP EKH ED KH E!
(135) )D·) 4¤ MN I@ D E KLK:
(136) }! ªI=O ¥ a E!KL D" ! Q E -¢
(137) ' @ ¤ D EJ DHE£D: MN " EJ !H E} QEJ )V
(138) KL MN)" · H £EJ P·. ! ¸ V JE Q E
(139) !
(140) !-KL¡MN ¡!5 NN ¶ E EJ )MN E · }!( a MN ! EN E E 6 E !% _¯3 D FEJ$ N¥ EJ D ¢ NOPK}E ª FEJ! )E QI@V Q¥b$ <²¡EJ )E Q E ·3 QE D EN!
(141) ¡!
(142) ¡ E£JE QED I@ D v$ EJ K6NE ' ! ´ H ¬!"³
(143) DN Q¢E¤ ¥7
(144) d D E K6N3 !
(145) D
(146) 3MN
(147) 3EC
(148) 3 = QEJ E \
(149) "K6 K6 D KLN% !'KL5 E ^EJKL "K6"EJKL P
(150) ®
(151) "E !¡D·¡ c° )QK6 D \´ E 6G<E
(152) ¶D) E E EKLE DKLK6
(153) D ·PEJEL QE D =
(154) Q E E bEKLE E # QI@ D #.
(155)
(156) s.v|. AW C, h f . 0,. q|. r. s t@pl=|. [afW. .
(157) !#"$
(158) % &' )(+* &,# .-'+*/(+01&'2 */-' 354. 36()+ 7# + +*8*9 1:)"*;# 01&'+*/)(<) )-'+* == . & U ¶ h S?>cZ Y`cf-, Z@.S.5S3,6UQ]BA<fh[ , Z\egS ¬ª EJ! ¡3 J P D
(159) =!¡ E 4K5* ¯EJ ¬3V TJ
(160) KLNE ± E K5. *
(161) ,CU`cSGIH b[ .0hKJ , [ .U), [ fTW SVW ,CSVe` . P D · EJ /=K6 ! X P D · EJ /!
(162) °7 ¸ ³ °c !¡! D E ¥c !¡# MNQE / · EJ!¡!
(163) D ·'. F. *
(164) ,CU`cS F H U`b`\h f#NY[_egU, [^fW ¶S 2ºfW 0, [afW P Q /!¡ # E KLE °c DKLK6 % !5 · E . . . LD. . O+. . O?R. M. ST !#" 1-!UV(W
(165) % &'X +*Y(+01&2# '*.-'!Z[(+ \# + +*X*9 ]4 :)"*9#0\&+*/)(<) )-'+* ^_ . . 9M. .. *
(166) ,CU`cSP8H eQJ , Z\f ¶S ¶S + fW ,CSX& Uh]af °c DKLK6 %!5 · E ¡ ª KLK6 E 3 K}E EJ ¬! 3
(167) N L. DC 9 E. #-S .0h[a`, [afW \S®]¦2 U]`A<f<h[ , Z\egS ¯3
(168) ¡!
(169) D · EJ -/KL !¡ # °d ¸ ³ . )C E. E.
(170) . PD
(171) = E ±YVDE EJ '!¡# MNQEJ - E! ) § !" !
(172) " QEJ E: VD£E E ) °c !
(173) QE FEH VDE EJ . W¶UQ] .S ¶S]¦24UQ]BAf<h[ ,CZbeS ¯3 E
(174) !: # EQEJ V"!
(175) EJ 4
(176) K6 °c EDPD!
(177) ª V 6D 3!¡ D ¯ KL QD· !¡QE1 ° KLN °c ¥c QE E /!
(178) I%E EJ -! K6! ) I%E EJ -! T 1,k,M ) I%E EJ -! T 2,k,M ) I%E EJ -! T 3,k,M ) I%E EJ -! T 4,k,l,M ) I%E EJ -! T 5,k,l,M ) I%E EJ -! P([AM ]c ) . F . E E E. E E. E M. +. uUf<h U), [afW ¶S]¦24SVh h S\h50feeg[ .S \UW .L]¦24UQ]`A<f<h[ , Z\eS I%E EJ -!¡ E: ! P N °c
(179) z N,R t © E -!3KLE EJ
(180)
(181) V ) °c K}E -!
(182) 3K:
(183) !¡D
(184) ) dE EJ - KH E
(185) !3 E EK6 ) °c 3DKL
(186) . M. M . M M M M. M . R?R M M. +. k. *'N,CSVW .£[afW . P V OQE ¡!¡ # E K6 E3 D K6
(187)
(188)
(189) 3 K6 E L. . C C C C E C. ?. £ . +* 1#+ * '* =[ ,CS. . 2=. S \S 0fW
(190) SNhKASVW0S ¶UQW L . ]aS 0 U-. ¶hJ[
(191) SNh}]_[^WJNUQ[ah S ª¬EJ! ¡3 J P !¡DN D . F O. ... C. . . k. . . .
(192) . ³3 EJ
(193)
(194) D E P3
(195) E N K6 !
(196) FE ¥c !/
(197) K6¡´´´ . ]BA<f<hJ[ ,CZ\egS hKJ J0Z\[^S .. F. . . . ,}U`b`cSV] ¶S .50Z¶U` [ ,Ch S : . `bhKJ 0 J \SVW &)Z¶f[BN ¶S . 2 fTW0, [afTW. ¶S\U-.S «V D ª ! 7 ¹ ¥b V K6 QE . .,. . . . ?O.
(198) . 9LDR. ,/.. O+. V . bh f LWb[aSVW . U +N¶[FX. ,/.. £[_e \] ,CUWJNS ¶S.5`\Uh UQeQ@ ,Ch S . °c KLEJ -!¡ #
(199) ! E
(200) K}E ' T E:QE >& \ 3 ¡
(201) - )E£D¡! T N v!" E bPE£D E:QEJ> & bPE£D E:QEJ> & > b ED ! aD· !¡ \ 3 °7 ¸ ³ & D . ¡Uh[^U),C[^fW. L. .. C C C E C C M . & feg`\Uh UQ[ .fW ¶S g. . U`\`bh f 0 Z\S g . U
(202) S0f . UW . [_W0hKJVegSVW ]^[aUQ[ah S . . Cf 0 Z\U-., [¶S / . hKJ C , h f?A<hU \S. .. ±Y¡DE! ¡ NV ± E K6 °c !¡ VDE EJ °c ! E - KH
(203) FEJ ¬3
(204) D· " °c !¡! D E ³3 E C 1,2 ³3 FE
(205) EJ '!NV
(206) P # ED ª D . (+*& #2#*/ 1&V(0\&+*. E C . `cf \h®]^S . J ¶U), [^fW. b[JNh SW , a[ S]^] S. . F. O? ODC. .. E E KEJ . O. & feg`\Uh UQ[ .fW \S 5 . UQ]`A<f<h[ ,CZbeS . ¶ S.5`\Uh , ^[ S : . AHS 6 , ACA. C)O. . $:`, a[ fW .:UeQJNhJ[ 0UQ[^W\S . \
(207) !5DV6D N ) I@ V!!¡ QE EJ . ?. . .
(208) . . C. . I@ V!!¡ $ E EJ \
(209) !5DV6D NJE FE
(210) I@ V!!¡ QE EJ I@ V!!¡ $ E EJ ±Y 3E£D¡ FEHKL ·V!"!±¶ E <¤ ¸ D E ± ¸ . *'NYSVeg` ]aS . W¶UQW0N[aSNh . E I@V!
(211) %^ED "K}E D ¡!¡ D D E ª K:
(212) QEJ -!¡D£E ECD! N v!
(213) ¡E-! N · E ¨
(214)
(215) E EJ MV
(216) E ¨
(217)
(218) EKL D£E ·3 &
(219) D!¡ FEH! KL . . W\W\S9NYS . O k°cMNQEJ
(220) ! T VD QE MN E! O °
(221) D ·3 D O ¥c · 3!°7 ¸ ³ O °cMNQEJ
(222) ! T VD QE MN E! & D O ´ E D FE MV
(223) * O ³$ =¤º QE EKL · MN. O ¯KH !¡D
(224) 1 O ª V 6D 3! D FEJK633!
(225) K6 ª O ¬! D
(226) D # KLEJ K6 ! DE ! FE(aD·¤ /!¡ $ O ´ $ E !«V !
(227) O OQE ¡K}EJ D . . E. M M. M . M . R? M M M M E F . M M M £. C C £.
(228) w1t/l@m kk~t@pvmxw.
(229) . -' (+ (. ª }/E% · ' TD· /!QEJH LD£E! '! D E5ª a }D
(230) /°c D D L!
(231) Q E
(232) D ! E !6!QEJ7 ¬! E K6 ¸ ´¦¯P°c´ ª ¸ ¸ ´ KH EJ :L¯P°c
(233) MN\D !
(234) # ´ ¤ a K}EJ /·"ª¬EJ D
(235) ¸ D QMN 3!QE
(236) ¡! QE K6"¨ ¸ ´¦³´ ¸ _¨" K6 EJ ¸ ´ KH¤ FE o³´ MN% ¸ EJ MN :!@ FE !
(237) V o³D D ®·'P K6N$ ¸ L = FEJ E FE:HE5 DE! HEJª N !HI@EJ K}E MN3OP
(238) MN 3! °cD ¥b ND MN E P ¥c a ¯3 D °c ²¡E \"°cKLKLEN µ"$ » ECV ¼gE ´ ( !6¨ ¸ ´¦³´ ¸ <E6E " V Y!¡ EH D °7 ±Y
(239) E !D·
(240) · E 3! ·! EQE V 3!K6 V!3V
(241) KL MN3! JEJ E -!
(242) QEJ K6 EJ -!¡ FE QQED $ O\D-#
(243) '!:KLE D H!'# D D b°d u6EJKL !%E :ED D E:D N)* !® :!: V!
(244) )!' V -
(245)
(246) !' H HDKL
(247) !} D $ ¨ ¸ ´¦³´ ¸ EL T PK6 @!)! · !
(248) 3! JE EJ "!# %$'& (! ! QEJ 6! FE¡! D 6DKLK6 D FEJ · !
(249) 7!
(250) L!} MN" ! ! QEJ 6!
(251) KH
(252) P!N ¬!¡°7 3E- MN ! E EJ }!
(253) /D ¬!" D D # !=DKH E QD QE Q# ³3E P K6N" ) D )! DN EJ"
(254) a P QE K6 ² ¸ M !- :EK6 H ) a KLE ¸ 5MN / - a
(255) ' D· D !
(256) !
(257) !QEN'! } E =!% D D /D J % }K}EJ D @!
(258) ±¶E NE P!¡# "! !QEP!
(259) 3D
(260) !¡ V!
(261) D "QEJ " E EN DN QE !@ / J!# D D "·3JE6D @DN EJ QQED E
(262) 6MN E) < QE£ D E K6KL3! E N
(263) 5 !# D· D !
(264) QEJ @D E = FE a' !
(265) !QE3 ¡DN EJ$ QOP
(266) # ¶ ¡ / JPE K6" Q D 3! V!D ®!: N
(267) )EJ K6 PK}E ¡ MN P QE P FE}KLK6)
(268) ) (D !6#
(269) @EJD · ± K6 3D E MN D
(270) \! ) @! ED QEJ *!)+-,%, !6KLEJ T !6 K \± N
(271) LMN dED LD6D EJ 5 EJ E "!6
(272) D
(273) E-K6KL (S − K) T GY# :D 66K6KL:! E !MV
(274) L T. +.
(275) ´¦¯³¨" ©Pª ´ ¨¡¯ - 3!¡ # D D P T S ! QEJ " E a! K ±Yc
(276) ¤ EJDN7!
(277) 7D Ec
(278) T
(279) ^
(280) c K}E D
(281) c D MN H c! D· D P a ¬E !EVD % # !L! K}EJ $ Tª ¦¤ ED NN !. a 3! T DPECD 3K}EJ D QQE
(282) D 3D E MN3DK6KL" K}E D ED
(283) 3 EJ 5! ©3!
(284) d! T Dd MN3# 5 3!3KLE ¬D E !d D
(285) ^
(286) K6 E 3!QE
(287) ¡#
(288) ®! ® ¡!5# D· D v¥b " "DKL :!5D
(289) D E MN!
(290) ¡ K63!¡ !: FEHK6 Q K6V! " G 5D
(291) H QE H K6 ª ¸ ¬ ± ¸ ¬ H!: )!'KLV! E g! g * !% E !L!
(292) ' VD5! ¨ ¤ © VD §¬E '!QEJ § E b E
(293)
(294) E d!E KLNd! MN T ·¤º!KLE
(295) ! !3K6V! c
(296) : DK6KL $ aD· ®¤º £EJ ! VD¡! ¨" ¤¦©3 VD Y E
(297) §¬°7«¯P "EV¤ d
(298) !3K6V! #
(299) :!
(300) L : !¡# E !¬!3 VD
(301) !3±¶ ·N V°c) Q -
(302) D QE ¬ KL
(303) P M v ¬# ! !"KLV! !:D QEJ K6N!" $ KL ± N V!D· ' · ! E
(304) "!
(305) % ¬ KL¬
(306) JE !DN EJ¬ V¤ N°7} · V E¡KL ·V! ! Q
(307) QEJ § FEDH ¸ D !QE dE D a!QEJ § ¸ E K6·-!®JEJ }
(308)
(309) D ® ' ED· !-#
(310) E £E } E
(311) K6
(312) KLN g L }!DL QEJ)!
(313) }E
(314) $ b±¶HEJ
(315) N EJ !! @ ) !6 /@D
(316) EJN@ a
(317) ¡E
(318) ¤ QE £E* a# <!P 3JE EJ
(319) 3NP MN E KLN3 QE & DQEJ !%D
(320) !¬ ED YMN VJE
(321) !¬KLE D EJ QE£ }! #
(322) !PE KLEJ
(323) T ±YcE
(324) $ d! · KL 7¡ 5!#
(325) P
(326) FED !
(327) D!QE
(328) FE¡ 6!L!$ MN E ( $ !" & % + E £E V6!3 E"!QEJ 0 T KLEJ !3
(329) MN b! PD
(330) V P MN)MNH QE£ P T T# MN)!)! !¡# E N( !:# ED !¡#
(331) OP
(332) #
(333)
(334)
(335) /DE v " QEC JE (S − K) !
(336) D
(337) ! EJD ! EN t N ! JE ) 3 V EJMNT +E St
(338) ! P#
(339) 5!3 MN <
(340) P EJ 3!30P·¬! ED QE !¡# ED· S E V0 +. Z. φdS = (ST − K)+. _ . R
(341) } & D·QE !6 a
(342) MN !@ E/KLEJ :!L
(343) φdS MN dN)
(344)
(345) MV
(346) QE L EJ $ 6! ED QEJ)·)!6N ^ N ' QE φ ¡·) QEJ & D·QE ¬!" EJD S ^ D# V E) KH
(347) EJ '!" EJ N¬ ED P $ ´ 3 E !/
(348) V !3MV v ¡= V ·3
(349) ¡ EJ φ MV
(350) YEJ aN FEH QE ^E D£E¤ 6!} QEC @!
(351) P
(352) ±YD
(353) ! 07! DP K6V! EJ 5!#
(354) ! S ! # E !
(355) 3!'KL
(356) K6¬
(357) E
(358)
(359) D !
(360) D E N E EJ$ φ ^DKLK6 QE K6 ! ! ED S !L! D
(361) 3 E6 ! ED ·
(362) ! S KL
(363) D V ±Y MN)#
(364) = D % ¤ EDNP!P · =
(365) P!P! D¤ V $ vD·LK6 V! : ! 6 6 E/ QEJ E _) / Y# v H!
(366) . .
(367) ª¨"¯3°c»P° °±YO «° ¸ ° E6 QEPE
(368) V
(369) MN MN \EL
(370) 3%!QEJN D EJ
(371) # Q´ ¶ EK6
(372) d QEdD EJ ! FE¡ QEJ V 3·JEEC ¬!3
(373) P E$ 3MN K6
(374) K5 MV
(375) -K6 'H F E a K6}! E QED ´ }JE®!
(376) D' ) !
(377) _ KLE ¬
(378) @ K6"!/ µ. inf R V0 +. φ,V0. Z. φdS − (ST − K)+. ¶. R !D ¡ FE QQEJD MN ¶KL # DE VD V0 + φdS − (ST − K)+ !L!
(379) (S − K) · E L! a V + R φdS · R K6
(380) ! MN)EJVD HT EJ% F+E QQEJD $ T¨ %DK6 !%K6 0 = DNV QED 3! E:}G °7 N c c!7K}EJ D c :
(381) dEV
(382)
(383) c ¬ MN Ec! EPN ! D E
(384) c
(385) ! K6
(386) V! KL·EN!6K6 K5 " : MN "E=
(387) FEJ QQE
(388) D N " QE£ !¡ - FE: EJ "!. . ) * # X+ . ):)"'(. :D
(389) V <. ª L¦V '!
(390) } QEJ HDV}) 6 KLL!LJEJ E KLE D L DK6 D£E / "K6L QEJ6 MN 5 QEJ ^E K6N: - QE£ ! = c=KH E
(391) N ·! 6! D !6E EJ !QE
(392) dDE$ b©3L K6 5 LE= · D 3!P E
(393) D£EJ ¸ !
(394) ¬
(395) ' V ·¬
(396) P EJ$ φ MN 0. V0 +. Z. φdS ≥ (ST − K)+ p.s.. E N
(397) ! ¬¬ T !P d KL
(398) 7')EKLN ! (S − K)
(399) ª !
(400) PJEJ E }E) ·! P QE K6 P!E °7² M #
(401) ±YP KLTMN +
(402) ) ! D·"KLE PN¬ - · QE E E' £E '!" }!
(403) -
(404) ¡K}EJ D % QQEJD \©3 E EJ !6 E-
(405) D£EJ E/ · 6D ! L!QEJ ± M M =
(406) ! 'D D
(407) D a 5 !gKLE K6 6 E E =MN V + R φdS ≥. (ST − K)+. 0. E
(408) 7D cN7 · !
(409) T dDK6KL¬!
(410) 7D 7K6 ! D£E
(411) a QE c K6 ¸ D M = P! 3E5D
(412) D "!:KL K6 ¡. inf E V0 +. φ,V0. Z. ¢2 φdS − (ST − K)+ .. ª K6K6cD¶D ¶D ! N\!
(413) 7 FE¬KK6 K}EJ D£EJ¶¡ FE E QQEJ c!¡ a ! D )
(414) HE% QE£P D£E% ¡P )a <DPD P · E " a 7 QE d
(415) KL
(416) ¥cQE c}D ! E E¡ KL Lp _E£D p > 2 c! !
(417) )¦¤ D£EJ =!
(418) % QE£ Tª D \ K6·P!
(419) DK6
(420) ! E5! K6 · ¡! .
(421) ´¦¯³¨" ©Pª ´ ¨¡¯ KL}5!-
(422) ! 5!QE£JE E- : 6 KL EJN$ ±Y'!
(423) 5D D @EJ K6 K5 ¯ inf E¯{(ST − K)+ − V0 −. φ,V0. Z. !. ¯p φdS}+ ¯ .. ¨ ®
(424) E KLND E5JE EJ = QE 3 @!
(425) ! T D T±Y !
(426) " D)a N !H FE) QEJ } JE:G
(427) T!= #
(428) }D " FE) KL MN " ¬
(429) V0 a 5 QE V H ^EJ ) ¸
(430) 5MN/ }!
(431) LEJ H
(432) aD !
(433) H© v E" D£TE" E QQEJD T V − (S − K) ·¡!QE" E 0 T T + ¢ ¡ ¢ <´ ±Y¡!
(434) E6 JEJ 3D! =D£E3@DKL E EJN E¡U (V E U (0) T − (ST − K)+ ) D E/ g
(435) !6!
(436) }#
(437) d E= K6 6MNQE 6)
(438) != FE/D!
(439) ±Y
(440) /!
(441) ! T D !
(442) #
(443) = EJ ! Q
(444) \DK6K6¡ ¡
(445) 3 K6 E V \MN P! E N !H
(446) ! ¡#
(447) ¸ v E aD· -!
(448) P!-!
(449) 3 FE 0aD
(450) N D KL"E5 · ¡ ! " QE K6 ¡!QE ³°7²¡ # °c) Q )E
(451) ¡P! 3D D % !6KL K6 3
(452) ®
(453) FEJ' QQE
(454) D
(455) QEJ R DKLK6 V + φdS − (S − K) MN Q & · ¬ EJc! FE E ¬! 5!:!
(456)
(457) 70 FE"! 3!V T!3# +
(458) K}EJ c
(459) 3 ! E QED d VDE Vª ·3 ! E- 5!
(460) 6!QE ¸ M c ¡E a! :!E ¸ D M ( a ¸ D Q
(461) c "5 ·V ! EJ T" ª ! D ! E VD
(462) MV
(463) )D E5 3 VD ·P ! D }# !
(464) d±Y=!
(465) }Eg! · K6 L
(466) % @! N !QEJ (t ) k 0≤k≤N −1 MN 0 = t < t < · · · < t < T g 5! H EJ
(467) !@D QE) E@ EJ$ ¶ 0 1 N −1 ! KLV!
(468) Q : 6
(469) :ED· MV ! 7±Y/!
(470) LE EJ 5!
(471) =K}EJ S · EJ!}KL
(472) $ °c' · V ! E MNP' a T $ E ! (S − K) ¸ } a ( !# E t N! EN! QE EDK6¬E£JE T N !T KL + QE E'E V EJ MV
(473) N5−1 QE HK6 E"MN5 )
(474) ! "JE- EJD S MN # φ t c©3 a HD6!
(475) MNQE :! · KL $ a
(476) } T E! E t a dL E 6E 5! N ·N < d K6 Q S −S VT = V t + φt S ± ) a K}E %!¡ !
(477) ¡! : ^EJ ) D
(478) ®!
(479) : a
(480) ¡K6V! QE ) Q EJ (F ) ¥b ) E!
(481) } 5 ^E )MN- L! 5' 6E D ) t 0≤t≤T
(482) ' # a
(483)
(484) ! S ! )P! D
(485) ! K6N % KL MN V φ c! JE FE
(486) E £EJ KL E c E E ! F ª K6KL !
(487) t Qt E K6 K6 # DE 7N V (S − K) 6
(488) K6 t t JE !
(489) ! oE E 6E EJ (V , φT ) TMN 3KL + K6 N6# DE V N −1+ φ S −S − t t t t S V±Y3D 3MNQE!
(490) EJ MN3 ¬E!
(491)
(492) 3!QEJDPE
(493) VD DK6KLKL ! DE $ (ST − K)+ OP v ! t D D !:KL K6 N −1. N −1. T. N −1. N −1. tN −1. tN −1. N −1. N −1. N −1. T. N −1. N −1. N −1. N −1. ¶2 µ ST − StN −1 − (ST − K)+ E V +φ StN −1. N −1. tN −1. tN −1. _ . . Q E KL c ¡JE E E £E !LD£E L E
(494) 5 F ¤ K6 EJ $ \¥7
(495) $\ t \
(496) !
(497) E bMN V) a c t JE V Et Y NE
(498) E3D d 7 Na−2 N −1. N −1. . tN −1.
(499) ª¨"¯3°c»P° °±YO «° ¸ °
(500) KLE MV
(501) 7 KL· E%EJ !LKL K6 MNL
(502) ) E= V! [t , T ] I K6 KL"MN t G< Y E5! KL @ a "
(503) N JEN −1 [t , t ] N −1 MN E V t bOP \ 7JE%! K6
(504) FE=JEJ )!} a
(505) N V−2 N −1 t N −1 t 3 5 E . J E . " ! N KLN
(506) ! ¡ . ¡ N M KL K6 t φ N −1. N −2. N −2. tN −2. _ . ¶2 µ StN −1 − StN −2 − VtN −1 E V +φ StN −2. . QE KL d E E )E EJ !'DE } EJ 6 F ¤ K6 E
(507) ±YL!
(508) : H E
(509) K6N
(510) MN !/# E 0 !
(511) K6
(512) (V t, φ ) V
(513) E · 5D ! 0 0 0 DKLK6" EHE !
(514) ¡#
(515) N −2. . . <( #" 1- 1&V(0\&
(516) % &' :D . *#2# . -&. ) *#0\& 01&- )2#0\&. ª ! "EJ VD ECE¬ ·V- EJN } d ¬!JE !¬
(517) @K}EJ D DKL $ v E
(518) !6E£ 3DK6KLN3K6 ¡@ FEJDNK6 MNK6 E5K6 ·¤
(519) V! ¨ $ 7°d xECE PK6NL @# E D ¥7§ ¸ 3MN 3 E 5!@ ! @ KL. _) · _) E
(520) "KL ·V! !I@·¤¦ª¬E
(521) ±Y" D !" FE)K6
(522) V!" " EN¡G ¨ = KH M E D ! ·
(523) /! S MN - (S m ). 1≤m≤M ¨ @D D
(524) !5 ! _ <±Y3 DN3 E E 3EJ £E V φ ¨ %DK6 !®E K6PMN) QED)!P DNPP @E)PMN)# t =JEL!t D D
(525) E K}EJ -!
(526) V φ !QE@ QEJD !
(527) ! KL Q Q\ t ! E ! HJE"
(528) T d
(529) K6 ¬KLE t V 5E57 5:JE"D D
(530) V · φ DKLK6%!
(531) aD }!
(532) K6
(533) }! S ± QEJD!% 5 a
(534) D t}-Dt JE 6· D "!D5! Et! a
(535) D " p p ¨ 0,N −1 (·) 1,N −1 (·) JE/D D !=!
(536) K6
(537) ¡! E KLEJ ! V · φ QE ¡ N K6 !
(538) FEJ H! DV 6D N α α \© a D)DV 6D t )! · tK6 ! E V ≈ 0,N −1 1,N −1 t . ! ·. KL α0,N −1 .p0,N −1 (St ) φt ≈ α1,N −1 .p1,N −1 (St ) (α0,N −1 , α1,N −1 ) DKLK6" KL K6 !¡ E:MNQE N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. N −1. ¶ M µ STm − StmN −1 2 1 X m m m (ST − K)+ − α0 .p0,N −1 (StN −1 ) − α1 .p1,N −1 (StN −1 ) . M m=1 StmN −1. ^. ). ¨ H ^ED KLNb # EQEJ E£D _) 7GJ5EP K6 FEJD # E
(539) D¬ QE ¬K6 ¬ E D· !:I@·¤¦ª¬E }! S EL K6 ED # QED)!PE E PEJ £E M ¤ºKL E Y E Y Y QEJD¶D v! \ QEJ p ·. F (S ) p (S ) tN −1. KE. 0,N −1. tN −1. 1,N −1. tN −1.
(540) ´¦¯³¨" ©Pª ´ ¨¡¯ ©
(541) a 3! . (α0,N −1 , α1,N −1 ). ! K6
(542) $-! KL . (α0,N −2 , α1,N −2 ). DKLK6P ¬K6
(543) K5 4¤. ¶ M µ StmN −1 − StmN −2 2 1 X m m m α0,N −1 .p0,N −1 (StN −1 ) − α0 .p0,N −2 (StN −2 ) − α1 .p1,N −2 (StN −2 ) M m=1 StmN −2. _ . . . . . EJQE P!5 _) ª }KL ·V!
(544) } '!E ¥d§ ¸
Documents relatifs
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des
