HAL Id: tel-00599446
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00599446
Submitted on 10 Jun 2011
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Sur les déformations isomonodromiques et la stabilité
des équations différentielles
Bassem Ben Hamed
To cite this version:
Bassem Ben Hamed. Sur les déformations isomonodromiques et la stabilité des équations
différen-tielles. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III; Faculté des Sciences de Sfax,
2006. Français. �tel-00599446�
❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❢❛① ❯♥✐✈❡rs✐té P❛✉❧ ❙❛❜❛t✐❡r ❋❛❝✉❧té ❞❡s ❙❝✐❡♥❝❡s ❞❡ ❙❢❛① ❚♦✉❧♦✉s❡ ■■■
❚❤ès❡
Prés❡♥té❡ ♣♦✉r ❧✬♦❜t❡♥t✐♦♥ ❞✉❉♦❝t♦r❛t ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s
❊♥ ❝♦t✉t❡❧❧❡ ❡♥tr❡ ▲✬❯♥✐✈❡rs✐té P❛✉❧ ❙❛❜❛t✐❡r✱ ❚♦✉❧♦✉s❡ ■■■ ❊t ▲✬❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❢❛①✱ ❋❛❝✉❧té ❞❡s ❙❝✐❡♥❝❡s ❞❡ ❙❢❛① ■♥t✐t✉❧é❡❙✉r ❧❡s ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥s ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐q✉❡s
❡t ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s
P❛r❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞
❙♦✉t❡♥✉❡ ❧❡ ✷✷ ❞é❝❡♠❜r❡ ✷✵✵✻ ❞❡✈❛♥t ❧❡ ❥✉r② ❝♦♠♣♦sé ❞❡ ❍❛♠❛❞✐ ❏❡r❜✐ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❢❛① Prés✐❞❡♥t ❨✉r✐ ❋❡❞♦r♦✈ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❇❛r❝❡❧♦♥❡ ❘❛♣♣♦rt❡✉r ❉r✐ss ▼❡❤❞✐ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ P♦✐t✐❡rs ❘❛♣♣♦rt❡✉r ▲✉❜♦♠✐r ●❛✈r✐❧♦✈ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❚♦✉❧♦✉s❡ ■■■ ❉✐r❡❝t❡✉r ▼♦❤❛♠❡❞ ❆❧✐ ❍❛♠♠❛♠✐ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❢❛① ❉✐r❡❝t❡✉r ❊♠❛♥✉❡❧ P❛✉❧ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❚♦✉❧♦✉s❡ ■■■ ❊①❛♠✐♥❛t❡✉r ▼♦❤❛♠❡❞ ❈❤❛❛❜❛♥❡ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❢❛① ❊①❛♠✐♥❛t❡✉r ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶❉é❞✐❝❛❝❡s
❏❡ ❞é❞✐❡ ❝❡ tr❛✈❛✐❧ ❆ ♠♦♥ ♣èr❡✱ ❡♥ té♠♦✐♥❛❣❡ ❞❡ ♠❛ ♣r♦❢♦♥❞❡ ❣r❛t✐t✉❞❡ ♣♦✉r s❛ ♣❛t✐❡♥❝❡ ❡t ♣♦✉r t♦✉s ❧❡s s❛❝r✐✜❝❡s q✉✬✐❧ ❛ ❝♦♥s❡♥t✐ à ♠♦♥ é❣❛r❞✱ ❆ ♠❡s s♦❡✉rs✱ ♣♦✉r ❧❡✉r ❝♦♥t✐♥✉❡❧ ❛♠♦✉r ❡t ❧❡✉r ❛✛❡❝t✐♦♥ s❛♥s ❧❡sq✉❡❧s ❥❡ ♥❡ s❛✉r❛✐s ✈✐✈r❡✱ ❆ ♠❛ ❣r❛♥❞✲♠èr❡✱ à ♠❛ t❛♥t❡ ❡t à ♠❛ ❜❡❧❧❡ ♠èr❡✱ q✉✐ ♥✬♦♥t ❝❡ssé ❞❡ ♠✬❡♥t♦✉r♥❡r ♣❛r ❧❡✉r ❛✛❡❝t✐♦♥✱ ❆ ♠♦♥ ❜❡❛✉ ❢rèr❡✱ ❡♥ r❡❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ ❞❡ s♦♥ ✐♥t❡r♠✐♥❛❜❧❡ ❡♥❝♦✉r❛❣❡♠❡♥t✱ ❛✐♥s✐ q✉✬❛ ♠❡s ❞❡✉① ♣❡t✐ts ♥❡✈❡✉①✱ ❆ t♦✉s ♠❡s ❝♦✉s✐♥s ❡t ❝♦✉s✐♥❡s ♣♦✉r ❧❡✉r s♦✉t✐❡♥ ♠♦r❛❧✱ ❆ t♦✉s ♠❡s ❛♠✐s✱ ♠❡s ❝♦❧❧è❣✉❡s ❡t ❝❡✉① q✉✐ ♠✬❛✐♠❡♥t ❡t q✉✐ ❝r♦✐❡♥t ❡♥ ♠♦✐✱ ❊t ❡♥✜♥✱ ❛✉① ♠é♠♦✐r❡s ❞❡ ♠❛ ♠èr❡ ❡t ❞❡ ♠♦♥ ❣r❛♥❞✲♣èr❡✳ ❇❛ss❡♠ ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✸❘❡♠❡r❝✐❡♠❡♥ts
❈❡ ♥✬❡st ♣❛s ♣❛r tr❛❞✐t✐♦♥ q✉❡ ❝❡tt❡ ♣❛❣❡ ✜❣✉r❡ ❛✉ ♣ré❛♠❜✉❧❡ ❞❡ ❝❡ ♠é♠♦✐r❡✱ ♠❛✐s ❝✬❡st ♣❧✉tôt ✉♥ ❞❡✈♦✐r ♠♦r❛❧ ❡t ✉♥❡ r❡❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ s✐♥❝èr❡ q✉✐ ♠❡ ♣♦✉ss❡ à ❧❛ ❢❛✐r❡✳ ❏❡ s❡r❛✐s ❡♥ ❡✛❡t ✐♥❣r❛t s✐ ❥❡ ♥✬❡①♣r✐♠❡ ♣❛s ♠❛ r❡❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ ❡t ♠❛ ❣r❛t✐t✉❞❡ à t♦✉s ❝❡✉①✱ ❞❡ ♣rès ♦✉ ❞❡ ❧♦✐♥✱ ♠✬♦♥t ❢❛❝✐❧✐té ♠❛ tâ❝❤❡ ❡t ♠✬♦♥t ♣❡r♠✐s ❞❡ ♠❡♥❡r à ❜✐❡♥ ❝❡ tr❛✈❛✐❧✳ ❏❡ t✐❡♥s t♦✉t ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡♠❡♥t à ❡①♣r✐♠❡r t♦✉t❡ ♠❛ ❣r❛t✐t✉❞❡ ❡t ♠❡s ✈✐❢s r❡♠❡r❝✐❡♠❡♥ts à ▼♦♥s✐❡✉r ▲✉❜♦♠✐r ●❛✈r✐❧♦✈✱ Pr♦❢❡ss❡✉r à ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té ❚♦✉❧♦✉s❡ ■■■ ❡t à ▼♦♥s✐❡✉r ▼♦❤❛♠❡❞ ❆❧✐ ❍❛♠♠❛♠✐✱ Pr♦❢❡ss❡✉r à ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❢❛① q✉✐ ♠✬♦♥t ❛❝❝♦r❞é ❧❡✉r ❝♦♥✜❛♥❝❡ ❡♥ ♠❡ ♣r♦♣♦s❛♥t ❝❡ s✉❥❡t ❞❡ t❤ès❡ ❡t ♣♦✉r ❧❡✉r ❛✐❞❡ ❡t s♦✉t❡♥❛♥❝❡ ❞✉r❛♥t ❧❛ ré❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ tr❛✈❛✐❧✳ ❏❡ ❧❡s ♣r✐s ❞❡ ❝r♦✐r❡ à ♠❛ r❡s♣❡❝t✉❡✉s❡ ❡st✐♠❡ ❡t ♠❛ s✐♥❝èr❡ r❡❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ ♣♦✉r ❧❡✉rs ❝♦♥s❡✐❧s q✉✐ ♠✬♦♥t été très ♣ré❝✐❡✉① ❡t ✐♥❞✐s♣❡♥s❛❜❧❡s✳ ❏❡ s✉✐s très ❤♦♥♦ré q✉❡ ▼♦♥s✐❡✉r ❨✉r✐ ❋❡❞♦r♦✈✱ Pr♦❢❡ss❡✉r à ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❇❛r❝❡❧♦♥❡ ❡t ▼♦♥s✐❡✉r ❉r✐ss ▼❛❤❞✐✱ Pr♦❢❡ss❡✉r à ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ P♦✐t✐❡rs ❛✐❡♥t ❛❝❝❡♣té ❞❡ r❛♣♣♦rt❡r ♠♦♥ tr❛✈❛✐❧✳ ❏❡ t✐❡♥s ❛✉ss✐ à ❛ss✉r❡r ❞❡ ♠❛ r❡❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ ▼♦♥s✐❡✉r ❍❛♠❛❞✐ ❏❡r❜✐✱ ▼❛îtr❡ ❞❡ ❈♦♥❢ér❡♥❝❡s à ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❢❛①✱ q✉✐ ❛ ❛❝❝❡♣té ❞❡ ❥✉❣❡r ♠♦♥ tr❛✈❛✐❧✳ ❏❡ s✉✐s ❛✉ss✐ très r❡❝♦♥♥❛✐ss❛♥t à ▼♦♥s✐❡✉r ❊♠♠❛♥✉❡❧ P❛✉❧✱ Pr♦❢❡ss❡✉r à ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té ❚♦✉❧♦✉s❡ ■■■✱ ❞✬❛✈♦✐r ❛❝❝❡♣té ❞✬❡①❛♠✐♥❡r ♠♦♥ tr❛✈❛✐❧✳ ❈✬❡st ❛✈❡❝ s②♠♣❛t❤✐❡ q✉❡ ❥❡ s♦✉❤❛✐t❡ té♠♦✐❣♥❡r ♠❛ r❡❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ à ▼♦♥s✐❡✉r ▼♦❤❛♠❡❞ ❈❤❛❛❜❛♥❡✱ ▼❛îtr❡ ❞❡ ❈♦♥❢ér❡♥❝❡s à ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❢❛① ♣♦✉r ❧❛ ♣❡rt✐♥❡♥❝❡ ❞❡ s❡s r❡♠❛rq✉❡s ❡t s❡s ❝♦♥s❡✐❧s✳ ❏✬❛✐♠❡r❛✐s ❡①♣r✐♠❡r t♦✉t ♠❡s r❡♠❡r❝✐♠❡♥ts ❡♥✈❡rs ♠❡s ❛♠✐s✳ ❏❡ ♣❡♥s❡ ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡♠❡♥t à ▼♦❤❛♠❡❞ ❚♠❛r✱ ❘✐❛❞❤ ❑♦s♦♥t✐♥✐✱ ❆♥✐s ❇❡♥ ❆♠♠❛r✱ ▼❛❤❞✐ ❑♠❛❦❤❡♠✱ ▼♦♥❞❤❡r ❙♠❛♦✉✐✱ ❆♠❡r ❈❤❛❦r♦✉♥✱ ❙❛❧♠è♥❡ ●❛r❣♦✉r✐✳ ❏✬❛✐♠❡r❛✐s ❡①♣r✐♠❡r ❛✉ss✐ t♦✉t❡ ♠❛ ❣r❛t✐t✉❞❡ ❡♥✈❡rs ❧❡s ♠❡♠❜r❡s ❞❡ ❧✬❯♥✐té ❞❡ r❡❝❤❡r❝❤❡ ❙t❛❜✐❧té ❡t ❈♦♥trô❧❡ ❞❡s ❙②stè♠❡s ❡t ❞✉ ▲❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❊♠✐❧❡ P✐❝❛r❞ ♣♦✉r ❧❡✉r s②♠♣❛t❤✐❡✳ ■❧s ♦♥t r❡♥❞✉ très ❛❣ré❛❜❧❡s ❝❡s tr♦✐s ❛♥♥é❡s✳ ❏❡ ♣❡♥s❡ ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡♠❡♥t à ❆❜❞❛❧❧❛❤ ❇❡♥❆❜❞❛❧❧❛❤✱ ▼♦❤s❡♥ ❉❧❡❧❛ ❡t ●✉✐❧❧❛✉♠❡ ❘♦♥❞✳ ❇✐❡♥ sûr ❥❡ s♦✉❤❛✐t❡ ❛✉ss✐ r❡♠❡r❝✐❡r t♦✉t ♠❡s ❝♦❧❧è❣✉❡s à ❧❛ ❋❛❝✉❧té ❞❡s ❙❝✐❡♥❝❡s ❞❡ ●❛❜ès ❡t à ❧✬■♥st✐t✉t Pré♣❛r❛t♦✐r❡ ❛✉① ❊t✉❞❡s ❞✬■♥❣é♥✐❡✉rs ❞❡ ❙❢❛①✳ ❯♥ ❣r❛♥❞ ♠❡r❝✐ à ▼❡❤❞✐ ▲♦✉❛t✐✱ ❇❡❧❣❛❝❡♠ ●❤r✐❜✐ ❡t ▼♦❤❛♠❡❞ ❈❤❛❢❢❛r✳ ❏❡ ✈♦✉❞r❛✐s ❡①♣r✐♠❡r ❛✉ss✐ ♠♦♥ ♣r♦❢♦♥❞ r❡♠❡r❝✐❡♠❡♥t à t♦✉s ♠❡s ❡♥s❡✐❣♥❛♥ts ❞❡ ❧❛ ❋❛❝✉❧té ❞❡s ❙❝✐❡♥❝❡s ❞❡ ❙❢❛① ✭❚✉♥✐s✐❡✮ ❡t ❞❡ ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té P❛✉❧ ❙❛❜❛t✐❡r à ❚♦✉❧♦✉s❡ ✭❋r❛♥❝❡✮✱ q✉✐ ♠✬♦♥t ♣r♦❞✐❣✉é ❧❡ s❛✈♦✐r ❡t ♠✬♦♥t ♣❡r♠✐s ❞✬❛rr✐✈❡r à ❝❡ st❛❞❡ ❡t à t♦✉s ♠❡s ❛♠✐s q✉✐ ♠✬♦♥t ❛♣♣♦rté ❧❡✉rs s♦✉t✐❡♥ ♣♦✉r ❧❛ ré❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ ♠é♠♦✐r❡ ❞❛♥s ❞✬❡①❝❡❧❧❡♥t❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✺❚❛❜❧❡ ❞❡s ♠❛t✐èr❡s
✶ ❙♦♠❡ ❜❛s✐❝ ❢❛❝ts ♦♥ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s ✶✺ ✶✳✶ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✷ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❱■ ❛♥❞ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷ ❋❛♠✐❧✐❡s ♦❢ P❛✐♥❧❡✈é ❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛✈✐♥❣ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ✷✺ ✷✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✷✳✷ ❋❛♠✐❧✐❡s ♦❢ P❛✐♥❧❡✈é ❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛✈✐♥❣ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✷✳✶ ❚❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ S4 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✷✳✷✳✷ ❚❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ t②♣❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ Γβ→ C¶1✐♥ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ♣r❡✲✐♠❛❣❡ ♦❢ t = 0, 1, ∞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ✷✳✷✳✸ ❚❤❡ ❝❛s❡ β 6∈ W ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✷✳✷✳✹ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β1= β2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ✷✳✷✳✺ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β0= β2✱ β1= β3 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✷✳✷✳✻ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β0= β1= β2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✷✳✷✳✼ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β0= β1= β2= β3 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✷✳✷✳✽ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β3= 0✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✷✳✾ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β3= 0, β0= β2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✷✳✶✵ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β3= 0, β0= β1= β2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✷✳✶✶ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β3= 0, β2= 0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✷✳✶✷ ❚❤❡ ❢❛❝❡ β3= 0, β2= 0, β0= β1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✷✳✸ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ PVIα ❛♥❞ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤✐❡ ✹✼ ✸ ❙t❛❜✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s s②stè♠❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s à r❡t❛r❞ ✺✸ ✸✳✶ ❊q✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡❧❧❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ✸✳✷ ❙t❛❜✐❧✐té ❞❡s s②stè♠❡s à r❡t❛r❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ✸✳✷✳✶ ❈♦♥❝❡♣t ❞❡ st❛❜✐❧✐té ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ✸✳✷✳✷ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡ ▲②❛♣✉♥♦✈✲❑r❛s♦✈s❦✐✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺ ✸✳✷✳✸ ❚❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❘❛③✉♠✐❦❤✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✸✳✸ ❙t❛❜✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s s②stè♠❡s à r❡t❛r❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼ ✸✳✸✳✶ ❈❧❛ss❡ ❞❡ s②stè♠❡s à r❡t❛r❞ ❞❛♥s ❧❛ ❝♦♠♠❛♥❞❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽ ✸✳✸✳✷ ❈❧❛ss❡ ❞❡ s②stè♠❡s à r❡t❛r❞ ❞❛♥s ❧✬ét❛t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶ ✸✳✸✳✸ ❈❧❛ss❡ ❞❡ s②stè♠❡s à r❡t❛r❞ ❞❛♥s ❧✬ét❛t ❡t ❧❛ ❝♦♠♠❛♥❞❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✵ ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✼❚❆❇▲❊ ❉❊❙ ▼❆❚■➮❘❊❙ ✹ ❆❜s♦❧✉t❡ ❙t❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❉❡s✐❣♥ ♦❢ ❖❜s❡r✈❡r✲❇❛s❡❞ ❈♦♥tr♦❧❧❡r ❢♦r ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❚✐♠❡✲❉❡❧❛② ❙②st❡♠s ✼✸ ✹✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺ ✹✳✷ ❆❜s♦❧✉t❡ st❛❜✐❧✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✻ ✹✳✸ ❙t❛❜✐❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❞❡❧❛② s②st❡♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✽ ✹✳✹ ❖❜s❡r✈❡r✲❜❛s❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❞❡❧❛② s②st❡♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵ ✹✳✹✳✶ ❙②st❡♠ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵ ✹✳✹✳✷ ❖❜s❡r✈❡r ❞❡s✐❣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶ ✹✳✹✳✸ ❖❜s❡r✈❡r✲❜❛s❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ❢❡❡❞❜❛❝❦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸ ✹✳✺ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽ ✹✳✻ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✾ ❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤✐❡ ✾✶ ✽
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
▲✬✉♥ ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ✐♠♣♦rt❛♥ts ❞✬❛♥❛❧②s❡ ❞❡♣✉✐s ❧❡ 19è♠❡ s✐è❝❧❡ ét❛✐t ❞❡ ❝❤❡r❝❤❡r ❞❡ ✧❜♦♥♥❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s tr❛♥✲ s❝❡♥❞❛♥t❡s✧ ❞é✜♥✐❡s ♣❛r ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s✳ ❙✐ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❡st ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡✱ ♦♥ ♥❡ ♣❡✉t ♣❛s ❡♥ ❣é♥ér❛❧ ♣ré✈♦✐r ❧❛ ♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s s✐♥❣✉❧❛r✐tés✳ ❯♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡ ❡st ❞✐t❡ s❛♥s s✐♥❣✉❧❛r✐tés ♠♦❜✐❧❡s✱ s✐ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♥❡ ♣♦ssè❞❡ ♣❛s ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞❡ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥s ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❞❡s s✐♥❣✉❧❛r✐tés ❡ss❡♥t✐❡❧❧❡s✮ q✉✐ ❝❤❛♥❣❡♥t ❞❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ❧♦rsq✉✬♦♥ ✈❛r✐❡ ❧❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♥✐t✐❛❧❡s✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❢♦♠✉❧é ❝♦♠♠❡ s✉✐t ✿ ❚r♦✉✈❡r t♦✉t❡s ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s ♥❡ ♣♦ssè❞❛♥t ♣❛s ❞❡ s✐♥❣✉❧❛r✐tés ♠♦❜✐❧❡s✳ ❖♥ ❞✐t ❞❛♥s ❝❡ ❝❛s q✉✬✉♥❡ t❡❧❧❡ éq✉❛t✐♦♥ s❛t✐s❢❛✐t ❧❛ ♣r♦♣r✐été ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ♦ù ❧✬♦r❞r❡ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ n = 1✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛ été ét✉❞✐é ❡t rés♦❧✉ ♣❛r ▲✳ ❋✉❝❤s ❡t ❍✳ P♦✐♥❝❛ré✳ ❚♦✉t❡ éq✉❛t✐♦♥ s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ❧❛ ♣r♦♣r✐été ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣♦✉rr❛ êtr❡ tr❛♥s❢♦r♠é❡✱ ♣❛r ✉♥ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❤♦❧♦✲ ♠♦r♣❤❡s ❡♥ t ❡t ❢r❛❝t✐♦♥♥❡❧ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥ ❧❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥✱ ❡♥ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❲❡✐❡rstr❛ss ℘♦✉ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❘✐❝❝❛t✐✳ ❊♠✐❧❡ P✐❝❛r❞ ❛ ❡①♣r✐♠é ❞❛♥s s❛ ❧❡ttr❡ ❡♥✈♦②é❡ à ▼✐tt❛❣✲▲❡✤❡r ❡♥ ✶✽✾✸✱ s♦♥ ♦♣✐♥✐♦♥ ♣❡ss✐♠✐st❡ ❞❡ tr♦✉✈❡r ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s ❞✬♦r❞r❡ n ≥ 2 ❡t s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ❧❛ ♣r♦♣r✐été ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é✳ ❆✐♥s✐✱ P✳ P❛✐♥❧❡✈é ❛ ❛tt❛q✉é ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛✈❡❝ ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❡t ❛ ❞é♠♦♥tré q✉❡ ❞❡ t❡❧❧❡s éq✉❛t✐♦♥s s❛t✐s❢❛✐s❛♥t s❛ ♣r♦♣r✐été s❡ ré❞✉✐s❡♥t✱ ♣❛r ❞❡s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝♦♥✈❡♥❛❜❧❡s à ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s s✬✐♥té❣r❛♥t ♣❛r q✉❛❞r❛t✉r❡✱ à ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s✱ ♦✉ ❛ ❧❛ ❢❛♠❡✉s❡ ❧✐st❡ ❞❡ s❡s s✐① éq✉❛t✐♦♥s✳ ❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❛ s✐①✐è♠❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é ✭P❱■α✮ d2λ dt2 = 1 2( 1 λ+ 1 λ − 1 + 1 λ − t)( dλ dt) 2 − (1t + 1 t − 1 + 1 λ − t) dλ dt ✭✵✳✶✮ +λ(λ − 1)(λ − t) t2(t − 1)2 [α0− α1 t λ2+ α2 t − 1 (λ − 1)2+ ( 1 2− α3) t(t − 1) (λ − t)2]. ♣❛r❛♠étr✐sé❡ ♣❛r α = (α0, α1, α2, α3) ∈ C4✳ ❇✐❡♥ q✉❡ t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ P❱■α✱ ♣♦✉r ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❣é♥ér✐q✉❡s αi✱ s♦✐t tr❛♥s❝❡♥❞❛♥t❡ ✭❡❧❧❡ ❞♦♥♥❡ ♠ê♠❡ ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ tr❛♥s❝❡♥❞❛♥t❡✮✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ très ❣r❛♥❞ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s q✉✐ s♦♥t ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ❡♥ t✳ ▲❡✉r ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥✱ à ❧✬❡①❝❡♣t✐♦♥ ❞✉ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r α0= 1 2(2µ − 1) 2, α 1= α2= α3= 0, µ ∈ R ✭✈♦✐r ✭✶✾✱ ❉✉❜r♦✈✐♥✱ ▼❛③③♦❝❝♦✮ ❡t ✭✺✷✱ ▼❛③③♦❝❝♦✮✮✱ r❡st❡ ❡♥❝♦r❡ ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ♦✉✈❡rt ✭✈♦✐r ✭✺✵✱ ▼❛♥✐♥✮✮✳ ❉❛♥s ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ♣rés❡♥t❡r ✉♥ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛✲ t✐♦♥ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s✳ ❈❡ ❝❛s s✐♠♣❧❡ s❡ ♣r♦❞✉✐t q✉❛♥❞ ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞♦♥♥é❡ s❛t✐s❢❛✐t ❝❤❛q✉❡ ♠❡♠❜r❡ ❞✬✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧❡ ❞❡ P❱■α✳ ❯♥❡ t❡❧❧❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❞❡ P❱■α ❝♦♥t❡♥❛♥t ❛✉ ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✾■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ♠♦✐♥s ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞✐st✐♥❝ts α′ ❡t α′′✱ s❡r❛ ♥♦té❡ {P❱■ α}α✳ ❙✐ ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ s❛t✐s❢❛✐t à ❧❛ ❢♦✐s ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s P❱■α′ ❡t P❱■α′′ ❛❧♦rs ❡❧❧❡ s❛t✐s❢❛✐t t♦✉t❡ ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s {P❱■α}α❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t❡ à ❧❛ ❞r♦✐t❡ ❛✣♥❡ ❝♦♥t❡♥❛♥t α′ ❡t α′′✳ ❆✐♥s✐✱ t♦✉t❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧❡ ❞é✜♥✐❡ ❝♦♠♠❡ ♣ré❝é❞❡♥t❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t à ✉♥ ♣❧❛♥ ❛✣♥❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s C4{α}✳ ❉❛♥s ❝❡tt❡ ♣❛rt✐❡✱ ♥♦✉s ❞♦♥♥♦♥s ✉♥❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡ t♦✉s ❝❡s ❡s♣❛❝❡s ❛✣♥❡s ❛✈❡❝ ❧❡✉rs s♦❧✉t✐♦♥s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ❛ss♦❝✐é❡s✳ ❖♥ ♣♦✉rr❛ ❝♦♥st❛t❡r q✉❡ ❧❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❝♦ï♥❝✐❞❡♥t ❛✈❡❝ ❧❡s s♦✲ ❧✉t✐♦♥s ♦❜t❡♥✉❡s ré❝❡♠♠❡♥t ♣❛r ❉♦r❛♥ ✭✈♦✐r ✭✶✽✮✮ q✉✐ ❛ ✉t✐❧✐sé ❞❡s ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥s ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s ❛✈❡❝ q✉❛tr❡s ✜❜r❡s s✐♥❣✉❧✐èr❡s ❡t ❧❡✉rs éq✉❛t✐♦♥s ❞❡ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❛ss♦❝✐é❡s✳ P❛r ❝♦♥tr❡✱ ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ❞❡ ♥♦tr❡ t❤é♦rè♠❡ ♥✬✉t✐❧✐s❡ ♣❛s ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❞❡ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s✳ ❉❛♥s ❧❛ s✉✐t❡✱ ♦♥ ✈❛ ❡ss❛②❡r ❞❡ ❞♦♥♥❡r ✉♥❡ ❡①♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♣❛rt✐❡❧❧❡ ❞❡ ❝❡tt❡ ❝♦ï♥❝✐❞❡♥❝❡✳ ❘❛♣♣❡❧♦♥s q✉❡ ❝❤❛q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ (λ(t), α) ❞✬✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ P❱■α ❞♦♥♥é❡ ❡st ❣♦✉✈❡r♥é❡ ♣❛r ✉♥❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐q✉❡ ❞✬✉♥ 2 × 2 s②stè♠❡ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐é ♣♦ssé❞❛♥t q✉❛tr❡ ♣♦✐♥ts s✐♥❣✉❧✐❡rs✳ ◆♦✉s ❞✐s♦♥s q✉✬✉♥❡ t❡❧❧❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡st ❣é♦♠étr✐q✉❡ s✐ ❧❡ s②stè♠❡ ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❡st ❡♥t✐èr❡♠❡♥t ❝♦♥st✐t✉té ❞✬✐♥té❣r❛❧❡s ❆❜é❧✐❡♥♥❡s✱ q✉✐ ❞é♣❡♥❞❡♥t ❛❧❣é❜r✐q✉❡♠❡♥t ❞✉ ♣❛r❛♠ètr❡ ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❯♥❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣é♦♠étr✐q✉❡ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❋✉❝❤s✐❡♥ ❡st ✐s♦♠♦♥♦❞♦r♠✐q✉❡ ❡t ❞é✜♥✐t ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ (λ(t), α) ❞✬✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ P❱■α❛♣♣r♦♣r✐é❡✳ ◗✉❛♥❞ ❝❡❝✐ ❡st ✈r❛✐✱ ♥♦✉s ❞✐s♦♥s q✉❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ (λ(t), α) ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ P❱■α ❡st ❞✬♦r✐❣✐♥❡ ❣é♦♠étr✐q✉❡✳ ◆♦✉s ♠♦♥tr♦♥s q✉❡ ❧♦rsq✉❡ λ(t) s❛t✐s❢❛✐t ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s P❱■α✱ ❛❧♦rs ✐❧s ❡①✐st❡♥t α′, α′′ ❛♣♣❛rt❡♥❛♥t à ❧❛ ♠ê♠❡ ❢❛♠✐❧❧❡✱ t❡❧❧❡s q✉❡ (λ(t), α′)❡t (λ(t), α′′)s♦♥t ❞✬♦r✐❣✐♥❡ ❣é♦♠étr✐q✉❡✳ ▲❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡ ♣♦rt❡ s✉r ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❡t ❧❛ st❛❜✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s s②stè♠❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s à r❡t❛r❞✳ ❈❡s s②stè♠❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s à r❡t❛r❞ ❝♦♥st✐t✉❡♥t ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❜❛s✐q✉❡s ❞❡ ♣❤é♥♦♠è♥❡s ré❡❧s ❝♦♠♠❡ ❧❡s ré❛❝t❡✉rs ♥✉❝❧é❛✐r❡s✱ ❧❡s s②stè♠❡s ❞✬✐♥❣é♥✐❡r✐❡ ❝❤✐♠✐q✉❡s✱ ❧❡s s②stè♠❡s ❜✐♦❧♦❣✐q✉❡s✱ ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s ❞❡ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ❡t ❜✐❡♥ ❞✬❛✉tr❡s✳ ■❧s s♦♥t s♦✉✈❡♥t ✉♥❡ s♦✉r❝❡ ❞✬✐♥st❛❜✐❧✐té ❡t ❞❡ ❞é❣r❛❞❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❞❛♥s ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ❝♦♥trô❧❡✳ P❡♥❞❛♥t ❝❡s ❞❡r♥✐èr❡s ❞é❝❡♥♥✐❡s✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ st❛❜✐❧✐té ❞❡s s②stè♠❡s ❧✐♥é❛✐r❡s à r❡t❛r❞ ❛ été s♦✉♠✐s à ♣❧✉s✐❡✉rs r❡❝❤❡r❝❤❡s ❝♦♥s✐❞ér❛❜❧❡s✳ ❇❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ rés✉❧t❛ts s✐❣♥✐✜❛♥ts ♦♥t été r❛♣♣♦rté ❞❛♥s ❧❛ ❧✐ttér❛t✉r❡✳ ▲❡ ❧❡❝t❡✉r ♣♦✉rr❛ ❝♦♥s✉❧t❡r ❧❛ ré❢ér❡♥❝❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ ✭✷✶✱ ●✉ ❛♥❞ ❛❧✳✮✳ ❉❛♥s ❧❡ tr♦✐s✐è♠❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ♦♥ ✈❛ ♣rés❡♥t❡r q✉❡❧q✉❡s ❞é✜♥✐t✐♦♥s ❡t ♥♦t✐♦♥s ❞❡ ❜❛s❡ s✉r ❧❡s s②stè♠❡s à r❡t❛r❞✳ ▲❡ ♠♦❞è❧❡ ❝❤♦✐s✐ s❡r❛ ♣rés❡♥té✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧✬❡①✐st❡♥❝❡ ❡t ❧✬✉♥✐❝✐té ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ♣♦✉r ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡❧❧❡s ✭❊❉❋❘✮ ❛ss♦❝✐é❡s✳ ❖♥ ✐♥tr♦❞✉✐t ❧❡s ♠ét❤♦❞❡s ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❞❡ ▲②❛♣✉♥♦✈✲❑r❛s♦✈s❦✐✐ ❡t ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❘❛③✉♠✐❦❤✐♥✱ q✉✐ ❞♦♥♥❡♥t ❞❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s s✉✣s❛♥t❡s ♣♦✉r ❛ss✉r❡r ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❞❡ ❝❡s s②stè♠❡s à r❡t❛r❞✳ P✉✐s✱ ♦♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ❞❡s ❝❧❛ss❡s ❞❡ s②stè♠❡s ✐♥❝❡rt❛✐♥s à r❡t❛r❞ ❞❛♥s ❧✬ét❛t ❡t ❞❛♥s ❧❛ ❝♦♠♠❛♥❞❡✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❞❡s t❡❝❤♥✐q✉❡s ❞❡ ▲②❛♣✉♥♦✈✱ ♦♥ ♣r♦♣♦s❡ ❞❡s ❝❧❛ss❡s ❞❡ ❝♦♥trô❧❡✉rs ❝♦♥t✐♥✉s✱ q✉✐ ❛ss✉r❡♥t ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❣❧♦❜❛❧❡ ✉♥✐❢♦r♠❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡ ❞❡ ❝❡s s②stè♠❡s ❡♥ ❜♦✉❝❧❡ ❢❡r♠é❡✱ ❡♥ ✐♠♣♦s❛♥t q✉❡❧q✉❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛ss♦rt✐❡s s✉r ❧❡s ✐♥❝❡rt✐t✉❞❡s✳ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ▲❛②♣✉♥♦✈ q✉❛❞r❛t✐q✉❡ ❞✉ s②stè♠❡ ♥♦♠✐♥❛❧ st❛❜❧❡ ✭❝✬❡st✲à✲❞✐r❡✱ ❧❡ s②stè♠❡ ❛ss♦s✐é ❡♥ ❧✬❛❜s❡♥❝❡ ❞❡s ✐♥❝❡rt✐t✉❞❡s ❡t ❞✉ r❡t❛r❞✮ ❡st ✉t✐❧✐sé ❝♦♠♠❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❞✉ s②stè♠❡ ❣❧♦❜❛❧✳ ❉❡s ❡①❡♠♣❧❡s ♥✉♠ér✐q✉❡s s❡r♦♥t ❞♦♥♥és ♣♦✉r ✐❧❧✉str❡r ❧✬❛♣♣❧✐❝❛❜✐❧✐té ❞❡s rés✉❧t❛ts ♦❜t❡♥✉s✳ ❉❛♥s ❧❡ q✉❛tr✐è♠❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ♦♥ ✈❛ ét✉❞✐❡r ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❛❜s♦❧✉❡ ❞✬✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ❞❡ s②stè♠❡s à r❡t❛r❞ ❞❡ t②♣❡ ❞❡ ▲✉r✐❡✳ ❈❡tt❡ ❝❧❛ss❡ ❡st ♣rés❡♥té❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ✐♥t❡r❝♦♥♥❡①✐♦♥ ❞✉ ❢❡❡❞✲❜❛❝❦ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❞②♥❛♠✐q✉❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡t ❞✬✉♥❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té st❛✐s❢❛✐s❛♥t ❧❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❞✉ s❡❝t❡✉r✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t q✉❡❧q✉❡s ✐♥é❣❛❧✐tés ✐♥té❣r❛❧❡s✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ s✉✣s❛♥t❡ ❞❡ st❛❜✐❧✐té ❛❜s♦❧✉❡ ♣rés❡♥té❡ s♦✉s ❢♦r♠❡ ❞✬✐♥é❣❛❧✐tés ♠❛tr✐❝✐❡❧❧❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ✭▲▼■✮✳ ❈❡tt❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛♠é❧✐♦r❡ ❝❡❧❧❡ ❞♦♥♥é❡ ❞❛♥s ✭✷✻✱ ❍❛♥✮✳ P❛r ❧❛ s✉✐t❡✱ ♦♥ ✉t✐❧✐s❡r❛ ❝❡tt❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♣♦✉r ✶✵
■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ❝♦♥str✉✐r❡ ✉♥ ❝♦♥trô❧❡✉r ❜❛sé s✉r ✉♥ ♦❜s❡r✈❛t❡✉r ❞é♣❡♥❞❛♥t ❞✉ r❡t❛r❞✱ t❡❧ q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡ ❡rr❡✉r s♦✐t ♣rés❡♥té ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ✐♥t❡r❝♦♥♥❡①✐♦♥ ❞✉ ❢❡❡❞✲❜❛❝❦ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡t ❞✬✉♥❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té ♠✉❧t✐♣❧❡ ❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❛✉ss✐ ❞✉ r❡t❛r❞ ❡t s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ❧❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❞✉ s❡❝t❡✉r✳ ❉❛♥s ❧❛ ❝♦♥❝❡♣t✐♦♥ ❞❡ ❧✬♦❜s❡r✈❛t❡✉r✱ ♦♥ ✈❛ ét❡♥❞r❡ ❧❡s tr❛✈❛✉① ❞❡ ✭✷❀ ✸✱ ❆r❝❛❦ ❡t ❑♦❦♦t♦✈✐❝✮ ❡t ✭✶✺✱ ❋❛♥ ❡t ❆r❝❛❦✮ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❛✈❡❝ r❡t❛r❞✳ ❋✐♥❛❧❡♠❡♥t✱ q✉❡❧q✉❡s ❡①❡♠♣❧❡s ♥✉♠ér✐q✉❡s s❡r♦♥t ❞♦♥♥és ♣♦✉r ✐❧❧✉str❡r ❧✬❛♣♣❧✐❝❛❜✐❧✐té ❞❡s rés✉❧t❛ts ♦❜t❡♥✉s✳ ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✶
P❛rt✐❡ ■
❉é❢♦r♠❛t✐♦♥s ■s♦♠♦♥♦❞♦r♠✐q✉❡s ❞❡s ❙②stè♠❡s
❋✉❝❤s✐❡♥s ❡t ❙♦❧✉t✐♦♥s ❆❧❣é❜r✐q✉❡s ❞❡s ❊q✉❛t✐♦♥s
❞❡ P❛✐♥❧❡✈é
❇✳ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞✱ ▲✳ ●❛✈r✐❧♦✈✳ ❖♥ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥ r❡❧❛t❡❞ t♦ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r P✐❝❛r❞✲ ❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s✱ Pré♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥ ♥♦ ✷✽✺ ❞✉ ▲❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❊♠✐❧❡ P✐❝❛r❞✱ ❛r❳✐✈ ✿♠❛t❤✳❈❆✴✵✹✵✺✸✵✽✱ ✷✵✵✹✳ ❇✳ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞✱ ▲✳ ●❛✈r✐❧♦✈✳ ❋❛♠✐❧✐❡s ♦❢ P❛✐♥❧❡✈é ❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛✈✐♥❣ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥✱ ■♥t✳ ▼❛t❤✳ ❘❡s✳ ◆♦t✳ ✷✵✵✺ ◆♦ ✻✵ ♣♣✳ ✸✼✷✼✲✸✼✺✷✳ ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✸❈❤❛♣✐tr❡ ✶
❙♦♠❡ ❜❛s✐❝ ❢❛❝ts ♦♥ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é
❡q✉❛t✐♦♥s
❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✐① P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s ✿ P■ : d2λ dt2 = 6λ 2+ t, P■■ : d2λ dt2 = 2λ 3+ tλ + α 0, P■■■ : d2λ dt2 = 1 λ( dλ dt) 2 −1tdλdt +1 t(α0λ 2+ α 1) + α2λ3+α3 λ, P■❱ : d2λ dt2 = 1 2λ( dλ dt) 2+3 2λ 3+ 4tλ2+ 2(t2 − α0)λ + α1 λ, P❱ : d2λ dt2 = ( 1 2λ + 1 λ − 1)( dλ dt) 2 −1tdλdt +(λ − 1) 2 t (α0λ + α1 λ) +α2 λ t + α3 λ(λ + 1) λ − 1 , P❱■ : d2λ dt2 = 1 2( 1 λ+ 1 λ − 1 + 1 λ − t)( dλ dt) 2 − (1t + 1 t − 1+ 1 λ − t) dλ dt +λ(λ − 1)(λ − t) t2(t − 1)2 [α0− α1 t λ2 + α2 t − 1 (λ − 1)2 + ( 1 2 − α3) t(t − 1) (λ − t)2] ✇❤❡r❡ α0, α1, α2, α3 ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥st❛♥ts✱ ❛r❡ ❦♥♦✇♥ t♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❛♥ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✇❛② ✐♥ ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t ❜r❛♥❝❤❡s ♦❢ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥s P❏ ❞❡♣❡♥❞s ❛♥ ✵✱ ✶✱ ✸✱ ✷✱ ✹✱ ✹ ♣❛r❛♠❡t❡rs αi r❡s♣❡❝✲ t✐✈❡❧②✳ ■♥ ✇❤❛t ❢♦❧❧♦✇s✱ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ♦♥❧② ✐♥ t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥ ❜❡❝❛✉s❡ ❡❛❝❤ P❏✱ ■✱✳✳✳✱❱ ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ P❱■ ❜② t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❧✐♠✐t ♣r♦❝❡ss✱ s❡❡ ✭✸✽✱ Pr♣♦s♦t✐♦♥ ✶✳✷✳✶✱ ♣✳✶✷✺✮✳ ❚❤❡ ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✐s t♦ s❡r✈❡ ❛s ❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❝❤❛♣t❡r ✷✳ ▼♦r❡ ❞❡t❛✐❧s✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ♣r♦♦❢s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ✭✺✱ ❆♥♦s♦✈ ❛♥❞ ❇♦❧✐❜r✉❝❤✮✱ ✭✸✼✱ ■♥❝❡✮✱ ✭✸✽✱ ■✇❛s❛❦✐ ❛♥❞ ❛❧✳✮✱ ✭✻✹✱ ❙❛❜❜❛❤✮✳ ❋✐rst✱ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ t✇♦ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♠❡t❤♦❞s ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞ t♦ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ✜rst ♦♥❡ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s♦ ❝❛❧❧❡❞ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ✭❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts✮✱ s❡❡ ✭✻✵✱ P❛✐♥❧❡✈é✮✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡✱ ❞✉❡ t♦ ❘✳ ❋✉❝❤s ✭✷✶✮✱ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ◆❡①t✱ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ s♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ ✭✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝✮ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♦r❞❡r t✇♦✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ♠♦♥♦❞r♦♠② ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ❣♦✈❡r♥s s✉❝❤ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ n + 3 s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s✳ ❲❤❡♥ n = 1✱ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠ t✉r♥s ♦✉t t♦ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✺❙❖▼❊ ❇❆❙■❈ ❋❆❈❚❙ ❖◆ ❚❍❊ P❆■◆▲❊❱➱ ❊◗❯❆❚■❖◆❙ s②st❡♠ t❤✉s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐s ❢r❡❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠ ❛♥❞ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ s♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s r❡❧❛t❡❞ t♦ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② η2+ ζ4 ♦❢ t②♣❡ A3✱ s❡❡ ✭✷✱ ❆r♥♦❧❞ ❛♥❞ ❛❧✳✮✳
✶✳✶ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s
❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ❛♥❛❧②s✐s ✐♥ t❤❡ ✶✾t❤ ❝❡♥t✉r② ✇❛s t♦ ✜♥❞ ❣♦♦❞ tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❆ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ F (t, y,dy dt, ..., dny dtn) = 0 ✭✶✳✶✮ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❞♦♠❛✐♥ D ⊂ C ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐❢ F = F (t, y0, y1, ..., yn) ✐s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ ② = (y0, y1, ..., yn) ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ✐♥ t ∈ D✱ r❛t✐♦♥❛❧ ✐❢ ✐t ✐s ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛♥❞ ✐s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ♦♥❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ yn✱ ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r ✐❢ ✐t ✐s ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛♥❞ F ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r ②✳ ❚❛❦❡ c := (c0, ..., cn) ∈ Cn+1 ❛♥❞ t0 ∈ D s♦ t❤❛t F (t0, c0, ..., cn) = 0✱ ❛♥❞ ❞❡♥♦t❡ ❜② ϕ(t) = ϕ(t; t0, c) t❤❡ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t diϕ dti(t0) = ci, i = 0, ..., n. ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❛♥ ❛♥❛❧②t✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ϕ(t) ✐s ❛❧s♦ ❞❡♥t❡❞ ❜② ϕ(t)✳ ■❢ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r❡❞✐❝t ♥❡✐t❤❡r ✇❤❡r❡ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ❛♣♣❡❛r ♥♦r ♦❢ ✇❤❛t ❦✐♥❞ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❛r❡✳ ■♥ s✉❝❤ ❛ ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❤❛r❞❧② s❛② t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s s❤♦✇ t❤❛t s♦❧✉t✐♦♥s ♠❛② ❤❛✈❡ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts ♦r ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts ✇❤✐❝❤ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡✐r ♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✶✳✶ my′ym−1= 1, m ∈ N. ❙♦❧✉t✐♦♥ ✿ y(t) = (t − c)1/m, c ∈ C ❜❡✐♥❣ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t✳ y(t) ❤❛s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥t ♦✈❡r t = c✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✶✳✷ y′′+ (y′)2= 0. ❙♦❧✉t✐♦♥ ✿ y(t) = log(t − c1) + c2, c1, c2∈ C✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✶✳✸ yy′′+ (y′)2(2y y′ − 1) = 0. ❙♦❧✉t✐♦♥ ✿ y(t) = c1exp(−1/(t − c2)), c1, c2∈ C✳ ❚❤✉s ✇❡ ❢❛❝❡ t♦ s❡❡❦✐♥❣ ❛ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ✭❡①❝❡♣t ♣♦❧❡s✮ ♦❢ t❤❡ s♦✲ ❧✉t✐♦♥s ❛r❡ ♣r❡❞✐❝t❛❜❧❡✳ ❆♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✶✮ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❢r❡❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ✭r❡s♣✳ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r✮ ♣♦✐♥ts ✐❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ϕ(t; t0, c) ❤❛s ♥♦ ❜r❛♥❝❤ ✭r❡s♣✳ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥t ✇❤✐❝❤ ❝❤❛♥❣❡s ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥ ✇❤❡♥ ✇❡ ✈❛r② (t0, c)✉♥❞❡r t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥ F (t0, c) = 0✳ ✶✻✶✳✶ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s Pr♦❜❧❡♠ ✶✳✶✳✹ ❋✐♥❞ ❛❧❧ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢r❡❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ♠♦✈❛❜❧❡ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❡♥❥♦②s t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ✐❢ ✭✶✳✶✮ ✐s ❢r❡❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ♠♦✈❛❜❧❡ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✳ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✿ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✺ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✶✮ ❡♥❥♦②s t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ∆ ⊂ C s✉❝❤ t❤❛t ❛♥② ❣❡r♠ ♦❢ ❛♥❛❧②t✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ✐♥ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❛♥② ♣♦✐♥t t0 ∈ C\∆ ❛❧❧♦✇s ❛ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ ❛♥② ♣❛t❤ γ ⊂ C\∆ st❛rt✐♥❣ ❛t t0✳ ✭♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛♥❛❧♦❣ t♦ ❛♥❛❧②t✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥✮ ❲❤❡♥ n = 1✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s st✉❞✐❡❞ ❛♥❞ s♦❧✈❡❞ ❜② ▲✳ ❋✉❝❤s ❛♥❞ ❍✳ P♦✐♥❝❛ré ❀ ❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t②♣❡ ✭✶✳✶✮ ✇✐t❤ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ❝❛♥ ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞✱ ❜② ❛ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ t ❛♥❞ ❜② ❛ ❧✐♥❡❛r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ O(D)✱ ✐♥t♦ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❲❡✐❡rstr❛ss ℘ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✿ (dy dt) 2= 4y3 − g2y − g3, g2, g3∈ C, ♦r ✐♥t♦ t❤❡ ❘✐❝❝❛t✐ ❡q✉❛t✐♦♥ ✿ dy dt = a(t)y
2+ b(t)y + c(t), a(t), b(t), c(t) ∈ O(D),
✇❤❡r❡ O(D) st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ r✐♥❣ ♦❢ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ D✳ ❲❤❡♥ t❤❡ ♦r❞❡r n ♦❢ ✭✶✳✶✮ ✐s ♦♥❡✱ ♦♥❧② ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts ❛♣♣❡❛r✱ ✇❤❡r❡❛s ✇❤❡♥ n ≥ 2✱ ♠♦✈❛❜❧❡ ❡s✲ s❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts ♠❛② ❛♣♣❡❛r✳ ❊✳ P✐❝❛r❞ ♣♦✐♥t❡❞ ♦✉t t❤✐s ❢❛❝t ✐♥ ❤✐s ❧❡tt❡r t♦ ▼✐tt❛❣✲▲❡✤❡r ✭✶✽✾✸✮✱ ❛♥❞ ❡①♣r❡ss❡❞ ❤✐s ♣❡ss✐♠✐st✐❝ ♦♣✐♥✐♦♥ t❤❛t t❤❡r❡ ♠✐❣❤t ❜❡ ✈❡r② ❧✐tt❧❡ ❤♦♣❡ ♦❢ s✉❝❝❡ss t♦ ✜♥❞ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ✐♥ ❝❛s❡ n ≥ 2✳ ❉❡s♣✐t❡ ♦❢ t❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♣r♦s♣❡❝t ♦❢ ❊✳ P✐❝❛r❞✱ P✳ P❛✐♥❧❡✈é ❛tt❛❝❦❡❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ d2y dt2 = R(t, y, dy dt), ❛♥❞ s❤♦✇❡❞ ❜② ❛ ❤✉❣❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ t❤❛t ❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② r❡❞✉❝❡s✱ ❜② ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ t♦ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ❜② q✉❛❞r❛t✉r❡✱ ♦r t♦ ❛ ❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✱ ♦r t♦ P❏✱ ❏❂■✱✳✳✳✱❱■✳ Pr❡❝✐s❡❧② s♣❡❛❦✐♥❣✱ P✳ P❛✐♥❧❡✈é ❢♦♥❞ ♦♥❧② P■✱ P■■✱ P■■■ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❡rr♦rs ✐♥ ❤✐s ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s✳ ❍✐s st✉❞❡♥t✱ ❇✳❖✳ ●❛♠❜✐❡r✱ ❛❞❞❡❞ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s P■❱✱ P❱✱ P❱■ t♦ t❤❡ ❧✐st✳ ❙❡❡ ✭✷✷✱ ●❛♠❜✐❡r✮ ❛♥❞ ✭✻✵✱ P❛✐♥❧❡✈é✮✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❛ s❡❝♦♥❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✭❞✉❡ t♦ ❘✳ ❋✉❝❤s ✭✷✶✮✮ t♦ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭♦r s②st❡♠s✮✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❧✐♥❡❛r ♦r❞✐♥❛r② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s x′′+ p1(s)x′+ p2(s)x = 0, ′= d ds ✭✶✳✷✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ pj✬s ❛r❡ ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ ❛ ❞♦♠❛✐♥ C\∆✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✻ ✭❆ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✮ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ✐s ❋✉❝❤s✐❛♥ ✇✐t❤ r❡❣✉✲ ❧❛r s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❛t t1, . . . , tm, tm+1= ∞ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts pj✬s ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠ ✿ pj(s) = Qmaj(s) i=1(s − ti)j , j = 1, 2, ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✼
❙❖▼❊ ❇❆❙■❈ ❋❆❈❚❙ ❖◆ ❚❍❊ P❆■◆▲❊❱➱ ❊◗❯❆❚■❖◆❙ ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ aj(s)✐s ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ❛t ♠♦st j(m − 1)✳ ❚♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ♠✉❧t✐✲✈❛❧✉❡❞♥❡ss ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✳✷✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛ss♦❝✐❛t❡ t♦ ✭✶✳✷✮ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛❝② ❝❧❛ss ♦❢ ❛ s✉❜❣r♦✉♣ ♦❢ GL(2, C)✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠② ♦❢ ✭✶✳✷✮✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ✐❢ Y (x, t)✱ ✇❤❡r❡ t = (t1, . . . , tm)✱ ✐s ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s②st❡♠ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✳✷✮ ✐♥ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t0∈ C\∆ ❛♥❞ γ ∈ π1(C\∆, t0)t❤❡♥ t❤❡ ❛♥❛❧②t✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ γ∗Y (x, t)♦❢ Y (x, t) ❛❧♦♥❣ t❤❡ ♣❛t❤ γ ✐s ❛❧s♦ ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s②st❡♠ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✳✷✮✱ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡ γ∗Y (x, t) = Y (x, t)ρ(t, γ)✱ ✇❤❡r❡ ρ(t, .) : π1(C\∆, t0) −→ GL(2, C) γ 7−→ ρ(t, γ) ✐s ❛ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❣r♦✉♣s✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✼ ❚❤❡ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ρ(t, .) ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✭✶✳✷✮ ❛♥❞ Im(π1(C\∆, t0)) ⊂ GL(2, C)✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠② ❣r♦✉♣ ♦❢ ✭✶✳✷✮✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✽ ❚❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ ❛ ❢✉♥✲ ❞❛♠❡♥t❛❧ s②st❡♠ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s Y (x, t) ❧♦❝❛❧❧② ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ t ❛♥❞ ✐♥ x s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ρ(t, .)✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ x′′+ p1(s)x′+ p2(s)x = 0, ′= d ds (1.2) ✇✐t❤ ✜✈❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✱ ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛♣♣❛r❡♥t✳ ❆❢t❡r ❛ ❜✐✲r❛t✐♦♥❛❧ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡ s❛♥❞ ❛ ❧✐♥❡❛r ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡ x ✭✐♥✈♦❧✈✐♥❣ s✮ ✇❡ ♠❛② s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts ❛r❡ 0, 1, t, λ, ∞✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② λ ✐s ❛♣♣❛r❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❘✐❡♠❛♥♥ s❝❤❡♠❡ ✐s 0 1 t λ ∞ 0 0 0 0 α θ0 θ1 θt n α + θ∞ , n ∈ N, 2α + X i∈{0,1,t,∞} θi+ n = 3 ■♥ ✇❤❛t ❢♦❧❧♦✇s ✇❡ s❤❛❧❧ ❛❧✇❛②s s✉♣♣♦s❡ t❤❛t n = 2 ✭✇❤✐❝❤ ✐s s❛t✐s✜❡❞ ❣❡♥❡r✐❝❛❧❧②✮✮✳ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts p1, p2 ❛r❡ ❡❛s✐❧② ❝♦♠♣✉t❡❞ t♦ ❜❡ p1(s) = 1 − θ0 s + 1 − θ1 s − 1 + 1 − θt s − t − 1 t − λ p2(s) = k s(s − 1) − t(t − 1)K s(s − 1)(s − t)+ λ(λ − 1)µ s(s − 1)(s − λ) ✇❤❡r❡ µ ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ k = 1 4{( X i∈{0,1,t} θi− 1)2− θ∞2 } ❚❤❡ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥t λ t♦ ❜❡ ❛♣♣❛r❡♥t r❡❛❞s K = K(λ, µ, t) = 1 t(t − 1)[λ(λ − 1)(λ − t)µ 2 − {θ1(λ − 1)(λ − t) +θtλ(λ − t) + (θ0− 1)λ(λ − 1)}µ + kλ] ❋r♦♠ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❛❜♦✈❡ ✐t ✐s s❡❡♥ t❤❛t t❤❡ ❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs θ0, θ1, θt, θ∞, λ, µ, t✳ ▲❡t ✉s ❞❡♥♦t❡ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ❜② Eθ(λ, µ, t)✳ ✶✽
✶✳✷ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❱■ ❛♥❞ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✶✳✾ ✭✸✽✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✳✷✱ ♣✳ ✶✼✷✮ (λ(t), µ(t)) ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠ dλ dt = ∂K ∂µ dµ dt = − ∂K ∂λ. ✭✶✳✸✮ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ✐♥❞✉❝❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ Eθ(λ, µ, t) ✐s ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝✳ ■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é s②st❡♠ P❱■ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs α = (1 2θ 2 ∞, 1 2θ 2 0, 1 2θ 2 1, 1 2θ 2 t) ✭✶✳✹✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠✳ ❲❡ ❣❡t t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✶✳✶✳✶✵ ■❢ (t, λ, µ) → (t, λ(t), µ(t)) ✐s ❛♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ Eθ(λ, µ, t)✱ t❤❡♥ λ(t) ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❣✐✈❡♥ ❜② ✭✶✳✹✮✳
✶✳✷ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❱■ ❛♥❞ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s
■t ✐s ❦♥♦✇♥ t❤❛t ❢♦r t❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs αi, i = 0, . . . , 3✱ ❛♥② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■ ✐s ❛♥ ✧♥❡✇ tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✧✳ ■t ♠✐❣❤t ❜❡ t❤❡r❡❢♦r❡ s✉r♣r✐s✐♥❣✱ t❤❛t P❱■ st✐❧❧ ♣♦ss❡ss❡s ❛ ❧❛r❣❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ❚❤❡✐r ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s st✐❧❧ ❛♥ ♦♣❡♥ ♣r♦❜❧❡♠✱ s❡❡ ✭✺✵✱ ▼❛♥✐♥✮✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ s♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❛✐♥❧❡✈é ❱■ ✭P❱■✮ ❡q✉❛t✐♦♥ r❡❧❛t❡❞ t♦ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ s♣❡❝✐❛❧ t②♣❡✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t t❤❡ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥ ❣♦✈❡r♥s t❤❡ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛✲ t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✶✳✷✮ ✇✐t❤ ✺ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✱ ♦♥❡ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛♣♣❛r❡♥t ✭✸✽✱ ■✇❛s❛❦✐ ❛♥❞ ❛❧✳✮✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❛♥ ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ x(s) = Z γs ω ✇❤❡r❡ ω ✐s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♦♥❡✲❢♦r♠ ♦♥ C2✱ Γ s ⊂ C2 ✐s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❝✉r✈❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ r❛t✐♦♥❛❧❧② ♦♥ s✱ ❛♥❞ γs⊂ Γs✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝❧♦s❡❞ ❧♦♦♣s✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ♦❢ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s t②♣❡ ❛♥❞ ✐ts ♠♦♥♦❞r♦♠② ❣r♦✉♣ ✐s ❝♦♥❥✉❣❛t❡❞ t♦ ❛ s✉❜❣r♦✉♣ ♦❢ Gl2(Q)✭❣❡♥❡r✐❝❛❧❧② Gl2(Z)✮✳ ❋♦r t❤✐s r❡❛s♦♥ ❛♥② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ a → Γs,a ♦❢ t❤❡ ❢❛♠✐❧② Γs ✐♥❞✉❝❡s ❛♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭✶✳✷✮✳ ■❢ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ Γs,a ❞❡♣❡♥❞s ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ✐♥ a✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ✭✶✳✷✮ ❛r❡ ❛❧s♦ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ a✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ t❤❡② ♣r♦✈✐❞❡ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■✳ ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ❧❡t λ = λ(a)✱ t = t(a)✱ ❜❡ t❤❡ ❛♣♣❛r❡♥t ❛♥❞ ♥♦♥✲❛♣♣❛r❡♥t s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ ✭✶✳✷✮✳ ❚❤✐s ❞❡t❡r✲ ♠✐♥❡ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ t → λ(t)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■✳ ■t ✐s s✐♠♣❧❡r✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t♦ r❡♣r❡s❡♥t λ = λ(t) ✐♥ ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ ❢♦r♠ λ = λ(a)✱ t = t(a)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✷✳✶ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❧✐st❡❞ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✶✳✶ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❱■✳ ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✾❙❖▼❊ ❇❆❙■❈ ❋❆❈❚❙ ❖◆ ❚❍❊ P❆■◆▲❊❱➱ ❊◗❯❆❚■❖◆❙ ❙♦❧✬♥ t(a) λ(a) P❱■ ✶ a3(2−a) 2a−1 a2(2−a) a2−a+1 ( 1 8, s 8, s 8, s 8) ✷ a3(2−a) 2a−1 a(a−2)(2a2+a+2) a2−7a+1 (18,12, 0, 0) ✸ a3(2−a) 2a−1 a2(2−a)(a2−7a+1)2
25a6−75a5+42a4+41a3+42a2−75a+25 (
9 8, 0, 0, 0) ✹ a3(2−a) 2a−1 − a(a−2)2 5a2−5a−1 (18, 0, 0,12) ✺ a3(2−a) 2a−1 a2(2−a)(2a−1) a2+5a−5 ( 1 8, 0, 1 2, 0) ❚❛❜❧❡ ✶✳✶ ✕ ▲✐st ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ s♦❧✉t✐♦♥s λ(t) ♦❢ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s ❚❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡s❡ s♦❧✉t✐♦♥s ✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡s Γs= {(ξ, η) ∈ C2: fa(ξ, η) = s} ✭✶✳✺✮ ✇❤❡r❡ fa(ξ, η) = η2+ 3 2a − 1ξ 4 −4(a + 1) 2a − 1 ξ 3+ 6a 2a − 1ξ 2 ✐s ❛ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② η2+ ξ4♦❢ t②♣❡ A 3✱ s❡❡ ✭✷✱ ❆r♥♦❧❞ ❛♥❞ ❛❧✳✮✳ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡s ♦❢ fa(ξ, η)❛r❡ 0, 1, t = a 3(2 − a) 2a − 1 . ▲❡t γ(s) ∈ H1(Γs, Z) ❜❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝②❝❧❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ♦♥ s ∈ C✳ ❚❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ ✜rst ❦✐♥❞ Z γ(s) dξ η s❛t✐s✜❡s ❛ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r a✱ ❞❡✜♥✐♥❣ ❛♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠② ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t❤❡♥ t♦ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■ ❣✐✈❡♥ ❜② ❙♦❧✬✶✳ ■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞ Z γ(s) (3ξ2− 2(a + 1)ξ)dξ η s❛t✐s✜❡s ❛ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐s ♦❢ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❢♦r♠ ❤❛s ♥♦ r❡s✐❞✉❡s✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✐❢ ✇❡ ♣✉t ξ =1 z ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦✇❡r s❡r✐❡ ✿ dξ η = − √ −1 r 2a − 1 3 [1 + 2(a + 1) 3 z + 2a2+ a + 2 3 z 2+ o(z3)] ❙♦✱ (3ξ2− 2(a + 1)ξ)dξ η = − √ −1 r 2a − 1 3 [ 3 z2+ 2a2− 5a − 1 3 + o(z)] ❚❤❡ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠② ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ a ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❙♦❧✬✷ ♦❢ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ✷✵
✶✳✷ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❱■ ❛♥❞ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ❆ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞ Z γ(s) (54ζ2− 36(a + 1)ζ − (a2− 7a + 1))dζ η Z γ(s)
(9ζ2− 6(a + 1)ζ + a(2 − a))dζ
η Z γ(s) (9ζ2− 6(a + 1)ζ + (2a − 1))dζ η s❛t✐s✜❡s ❛❧s♦ ❛ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r✳ ❚❤❡ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠② ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ a ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❙♦❧✬✸✱✹ ❛♥❞ ✺ ♦❢ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t t❤❡s❡ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ✉♣ t♦ s②♠♠❡tr✐❡s✱ ❛r❡ ✐♥ ❛ ♦♥❡✲t♦✲♦♥❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ✇✐t❤ t❤❡ r❡❣✉❧❛r ♣♦❧②❤❡❞r❛ ✐♥ t❤❡ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡✳ ❖✉r ❙♦❧✬✶ ✇✐t❤ α = (1 8, 0, 0, 0) ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t❤❡♥ t♦ t❤❡ t❡tr❛❤❡❞r♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❉✉❜r♦✈✐♥✲▼❛③③♦❝❝♦ ✭µ = +1/4 ✮✳ ■t ✐s ✐❞❡♥t✐✜❡❞ t♦ t❤❡✐r s♦❧✉t✐♦♥ (A3)✈✐❛ t❤❡ ❖❦❛♠♦t♦ t②♣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✹✮✱✭✶✳✷✺✮✱ s❡❡ ✭✶✾✮✳ ■t ✐s r❡♠❛r❦❛❜❧❡ t❤❛t t❤❡ s❛♠❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ❜✉t ❢♦r α = (1 8, 1 8, 1 8, 1 8) ✇❛s ❛❧s♦ ❢♦✉♥❞ ❜② ❍✐t❝❤✐♥ ✭✸✶✮✳ ❚❤✐s s❤♦✇s t❤❛t ❙♦❧✬✶ ✐s ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤✱ α = (1 8, z 8, z 8, z 8) , z ∈ C ✭✶✳✻✮ ■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ❢♦r tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ✈❛❧✉❡s ♦❢ z ✐♥ ❙♦❧✬✶ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❋✉❝❤s ❡q✉❛✲ t✐♦♥s ✭✶✳✷✮ ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ♦❢ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s t②♣❡✳ ◆❡①t✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❡st❛❜❧✐s❤ t❤❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✷✳✶✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❧♦❝❛❧❧② tr✐✈✐❛❧ s♠♦♦t❤ ✜❜r❛t✐♦♥ f−1(C \ {0, 1, t}) → C \ {0, 1, t} ✇❤♦s❡ ✜❜❡rs t❤❡ ❛✣♥❡ ❝✉r✈❡s Γs✱ ✭✶✳✺✮✱ s ∈ C\{0, 1, t}✳ ❊❛❝❤ Γs✐s t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧❧② ❛ t♦r✉s ✇✐t❤ t✇♦ r❡♠♦✈❡❞ ♣♦✐♥ts✳ ❍❡♥❝❡ dim H1(Γs, Z) = dim HDR1 (Γs, C) = 3✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✐❢ γ(s) ∈ H1(Γs, Z) ✐s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝②❝❧❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ♦♥ s✱ t❤❡♥ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ I(s) = Z γ(s)ω, ω = P (ξ, η)dξ + Q(ξ, η)dη, P, Q ∈ C[ξ, η] s❛t✐s✜❡s ❛ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♦r❞❡r t❤r❡❡✱ ✇❤♦s❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✐♥ s, a✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❢♦r♠ ω ❤❛s ♥♦ r❡s✐❞✉❡s✱ ✐t s❛t✐s✜❡s ❛ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❊①♣❧✐❝✐t❧②✱ ✐❢ γ1(s)✱ γ2(s)✱ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝②❝❧❡s ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ t❤❡ ❤♦♠♦❧♦❣② ❣r♦✉♣ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❛❝t✐✜❡❞ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡ Γs✱ t❤❡♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ r❡❛❞s det x x′ x′′ R γ1(s)ω ( R γ1(s)ω) ′ (R γ1(s)ω) ′′ R γ2(s)ω ( R γ2(s)ω) ′ (R γ2(s)ω) ′′ = 0. ❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✷✶
❙❖▼❊ ❇❆❙■❈ ❋❆❈❚❙ ❖◆ ❚❍❊ P❆■◆▲❊❱➱ ❊◗❯❆❚■❖◆❙ ■t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ P✐❝❛r❞✲▲❡❢s❝❤❡t③ ❢♦r♠✉❧❛ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦❞❡r❛t❡ ❣r♦✇t❤ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s✱ t❤❛t t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ r❛t✐♦♥❛❧ ✐♥ s, a✳ ❆ ❧♦❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s s❤♦✇s ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ t❤❛t det R γ1(s)ω ( R γ1(s)ω) ′ R γ2(s)ω ( R γ2(s)ω) ′ ! = p(s, a) s(s − 1)(s − t) ✇❤❡r❡ p(s, a) ✐s ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ s, a✳ ■❢ ✇❡ ♣✉t ω = dx y t❤❡♥ R γ1(s)ω ❣r♦✇s ♥♦ ❢❛st❡r t❤❛♥ s 1/4−1/2 ❛t ∞ ✭❢♦r ❛ ✜①❡❞ a✮✳ ❚❤✉s p(s, a) s(s − 1)(s − t) ❣r♦✇s ❛t ✐♥✜♥✐t② ♥♦ ❢❛st❡r t❤❛♥ s−1/2−1❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ♥♦ ❢❛st❡r t❤❛♥ s−2✳ ■t ✐s ❡①♣❡❝t❡❞ t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❛♥ p(s, a) ✐s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ♦♥❡ ✐♥ s ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r♦♦t✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② λ✱ ✐s ❛♥ ❛♣♣❛r❡♥t s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❢♦r t❤❡ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✳ ❲❡ ❛r❡ t❤❡r❡❢♦r❡ ✐♥ ❛ ♣♦s✐t✐♦♥ t♦ ❛♣♣❧② ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✶✳✾✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t t❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r a ✐s ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝❛❧✳ ■♥❞❡❡❞✱ t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠② ❣r♦✉♣ ♦❢ ♦✉r ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ SL(2, Z) ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ❛♥② ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝❛❧✳ ❚❤❡ P✐❝❛r❞✲ ▲❡❢s❝❤❡t③ ❢♦r♠✉❧❛ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠② ❣r♦✉♣ ✐♥ q✉❡st✐♦♥ ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s 1 1 0 1 ! , 1 0 1 1 ! ✭✶✳✼✮ ❚♦ ❞❡❞✉❝❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■ ✇❡ ♥❡❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t ❢♦r♠✉❧❛❡ ❢♦r t❤❡ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ▲❡♠♠❛ ✶✳✷✳✷ ▲❡t γ(s) ∈ H1(Γs, Z) ❜❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝②❝❧❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ♦♥ s✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞ x(s) = Z γ(s) dξ η , y(s) = Z γ(s) (3ξ2− 2(a + 1)ξ)dξ η s❛t✐s❢② P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ a0(s)x′′+ a1(s)x′+ a2(s)x = 0
b0(s)y′′+ b1(s)y′+ b2(s)y = 0
✇❤❡r❡
a0(s) = s(s − 1)((2a − 1)s + a3(a − 2))((a2− a + 1)s + a2(a − 2))
a1(s) = 2(2a − 1)(a2− a + 1)s3+ (a6− 3a5+ 9a4− 19a3+ 9a2− 3a + 1)s2
+2a2(a − 2)(a4− 2a3− 2a + 1)s − a5(a − 2)2
a2(s) = (2a − 1)[27(a2− a + 1)s2− (a − 2)(2a4− a3− 60a2− a + 2)s
+a2(a − 2)2(10a2+ 11a + 10)]/144
b0(s) = s(s − 1)((2a − 1)s + a3(a − 2))((a2− 7a + 1)s − a(a − 2)(2a2+ a + 2))
b1(s) = (2a − 1)s[(a2− 7a + 1)s2− 2a(a − 2)(2a2+ a + 2)s
−a(a − 2)2(a4+ a3+ a2+ a + 1)]
b2(s) = −(2a − 1)[9(a2− 7a + 1)s2− (a − 2)(10a4+ 31a3− 12a2+ 31a + 10)s
−a(a − 2)2(2a2+ a + 2)2]/144
